如果你也在 怎样代写黎曼曲面Riemann surface 这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。黎曼曲面Riemann surface是一个连通的一维复流形。这些表面最初是由伯恩哈德·黎曼研究并以其命名的。黎曼曲面可以被认为是复杂平面的变形版本:局部靠近每个点，它们看起来像复杂平面的斑块，但全局拓扑结构可能完全不同。
黎曼曲面Riemann surface都是二维实解析流形(即曲面)，但它包含更多的结构(特别是复结构)，这是全纯函数的明确定义所需要的。当且仅当二维实流形具有可定向和可度量性时，流形才能转化为黎曼曲面(通常以几种不等价的方式)。因此球面和环面允许复杂结构，但Möbius条、克莱因瓶和实投影平面不允许。
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数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|Quotients Under Group Actions
Definition 4. Let $\Delta$ be a domain in $\mathbb{C}$. A group $G: \Delta \rightarrow \Delta$ of holomorphic transformations acts discontinuously on $\Delta$ if for any $P \in \Delta$ there exists a neighborhood $V \ni P$ such that
$$
g V \cap V=\emptyset, \quad \forall g \in G, \quad g \neq I .
$$
The quotient space $\Delta / G$ is defined by the equivalence relation
$$
P \sim P^{\prime} \Leftrightarrow \exists g \in G: P^{\prime}=g P .
$$
By the natural projection $\pi: \Delta \rightarrow \Delta / G$ every point is mapped to its equivalence class. Every point $P \in \Delta$ has a neighborhood $V$ satisfying (1.10). Then $U=\pi(V)$ is open and $\pi_{\left.\right|_V}: V \rightarrow U$ is a homeomorphism. Its inversion $z: U \rightarrow V \subset \Delta \subset \mathbb{C}$ is a local parameter. One can cover $\Delta / G$ by domains of this type. The transition functions are the corresponding group elements $g$; therefore they are holomorphic.
Theorem 2. $\Delta / G$ is a Riemann surface.
Tori
Let us consider the case $\Delta=\mathbb{C}$ and the group $G$ generated by two translations
$$
z \rightarrow z+w, \quad z \rightarrow z+w^{\prime},
$$
where $w, w^{\prime} \in \mathbb{C}$ are two non-parallel vectors, $\operatorname{Im} w^{\prime} / w \neq 0$, see Fig. 1.2. The group $G$ is commutative and consists of the elements
$$
g_{n, m}(z)=z+n w+m w^{\prime}, \quad n, m \in \mathbb{Z} .
$$
The factor $\mathbb{C} / G$ has a nice geometrical realization as the parallelogram
$$
T=\left{z \in \mathbb{C} \mid z=a w+b w^{\prime}, a, b \in[0,1)\right} .
$$
There are no $G$-equivalent points in $T$ and on the other hand every point in $\mathbb{C}$ is equivalent to some point in $T$. Since the edges of the parallelogram $T$ are $G$-equivalent $z \sim z+w, z \sim z+w^{\prime}, \mathcal{R}$ is a compact Riemann surface, which is topologically a torus. We discuss this case in more detail in Sect. 1.5.5.
数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|Polyhedral Surfaces as Riemann Surfaces
One can build a Riemann surface gluing together pieces of the complex plane $\mathbb{C}$.
Consider a finite set of disjoint polygons $F_i$ and identify isometrically pairs of edges in such a way that the result is a compact oriented polyhedral surface $\mathcal{P}$. A polyhedron in 3-dimensional Euclidean space is an example of such a surface.
Theorem 3. The polyhedral surface $\mathcal{P}$ is a Riemann surface.
In order to define a complex structure on a polyhedral surface let us distinguish three kinds of points (see Fig. 1.3):
- Inner points of triangles
- Inner points of edges
- Vertices
One can map isometrically the corresponding polygon $F_i$ (or pairs of neighboring polygons) into $\mathbb{C}$. This provides local parameters at the points of the first and the second kind. Let $P$ be a vertex and $F_i, \ldots, F_n$ the sequence of successive polygons with this vertex (see the point (iii) above). Denote by $\theta_i$ the angle of $F_i$ at $P$. Then define
$$
\gamma=\frac{2 \pi}{\sum_{i=1}^n \theta_i} .
$$
Consider a suitably small ball neighborhood of $\mathrm{P}$, which is the union $U^r=$ $\cup_i F_i^r$, where $F_i^r=\left{Q \in F_i|| Q-P \mid<r\right}$. Each $F_i^r$ is a sector with angle $\theta_i$ at $P$. We map it as above into $\mathbb{C}$ with $P$ mapped to the origin and then apply $z \mapsto z^\gamma$, which produces a sector with the angle $\gamma \theta_i$. The mappings corresponding to different polygons $F_i$ can be adjusted to provide a homeomorphism of $U^r$ onto a disc in $\mathbb{C}$. All transition functions of the constructed charts are holomorphic since they are compositions of maps of the form $z \mapsto a z+b$ and $z \mapsto z^\gamma$ (away from the origin).
