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泛函分析functional analysis是数学分析的一个分支，其核心是研究具有某种极限相关结构（如内积、规范、拓扑等）的向量空间以及定义在这些空间上并在适当意义上尊重这些结构的线性函数。函数分析的历史根源在于对函数空间的研究，以及对函数变换属性的表述，例如将傅里叶变换作为定义函数空间之间的连续、单元等算子的变换。这一观点对微分和积分方程的研究特别有用。
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数学代写|泛函分析代写FUNCTIONAL ANALYSIS代考|Topological Properties of Metric Spaces
Let $X=(X, d)$ be a metric space. Defining, for every $x \in X$, the family $\mathcal{B}_x$ of neighborhoods of $x$ as the family of open balls centered at $x$
$$
\mathcal{B}_x={B(x, \varepsilon), \varepsilon>0}
$$
we introduce in $X$ a topology induced by the metric $d$. Thus every metric space is a topological space with the topology induced by the metric. Two immediate corollaries follow:
(i) Bases $\mathcal{B}_x$ are of countable type.
(ii) The metric topology is Hausdorff.
The first observation follows from the fact that $\mathcal{B}_x$ is equivalent to its subbase of the form
$$
\left{B\left(x, \frac{1}{k}\right), \quad k=1,2, \ldots\right}
$$
To prove the second assertion consider two distinct points $x \neq y$. We claim that balls $B(x, \varepsilon)$ and $B(y, \varepsilon)$, where $\varepsilon=d(x, y) / 2$, are disjoint. Indeed, if $z$ were a point belonging to the balls simultaneously, then
$$
d(x, y) \leq d(x, z)+d(z, y)<\varepsilon+\varepsilon=d(x, y)
$$
a contradiction.
Thus all the results we have derived in the first five sections of this chapter for Hausdorff first countable topological spaces hold also for metric spaces. Let us briefly review some of them.
数学代写|泛函分析代写FUNCTIONAL ANALYSIS代考|Open and Closed Sets in Metric Spaces
Open and Closed Sets in Metric Spaces. A set $G \subset X$ is open if and only if, for every point $x$ of $G$, there exists a ball $B(x, \varepsilon)$, centered at $x$, that is contained in $G$. A point $x$ is an accumulation point of a set $F$ if every ball centered at $x$ contains points from $F$ which are different from $x$, or, equivalently, there exists a sequence $x_n$ points of $F$ converging to $x$.
Note that a sequence $x_n$ converges to $x$ if and only if
$$
\forall \varepsilon>0 \exists N=N(\varepsilon): d\left(x_n, x\right)<\varepsilon \quad \forall n \geq N
$$
Finally, a set is closed if it contains all its accumulation points.
Continuity in Metric Spaces. Let $(X, d)$ and $(Y, \rho)$ be two metric spaces. Recall that a function $f: X \rightarrow$ $Y$ is continuous at $x_0$ if
$$
f\left(\mathcal{B}{x_0}\right) \succ \mathcal{B}{f\left(x_0\right)}
$$
or, equivalently,
$$
\forall \varepsilon>0 \quad \exists \delta>0: f\left(B\left(x_0, \delta\right)\right) \subset B\left(f\left(x_0\right), \varepsilon\right)
$$
The last condition can be put into a more familiar form of the definition of continuity for metric spaces $(\varepsilon-\delta$ continuity):
Function $f: X \rightarrow Y$ is continuous at $x_0$ if and only if for every $\varepsilon>0$ there is a $\delta=\delta\left(\varepsilon, x_0\right)$ such that
$$
