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有限元方法finite differences method提供了一种系统的方法来推导简单子区域的近似函数，通过这些近似函数可以表示几何上复杂的区域。在有限元法中，近似函数是分段多项式(即只在子区域上定义的多项式，称为单元)。
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数学代写|有限元代写Finite Element Method代考|Explicit and Implicit Formulations and Mass Lumping
The solution of the fully discretized equations of parabolic equations and hyperbolic equations (after assembly and imposition of boundary and initial conditions) require the inversion of $\hat{\mathbf{K}}$ appearing in Eqs. (7.4.29a) and (7.4.37a) to march forward in time and find the solution at different times. This can be an enormous computational expense, depending on the size of the mesh and the number of time steps. For example, if one needs to solve these equations for 1,000 time steps, the cost is equivalent to solving 1,000 static problems. Thus, it is of practical interest to find ways to reduce the computational cost. It is clear that if the element $\hat{\mathbf{K}}^e$ were a diagonal matrix, then the assembled or global coefficient matrix $\hat{\mathbf{K}}$ would be diagonal, and there is no inversion required to solve for $u_i^{s+1}$ (i.e., simply divide each equation with the diagonal element):
$$
U_i^{s+1}=\frac{1}{\hat{K}{(i i)}}\left(\sum{j=1}^{N E Q} \bar{K}_{i j} U_j^s+\bar{F}_i^{s, s+1}\right) \quad(\text { no sum on } i)
$$
Formulations that require the inversion of $\hat{\mathbf{K}}$ (because it is not diagonal) are termed implicit formulations and those in which no inversion is required are called explicit formulations.
In the finite element method, no time-approximation scheme results in a diagonal matrix $\hat{\mathbf{K}}$ because matrices $\mathbf{C}$ and/or $\mathbf{M}$ appearing in $\hat{\mathbf{K}}$ are not diagonal matrices. A matrix ( $\mathbf{C}$ or $\mathbf{M}$ ) computed according to the definition is called a consistent (mass) matrix, and it is not diagonal unless the approximation functions $\psi_i$ are orthogonal over the element domain. In realworld problems where hundreds of thousands of degrees of freedom are involved, the cost of computation precludes the inversion of large systems of equations. Thus, one needs to pick a scheme that eliminates $\mathbf{K}$ from $\hat{\mathbf{K}}$
(because, it would be a gross approximation to diagonalize $\mathbf{K}$ ) and then diagonalize $\mathbf{C}$ and/or $\mathbf{M}$ to have an explicit formulation.
For example, the forward difference scheme (i.e., $\alpha=0$ ) results in the following time-marching scheme [see Eq. (7.4.29a)]:
$$
\mathbf{C U}^{s+1}=(\mathbf{C}-\Delta t \mathbf{K}) \mathbf{U}^s+\Delta t \mathbf{F}^s
$$
If the matrix $\mathbf{C}$ is diagonal then the assembled equations can be solved directly (i.e., without inverting a matrix). Similarly, the central difference scheme for an undamped system (i.e., $\mathbf{C}=0$ ) is [see Eq. (7.4.42)]
$$
\mathbf{M U}^{s+1}=(\Delta t)^2 \mathbf{F}^{s+1}+\left(2 \mathbf{M}-(\Delta t)^2 \mathbf{K}\right) \mathbf{U}^s-\mathbf{M} \dot{U}^s
$$
which requires diagonalization of $\mathbf{M}$ (and $\mathbf{C}$, in the case of a damped system) in order for the central difference formulation to be explicit. The explicit nature of Eq. (7.4.48) motivated analysts to find rational ways of making $\mathbf{C}$ and/or $\mathbf{M}$ diagonal. There are several ways of constructing diagonal mass matrices by lumping the mass at the nodes, while preserving the total mass. Two such approaches are discussed next.
数学代写|有限元代写Finite Element Method代考|Row-sum lumping
The sum of the elements of each row of the consistent (mass) matrix is used as the diagonal element and setting the off-diagonal elements to zero [(ii) means no sum on $i]$ :
$$
M_{(i i)}^e=\sum_{j=1}^n \int_{x_a^e}^{x_b^e} \rho \psi_i^e \psi_j^e d x=\int_{x_a^e}^{x_b^e} \rho \psi_i^e d x
$$
where the property $\sum_{j=1}^n \psi_j^e=1$ of the interpolation functions is used.
