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现代代数Modern Algebra这门学科的思想和方法几乎渗透到现代数学的每一个部分。此外，没有一门学科更适合培养处理抽象概念的能力，即理解和处理问题或学科的基本要素。这包括阅读数学的能力，提出正确的问题，解决问题，运用演绎推理，以及写出正确、切中要害、清晰的数学。

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数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|Congruence Classes

In connection with the relation of congruence modulo $n$, we have observed that there are $n$ distinct congruence classes. Let $\mathbf{Z}_n$ denote this set of classes:
$$
\mathbf{Z}_n={[0],[1],[2], \ldots,[n-1]} .
$$
When addition and multiplication are defined in a natural and appropriate manner in $\mathbf{Z}_n$, these sets provide useful examples for our work in later chapters.
Addition in $\mathbf{Z}_n$
Consider the rule given by
$$
[a]+[b]=[a+b]
$$
a. This rule defines an addition that is a binary operation on $\mathbf{Z}_n$.
b. Addition is associative in $\mathbf{Z}_n$ :
$$
[a]+([b]+[c])=([a]+[b])+[c] .
$$
c. Addition is commutative in $\mathbf{Z}_n$ :
$$
[a]+[b]=[b]+[a] .
$$
d. $\mathbf{Z}_n$ has the additive identity $[0]$.
e. Each $[a]$ in $\mathbf{Z}_n$ has $[-a]$ as its additive inverse in $\mathbf{Z}_n$.
Proof
a. It is clear that the rule $[a]+[b]=[a+b]$ yields an element of $\mathbf{Z}_n$, but the uniqueness of this result needs to be verified. In other words, closure is obvious, but we need to show that the operation is well-defined. To do this, suppose that $[a]=[x]$ and $[b]=[y]$. Then
$$
[a]=[x] \Rightarrow a \equiv x(\bmod n)
$$
and
$$
[b]=[y] \Rightarrow b \equiv y(\bmod n)
$$
By Theorem 2.24,
$$
a+b \equiv x+y(\bmod n),
$$
and therefore $[a+b]=[x+y]$.
b. The associative property follows from
$$
\begin{aligned}
{[a]+([b]+[c]) } & =[a]+[b+c] \
& =[a+(b+c)] \
& =[(a+b)+c] \
& =[a+b]+[c] \
& =([a]+[b])+[c] .
\end{aligned}
$$
Note that the key step here is the fact that addition is associative in $\mathbf{Z}$ :
$$
a+(b+c)=(a+b)+c .
$$
c. The commutative property follows from
$$
\begin{aligned}
{[a]+[b] } & =[a+b] \
& =[b+a] \
& =[b]+[a] .
\end{aligned}
$$
d. $[0]$ is the additive identity, since addition is commutative in $\mathbf{Z}_n$ and
$$
[a]+[0]=[a+0]=[a] .
$$
e. $[-a]=[n-a]$ is the additive inverse of $[a]$, since addition is commutative in $\mathbf{Z}_n$ and
$$
[-a]+[a]=[-a+a]=[0]
$$

数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|Introduction to Coding Theory (Optional)

In this section, we present some applications of congruence modulo $n$ found in basic coding theory. When information is transmitted from one satellite to another or stored and retrieved in a computer or on a compact disc, the information is usually expressed in some sort of code. The ASCII code (American Standard Code for Information Interchange) of 256 characters used in computers is one example. However, errors can occur during the transmission or retrieval processes. The detection and correction of such errors are the fundamental goals of coding theory.

In binary coding theory, we omit the brackets on the elements in $\mathbf{Z}_2$ and call ${0,1}$ the binary alphabet. $\mathrm{A} \mathrm{bit}^{\dagger}$ is an element of the binary alphabet. A word (or block) is a sequence of bits, where all words in a message have the same length; that is, they contain the same number of bits. Thus a 2-bit word is an element of $\mathbf{Z}_2 \times \mathbf{Z}_2$. For notational convenience, we omit the comma and parentheses in the 2-bit word $(a, b)$ and write $a b$, where $a \in{0,1}$ and $b \in{0,1}$. Thus
$\begin{array}{llll}000 & 010 & 001 & 011 \ 100 & 110 & 101 & 111\end{array}$
are all eight possible 3-bit words using the binary alphabet. There are thirty-two 5-bit words, so 5-bit words are frequently used to represent the 26 letters of our alphabet, along with 6 punctuation marks.

During the process of sending a message using $k$-bit words, one or more bits may be received incorrectly. It is essential that errors be detected and, if possible, corrected. The general idea is to generate a code, send the coded message, and then decode the coded message, as illustrated here:
$$
\text { message } \stackrel{\text { encode }}{\longrightarrow} \text { coded message } \stackrel{\text { send }}{\longrightarrow} \text { received message } \stackrel{\text { decode }}{\longrightarrow} \text { message. }
$$
Ideally, the code is devised in such a way as to detect and/or correct any errors in the received message. Most codes require appending extra bits to each $k$-bit word, forming an $n$-bit code word. The next example illustrates an error-detecting scheme.

