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现代代数Modern Algebra这门学科的思想和方法几乎渗透到现代数学的每一个部分。此外，没有一门学科更适合培养处理抽象概念的能力，即理解和处理问题或学科的基本要素。这包括阅读数学的能力，提出正确的问题，解决问题，运用演绎推理，以及写出正确、切中要害、清晰的数学。
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数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|Postulates for the Integers (Optional)
The material in this chapter is concerned exclusively with integers. For this reason, we make a notational agreement that all variables represent integers. As our starting point, we shall take the system of integers as given and assume that the system of integers satisfies a certain list of basic axioms, or postulates. More precisely, we assume that there is a set $\mathbf{Z}$ of elements, called the integers, that satisfies the following conditions.
Postulates for the Set Z of Integers
Addition postulates. There is a binary operation defined in $\mathbf{Z}$ that is called addition, is denoted by + , and has the following properties:
a. $\mathbf{Z}$ is closed under addition.
b. Addition is associative.
c. $\mathbf{Z}$ contains an element 0 that is an identity element for addition.
d. For each $x \in \mathbf{Z}$, there is an additive inverse of $x$ in $\mathbf{Z}$, denoted by $-x$, such that $x+(-x)=0=(-x)+x$.
e. Addition is commutative.
Multiplication postulates. There is a binary operation defined in $\mathbf{Z}$ that is called multiplication, is denoted by $\cdot$, and has the following properties:
a. $\mathbf{Z}$ is closed under multiplication.
b. Multiplication is associative.
c. $\mathbf{Z}$ contains an element 1 that is different from 0 and that is an identity element for multiplication.
d. Multiplication is commutative.
The distributive law,
$$
x \cdot(y+z)=x \cdot y+x \cdot z
$$
holds for all elements $x, y, z \in \mathbf{Z}$.
$\mathbf{Z}$ contains a subset $\mathbf{Z}^{+}$, called the positive integers, that has the following properties:
a. $\mathbf{Z}^{+}$is closed under addition.
b. $\mathbf{Z}^{+}$is closed under multiplication.
c. For each $x$ in $\mathbf{Z}$, one and only one of the following statements is true.
i. $x \in \mathbf{Z}^{+}$
ii. $x=0$
iii. $-x \in \mathbf{Z}^{+}$
Induction postulate. If $S$ is a subset of $\mathbf{Z}^{+}$such that
a. $1 \in S$, and
b. $x \in S$ always implies $x+1 \in S$,
then $S=\mathbf{Z}^{+}$.
数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|Mathematical Induction
From this point on, full knowledge of the properties of addition, subtraction, and multiplication of integers is assumed. A study of divisibility begins in Section 2.3.
As mentioned in the last section, the induction postulate forms a basis for the method of proof known as mathematical induction. Some students may have encountered this method of proof in calculus or in other previous courses. In this case, it is possible to skip this section and continue with Section 2.3.
Proof by Mathematical Induction In a typical proof by induction, there is a statement $P_n$ to be proved true for every positive integer $n$. The proof consists of three steps:
- Basis Step The statement is verified for $n=1$.
- Induction Hypothesis The statement is assumed true for $n=k$.
- Inductive Step With this assumption made, the statement is then proved to be true for $n=k+1$.
The assumption that is made in step 2 is called the inductive assumption or the induction hypothesis.
Principle of Mathematical Induction
The logic of the method is that
a. if $P_n$ is true for $n=1$, and
b. if the truth of $P_k$ always implies that $P_{k+1}$ is true,
then the statement $P_n$ is true for all positive integers $n$. This logic fits the induction postulate perfectly if we let $S$ be the set of all positive integers $n$ for which $P_n$ is true. When the induction postulate is used in this form, it is frequently called the Principle of Mathematical Induction.
现代代数代写
数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|Postulates for the Integers (Optional)
本章的内容只与整数有关。出于这个原因，我们在符号上达成一致，即所有变量都表示整数。作为我们的出发点，我们将取一个给定的整数系统，并假定这个整数系统满足一系列基本公理或公设。更准确地说，我们假设存在一个元素集合$\mathbf{Z}$，称为整数，满足以下条件。
整数集合Z的公设
加法假设。在$\mathbf{Z}$中定义了一个二进制操作，称为加法，用+表示，并具有以下属性:
A. $\mathbf{Z}$在加法下封闭。
b.加法是结合律。
C. $\mathbf{Z}$包含一个用于加法的单位元素0。
d.对于每个$x \in \mathbf{Z}$, $\mathbf{Z}$中都有一个$x$的加性逆，用$-x$表示，使得$x+(-x)=0=(-x)+x$。
e.加法是可交换的。
乘法假设。在$\mathbf{Z}$中定义了一个称为乘法的二进制操作，用$\cdot$表示，并具有以下属性:
A. $\mathbf{Z}$在乘法下封闭。
b.乘法是结合律。
C. $\mathbf{Z}$包含一个不同于0的元素1，它是乘法的单位元素。
d.乘法是可交换的。
分配律，
$$
x \cdot(y+z)=x \cdot y+x \cdot z
$$
适用于所有元素$x, y, z \in \mathbf{Z}$。
$\mathbf{Z}$ 包含一个子集$\mathbf{Z}^{+}$，称为正整数，具有以下属性:
A. $\mathbf{Z}^{+}$在加法下封闭。
B. $\mathbf{Z}^{+}$在乘法下封闭。
c.对于$\mathbf{Z}$中的每个$x$，下列表述中有且只有一个是正确的。
一、$x \in \mathbf{Z}^{+}$
2$x=0$
3 $-x \in \mathbf{Z}^{+}$
归纳假设。如果$S$是$\mathbf{Z}^{+}$的子集，那么
A. $1 \in S$，和
B. $x \in S$总是暗示$x+1 \in S$;
然后$S=\mathbf{Z}^{+}$。
数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|Mathematical Induction
从这一点开始，我们假定学生已经完全掌握了整数的加法、减法和乘法的性质。第2.3节开始研究可除性。
正如上一节所提到的，归纳公设构成了证明方法的基础，即数学归纳法。有些学生可能在微积分或其他以前的课程中遇到过这种证明方法。在这种情况下，可以跳过本节，继续第2.3节。
在一个典型的归纳法证明中，对于每一个正整数$n$都有一个命题$P_n$要证明为真。证明包括三个步骤:
步骤验证$n=1$的语句。
对于$n=k$，假设该陈述为真。
有了这个假设，这个陈述就被证明对$n=k+1$是正确的。
在第二步中做出的假设被称为归纳假设或归纳假设。
数学归纳法原理
这个方法的逻辑是
A.如果$P_n$对于$n=1$是正确的，并且
B.如果$P_k$的真理总是暗示$P_{k+1}$是真的，
那么表述$P_n$对所有正整数$n$都成立。如果我们设$S$为所有正整数$n$的集合，且$P_n$为真，则这个逻辑完全符合归纳假设。当归纳公设以这种形式使用时，它通常被称为数学归纳法原理。
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