When $\rho_e$ is element-wise constant, the consistent matrices associated with the linear and quadratic 1-D elements are
$$
\mathbf{M}_{\mathrm{C}}^e=\frac{\rho_e A_e h_e}{6}\left[\begin{array}{ll}
2 & 1 \
1 & 2
\end{array}\right], \quad \mathbf{M}_C^e=\frac{\rho_e A_e h_e}{30}\left[\begin{array}{rcr}
4 & 2 & -1 \
2 & 16 & 2 \
-1 & 2 & 4
\end{array}\right]
$$
As per Eq. (7.4.51), the associated diagonal matrices for the linear and quadratic elements are
$$
\mathbf{M}_L^e=\frac{\rho_e A_e h_e}{2}\left[\begin{array}{ll}
1 & 0 \
0 & 1
\end{array}\right], \quad \mathbf{M}_L^e=\frac{\rho_e A_e h_e}{6}\left[\begin{array}{lll}
1 & 0 & 0 \
0 & 4 & 0 \
0 & 0 & 1
\end{array}\right]
$$
Here subscripts $L$ and $C$ refer to lumped and consistent mass matrices, respectively.
The consistent mass matrix for the Euler-Bernoulli beam is given in Eq. (7.3.57). The row-sum diagonal mass matrix is obtained in two ways: (a) neglecting the terms corresponding to the rotational degrees of freedom in each row and (b) neglecting the terms corresponding to the rotational degrees of freedom in rows 1 and 3 and neglecting the terms associated with the translational degrees of freedom in rows in 2 and 4 :
$$
\mathbf{M}_L^e=\frac{\rho_e A_e h_e}{2}\left[\begin{array}{llll}
1 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 1 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right], \quad \hat{\mathbf{M}}_L^e=\frac{\rho_e A_e h_e}{420}\left[\begin{array}{rrrr}
210 & 0 & 0 & 0 \
0 & h_e^2 & 0 & 0 \
0 & 0 & 210 & 0 \
0 & 0 & 0 & h_e^2
\end{array}\right]
$$
The consistent mass matrix of the Timoshenko beam theory is given in Eq. (7.3.63b). The lumped mass matrices for the Timoshenko beam are
$$
\mathbf{M}_L^e=\frac{\rho_e A_e h_e}{2}\left[\begin{array}{llll}
1 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 1 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right], \quad \hat{\mathbf{M}}_L^e=\frac{\rho_e A_e h_e}{2}\left[\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & 0 \
0 & r_e & 0 & 0 \
0 & 0 & 1 & 0 \
0 & 0 & 0 & r_e
\end{array}\right], \quad r_e=\frac{I_e}{A_e}
$$
有限元代写
数学代写|有限元代写Finite Element Method代考|Explicit and Implicit Formulations and Mass Lumping
抛物线型方程和双曲型方程的完全离散方程(在装配和施加边界和初始条件之后)的解需要方程中出现$\hat{\mathbf{K}}$的反转。(7.4.29a)和(7.4.37a)，以便及时向前推进，并在不同的时间找到解决方案。这可能是一个巨大的计算费用，取决于网格的大小和时间步骤的数量。例如，如果需要用1000个时间步解这些方程，其代价相当于解决1000个静态问题。因此，寻找降低计算成本的方法具有实际意义。很明显，如果元素$\hat{\mathbf{K}}^e$是对角矩阵，那么组装或全局系数矩阵$\hat{\mathbf{K}}$将是对角的，并且不需要求解$u_i^{s+1}$的反转(即，只需将每个方程与对角元素相除):
$$
U_i^{s+1}=\frac{1}{\hat{K}{(i i)}}\left(\sum{j=1}^{N E Q} \bar{K}_{i j} U_j^s+\bar{F}_i^{s, s+1}\right) \quad(\text { no sum on } i)
$$
需要$\hat{\mathbf{K}}$反转(因为它不是对角线)的公式称为隐式公式，而不需要反转的公式称为显式公式。
