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数学代写|图论代写GRAPH THEORY代考|Connected Separable Graphs
A connected graph is separable if $G$ has at least one cut vertex, otherwise $G$ is nonseparable. Thus a nonseparable graph is 2-connected. However, $K_1$ and $K_2$ are considered nonseparable. A maximal nonseparable connected subgraph of $G$ is called a block of $G$. Thus a block of a connected graph $G$ of $n \geq 2$ vertices is either a biconnected component or a bridge of $G$. We now have the following lemma.
The blocks and cut vertices in $G$ can be represented by a tree $T$, called the $B C$-tree of $G$. In $T$ each block is represented by a $B$-node and each cut vertex of $G$ is represented by a $C$-node. The graph in Fig. 3.11(a) has the blocks $B_1, B_2, \ldots, B_9$ depicted in Fig.3.11(b). The $B C$-tree $T$ of the plane graph $G$ in Fig.3.11(a) is depicted in Fig.3.11(c), where each $B$-node is represented by a rectangle and each $C$-node is represented by a circle.
2-Connected Graphs
The reliability of a computer network can be increased by providing alternative paths between workstations. In fact the connectivity of a graph is a measure of number of alternative paths. If the graph is 1-connected then there is a path between any two workstations. We will show that there are two alternative paths between any two workstations in a 2-connected network, as in Theorem 3.4.5 below due to Whitney [3]. Two paths $P_1$ and $P_2$ with the same end vertices are internally disjoint if $P_1$ and $P_2$ do not share any internal vertex.
Theorem 3.4.5 A graph $G$ of three or more vertices is 2-connected if and only if there are two internally disjoint paths between every pair of vertices in $G$.
Proof Sufficiency Assume that there are two internally disjoint paths between every pair $u, v \in V(G)$. Then deletion of one vertex cannot separate $u$ from $v$. Since this condition is valid for every pair of vertices in $G, G$ is 2-connected.
Necessity Assume that $G$ is 2 -connected. We show that $G$ has two internally disjoint paths between every pair $u, v \in V(G)$ by induction on the length $l$ of a shortest path between $u$ and $v$.
数学代写|图论代写GRAPH THEORY代考Ear Decomposition
An ear of a graph $G$ with $\delta(G)=2$ is a maximal path with distinct end vertices whose internal vertices have degree 2 in $G$. Note that an edge $(u, v), u \neq v$ in $G$ with $d_G(u) \geq 3$ and $d_G(v) \geq 3$ is also an ear of $G$. An ear decomposition of $G$ is a decomposition $P_0, \ldots, P_k$ of edges such that $P_0$ is a cycle and $P_i$ for $i \geq 1$ is an ear of the graph induced by $P_0 \cup \cdots P_i$. An ear decomposition $P_0, P_1, \ldots, P_7$ of a graph is illustrated in Fig. 3.14 where the ear $P_6$ is an edge. Whitney [3] in 1932 gave a characterization of a 2-connected graph in terms of ear decomposition as in the following theorem.
Theorem 3.4.8 A graph $G$ has an ear decomposition if and only if $G$ is 2-connected.
Proof Necessity Assume that $G$ has an ear decomposition $P_0, P_1, \ldots, P_k$. By definition of ear decomposition $P_0$ is a cycle, which is 2-connected. Assume that $G_i=P_0 \cup \cdots \cup P_i$ is biconnected. We now show that $G_{i+1}=G_i \cup P_{i+1}$ is biconnected. $G_i$ is biconnected and the two end vertices of $P_{i+1}$ are on $G_i$. Then adding $P_{i+1}$ to $G_i$ will not introduce any cut vertex in $G_{i+1}$, and hence $G_{i+1}$ is biconnected.
Sufficiency We give a constructive proof. Assume that $G$ is 2 -connected. Then $G$ has a cycle. Let $C$ be a cycle in $G$. We choose $C$ as $P_0=G_0$. If $G_0 \neq G$, we can choose an edge $(u, v)$ of $G-E\left(P_0\right)$ and an edge $(x, y) \in E\left(P_0\right)$. Since $G$ is 2-connected, $(u, v)$ and $(x, y)$ lie on a cycle $C^{\prime}$ by Lemma 3.4.7. Let $P$ be a path in $C^{\prime}$ that contains $(u, v)$ and exactly two vertices of $G_0$. We choose $P$ as $P_1$. Clearly $G_1=P_0 \cup P_1$ is biconnected and $P_1$ is an ear of $G_1$. Let $G_i$ be the graph obtained by successively adding ears $P_1, P_2, \ldots, P_i$. We can find an ear $P_{i+1}$ similarly as we found $P_1$. The process ends only by absorbing all edges of $G$.
