Posted on Categories:Algebraic Number Theory, 代数数论, 代數數論, 数学代写, 数的几何代写Geometry of Numbers

## avatest™帮您通过考试

avatest™的各个学科专家已帮了学生顺利通过达上千场考试。我们保证您快速准时完成各时长和类型的考试，包括in class、take home、online、proctor。写手整理各样的资源来或按照您学校的资料教您，创造模拟试题，提供所有的问题例子，以保证您在真实考试中取得的通过率是85%以上。如果您有即将到来的每周、季考、期中或期末考试，我们都能帮助您！

•最快12小时交付

•200+ 英语母语导师

•70分以下全额退款

## 数学代写|代数数论代写Algebraic Number Theory代考|Analytical continuation of the Riemann zetafunction

For $\varphi(x) \in \mathcal{S}(\mathbb{R})$ and $r>0$ set $\varphi(r \mathbb{Z}) \stackrel{\text { def }}{=} \sum_{n \neq 0} \varphi(r n)=\left(\sum_{x \in r \mathbb{Z}} \varphi(x)\right)-\varphi(0)$. Now define the zeta-integral
$$Z(\varphi ; s)=\int_0^{\infty} \varphi(r \mathbb{Z}) r^s \frac{d r}{r} .$$
REMARK 208. Note that we may assume wlog that $\Phi(r)$ is even, so we may consider this an integral on $\mathbb{R}^{\times} / \mathbb{Z}^{\times}$.

LEMMA 209. The sum defining $\varphi(r \mathbb{Z})$ converges locally uniformly absolutely (in particular this function is continuous), decays faster than any polynomial as $r \rightarrow \infty$ and satisfies $\varphi(r \mathbb{Z})=$ $O\left(r^{-1}\right)$
Proof. Let $N$ be even, and let $C$ be such that $|\varphi(x)| \leq \frac{C}{1+x^N}$ for all $x \in \mathbb{R}$. Then
\begin{aligned} \left|\sum_{n=1}^{\infty} \varphi(r n)\right| & \leq \int_0^{\infty} \frac{C}{1+(r x)^N} \mathrm{~d} x \ &=\left(\int_0^{\infty} \frac{C \mathrm{~d} x}{1+x^N}\right) r^{-N} . \end{aligned}
It follows that the sum conveges absolutely for $|r| \geq r_0$ and that it decays faster than any polynomial. For $r$ small break the sum up into $|n| \leq r^{-1}$ and $|n|>r^{-1}$.

## 数学代写|代数数论代写Algebraic Number Theory代考|The Dedekind Zetafunction

Preliminaries. Fix a number field $K$ of degree $n=[K: \mathbb{Q}]$. Suppose $K$ has $r_1$ (resp. $r_2$ ) real (resp. complex) places so that $r_1+2 r_2=n$.

Let $K_{\infty}=\bigoplus_{v \mid \infty} K_v$ be the archimedean completion in which $\mathcal{O}K$ is a lattice. Write $\mathcal{C}{K / \mathbb{Q}}$ for the complementary module, $d_K$ for the absolute discriminant and write $V$ for the covolume $\operatorname{vol}\left(K_{\infty} / \mathcal{O}_K\right)=2^{-r_2} \sqrt{\left|d_K\right|}$ as computed in Lemma 183.

