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抽样调查Survey sampling是主流统计的边缘。这里的特殊之处在于，我们有一个具有某些特征的有形物体集合，我们打算通过抓住其中一些物体并试图对那些未被触及的物体进行推断来窥探它们。这种推论传统上是基于一种概率论，这种概率论被用来探索观察到的事物与未观察到的事物之间的可能联系。这种概率不被认为是在统计学中，涵盖其他领域，以表征我们感兴趣的变量的单个值之间的相互关系。但这是由调查抽样调查人员通过任意指定的一种技术从具有预先分配概率的对象群体中选择样本而创建的。

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统计代写|抽样调查代考Survey sampling代写|Unbiased Estimation of $Y$

Let $E_1, V_1$ denote expectation variance operators for the sampling design in the first stage and $E_L, V_L$ those in the later stages. Let $R_i$ be independent variables satisfying
(a) $E_L\left(R_i\right)=Y_i$,
(b) $V_L\left(R_i\right)=V_i$ or
(c) $V_L\left(R_i\right)=V_{s i}$
and let there exist (b) $)^{\prime}$ random variables $v_i$ such that $E_L\left(v_i\right)=$ $V_i$ or (c)’ random variables $v_{s i}$ such that $E_L\left(v_{s i}\right)=V_{s i}$.

Let $E=E_1 E_L=E_L E_1$ be the overall expectation and $V=$ $E_1 V_L+V_1 E_L=E_L V_1+V_L E_1$ the overall variance operators. CHAUDHURI, ADHIKARI and DIHIDAR (2000a, 2000b) have illustrated how these commutativity assumptions may be valid in the context of survey sampling.
Let
$$
\begin{aligned}
t_b & =\sum b_{s i} I_{s i} Y_i, \
M_1\left(t_b\right) & =E_1\left(t_b-Y\right)^2=\sum \sum d_{i j} y_i y_j, \
d_{i j} & =E_1\left(b_{s i} I_{s i}-1\right)\left(b_{s j} I_{s j}-1\right),
\end{aligned}
$$

$d_{s i j}$ be constants free of $Y$ such that
$$
E_1\left(d_{s i j} I_{s i j}\right)=d_{i j} \forall_{i, j} \text { in } U .
$$
Let $w_i$ ‘s be certain non-zero constants. Then, one gets
$$
\begin{aligned}
M_1\left(t_b\right)= & -\sum \sum_{i<j} d_{i j} w_i w_j\left(\frac{Y_i}{w_i}-\frac{Y_j}{w_j}\right)^2 \
& +\sum \beta_i \frac{Y_i^2}{w_i} \text { when } \beta_i=\sum_{j=1}^N d_{i j} w_j .
\end{aligned}
$$

统计代写|抽样调查代考Survey sampling代写|PPSWR Sampling of First-Stage Units

First, from DES RAJ (1968) we note the following. Suppose a PPSWR sample of fsus is chosen in $n$ draws from $U$ using normed size measures $P_i\left(0<P_i<i, \Sigma P_i=1\right)$. Writing $y_r\left(p_r\right)$ for the $Y_i\left(p_i\right)$ value for the unit chosen on the $r$ th draw, $(r=$ $1, \ldots, n)$ the HANSEN-HURWITZ estimator
$$
t_{H H}=\frac{1}{n} \sum_{n=1}^n \frac{y_r}{p_r}
$$

might be used to estimate $Y$ because $E_p\left(t_{H H}\right)=Y$ if $Y_i$ could be ascertained. But since $Y_i$ ‘s are not ascertainable, suppose that each time an fsu $i$ appears in one of the $n$ independent draws by PPSWR method, an independent subsample of elements is selected in subsequent stages in such a manner that estimators $\hat{y}r$ for $y_r$ are available such that $E_L\left(\hat{y}_r\right)=y_r$ and $V_L\left(\hat{y}_r\right)=\sigma_r^2$ with uncorrelated $y_1, y_2, \ldots, y_n$. Then, DAS RAJ’s (1968) proposed estimator for $Y$ is $$ e_H=\frac{1}{n} \sum{r=1}^n \frac{\hat{y}r}{p_r} $$ for which the variance is $$ \begin{aligned} V\left(e_H\right) & =V_p\left(t{H H}\right)+E_p\left[\frac{1}{n^2} \sum_{r=1}^n \frac{\sigma_r^2}{p_r^2}\right] \
& =\frac{1}{n} \sum P_i\left(\frac{Y_i}{P_i}-Y\right)^2+\frac{1}{n} \sum_1^N \frac{\sigma_i^2}{P_i} \
& =V_H, \text { say. }
\end{aligned}
$$
It follows that
$$
\begin{aligned}
& v_H=\frac{1}{2 n^2(n-1)} \sum_{\substack{r=1 r^{\prime}=1 \
r \neq r^{\prime}}}^n\left(\frac{\hat{y}{r^{\prime}}}{p{r^{\prime}}}-\frac{\hat{y}r}{p_r}\right)^2 \ & r \neq r^{\prime} \ & \end{aligned} $$ is an unbiased estimator for $V_H$ because $$ \begin{aligned} E_l\left(v_H\right) & =\frac{1}{2 n^2(n-1)} \sum{r \neq r^{\prime}}\left[\frac{y_r^2}{p_r^2}+\frac{y_{r^{\prime}}^2}{p_{r^{\prime}}^2}+\frac{\sigma_r^2}{p_r^2}+\frac{\sigma_{r^{\prime}}^2}{p_{r^{\prime}}^2}-2 \frac{y_r}{p_r} \frac{y_{r^{\prime}}}{p_{r^{\prime}}}\right] \
E v_H & =E_p E_L\left(v_H\right)=\frac{1}{n}\left(\sum \frac{Y_i^2}{P_i}-Y^2\right)+\frac{1}{n} \sum \frac{\sigma_i^2}{P_i} \
& =\frac{1}{n} \sum P_i\left(\frac{Y_i}{P_i}-Y\right)^2+\frac{1}{n} \sum \frac{\sigma_i^2}{P_i}=V\left(e_H\right) .
\end{aligned}
$$

