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复分析Complex analysis一个函数的 “极点”（或孤立的奇点）是指该函数的值变得无界，或 “爆炸 “的一个点。如果一个函数有这样一个极点，那么人们可以在那里计算函数的残差，这可以用来计算涉及该函数的路径积分；这就是强大的残差定理的内容。皮卡德定理描述了全形函数在基本奇点附近的显著行为。只有极点而没有基本奇点的函数被称为经态函数。劳伦特级数是与泰勒级数相当的复值级数，但可以通过更容易理解的函数（如多项式）的无限和来研究奇点附近的函数行为。
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数学代写|复分析代写Complex analysis代考|The Cauchy Theorem for a Triangle
At the end of the nineteenth century, amongst many different versions of Cauchy’s Theorem, a most ingenious proof for a triangular contour was conceived by Eliakim Hastings Moore. Earlier proofs usually insisted that the function $f$ should have a continuous derivative $f^{\prime}$. By restricting the contour to a triangle, Moore’s proof requires only that $f^{\prime}$ exists throughout $D$. It therefore provides a suitable basis for the development of the theory for all differentiable functions.
For $z_1, z_2, z_3 \in \mathbb{C}$, let $T\left(z_1, z_2, z_3\right)$ be the set of points inside and on the triangle with vertices $z_1, z_2, z_3$. Formally,
$$
T\left(z_1, z_2, z_3\right)=\left{z \in \mathbb{C}: z=\lambda_1 z_1+\lambda_2 z_2+\lambda_3 z_3, \lambda_j \in \mathbb{R}, \lambda_j \geq 0, \lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1\right}
$$
where $j=1,2,3$.
The boundary contour of the triangle, composed of the three line segments that form its sides, is
$$
\partial T\left(z_1, z_2, z_3\right)=\left[z_1, z_2\right]+\left[z_2, z_3\right]+\left[z_3, z_1\right]
$$
Whenever there is no confusion we denote the triangle by $T$ and its boundary by $\partial T$.
THEOREM 8.1 (Cauchy’s Theorem for a Triangle). Letf be a differentiable function in a domain D. If the triangle T lies in D, as in Figure 8.4, then $\int_{\partial T} f=0$.
Proof. Let $\left|\int_{\partial T} f\right|=c \geq 0$.
We prove that $c=0$ by an indirect argument. First we subdivide $T$ into four smaller triangles $T^{(1)}, T^{(2)}, T^{(3)}, T^{(4)}$ by joining the midpoints of the sides as in Figure 8.5.
We know that
$$
\int_{\partial T} f=\sum_{r=1}^4 \int_{\partial T^{(r)}} f
$$
Therefore
$$
c=\left|\int_{\partial T} f\right| \leq \sum_{r=1}^4\left|\int_{\partial T^{(r)}} f\right|
$$
so we must be able to choose $r$ such that
$$
\left|\int_{\partial T^{(r)}} f\right| \geq \frac{c}{4}
$$
(If more than one $r$ satisfies this inequality, choose any of those – say the one with smallest $r$.) Define $T_1=T^{(r)}$. Then
$$
\left|\int_{\partial T_1} f\right| \geq \frac{c}{4} \quad \text { and } \quad L\left(\partial T_1\right)=\frac{1}{2} L(\partial T)
$$
Repeat this process of subdivision to get a sequence of triangles
$$
T \supseteq T_1 \supseteq T_2 \supseteq \cdots \supseteq T_n \cdots
$$
satisfying
$$
\left|\int_{\partial T_n} f\right| \geq\left(\frac{1}{4}\right)^n c \quad \text { and } \quad L\left(\partial T_1\right)=\left(\frac{1}{2}\right)^n L(\partial T)
$$
数学代写|复分析代写Complex analysis代考|Existence of an Antiderivative in a Star Domain
We begin with a formal definition, previewed in the introduction to this chapter:
DEFINITION 8.2. A domain $D$ is a star domain if there exists $z_* \in D$, called a star centre, such that for all $z \in D$ the straight line segment $\left[z_*, z\right]$ lies in $D$.
(A star centre need not be unique. For example, a disc is a star domain and every point in the disc is a star centre.)
In a star domain there is an obvious candidate for an antiderivative of a function $f$, namely the integral $F(z)=\int_{\left[z_*, z\right]} f$. We now show that this is indeed an antiderivative, by applying Theorem 8.1 .
THEOREM 8.3. Iff is differentiable in a star domain $D$ with star centre $z_$, then $F(z)=$ $\int_{\left[z_, z\right]} f$ is an antiderivative off in $D$.