Let $K_{\infty}^1=\left{r \in K_{\infty}^{\times} \mid|r|=1\right}$, and note that $K_{\infty}^1$ contains the image of the units $\mathcal{O}K^{\times}$. Recalling the map $\log : K{\infty}^{\times} \rightarrow \mathbb{R}^{r_1+r_2}$ from Section $4.4$ we showed there that $\log \left(\mathcal{O}K^{\times}\right)$is a lattice hyperplane $\log \left(K{\infty}^1\right)$, and defined the regulator $R_K$ to be the covolume $\operatorname{vol}\left(\log \left(K_{\infty}^1\right) / \log \left(\mathcal{O}K^{\times}\right)\right)$. Since Ker $\log =\left{\left(r_v\right){v \mid \infty}|\forall v:| r_v \mid=1\right} \simeq{\pm 1}^{r_1}(\mathbb{R} / 2 \pi \mathbb{Z})^{r_2}$ is compact we see that $K_{\infty}^1 / \mathcal{O}K^{\times}$is compact as well. We now record two volume computations we shall need later: LEMMA 212. Let $\mathfrak{c} \subset K$ be a fractional ideal. Then $\operatorname{vol}\left(K{\infty} / \mathfrak{c}\right)=N \mathfrak{c} \cdot V=2^{-r_2} N \mathfrak{c} \sqrt{\left|d_K\right|}$.
LEMMA 213. $\operatorname{vol}\left(K_{\infty}^1 / \mathcal{O}K\right)=\frac{1}{w} 2^{r_1}(2 \pi)^{r_2} R_K$ where $w=#\left(\mathcal{O}_K^{\times}\right){\text {tors }}$ is the numebr of roots of unity in $K$.

PROOF. We verified in Corollary 193 that Ker $\log \cap \mathcal{O}_K^{\times}$is exactly the group of roots of unity.

## 数学代写|代数数论代写Algebraic Number Theory代考|Analytical continuation of the Riemann zetafunction

$$Z(\varphi ; s)=\int_0^{\infty} \varphi(r \mathbb{Z}) r^s \frac{d r}{r} .$$
REMARK 208. 请注意，我们可以假设 $\operatorname{wog} \Phi(r)$ 是偶数，所以我们可以认为这是一个积分 $\mathbb{R}^{\times} / \mathbb{Z}^{\times}$. $O\left(r^{-1}\right)$

$$\left|\sum_{n=1}^{\infty} \varphi(r n)\right| \leq \int_0^{\infty} \frac{C}{1+(r x)^N} \mathrm{~d} x \quad=\left(\int_0^{\infty} \frac{C \mathrm{~d} x}{1+x^N}\right) r^{-N} .$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

Posted on Categories:Algebraic Number Theory, 代数数论, 代數數論, 数学代写, 数的几何代写Geometry of Numbers

## avatest™帮您通过考试

avatest™的各个学科专家已帮了学生顺利通过达上千场考试。我们保证您快速准时完成各时长和类型的考试，包括in class、take home、online、proctor。写手整理各样的资源来或按照您学校的资料教您，创造模拟试题，提供所有的问题例子，以保证您在真实考试中取得的通过率是85%以上。如果您有即将到来的每周、季考、期中或期末考试，我们都能帮助您！

•最快12小时交付

•200+ 英语母语导师

•70分以下全额退款

## 数学代写|代数数论代写Algebraic Number Theory代考|Geometry of Numbers

In this section, let $L / K$ be a finite separable extension such that the residue extension $k_L / k$ is also separable. Denote by $\pi_L$ (resp. $\pi_K$ ) a uniformizer of $L$ (resp. of $K$ ).
9.3.1. Norms of fractional ideals. – Note that both $\mathcal{O}L$ and $\mathcal{O}_K$ are Dedekind domains. We have the notion of fractional ideals on $L$ or on $K$. If $\mathfrak{a}$ is a fractional ideal of $L$, we define $$v_L(\mathfrak{a})=\min {x \in \mathfrak{a}}\left{v_L(x)\right} \in \mathbb{Z},$$
and call it the valuation of $\mathfrak{a}$. Then it is clear that $\mathfrak{a}=\left(\pi_L^{v_L(\mathfrak{a})}\right)$ We define the norm of $\mathfrak{a}$ as the fractional ideal of $K$ given by
$$\mathrm{N}{L / K}(\mathfrak{a}):=\left(\mathrm{N}{L / K}\left(\pi_L\right)\right)^{v_L(\mathfrak{a})} .$$
Lemma 9.3.2. – We have $v_K\left(\mathrm{~N}_{L / K}(\mathfrak{a})\right)=f(L \mid K) v_L(\mathfrak{a})$.

