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## 数学代写|代数几何代写Algebraic Geometry代考|Homogenization and dehomogenization

Each polynomial $f \in k\left[x_0, \ldots, x_n\right]$ can be decomposed into homogeneous pieces
$$f=F_0+F_1+\cdots+F_d, \quad d=\operatorname{deg}(f),$$

i.e., each $F_j$ is homogeneous of degree $j$ in $x_0, \ldots, x_n$. An ideal $J \subset k\left[x_0, \ldots, x_n\right]$ is homogeneous if it admits a collection of homogeneous generators. Equivalently, if a polynomial is in a homogenous ideal then each of its homogeneous pieces is in that ideal (see Exercise 9.1).
Dehomogenization with respect to $x_i$ is defined as the homomorphism
\begin{aligned} \mu_i: k\left[x_0, \ldots, x_n\right] & \rightarrow k\left[y_0, \ldots, y_{i-1}, y_{i+1}, \ldots, y_n\right] \ x_i & \rightarrow 1 \ x_j & \rightarrow y_j, \quad j \neq 1 \end{aligned}
For $f \in k\left[y_0, \ldots, y_{i-1}, y_i, \ldots, y_n\right]$, the preimage $\mu_i^{-1}(f)$ contains
$$\left{x_i^D f\left(x_0 / x_i, \ldots, x_{i-1} / x_i, x_{i+1} / x_i, \ldots, x_n / x_i\right): D \geq \operatorname{deg}(f)\right}$$
and equals the affine span of these polynomials. The homogenization of $f$ with respect to $x_i$ is defined
$$F\left(x_0, \ldots, x_n\right):=x_i^{\operatorname{deg}(f)} f\left(x_0 / x_i, \ldots, x_{i-1} / x_i, x_{i+1} / x_i, \ldots, x_n / x_i\right)$$
The homogenization of an ideal $I \subset k\left[y_0, \ldots, y_{i-1}, y_{i+1}, \ldots, y_n\right]$ is the ideal generated by the homogenizations of each $f \in I$.

Given an ideal $I=\left\langle f_1, \ldots, f_r\right\rangle$, the homogenization $J$ need not be generated by the homogenizations of the elements, i.e.,
$$J \neq\left\langle x_i^{\operatorname{deg}\left(f_j\right)} f_j\left(x_0 / x_i, \ldots, x_{i-1} / x_i, x_{i+1} / x_i, \ldots, x_n / x_i\right)\right\rangle_{j=1, \ldots, r}$$
in general.

## 数学代写|代数几何代写Algebraic Geometry代考|Projective varieties

Definition 9.9 A projective variety $X \subset \mathbb{P}^n(k)$ is a subset such that, for each distinguished $U_i \simeq \mathbb{A}^n(k), i=0, \ldots, n$, the intersection $U_i \cap X \subset U_i$ is affine.
Definition 9.10 $\quad X \subset \mathbb{P}^n(k)$ is Zariski closed if $X \cap U_i$ is closed in each distinguished $U_i$. For any subset $S \subset \mathbb{P}^n(k)$, the projective closure $\bar{S} \subset \mathbb{P}^n(k)$ is defined as the smallest closed subset containing $S$.

Definition 9.11 A projective variety $X \subset \mathbb{P}^n(k)$ is reducible if it can be expressed as a union of two closed proper subsets
$$X=X_1 \cup X_2, \quad X_1, X_2 \subsetneq X .$$
It is irreducible if there is no such representation.
We describe a natural way to get large numbers of projective varieties:
Proposition 9.12 Let $F \in k\left[x_0, \ldots, x_n\right]$ be homogeneous of degree $d$. Then there is a projective variety
$$X(F):=\left{\left[a_0, \ldots, a_n\right]: F\left(a_0, \ldots, a_n\right)=0\right} \subset \mathbb{P}^n(k),$$
called the hypersurface defined by $F$. More generally, given a homogeneous ideal $J \subset k\left[x_0, \ldots, x_n\right]$, we define
$$X(J):=\left{\left[a_0, \ldots, a_n\right]: F\left(a_0, \ldots, a_n\right)=0 \text { for each homogeneous } F \in J\right},$$
the projective variety defined by $J$.

