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# 数学代写|随机过程Stochastic Porcess代考|MATH544

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## 数学代写|随机过程代写Stochastic Porcess代考|Processes with continuous time

Let $\xi(t), t \geqslant 0$, be a homogeneous Markov branching process with continuous time (parameter). Let $\mathscr{X}$ denote as above the phase space of the process $\xi(t)$ which is an $m$-dimensional lattice of vectors with non-negative integer-valued components. The transition probabilities of the process $\xi(t)$ will be denoted by $p_t(x, y)$ and, as before, in place of $p_t\left(e_i, y\right), p_t\left(x, e_j\right)$ and $p_t\left(e_i, e_j\right)$ we shall write $p_t(i, y), p_t(x, j), p_t(i, j)$ respectively. We shall assume that the transition probabilities satisfy the condition
$$\lim {t \downarrow 0} p_t(x, y)=\delta(x, y) .$$ First we shall discuss Kolmogorov’s differential equations for branching processes. In accordance with the general theory of homogeneous Markov processes the limits $$\lim {t \downarrow 0} \frac{p_t(x, y)-\delta(x, y)}{t}=q(x, y)$$
exist. We shall consider only regular branching processes, i. e. we shall assume that the conditions
$$-q(x, y)<\infty, \quad \sum_{y \in \mathcal{X}} q(x, y)=0$$
are satisfied.

## 数学代写|随机过程代写Stochastic Porcess代考|Moments (continuous time)

Assume that
$$\sum_{x \in \mathscr{X}} q(i, x) x^k=\alpha_i^k \neq \infty \quad(k, i=1, \ldots, m) .$$
Since the functions $Q(i, w)$ are analytic in the domain $|w|<1$, one can differentiate equations (32) in this domain. We then obtain:
$$\frac{d a_j^k(t, w)}{d t}=\sum_{r=1}^m Q_j^r\left(g_t(w)\right) a_r^k(t, w), \quad a_j^k(0, w)=\delta_j^k,$$
where
$$Q_j^k(t, w)=\frac{\partial Q(j, w)}{\partial w_k}=\sum_{x \in \mathscr{X}} q(j, x) x^k w^{x-e_k}$$
and
$$a_j^k(t, w)=\frac{\partial g_t(j, w)}{\partial w_k} .$$
Assume that the components of the vector $w$ are positive and $w_k \uparrow 1$. Then, by Lebesgue’s theorem,
$$\lim {w \uparrow 1} a_j^k(t, w)=\lim {w \uparrow 1} \mathrm{E}j \xi^k(t) w^{\xi(t)}=\mathrm{E}_j \xi^k(t)=a_j^k(t),$$ and, by Dini’s theorem, $g_t(w) \rightarrow 1$ uniformly in $t$. Approaching the limit as $w \uparrow 1$ in $$a_j^k(t, w)=\delta_j^k+\int_0^t \sum{r=1}^m Q_j^r\left(g_s(w)\right) a_r^k(s, w) d s,$$
we obtain
$$a_j^k(t)=\delta_j^k+\int_0^t \sum_{r=1}^m \alpha_j^r a_r^k(s) d s .$$

## 数学代写|随机过程代写Stochastic Porcess代考|Processes with continuous time

$$\lim {t \downarrow 0} p_t(x, y)=\delta(x, y) .$$首先，我们将讨论柯尔莫哥洛夫分支过程的微分方程。根据齐次马尔可夫过程的一般理论，极限$$\lim {t \downarrow 0} \frac{p_t(x, y)-\delta(x, y)}{t}=q(x, y)$$

$$-q(x, y)<\infty, \quad \sum_{y \in \mathcal{X}} q(x, y)=0$$

## 数学代写|随机过程代写Stochastic Porcess代考|Moments (continuous time)

$$\sum_{x \in \mathscr{X}} q(i, x) x^k=\alpha_i^k \neq \infty \quad(k, i=1, \ldots, m) .$$

$$\frac{d a_j^k(t, w)}{d t}=\sum_{r=1}^m Q_j^r\left(g_t(w)\right) a_r^k(t, w), \quad a_j^k(0, w)=\delta_j^k,$$

$$Q_j^k(t, w)=\frac{\partial Q(j, w)}{\partial w_k}=\sum_{x \in \mathscr{X}} q(j, x) x^k w^{x-e_k}$$

$$a_j^k(t, w)=\frac{\partial g_t(j, w)}{\partial w_k} .$$

$$\lim {w \uparrow 1} a_j^k(t, w)=\lim {w \uparrow 1} \mathrm{E}j \xi^k(t) w^{\xi(t)}=\mathrm{E}j \xi^k(t)=a_j^k(t),$$，根据迪尼定理，$g_t(w) \rightarrow 1$均匀分布于$t$。接近$$a_j^k(t, w)=\delta_j^k+\int_0^t \sum{r=1}^m Q_j^r\left(g_s(w)\right) a_r^k(s, w) d s,$$中的$w \uparrow 1$的极限 我们得到 $$a_j^k(t)=\delta_j^k+\int_0^t \sum{r=1}^m \alpha_j^r a_r^k(s) d s .$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。