\rho\left(f(x), f\left(x_0\right)\right)<\varepsilon \quad \text { whenever } \quad d\left(x, x_0\right)<\delta $$ Note that number $\delta$ generally depends not only on $\varepsilon$, but also upon the choice of point $x_0$. If $\delta$ happens to be independent of $x_0$ for all $x_0$ from a set $E$, then $f$ is said to be uniformly continuous on $E$. Let us recall also that, since bases of neighborhoods are of countable type, i.e., metric spaces are first countable topological spaces, continuity in metric spaces is equivalent to sequential continuity: a function $f: X \rightarrow Y$ is continuous at $x_0$ if and only if $$ f\left(x_n\right) \rightarrow f\left(x_0\right) \quad \text { whenever } \quad x_n \rightarrow x_0 $$ Suppose now that there exists a constant $C>0$, such that
$$
\rho(f(x), f(y)) \leq C d(x, y) \quad \text { for every } x, y \in E
$$
泛函分析代写
数学代写|泛函分析代写FUNCTIONAL ANALYSIS代考|Topological Properties of Metric Spaces
设$X=(X, d)$是一个度量空间。定义对于每个$x \in X$, $x$的邻域的家族$\mathcal{B}_x$为以$x$为中心的开放球的家族
$$
\mathcal{B}_x={B(x, \varepsilon), \varepsilon>0}
$$
我们在$X$中引入一个由度量$d$诱导的拓扑。因此，每一个度量空间都是一个拓扑空间，其拓扑是由度量引起的。有两个直接的推论:
(i)基数$\mathcal{B}_x$为可数型。
(ii)度量拓扑是Hausdorff。
第一个观察结果是，$\mathcal{B}_x$等价于它的形式的底
$$
\left{B\left(x, \frac{1}{k}\right), \quad k=1,2, \ldots\right}
$$
为了证明第二个断言，考虑两个不同的点$x \neq y$。我们假设球$B(x, \varepsilon)$和$B(y, \varepsilon)$，其中$\varepsilon=d(x, y) / 2$是不相交的。的确，如果$z$是同时属于两个球的点，那么
$$
d(x, y) \leq d(x, z)+d(z, y)<\varepsilon+\varepsilon=d(x, y)
$$
矛盾。
因此，我们在本章的前五节中为豪斯多夫第一可数拓扑空间导出的所有结果也适用于度量空间。让我们简要回顾一下其中的一些。
数学代写|泛函分析代写FUNCTIONAL ANALYSIS代考|Open and Closed Sets in Metric Spaces
度量空间中的开闭集。当且仅当对于$G$的每个点$x$，存在一个以$x$为中心的球$B(x, \varepsilon)$，该球包含在$G$中，集合$G \subset X$是开放的。如果每个以$x$为中心的球都包含来自$F$的不同于$x$的点，那么点$x$就是集合$F$的一个累加点，或者，等价地，存在一个从$F$汇聚到$x$的序列$x_n$点。
注意，序列$x_n$收敛到$x$当且仅当
$$
\forall \varepsilon>0 \exists N=N(\varepsilon): d\left(x_n, x\right)<\varepsilon \quad \forall n \geq N $$ 最后，如果一个集合包含了它所有的累加点，那么它就是封闭的。 度量空间的连续性。设$(X, d)$和$(Y, \rho)$是两个度量空间。回想一下，函数$f: X \rightarrow$$Y$在$x_0$ if处是连续的 $$ f\left(\mathcal{B}{x_0}\right) \succ \mathcal{B}{f\left(x_0\right)} $$ 或者，等价地， $$ \forall \varepsilon>0 \quad \exists \delta>0: f\left(B\left(x_0, \delta\right)\right) \subset B\left(f\left(x_0\right), \varepsilon\right)
$$
最后一个条件可以用更熟悉的度量空间连续性定义形式$(\varepsilon-\delta$ continuity)表示:
函数$f: X \rightarrow Y$在$x_0$是连续的当且仅当对于每个$\varepsilon>0$有一个$\delta=\delta\left(\varepsilon, x_0\right)$使得
$$
\rho\left(f(x), f\left(x_0\right)\right)<\varepsilon \quad \text { whenever } \quad d\left(x, x_0\right)<\delta $$请注意，数字$\delta$一般不仅取决于$\varepsilon$，还取决于点$x_0$的选择。如果对于一个集合$E$中的所有$x_0$, $\delta$恰好独立于$x_0$，那么$f$在$E$上是一致连续的。我们还回顾一下，由于邻域的基是可数型的，即度量空间是第一可数的拓扑空间，因此度量空间中的连续性等价于顺序连续性:一个函数$f: X \rightarrow Y$在$x_0$处连续当且仅当$$ f\left(x_n\right) \rightarrow f\left(x_0\right) \quad \text { whenever } \quad x_n \rightarrow x_0 $$，现在假设存在一个常数$C>0$，使得
$$
\rho(f(x), f(y)) \leq C d(x, y) \quad \text { for every } x, y \in E
$$
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。