## 数学代写|代数几何代写Algebraic Geometry代考|Homogenization and dehomogenization

$$f=F_0+F_1+\cdots+F_d, \quad d=\operatorname{deg}(f),$$

$$\mu_i: k\left[x_0, \ldots, x_n\right] \rightarrow k\left[y_0, \ldots, y_{i-1}, y_{i+1}, \ldots, y_n\right] x_i \quad \rightarrow 1 x_j \rightarrow y_j, \quad j \neq 1$$

〈left 缺少或无法识别的分隔符

$$F\left(x_0, \ldots, x_n\right):=x_i^{\operatorname{deg}(f)} f\left(x_0 / x_i, \ldots, x_{i-1} / x_i, x_{i+1} / x_i, \ldots, x_n / x_i\right)$$

$$J \neq\left\langle x_i^{\operatorname{deg}\left(f_j\right)} f_j\left(x_0 / x_i, \ldots, x_{i-1} / x_i, x_{i+1} / x_i, \ldots, x_n / x_i\right)\right\rangle_{j=1, \ldots, r}$$

## 数学代写|代数几何代写Algebraic Geometry代考|Projective varieties

$$X=X_1 \cup X_2, \quad X_1, X_2 \subsetneq X .$$

〈left 缺少或无法识别的分隔符

\left 缺少或无法识别的分隔符

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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## 数学代写|代数几何代写Algebraic Geometry代考|Applications

Unfortunately, computing over algebraically closed fields presents significant technical difficulties. How can a computer represent a general complex number? The Hilbert Nullstellensatz gives us a procedure for deciding whether a polynomial vanishes over the complex points of variety without ever computing over the complex numbers! We just need to check whether the polynomial is contained in the radical of the ideal generated by some defining set of equations. This can be checked over any field containing the coefficients of the polynomials at hand.

We no longer assume that $k$ is algebraically closed. To test whether a polynomial $g \in \sqrt{I}$, where $I=\left\langle f_1, \ldots, f_r\right\rangle$, we use the following criterion.

Proposition7.21 Given an ideal $I=\left\langle f_1, \ldots, f_r\right\rangle \subset k\left[x_1, \ldots, x_n\right], g \in \sqrt{I}$ if and only if $\left\langle f_1, \ldots, f_r, z g-1\right\rangle=k\left[x_1, \ldots, x_n, z\right]$.
Proof The proof of the Hilbert Nullstellensatz gives that
$1 \in\left\langle f_1, \ldots, f_r, z g-1\right\rangle \Rightarrow g^N \in I$ for some $N$.

Conversely, if $g^N=f_1 h_1+\cdots+f_r h_r$ then $z^N g^N=f_1\left(h_1 z^N\right)+\cdots+f_r\left(h_r z^N\right)$ and
$$1=f_1\left(h_1 z^N\right)+\cdots+f_r\left(h_r z^N\right)+\left(1-z^N g^N\right) .$$
Since $\left(1-z^N g^N\right)=(1-z g)\left(1+z g+\cdots+z^{N-1} g^{N-1}\right)$, we conclude $1 \in\left\langle f_1, \ldots\right.$, $\left.f_r, z g-1\right\rangle$.

## 数学代写|代数几何代写Algebraic Geometry代考|Dimension

Definition 7.26 Let $V \subset \mathbb{A}^n(k)$ be an irreducible affine variety. The dimension $\operatorname{dim} V$ is defined as the transcendence degree of $k(V)$ over $k$.

We outline an effective procedure to compute the dimension of a variety. Let $I \subset k\left[x_1, \ldots, x_n\right]$ be a prime ideal, $F$ the quotient field of $k\left[x_1, \ldots, x_n\right] / I$, and $d$ the transcendence degree of $F$ over $k$.
By Proposition $7.15$, there exist indices
$$1 \leq i_1<i_2<\ldots<i_d \leq n$$
such that $x_{i_1}, \ldots, x_{i_d}$ form a trascendence basis of $F$ over $k$. Indeed, any maximal algebraically independent subset will do. We therefore focus on determining whether a subset of the variables is algebraically independent. For notational simplicity, we take the first few variables.

Proposition 7.27 The elements $x_1, \ldots, x_e \in F$ are algebraically independent over $k$ if and only if $I \cap k\left[x_1, \ldots, x_e\right]=0$.

The intersection can be effectively computed using the Elimination Theorem (Theorem 4.8)

Proof If $x_1, \ldots, x_e$ are algebraically dependent then there exists a nonzero polynomial $f \in k\left[t_1, \ldots, t_e\right]$ such that $f\left(x_1, \ldots, x_e\right) \equiv 0(\bmod I)$. This gives a nontrivial element of $I \cap k\left[x_1, \ldots, x_e\right]$. Conversely, each such element gives an algebraic dependence relation among $x_1, \ldots, x_e$.

