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复分析Complex analysis一个函数的 “极点”（或孤立的奇点）是指该函数的值变得无界，或 “爆炸 “的一个点。如果一个函数有这样一个极点，那么人们可以在那里计算函数的残差，这可以用来计算涉及该函数的路径积分；这就是强大的残差定理的内容。皮卡德定理描述了全形函数在基本奇点附近的显著行为。只有极点而没有基本奇点的函数被称为经态函数。劳伦特级数是与泰勒级数相当的复值级数，但可以通过更容易理解的函数（如多项式）的无限和来研究奇点附近的函数行为。
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数学代写|复分析代写Complex analysis代考|Regular Paths and Curves
Just as we distinguish between a path $\gamma$ and its image curve, we must distinguish between the derivative $\gamma^{\prime}(t)$ and a tangent line to the curve. The derivative can be interpreted as the velocity vector at time $t$ for a point $\gamma(t)$ moving along the curve. If $\gamma^{\prime}(t) \neq 0$ it defines a tangent direction, hence a tangent line to the curve. When $\gamma^{\prime}(t)=0$ it does not defines a tangent direction, so the curve may not have a tangent line. Section 6.7 shows some of the things that can then happen.
First, some standard terminology:
DEFINITION 6.20. Let $\gamma:[a, b] \rightarrow \mathbb{C}$ be a smooth path.
If $t_0 \in[a, b]$ and $\gamma^{\prime}\left(t_0\right) \neq 0$, then $t_0$ is a regular point of $\gamma$.
If $t_0 \in[a, b]$ and $\gamma^{\prime}\left(t_0\right)=0$, then $t_0$ is a singular point of $\gamma$.
When the image curve has a well-defined tangent line, it looks smooth: see Proposition 6.22 below.
The above discussion leads naturally to a special type of path or curve that will be useful as we proceed, to relate the abstract theory to geometric intuition:
DEFINITION 6.21. A regular path is a smooth path $\gamma:[a, c] \rightarrow \mathbb{C}$ such that $\gamma^{\prime}(t) \neq 0$ for all $t \in[a, b]$.
That is, every point on the path is a regular point.
A regular curve is the image of a regular path.
If $\gamma$ is regular, then by Proposition 4.18 a point on the tangent at $\gamma(t)$ is of the form $\gamma(t)+h \gamma^{\prime}(t)$ for any $h \in \mathbb{R}$, Figure 6.6.
The standard paths $L(t)$ (line) and $C(t)$ (circle) in Section 2.4 are regular.
In Figure 6.6 the tangent line at $\gamma(t)$ is a good approximation to the curve given by the image of $\gamma$, near that point. To formalise this idea, we compare the path $\gamma(t)$ for $t$ near some point $t_0 \in[a, b]$ with the corresponding tangent line. We can think of the tangent line as a path $\tau$ in its own right, defined by
$$
\tau\left(t_0+h\right)=\gamma\left(t_0\right)+h \gamma^{\prime}\left(t_0\right) \quad(h \in \mathbb{R})
$$
and compare it with
$$
\gamma\left(t_0+h\right) \quad\left(t \text { near } t_0\right)
$$
数学代写|复分析代写Complex analysis代考|Parametrisation by Arc Length
Proposition 6.22 is a formal statement of the intuitive idea that a regular curve looks smooth near any point. It has a continuously turning tangent and a well-defined finite length. These properties are inherited by subpaths, leading to:
DEFINITION 6.23. Let $\gamma:[a, b] \rightarrow \mathbb{C}$ be a regular path, with image curve $C$. Let $t_0, t_1 \in[a, b]$ with $t_0 \leq t_1$, and let $\gamma\left(t_0\right)=c, \gamma\left(t_1\right)=d$. Then the arc length $L_C(c, d)$ from $c$ to $d$ in $C$ is the length of $\left.\gamma\right|{\left[t_0, t_1\right]}$; that is, $$ L_C(c, d)=\int{t_0}^{t_1}\left|\gamma^{\prime}(t)\right| \mathrm{d} t
$$
We now prove that a regular curve can be smoothly reparametrised so that the parameter $t$ is arc length, or a constant multiple of arc length if that is more convenient. Let the length of $\gamma$ be $L$. Define $\lambda:[a, b] \rightarrow[0, L]$ by
$$
\lambda(s)=L_C(a, s)=\int_a^s\left|\gamma^{\prime}(t)\right| d t
$$
Then
$$
\lambda^{\prime}(t)=\left|\gamma^{\prime}(t)\right| \neq 0
$$
so $\lambda$ is a strictly increasing function on $[a, b]$ with a continuous derivative $\lambda^{\prime}$ on $[a, b]$, where $\lambda(a)=0, \lambda(b)=L$. It is regular since $\lambda^{\prime}(t) \neq 0$. It therefore has a strictly increasing inverse function $\rho=\lambda^{-1}$. Now $\rho:[0, L] \rightarrow[a, b]$ and has continuous derivative
$$
\rho^{\prime}(t)=1 / \lambda^{\prime}(t) \neq 0
$$
for $a<t<b$, so $\rho$ is also regular.