现代代数代写

数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|Congruence Classes

关于同余模$n$的关系，我们观察到有$n$个不同的同余类。让$\mathbf{Z}_n$表示这组类:
$$
\mathbf{Z}_n={[0],[1],[2], \ldots,[n-1]} .
$$
当在$\mathbf{Z}_n$中以自然和适当的方式定义加法和乘法时，这些集合为我们后面章节的工作提供了有用的示例。
添加到$\mathbf{Z}_n$
考虑下面给出的规则
$$
[a]+[b]=[a+b]
$$
a.该规则定义了一个对$\mathbf{Z}_n$的二进制加法操作。
b.在$\mathbf{Z}_n$中，加法是关联的:
$$
[a]+([b]+[c])=([a]+[b])+[c] .
$$
c.在$\mathbf{Z}_n$中加法是可交换的:
$$
[a]+[b]=[b]+[a] .
$$
D. $\mathbf{Z}_n$具有加性特性$[0]$。
e. $\mathbf{Z}_n$中的每个$[a]$在$\mathbf{Z}_n$中都有$[-a]$作为其相加逆。
证明
a.很明显，规则$[a]+[b]=[a+b]$产生了一个元素$\mathbf{Z}_n$，但是这个结果的唯一性需要被验证。换句话说，闭包是显而易见的，但我们需要表明该操作是定义良好的。为此，假设$[a]=[x]$和$[b]=[y]$。然后
$$
[a]=[x] \Rightarrow a \equiv x(\bmod n)
$$
和
$$
[b]=[y] \Rightarrow b \equiv y(\bmod n)
$$
根据定理2.24，
$$
a+b \equiv x+y(\bmod n),
$$
因此$[a+b]=[x+y]$。
b.结合律由
$$
\begin{aligned}
{[a]+([b]+[c]) } & =[a]+[b+c] \
& =[a+(b+c)] \
& =[(a+b)+c] \
& =[a+b]+[c] \
& =([a]+[b])+[c] .
\end{aligned}
$$
请注意，这里的关键步骤是事实，加法是关联的$\mathbf{Z}$:
$$
a+(b+c)=(a+b)+c .
$$
c.可交换性由
$$
\begin{aligned}
{[a]+[b] } & =[a+b] \
& =[b+a] \
& =[b]+[a] .
\end{aligned}
$$
D. $[0]$是可加性恒等式，因为在$\mathbf{Z}_n$和
$$
[a]+[0]=[a+0]=[a] .
$$
E. $[-a]=[n-a]$是$[a]$的可加逆，因为在$\mathbf{Z}_n$和中加法是可交换的
$$
[-a]+[a]=[-a+a]=[0]
$$

数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|Introduction to Coding Theory (Optional)

在本节中，我们给出了在基本编码理论中发现的同余模$n$的一些应用。当信息从一颗卫星传送到另一颗卫星，或在计算机或光盘上存储和检索时，这些信息通常用某种代码表示。计算机中使用的256个字符的ASCII码(美国信息交换标准码)就是一个例子。但是，在传输或检索过程中可能会发生错误。这种错误的发现和纠正是编码理论的基本目标。

在二进制编码理论中，我们省略$\mathbf{Z}_2$中元素上的括号，并将${0,1}$称为二进制字母表。$\mathrm{A} \mathrm{bit}^{\dagger}$是二进制字母表中的一个元素。一个字(或块)是一个位序列，其中消息中的所有字都具有相同的长度;也就是说，它们包含相同的位数。因此，一个2位字是$\mathbf{Z}_2 \times \mathbf{Z}_2$的一个元素。为了表示方便，我们省略了2位字$(a, b)$中的逗号和括号，写成$a b$，其中$a \in{0,1}$和$b \in{0,1}$。因此
$\begin{array}{llll}000 & 010 & 001 & 011 \ 100 & 110 & 101 & 111\end{array}$
是使用二进制字母表的所有八个可能的3位字。一共有32个5位单词，所以5位单词通常用来代表字母表中的26个字母，以及6个标点符号。

在使用$k$ -bit字发送消息的过程中，可能会有一个或多个位接收错误。必须发现错误，并在可能的情况下予以纠正。总体思路是生成一个代码，发送编码信息，然后解码编码信息，如下所示:
$$
\text { message } \stackrel{\text { encode }}{\longrightarrow} \text { coded message } \stackrel{\text { send }}{\longrightarrow} \text { received message } \stackrel{\text { decode }}{\longrightarrow} \text { message. }
$$
理想情况下，代码被设计成能够检测和/或纠正接收到的消息中的任何错误。大多数代码需要在每个$k$ -bit字后面附加额外的位，形成一个$n$ -bit码字。下一个示例演示了一个错误检测方案。

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