## 数学代写|代数几何代写Algebraic Geometry代考|Applications

$1 \in\left\langle f_1, \ldots, f_r, z g-1\right\rangle \Rightarrow g^N \in I$ 对于一些 $N$.

$$1=f_1\left(h_1 z^N\right)+\cdots+f_r\left(h_r z^N\right)+\left(1-z^N g^N\right) .$$

## 数学代写|代数几何代写Algebraic Geometry代考|Dimension

$$1 \leq i_1<i_2<\ldots<i_d \leq n$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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## 数学代写|代数几何代写Algebraic Geometry代考|Nullstellensatz

‘Nullstellensatz’ is a German term translated literally as ‘Zero places theorem’. It is associated with a problem first identified in Chapter 3: given an ideal $I \subset k\left[x_1, \ldots, x_n\right]$ defining a variety $V(I)$, what are the polynomials vanishing on $V(I)$ ? Generally, we have the inclusion (cf. Exercise 3.3)
$$I(V(I)) \supset I .$$
When does equality hold? Where there is a strict inclusion, can we obtain $I(V(I))$ directly from $I$ ?
Raising a polynomial to a power does not change where it vanishes, i.e.,
$$V(f)=V\left(f^N\right)$$
for each $N \geq 1$. A general definition will help us utilize this fact:
Definition 7.1 The radical of an ideal $I$ in a ring $R$ is defined
$$\sqrt{I}=\left{g \in R: g^N \in I \text { for some } N \in \mathbb{N}\right} \text {. }$$
An ideal $J$ is said to be radical if $\sqrt{J}=J$.
The reader should verify that $\sqrt{I}$ is automatically an ideal (see Exercise 7.3). Our observation then translates into the following result:
Proposition 7.2 If $I \subset k\left[x_1, \ldots, x_n\right]$ is an ideal then
$$\sqrt{I} \subset I(V(I)) .$$
Proof For each $f \in \sqrt{I}$, there exists an $N \gg 0$ such that $f^N \in I$. We have
$$V(f)=V\left(f^N\right) \supset V(I),$$
hence $f$ vanishes over $V(I)$.

## 数学代写|代数几何代写Algebraic Geometry代考|Statement of the Nullstellensatz

Theorem 7.3 (Hilbert Nullstellensatz) If $k$ is algebraically closed and $I \subset$ $k\left[x_1, \ldots, x_n\right]$ is an ideal then $I(V(I))=\sqrt{I}$.

In other words, given a function vanishing at each point of a variety, some power of that function can be written in terms of the defining equations for the variety.

Example 7.4 The relationship between $\sqrt{I}$ and $I(V(I))$ is still quite subtle over nonclosed fields. Consider
$$I=\left\langle x^{2 n}+y^{2 n}+1\right\rangle \subset \mathbb{R}[x, y]$$
so that
$$\emptyset=V(I) \subset \mathbb{A}^2(\mathbb{R})$$
and $I(V(I))=\mathbb{R}[x, y]$. On the other hand, $\sqrt{I} \subsetneq \mathbb{R}[x, y]$. Indeed, if $\sqrt{I}=\mathbb{R}[x, y]$ then $1 \in \sqrt{I}$, which would imply that $1 \in I$, a contradiction. Thus we have
$$\sqrt{I} \subsetneq I(V(I)) .$$
Here is another very useful statement also known as the Nullstellensatz:
Theorem 7.5 (Nullstellensatz II) Let $k$ be algebraically closed and $I=$ $\left\langle f_1, \ldots, f_r\right\rangle \subset k\left[x_1, \ldots, x_n\right]$. Then either

1. $I=k\left[x_1, \ldots, x_n\right] ;$ or
2. there exists a common solution $\left(a_1, \ldots, a_n\right)$ for the system
$$f_1=f_2=\ldots=f_r=0 .$$
In other words, over an algebraically closed field every consistent system of polynomials has a solution. Of course, an inconsistent system has no solutions over any field: if $f_1, \ldots, f_r$ have a common zero then $\left\langle f_1, \ldots, f_r\right\rangle$ does not contain 1 and
$$\left\langle f_1, \ldots, f_r\right\rangle \subsetneq k\left[x_1, \ldots, x_n\right]$$

