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数学代写|线性代数代写Linear algebra代考|Finite dimensional vector space
What does the term finite dimensional vector space mean?
It is a vector space $V$ which has a finite number of vectors in its basis.
Definition (3.18). In general, if a finite number of vectors form a basis for a vector space $V$ then we say $V$ is finite dimensional. Otherwise, the vector space $V$ is known as infinite dimensional.
If the vector space $V$ consists only of the zero vector then it is also finite dimensional.
Can you think of any finite dimensional vector spaces?
The Euclidean spaces $-\mathbb{R}^2, \mathbb{R}^3, \mathbb{R}^4, \ldots, \mathbb{R}^n$.
Are there any other examples of finite dimensional vector spaces?
The set $P_2$ of polynomials of degree 2 or less for example, or the set of all 2 by 2 matrices $M_{22}$. (These were covered in the previous section.)
Definition (3.19). In general, if $n$ vectors $\left{\mathbf{v}1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3, \ldots, \mathbf{v}_n\right}$ form a basis for a vector space $V$ then we say that $V$ is $n$-dimensional. What is $\operatorname{dim}\left(M{22}\right)$ equal to?
The standard basis for $M_{22}$ (matrices of size 2 by 2) from the Exercises 3.3 question 5 is
$$
\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ll}
1 & 0 \
0 & 0
\end{array}\right), \mathbf{B}=\left(\begin{array}{ll}
0 & 1 \
0 & 0
\end{array}\right), \mathbf{C}=\left(\begin{array}{ll}
0 & 0 \
1 & 0
\end{array}\right) \text { and } \mathbf{D}=\left(\begin{array}{ll}
0 & 0 \
0 & 1
\end{array}\right)
$$
Therefore $\operatorname{dim}\left(M_{22}\right)=4$ because we have four matrices in ${\mathbf{A}, \mathbf{B}, \mathbf{C}, \mathbf{D}}$ which form a basis for $M_{22}$.
What is $\operatorname{dim}\left(P_2\right)$ equal to?
Remember that the standard basis for $P_2$ (the set of all polynomials of degree 2 or less) is the set $\left{1, t, t^2\right}$, which means $\operatorname{dim}\left(P_2\right)=3$ since the basis consists of three vectors.
Table 3.1 shows some vector spaces and their dimensions.
数学代写|线性代数代写Linear algebra代考|Properties of finite dimensional vector spaces
In this section we show some important properties of bases and dimension. This is a demanding section because the proofs of propositions are lengthy.
Lemma (3.21). Let $V$ be a finite $n$-dimensional vector space. We have the following:
(a) Let $\left{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3, \ldots, \mathbf{v}_n\right}$ be a set of linearly independent vectors. Then $\left{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_m\right}$ where $m>n(m$ is greater than $n)$ is linearly dependent.
(b) If the $n$ vectors $\left{\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \mathbf{u}_3, \ldots, \mathbf{u}_n\right}$ span $V$ then $\left{\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \mathbf{u}_3, \ldots, \mathbf{u}_m\right}$ where $m<n$ does not $\operatorname{span} V$.
What does part (a) mean?
In $n$-dimensional vector space, if you add additional vectors to $n$ linearly independent vectors then the set becomes linearly dependent.
How do we prove this result?
By using proof by contradiction.
Proof of $(a)$.
The number of basis vectors in $V$ is $n$. Suppose that $\left{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_m\right}$ are linearly independent. Then we must have $m \leq n$ ( $m$ is less than or equal to $n)$.
Why?
Because by question 14 of Exercises 3.3 we know that the number of vectors in a linearly independent set must be less than or equal to $n, m \leq n$ (the number of basis vectors).
However, we are given that $m>n$ ( $m$ is greater than $n)$, therefore our supposition that $\left{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_m\right}$ is a linearly independent set of vectors must be wrong, so this set is linearly dependent.
线性代数代写
数学代写|线性代数代写Linear algebra代考|Finite dimensional vector space
有限维向量空间是什么意思?
它是一个向量空间$V$它的基中有有限个向量。
定义(3.18)。一般来说，如果一个有限数量的向量构成了一个向量空间$V$的一组基那么我们说$V$是有限维的。否则，向量空间$V$被称为无限维空间。
如果向量空间$V$只包含零向量，那么它也是有限维的。
你能想到任何有限维的向量空间吗?
欧几里德空间$-\mathbb{R}^2, \mathbb{R}^3, \mathbb{R}^4, \ldots, \mathbb{R}^n$。
还有其他有限维向量空间的例子吗?
例如，二阶多项式的集合$P_2$，或者所有2 × 2矩阵的集合$M_{22}$。(这些已在前一节中介绍过。)
定义(3.19)。一般来说，如果$n$向量$\left{\mathbf{v}1, \mathbf{v}2, \mathbf{v}_3, \ldots, \mathbf{v}_n\right}$构成向量空间$V$的一组基，那么我们说$V$是$n$维的。$\operatorname{dim}\left(M{22}\right)$等于多少? 练习3.3题5中$M{22}$(大小为2 × 2的矩阵)的标准基是
$$
\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ll}
1 & 0 \
0 & 0
\end{array}\right), \mathbf{B}=\left(\begin{array}{ll}
0 & 1 \
0 & 0
\end{array}\right), \mathbf{C}=\left(\begin{array}{ll}
0 & 0 \
1 & 0
\end{array}\right) \text { and } \mathbf{D}=\left(\begin{array}{ll}
0 & 0 \
0 & 1
\end{array}\right)
$$
因此$\operatorname{dim}\left(M_{22}\right)=4$因为${\mathbf{A}, \mathbf{B}, \mathbf{C}, \mathbf{D}}$中有四个矩阵它们构成了$M_{22}$的基。
$\operatorname{dim}\left(P_2\right)$等于多少?
请记住，$P_2$(所有二阶或以下多项式的集合)的标准基是$\left{1, t, t^2\right}$，这意味着$\operatorname{dim}\left(P_2\right)=3$，因为基由三个向量组成。
表3.1给出了一些向量空间及其维数。
数学代写|线性代数代写Linear algebra代考|Properties of finite dimensional vector spaces
在本节中，我们将展示基和维的一些重要性质。这是一个要求很高的部分，因为命题的证明很长。
引理(3.21)。设$V$是一个有限的$n$维向量空间。我们有以下内容:
(a)设$\left{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3, \ldots, \mathbf{v}_n\right}$为线性无关向量的集合。然后$\left{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_m\right}$，其中$m>n(m$大于$n)$是线性相关的。
(b)如果$n$向量$\left{\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \mathbf{u}_3, \ldots, \mathbf{u}_n\right}$跨越$V$，则$\left{\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \mathbf{u}_3, \ldots, \mathbf{u}_m\right}$，其中$m<n$不$\operatorname{span} V$。
(a)部分是什么意思?
在$n$维向量空间中，如果你在$n$线性无关的向量上添加额外的向量，那么这个集合就变成线性相关的。
我们如何证明这个结果呢?
通过反证法。
证明$(a)$。
$V$中基向量的个数为$n$。假设$\left{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_m\right}$是线性无关的。那么我们就得到$m \leq n$ ($m$小于等于$n)$)
为什么?
因为根据习题3.3第14题，我们知道线性无关集合中的向量个数必须小于或等于$n, m \leq n$(基向量的个数)。
然而，我们已知$m>n$ ($m$大于$n)$)，因此我们假设$\left{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_m\right}$是一个线性无关的向量集合一定是错误的，因此这个集合是线性相关的。
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。