如果你也在 怎样代写偏微分方程Partial Differential Equations 这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。偏微分方程Partial Differential Equations在数学中，偏微分方程（PDE）是一个方程，它规定了一个多变量函数的各种偏导数之间的关系。常微分方程构成了偏微分方程的一个子类，对应于单变量函数。截至2020年，随机偏微分方程和非局部方程是 “PDE “概念的特别广泛研究的延伸。更为经典的课题包括椭圆和抛物线偏微分方程、流体力学、玻尔兹曼方程和色散偏微分方程，目前仍有很多积极的研究。

偏微分方程Partial Differential Equations在以数学为导向的科学领域，如物理学和工程学中无处不在。例如，它们是现代科学对声音、热量、扩散、静电、电动力学、热力学、流体动力学、弹性、广义相对论和量子力学（薛定谔方程、保利方程等）的基础性认识。它们也产生于许多纯粹的数学考虑，如微分几何和变分计算；在其他值得注意的应用中，它们是几何拓扑学中证明庞加莱猜想的基本工具。部分由于这种来源的多样性，存在着广泛的不同类型的偏微分方程，并且已经开发了处理许多出现的个别方程的方法。因此，人们通常认为，偏微分方程没有 “一般理论”，专业知识在一定程度上被划分为几个基本不同的子领域。

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数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代写|Pfaffian Differential Forms and Equations

The expression
$$
\sum_{i=1}^n F_i\left(x_1, x_2, \ldots, x_n\right) d x_i
$$
in which the $F_i(i=1,2, \ldots, n)$ are functions of some or all of the $n$ independent variables $x_1, x_2, \ldots, x_n$, is called a Pfaffian differential form in $n$ variables. Similarly the relation
$$
\sum_{i=1}^n F_i d x_i=0
$$
is called a Pfaffian differential equation.
There is a fundamental difference between Pfaffian differential equations in two variables and those in a higher number of variables, and so we shall consider the two types separately.

In the case of two variables we may write equation (2) in the form
$$
P(x, y) d x+Q(x, y) d y=0
$$
which is equivalent to
$$
\frac{d y}{d x}=f(x, y)
$$
if we write $f(x, y)=-P / Q$. Now the functions $P(x, y)$ and $Q(x, y)$ are known functions of $x$ and $y$, so that $f(x, y)$ is defined uniquely at each point of the $x y$ plane at which the functions $P(x, y)$ and $Q(x, y)$ are defined. In particular, if these functions are single-valued, then $d y / d x$ is single-valued, so that the solution of equation (3) which satisfies the boundary condition $y=y_0$ when $x=x_0$ consists of the curve which passes through this point and whose tangent at each point is defined by equation (4). This simple geometrical argument can be formalized ${ }^1$ to show that the differential equation (3) defines a one-parameter family of curves in the $x y$ plane. In other words, it can be shown that there exists, at least in a certain region of the $x y$ plane, exactly one function $\phi(x, y)$ such that the relation
$$
\phi(x, y)=c
$$
in which $c$ is a constant, defines a function $y(x)$ which satisfies identically the differential equation (3).

数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代写|Carathéodory’s Theorem

The importance of the analysis of Sec. 5 is that it shows that we cannot, in general, find integrating factors for Pfaffian differential forms in more than two independent variables. Our discussion has shown that Pfaffian differential forms fall into two classes, those which are integrable and those which are not. This difference is too abstract to be of immediate use in thermodynamical theory, and it is necessary to seek a more geometrical characterization of the difference between the two classes of Pfaffian forms.

Before considering the case of three variables, we shall consider the case of a Pfaffian differential form in two variables. As a first example take the Pfaffian equation
$$
d x-d y=0
$$
which obviously has the solution
$$
x-y=c
$$
where $c$ is a constant. Geometrically this solution consists of a family of straight lines all making an angle $\pi / 4$ with the positive direction of the $x$ axis. Consider now the point $(0,0)$. The only line of the family (1) which passes through this point is the line $x=y$. This line intersects the circle $x^2+y^2=\varepsilon^2$ in two points
$$
A\left(\frac{\varepsilon}{\sqrt{2}}, \frac{\varepsilon}{\sqrt{2}}\right) \quad \text { and } \quad B\left(-\frac{\varepsilon}{\sqrt{2}},-\frac{\varepsilon}{\sqrt{2}}\right)
$$

Now it is not possible to go from $A$ to any point on the circle, other than $B$, if we restrict the motion to be always along lines of the family (1). Thus, since $\varepsilon$ may be made as small as we please, it follows that arbitrarily close to the point $(0,0)$ there is an infinity. of points which cannot be reached by means of lines which are solutions of the given Pfaffian differential equation.

This result is true of the general Pfaffian differential equation in two variables. By Theorem 2 there exists a function $\phi(x, y)$ and a function $\mu(x, y)$ such that
$$
\mu(x, y){P(x, y) d x+Q(x, y) d y}=d \phi(x, y)
$$
so that the equation
$$
P d x+Q d y=0
$$
must possess an integral of the form
$$
\phi(x, y)=c
$$
where $c$ is a constant. Thus through every point of the $x y$ plane there passes one, and only one, curve of the one-parameter system (2). From any given point in the $x y$ plane we cannot reach all the neighboring points by curves which satisfy the given differential equation. We shall refer to this state of affairs by the statement that not all the points in the neighborhood are accessible from the given point.

偏微分方程代写

数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代写|Pfaffian Differential Forms and Equations

表达方式
$$
\sum_{i=1}^n F_i\left(x_1, x_2, \ldots, x_n\right) d x_i
$$
其中$F_i(i=1,2, \ldots, n)$是部分或全部$n$自变量$x_1, x_2, \ldots, x_n$的函数，在$n$变量中称为Pfaffian微分形式。类似的关系
$$
\sum_{i=1}^n F_i d x_i=0
$$
称为普菲微分方程。
两个变量的普氏微分方程与多个变量的普氏微分方程有着根本的区别，因此我们将分别考虑这两种类型。

在两个变量的情况下，我们可以将方程(2)写成
$$
P(x, y) d x+Q(x, y) d y=0
$$
它等价于
$$
\frac{d y}{d x}=f(x, y)
$$
如果我们写$f(x, y)=-P / Q$。现在，函数$P(x, y)$和$Q(x, y)$是$x$和$y$的已知函数，因此，在定义函数$P(x, y)$和$Q(x, y)$的$x y$平面的每个点上，$f(x, y)$都是唯一定义的。特别地，如果这些函数是单值的，那么$d y / d x$是单值的，使得方程(3)的解满足边界条件$y=y_0$，当$x=x_0$由经过该点的曲线组成，其在每一点的切线由方程(4)定义。这个简单的几何论证可以形式化${ }^1$，以表明微分方程(3)定义了$x y$平面上的单参数曲线族。换句话说，可以证明，至少在$x y$平面的某个区域，存在一个函数$\phi(x, y)$，使得关系
$$
\phi(x, y)=c
$$
其中$c$为常数，定义一个满足微分方程(3)的函数$y(x)$。

数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代写|Carathéodory’s Theorem

第5节分析的重要性在于，它表明，一般来说，我们不能在两个以上的自变量中找到pfaffan微分形式的积分因子。我们的讨论表明，普氏微分形式分为两类，一类是可积的，另一类是不可积的。这种差别太抽象了，不能立即应用于热力学理论，有必要对两类普氏形式之间的差别寻求一种更几何的表征。