## 数学代写|代数几何代写Algebraic Geometry代考|Nullstellensatz

“Nullstellensatz”是一个德语术语，直译为“零位定理”。它与第 3 章中首次发现的问题相关: 给定一个理想 $I \subset k\left[x_1, \ldots, x_n\right]$ 定义一个品种 $V(I)$ ，消失的㝖项式是什么 $V(I)$ ? 通常，我们有包含（参见练习 3.3)
$$I(V(I)) \supset I .$$

$$V(f)=V\left(f^N\right)$$

\left 缺少或无法识别的分隔符

$$\sqrt{I} \subset I(V(I)) .$$

$$V(f)=V\left(f^N\right) \supset V(I),$$

## 数学代写|代数几何代写Algebraic Geometry代考|Statement of the Nullstellensatz

$$I=\left\langle x^{2 n}+y^{2 n}+1\right\rangle \subset \mathbb{R}[x, y]$$

$$\emptyset=V(I) \subset \mathbb{A}^2(\mathbb{R})$$

$$\sqrt{I} \subsetneq I(V(I))$$

1. $I=k\left[x_1, \ldots, x_n\right]$;或者
2. 存在一个共同的解决方宲 $\left(a_1, \ldots, a_n\right)$ 对于系统
$$f_1=f_2=\ldots=f_r=0 .$$
换句话说，在代数封闭域上，每个一致的多项式系统都有一个解。当然，一个不一致的系统在任何领域都没有解决方案: 如 果 $f_1, \ldots, f_r$ 那么有一个共同的零 $\left\langle f_1, \ldots, f_r\right\rangle$ 不包含 1 和
$$\left\langle f_1, \ldots, f_r\right\rangle \subsetneq k\left[x_1, \ldots, x_n\right]$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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## 数学代写|代数几何代写Algebraic Geometry代考|Secant varieties, joins, and scrolls

In this section we describe some classical geometric constructions and how elimination techniques can be applied to write down their equations.
Consider the variety
$$\Delta_N=\left{\left(t_1, \ldots, t_N\right): t_1+t_2+\cdots+t_N=1\right} \subset \mathbb{A}^N(k) .$$
For each finite set of points $S=\left{p_1, \ldots, p_N\right} \subset \mathbb{A}^n(k)$, we have a morphism
\begin{aligned} \sigma_S: \Delta_N & \rightarrow \mathbb{A}^n \ \left(t_1, \ldots, t_N\right) & \mapsto t_1 p_1+\cdots+t_N p_N, \end{aligned}
where we add the $p_j$ as vectors in $k^n$. The image is called the affine span of $S$ in $\mathbb{A}^n(k)$ and denoted affspan $(S)$. We leave it to the reader to verify this is closed (cf. Exercise 4.9.)

Example 4.17 Given distinct points $p_1, p_2 \in \mathbb{A}^2(\mathbb{R})$, affspan $\left(p_1, p_2\right)$ is the unique line joining them. Given distinct noncollinear points $p_1, p_2, p_3 \in \mathbb{A}^3(\mathbb{R})$, $\operatorname{affspan}\left(p_1, p_2, p_3\right)$ is the unique plane containing them.

Proposition 4.18 The set $S=\left{p_1, \ldots, p_N\right}$ imposes independent conditions on polynomials of degree $\leq 1$ if and only if $\sigma_S$ is injective. We say that $S$ is in linear general position.

Proof $\quad \sigma_S$ is not injective if there are distinct $\left(t_1, \ldots, t_N\right),\left(t_1^{\prime}, \ldots, t_N^{\prime}\right) \in \Delta_N$ with
$$t_1 p_1+\cdots+t_N p_N=t_1^{\prime} p_1+\cdots+t_N^{\prime} p_N .$$

Reordering indices, if necessary, we can assume $t_1 \neq t_1^{\prime}$; we can write
$$p_1=\frac{t_2^{\prime}-t_2}{t_1-t_1^{\prime}} p_2+\cdots+\frac{t_N^{\prime}-t_N}{t_1-t_1^{\prime}} p_N,$$
i.e., $p_1 \in \operatorname{affspan}\left(\left{p_2, \ldots, p_N\right}\right)$. It follows that every linear polynomial vanishing at $p_2, \ldots, p_N$ also vanishes at $p_1$ (see Exercise 4.9) so $S$ fails to impose independent conditions on polynomials of degree $\leq 1$.

