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统计推断Statistical Inference指的是一个研究领域，我们在面对不确定性的情况下，根据我们观察到的数据，试图推断世界的未知特性。它是一个数学框架，在许多情况下量化我们的常识所说的话，但在常识不够的情况下，它允许我们超越常识。对正确的统计推断的无知会导致错误的决策和浪费金钱。就像对其他领域的无知一样，对统计推断的无知也会让别人操纵你，让你相信一些错误的事情是正确的。

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统计代写|统计推断代考Statistical Inference代写|Sufficient Statistics

A sufficient statistic is formally defined in the following way.
Definition 6.2.1 $\quad$ A statistic $T(\mathbf{X})$ is a sufficient statistic for $\theta$ if the conditional distribution of the sample $\mathbf{X}$ given the value of $T(\mathbf{X})$ does not depend on $\theta$.

If $T(\mathbf{X})$ has a continuous distribution, then $P_\theta(T(\mathbf{X})=t)=0$ for all values of $t$. A more sophisticated notion of conditional probability than that introduced in Chapter 1 is needed to fully understand Definition 6.2.1 in this case. A discussion of this can be found in more advanced texts such as Lehmann (1986). We will do our calculations in the discrete case and will point out analogous results that are true in the continuous case.

To understand Definition 6.2.1, let $t$ be a possible value of $T(\mathbf{X})$, that is, a value such that $P_\theta(T(\mathbf{X})=t)>0$. We wish to consider the conditional probability $P_\theta(\mathbf{X}=$ $\mathbf{x} \mid T(\mathbf{X})=t)$. If $\mathbf{x}$ is a sample point such that $T(\mathbf{x}) \neq t$, then clearly $P_\theta(\mathbf{X}=\mathbf{x} \mid T(\mathbf{X})=$ $t)=0$. Thus, we are interested in $P(\mathbf{X}=\mathbf{x} \mid T(\mathbf{X})=T(\mathbf{x}))$. By the definition, if $T(\mathbf{X})$ is a sufficient statistic, this conditional probability is the same for all values of $\theta$ so we have omitted the subscript.

A sufficient statistic captures all the information about $\theta$ in this sense. Consider Experimenter 1, who observes $\mathbf{X}=\mathbf{x}$ and, of course, can compute $T(\mathbf{X})=T(\mathbf{x})$. To make an inference about $\theta$ he can use the information that $\mathbf{X}=\mathbf{x}$ and $T(\mathbf{X})=T(\mathbf{x})$. Now consider Experimenter 2, who is not told the value of $\mathbf{X}$ but only that $T(\mathbf{X})=$ $T(\mathbf{x})$. Experimenter 2 knows $P(\mathbf{X}=\mathbf{y} \mid T(\mathbf{X})=T(\mathbf{x}))$, a probability distribution on

$A_{T(\mathbf{x})}={\mathbf{y}: T(\mathbf{y})=T(\mathbf{x})}$, because this can be computed from the model without knowledge of the true value of $\theta$. Thus, Experimenter 2 can use this distribution and a randomization device, such as a random number table, to generate an observation $\mathbf{Y}$ satisfying $P(\mathbf{Y}=\mathbf{y} \mid T(\mathbf{X})=T(\mathbf{x}))=P(\mathbf{X}=\mathbf{y} \mid T(\mathbf{X})=T(\mathbf{x}))$. It turns out that, for each value of $\theta, \mathbf{X}$ and $\mathbf{Y}$ have the same unconditional probability distribution, as we shall see below. So Experimenter 1, who knows $\mathbf{X}$, and Experimenter 2, who knows $\mathbf{Y}$, have equivalent information about $\theta$. But surely the use of the random number table to generate $\mathbf{Y}$ has not added to Experimenter 2’s knowledge of $\theta$. All his knowledge about $\theta$ is contained in the knowledge that $T(\mathbf{X})=T(\mathbf{x})$. So Experimenter 2, who knows only $T(\mathbf{X})=T(\mathbf{x})$, has just as much information about $\theta$ as does Experimenter 1 , who knows the entire sample $\mathbf{X}=\mathbf{x}$.

To complete the above argument, we need to show that $\mathbf{X}$ and $\mathbf{Y}$ have the same unconditional distribution, that is, $P_\theta(\mathbf{X}=\mathbf{x})=P_\theta(\mathbf{Y}=\mathbf{x})$ for all $\mathbf{x}$ and $\theta$. Note that the events ${\mathbf{X}=\mathbf{x}}$ and ${\mathbf{Y}=\mathbf{x}}$ are both subsets of the event ${T(\mathbf{X})=T(\mathbf{x})}$. Also recall that
$$
P(\mathbf{X}=\mathbf{x} \mid T(\mathbf{X})=T(\mathbf{x}))=P(\mathbf{Y}=\mathbf{x} \mid T(\mathbf{X})=T(\mathbf{x}))
$$
and these conditional probabilities do not depend on $\theta$. Thus we have
$$
\begin{aligned}
P_\theta(\mathbf{X} & =\mathbf{x}) \
& =P_\theta(\mathbf{X}=\mathbf{x} \text { and } T(\mathbf{X})=T(\mathbf{x})) \
& =P(\mathbf{X}=\mathbf{x} \mid T(\mathbf{X})=T(\mathbf{x})) P_\theta(T(\mathbf{X})=T(\mathbf{x})) \quad\left(\begin{array}{c}
\text { definition of } \
\text { conditional probability }
\end{array}\right) \
& =P(\mathbf{Y}=\mathbf{x} \mid T(\mathbf{X})=T(\mathbf{x})) P_\theta(T(\mathbf{X})=T(\mathbf{x})) \
& =P_\theta(\mathbf{Y}=\mathbf{x} \text { and } T(\mathbf{X})=T(\mathbf{x})) \
& =P_\theta(\mathbf{Y}=\mathbf{x}) .
\end{aligned}
$$