The path
$$
\tau=\gamma \circ \rho:[0, L] \rightarrow \mathbb{C}
$$
is regular, and
$$
\tau(\lambda(t))=\gamma \circ \rho \circ \lambda(t)=\gamma(t)
$$
复分析代写
数学代写|复分析代写Complex analysis代考|Regular Paths and Curves
正如我们区分路径$\gamma$和它的像曲线一样，我们必须区分导数$\gamma^{\prime}(t)$和曲线的切线。导数可以解释为沿曲线移动的一点$\gamma(t)$在时间$t$的速度矢量。如果$\gamma^{\prime}(t) \neq 0$它定义了一个切线方向，也就是曲线的切线。当$\gamma^{\prime}(t)=0$时，它没有定义切线方向，因此曲线可能没有切线。第6.7节展示了随后可能发生的一些事情。
首先是一些标准术语:
6.20.定义让$\gamma:[a, b] \rightarrow \mathbb{C}$成为一条平坦的道路。
如果是$t_0 \in[a, b]$和$\gamma^{\prime}\left(t_0\right) \neq 0$，那么$t_0$就是$\gamma$的一个常规点。
如果$t_0 \in[a, b]$和$\gamma^{\prime}\left(t_0\right)=0$，那么$t_0$是$\gamma$的奇点。
当图像曲线有一条明确的切线时，它看起来是光滑的:参见下面的命题6.22。
上面的讨论自然引出了一种特殊类型的路径或曲线，这将有助于我们将抽象理论与几何直觉联系起来:
6.21.定义规则路径是平滑的路径$\gamma:[a, c] \rightarrow \mathbb{C}$，使得$\gamma^{\prime}(t) \neq 0$适用于所有$t \in[a, b]$。
也就是说，路径上的每个点都是正则点。
规则曲线是规则路径的像。
如果$\gamma$是正则的，那么根据命题4.18，对于任何$h \in \mathbb{R}$, $\gamma(t)$切线上的点都是$\gamma(t)+h \gamma^{\prime}(t)$的形式，如图6.6所示。
2.4节中的标准路径$L(t)$(线)和$C(t)$(圆)是规则的。
在图6.6中，$\gamma(t)$处的切线很好地近似于$\gamma$图像所给出的曲线，在该点附近。为了形式化这个想法，我们将$t$在某个点$t_0 \in[a, b]$附近的路径$\gamma(t)$与相应的切线进行比较。我们可以把切线看成是一条路径$\tau$，定义为
$$
\tau\left(t_0+h\right)=\gamma\left(t_0\right)+h \gamma^{\prime}\left(t_0\right) \quad(h \in \mathbb{R})
$$
并将其与
$$
\gamma\left(t_0+h\right) \quad\left(t \text { near } t_0\right)
$$
数学代写|复分析代写Complex analysis代考|Parametrisation by Arc Length
命题6.22是对规则曲线在任何一点附近看起来都是光滑这一直观概念的正式陈述。它有一个连续转动的切线和一个明确的有限长度。这些属性由子路径继承，导致:
6.23.定义设$\gamma:[a, b] \rightarrow \mathbb{C}$为规则路径，图像曲线为$C$。让$t_0, t_1 \in[a, b]$用$t_0 \leq t_1$，让$\gamma\left(t_0\right)=c, \gamma\left(t_1\right)=d$。那么$C$中从$c$到$d$的弧长$L_C(c, d)$就是$\left.\gamma\right|{\left[t_0, t_1\right]}$的长度;也就是$$ L_C(c, d)=\int{t_0}^{t_1}\left|\gamma^{\prime}(t)\right| \mathrm{d} t
$$
我们现在证明一条规则曲线可以平滑地重新参数化，使参数$t$为弧长，如果方便的话，也可以是弧长的常数倍。设$\gamma$的长度为$L$。定义$\lambda:[a, b] \rightarrow[0, L]$
$$
\lambda(s)=L_C(a, s)=\int_a^s\left|\gamma^{\prime}(t)\right| d t
$$
然后
$$
\lambda^{\prime}(t)=\left|\gamma^{\prime}(t)\right| \neq 0
$$
因此$\lambda$在$[a, b]$上是一个严格递增的函数在$[a, b]$上有一个连续导数$\lambda^{\prime}$，其中$\lambda(a)=0, \lambda(b)=L$。从$\lambda^{\prime}(t) \neq 0$开始定期举办。因此它有一个严格递增的反函数$\rho=\lambda^{-1}$。$\rho:[0, L] \rightarrow[a, b]$有连续导数
$$
\rho^{\prime}(t)=1 / \lambda^{\prime}(t) \neq 0
$$
对于$a<t<b$，所以$\rho$也是规则的。
路径
$$
\tau=\gamma \circ \rho:[0, L] \rightarrow \mathbb{C}
$$
是规则的，并且
$$
\tau(\lambda(t))=\gamma \circ \rho \circ \lambda(t)=\gamma(t)
$$
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微观经济学代写
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线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。