Conversely, suppose $S$ fails to impose independent conditions on polynomials of degree $\leq 1$. After reordering, we find
$$I_1\left(p_2, \ldots, p_N\right)=I_1\left(p_1, p_2, \ldots, p_N\right),$$
which implies (see Exercise 4.9)
$$p_1 \in \operatorname{affspan}\left(p_2, \ldots, p_N\right)$$

## 数学代写|代数几何代写Algebraic Geometry代考|Common roots of univariate polynomials

We translate the search for common solutions to a problem in linear algebra, albeit over an infinite-dimensional space:
Proposition 5.1 Consider polynomials
$$f=a_m x^m+a_{m-1} x^{m-1}+\cdots+a_0, g=b_n x^n+b_{n-1} x^{n-1}+\cdots+b_0 \in k[x]$$
of degrees $m$ and $n$, i.e., with $a_m, b_n \neq 0$. The following conditions are equivalent:

• $f$ and $g$ have a common solution over some extension of $k$;
• $f$ and $g$ share a common nonconstant factor $h \in k[x]$;
• there are no polynomials $A, B \in k[x]$ with $A f+B g=1$;
• $\langle f, g\rangle \subsetneq k[x]$
Proof We prove the first two are equivalent. Suppose $f$ and $g$ have a common solution $\alpha \in L$, where $L / k$ is a field extension. Let $k[\alpha] \subset L$ denote the $k$-algebra generated by $\alpha$. It is a quotient
• • \begin{aligned} • q: k[x] & \mapsto k[\alpha] \ • x & \mapsto \alpha • \end{aligned} •
• with kernel generated by a polynomial $h$ (see Theorem A.9). Since $f(\alpha)=g(\alpha)=0$, $f, g \in\langle h(x)\rangle$ and $h$ is nonzero and divides $f$ and $g$. But if $h$ were constant then $q$ would be zero, which is impossible.

Conversely, suppose that $f$ and $g$ share a common factor $h \in k[x]$. We may assume $h$ is irreducible, so that $k[x] /\langle h\rangle$ is a field. Since $f$ and $g$ are in the kernel of the quotient homomorphism
$$k[x] \rightarrow k[x] /\langle h\rangle,$$
$f$ and $g$ both have roots over that field.

## 数学代写|代数几何代写Algebraic Geometry代考|Secant varieties, joins, and scrolls

\eft 的分隔符缺失或无法识别

，我们有一个态射
$$\sigma_S: \Delta_N \rightarrow \mathbb{A}^n\left(t_1, \ldots, t_N\right) \quad \mapsto t_1 p_1+\cdots+t_N p_N,$$

(参见练习4.9。)

$$t_1 p_1+\cdots+t_N p_N=t_1^{\prime} p_1+\cdots+t_N^{\prime} p_N .$$

$$p_1=\frac{t_2^{\prime}-t_2}{t_1-t_1^{\prime}} p_2+\cdots+\frac{t_N^{\prime}-t_N}{t_1-t_1^{\prime}} p_N,$$
IE。 \left 的分隔符缺失或无法识别 . 因此，每个线性须项式在 $p_2, \ldots, p_N$ 也消失在 $p_1$ (见刃题 4.9) 所以 $S$ 末 能对度数多项式施加独立条件 $\leq 1$.

$$I_1\left(p_2, \ldots, p_N\right)=I_1\left(p_1, p_2, \ldots, p_N\right),$$

$$p_1 \in \operatorname{affspan}\left(p_2, \ldots, p_N\right)$$

## 数学代写|代数几何代写Algebraic Geometry代考|Common roots of univariate polynomials

$$f=a_m x^m+a_{m-1} x^{m-1}+\cdots+a_0, g=b_n x^n+b_{n-1} x^{n-1}+\cdots+b_0 \in k[x]$$

• $f$ 和 $g$ 对某些扩展有一个共同的解决方安 $k$;
• $f$ 和 $g$ 共享一个共同的非常数因子 $h \in k[x] ;$
• 没有多项式 $A, B \in k[x]$ 和 $A f+B g=1$;
• $\langle f, g\rangle \subsetneq k[x]$
证明我们证明前两个是等价的。认为 $f$ 和 $g$ 有一个共同的解快方安 $\alpha \in L$ ，在哪里 $L / k$ 是一个字段扩展。让 $k[\alpha] \subset L$ 表示 $k-$ 代数由 $\alpha$. 这是一个商
• \$\$
• $\backslash$ 开始 ${$ 对齐 $}$
• $x \&$ Imapsto \alpha
• \end } { \text { 对㐎 } }
• \$\$
• 由多项式生成的内核 $h$ (见定理 A.9) 。自从 $f(\alpha)=g(\alpha)=0, f, g \in\langle h(x)\rangle$ 和 $h$ 非零且除 $f$ 和 $g$. 但如果 $h$ 那时是恒定的 $q$ 将为䨐.，这是不可能的。
相反，假迣 $f$ 和 $g$ 共字一个共同因焘 $h \in k[x]$. 我们可以假设 $h$ 是不可约的，所以 $k[x] /\langle h\rangle$ 是一个字段。自从 $f$ 和 $g$ 在商同态的核中
$$k[x] \rightarrow k[x] /\langle h\rangle,$$
$f$ 和 $g$ 两者都植根于该领域。