抽样调查代写

统计代写|抽样调查代考Survey sampling代写|Unbiased Estimation of $Y$

设$E_1, V_1$为第一阶段抽样设计的期望方差算子，$E_L, V_L$为后期抽样设计的期望方差算子。设$R_i$为自变量满足
(a) $E_L\left(R_i\right)=Y_i$;
(b) $V_L\left(R_i\right)=V_i$或
(c) $V_L\left(R_i\right)=V_{s i}$
假设存在(b) $)^{\prime}$随机变量$v_i$使得$E_L\left(v_i\right)=$$V_i$或(c)’随机变量$v_{s i}$使得$E_L\left(v_{s i}\right)=V_{s i}$。

设$E=E_1 E_L=E_L E_1$为总期望，$V=$$E_1 V_L+V_1 E_L=E_L V_1+V_L E_1$为总方差算子。CHAUDHURI, ADHIKARI和DIHIDAR (2000a, 2000b)已经说明了这些交换性假设如何在调查抽样的背景下有效。
让
$$
\begin{aligned}
t_b & =\sum b_{s i} I_{s i} Y_i, \
M_1\left(t_b\right) & =E_1\left(t_b-Y\right)^2=\sum \sum d_{i j} y_i y_j, \
d_{i j} & =E_1\left(b_{s i} I_{s i}-1\right)\left(b_{s j} I_{s j}-1\right),
\end{aligned}
$$

$d_{s i j}$ 使用不含$Y$的常量
$$
E_1\left(d_{s i j} I_{s i j}\right)=d_{i j} \forall_{i, j} \text { in } U .
$$
设$w_i$是非零常数。然后，我们得到
$$
\begin{aligned}
M_1\left(t_b\right)= & -\sum \sum_{i<j} d_{i j} w_i w_j\left(\frac{Y_i}{w_i}-\frac{Y_j}{w_j}\right)^2 \
& +\sum \beta_i \frac{Y_i^2}{w_i} \text { when } \beta_i=\sum_{j=1}^N d_{i j} w_j .
\end{aligned}
$$

统计代写|抽样调查代考Survey sampling代写|PPSWR Sampling of First-Stage Units

首先，从DES RAJ(1968)中我们注意到以下几点。假设使用规范尺寸测量$P_i\left(0<P_i<i, \Sigma P_i=1\right)$从$U$中选择fsus的PPSWR样本$n$。写入$y_r\left(p_r\right)$为$r$次抽奖中选择的单位的$Y_i\left(p_i\right)$值，$(r=$$1, \ldots, n)$为HANSEN-HURWITZ估计器
$$
t_{H H}=\frac{1}{n} \sum_{n=1}^n \frac{y_r}{p_r}
$$

可以用来估计$Y$，因为$E_p\left(t_{H H}\right)=Y$如果$Y_i$可以确定。但是，由于$Y_i$是不可确定的，假设每次fsu $i$出现在PPSWR方法的$n$独立抽取中，在随后的阶段以这样的方式选择元素的独立子样本，即$y_r$的估计量$\hat{y}r$可用，从而$E_L\left(\hat{y}r\right)=y_r$和$V_L\left(\hat{y}_r\right)=\sigma_r^2$与不相关的$y_1, y_2, \ldots, y_n$。然后，DAS RAJ(1968)提出$Y$的估计量为$$ e_H=\frac{1}{n} \sum{r=1}^n \frac{\hat{y}r}{p_r} $$，其方差为$$ \begin{aligned} V\left(e_H\right) & =V_p\left(t{H H}\right)+E_p\left[\frac{1}{n^2} \sum{r=1}^n \frac{\sigma_r^2}{p_r^2}\right] \
& =\frac{1}{n} \sum P_i\left(\frac{Y_i}{P_i}-Y\right)^2+\frac{1}{n} \sum_1^N \frac{\sigma_i^2}{P_i} \
& =V_H, \text { say. }
\end{aligned}
$$
由此得出
$$
\begin{aligned}
& v_H=\frac{1}{2 n^2(n-1)} \sum_{\substack{r=1 r^{\prime}=1 \
r \neq r^{\prime}}}^n\left(\frac{\hat{y}{r^{\prime}}}{p{r^{\prime}}}-\frac{\hat{y}r}{p_r}\right)^2 \ & r \neq r^{\prime} \ & \end{aligned} $$是$V_H$的无偏估计量，因为 $$ \begin{aligned} E_l\left(v_H\right) & =\frac{1}{2 n^2(n-1)} \sum{r \neq r^{\prime}}\left[\frac{y_r^2}{p_r^2}+\frac{y_{r^{\prime}}^2}{p_{r^{\prime}}^2}+\frac{\sigma_r^2}{p_r^2}+\frac{\sigma_{r^{\prime}}^2}{p_{r^{\prime}}^2}-2 \frac{y_r}{p_r} \frac{y_{r^{\prime}}}{p_{r^{\prime}}}\right] \
E v_H & =E_p E_L\left(v_H\right)=\frac{1}{n}\left(\sum \frac{Y_i^2}{P_i}-Y^2\right)+\frac{1}{n} \sum \frac{\sigma_i^2}{P_i} \
& =\frac{1}{n} \sum P_i\left(\frac{Y_i}{P_i}-Y\right)^2+\frac{1}{n} \sum \frac{\sigma_i^2}{P_i}=V\left(e_H\right) .
\end{aligned}
$$

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