Proof. – It suffices to show that $v_K\left(\pi_L\right)=f(L \mid K)$. Let $L_0 / K$ denote the maximal unramified extension of $L / K$. Then $\mathrm{N}{L / K}\left(\pi_L\right)=\mathrm{N}{L_0 / K}\left(\mathrm{~N}{L / L_0}\left(\pi_L\right)\right)$. Since $L / L_0$ is totally ramified, we see that $\mathrm{N}{L / L_0}\left(\pi_L\right)$ is a uniformizer of $L_0$. Thus it suffices to show that for any uniformizer $\pi_{L_0}$ of $L_0$, we have
$$v_K\left(\mathrm{~N}{L_0 / K}\left(\pi{L_0}\right)\right)=f(L \mid K) .$$
As $L_0 / K$ is unramified, one has $\pi_{L_0}=\pi_K u$ for some unit $u \in \mathcal{O}{L_0}^{\times}$. Thus, we get $$v_K\left(\mathrm{~N}{L_0 / K}\left(\pi_{L_0}\right)\right)=v\left(\mathrm{~N}_{L_0 / K}\left(\pi_K\right)\right)=f\left(L_0 \mid K\right)=f(L \mid K) .$$

## 数学代写|代数数论代写Algebraic Number Theory代考|Different and discriminant

Different and discriminant. – The theory of different and discriminant for number fields has an analog for $L / K$. Recall that the bilinear form $\operatorname{Tr}{L / K}(x y)$ on $L$ is non-degenerate by Theorem $1.2 .4$. We put $$\mathcal{O}_L^:=\left{x \in L: \operatorname{Tr}{L / K}(x y) \in \mathcal{O}K, \forall y \in \mathcal{O}_L\right} .$$ Then $\mathcal{O}_L^$ is a fractional ideal of $L$. It is clear that $\mathcal{O}_L \subseteq \mathcal{O}_L^$. We define the different of $L / K$ (or of $\mathcal{O}_L / \mathcal{O}_K$ ) as the ideal in $\mathcal{O}_L$ (9.3.3.1) $\quad \delta{L / K}:=\left(\mathcal{O}L^\right)^{-1}$.
and the discriminant of $L / K$ (or of $\mathcal{O}_L / \mathcal{O}_K$ ) as the ideal in $\mathcal{O}_K$
$$\mathfrak{d}{L / K}:=\mathrm{N}{L / K}\left(\delta{L / K}\right) \text {. }$$
Similar properties as in Section $3.3$ hold in our case. In particular, we have
Proposition 9.3.4. – Let $K^{\prime} / K$ be a sub-extension of $L / K$. Then we have
and
$$\delta_{L / K}=\left(\delta_{K^{\prime} / K} \mathcal{O}L\right) \cdot \delta{L / K^{\prime}},$$
$$\mathfrak{d}{L / K}=\mathrm{N}{K^{\prime} / K}\left(\mathfrak{d}{L / K^{\prime}}\right) \mathfrak{d}{K^{\prime} / K}^{\left[L: K^{\prime}\right]} .$$
Proof. – The proof is exactly the same as Proposition 3.3.5 and Corollary 3.3.6.
Applying this Proposition with $K^{\prime}$ equal to the maximal unramified sub-extension of $L / K$, we reduce the problem of computing $\delta_{L / K}$ to the case of $L_0 / K$ and $L / L_0$, i.e. it suffices to treat separately the unramified case and the totally ramified case.

## 数学代写|代数数论代写Algebraic Number Theory代考|Geometry of Numbers

9.3.1. 分数理想的规范。 – 注意两者 $\mathcal{O} L$ 和 $\mathcal{O}K$ 是 Dedekind 域。我们有分数理想的概念 $L$ 或在 $K$. 如果 $a$ 是一个分数理想 $L$, 我们定 义 〈left 缺少或无法识别的分隔符 并称之为估值 $\mathfrak{a}$. 那么很明显 $\mathfrak{a}=\left(\pi_L^{v L(\mathfrak{a})}\right)$ 我们定义范数 $\mathfrak{a}$ 作为分数理想 $K$ 由 $$\mathrm{N} L / K(\mathfrak{a}):=\left(\mathrm{N} L / K\left(\pi_L\right)\right)^{v_L(\mathfrak{a})} .$$ 引理 9.3.2。 – 我们有 $v_K\left(\mathrm{~N}{L / K}(\mathfrak{a})\right)=f(L \mid K) v_L(\mathfrak{a})$.

