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数论Number theory是一门有着极其悠久和丰富历史的学科。研究数论，并适当关注它的历史提醒我们，这门学科一直是一个激烈的竞争人类活动。许多其他的数学学科，例如微积分，毫无疑问会像今天这样发展，完全独立于参与实际发展的个人，但数论的发展却奇妙而离奇，这在很大程度上取决于多年来发展这门学科的人的特殊兴趣。
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数学代写|数论代写Number Theory代考|Units of Norm 1
Let $m$ be a positive squarefree integer. Theorem 11.2.1 tells us that there exist positive integers $x$ and $y$ such that $x^2-m y^2=1$. Hence $\lambda=x+y \sqrt{m}$ is a unit of $O_K$, where $K=\mathbb{Q}(\sqrt{m})$, such that $\lambda>1$ and $N(\lambda)=1$. Since $\lambda^n \rightarrow \infty$ as $n \rightarrow \infty, O_K$ has infinitely many units of norm 1 , namely $\left{\lambda^n \mid n \in \mathbb{Z}\right}$. All of these units are of the form $u+v \sqrt{m}$, where $u$ and $v$ are integers such that $u^2-m v^2=1$. However, when $m \equiv 1(\bmod 4)$, there may be units in $O_K$ of the form $(u+v \sqrt{m}) / 2$, where $u$ and $v$ are both odd integers. For example $(3+\sqrt{5}) / 2$ is a unit of norm 1 in $O_{\mathbb{Q}(\sqrt{5})}$. In contrast, $O_{\mathbb{Q}(\sqrt{17})}$ does not contain any units of the form $(u+v \sqrt{17}) / 2$, where $u$ and $v$ are both odd integers, since $u^2-17 v^2= \pm 4$ cannot hold modulo 8 for odd integers $u$ and $v$.
Let $\lambda=x+y \sqrt{m}$ be a unit of $O_K(K=\mathbb{Q}(\sqrt{m}))$ of norm 1 with $x$ and $y$ both integers or possibly in the case $m \equiv 1(\bmod 4)$ both halves of odd integers. We now show how the signs of $x$ and $y$ determine to which of the four intervals $(-\infty,-1),(-1,0),(0,1)$, or $(1, \infty) \lambda$ belongs.
Theorem 11.3.1 Let $m$ be a positive squarefree integer. Let $x$ and $y$ both be integers or both halves of odd integers such that $x^2-m y^2=1$. Then
$$
\begin{aligned}
x+y \sqrt{m}>1 & \Longleftrightarrow x>0, y>0, \
00, y<0, \ -10, \
x+y \sqrt{m}<-1 & \Longleftrightarrow x<0, y<0 .
\end{aligned}
$$
数学代写|数论代写Number Theory代考|Units of Norm −1
Let $m$ be a positive squarefree integer. We have already observed that the ring $O_{\mathbb{Q}(\sqrt{m})}$ of integers of the real quadratic field $\mathbb{Q}(\sqrt{m})$ may or may not contain units of norm -1 . Indeed $O_{\mathbb{Q}(\sqrt{2})}$ has units such as $1+\sqrt{2}$ of norm -1 whereas $O_{\mathbb{Q}(\sqrt{3})}$ does not contain any units of norm -1 . We suppose that $O_{\mathbb{Q}(\sqrt{m})}$ contains units of norm -1 and show that there exists a unique unit $\sigma>1$ in $O_{\mathbb{Q}(\sqrt{m})}$ of norm -1 such that all units in $O_{\mathbb{Q}(\sqrt{m})}$ of norm -1 are given by $\pm \sigma^{2 k+1}(k=0, \pm 1, \pm 2, \ldots)$ and all units in $O_{\mathbb{Q}(\sqrt{m})}$ of norm 1 are given by $\pm \sigma^{2 k}(k=0, \pm 1, \pm 2, \ldots)$.
Theorem 11.4.1 Let $m$ be a positive squarefree integer. Suppose that $O_{\mathbb{Q}(\sqrt{m})}$ contains units of norm -1 . Then there exists a unique unit $\sigma>1$ of norm -1 in $O_{\mathbb{Q}(\sqrt{m})}$ such that every unit in $O_{\mathbb{Q}(\sqrt{m})}$ is of the form $\pm \sigma^n$ for some integer $n$.
Proof: Let $\rho$ be a unit in $O_{\mathbb{Q}(\sqrt{m})}$ of norm -1 . Let $\rho^{\prime}$ denote its conjugate. Then
$$
\rho \rho^{\prime}=N(\rho)=-1
$$
so that
$$
\rho^2 \rho^{\prime 2}=1
$$
Thus $\rho^2$ is a unit of $O_{\mathbb{Q}(\sqrt{m})}$ of norm 1. Hence, by Theorem 11.3.2(b), we have
$$
\rho^2= \pm \epsilon^n
$$
for some integer $n$, where $\epsilon$ is the fundamental unit of $O_{\mathbb{Q}(\sqrt{m})}$ of norm 1. Clearly $\rho^2>0$ and $\epsilon^n>0$ so that
$$
\rho^2=\epsilon^n .
$$
If $n$ is even, say $n=2 k$, then
$$
\rho^2=\epsilon^{2 k}
$$
so that
$$
\rho= \pm \epsilon^k
$$
Hence
$$
N(\rho)=N\left( \pm \epsilon^k\right)=N(\epsilon)^k=1,
$$
contradicting $N(\rho)=-1$. Thus $n$ must be odd, say $n=2 l+1$, and so
$$
\rho^2=\epsilon^{2 l+1} .