在有限元法中，没有时间逼近方案产生对角矩阵$\hat{\mathbf{K}}$，因为在$\hat{\mathbf{K}}$中出现的矩阵$\mathbf{C}$和/或$\mathbf{M}$不是对角矩阵。根据定义计算的矩阵($\mathbf{C}$或$\mathbf{M}$)称为一致(质量)矩阵，除非近似函数$\psi_i$在元素域上正交，否则它不是对角的。在涉及数十万个自由度的现实问题中，计算成本排除了大型方程组的反转。因此，需要选择一个从$\hat{\mathbf{K}}$中消除$\mathbf{K}$的方案
(因为，这将是对角化$\mathbf{K}$的粗略近似值)，然后对角化$\mathbf{C}$和/或$\mathbf{M}$以获得显式公式。
例如，前向差分方案(即$\alpha=0$)得到如下时间推进方案[见式(7.4.29a)]:
$$
\mathbf{C U}^{s+1}=(\mathbf{C}-\Delta t \mathbf{K}) \mathbf{U}^s+\Delta t \mathbf{F}^s
$$
如果矩阵$\mathbf{C}$是对角的，则可以直接求解组合方程(即，无需逆矩阵)。同样，无阻尼系统(即$\mathbf{C}=0$)的中心差分格式为[见式(7.4.42)]
$$
\mathbf{M U}^{s+1}=(\Delta t)^2 \mathbf{F}^{s+1}+\left(2 \mathbf{M}-(\Delta t)^2 \mathbf{K}\right) \mathbf{U}^s-\mathbf{M} \dot{U}^s
$$
这需要对角化$\mathbf{M}$(和$\mathbf{C}$，在阻尼系统的情况下)，以便中心差分公式是明确的。(7.4.48)式的明确性质促使分析人员找到使$\mathbf{C}$和/或$\mathbf{M}$对角线的合理方法。有几种构造对角线质量矩阵的方法，即在保持总质量的同时，对节点处的质量进行集中。下面将讨论两种这样的方法。
数学代写|有限元代写Finite Element Method代考|Row-sum lumping
将一致性(质量)矩阵的每一行元素之和作为对角元素，将非对角元素设置为零[(ii)表示在$i]$上不求和:
$$
M_{(i i)}^e=\sum_{j=1}^n \int_{x_a^e}^{x_b^e} \rho \psi_i^e \psi_j^e d x=\int_{x_a^e}^{x_b^e} \rho \psi_i^e d x
$$
其中使用了插值函数的$\sum_{j=1}^n \psi_j^e=1$属性。
当$\rho_e$为元素常量时，与线性和二次一维元素相关联的一致矩阵为
$$
\mathbf{M}_{\mathrm{C}}^e=\frac{\rho_e A_e h_e}{6}\left[\begin{array}{ll}
2 & 1 \
1 & 2
\end{array}\right], \quad \mathbf{M}_C^e=\frac{\rho_e A_e h_e}{30}\left[\begin{array}{rcr}
4 & 2 & -1 \
2 & 16 & 2 \
-1 & 2 & 4
\end{array}\right]
$$
根据式(7.4.51)，线性元素和二次元素的对角矩阵为
$$
\mathbf{M}_L^e=\frac{\rho_e A_e h_e}{2}\left[\begin{array}{ll}
1 & 0 \
0 & 1
\end{array}\right], \quad \mathbf{M}_L^e=\frac{\rho_e A_e h_e}{6}\left[\begin{array}{lll}
1 & 0 & 0 \
0 & 4 & 0 \
0 & 0 & 1
\end{array}\right]
$$
这里的下标$L$和$C$分别表示集总质量矩阵和一致质量矩阵。
欧拉-伯努利梁的一致质量矩阵如式(7.3.57)所示。行和对角质量矩阵有两种获得方式:(a)忽略每一行旋转自由度对应的项;(b)忽略第1、3行旋转自由度对应的项，忽略第2、4行平移自由度相关的项;
$$
\mathbf{M}_L^e=\frac{\rho_e A_e h_e}{2}\left[\begin{array}{llll}
1 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 1 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right], \quad \hat{\mathbf{M}}_L^e=\frac{\rho_e A_e h_e}{420}\left[\begin{array}{rrrr}
210 & 0 & 0 & 0 \
0 & h_e^2 & 0 & 0 \
0 & 0 & 210 & 0 \
0 & 0 & 0 & h_e^2
\end{array}\right]
$$
Timoshenko梁理论的一致质量矩阵如式(7.3.63b)所示。Timoshenko梁的集总质量矩阵为
$$
\mathbf{M}_L^e=\frac{\rho_e A_e h_e}{2}\left[\begin{array}{llll}
1 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 1 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right], \quad \hat{\mathbf{M}}_L^e=\frac{\rho_e A_e h_e}{2}\left[\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & 0 \
0 & r_e & 0 & 0 \
0 & 0 & 1 & 0 \
0 & 0 & 0 & r_e
\end{array}\right], \quad r_e=\frac{I_e}{A_e}
$$
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微观经济学代写
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线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。