在考虑三个变量的情况之前，我们将考虑两个变量的普氏微分形式的情况。第一个例子是普菲方程
$$
d x-d y=0
$$
哪个显然有解
$$
x-y=c
$$
其中$c$是常数。从几何上讲，这个解由一组直线组成，它们都与$x$轴的正方向成一个角$\pi / 4$。现在考虑一点$(0,0)$。族(1)中唯一经过这一点的线是直线$x=y$。这条线与圆$x^2+y^2=\varepsilon^2$相交于两点
$$
A\left(\frac{\varepsilon}{\sqrt{2}}, \frac{\varepsilon}{\sqrt{2}}\right) \quad \text { and } \quad B\left(-\frac{\varepsilon}{\sqrt{2}},-\frac{\varepsilon}{\sqrt{2}}\right)
$$

现在，如果我们把运动限制在总是沿着族(1)的直线上，就不可能从$A$到达圆上的任何一点，除了$B$。因此，既然$\varepsilon$可以随心所欲地小，那么就可以得出结论，任意靠近$(0,0)$点的地方有一个无穷大。不能用直线到达的点，这些直线是给定普氏微分方程的解。

这一结果适用于一般的双变量普氏微分方程。根据定理2，存在一个函数$\phi(x, y)$和一个函数$\mu(x, y)$，使得
$$
\mu(x, y){P(x, y) d x+Q(x, y) d y}=d \phi(x, y)
$$
所以这个方程
$$
P d x+Q d y=0
$$
必须有一个积分的形式
$$
\phi(x, y)=c
$$
其中$c$是常数。因此，通过$x y$平面上的每一点，都有且只有一条单参数系统(2)的曲线经过。从$x y$平面上的任意一点出发，我们不可能通过满足给定微分方程的曲线到达所有邻近的点。对于这种情况，我们可以这样表述:并非邻域内的所有点都可以从给定点到达。

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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偏微分方程Partial Differential Equations在以数学为导向的科学领域，如物理学和工程学中无处不在。例如，它们是现代科学对声音、热量、扩散、静电、电动力学、热力学、流体动力学、弹性、广义相对论和量子力学（薛定谔方程、保利方程等）的基础性认识。它们也产生于许多纯粹的数学考虑，如微分几何和变分计算；在其他值得注意的应用中，它们是几何拓扑学中证明庞加莱猜想的基本工具。部分由于这种来源的多样性，存在着广泛的不同类型的偏微分方程，并且已经开发了处理许多出现的个别方程的方法。因此，人们通常认为，偏微分方程没有 “一般理论”，专业知识在一定程度上被划分为几个基本不同的子领域。

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数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代写|Alternating Direction Implicit Methods

The strategy is to advance the time step first in the $\xi_1$-direction while holding the grid about the $\xi_2$ variable fixed. Then switch or alternate directions by advancing the time step in $\xi_2$ while holding $\xi_1$ fixed. This is the long-established alternating direction method. By making the linear portion of the partial differential equation (that is the Laplacian) implicit in time and the nonlinear portion explicit in time, the alternating direction quasi-implicit method (ADQI) can be described by (7.5.2)
$$
\left.\begin{array}{rl}
\delta_\tau^{+}\left(\boldsymbol{w}{j, k}^n\right) & =C \delta_1^2\left(\boldsymbol{w}{j, k}^{n+1}\right)+N\left(\boldsymbol{w}{j, k}^n\right) \boldsymbol{w}{j, k}^n \
\delta_\tau^{+}\left(\boldsymbol{w}{j, k}^{n+1}\right) & =C \delta_2^2\left(\boldsymbol{w}{j, k}^{n+2}\right)+N\left(\boldsymbol{w}{j, k}^{n+1}\right) \boldsymbol{w}{j, k}^{n+1}
\end{array}\right} .
$$
It is left to the (brave-hearted) reader to extend the proofs of Theorems 7.5 (Stability) and 7.6 (Consistency) to the two-dimensional case. These results along with the Lax Equivalence Theorem, will lead to the bound from Theorem 7.6 on the temporal space $\Delta \tau$ which ensures that the $A D Q I$ method (7.5.2) is convergent.

数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代写|Definitions, Notation, and Key Conditions

The following symbols and notation will be used throughout this chapter. The symbols $X, Y$, and $Z$ represent separable Hilbert spaces with $X$ continuously embedded in $Z$. The symbol $\sigma(A)$ is the set of all eigenvalues of the linear operator $A$, also called the spectrum of $A$. The symbol $\sigma_n(\mathbb{R})$ is defined to be the set of all $n \mathrm{x} n$ matrices with real coefficients whose eigenvalues are not purely imaginary: $\sigma_n(\mathbb{R})=\left{A \in \operatorname{Mat}{n \times n}(\mathbb{R}): \lambda \in \sigma(A) \Rightarrow \operatorname{Re}(\lambda) \neq 0\right}$. Some of the other notations used in this section are as follows. $\Theta(X, Y)$ is the set of all continuous maps from $X$ into $Y$ $\partial^m(X, Y)$ is the set of all $m$-times continuously Fréchet-differentiable maps from $X$ into $Y$ $Q(X, Y)$ is the set of all linear maps from $X$ into $Y$ $\mathscr{ఠ}*^0(X, Y)={f \in \mathscr{C}(X, Y): f$ is uniformly bounded and uniformly continuous $}$
$f^{\prime}(u) v$ is the Fréchet derivative of the operator $f(u)$ evaluated at $v$
$\mathscr{S}(X, Y)=\left{f \in \mathscr{C}^1(X, Y): f\right.$ is bounded and $f(0)=0=f^{\prime}(0) v$ for all $\left.v \in \operatorname{Dom}\left[f^{\prime}(0)\right]\right}$
$\mathscr{B}_X(0, r)=\left{x \in X:|x|_X<r\right} \equiv$ the sphere of radius $r$ in $X$-space
$$
H^1([0, T] ; Z)=\left{f: \int_0^T\left(|f(t)|_Z^2+\left|\frac{\partial f}{\partial t}(t)\right|_Z^2\right) d t<\infty\right}
$$
Additional definitions of function spaces are found in the Introduction. The Hartman-Grobman Theorem for ordinary differential equations is now stated with respect to the Banach space $E$.

偏微分方程代写

数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代写|Alternating Direction Implicit Methods

策略是首先在$\xi_1$ -方向上推进时间步长，同时保持关于$\xi_2$变量的网格固定。然后切换或交替方向推进时间步进$\xi_2$，同时保持$\xi_1$固定。这就是建立已久的交替方向法。通过将偏微分方程的线性部分(即拉普拉斯方程)在时间上隐式化，将非线性部分在时间上显式化，交替方向拟隐方法(ADQI)可由式(7.5.2)描述。
$$
\left.\begin{array}{rl}
\delta_\tau^{+}\left(\boldsymbol{w}{j, k}^n\right) & =C \delta_1^2\left(\boldsymbol{w}{j, k}^{n+1}\right)+N\left(\boldsymbol{w}{j, k}^n\right) \boldsymbol{w}{j, k}^n \
\delta_\tau^{+}\left(\boldsymbol{w}{j, k}^{n+1}\right) & =C \delta_2^2\left(\boldsymbol{w}{j, k}^{n+2}\right)+N\left(\boldsymbol{w}{j, k}^{n+1}\right) \boldsymbol{w}{j, k}^{n+1}
\end{array}\right} .
$$
将定理7.5(稳定性)和定理7.6(一致性)的证明扩展到二维情况是留给(勇敢的)读者的。这些结果与Lax等价定理一起，将导致定理7.6在时间空间$\Delta \tau$上的界，从而确保$A D Q I$方法(7.5.2)是收敛的。