$$v_K\left(\mathrm{~N} L_0 / K\left(\pi L_0\right)\right)=f(L \mid K) .$$

$$v_K\left(\mathrm{~N} L_0 / K\left(\pi_{L_0}\right)\right)=v\left(\mathrm{~N}{L_0 / K}\left(\pi_K\right)\right)=f\left(L_0 \mid K\right)=f(L \mid K) .$$ discriminant 不同的和歧视的。 – 数域的不同和判别理论有一个模拟 $L / K$. 回想一下双线性形式 $\operatorname{Tr} L / K(x y)$ 上 $L$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

Posted on Categories:Algebraic Number Theory, 代数数论, 代數數論, 数学代写, 数的几何代写Geometry of Numbers

## avatest™帮您通过考试

avatest™的各个学科专家已帮了学生顺利通过达上千场考试。我们保证您快速准时完成各时长和类型的考试，包括in class、take home、online、proctor。写手整理各样的资源来或按照您学校的资料教您，创造模拟试题，提供所有的问题例子，以保证您在真实考试中取得的通过率是85%以上。如果您有即将到来的每周、季考、期中或期末考试，我们都能帮助您！

•最快12小时交付

•200+ 英语母语导师

•70分以下全额退款

## 数学代写|代数数论代写Algebraic Number Theory代考|Different, discriminant and ramification

In this section, let $L / K$ be a finite separable extension such that the residue extension $k_L / k$ is also separable. Denote by $\pi_L$ (resp. $\pi_K$ ) a uniformizer of $L$ (resp. of $K$ ).
9.3.1. Norms of fractional ideals. – Note that both $\mathcal{O}L$ and $\mathcal{O}_K$ are Dedekind domains. We have the notion of fractional ideals on $L$ or on $K$. If $\mathfrak{a}$ is a fractional ideal of $L$, we define $$v_L(\mathfrak{a})=\min {x \in \mathfrak{a}}\left{v_L(x)\right} \in \mathbb{Z},$$
and call it the valuation of $\mathfrak{a}$. Then it is clear that $\mathfrak{a}=\left(\pi_L^{v_L(\mathfrak{a})}\right)$ We define the norm of $\mathfrak{a}$ as the fractional ideal of $K$ given by
$$\mathrm{N}{L / K}(\mathfrak{a}):=\left(\mathrm{N}{L / K}\left(\pi_L\right)\right)^{v_L(\mathfrak{a})} .$$
Lemma 9.3.2. – We have $v_K\left(\mathrm{~N}_{L / K}(\mathfrak{a})\right)=f(L \mid K) v_L(\mathfrak{a})$.

Proof. – It suffices to show that $v_K\left(\pi_L\right)=f(L \mid K)$. Let $L_0 / K$ denote the maximal unramified extension of $L / K$. Then $\mathrm{N}{L / K}\left(\pi_L\right)=\mathrm{N}{L_0 / K}\left(\mathrm{~N}{L / L_0}\left(\pi_L\right)\right)$. Since $L / L_0$ is totally ramified, we see that $\mathrm{N}{L / L_0}\left(\pi_L\right)$ is a uniformizer of $L_0$. Thus it suffices to show that for any uniformizer $\pi_{L_0}$ of $L_0$, we have
$$v_K\left(\mathrm{~N}{L_0 / K}\left(\pi{L_0}\right)\right)=f(L \mid K) .$$
As $L_0 / K$ is unramified, one has $\pi_{L_0}=\pi_K u$ for some unit $u \in \mathcal{O}{L_0}^{\times}$. Thus, we get $$v_K\left(\mathrm{~N}{L_0 / K}\left(\pi_{L_0}\right)\right)=v\left(\mathrm{~N}_{L_0 / K}\left(\pi_K\right)\right)=f\left(L_0 \mid K\right)=f(L \mid K) .$$