$$
Hence
$$
\epsilon=\left(\rho \epsilon^{-l}\right)^2 .
$$
数论代写
数学代写|数论代写Number Theory代考|Units of Norm 1
设$m$是一个正的无平方整数。定理11.2.1告诉我们存在正整数$x$和$y$，使得$x^2-m y^2=1$。因此$\lambda=x+y \sqrt{m}$是$O_K$的一个单位，其中$K=\mathbb{Q}(\sqrt{m})$，即$\lambda>1$和$N(\lambda)=1$。因为$\lambda^n \rightarrow \infty$作为$n \rightarrow \infty, O_K$有无穷多个范数1的单位，即$\left{\lambda^n \mid n \in \mathbb{Z}\right}$。所有这些单位的形式都是$u+v \sqrt{m}$，其中$u$和$v$是整数，因此$u^2-m v^2=1$。但是，当使用$m \equiv 1(\bmod 4)$时，$O_K$中可能存在形式为$(u+v \sqrt{m}) / 2$的单位，其中$u$和$v$都是奇数。例如，$(3+\sqrt{5}) / 2$是$O_{\mathbb{Q}(\sqrt{5})}$中norm 1的单位。相反，$O_{\mathbb{Q}(\sqrt{17})}$不包含任何形式为$(u+v \sqrt{17}) / 2$的单位，其中$u$和$v$都是奇数，因为$u^2-17 v^2= \pm 4$不能为奇数$u$和$v$保存模8。
设$\lambda=x+y \sqrt{m}$为规范1的$O_K(K=\mathbb{Q}(\sqrt{m}))$的一个单位，其中$x$和$y$都是整数，或者$m \equiv 1(\bmod 4)$都是奇数的一半。现在我们将展示$x$和$y$的符号如何确定$(-\infty,-1),(-1,0),(0,1)$或$(1, \infty) \lambda$属于四个间隔中的哪一个。
定理11.3.1设$m$为一个正的无平方整数。设$x$和$y$都是整数或者都是奇数的一半，使得$x^2-m y^2=1$。然后
$$
\begin{aligned}
x+y \sqrt{m}>1 & \Longleftrightarrow x>0, y>0, \
00, y<0, \ -10, \
x+y \sqrt{m}<-1 & \Longleftrightarrow x<0, y<0 .
\end{aligned}
$$
数学代写|数论代写Number Theory代考|Units of Norm −1
设$m$是一个正的无平方整数。我们已经观察到，实数二次域$\mathbb{Q}(\sqrt{m})$的整数环$O_{\mathbb{Q}(\sqrt{m})}$可能包含也可能不包含范数-1的单位。的确，$O_{\mathbb{Q}(\sqrt{2})}$有像$1+\sqrt{2}$这样的范数-1单位，而$O_{\mathbb{Q}(\sqrt{3})}$不包含任何范数-1单位。我们假设$O_{\mathbb{Q}(\sqrt{m})}$包含规范-1的单位，并证明规范-1的$O_{\mathbb{Q}(\sqrt{m})}$中存在一个唯一的单位$\sigma>1$，使得规范-1的$O_{\mathbb{Q}(\sqrt{m})}$中的所有单位都由$\pm \sigma^{2 k+1}(k=0, \pm 1, \pm 2, \ldots)$给出，规范1的$O_{\mathbb{Q}(\sqrt{m})}$中的所有单位都由$\pm \sigma^{2 k}(k=0, \pm 1, \pm 2, \ldots)$给出。
定理11.4.1设$m$为无平方正整数。假设$O_{\mathbb{Q}(\sqrt{m})}$包含norm -1的单位。然后，在$O_{\mathbb{Q}(\sqrt{m})}$中存在一个规范为-1的唯一单位$\sigma>1$，使得$O_{\mathbb{Q}(\sqrt{m})}$中的每个单位对于某个整数$n$都具有$\pm \sigma^n$的形式。
证明:设$\rho$为范数-1在$O_{\mathbb{Q}(\sqrt{m})}$中的一个单位。设$\rho^{\prime}$表示它的共轭。然后
$$
\rho \rho^{\prime}=N(\rho)=-1
$$
如此……以至于……
$$
\rho^2 \rho^{\prime 2}=1
$$
因此$\rho^2$是规范1的$O_{\mathbb{Q}(\sqrt{m})}$的单位。因此，根据定理11.3.2(b)，我们有
$$
\rho^2= \pm \epsilon^n
$$
对于某个整数$n$，其中$\epsilon$是规范1的$O_{\mathbb{Q}(\sqrt{m})}$的基本单位。显然是$\rho^2>0$和$\epsilon^n>0$
$$
\rho^2=\epsilon^n .
$$
如果$n$是偶数，就说$n=2 k$
$$
\rho^2=\epsilon^{2 k}
$$
如此……以至于……
$$
\rho= \pm \epsilon^k
$$
因此
$$
N(\rho)=N\left( \pm \epsilon^k\right)=N(\epsilon)^k=1,
$$
矛盾的$N(\rho)=-1$。因此$n$一定是奇数，比如$n=2 l+1$，以此类推
$$
\rho^2=\epsilon^{2 l+1} .
$$
因此
$$
\epsilon=\left(\rho \epsilon^{-l}\right)^2 .
$$
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。