数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代写|Definitions, Notation, and Key Conditions

以下符号和记号将贯穿本章。符号 $X, Y$，和 $Z$ 表示可分离希尔伯特空间 $X$ 持续嵌入 $Z$． 符号 $\sigma(A)$ 是线性算子的所有特征值的集合吗 $A$，也叫谱 $A$． 符号 $\sigma_n(\mathbb{R})$ 定义为所有的集合 $n \mathrm{x} n$ 特征值不是纯虚数的实数系数矩阵: $\sigma_n(\mathbb{R})=\left{A \in \operatorname{Mat}{n \times n}(\mathbb{R}): \lambda \in \sigma(A) \Rightarrow \operatorname{Re}(\lambda) \neq 0\right}$． 本节中使用的其他一些符号如下。 $\Theta(X, Y)$ 是所有连续映射的集合吗 $X$ 进入 $Y$ $\partial^m(X, Y)$ 是所有的集合吗 $m$-times连续fr -可微映射从 $X$ 进入 $Y$ $Q(X, Y)$ 是所有线性映射的集合吗 $X$ 进入 $Y$ $\mathscr{ఠ}*^0(X, Y)={f \in \mathscr{C}(X, Y): f$ 是一致有界且一致连续的吗 $}$

$f^{\prime}(u) v$ 是这个操作者的导数吗 $f(u)$ 评估于 $v$

$\mathscr{S}(X, Y)=\left{f \in \mathscr{C}^1(X, Y): f\right.$ 是有界的 $f(0)=0=f^{\prime}(0) v$ 对所有人 $\left.v \in \operatorname{Dom}\left[f^{\prime}(0)\right]\right}$

$\mathscr{B}_X(0, r)=\left{x \in X:|x|_X<r\right} \equiv$ 半径球 $r$ 在 $X$-space
$$
H^1([0, T] ; Z)=\left{f: \int_0^T\left(|f(t)|_Z^2+\left|\frac{\partial f}{\partial t}(t)\right|_Z^2\right) d t<\infty\right}
$$
函数空间的其他定义见引言。常微分方程的Hartman-Grobman定理现在是关于巴拿赫空间的 $E$．

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线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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偏微分方程Partial Differential Equations在以数学为导向的科学领域，如物理学和工程学中无处不在。例如，它们是现代科学对声音、热量、扩散、静电、电动力学、热力学、流体动力学、弹性、广义相对论和量子力学（薛定谔方程、保利方程等）的基础性认识。它们也产生于许多纯粹的数学考虑，如微分几何和变分计算；在其他值得注意的应用中，它们是几何拓扑学中证明庞加莱猜想的基本工具。部分由于这种来源的多样性，存在着广泛的不同类型的偏微分方程，并且已经开发了处理许多出现的个别方程的方法。因此，人们通常认为，偏微分方程没有 “一般理论”，专业知识在一定程度上被划分为几个基本不同的子领域。

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数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代写|The Stimulated Raman Scattering Laser Model

The interaction of two lasers within an electro-magnetic medium can be described by a system of partial differential equations. The method of spectroscopy referred to as stimulated Raman scattering can be roughly described as an extension of Maxwell’s equations and Figure 7.1. More specifically, let $M_1$ and $M_2$ be two mirrors which are coated in such a manner as to be transparent to an input or pump laser. The electric field for the pump laser will be denoted as $E_p$. Moreover, the coatings on the mirrors reflect the energy from a second input or Stokes laser within the aforementioned Raman gain medium. The electric field on the Stokes laser is represented by $E_s$. Finally, suppose that the mirror $M_1$ is $100 \%$ reflective of the Stokes laser while $M_2$ is less than $100 \%$ reflective (e.g., 95\%). The energy from the pump laser $E_p$ excites photons within the Raman gain medium that, in turn, transfer energy to the Stokes laser $E_s$. This energy is amplified by the back and forth reflection of the pump laser between the mirrors. With respect to the reflection rates mentioned above, energy from the pump laser (solid lines) is transmitted via the gain medium to the Stokes laser (dashed lines). The Stokes field then transmits energy through the second mirror $M_2$ at the leakage rate (in this case $5 \%$ ).

The two lasers undergo a nonlinear interaction within the gain medium that is modeled by the system of PDEs (7.1.1), see Newell and Moloney [53], Butcher and Cotter [15], and Penzkopfer, Laubereau, and Kaiser [60] for greater detail. The development presented here follows Costa [20].
$$
\left.\begin{array}{l}
\left(\frac{\partial}{\partial z}+\frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial t}\right) E_p+\frac{i}{2 k_p} \Delta_{\perp} E_p=i \frac{\hbar \omega_p}{2 \varpi c} v\left(\omega_p\right) q_{p s} \sigma_{p s} E_s \
\left(\frac{\partial}{\partial z}+\frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial t}\right) E_s+\frac{i}{2 k_s} \Delta_{\perp} E_s=i \frac{\hbar \omega_s}{2 \varpi c} v\left(\omega_s\right) q_{p s} \bar{\sigma}{p s} E_p \ \frac{\partial}{\partial t} \sigma{p s}+\beta_{p s} \sigma_{p s}=i q_{p s} E_p \bar{E}_s
\end{array}\right}
$$
This rather formidable looking set of equations employs the notation listed below.

数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代写|A Quasi–Implicit Finite Difference Scheme

The method utilized is implicit in the (linear) spatial derivative and explicit with respect to the nonlinear portion. First, the one-spatial dimensional case $\boldsymbol{\xi}=\xi \in\left[a_o, b_o\right] \subset \mathbb{R}$ is developed.
$$
\delta_\tau^{+}\left(\boldsymbol{w}k^n\right)=C \delta{\xi}^2\left(\boldsymbol{w}k^{n+1}\right)+N\left(\boldsymbol{w}_k^n\right) \boldsymbol{w}_k^n $$ Equation (7.2.2) is referred to as the quasi-implicit method for the PDE (7.2.1). Throughout this chapter, use the notation $\lambda_p=\frac{(\Delta \xi)^2}{c_p \Delta \tau}, \lambda_s=\frac{(\Delta \xi)^2}{c_s \Delta \tau}, \zeta_p=\frac{(\Delta \xi)^2}{c_p}, \zeta_s=\frac{(\Delta \xi)^2}{c_s}, u_k^n=u\left(\xi_k, \tau_n\right)$, $v_k^n=v\left(\xi_k, \tau_n\right), \boldsymbol{u}^n=\left[u_1^n, u_2^n, \cdots, u_K^n\right]^T, \boldsymbol{v}^n=\left[v_1^n, v_2^n, \cdots, v_K^n\right]^T, I{K \times K}=$ the $K \times K$ identity matrix, $U^n=\operatorname{diag}\left{\left|u_1^n\right|^2,\left|u_2^n\right|^2, \cdots,\left|u_K^n\right|^2\right}$ and $V^n=\operatorname{diag}\left{\left|v_1^n\right|^2,\left|v_2^n\right|^2, \cdots,\left|v_K^n\right|^2\right}$ are $K \times K$ diagonal matrices, $A=\left[\begin{array}{ccccc}2 & -1 & 0 & \cdots & 0 \ -1 & 2 & -1 & \cdots & 0 \ 0 & -1 & 2 & \cdots & 0 \ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ 0 & 0 & 0 & \cdots & 2\end{array}\right]$ -1 across the sub- and super-diagonals, and $A(\lambda)=A-i \cdot \lambda I_{K \times K}$. With this notation established, the quasi-implicit system (7.2.2) can be written as the pair of linear matrix equations
$$
\left.\begin{array}{l}
A\left(\lambda_p\right) \boldsymbol{u}^{n+1}=-i\left(\lambda_p I_{K \times K}-\zeta_p V^n\right) \boldsymbol{u}^n \
A\left(\lambda_s\right) \boldsymbol{v}^{n+1}=-i\left(\lambda_s I_{K \times K}+\zeta_s U^n\right) \boldsymbol{v}^n
\end{array}\right} .
$$

