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交换代数Commutative Algebra换元代数本质上是对代数数论和代数几何中出现的环的研究。在代数理论中，代数整数的环是Dedekind环，因此它构成了一类重要的换元环。与模块化算术有关的考虑导致了估值环的概念。代数场扩展对子环的限制导致了积分扩展和积分封闭域的概念，以及估值环扩展的公理化概念。
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数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Algebraic Identities
An algebraic identity is an equality between two elements of $\mathbb{Z}\left[X_1, \ldots, X_n\right]$ defined differently. It gets automatically transferred into every commutative ring by means of the previous corollary.
Since the ring $\mathbb{Z}\left[X_1, \ldots, X_n\right]$ has particular properties, it happens that some algebraic identities are easier to prove in $\mathbb{Z}\left[X_1, \ldots, X_n\right]$ than in “an arbitrary ring $\mathbf{B}$.” Consequently, if the structure of a theorem reduces to a family of algebraic identities, which is very frequent in commutative algebra, it is often in our interest to use a ring of polynomials with coefficients in $\mathbb{Z}$ by taking as its indeterminates the relevant elements in the statement of the theorem.
The properties of the rings $\mathbb{Z}[\underline{X}]$ which may prove useful are numerous. The first is that it is an integral ring. So it is a subring of its quotient field $\mathbb{Q}\left(X_1, \ldots, X_n\right)$ which offers all the facilities of discrete fields.
The second is that it is an infinite and integral ring. Consequently, “all bothersome but rare cases can be ignored.” A case is rare when it corresponds to the annihilation of a polynomial $Q$ that evaluates to zero everywhere. It suffices to check the equality corresponding to the algebraic identity when it is evaluated at the points of $\mathbb{Z}^n$ which do not annihilate $Q$. Indeed, if the algebraic identity we need to prove is $P=0$, we get that the polynomial $P Q$ defines the function over $\mathbb{Z}^n$ that evaluates to zero everywhere, this implies that $P Q=0$ and thus $P=0$ since $Q \neq 0$ and $\mathbb{Z}[\underline{X}]$ is integral. This is sometimes called the “extension principle for algebraic identities.”
Other remarkable properties of $\mathbb{Z}[\underline{X}]$ could sometimes be used, like the fact that it is a unique factorization domain (UFD) as well as being a strongly discrete coherent Noetherian ring of finite Krull dimension.
数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Weights, Homogeneous Polynomials
We say that we have defined a weight on a polynomial algebra $\mathbf{A}\left[X_1, \ldots, X_k\right]$ when we attribute to each indeterminate $X_i$ a weight $w\left(X_i\right) \in \mathbb{N}$. We then define the weight of the monomial $\underline{X} \underline{\underline{m}}=X_1^{m_1} \cdots X_k^{m_k}$ as
$$
w\left(\underline{X}^{\underline{m}}\right)=\sum_i m_i w\left(X_i\right)
$$
so that $w\left(\underline{X}^{\underline{m}}+\underline{m^{\prime}}\right)=w\left(\underline{X}^{\underline{m}}\right)+w\left(\underline{X}^{m^{\prime}}\right)$. The degree of a polynomial $P$ for this weight, generally denoted by $w(P)$, is the greatest of the weights of the monomials appearing with a nonzero coefficient. This is only well-defined if we have a test of equality to 0 in $\mathbf{A}$ at our disposal. In the opposite case we simply define the statement ” $w(P) \leqslant r . “$
A polynomial is said to be homogeneous (for a weight $w$ ) if all of its monomials have the same weight.
When we have an algebraic identity and a weight available, each homogeneous component of the algebraic identity provides a particular algebraic identity.
We can also define weights with values in some monoids with a more complicated order than $(\mathbb{N}, 0,+, \geqslant)$. We then ask that this monoid be the positive part of a product of totally ordered Abelian groups, or more generally a monoid with gcd (this notion will be introduced in Chap. XI).
Symmetric Polynomials
We fix $n$ and $\mathbf{A}$ and we let $S_1, \ldots, S_n$ be the elementary symmetric polynomials at the $X_i$ ‘s in $\mathbf{A}\left[X_1, \ldots, X_n\right]$. They are defined by the equality
$$
T^n+S_1 T^{n-1}+S_2 T^{n-2}+\cdots+S_n=\prod_{i=1}^n\left(T+X_i\right) .
$$
We have $S_1=\sum_i X_i, S_n=\prod_i X_i, S_k=\sum_{J \in \mathcal{P}{k, n}} \prod{i \in J} X_i$. Recall the following well-known theorem (a proof is suggested in Exercise 3).
