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现代代数Modern Algebra这门学科的思想和方法几乎渗透到现代数学的每一个部分。此外，没有一门学科更适合培养处理抽象概念的能力，即理解和处理问题或学科的基本要素。这包括阅读数学的能力，提出正确的问题，解决问题，运用演绎推理，以及写出正确、切中要害、清晰的数学。

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数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|Set Generated by A

If $A$ is a nonempty subset of the group $G$, then the set generated by $\boldsymbol{A}$, denoted by $\langle A\rangle$, is the set defined by
$$
\langle A\rangle=\left{x \in G \mid x=a_1 a_2 \cdots a_n \text { with either } a_i \in A \text { or } a_i^{-1} \in A\right} .
$$
In other words, $\langle A\rangle$ is the set of all products that can be formed with a finite number of factors, each of which either is an element of $A$ or has an inverse that is an element of $A$.

For any nonempty subset $A$ of a group $G$, the set $\langle A\rangle$ is a subgroup of $G$ called the subgroup of $G$ generated by $A$.

Proof There exists at least one $a \in A$, since $A \neq \varnothing$. Then $e=a a^{-1} \in\langle A\rangle$, so $\langle A\rangle$ is nonempty.
If $x \in\langle A\rangle$ and $y \in\langle A\rangle$, then
$$
x=x_1 x_2 \cdots x_n \text { with either } x_i \in A \text { or } x_i^{-1} \in A
$$
and
$$
y=y_1 y_2 \cdots y_k \text { with either } y_j \in A \text { or } y_j^{-1} \in A \text {. }
$$
Thus
$$
x y=x_1 x_2 \cdots x_n y_1 y_2 \cdots y_k,
$$
where each factor on the right either is in $A$ or has an inverse that is an element of $A$. Also,
$$
x^{-1}=x_n^{-1} \cdots x_2^{-1} x_1^{-1} \text { with either } x_i^{-1} \in A \text { or } x_i \in A .
$$
The nonempty set $\langle A\rangle$ is closed and contains inverses, and therefore it is a subgroup of $G$.

数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|Group of Cosets

Let $H$ be a normal subgroup of $G$. Then the cosets of $H$ in $G$ form a group with respect to the product of subsets as given in Definition 4.10.

Proof Let $H$ be a normal subgroup of $G$. We shall denote the set of all distinct cosets of $H$ in $G$ by $G / H$. Multiplication in $G / H$ is associative, by part a of Theorem 4.11.

We need to show that the cosets of $H$ in $G$ are closed under the given product. Let $a H$ and $b H$ be arbitrary cosets of $H$ in $G$. Using the associative property freely, we have
$$
\begin{aligned}
(a H)(b H) & =a(H b) H & & \
& =a(b H) H & & \text { since } H \text { is normal } \
& =(a b) H \cdot H & & \
& =a b H & & \text { since } H^2=H .
\end{aligned}
$$
Thus $G / H$ is closed and $(a H)(b H)=a b H$.
The coset $H=e H$ is the identity, since $(a H)(e H)=a e H=a H$ and $(e H)(a H)=$ $e a H=a H$ for all $a H$ in $G / H$.
The inverse of $a H$ is $a^{-1} H$, since
$$
(a H)\left(a^{-1} H\right)=a a^{-1} H=e H=H
$$

and
$$
\left(a^{-1} H\right)(a H)=a^{-1} a H=e H=H .
$$
This completes the proof.

现代代数代写

数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|Set Generated by A

如果$A$是组$G$的非空子集，那么由$\boldsymbol{A}$生成的集合(用$\langle A\rangle$表示)就是由
$$
\langle A\rangle=\left{x \in G \mid x=a_1 a_2 \cdots a_n \text { with either } a_i \in A \text { or } a_i^{-1} \in A\right} .
$$
换句话说，$\langle A\rangle$是所有产品的集合，这些产品可以由有限数量的因素组成，每个因素要么是$A$的一个元素，要么有一个逆元素是$A$的一个元素。

对于组$G$的任何非空子集$A$，集合$\langle A\rangle$是$G$的子组，称为$A$生成的$G$的子组。

证明至少存在一个$a \in A$，从$A \neq \varnothing$开始。然后$e=a a^{-1} \in\langle A\rangle$，所以$\langle A\rangle$是非空的。
如果$x \in\langle A\rangle$和$y \in\langle A\rangle$，那么
$$
x=x_1 x_2 \cdots x_n \text { with either } x_i \in A \text { or } x_i^{-1} \in A
$$
和
$$
y=y_1 y_2 \cdots y_k \text { with either } y_j \in A \text { or } y_j^{-1} \in A \text {. }
$$
因此
$$
x y=x_1 x_2 \cdots x_n y_1 y_2 \cdots y_k,
$$
右边的每个因子要么在$A$中，要么在$A$中有一个逆元素。还有，
$$
x^{-1}=x_n^{-1} \cdots x_2^{-1} x_1^{-1} \text { with either } x_i^{-1} \in A \text { or } x_i \in A .
$$
非空集$\langle A\rangle$是封闭的，并且包含逆集，因此它是$G$的一个子群。

数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|Group of Cosets

设$H$为$G$的正常子组。则$G$中$H$的余集相对于定义4.10中给出的子集之积形成一个群。

设$H$为$G$的正规子群。我们用$G / H$表示$G$中$H$的所有不同的余集的集合。根据定理4.11的a部分，$G / H$中的乘法是结合律。

我们需要证明$G$中$H$的集在给定的乘积下是封闭的。设$a H$和$b H$为$G$中$H$的任意余集。自由使用结合律，我们有
$$
\begin{aligned}
(a H)(b H) & =a(H b) H & & \
& =a(b H) H & & \text { since } H \text { is normal } \
& =(a b) H \cdot H & & \
& =a b H & & \text { since } H^2=H .
\end{aligned}
$$
因此$G / H$是封闭的，$(a H)(b H)=a b H$是封闭的。
协集$H=e H$是标识，因为$(a H)(e H)=a e H=a H$和$(e H)(a H)=$$e a H=a H$代表$G / H$中的所有$a H$。
$a H$的倒数是$a^{-1} H$，因为
$$
(a H)\left(a^{-1} H\right)=a a^{-1} H=e H=H
$$

和
$$
\left(a^{-1} H\right)(a H)=a^{-1} a H=e H=H .
$$
这就完成了证明。

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微观经济学代写

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线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。