统计代写|统计推断代考Statistical Inference代写|Ancillary Statistics

In the preceding sections, we considered sufficient statistics. Such statistics, in a sense, contain all the information about $\theta$ that is available in the sample. In this section we introduce a different sort of statistic, one that has a complementary purpose.

Definition 6.2.16 A statistic $S(\mathbf{X})$ whose distribution does not depend on the parameter $\theta$ is called an ancillary statistic.

Alone, an ancillary statistic contains no information about $\theta$. An ancillary statistic is an observation on a random variable whose distribution is fixed and known, unrelated to $\theta$. Paradoxically, an ancillary statistic, when used in conjunction with other statistics, sometimes does contain valuable information for inferences about $\theta$. We will investigate this behavior in the next section. For now, we just give some examples of ancillary statistics.

Example 6.2.17 (Uniform ancillary statistic) As in Example 6.2.15, let $X_1, \ldots, X_n$ be iid uniform observations on the interval $(\theta, \theta+1),-\infty<\theta<\infty$. Let $X_{(1)}<\cdots<X_{(n)}$ be the order statistics from the sample. We show below that the range statistic, $R=X_{(n)}-X_{(1)}$, is an ancillary statistic by showing that the pdf of $R$ does not depend on $\theta$. Recall that the cdf of each $X_i$ is
$$
F(x \mid \theta)= \begin{cases}0 & x \leq \theta \ x-\theta & \theta<x<\theta+1 \ 1 & \theta+1 \leq x\end{cases}
$$
Thus, the joint pdf of $X_{(1)}$ and $X_{(n)}$, as given by (5.5.7), is
$$
g\left(x_{(1)}, \boldsymbol{x}{(n)} \mid \theta\right)= \begin{cases}n(n-1)\left(\boldsymbol{x}{(n)}-\boldsymbol{x}{(1)}\right)^{n-2} & \theta{(1)}<x_{(n)}<\theta+1 \ 0 & \text { otherwise. }\end{cases}
$$

统计推断代写

统计代写|统计推断代考Statistical Inference代写|Sufficient Statistics

充分统计量的正式定义如下。
定义6.2.1 $\quad$如果给定$T(\mathbf{X})$值的样本$\mathbf{X}$的条件分布不依赖于$\theta$，则统计量$T(\mathbf{X})$是$\theta$的充分统计量。

如果$T(\mathbf{X})$是连续分布，那么对于$t$的所有值都是$P_\theta(T(\mathbf{X})=t)=0$。在这种情况下，需要一个比第一章中介绍的更复杂的条件概率概念来完全理解定义6.2.1。关于这一点的讨论可以在更高级的文本中找到，如Lehmann(1986)。我们将在离散情况下进行计算，并指出在连续情况下成立的类似结果。

为了理解定义6.2.1，设$t$为$T(\mathbf{X})$的一个可能值，即，使$P_\theta(T(\mathbf{X})=t)>0$。我们希望考虑条件概率$P_\theta(\mathbf{X}=$$\mathbf{x} \mid T(\mathbf{X})=t)$。如果$\mathbf{x}$是一个类似$T(\mathbf{x}) \neq t$的样本点，那么显然是$P_\theta(\mathbf{X}=\mathbf{x} \mid T(\mathbf{X})=$$t)=0$。因此，我们对$P(\mathbf{X}=\mathbf{x} \mid T(\mathbf{X})=T(\mathbf{x}))$感兴趣。根据定义，如果$T(\mathbf{X})$是一个充分的统计量，则该条件概率对于$\theta$的所有值都是相同的，因此我们省略了下标。

在这个意义上，一个充分的统计数据捕获了关于$\theta$的所有信息。以实验者1为例，他观察$\mathbf{X}=\mathbf{x}$，当然也可以计算$T(\mathbf{X})=T(\mathbf{x})$。为了对$\theta$做出推断，他可以使用$\mathbf{X}=\mathbf{x}$和$T(\mathbf{X})=T(\mathbf{x})$的信息。现在考虑实验者2，他没有被告知$\mathbf{X}$的值，只知道$T(\mathbf{X})=$$T(\mathbf{x})$。实验者2知道$P(\mathbf{X}=\mathbf{y} \mid T(\mathbf{X})=T(\mathbf{x}))$，一个概率分布

