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现代代数Modern Algebra这门学科的思想和方法几乎渗透到现代数学的每一个部分。此外，没有一门学科更适合培养处理抽象概念的能力，即理解和处理问题或学科的基本要素。这包括阅读数学的能力，提出正确的问题，解决问题，运用演绎推理，以及写出正确、切中要害、清晰的数学。

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数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|Product of Subsets

Let $A$ and $B$ be nonempty subsets of the group $G$. The product $A B$ is defined by
$$
A B={x \in G \mid x=a b \text { for some } a \in A, b \in B} .
$$
This product is formed by using the group operation in $G$. A more precise formulation would be
$$
A * B={x \in G \mid x=a * b \text { for some } a \in A, b \in B},
$$
where $*$ is the group operation in $G$.
Several properties of this product are worth mentioning. For nonempty subsets $A, B$, and $C$ of the group $G$,
$$
\begin{aligned}
A(B C) & ={a(b c) \mid a \in A, b \in B, c \in C} \
& ={(a b) c \mid a \in A, b \in B, c \in C} \
& =(A B) C .
\end{aligned}
$$
It is obvious that
$$
B=C \Rightarrow A B=A C \text { and } B A=C A,
$$
but we must be careful about the order because $A B$ and $B A$ may be different sets.

数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|Properties of the Product of Subsets

Let $A, B$, and $C$ denote nonempty subsets of the group $G$, and let $g$ denote an element of $G$. Then the following statements hold:
a. $A(B C)=(A B) C$.
b. $B=C$ implies $A B=A C$ and $B A=C A$.
c. The product $A B$ is not commutative.
d. $A B=A C$ does not imply $B=C$.
e. $g A=g B$ implies $A=B$.
Statements $\mathbf{d}$ and $\mathbf{e}$ have obvious duals in which the common factor is on the right side.

We shall be concerned mainly with products of subsets in which one of the factors is a subgroup. The cosets of a subgroup are of special importance.

Let $H$ be a subgroup of the group $G$. For any $a$ in $G$,
$$
a H={x \in G \mid x=a h \text { for some } h \in H}
$$
is a left coset of $H$ in $G$. Similarly, $H a$ is called a right coset of $H$ in $G$.
The left coset $a H$ and the right coset $H a$ are never disjoint, since $a=a e=e a$ is in both sets. In spite of this, $a H$ and $H a$ may happen to be different sets, as the next example shows.

Example 3 Consider the subgroup
$$
K={(1),(1,2)}
$$
of
$$
G=S_3={(1),(1,2,3),(1,3,2),(1,2),(1,3),(2,3)} .
$$
For $a=(1,2,3)$, we have
$$
\begin{aligned}
a K & ={(1,2,3),(1,2,3)(1,2)} \
& ={(1,2,3),(1,3)}
\end{aligned}
$$
and
$$
\begin{aligned}
K a & ={(1,2,3),(1,2)(1,2,3)} \
& ={(1,2,3),(2,3)} .
\end{aligned}
$$
In this case, $a K \neq K a$.

现代代数代写

数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|Product of Subsets

设$A$和$B$为组$G$的非空子集。产品$A B$定义为
$$
A B={x \in G \mid x=a b \text { for some } a \in A, b \in B} .
$$
本产品是利用$G$中的分组操作形成的。更精确的表述应该是
$$
A * B={x \in G \mid x=a * b \text { for some } a \in A, b \in B},
$$
其中$*$为$G$中的组操作。
该产品的几个特性值得一提。对于组$G$的非空子集$A, B$和$C$，
$$
\begin{aligned}
A(B C) & ={a(b c) \mid a \in A, b \in B, c \in C} \
& ={(a b) c \mid a \in A, b \in B, c \in C} \
& =(A B) C .
\end{aligned}
$$
很明显，
$$
B=C \Rightarrow A B=A C \text { and } B A=C A,
$$
但是我们必须注意顺序，因为$A B$和$B A$可能是不同的集合。

数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|Properties of the Product of Subsets

设$A, B$和$C$表示组$G$的非空子集，并设$g$表示$G$的一个元素。那么下列陈述成立:
A. $A(B C)=(A B) C$;
B. $B=C$暗示$A B=A C$和$B A=C A$。
c.乘积$A B$不可交换。
D. $A B=A C$并不暗示$B=C$。
E. $g A=g B$暗示$A=B$。
表述$\mathbf{d}$和$\mathbf{e}$有明显的对偶，其中公因数在右边。

我们将主要讨论其中一个因子是子群的子集的乘积。子群的余集具有特殊的重要性。

设$H$为组$G$的子组。对于$G$中的任何$a$，
$$
a H={x \in G \mid x=a h \text { for some } h \in H}
$$
是$G$中$H$的左余集。类似地，$H a$被称为$G$中的$H$的右余集。
左共集$a H$和右共集$H a$永远不会不相交，因为$a=a e=e a$在两个集合中。尽管如此，$a H$和$H a$可能恰好是不同的集合，如下面的示例所示。

例3考虑子组
$$
K={(1),(1,2)}
$$
的
$$
G=S_3={(1),(1,2,3),(1,3,2),(1,2),(1,3),(2,3)} .
$$
对于$a=(1,2,3)$，我们有
$$
\begin{aligned}
a K & ={(1,2,3),(1,2,3)(1,2)} \
& ={(1,2,3),(1,3)}
\end{aligned}
$$
和
$$
\begin{aligned}
K a & ={(1,2,3),(1,2)(1,2,3)} \
& ={(1,2,3),(2,3)} .
\end{aligned}
$$
在本例中为$a K \neq K a$。

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