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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## 数学代写|代数几何代写Algebraic Geometry代考|Closed sets and the Zariski topology

Definition 3.18 The algebro-geometric closure of a subset $S \subset \mathbb{A}^n(k)$ is defined
$$\bar{S}=\left{a \in \mathbb{A}^n(k): f(a)=0 \quad \text { for each } f \in I(S)\right}=V(I(S)) .$$
A subset $S \subset \mathbb{A}^n(k)$ is closed if $S=\bar{S} ; U \subset \mathbb{A}^n(k)$ is open if its complement $\mathbb{A}^n(k) \backslash U$ is closed in $\mathbb{A}^n(k)$.
Example 3.19

1. The closure of $\mathbb{N} \subset \mathbb{A}^1(\mathbb{C})$ is the complex line $\mathbb{A}^1(\mathbb{C})$.
2. The closure of $\left{(x, y): x^2+y^2=1, x \neq 0\right} \subset \mathbb{A}^2(\mathbb{R})$ is the circle $\left{(x, y): x^2+\right.$ $\left.y^2=1\right}$.
3. The open subsets of $\mathbb{A}^1(\mathbb{C})$ are the empty set and $U \subset \mathbb{C}$ with finite complement, e.g., $U=\mathbb{C} \backslash\left{a_1, \ldots, a_d\right}$.

You may remember open and closed sets from calculus, e.g., $U \subset \mathbb{R}^n$ is open if, for each $x \in U$, a sufficiently small ball centered at $x$ is contained in $U$. There is a very general definition underlying both usages:

Definition 3.20 A topological space consists of a set $X$ and a collection of subsets $\mathcal{Z}={Z \subset X}$ called the closed subsets of $X$, satisfying the following:

• $\emptyset, X \in \mathcal{Z}$;
• if $Z_1, Z_2 \in \mathcal{Z}$ then $Z_1 \cup Z_2 \in \mathcal{Z}$;
• if $\left{Z_j\right}_{j \in J} \subset \mathcal{Z}$ then $\cap_{j \in J} Z_j \in \mathcal{Z}$.
A subset $U \subset X$ is open if its complement $X \backslash U$ is closed.

## 数学代写|代数几何代写Algebraic Geometry代考|Coordinate rings and morphisms

We elaborate on algebraic aspects of morphisms of affine space.
Definition 3.23 Choose coordinates $x_1, \ldots, x_n$ and $y_1, \ldots, y_m$ on $\mathbb{A}^n(k)$ and $\mathbb{A}^m(k)$. Let $\phi: \mathbb{A}^n(k) \rightarrow \mathbb{A}^m(k)$ be a morphism given by the rule
$$\phi\left(x_1, \ldots, x_n\right)=\left(\phi_1\left(x_1, \ldots, x_n\right), \ldots, \phi_m\left(x_1, \ldots, x_n\right)\right), \quad \phi_j \in k\left[x_1, \ldots, x_n\right] .$$

For each $f \in k\left[y_1, \ldots, y_m\right]$, the pull-back by $\phi$ is defined
$$\phi^* f=f \circ \phi=f\left(\phi_1\left(x_1, \ldots, x_n\right), \ldots, \phi_m\left(x_1, \ldots, x_n\right)\right) .$$
We obtain a ring homomorphism
\begin{aligned} \phi^: k\left[y_1, \ldots, y_m\right] & \rightarrow k\left[x_1, \ldots, x_n\right] \ y_j & \mapsto \phi_j\left(x_1, \ldots, x_n\right), \end{aligned} with the property that $\phi^(c)=c$ for each constant $c \in k$, i.e., pull-back is a $k$-algebra homomorphism.
Conversely, any $k$-algebra homomorphism
$$\psi: k\left[y_1, \ldots, y_m\right] \rightarrow k\left[x_1, \ldots, x_n\right]$$
is determined by its values on the generators. Writing $\psi_j\left(x_1, \ldots, x_n\right)=\psi\left(y_j\right)$, we obtain a morphism
\begin{aligned} \mathbb{A}^n(k) & \rightarrow \mathbb{A}^m(k) \ \left(x_1, \ldots, x_n\right) & \mapsto\left(\psi_1\left(x_1, \ldots, x_n\right), \ldots, \psi_m\left(x_1, \ldots, x_n\right)\right) \end{aligned}

