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泛函分析functional analysis是数学分析的一个分支，其核心是研究具有某种极限相关结构（如内积、规范、拓扑等）的向量空间以及定义在这些空间上并在适当意义上尊重这些结构的线性函数。函数分析的历史根源在于对函数空间的研究，以及对函数变换属性的表述，例如将傅里叶变换作为定义函数空间之间的连续、单元等算子的变换。这一观点对微分和积分方程的研究特别有用。
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数学代写|泛函分析代写FUNCTIONAL ANALYSIS代考|Space of Test Functions
Functions with Compact Support. Let $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ be an open set and $u$ any real- (or complex-) valued function defined on $\Omega$. The closure of the set of all points $x \in \Omega$ for which $u$ takes non-zero values is called the support of $u$ :
$$
\operatorname{supp} u \stackrel{\text { def }}{=} \overline{{x \in \Omega: u(x) \neq 0}}
$$
Note that, due to the closure operation, the support of a function $u$ may include the points at which $u$ vanishes (see Fig. 5.1).
The collection of all infinitely differentiable functions defined on $\Omega$, whose supports are compact (i.e., bounded) and contained in $\Omega$, will be denoted as
$$
C_0^{\infty}(\Omega) \stackrel{\text { def }}{=}\left{u \in C^{\infty}(\Omega): \operatorname{supp} u \subset \Omega, \quad \operatorname{supp} u \text { compact }\right}
$$
Obviously, $C_0^{\infty}(\Omega)$ is a vector subspace of $C^{\infty}(\Omega)$.
Example 5.3.1
A standard example of a function in $C_0^{\infty}(\mathbb{R})$ is
$$
\phi(x)= \begin{cases}\exp \left[1 /\left(x^2-a^2\right)\right] & |x|0) \ 0 & |x| \geq a\end{cases}
$$
数学代写|泛函分析代写FUNCTIONAL ANALYSIS代考|The Hahn-Banach Theorem
In this section we establish a fundamental result concerning the extension of linear functionals on infinitedimensional vector spaces, the famous Hahn-Banach theorem. The result will be obtained in a general setting of arbitrary vector spaces and later on specialized in a more specific context.
Sublinear Functionals. Let $V$ be a real vector space. A functional $p: V \rightarrow \mathbb{R}$ is said to be sublinear iff
(i) $p(\alpha \boldsymbol{u})=\alpha p(\boldsymbol{u}) \quad \forall \alpha>0$
(ii) $p(\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}) \leq p(\boldsymbol{u})+p(\boldsymbol{v}) \quad(p$ is subadditive $)$
for arbitrary vectors $\boldsymbol{u}$ and $\boldsymbol{v}$. Obviously, every linear functional is sublinear and every seminorm is sublinear as well.
THEOREM 5.4.1
(The Hahn-Banach Theorem)
Let $X$ be a real vector space, $p: X \rightarrow \mathbb{R}$ a sublinear functional on $X$, and $M \subset X$ a subspace of $X$. Consider $f: M \rightarrow \mathbb{R}$, a linear functional on $M\left(f \in M^*\right)$ dominated by $p$ on $M$, i.e.,
$$
f(\boldsymbol{x}) \leq p(\boldsymbol{x}) \quad \forall \boldsymbol{x} \in M
$$
Then, there exists a linear functional $F: X \rightarrow \mathbb{R}$ defined on the whole $X$ such that
(i) $\left.F\right|_M \equiv f$
(ii) $F(\boldsymbol{x}) \leq p(\boldsymbol{x}) \quad \forall \boldsymbol{x} \in X$
In other words, $F$ is an extension of $f$ dominated by $p$ on the whole $X$.
泛函分析代写
数学代写|泛函分析代写FUNCTIONAL ANALYSIS代考|Space of Test Functions
功能与紧凑的支持。设$\Omega \subset \mathbb{R}^n$为开集，$u$为在$\Omega$上定义的任意实数(或复数)值函数。所有点$x \in \Omega$集合的闭包，其中$u$为非零值，称为$u$的支持:
$$
\operatorname{supp} u \stackrel{\text { def }}{=} \overline{{x \in \Omega: u(x) \neq 0}}
$$
注意，由于闭包操作，对$u$函数的支持可能包括$u$消失的点(参见图5.1)。
定义在$\Omega$上的所有无限可微函数的集合，其支持是紧的(即有界的)并且包含在$\Omega$中，将表示为
$$
C_0^{\infty}(\Omega) \stackrel{\text { def }}{=}\left{u \in C^{\infty}(\Omega): \operatorname{supp} u \subset \Omega, \quad \operatorname{supp} u \text { compact }\right}
$$
显然，$C_0^{\infty}(\Omega)$是$C^{\infty}(\Omega)$的向量子空间。
例5.3.1
$C_0^{\infty}(\mathbb{R})$中函数的标准示例如下
$$
\phi(x)= \begin{cases}\exp \left[1 /\left(x^2-a^2\right)\right] & |x|0) \ 0 & |x| \geq a\end{cases}
$$
数学代写|泛函分析代写FUNCTIONAL ANALYSIS代考|The Hahn-Banach Theorem
在这一节中，我们建立了关于线性泛函在无限维向量空间上的扩展的一个基本结果，即著名的哈恩-巴拿赫定理。结果将在任意向量空间的一般设置中获得，然后专门用于更具体的上下文。
次线性泛函。设$V$为实向量空间。一个泛函$p: V \rightarrow \mathbb{R}$被称为次线性iff
(i) $p(\alpha \boldsymbol{u})=\alpha p(\boldsymbol{u}) \quad \forall \alpha>0$
(ii) $p(\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}) \leq p(\boldsymbol{u})+p(\boldsymbol{v}) \quad(p$是次加性的$)$
对于任意向量$\boldsymbol{u}$和$\boldsymbol{v}$。显然，每一个线性泛函都是次线性的，每一个半精也是次线性的。
定理5.4.1
(哈恩-巴拿赫定理)
设$X$为实向量空间，$p: X \rightarrow \mathbb{R}$为$X$上的次线性泛函，$M \subset X$为$X$的子空间。考虑$M\left(f \in M^*\right)$上的一个线性泛函$f: M \rightarrow \mathbb{R}$被$M$上的$p$支配，即:
$$
f(\boldsymbol{x}) \leq p(\boldsymbol{x}) \quad \forall \boldsymbol{x} \in M
$$
则存在一个线性泛函$F: X \rightarrow \mathbb{R}$，定义在整体$X$上，使得
(i) $\left.F\right|_M \equiv f$
(ii) $F(\boldsymbol{x}) \leq p(\boldsymbol{x}) \quad \forall \boldsymbol{x} \in X$
换句话说，$F$是$f$的扩展，整个$X$以$p$为主。
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。