偏微分方程代写

数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代写|The Stimulated Raman Scattering Laser Model

电磁介质中两个激光器的相互作用可以用偏微分方程组来描述。被称为受激拉曼散射的光谱学方法可以大致描述为麦克斯韦方程和图7.1的扩展。更具体地说，假设$M_1$和$M_2$是两个镜面，它们的涂层对输入或泵浦激光是透明的。泵浦激光器的电场记为$E_p$。此外，反射镜上的涂层反射来自上述拉曼增益介质内的第二输入或斯托克斯激光器的能量。斯托克斯激光器上的电场用$E_s$表示。最后，假设镜面$M_1$对Stokes激光器的反射$100 \%$，而$M_2$的反射小于$100 \%$(例如，95％)。来自泵浦激光器$E_p$的能量激发了拉曼增益介质中的光子，这些光子反过来将能量传递给斯托克斯激光器$E_s$。这种能量被泵浦激光在反射镜之间的来回反射放大。关于上面提到的反射率，来自泵浦激光器(实线)的能量通过增益介质传输到斯托克斯激光器(虚线)。斯托克斯场然后以泄漏率(在这种情况下$5 \%$)通过第二个镜子$M_2$传输能量。

两个激光器在增益介质中经历非线性相互作用，由偏微分方程系统(7.1.1)建模，详见Newell和Moloney[53]、Butcher和Cotter[15]以及Penzkopfer、Laubereau和Kaiser[60]。本文介绍的发展沿袭了Costa[20]。
$$
\left.\begin{array}{l}
\left(\frac{\partial}{\partial z}+\frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial t}\right) E_p+\frac{i}{2 k_p} \Delta_{\perp} E_p=i \frac{\hbar \omega_p}{2 \varpi c} v\left(\omega_p\right) q_{p s} \sigma_{p s} E_s \
\left(\frac{\partial}{\partial z}+\frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial t}\right) E_s+\frac{i}{2 k_s} \Delta_{\perp} E_s=i \frac{\hbar \omega_s}{2 \varpi c} v\left(\omega_s\right) q_{p s} \bar{\sigma}{p s} E_p \ \frac{\partial}{\partial t} \sigma{p s}+\beta_{p s} \sigma_{p s}=i q_{p s} E_p \bar{E}_s
\end{array}\right}
$$
这个看起来相当强大的方程组使用了下面列出的符号。

数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代写|A Quasi–Implicit Finite Difference Scheme

所采用的方法在(线性)空间导数中是隐式的，而在非线性部分中是显式的。首先，建立了一维情况$\boldsymbol{\xi}=\xi \in\left[a_o, b_o\right] \subset \mathbb{R}$。
$$
\delta_\tau^{+}\left(\boldsymbol{w}k^n\right)=C \delta{\xi}^2\left(\boldsymbol{w}k^{n+1}\right)+N\left(\boldsymbol{w}k^n\right) \boldsymbol{w}_k^n $$式(7.2.2)被称为PDE(7.2.1)的准隐式方法。在本章中，使用符号$\lambda_p=\frac{(\Delta \xi)^2}{c_p \Delta \tau}, \lambda_s=\frac{(\Delta \xi)^2}{c_s \Delta \tau}, \zeta_p=\frac{(\Delta \xi)^2}{c_p}, \zeta_s=\frac{(\Delta \xi)^2}{c_s}, u_k^n=u\left(\xi_k, \tau_n\right)$, $v_k^n=v\left(\xi_k, \tau_n\right), \boldsymbol{u}^n=\left[u_1^n, u_2^n, \cdots, u_K^n\right]^T, \boldsymbol{v}^n=\left[v_1^n, v_2^n, \cdots, v_K^n\right]^T, I{K \times K}=$$K \times K$单位矩阵，$U^n=\operatorname{diag}\left{\left|u_1^n\right|^2,\left|u_2^n\right|^2, \cdots,\left|u_K^n\right|^2\right}$和$V^n=\operatorname{diag}\left{\left|v_1^n\right|^2,\left|v_2^n\right|^2, \cdots,\left|v_K^n\right|^2\right}$是$K \times K$对角线矩阵，$A=\left[\begin{array}{ccccc}2 & -1 & 0 & \cdots & 0 \ -1 & 2 & -1 & \cdots & 0 \ 0 & -1 & 2 & \cdots & 0 \ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ 0 & 0 & 0 & \cdots & 2\end{array}\right]$ -1横跨子对角线和超对角线，和$A(\lambda)=A-i \cdot \lambda I{K \times K}$。建立了这个符号后，拟隐系统(7.2.2)可以写成一对线性矩阵方程
$$
\left.\begin{array}{l}
A\left(\lambda_p\right) \boldsymbol{u}^{n+1}=-i\left(\lambda_p I_{K \times K}-\zeta_p V^n\right) \boldsymbol{u}^n \
A\left(\lambda_s\right) \boldsymbol{v}^{n+1}=-i\left(\lambda_s I_{K \times K}+\zeta_s U^n\right) \boldsymbol{v}^n
\end{array}\right} .
$$

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

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偏微分方程Partial Differential Equations在以数学为导向的科学领域，如物理学和工程学中无处不在。例如，它们是现代科学对声音、热量、扩散、静电、电动力学、热力学、流体动力学、弹性、广义相对论和量子力学（薛定谔方程、保利方程等）的基础性认识。它们也产生于许多纯粹的数学考虑，如微分几何和变分计算；在其他值得注意的应用中，它们是几何拓扑学中证明庞加莱猜想的基本工具。部分由于这种来源的多样性，存在着广泛的不同类型的偏微分方程，并且已经开发了处理许多出现的个别方程的方法。因此，人们通常认为，偏微分方程没有 “一般理论”，专业知识在一定程度上被划分为几个基本不同的子领域。

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数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代写|d’Alembert’s Solution of the Wave Equation

Consider the $n=1$ dimensional version of the wave equation (4.4.1). That is,
$$
\left.\begin{array}{ll}
\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}(x, t)=\sigma^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}(x, t), & \text { for } x \in \mathbb{R}, t>0 \
u(x, 0)=f(x), & \text { for } x \in \mathbb{R} \
\frac{\partial u}{\partial t}(x)=g(x), & \text { for } x \in \mathbb{R}
\end{array}\right}
$$
for $f \in C^2(\mathbb{R})$ and $g \in C^1(\mathbb{R})$. Then the solution (4.4.3) still applies but the frequency vector $\boldsymbol{\omega}$ is now merely the one-dimensional variable $\omega$ and the norm or length of the vector $\boldsymbol{\omega}$ is $|\boldsymbol{\omega}|=$ $|\omega|$. Consider the function $\frac{\sin (\sigma|\omega| t)}{\sigma|\omega|}=\frac{\sin (\sigma|\omega| t)}{\sigma|\omega|}$ from (4.4.3). If $|\omega|=-\omega$, then $\frac{\sin (\sigma|\omega| t)}{\sigma|\omega|}$ $=\frac{\sin (-\sigma \omega t)}{-\sigma \omega}=\frac{\sin (\sigma \omega t)}{\sigma \omega}$ since sine is an odd function. Similarly, $|\omega|=\omega$ means that $\frac{\sin (\sigma|\omega| t)}{\sigma|\omega|}$ $=\frac{\sin (\sigma \omega t)}{\sigma \omega}$. In either case, it must be that $W_2(x, t)=\mathfrak{F}^{-1}\left\frac{\sin (\sigma \omega t)}{\sigma \omega}\right=t \cdot \mathscr{F}^{-1}\left\frac{\sin (\sigma t \omega)}{\sigma t \omega}\right$.