交换代数代写
数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Algebraic Identities
代数恒等式是两个不同定义的$\mathbb{Z}\left[X_1, \ldots, X_n\right]$元素之间的等式。它通过前面的推论自动地转移到每个交换环上。
由于环$\mathbb{Z}\left[X_1, \ldots, X_n\right]$具有特殊的性质，一些代数恒等式在$\mathbb{Z}\left[X_1, \ldots, X_n\right]$中比在“任意环$\mathbf{B}$”中更容易证明。因此，如果一个定理的结构简化为在交换代数中非常常见的代数恒等式族，在$\mathbb{Z}$中使用系数为多项式的环，取定理陈述中的相关元素作为它的不定式，这通常符合我们的兴趣。
这些环$\mathbb{Z}[\underline{X}]$可能被证明有用的特性有很多。首先，它是一个整环。所以它是它的商域$\mathbb{Q}\left(X_1, \ldots, X_n\right)$的子域，它提供了离散域的所有功能。
二是它是一个无限积分环。因此，“所有麻烦但罕见的情况都可以忽略不计。”当它对应于处处为零的多项式$Q$的湮灭时，这种情况很少见。当代数恒等式在$\mathbb{Z}^n$不湮没$Q$的点处求值时，检验其等式是否成立就足够了。事实上，如果我们需要证明的代数恒等式是$P=0$，我们得到多项式$P Q$定义了$\mathbb{Z}^n$上处处为零的函数，这意味着$P Q=0$和$P=0$，因为$Q \neq 0$和$\mathbb{Z}[\underline{X}]$是积分。这有时被称为“代数恒等式的可拓原理”。
有时还可以使用$\mathbb{Z}[\underline{X}]$的其他显著性质，例如它是唯一因子分解域(UFD)以及有限Krull维的强离散相干Noetherian环。
数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Weights, Homogeneous Polynomials
当我们给每个不确定的$X_i$赋予一个权重$w\left(X_i\right) \in \mathbb{N}$时，我们说我们已经在多项式代数$\mathbf{A}\left[X_1, \ldots, X_k\right]$上定义了一个权重。然后我们定义单项的权重$\underline{X} \underline{\underline{m}}=X_1^{m_1} \cdots X_k^{m_k}$为
$$
w\left(\underline{X}^{\underline{m}}\right)=\sum_i m_i w\left(X_i\right)
$$
所以是$w\left(\underline{X}^{\underline{m}}+\underline{m^{\prime}}\right)=w\left(\underline{X}^{\underline{m}}\right)+w\left(\underline{X}^{m^{\prime}}\right)$。该权重的多项式度$P$，通常用$w(P)$表示，是出现非零系数的单项权重中最大的。只有当我们在$\mathbf{A}$中有一个等于0的检验时，这个才有定义。在相反的情况下，我们只需定义语句” $w(P) \leqslant r . “$
一个多项式是齐次的(对于一个权值$w$)，如果它所有的单项式都有相同的权值。
当我们有一个代数恒等式和一个权值时，这个代数恒等式的每一个齐次分量都提供了一个特定的代数恒等式。
我们也可以用一些比$(\mathbb{N}, 0,+, \geqslant)$更复杂的单群来定义权重值。然后我们要求这个单群是全序阿贝尔群积的正部，或者更一般地说，是一个具有gcd的单群(这个概念将在第十一章中介绍)。
对称多项式
我们固定$n$和$\mathbf{A}$我们让$S_1, \ldots, S_n$是$\mathbf{A}\left[X_1, \ldots, X_n\right]$中$X_i$的初等对称多项式。它们是由等式定义的
$$
T^n+S_1 T^{n-1}+S_2 T^{n-2}+\cdots+S_n=\prod_{i=1}^n\left(T+X_i\right) .
$$
我们有$S_1=\sum_i X_i, S_n=\prod_i X_i, S_k=\sum_{J \in \mathcal{P}{k, n}} \prod{i \in J} X_i$。回想一下下面这个著名的定理(练习3给出了一个证明)。
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。