图论代写
数学代写|图论代写GRAPH THEORY代考|Connected Separable Graphs
连通图是可分离的，如果$G$至少有一个切割顶点，否则$G$不可分离。因此不可分图是2连通的。然而，$K_1$和$K_2$被认为是不可分离的。$G$的最大不可分连通子图称为$G$的块。因此，由$n \geq 2$顶点组成的连通图$G$中的一个块要么是双连通的组件，要么是$G$的桥。现在我们有了下面的引理。
$G$中的块和切割顶点可以用树$T$表示，称为$G$的$B C$ -tree。在$T$中，每个块由一个$B$ -节点表示，$G$的每个切割顶点由一个$C$ -节点表示。图3.11(a)中的图中有图3.11(b)中所示的块$B_1, B_2, \ldots, B_9$。图3.11(a)中平面图$G$的$B C$ -tree $T$如图3.11(c)所示，其中每个$B$ -节点用矩形表示，每个$C$ -节点用圆形表示。
二连通图
计算机网络的可靠性可以通过在工作站之间提供可选路径来提高。事实上，图的连通性是可选路径数量的度量。如果图是1连通的，那么任意两个工作站之间都有一条路径。我们将证明，在2连通网络中，任意两个工作站之间存在两条可选路径，如下面Whitney[3]的定理3.4.5所示。如果$P_1$和$P_2$不共享任何内部顶点，则具有相同端点的两条路径$P_1$和$P_2$在内部不相交。
定理3.4.5有三个或三个以上顶点的图$G$是2连通的，当且仅当$G$中每对顶点之间有两条内部不相交的路径。
假设每一对之间有两条内部不相交的路径$u, v \in V(G)$。那么删除一个顶点不能把$u$和$v$分开。因为这个条件对$G, G$中的每一对顶点都是2连通的。
假设$G$是2连接的。我们通过对$u$和$v$之间最短路径的长度$l$的归纳，证明了$G$在每对$u, v \in V(G)$之间有两条内部不相交的路径。
数学代写|图论代写GRAPH THEORY代考Ear Decomposition
具有$\delta(G)=2$的图$G$的ear是具有不同端点的最大路径，其内部顶点在$G$中的度数为2。请注意，$G$与$d_G(u) \geq 3$和$d_G(v) \geq 3$的边$(u, v), u \neq v$也是$G$的边。$G$的耳分解是对边的分解$P_0, \ldots, P_k$，使得$P_0$是一个循环，$i \geq 1$的$P_i$是$P_0 \cup \cdots P_i$生成的图的耳。图3.14示出图的耳分解$P_0, P_1, \ldots, P_7$，其中耳$P_6$是一条边。Whitney[3]在1932年用耳分解给出了2连通图的一个表征，如下面的定理所示。
定理3.4.8图$G$有耳分解当且仅当$G$是2连通的。
证明必要性假设$G$有耳朵分解$P_0, P_1, \ldots, P_k$。根据耳分解的定义$P_0$是一个2连通的循环。假设$G_i=P_0 \cup \cdots \cup P_i$是双连接的。现在我们证明$G_{i+1}=G_i \cup P_{i+1}$是双连接的。$G_i$是双连通的，并且$P_{i+1}$的两个端点都在$G_i$上。然后将$P_{i+1}$添加到$G_i$将不会在$G_{i+1}$中引入任何切割顶点，因此$G_{i+1}$是双连接的。
我们给出建设性的证明。假设$G$是2连接的。然后$G$有一个循环。让$C$成为$G$的一个循环。我们选择$C$作为$P_0=G_0$。如果是$G_0 \neq G$，我们可以选择$G-E\left(P_0\right)$的边$(u, v)$和$(x, y) \in E\left(P_0\right)$的边。由于$G$是2连通的，根据引理3.4.7,$(u, v)$和$(x, y)$位于一个循环$C^{\prime}$上。设$P$是$C^{\prime}$中的一条路径，它包含$(u, v)$和$G_0$的两个顶点。我们选择$P$作为$P_1$。显然$G_1=P_0 \cup P_1$是双连接的，$P_1$是$G_1$的一个分支。设$G_i$为连续加耳$P_1, P_2, \ldots, P_i$得到的图。我们可以像找到$P_1$一样找到耳朵$P_{i+1}$。该过程仅在吸收$G$的所有边时结束。
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