数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代写|Fourier Transform Solution

Recall the properties of the $n$-dimensional Fourier transform $\mathscr{F}$ from $\S 4.1$ of Chapter 4 . Note that for $\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^3, \Delta A=\frac{\partial^2 A}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 A}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 A}{\partial z^2}$. Use properties 4.1.4 and 4.1.7 and apply $\mathscr{F}$ to the top equation of (5.0.4). Utilize the notation $Q(\omega, t)=\mathscr{F}A(\boldsymbol{x}, t)$ and $P(\omega, t)=\mathscr{J}p(\boldsymbol{x}, t)$ to obtain $\frac{\partial^2 Q}{\partial t^2}(\boldsymbol{\omega}, t)=-c^2|\omega|^2 Q(\boldsymbol{\omega}, t)+P(\boldsymbol{\omega}, t)$ where $|\boldsymbol{\omega}|^2=\omega_1^2+\omega_2^2+\omega_3^2$. Since $c$ is the speed of light and the norm $|\boldsymbol{\omega}|$ are both positive numbers, then $\alpha=c \cdot|\boldsymbol{\omega}|>0$. The Fourier transform of the top equation in (5.0.4) takes the more conventional form
$$
\frac{d^2 Q}{d t^2}(\omega, t)=-\alpha^2 Q(\omega, t)+P(\omega, t) .
$$

This, however, is precisely the equation first encountered in $\S 4.5$ of Chapter 4 which has solution $Q(\boldsymbol{\omega}, t)=q_c(\boldsymbol{\omega}, t)+q_p(\boldsymbol{\omega}, t)$, where $q_c(\boldsymbol{\omega}, t)=c_1 \cos (\alpha t)+c_2 \sin (\alpha t)=c_1 \cos (c|\boldsymbol{\omega}| t)+c_2 \sin (c|\boldsymbol{\omega}| t)$ and $q_p(\boldsymbol{\omega}, t)=\int_0^t \frac{\sin (c|\omega|[t-\tau])}{c|\omega|} P(\omega, \tau) d \tau$. This means
$$
Q(\omega, t)=c_1 \cos (c|\omega| t)+c_2 \sin (c|\omega| t)+\int_0^t \frac{\sin (c|\omega|[t-\tau])}{c|\omega|} P(\omega, \tau) d \tau .
$$

偏微分方程代写

数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代写|d’Alembert’s Solution of the Wave Equation

考虑波动方程(4.4.1)的$n=1$维度版本。也就是说，
$$
\left.\begin{array}{ll}
\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}(x, t)=\sigma^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}(x, t), & \text { for } x \in \mathbb{R}, t>0 \
u(x, 0)=f(x), & \text { for } x \in \mathbb{R} \
\frac{\partial u}{\partial t}(x)=g(x), & \text { for } x \in \mathbb{R}
\end{array}\right}
$$
浏览$f \in C^2(\mathbb{R})$和$g \in C^1(\mathbb{R})$。那么解决方案(4.4.3)仍然适用，但频率向量$\boldsymbol{\omega}$现在仅仅是一维变量$\omega$，向量$\boldsymbol{\omega}$的范数或长度是$|\boldsymbol{\omega}|=$$|\omega|$。考虑(4.4.3)中的$\frac{\sin (\sigma|\omega| t)}{\sigma|\omega|}=\frac{\sin (\sigma|\omega| t)}{\sigma|\omega|}$函数。如果$|\omega|=-\omega$，那么$\frac{\sin (\sigma|\omega| t)}{\sigma|\omega|}$$=\frac{\sin (-\sigma \omega t)}{-\sigma \omega}=\frac{\sin (\sigma \omega t)}{\sigma \omega}$因为sin是奇函数。同样，$|\omega|=\omega$表示$\frac{\sin (\sigma|\omega| t)}{\sigma|\omega|}$$=\frac{\sin (\sigma \omega t)}{\sigma \omega}$。无论哪种情况，都一定是$W_2(x, t)=\mathfrak{F}^{-1}\left\frac{\sin (\sigma \omega t)}{\sigma \omega}\right=t \cdot \mathscr{F}^{-1}\left\frac{\sin (\sigma t \omega)}{\sigma t \omega}\right$。

数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代写|Fourier Transform Solution

回想一下第四章$\S 4.1$中$n$维傅里叶变换$\mathscr{F}$的性质。注意，对于$\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^3, \Delta A=\frac{\partial^2 A}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 A}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 A}{\partial z^2}$。使用属性4.1.4和4.1.7，并将$\mathscr{F}$应用于(5.0.4)的上方程。使用符号$Q(\omega, t)=\mathscr{F}A(\boldsymbol{x}, t)$和$P(\omega, t)=\mathscr{J}p(\boldsymbol{x}, t)$获取$\frac{\partial^2 Q}{\partial t^2}(\boldsymbol{\omega}, t)=-c^2|\omega|^2 Q(\boldsymbol{\omega}, t)+P(\boldsymbol{\omega}, t)$，其中$|\boldsymbol{\omega}|^2=\omega_1^2+\omega_2^2+\omega_3^2$。因为$c$是光速，规范$|\boldsymbol{\omega}|$都是正数，那么$\alpha=c \cdot|\boldsymbol{\omega}|>0$。(5.0.4)中最上面方程的傅里叶变换采用更传统的形式
$$
\frac{d^2 Q}{d t^2}(\omega, t)=-\alpha^2 Q(\omega, t)+P(\omega, t) .
$$

然而，这正是第一次在第四章$\S 4.5$中遇到的方程，它有解$Q(\boldsymbol{\omega}, t)=q_c(\boldsymbol{\omega}, t)+q_p(\boldsymbol{\omega}, t)$，其中$q_c(\boldsymbol{\omega}, t)=c_1 \cos (\alpha t)+c_2 \sin (\alpha t)=c_1 \cos (c|\boldsymbol{\omega}| t)+c_2 \sin (c|\boldsymbol{\omega}| t)$和$q_p(\boldsymbol{\omega}, t)=\int_0^t \frac{\sin (c|\omega|[t-\tau])}{c|\omega|} P(\omega, \tau) d \tau$。这意味着
$$
Q(\omega, t)=c_1 \cos (c|\omega| t)+c_2 \sin (c|\omega| t)+\int_0^t \frac{\sin (c|\omega|[t-\tau])}{c|\omega|} P(\omega, \tau) d \tau .
$$

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线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

如果你也在 怎样代写偏微分方程Partial Differential Equations 这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。偏微分方程Partial Differential Equations在数学中，偏微分方程（PDE）是一个方程，它规定了一个多变量函数的各种偏导数之间的关系。常微分方程构成了偏微分方程的一个子类，对应于单变量函数。截至2020年，随机偏微分方程和非局部方程是 “PDE “概念的特别广泛研究的延伸。更为经典的课题包括椭圆和抛物线偏微分方程、流体力学、玻尔兹曼方程和色散偏微分方程，目前仍有很多积极的研究。

