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数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Hilbert’s Nullstellensatz

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交换代数Commutative Algebra换元代数本质上是对代数数论和代数几何中出现的环的研究。在代数理论中,代数整数的环是Dedekind环,因此它构成了一类重要的换元环。与模块化算术有关的考虑导致了估值环的概念。代数场扩展对子环的限制导致了积分扩展和积分封闭域的概念,以及估值环扩展的公理化概念。

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数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Hilbert’s Nullstellensatz

数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Hilbert’s Nullstellensatz

In this section we illustrate the importance of the resultant by showing how Hilbert’s Nullstellensatz can be deducted from it. We will use a generalization of the basic elimination Lemma 7.5.
The Algebraic Closure of $\mathbb{Q}$ and of Finite Fields
Let $\mathbf{K} \subseteq \mathbf{L}$ be discrete fields. We say that $\mathbf{L}$ is an algebraic closure of $\mathbf{K}$ if $\mathbf{L}$ is algebraic over $\mathbf{K}$ and algebraically closed.

The reader will concede that $\mathbb{Q}$ and the fields $\mathbb{F}_p$ possess an algebraic closure. This will be discussed in further detail in Sect. VI-1, especially with Theorem VI-1.18.

The Classical Nullstellensatz (Algebraically Closed Case)
The Nullstellensatz is a theorem which concerns the systems of polynomial equations over a discrete field. Very informally, its meaning can be described as follows: a geometric statement necessarily possesses an algebraic certificate. Or even: a proof in commutative algebra can (almost) always be summarized by simple algebraic identities if it is sufficiently general.

If we have discrete fields $\mathbf{K} \subseteq \mathbf{L}$, and if $(\underline{f})=\left(f_1, \ldots, f_s\right)$ is a system of polynomials in $\mathbf{K}\left[X_1, \ldots, X_n\right]=\mathbf{K}[\underline{X}]$, we say that $\left(\xi_1, \ldots, \xi_n\right)=(\underline{\xi})$ is a zero of $(\underline{f})$ in $\mathbf{L}^n$, or a zero of $(\underline{f})$ with coordinates in $\mathbf{L}$, if the equations $f_i(\underline{\xi})=0$ are satisfied. Let $\mathfrak{f}=\left\langle f_1, \ldots, \overline{f_s}\right\rangle_{\mathbf{K}}[\underline{X}]$. Then, all the polynomials $g \in \mathfrak{f}$ are annihilated in such a $(\underline{\xi})$. We therefore equally refer to $(\underline{\xi})$ as a zero of the ideal $f$ in $\mathbf{L}^n$ or as having coordinates in $\mathbf{L}$.
We begin with an almost obvious fact.
9.1 Fact Let $\mathbf{k}$ be a commutative ring and $h \in \mathbf{k}[X]$ a monic polynomial of degree $\geqslant 1$.

  • If some multiple of $h$ is in $\mathbf{k}$, this multiple is null.
  • Let $f$ and $g \in \mathbf{k}[X]$ of respective formal degrees $p$ and $q$. If $h$ divides $f$ and $g$, then $\operatorname{Res}_X(f, p, g, q)=0$.

数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|The Formal Nullstellensatz

We now move onto a formal Nullstellensatz, formal in the sense that it applies (in classical mathematics) to an arbitrary ideal over an arbitrary ring. Nevertheless to have a constructive statement we will be content with a polynomial ring $\mathbb{Z}[\underline{X}]$ for our arbitrary ring and a finitely generated ideal for our arbitrary ideal.

Although this may seem very restrictive, practice shows that this is not the case because we can (almost) always apply the method of undetermined coefficients to a commutative algebra problem; a method which reduces the problem to a polynomial problem over $\mathbb{Z}$. An illustration of this will be given next.

Note that to read the statement, when we speak of a zero of some $f_i \in \mathbb{Z}[\underline{X}]$ over a ring $\mathbf{A}$, one must first consider $f_i$ modulo $\operatorname{Ker} \varphi$, where $\varphi$ is the unique homomorphism $\mathbb{Z} \rightarrow \mathbf{A}$, with $\mathbf{A}_1 \simeq \mathbb{Z} / \operatorname{Ker} \varphi$ as its image. This thus reduces to a polynomial $\overline{f_i}$ of $\mathbf{A}_1[\underline{X}] \subseteq \mathbf{A}[\underline{X}]$.
9.9 Theorem (Nullstellensatz over $\mathbb{Z}$, formal Nullstellensatz) Let $\mathbb{Z}[\underline{X}]=$ $\mathbb{Z}\left[X_1, \ldots, X_n\right]$. Consider $g, f_1, \ldots, f_s$ in $\mathbb{Z}[\underline{X}]$

  1. For the system $\left(f_1, \ldots, f_s\right)$ the following properties are equivalent.
    a. $1 \in\left\langle f_1, \ldots, f_s\right\rangle$.
    b. The system does not admit a zero on any nontrivial discrete field.
    c. The system does not admit a zero on any finite field or on any finite extension of $\mathbb{Q}$.
    d. The system does not admit a zero on any finite field.
  2. The following properties are equivalent.
    a. $\exists N \in \mathbb{N}, g^N \in\left\langle f_1, \ldots, f_s\right\rangle$.
    b. The polynomial $g$ is annihilated at the zeros of the system $\left(f_1, \ldots, f_s\right)$ on any discrete field.
    c. The polynomial $g$ is annihilated at the zeros of the system $\left(f_1, \ldots, f_s\right)$ on every finite field and on every finite extension of $\mathbb{Q}$.
    d. The polynomial $g$ is annihilated at the zeros of the system $\left(f_1, \ldots, f_s\right)$ on every finite field.
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交换代数代写

