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# 数学代写|数论代写Number Theory代考|Integral Closure

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## 数学代写|数论代写Number Theory代考|Integral Closure

Let $A$ and $B$ be integral domains with $A \subseteq B$. In Theorem 4.1 .7 we showed that the set of all elements of $B$ that are integral over $A$ is a subdomain of $B$ containing $A$. We now give this domain a name.

Definition 4.2.1 (Integral closure) Let $A$ and $B$ be integral domains with $A \subseteq B$. The integral closure of $A$ in $B$ is the subdomain of $B$ consisting of all elements of $B$ that are integral over $A$. The integral closure of $A$ in $B$ is denoted by $A^B$.
From Theorem 4.1.7 we have
Theorem 4.2.1 Let $A$ and $B$ be integral domains with $A \subseteq B$. Then the integral closure $A^B$ of $A$ in $B$ is an integral domain satisfying
$$A \subseteq A^B \subseteq B$$
Clearly $A^A=A$ for any integral domain $A$.
Our next theorem determines the integral closure of $\mathbb{Z}$ in the field $\mathbb{Q}(i)=$ ${x+y i \mid x, y \in \mathbb{Q}}$.

## 数学代写|数论代写Number Theory代考|Minimal Polynomial of an Element Algebraic over a Field

Let $K$ be a subfield of the field $\mathbb{C}$ of complex numbers. Let $\alpha \in \mathbb{C}$ be algebraic over $K$ (see Definition 4.1.3). As $\alpha$ is algebraic over $K$, there exists a nonzero polynomial $g(x) \in K[x]$ such that $g(\alpha)=0$. We let $I_K(\alpha)$ denote the set of all polynomials in $K[x]$ having $\alpha$ as a root, that is,
$$I_K(\alpha)={f(x) \in K[x] \mid f(\alpha)=0}$$
Clearly the set $I_K(\alpha)$ contains the zero polynomial. It is easy to check that $I_K(\alpha)$ is an ideal of $K[x]$. Moreover, $I_K(\alpha) \neq\langle 0\rangle$ as $g(x) \in I_K(\alpha)$.

As $K$ is a field, by Theorem 2.2.1(b) we know that $K[x]$ is a Euclidean domain and thus, by Theorem 2.1.2, a principal ideal domain. Hence there exists $p(x) \in$ $K[x]$ such that
$$I_K(\alpha)=\langle p(x)\rangle .$$
Suppose $p_1(x) \in K[x]$ is another polynomial that generates $I_K(\alpha)$, that is,
$$I_K(\alpha)=\left\langle p_1(x)\right\rangle$$
Then
$$\langle p(x)\rangle=\left\langle p_1(x)\right\rangle$$
and so, by Theorem 1.3.1, we have
$$p_1(x)=u(x) p(x),$$
where $u(x)$ is a unit in $K[x]$. However, from Example 1.1.18(c), we have
$$U(K[x])=K^*$$
so that
$$u(x) \in K^*$$

## 数学代写|数论代写Number Theory代考|Integral Closure

$$A \subseteq A^B \subseteq B$$

$$I_K(\alpha)=\langle p(x)\rangle .$$

$$I_K(\alpha)=\left\langle p_1(x)\right\rangle$$

$$\langle p(x)\rangle=\left\langle p_1(x)\right\rangle$$

$$p_1(x)=u(x) p(x),$$

$$U(K[x])=K^*$$

$$u(x) \in K^*$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。