偏微分方程Partial Differential Equations在以数学为导向的科学领域，如物理学和工程学中无处不在。例如，它们是现代科学对声音、热量、扩散、静电、电动力学、热力学、流体动力学、弹性、广义相对论和量子力学（薛定谔方程、保利方程等）的基础性认识。它们也产生于许多纯粹的数学考虑，如微分几何和变分计算；在其他值得注意的应用中，它们是几何拓扑学中证明庞加莱猜想的基本工具。部分由于这种来源的多样性，存在着广泛的不同类型的偏微分方程，并且已经开发了处理许多出现的个别方程的方法。因此，人们通常认为，偏微分方程没有 “一般理论”，专业知识在一定程度上被划分为几个基本不同的子领域。

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数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代写|Poisson’s Equation (Modern Methods Revisited)

The ideas presented thus far in this chapter as well as in Chapter 2 have provided the required mathematical tools to solve Laplace’s equation and its variants, namely the Laplace-Dirichlet, Laplace-Neumann, and Laplace-Robin equations. The next step is to solve the inhomogeneous version of Laplace’s equation, also called Poisson’s equation $\Delta u=\rho(\boldsymbol{x})$. Attempting the classical approach of separation of variables in $\mathbb{R}^3$ leads to $u(x)=u(x, y, z)=X(x) \cdot Y(y) \cdot Z(z)$ and $\rho(x)=$ $\rho(x, y, z)=\xi(x) \cdot \psi(y) \cdot \zeta(z)$, so that $\Delta(X(x) \cdot Y(y) \cdot Z(z))=\xi(x) \cdot \psi(y) \cdot \zeta(z)$ or $X^{\prime \prime}(x) \cdot Y(y) \cdot Z(z)+$ $X(x) \cdot Y^{\prime \prime}(y) \cdot Z(z)+X(x) \cdot Y(y) \cdot Z^{\prime}(z)=\xi(x) \cdot \psi(y) \cdot \zeta(z)$. Assuming that none of $X(x), Y(y)$, or $Z(z)$ is identically zero and then dividing through by $X(x) \cdot Y(y) \cdot Z(z)$ produces
$$
\frac{X^{\prime \prime}(x)}{X(x)}+\frac{Y^{\prime \prime}(y)}{Y(y)}+\frac{Z^{\prime \prime}(z)}{Z(z)}=\frac{\xi(x) \cdot \psi(y) \cdot \zeta(z)}{X(x) \cdot Y(y) \cdot Z(z)} .
$$
If the right-hand side of (3.4.1) is not constant ${ }^{13}$, then the separation of variables method will fail. Therefore, an alternative to the classical approach is required. This invites a return to the modern methods initiated in Chapter 2.
In particular, suppose that $G$ satisfies the Laplace distribution equation
$$
\Delta G(x)=\delta\left(x-x_o\right), x \in \Omega \subset \mathbb{R}^n
$$

数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代写|The Heat Equation (A Blend of Modern and Classical)

The temperature distribution in a heat-conducting medium is described by the heat equation $\frac{\partial u}{\partial t}(\boldsymbol{x}, t)=\sigma^2 \Delta u(\boldsymbol{x}, t)$ for $\boldsymbol{x} \in \Omega \subset \mathbb{R}^n$ and $\kappa=\sigma^2$ is called the conductivity coefficient. Throughout this section, the conductivity coefficient will be treated as a constant. For $n=1$, the heat equation models the temperature distribution over an infinitely thin wire of length $L=|\Omega|$. When the wire is considered over an interval $\Omega=[a, b]$, then $L=|\Omega|=b-a$. As is demonstrated in the development of Laplace’s and Poisson’s equation, the initial and boundary conditions are crucial elements in the construction of solutions to the heat equation. The remainder of this section will focus on solutions of the heat equation when $\Omega$ is a compact set in $n=1,2$, and 3 spatial dimensions. This will be accomplished by the usual method of separation of variables. In the case in which the domain is unbounded, and especially $\Omega=\mathbb{R}^n$, then a new approach is required: The Fourier transform which will be deferred to Chapter 4.

偏微分方程代写

数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代写|Poisson’s Equation (Modern Methods Revisited)

到目前为止，在本章和第2章中提出的思想已经提供了必要的数学工具来求解拉普拉斯方程及其变体，即拉普拉斯-狄利克雷方程、拉普拉斯-诺伊曼方程和拉普拉斯-罗宾方程。下一步是解拉普拉斯方程的非齐次版本，也叫泊松方程$\Delta u=\rho(\boldsymbol{x})$。尝试在$\mathbb{R}^3$中分离变量的经典方法会导致$u(x)=u(x, y, z)=X(x) \cdot Y(y) \cdot Z(z)$和$\rho(x)=$$\rho(x, y, z)=\xi(x) \cdot \psi(y) \cdot \zeta(z)$，因此$\Delta(X(x) \cdot Y(y) \cdot Z(z))=\xi(x) \cdot \psi(y) \cdot \zeta(z)$或$X^{\prime \prime}(x) \cdot Y(y) \cdot Z(z)+$$X(x) \cdot Y^{\prime \prime}(y) \cdot Z(z)+X(x) \cdot Y(y) \cdot Z^{\prime}(z)=\xi(x) \cdot \psi(y) \cdot \zeta(z)$。假设$X(x), Y(y)$或$Z(z)$都不等于零然后除以$X(x) \cdot Y(y) \cdot Z(z)$得到
$$
\frac{X^{\prime \prime}(x)}{X(x)}+\frac{Y^{\prime \prime}(y)}{Y(y)}+\frac{Z^{\prime \prime}(z)}{Z(z)}=\frac{\xi(x) \cdot \psi(y) \cdot \zeta(z)}{X(x) \cdot Y(y) \cdot Z(z)} .
$$
如果(3.4.1)的右边不是常数${ }^{13}$，那么分离变量的方法就会失败。因此，需要一种替代经典方法的方法。这就需要回到第2章中提出的现代方法。
特别地，假设$G$满足拉普拉斯分布方程
$$
\Delta G(x)=\delta\left(x-x_o\right), x \in \Omega \subset \mathbb{R}^n
$$

数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代写|The Heat Equation (A Blend of Modern and Classical)

导热介质中的温度分布由$\boldsymbol{x} \in \Omega \subset \mathbb{R}^n$的热方程$\frac{\partial u}{\partial t}(\boldsymbol{x}, t)=\sigma^2 \Delta u(\boldsymbol{x}, t)$描述，$\kappa=\sigma^2$称为传导系数。在本节中，电导率系数将被视为常数。对于$n=1$，热方程模拟了长度为$L=|\Omega|$的无限细导线上的温度分布。当考虑在一个间隔$\Omega=[a, b]$上的线路时，则是$L=|\Omega|=b-a$。正如拉普拉斯和泊松方程的发展所证明的那样，初始条件和边界条件是构造热方程解的关键因素。本节的其余部分将集中讨论当$\Omega$是$n=1,2$中的紧集和3个空间维度时的热方程的解。这将通过通常的分离变量的方法来完成。在这种情况下，领域是无界的，特别是$\Omega=\mathbb{R}^n$，然后需要一个新的方法:傅里叶变换，这将推迟到第4章。

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

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微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

