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数学代写|图论代写GRAPH THEORY代考|Minors
In this section and the next, we ask how global assumptions about a graph – on its average degree, its chromatic number, or even its girthcan force it to contain a given graph as a minor or topological minor.
For example, consider the analogue of Turán’s theorem: how many edges on $n$ vertices force a $K^r$ minor or topological minor? We know already from Chapter 3.5 that topological $K^r$ minors can be forced in sparse graphs, i.e., that some linear number $c_r n$ of edges is enough. But what can we say about $c_r$ as a function of $r$ ? The upper bound $h(r)$ on $c_r$ that we found in the proof of Lemma 3.5 .1 was $2^{\left(\begin{array}{l}r \ 2\end{array}\right)}$; an easy lower bound is $\frac{1}{8} r^2$ (Exercise 25).
It was only in 1996 that this lower bound was shown to be of the right order of magnitude. With the help of Theorem 3.5.3, the proof is now just a few lines:
Theorem 7.2.1. There is a constant $c \in \mathbb{R}$ such that, for every $r \in \mathbb{N}$, every graph $G$ of average degree $d(G) \geqslant c r^2$ contains $K^r$ as a topological minor.
Proof. We prove the theorem with $c=10$. Let $G$ be a graph of average degree at least $10 r^2$. By Theorem 1.4 .3 with $k:=r^2, G$ has an $r^2$-connected subgraph $H$ with $\varepsilon(H)>\varepsilon(G)-r^2 \geqslant 4 r^2$. To find a $T K^r$ in $H$, we start by picking $r$ vertices as branch vertices, and $r-1$ neighbours of each of these as some initial subdividing vertices. These are $r^2$ vertices in total, so as $\delta(H) \geqslant \kappa(H) \geqslant r^2$ they can be chosen distinct. Now all that remains is to link up the subdividing vertices in pairs, by disjoint paths in $H$ corresponding to the edges of the $K^r$ of which we wish to find a subdivision. Such paths exist, because $H$ is $\frac{1}{2} r^2$-linked by Theorem 3.5.3.
For small $r$, one can try to determine the exact number of edges needed to force a $T K^r$ subgraph on $n$ vertices. For $r=4$, this number is $2 n-2$; see Corollary 7.3.2. For $r=5$, plane triangulations yield a lower bound of $3 n-5$ (Corollary 4.2.10). The converse, that $3 n-5$ edges do force a $T K^5$ – not just either a $T K^5$ or a $T K_{3,3}$, as they do by Corollary 4.2.10 and Kuratowski’s theorem-is already a difficult theorem (Mader 1998).
Let us now turn from topological minors to general minors. The average degree needed to force a $K^r$ minor is known almost precisely. Thomason (2001) determined, asymptotically, the smallest constant $c$ that makes the following theorem true as $\alpha+o(1)$, where $o(1)$ stands for a function of $r$ tending to zero as $r \rightarrow \infty$ and $\alpha=0.53131 \ldots$ is an explicit constant.
数学代写|图论代写GRAPH THEORY代考|Hadwiger’s conjecture
As we saw in Section 7.2, an average degree of $c r \sqrt{\log r}$ suffices to force an arbitrary graph to have a $K^r$ minor, and an average degree of $\mathrm{cr}^2$ forces it to have a topological $K^r$ minor. If we replace ‘average degree’ above with ‘chromatic number’ then, with almost the same constants $c$, the two assertions remain true: this is because every graph with chromatic number $k$ has a subgraph of average degree at least $k-1$ (Corollary 5.2 .3$)$.
Although both functions above, $c r \sqrt{\log r}$ and $c r^2$, are best possible (up to the constant $c$ ) for the said implications with ‘average degree’, the question arises whether they are still best possible with ‘chromatic number’ – or whether some slower-growing function would do in that case. What lies hidden behind this problem about growth rates is a fundamental question about the nature of the invariant $\chi$ : can this invariant have some direct structural effect on a graph in terms of forcing concrete substructures, or is its effect no greater than that of the ‘unstructural’ property of having lots of edges somewhere, which it implies trivially?
Neither for general nor for topological minors is the answer to this question known. For general minors, however, the following conjecture of Hadwiger suggests a positive answer:
Conjecture. (Hadwiger 1943)
The following implication holds for every integer $r>0$ and every graph $G$ :
$$
\chi(G) \geqslant r \Rightarrow G \succcurlyeq K^r
$$
Hadwiger’s conjecture is trivial for $r \leqslant 2$, easy for $r=3$ and $r=4$ (exercises), and equivalent to the four colour theorem for $r=5$ and $r=6$. For $r \geqslant 7$ the conjecture is open, but it is true for line graphs (Exercise 35) and for graphs of large girth (Exercise 33; see also Corollary 7.3.9). Rephrased as $G \succcurlyeq K^{\chi(G)}$, it is true for almost all graphs. ${ }^3$ In general, the conjecture for $r+1$ implies it for $r$ (exercise).