$A_{T(\mathbf{x})}={\mathbf{y}: T(\mathbf{y})=T(\mathbf{x})}$，因为这可以在不知道$\theta$的真实值的情况下从模型中计算出来。因此，实验者2可以使用这种分布和随机化设备，如随机数表，生成一个观察$\mathbf{Y}$满足$P(\mathbf{Y}=\mathbf{y} \mid T(\mathbf{X})=T(\mathbf{x}))=P(\mathbf{X}=\mathbf{y} \mid T(\mathbf{X})=T(\mathbf{x}))$。事实证明，对于$\theta, \mathbf{X}$和$\mathbf{Y}$的每个值具有相同的无条件概率分布，如下所示。实验者1，他知道$\mathbf{X}$，实验者2，他知道$\mathbf{Y}$，他们对$\theta$有相同的信息。但可以肯定的是，使用随机数表生成$\mathbf{Y}$并没有增加实验者2对$\theta$的了解。他关于$\theta$的所有知识都包含在$T(\mathbf{X})=T(\mathbf{x})$的知识中。所以实验者2，他只知道$T(\mathbf{X})=T(\mathbf{x})$，和实验者1，他知道整个样本$\mathbf{X}=\mathbf{x}$一样多关于$\theta$的信息。

为了完成上述论证，我们需要证明$\mathbf{X}$和$\mathbf{Y}$具有相同的无条件分布，即对于所有$\mathbf{x}$和$\theta$都是$P_\theta(\mathbf{X}=\mathbf{x})=P_\theta(\mathbf{Y}=\mathbf{x})$。注意，事件${\mathbf{X}=\mathbf{x}}$和${\mathbf{Y}=\mathbf{x}}$都是事件${T(\mathbf{X})=T(\mathbf{x})}$的子集。还记得吗
$$
P(\mathbf{X}=\mathbf{x} \mid T(\mathbf{X})=T(\mathbf{x}))=P(\mathbf{Y}=\mathbf{x} \mid T(\mathbf{X})=T(\mathbf{x}))
$$
这些条件概率不依赖于$\theta$。因此我们有
$$
\begin{aligned}
P_\theta(\mathbf{X} & =\mathbf{x}) \
& =P_\theta(\mathbf{X}=\mathbf{x} \text { and } T(\mathbf{X})=T(\mathbf{x})) \
& =P(\mathbf{X}=\mathbf{x} \mid T(\mathbf{X})=T(\mathbf{x})) P_\theta(T(\mathbf{X})=T(\mathbf{x})) \quad\left(\begin{array}{c}
\text { definition of } \
\text { conditional probability }
\end{array}\right) \
& =P(\mathbf{Y}=\mathbf{x} \mid T(\mathbf{X})=T(\mathbf{x})) P_\theta(T(\mathbf{X})=T(\mathbf{x})) \
& =P_\theta(\mathbf{Y}=\mathbf{x} \text { and } T(\mathbf{X})=T(\mathbf{x})) \
& =P_\theta(\mathbf{Y}=\mathbf{x}) .
\end{aligned}
$$

统计代写|统计推断代考Statistical Inference代写|Ancillary Statistics

在前面的小节中，我们考虑了充分的统计数据。从某种意义上说，这些统计信息包含了样本中可用的关于$\theta$的所有信息。在本节中，我们将介绍一种不同的统计数据，它具有互补的目的。

定义6.2.16不依赖于$\theta$参数的统计量$S(\mathbf{X})$称为辅助统计量。

单独地，辅助统计数据不包含有关$\theta$的信息。辅助统计量是对随机变量的观测值，该随机变量的分布是固定且已知的，与$\theta$无关。矛盾的是，当辅助统计数据与其他统计数据结合使用时，有时确实包含有价值的信息来推断$\theta$。我们将在下一节中研究这种行为。现在，我们只给出一些辅助统计数据的例子。

例6.2.17(统一辅助统计)例6.2.15中，设$X_1, \ldots, X_n$为区间$(\theta, \theta+1),-\infty<\theta<\infty$上的统一观测值。设$X_{(1)}<\cdots<X_{(n)}$为样本的顺序统计量。下面我们通过显示$R$的pdf不依赖于$\theta$来说明范围统计量$R=X_{(n)}-X_{(1)}$是一个辅助统计量。回想一下，每个$X_i$的cdf是
$$
F(x \mid \theta)= \begin{cases}0 & x \leq \theta \ x-\theta & \theta<x<\theta+1 \ 1 & \theta+1 \leq x\end{cases}
$$
因此，根据式(5.5.7)，$X_{(1)}$和$X_{(n)}$的联合pdf为
$$
g\left(x_{(1)}, \boldsymbol{x}{(n)} \mid \theta\right)= \begin{cases}n(n-1)\left(\boldsymbol{x}{(n)}-\boldsymbol{x}{(1)}\right)^{n-2} & \theta{(1)}<x_{(n)}<\theta+1 \ 0 & \text { otherwise. }\end{cases}
$$

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微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

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计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。