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偏微分方程Partial Differential Equations在以数学为导向的科学领域，如物理学和工程学中无处不在。例如，它们是现代科学对声音、热量、扩散、静电、电动力学、热力学、流体动力学、弹性、广义相对论和量子力学（薛定谔方程、保利方程等）的基础性认识。它们也产生于许多纯粹的数学考虑，如微分几何和变分计算；在其他值得注意的应用中，它们是几何拓扑学中证明庞加莱猜想的基本工具。部分由于这种来源的多样性，存在着广泛的不同类型的偏微分方程，并且已经开发了处理许多出现的个别方程的方法。因此，人们通常认为，偏微分方程没有 “一般理论”，专业知识在一定程度上被划分为几个基本不同的子领域。

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数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代写|Coulomb’s Law

The next portion of the effort to establish Maxwell’s equations is Coulomb ‘s law. To that end, let $q(t)$ be the charge of an electric field $\boldsymbol{E}$ over a surface 5 bounded by the smooth, closed, orientable curve $\gamma$. By Gauss’s law, the charge is proportional to the flux of the electric field over the surface. That is,
$$
4 \pi q(t)=\operatorname{Flux}(\boldsymbol{E})=\iint_S \boldsymbol{E}(\boldsymbol{x}, t) \cdot \boldsymbol{n}(\boldsymbol{x}) d \boldsymbol{\sigma} .
$$
Let $\frac{1}{\varepsilon} \rho(\boldsymbol{x}, t)$ be the normalized charge density ${ }^2$ of the electric field $\boldsymbol{E}$ over the volume $V$ subtended by the surface $₫$. Coulomb’s law states that the electric charge over the volume $V$ is equal to the integral of the charge density over that volume. Namely,
$$
q(t)=\iiint_V \frac{1}{\varepsilon} \rho(\boldsymbol{x}, t) d V
$$
Figure 1.3 illustrates the geometry.

To write the charge as a differential equation, enlist Gauss’s Divergence Theorem.
Gauss’s Divergence Theorem: If, as a function of the spatial variable $\boldsymbol{x}, \boldsymbol{E} \in C^1(V) \cap C^0(5)$, then for any volume $V$ with boundary the domain $\$$,
$$
\iint_{\Sigma} \boldsymbol{E}(\boldsymbol{x}, t) \cdot \boldsymbol{n}(\boldsymbol{x}) d \boldsymbol{\sigma}=\iiint_V \operatorname{div}(\boldsymbol{E}(\boldsymbol{x}, t)) d V=\iiint_V \nabla \cdot \boldsymbol{E}(\boldsymbol{x}, t) d V .
$$
Combine equations (1.3.1)-(1.3.2) to obtain $4 \pi \iiint_V \frac{1}{\varepsilon} \rho(\boldsymbol{x}, t) d V=\iint_\delta \boldsymbol{E}(\boldsymbol{x}, t) \cdot \boldsymbol{n}(\boldsymbol{x}) d \boldsymbol{\sigma}$. By applying the Divergence Theorem, this equation becomes $\iiint_V \frac{4 \pi}{\varepsilon} \rho(\boldsymbol{x}, t) d V=\iiint_V \nabla \cdot \boldsymbol{E}(\boldsymbol{x}, t) d V$ for an arbitrary volume $V$. Equating the integrands yields
$$
\nabla \cdot \boldsymbol{E}(\boldsymbol{x}, t)=\frac{4 \pi}{\varepsilon} \rho(\boldsymbol{x}, t)
$$

数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代写|Ampere’s Law

We shall solve the one-dimensional heat equation $\frac{\partial u}{\partial t}=c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$ for some practical approach, initial conditions, and boundary condition. We assume that two ends $x=0$ and $x=L$ of the rod are insulated. Therefore, the temperature at two ends $x=0$ and $x=L$ of the rod is zero. So that, boundary conditions are $u(0, t)=0$, $u(L, t)=0$ for all $t$ and the initial temperature in the rod is $f(x)$.

We shall determine the solution of the temperature $u(x, t)$ of the heat equation which satisfying initial and boundary conditions.
Let us assume, $u(x, t)=X(x) T(t)$ be a solution to the heat equation.
Hence, it satisfies the heat equation.
Differentiate $u(x, t)=X(x) T(t)$ with respect to $x$ and $t$
$$
\frac{\partial u}{\partial x}=X^{\prime}(x) T(t), \frac{\partial u}{\partial t}=X(x) T^{\prime}(t)
$$

$$
\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=X(x) T^{\prime \prime}(t)
$$
Substituting above derivatives in $\frac{\partial u}{\partial t}=c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$
$$
X(x) T^{\prime}(t)=c^2 X^{\prime \prime}(x) T(t)
$$
separates the variables
$$
\frac{T^{\prime}(t)}{c^2 T(t)}=\frac{X^{\prime \prime}(x) .}{X(x)}
$$
Since $x$ and $t$ are independent variables; therefore, $\frac{T^{\prime}(t)}{c^2 T(t)}=\frac{X^{\prime \prime}(x)}{X(x)}$ can hold only when each side equal to some constant, say $k$
$$
\begin{gathered}
\frac{T^{\prime}(t)}{c^2 T(t)}=\frac{X^{\prime \prime}(x)}{X(x)}=k \
\frac{X^{\prime \prime}(x)}{X(x)}=k \text { and } \frac{T^{\prime}(t)}{c^2 T(t)}=k \
\therefore X^{\prime \prime}(x)-k X(x)=0 \text { and } T^{\prime}(t)-k c^2 T(t)=0 \
\therefore D^2 X-k X=0 \text { and } D T-k c^2 T=0 .
\end{gathered}
$$

偏微分方程代写

数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代写|Coulomb’s Law

建立麦克斯韦方程组的下一个部分是库仑定律。为此，设$q(t)$为电场$\boldsymbol{E}$在光滑、封闭、可定向曲线$\gamma$所围成的表面上的电荷。根据高斯定律，电荷与表面上电场的通量成正比。也就是说，
$$
4 \pi q(t)=\operatorname{Flux}(\boldsymbol{E})=\iint_S \boldsymbol{E}(\boldsymbol{x}, t) \cdot \boldsymbol{n}(\boldsymbol{x}) d \boldsymbol{\sigma} .
$$
设$\frac{1}{\varepsilon} \rho(\boldsymbol{x}, t)$为电场$\boldsymbol{E}$的归一化电荷密度${ }^2$除以表面$₫$所覆盖的体积$V$。库仑定律说电荷除以体积$V$等于电荷密度除以体积的积分。即，
$$
q(t)=\iiint_V \frac{1}{\varepsilon} \rho(\boldsymbol{x}, t) d V
$$
图1.3说明了几何结构。

要把电荷写成微分方程，可以利用高斯散度定理。
高斯散度定理:如果，作为空间变量$\boldsymbol{x}, \boldsymbol{E} \in C^1(V) \cap C^0(5)$的函数，则对于任何以域$\$$为边界的体积$V$，
$$
\iint_{\Sigma} \boldsymbol{E}(\boldsymbol{x}, t) \cdot \boldsymbol{n}(\boldsymbol{x}) d \boldsymbol{\sigma}=\iiint_V \operatorname{div}(\boldsymbol{E}(\boldsymbol{x}, t)) d V=\iiint_V \nabla \cdot \boldsymbol{E}(\boldsymbol{x}, t) d V .
$$
结合式(1.3.1)-(1.3.2)可得$4 \pi \iiint_V \frac{1}{\varepsilon} \rho(\boldsymbol{x}, t) d V=\iint_\delta \boldsymbol{E}(\boldsymbol{x}, t) \cdot \boldsymbol{n}(\boldsymbol{x}) d \boldsymbol{\sigma}$。通过应用散度定理，对于任意体积$V$，这个方程变成$\iiint_V \frac{4 \pi}{\varepsilon} \rho(\boldsymbol{x}, t) d V=\iiint_V \nabla \cdot \boldsymbol{E}(\boldsymbol{x}, t) d V$。等于被积函数
$$
\nabla \cdot \boldsymbol{E}(\boldsymbol{x}, t)=\frac{4 \pi}{\varepsilon} \rho(\boldsymbol{x}, t)
$$