数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Hilbert’s Nullstellensatz

在本节中,我们通过展示如何从结果中推导出希尔伯特的Nullstellensatz来说明结果的重要性。我们将使用基本消去引理7.5的推广。
的代数闭包 $\mathbb{Q}$ 有限域的
让 $\mathbf{K} \subseteq \mathbf{L}$ 是离散的域。我们说 $\mathbf{L}$ 代数闭包是 $\mathbf{K}$ 如果 $\mathbf{L}$ 代数课结束了吗 $\mathbf{K}$ 代数上是封闭的。

读者将承认$\mathbb{Q}$和域$\mathbb{F}_p$具有代数闭包。这将在第VI-1节中进一步详细讨论,特别是定理VI-1.18。

经典零方程(代数闭合情况)
Nullstellensatz是一个关于离散域上多项式方程组的定理。非常非正式地,它的含义可以描述如下:一个几何陈述必须拥有一个代数证明。或者甚至:交换代数中的证明(几乎)总是可以用简单的代数恒等式来概括,如果它足够普遍的话。

如果我们有离散场$\mathbf{K} \subseteq \mathbf{L}$,如果$(\underline{f})=\left(f_1, \ldots, f_s\right)$是$\mathbf{K}\left[X_1, \ldots, X_n\right]=\mathbf{K}[\underline{X}]$中的多项式系统,我们说$\left(\xi_1, \ldots, \xi_n\right)=(\underline{\xi})$是$\mathbf{L}^n$中的$(\underline{f})$的零,或者是$(\underline{f})$的零,坐标在$\mathbf{L}$中,如果方程$f_i(\underline{\xi})=0$满足。让$\mathfrak{f}=\left\langle f_1, \ldots, \overline{f_s}\right\rangle_{\mathbf{K}}[\underline{X}]$。然后,所有的多项式$g \in \mathfrak{f}$都湮灭在这样一个$(\underline{\xi})$中。因此,我们同样地称$(\underline{\xi})$为$\mathbf{L}^n$中理想$f$的零,或在$\mathbf{L}$中有坐标。
我们从一个几乎显而易见的事实开始。
9.1事实设$\mathbf{k}$为交换环,$h \in \mathbf{k}[X]$为次为$\geqslant 1$的一元多项式。

如果$\mathbf{k}$中有$h$的某个倍数,则该倍数为空。

让$f$和$g \in \mathbf{k}[X]$各自的正规学位$p$和$q$。如果$h$除$f$和$g$,则是$\operatorname{Res}_X(f, p, g, q)=0$。

数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|The Formal Nullstellensatz

现在我们转到正式的Nullstellensatz,正式的意思是它(在经典数学中)适用于任意环上的任意理想。然而,为了得到一个构造命题,对于任意环,我们满足于一个多项式环$\mathbb{Z}[\underline{X}]$对于任意理想,我们满足于一个有限生成的理想。

虽然这看起来很有限制,但实践表明,情况并非如此,因为我们(几乎)总是可以将待定系数方法应用于交换代数问题;一种将问题简化为$\mathbb{Z}$上的多项式问题的方法。下面将对此作一个说明。

请注意,要读这个陈述,当我们谈到环$\mathbf{A}$上某个$f_i \in \mathbb{Z}[\underline{X}]$的零时,必须首先考虑$f_i$模$\operatorname{Ker} \varphi$,其中$\varphi$是唯一同态$\mathbb{Z} \rightarrow \mathbf{A}$, $\mathbf{A}_1 \simeq \mathbb{Z} / \operatorname{Ker} \varphi$是它的像。这就简化为$\mathbf{A}_1[\underline{X}] \subseteq \mathbf{A}[\underline{X}]$的多项式$\overline{f_i}$。
9.9定理(Nullstellensatz over $\mathbb{Z}$,正式的Nullstellensatz)设$\mathbb{Z}[\underline{X}]=$$\mathbb{Z}\left[X_1, \ldots, X_n\right]$。考虑$g, f_1, \ldots, f_s$$\mathbb{Z}[\underline{X}]$

对于系统$\left(f_1, \ldots, f_s\right)$,以下属性是等效的。
A. $1 \in\left\langle f_1, \ldots, f_s\right\rangle$;
b.系统在任何非平凡离散域上都不允许存在零。
c.系统不允许在任何有限域或$\mathbb{Q}$的任何有限扩展上存在零。
d.系统在任何有限域上都不允许存在零。

以下属性是等价的。
A. $\exists N \in \mathbb{N}, g^N \in\left\langle f_1, \ldots, f_s\right\rangle$;
b.多项式$g$在任意离散场上的系统$\left(f_1, \ldots, f_s\right)$的零点处被湮灭。
c.多项式$g$在系统$\left(f_1, \ldots, f_s\right)$的每一个有限域和$\mathbb{Q}$的每一个有限扩展的零点处被湮灭。
d.多项式$g$在每个有限域的系统$\left(f_1, \ldots, f_s\right)$的零点处被湮灭。

数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考

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线性代数代写

线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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