图论代写
数学代写|图论代写GRAPH THEORY代考|Minors
在本节和下一节中，我们将讨论关于图的全局假设——关于图的平均度，色数，甚至周长——是如何迫使图包含一个给定的图作为一个小图或拓扑小图的。
例如，考虑Turán定理的类比:$n$顶点上有多少条边强制形成$K^r$次边或拓扑次边?从第3.5章我们已经知道，在稀疏图中，拓扑$K^r$次元可以被强制，也就是说，一些线性数$c_r n$的边就足够了。但是我们怎么看待$c_r$作为$r$的函数呢?我们在引理3.5 .1的证明中找到的$c_r$的上界$h(r)$是$2^{\left(\begin{array}{l}r \ 2\end{array}\right)}$;一个简单的下限是$\frac{1}{8} r^2$(练习25)。
直到1996年，这个下限才被证明是正确的数量级。在定理3.5.3的帮助下，证明现在只有几行:
定理7.2.1。有一个常数$c \in \mathbb{R}$，使得对于每个$r \in \mathbb{N}$，每个平均度为$d(G) \geqslant c r^2$的图$G$都包含$K^r$作为拓扑次元。
证明。我们用$c=10$来证明这个定理。设$G$为至少$10 r^2$的平均度图。根据定理1.4 .3与$k:=r^2, G$有一个与$\varepsilon(H)>\varepsilon(G)-r^2 \geqslant 4 r^2$相连的$r^2$子图$H$。为了在$H$中找到$T K^r$，我们首先选择$r$顶点作为分支顶点，并将每个顶点的$r-1$邻居作为一些初始细分顶点。这些顶点总数为$r^2$，因此$\delta(H) \geqslant \kappa(H) \geqslant r^2$可以被选择为不同的顶点。现在剩下的就是通过$H$中不相交的路径将细分的顶点成对地连接起来，对应于我们希望找到细分的$K^r$的边。这样的路径是存在的，因为$H$是$\frac{1}{2} r^2$ -由定理3.5.3链接的。
对于较小的$r$，可以尝试确定在$n$顶点上强制一个$T K^r$子图所需的确切边数。对于$r=4$，这个数字是$2 n-2$;参见推论7.3.2。对于$r=5$，平面三角剖分产生$3 n-5$的下界(推论4.2.10)。相反，$3 n-5$边确实会产生$T K^5$——不像推论4.2.10和Kuratowski的定理那样，要么是$T K^5$要么是$T K_{3,3}$——这已经是一个困难的定理(Mader 1998)。
现在让我们从拓扑小调转向一般小调。强制选修$K^r$辅修课程所需的平均学位几乎是精确的。Thomason(2001)渐近地确定了使以下定理成立的最小常数$c$为$\alpha+o(1)$，其中$o(1)$表示$r$趋向于零的函数$r \rightarrow \infty$, $\alpha=0.53131 \ldots$是显式常数。
数学代写|图论代写GRAPH THEORY代考|Hadwiger’s conjecture
正如我们在7.2节中看到的，$c r \sqrt{\log r}$的平均度足以强制任意图具有$K^r$次次，$\mathrm{cr}^2$的平均度则强制其具有拓扑$K^r$次次。如果我们将上面的“平均度”替换为“色数”，那么，使用几乎相同的常数$c$，两个断言仍然成立:这是因为每个具有色数$k$的图都至少有一个平均度的子图$k-1$(推论5.2 .3 $)$)。
虽然上面的两个函数$c r \sqrt{\log r}$和$c r^2$对于上述“平均度”的含义来说是最好的(直到常数$c$)，但问题是它们是否仍然是“色数”的最佳可能-或者在这种情况下是否会有一些增长较慢的函数。这个关于增长率的问题背后隐藏的是一个关于不变量本质的基本问题$\chi$:这个不变量是否会对一个图形产生一些直接的结构影响，就强制混凝土子结构而言，或者它的影响并不比在某个地方有很多边的“非结构”性质更大，这是它微不足道的暗示?
无论是对于一般的还是对于拓扑的小分支，这个问题的答案都是未知的。然而，对于一般未成年人来说，哈德维格的以下猜想给出了一个肯定的答案:
猜想。(哈德维格，1943)
下面的含义适用于每个整数$r>0$和每个图$G$:
$$
\chi(G) \geqslant r \Rightarrow G \succcurlyeq K^r
$$
哈德维格的猜想对于$r \leqslant 2$来说是微不足道的，对于$r=3$和$r=4$(练习)来说是容易的，对于$r=5$和$r=6$来说等同于四色定理。对于$r \geqslant 7$，这个猜想是开放的，但对于线形图(练习35)和大周长的图(练习33;另见推论7.3.9)。换句话说就是$G \succcurlyeq K^{\chi(G)}$，它对几乎所有的图表都适用。${ }^3$一般来说，$r+1$的猜想意味着$r$(练习)。
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