## 数学代写|代数几何代写Algebraic Geometry代考|Closed sets and the Zariski topology

〈left 的分隔符缺失或无法识别

1. 的关闭 $\mathbb{N} \subset \mathbb{A}^1(\mathbb{C})$ 是复线 $\mathbb{A}^1(\mathbb{C})$.
2. 的关闭〈left 的分隔符玦失或无法识别 是圆〈left 的分隔符缺失或无法识别
3. 的开放子集 $\mathbb{A}^1(\mathbb{C})$ 是空集和 $U \subset \mathbb{C}$ 用有限补码，例如，〈left 的分隔符缺失或无法识别
您可能还记得溦积分中的开集和闭集，例如， $U \subset \mathbb{R}^n$ 是开放的，如果，对于每个 $x \in U$ ，一个足够小的球，以 $x$ 包含在 $U$. 两种 用法都有一个非常䇥䡌的定义:
定义 $3.20$ 一个拓扑空间由一个集合组成 $X$ 和子焦的焦合 $\mathcal{Z}=Z \subset X$ 称为闭子集 $X$ ，满足以下条件:

$\emptyset, X \in \mathcal{Z}$;

$一$ 个子集 $U \subset X$ 如果它的补码是开放的 $X \backslash U$ 已经关了。

## 数学代写|代数几何代写Algebraic Geometry代考|Coordinate rings and morphisms

$$\phi\left(x_1, \ldots, x_n\right)=\left(\phi_1\left(x_1, \ldots, x_n\right), \ldots, \phi_m\left(x_1, \ldots, x_n\right)\right), \quad \phi_j \in k\left[x_1, \ldots, x_n\right] .$$

$$\phi^* f=f \circ \phi=f\left(\phi_1\left(x_1, \ldots, x_n\right), \ldots, \phi_m\left(x_1, \ldots, x_n\right)\right) .$$

$$\phi: k\left[y_1, \ldots, y_m\right] \rightarrow k\left[x_1, \ldots, x_n\right] y_j \quad \mapsto \phi_j\left(x_1, \ldots, x_n\right),$$

$$\psi: k\left[y_1, \ldots, y_m\right] \rightarrow k\left[x_1, \ldots, x_n\right]$$

$$\mathbb{A}^n(k) \rightarrow \mathbb{A}^m(k)\left(x_1, \ldots, x_n\right) \quad \mapsto\left(\psi_1\left(x_1, \ldots, x_n\right), \ldots, \psi_m\left(x_1, \ldots, x_n\right)\right)$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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avatest™的各个学科专家已帮了学生顺利通过达上千场考试。我们保证您快速准时完成各时长和类型的考试，包括in class、take home、online、proctor。写手整理各样的资源来或按照您学校的资料教您，创造模拟试题，提供所有的问题例子，以保证您在真实考试中取得的通过率是85%以上。如果您有即将到来的每周、季考、期中或期末考试，我们都能帮助您！

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## 数学代写|代数几何代写Algebraic Geometry代考|Gro¨bner bases and the division algorithm

Algorithm $2.7$ (Division procedure) $\quad$ Fix a monomial order $>$ on $k\left[x_1, \ldots, x_n\right]$ and nonzero polynomials $f_1, \ldots, f_r \in k\left[x_1, \ldots, x_n\right]$. Given $g \in k\left[x_1, \ldots, x_n\right]$, we want to determine whether $g \in\left\langle f_1, \ldots, f_r\right\rangle$ :
Step o Put $g_0=g$. If there exists no $f_j$ with $\operatorname{LM}\left(f_j\right) \mid L M\left(g_0\right)$ then we STOP. Otherwise, pick such an $f_{j_0}$ and cancel leading terms by putting
$$g_1=g_0-f_{j_0} \mathrm{LT}\left(g_0\right) / \mathrm{LT}\left(f_{j_0}\right) .$$
Step i Given $g_i$, if there exists no $f_j$ with $\operatorname{LM}\left(f_j\right) \mid \mathrm{LM}\left(g_i\right)$ then we STOP. Otherwise, pick such an $f_{j_i}$ and cancel leading terms by putting
$$g_{i+1}=g_i-f_{j_i} \operatorname{LT}\left(g_i\right) / \operatorname{LT}\left(f_{j_i}\right) .$$
As we are cancelling leading terms at each stage, we have
$$\mathrm{LM}(g)=\mathrm{LM}\left(g_0\right)>\mathrm{LM}\left(g_1\right)>\ldots>\operatorname{LM}\left(g_i\right)>\mathrm{LM}\left(g_{i+1}\right)>\ldots$$