## 数学代写|代数数论代写Algebraic Number Theory代考|Different and discriminant

Different and discriminant. – The theory of different and discriminant for number fields has an analog for $L / K$. Recall that the bilinear form $\operatorname{Tr}{L / K}(x y)$ on $L$ is non-degenerate by Theorem $1.2 .4$. We put $$\mathcal{O}_L^:=\left{x \in L: \operatorname{Tr}{L / K}(x y) \in \mathcal{O}K, \forall y \in \mathcal{O}_L\right} .$$ Then $\mathcal{O}_L^$ is a fractional ideal of $L$. It is clear that $\mathcal{O}_L \subseteq \mathcal{O}_L^$. We define the different of $L / K$ (or of $\mathcal{O}_L / \mathcal{O}_K$ ) as the ideal in $\mathcal{O}_L$ (9.3.3.1) $\quad \delta{L / K}:=\left(\mathcal{O}L^\right)^{-1}$.
and the discriminant of $L / K$ (or of $\mathcal{O}_L / \mathcal{O}_K$ ) as the ideal in $\mathcal{O}_K$
$$\mathfrak{d}{L / K}:=\mathrm{N}{L / K}\left(\delta{L / K}\right) \text {. }$$
Similar properties as in Section $3.3$ hold in our case. In particular, we have
Proposition 9.3.4. – Let $K^{\prime} / K$ be a sub-extension of $L / K$. Then we have
and
$$\delta_{L / K}=\left(\delta_{K^{\prime} / K} \mathcal{O}L\right) \cdot \delta{L / K^{\prime}},$$
$$\mathfrak{d}{L / K}=\mathrm{N}{K^{\prime} / K}\left(\mathfrak{d}{L / K^{\prime}}\right) \mathfrak{d}{K^{\prime} / K}^{\left[L: K^{\prime}\right]} .$$
Proof. – The proof is exactly the same as Proposition 3.3.5 and Corollary 3.3.6.
Applying this Proposition with $K^{\prime}$ equal to the maximal unramified sub-extension of $L / K$, we reduce the problem of computing $\delta_{L / K}$ to the case of $L_0 / K$ and $L / L_0$, i.e. it suffices to treat separately the unramified case and the totally ramified case.

## 数学代写|代数数论代写Algebraic Number Theory代考|Different, discriminant and ramification

9.3.1. 分数理想的规范。 – 注竟两者 $\mathcal{O} L$ 和 $\mathcal{O}K$ 是 Dedekind 域。我们有分数理想的概念 $L$ 或在 $K$. 如果 $\mathfrak{a}$ 是一个分数理想 $L$, 我们定 义 〈left 缺少或无法识别的分隔符 并称之为估值 $\mathfrak{a}$. 那么很明显 $\mathfrak{a}=\left(\pi_L^{v_L(\mathfrak{a})}\right)$ 我们定义范数 $\mathfrak{a}$ 作为分数理想 $K$ 由 $$\mathrm{N} L / K(\mathfrak{a}):=\left(\mathrm{N} L / K\left(\pi_L\right)\right)^{v_L(\mathfrak{a})} .$$ 引理 9.3.2。 – 我们有 $v_K\left(\mathrm{~N}{L / K}(\mathfrak{a})\right)=f(L \mid K) v_L(\mathfrak{a})$.

$\mathrm{N} L / K\left(\pi_L\right)=\mathrm{N} L_0 / K\left(\mathrm{~N} L / L_0\left(\pi_L\right)\right)$. 自从 $L / L_0$ 是完全分支的，我们看到 $\mathrm{N} L / L_0\left(\pi_L\right)$ 是均匀化的 $L_0$. 因此足以表明对于 任何圴化器 $\pi L_0$ 的 $L_0$ ，我们有
$$v_K\left(\mathrm{~N} L_0 / K\left(\pi L_0\right)\right)=f(L \mid K) .$$

$$v_K\left(\mathrm{~N} L_0 / K\left(\pi_{L_0}\right)\right)=v\left(\mathrm{~N}{L_0 / K}\left(\pi_K\right)\right)=f\left(L_0 \mid K\right)=f(L \mid K) .$$ discriminant 不同的和歧视的。 – 数域的不同和判别理论有一个模拟 $L / K$. 回想一下双线性形式 $\operatorname{Tr} L / K(x y)$ 上 $L$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。