It turns out that any compact Riemann surface can be recovered from some polyhedral surface [Bos].
黎曼曲面代写
数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|Quotients Under Group Actions
定义:让$\Delta$成为$\mathbb{C}$中的一个域名。一个全纯变换群$G: \Delta \rightarrow \Delta$不连续作用于$\Delta$，如果对于任意$P \in \Delta$存在一个邻域$V \ni P$，使得
$$
g V \cap V=\emptyset, \quad \forall g \in G, \quad g \neq I .
$$
商空间$\Delta / G$由等价关系定义
$$
P \sim P^{\prime} \Leftrightarrow \exists g \in G: P^{\prime}=g P .
$$
通过自然投影$\pi: \Delta \rightarrow \Delta / G$，每个点都映射到它的等价类。每个点$P \in \Delta$都有一个满足(1.10)的邻域$V$。那么$U=\pi(V)$是开放的，$\pi_{\left.\right|_V}: V \rightarrow U$是同胚。它的反转$z: U \rightarrow V \subset \Delta \subset \mathbb{C}$是一个局部参数。可以通过这种类型的域覆盖$\Delta / G$。过渡函数是对应的组元素$g$;因此它们是全纯的。
定理2。$\Delta / G$是一个黎曼曲面。
Tori
让我们考虑由两个翻译生成的情况$\Delta=\mathbb{C}$和组$G$
$$
z \rightarrow z+w, \quad z \rightarrow z+w^{\prime},
$$
其中$w, w^{\prime} \in \mathbb{C}$为两个非平行向量，$\operatorname{Im} w^{\prime} / w \neq 0$见图1.2。群$G$是可交换的，由元素组成
$$
g_{n, m}(z)=z+n w+m w^{\prime}, \quad n, m \in \mathbb{Z} .
$$
因子$\mathbb{C} / G$有一个很好的几何实现作为平行四边形
$$
T=\left{z \in \mathbb{C} \mid z=a w+b w^{\prime}, a, b \in[0,1)\right} .
$$
在$T$中没有$G$等价点，另一方面，$\mathbb{C}$中的每个点都等价于$T$中的某个点。由于平行四边形$T$的边是$G$相等的，$z \sim z+w, z \sim z+w^{\prime}, \mathcal{R}$是一个紧致的黎曼曲面，在拓扑上是一个环面。我们将在1.5.5节中更详细地讨论这种情况。
数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|Polyhedral Surfaces as Riemann Surfaces
我们可以把复杂平面的碎片粘合在一起，建立一个黎曼曲面$\mathbb{C}$。
考虑一组有限的不相交多边形$F_i$，并以这样一种方式确定等距边对，结果是一个紧致定向多面体表面$\mathcal{P}$。三维欧几里得空间中的多面体就是这种曲面的一个例子。
定理3。多面体曲面$\mathcal{P}$是一个黎曼曲面。
为了定义多面体表面上的复杂结构，我们区分三种点(如图1.3所示):
三角形的内点
边的内点
顶点
可以等距映射对应的多边形$F_i$(或相邻的多边形对)到$\mathbb{C}$。这在第一种和第二种点上提供了局部参数。设$P$为顶点，$F_i, \ldots, F_n$为具有该顶点的连续多边形序列(参见上文第(iii)点)。用$\theta_i$表示$F_i$在$P$处的角度。然后定义
$$
\gamma=\frac{2 \pi}{\sum_{i=1}^n \theta_i} .
$$
考虑一个合适的小球邻域$\mathrm{P}$，它是联合$U^r=$$\cup_i F_i^r$，其中$F_i^r=\left{Q \in F_i|| Q-P \mid<r\right}$。每个$F_i^r$是一个角$\theta_i$在$P$的扇形。如上所述，我们将其映射到$\mathbb{C}$，并将$P$映射到原点，然后应用$z \mapsto z^\gamma$，这将产生一个角度为$\gamma \theta_i$的扇区。可以调整对应于不同多边形$F_i$的映射，以提供$U^r$到$\mathbb{C}$中的光盘的同胚性。所有构造图的过渡函数都是全纯的，因为它们是$z \mapsto a z+b$和$z \mapsto z^\gamma$(远离原点)形式的映射的组合。
事实证明，任何紧致黎曼曲面都可以从某些多面体表面恢复[Bos]。
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。