By the well-ordering property of the monomial order, such a chain of decreasing monomials must eventually terminate. If this procedure does not stop, then we must have $g_N=0$ for some $N$. Back-substituting using Equation 2.1, we obtain
$$g=\sum_{i=0}^{N-1} f_{j_i} \operatorname{LT}\left(g_i\right) / \operatorname{LT}\left(f_{j_i}\right)=\sum_{j=1}^r\left(\sum_{j_i=j} \operatorname{LT}\left(g_i\right) / \operatorname{LT}\left(f_{j_i}\right)\right) f_j=\sum_{j=1}^r h_j f_j,$$
where the last sum is obtained by regrouping terms.
Unfortunately, this procedure often stops prematurely. Even when $g \in$ $\left\langle f_1, \ldots, f_r\right\rangle$, it may happen that $\mathrm{LM}(g)$ is not divisible by any $\operatorname{LM}\left(f_j\right)$.

## 数学代写|代数几何代写Algebraic Geometry代考|Normal forms

Theorem 2.16 Fix a monomial order $>$ on $k\left[x_1, \ldots, x_n\right]$ and an ideal $I \subset$ $k\left[x_1, \ldots, x_n\right]$. Then each $g \in k\left[x_1, \ldots, x_n\right]$ has a unique expression
$$g \equiv \sum_{x^\alpha \notin \operatorname{LT}(I)} c_\alpha x^\alpha(\bmod I),$$
where $c_\alpha \in k$ and all but a finite number are zero. The expression $\sum_\alpha c_\alpha x^\alpha$ is called the normal form of $g$ modulo $I$.

Equivalently, the monomials $\left{x^\alpha: x^\alpha \notin \operatorname{LT}(I)\right}$ form a $k$-vector-space basis for the quotient $k\left[x_1, \ldots, x_n\right] / I$.

Corollary 2.17 Fix a monomial order $>$ on $k\left[x_1, \ldots, x_n\right]$, an ideal $I \subset$ $k\left[x_1, \ldots, x_n\right]$, and Gröbner basis $f_1, \ldots, f_r$ for I. Then each $g \in k\left[x_1, \ldots, x_n\right]$ has a unique expression
$$g \equiv \sum c_\alpha x^\alpha \quad(\bmod I),$$
where $\mathrm{LM}\left(f_j\right)$ does not divide $x^\alpha$ for any $j$ or $\alpha$.
Proof of theorem: We first establish existence: the proof is essentially an induction on $\operatorname{LM}(g)$. Suppose the result is false, and consider the nonempty set
${\mathrm{LM}(g): g$ does not admit a normal form $}$
One of the defining properties of monomial orders guarantees that this set has a least element $x^\beta$; choose $g$ such that $\operatorname{LT}(g)=x^\beta$.

## 数学代写|代数几何代写Algebraic Geometry代考|Gro”bner bases and the division algorithm

$$g_1=g_0-f_{j_0} \mathrm{LT}\left(g_0\right) / \mathrm{LT}\left(f_{j_0}\right) .$$

$$g_{i+1}=g_i-f_{j_i} \mathrm{LT}\left(g_i\right) / \operatorname{LT}\left(f_{j_i}\right) .$$

$$\operatorname{LM}(g)=\operatorname{LM}\left(g_0\right)>\operatorname{LM}\left(g_1\right)>\ldots>\operatorname{LM}\left(g_i\right)>\operatorname{LM}\left(g_{i+1}\right)>\ldots$$

$$g=\sum_{i=0}^{N-1} f_{j_i} \mathrm{LT}\left(g_i\right) / \mathrm{LT}\left(f_{j_i}\right)=\sum_{j=1}^r\left(\sum_{j_i=j} \mathrm{LT}\left(g_i\right) / \mathrm{LT}\left(f_{j_i}\right)\right) f_j=\sum_{j=1}^r h_j f_j$$

## 数学代写|代数几何代写Algebraic Geometry代考|Normal forms

$$g \equiv \sum_{x^\alpha \nless \operatorname{LT}(I)} c_\alpha x^\alpha(\bmod I)$$

$$g \equiv \sum c_\alpha x^\alpha \quad(\bmod I)$$

$\mathrm{LM}(g): g \$$doesnotadmitanormal form \$$ 单项式的定义属性之一保证该集合具有最小元筙$x^\beta$; 选择$g$这样$\mathrm{LT}(g)=x^\beta\$.

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。