Proof. The domain $D$ is open, so for any $z_1 \in D$ there exists $\varepsilon_1>0$ such that $N_{\varepsilon_1}\left(z_1\right) \subseteq D$. If $|h|<\varepsilon_1$, the triangle $T\left(z_, z_1, z_1+h\right)$ lies entirely in $D$, Figure 8.6. Now Theorem 8.1 gives $$ \int_{\left[z_, z_1\right]} f+\int_{\left[z_1, z_1+h\right]} f+\int_{\left[z_1+h, z_*\right]} f=0
$$
This can be written as
$$
F\left(z_1\right)+\int_{\left[z_1, z_1+h\right]} f-F\left(z_1+h\right)=0
$$
or
$$
\frac{F\left(z_1\right)-F\left(z_1+h\right)}{h}=\frac{1}{h} \int_{\left[z_1, z_1+h\right]} f
$$
The proof now proceeds in the same manner as Theorem 6.44. For a constant $c \in \mathbb{C}$,
$$
\int_{\left[z_1, z_1+h\right]} c \mathrm{~d} z=c h
$$
hence
$$
\frac{F\left(z_1\right)-F\left(z_1+h\right)}{h}-f\left(z_1\right)=\int_{\left[z_1, z_1+h\right]} \frac{f(z)-f\left(z_1\right)}{h} \mathrm{~d} z
$$
复分析代写
数学代写|复分析代写Complex analysis代考|The Cauchy Theorem for a Triangle
19世纪末，在柯西定理的许多不同版本中，埃利亚基姆·黑斯廷斯·摩尔(Eliakim Hastings Moore)提出了一个最巧妙的证明三角形轮廓的方法。早期的证明通常坚持认为函数$f$应该有一个连续的导数$f^{\prime}$。通过将等高线限制为三角形，摩尔的证明只需要$f^{\prime}$存在于$D$。因此，它为所有可微函数的理论发展提供了一个合适的基础。
对于$z_1, z_2, z_3 \in \mathbb{C}$，设$T\left(z_1, z_2, z_3\right)$为顶点为$z_1, z_2, z_3$的三角形内部和上面的点的集合。正式地说，
$$
T\left(z_1, z_2, z_3\right)=\left{z \in \mathbb{C}: z=\lambda_1 z_1+\lambda_2 z_2+\lambda_3 z_3, \lambda_j \in \mathbb{R}, \lambda_j \geq 0, \lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1\right}
$$
在哪里$j=1,2,3$。
三角形的边界轮廓由三条线段组成，这三条线段构成三角形的边
$$
\partial T\left(z_1, z_2, z_3\right)=\left[z_1, z_2\right]+\left[z_2, z_3\right]+\left[z_3, z_1\right]
$$
只要没有混淆，我们就用$T$表示三角形，用$\partial T$表示它的边界。
定理8.1(三角形的柯西定理)。设为定义域D中的一个可微函数。如果三角形T位于D中，如图8.4所示，则$\int_{\partial T} f=0$。
证明。让$\left|\int_{\partial T} f\right|=c \geq 0$。
我们通过间接论证证明$c=0$。首先，我们将$T$细分为四个更小的三角形$T^{(1)}, T^{(2)}, T^{(3)}, T^{(4)}$，如图8.5所示，通过连接各边的中点。
我们知道
$$
\int_{\partial T} f=\sum_{r=1}^4 \int_{\partial T^{(r)}} f
$$
因此
$$
c=\left|\int_{\partial T} f\right| \leq \sum_{r=1}^4\left|\int_{\partial T^{(r)}} f\right|
$$
所以我们必须能够选择$r$这样
$$
\left|\int_{\partial T^{(r)}} f\right| \geq \frac{c}{4}
$$
(如果不止一个$r$满足这个不等式，选择其中任何一个——比如最小的$r$。)定义$T_1=T^{(r)}$。然后
$$
\left|\int_{\partial T_1} f\right| \geq \frac{c}{4} \quad \text { and } \quad L\left(\partial T_1\right)=\frac{1}{2} L(\partial T)
$$
重复这个细分过程，得到一个三角形序列
$$
T \supseteq T_1 \supseteq T_2 \supseteq \cdots \supseteq T_n \cdots
$$
令人满意的
$$
\left|\int_{\partial T_n} f\right| \geq\left(\frac{1}{4}\right)^n c \quad \text { and } \quad L\left(\partial T_1\right)=\left(\frac{1}{2}\right)^n L(\partial T)
$$
数学代写|复分析代写Complex analysis代考|Existence of an Antiderivative in a Star Domain
我们从一个正式的定义开始，在本章的介绍中预览:
8.2.定义如果存在$z_* \in D$，则域$D$是星型域，称为星型中心，因此对于所有$z \in D$，直线段$\left[z_*, z\right]$位于$D$。
(一个明星中心不一定是唯一的。例如，圆盘是一个星域，圆盘上的每个点都是一个星中心。)
在星形域中，有一个函数$f$的不定积分的明显候选者，即积分$F(z)=\int_{\left[z_*, z\right]} f$。现在我们用8.1定理证明这确实是一个不定积分。
定理8.3。它在星域内是可微的 $D$ 以星星为中心 $z_$那么， $F(z)=$ $\int_{\left[z_, z\right]} f$ 不定积分在 $D$．
证明。域 $D$ 是开放的，有吗 $z_1 \in D$ 存在 $\varepsilon_1>0$ 这样 $N_{\varepsilon_1}\left(z_1\right) \subseteq D$． 如果 $|h|<\varepsilon_1$，三角形 $T\left(z_, z_1, z_1+h\right)$ 完全在于 $D$，图8.6。现在定理8.1给出 $$ \int_{\left[z_, z_1\right]} f+\int_{\left[z_1, z_1+h\right]} f+\int_{\left[z_1+h, z_*\right]} f=0
$$
可以写成
$$
F\left(z_1\right)+\int_{\left[z_1, z_1+h\right]} f-F\left(z_1+h\right)=0
$$
或
$$
\frac{F\left(z_1\right)-F\left(z_1+h\right)}{h}=\frac{1}{h} \int_{\left[z_1, z_1+h\right]} f
$$
现在证明的方法与定理6.44相同。对于一个常数 $c \in \mathbb{C}$，
$$
\int_{\left[z_1, z_1+h\right]} c \mathrm{~d} z=c h
$$
因此
$$
\frac{F\left(z_1\right)-F\left(z_1+h\right)}{h}-f\left(z_1\right)=\int_{\left[z_1, z_1+h\right]} \frac{f(z)-f\left(z_1\right)}{h} \mathrm{~d} z
$$
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线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。