数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代写|Ampere’s Law

对于一些实际的方法、初始条件和边界条件，我们将求解一维热方程$\frac{\partial u}{\partial t}=c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$。我们假设杆的两端$x=0$和$x=L$是绝缘的。因此，杆的两端$x=0$和$x=L$的温度为零。所以，边界条件是$u(0, t)=0$, $u(L, t)=0$对于所有的$t$棒的初始温度是$f(x)$。

我们将确定满足初始条件和边界条件的热方程的温度$u(x, t)$的解。
假设$u(x, t)=X(x) T(t)$是热方程的解。
因此，它满足热方程。
对$u(x, t)=X(x) T(t)$和$x$求导 $t$
$$
\frac{\partial u}{\partial x}=X^{\prime}(x) T(t), \frac{\partial u}{\partial t}=X(x) T^{\prime}(t)
$$

$$
\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=X(x) T^{\prime \prime}(t)
$$
将以上导数代入$\frac{\partial u}{\partial t}=c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$
$$
X(x) T^{\prime}(t)=c^2 X^{\prime \prime}(x) T(t)
$$
分离变量
$$
\frac{T^{\prime}(t)}{c^2 T(t)}=\frac{X^{\prime \prime}(x) .}{X(x)}
$$
因为$x$和$t$是自变量;因此，$\frac{T^{\prime}(t)}{c^2 T(t)}=\frac{X^{\prime \prime}(x)}{X(x)}$只能在每条边都等于某个常数时成立 $k$
$$
\begin{gathered}
\frac{T^{\prime}(t)}{c^2 T(t)}=\frac{X^{\prime \prime}(x)}{X(x)}=k \
\frac{X^{\prime \prime}(x)}{X(x)}=k \text { and } \frac{T^{\prime}(t)}{c^2 T(t)}=k \
\therefore X^{\prime \prime}(x)-k X(x)=0 \text { and } T^{\prime}(t)-k c^2 T(t)=0 \
\therefore D^2 X-k X=0 \text { and } D T-k c^2 T=0 .
\end{gathered}
$$

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MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

如果你也在 怎样代写偏微分方程Partial Differential Equations 这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。偏微分方程Partial Differential Equations在数学中，偏微分方程（PDE）是一个方程，它规定了一个多变量函数的各种偏导数之间的关系。常微分方程构成了偏微分方程的一个子类，对应于单变量函数。截至2020年，随机偏微分方程和非局部方程是 “PDE “概念的特别广泛研究的延伸。更为经典的课题包括椭圆和抛物线偏微分方程、流体力学、玻尔兹曼方程和色散偏微分方程，目前仍有很多积极的研究。

偏微分方程Partial Differential Equations在以数学为导向的科学领域，如物理学和工程学中无处不在。例如，它们是现代科学对声音、热量、扩散、静电、电动力学、热力学、流体动力学、弹性、广义相对论和量子力学（薛定谔方程、保利方程等）的基础性认识。它们也产生于许多纯粹的数学考虑，如微分几何和变分计算；在其他值得注意的应用中，它们是几何拓扑学中证明庞加莱猜想的基本工具。部分由于这种来源的多样性，存在着广泛的不同类型的偏微分方程，并且已经开发了处理许多出现的个别方程的方法。因此，人们通常认为，偏微分方程没有 “一般理论”，专业知识在一定程度上被划分为几个基本不同的子领域。

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数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代写|Duhamel’s Principle for the One-Dimensional Wave Equation

Duhamel’s Principle is the method to obtain solutions to non-homogeneous linear evolution equations like the wave equation, heat equation, and vibrating plate equation.

Application of Duhamel’s Principle: Finite String Problem If $U(x, t, s)$ is the solution to the problem
$$
U_{t t}-c^2 U_{x x}=0,(x, t) \in(0, L) \times(0, \infty)
$$
with boundary conditions $U(0, t, s)=0, U(L, t, s)=0, t>0, s>0$ and with initial conditions $U(x, 0, s)=0, U_t(x, 0, s)=f(x, s), s>0$, then $u(x, t)$ defined by $u(x, t)=\int_0^t U(x, t-\theta, \theta) d \theta$ is the solution to the non-homogeneous problem
$$
u_{t t}-c^2 u_{x x}=f(x, t),(x, t) \in(0, L) \times(0, \infty)
$$
with boundary conditions $u(0, t)=0, u(L, t)=0, t>0$ and with initial conditions $u(x, 0)=0, u_t(x, 0)=0$.

数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代写|ONE-DIMENSIONAL HEAT EQUATION

We shall solve the one-dimensional heat equation $\frac{\partial u}{\partial t}=c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$ for some practical approach, initial conditions, and boundary condition. We assume that two ends $x=0$ and $x=L$ of the rod are insulated. Therefore, the temperature at two ends $x=0$ and $x=L$ of the rod is zero. So that, boundary conditions are $u(0, t)=0$, $u(L, t)=0$ for all $t$ and the initial temperature in the rod is $f(x)$.

We shall determine the solution of the temperature $u(x, t)$ of the heat equation which satisfying initial and boundary conditions.
Let us assume, $u(x, t)=X(x) T(t)$ be a solution to the heat equation.
Hence, it satisfies the heat equation.
Differentiate $u(x, t)=X(x) T(t)$ with respect to $x$ and $t$
$$
\frac{\partial u}{\partial x}=X^{\prime}(x) T(t), \frac{\partial u}{\partial t}=X(x) T^{\prime}(t)
$$

$$
\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=X(x) T^{\prime \prime}(t)
$$
Substituting above derivatives in $\frac{\partial u}{\partial t}=c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$
$$
X(x) T^{\prime}(t)=c^2 X^{\prime \prime}(x) T(t)
$$
separates the variables
$$
\frac{T^{\prime}(t)}{c^2 T(t)}=\frac{X^{\prime \prime}(x) .}{X(x)}
$$
Since $x$ and $t$ are independent variables; therefore, $\frac{T^{\prime}(t)}{c^2 T(t)}=\frac{X^{\prime \prime}(x)}{X(x)}$ can hold only when each side equal to some constant, say $k$
$$
\begin{gathered}
\frac{T^{\prime}(t)}{c^2 T(t)}=\frac{X^{\prime \prime}(x)}{X(x)}=k \
\frac{X^{\prime \prime}(x)}{X(x)}=k \text { and } \frac{T^{\prime}(t)}{c^2 T(t)}=k \
\therefore X^{\prime \prime}(x)-k X(x)=0 \text { and } T^{\prime}(t)-k c^2 T(t)=0 \
\therefore D^2 X-k X=0 \text { and } D T-k c^2 T=0 .
\end{gathered}
$$

偏微分方程代写

数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代写|Duhamel’s Principle for the One-Dimensional Wave Equation

Duhamel原理是求解波动方程、热方程、振动板方程等非齐次线性演化方程的方法。

Duhamel原理的应用:有限弦问题如果$U(x, t, s)$是问题的解
$$
U_{t t}-c^2 U_{x x}=0,(x, t) \in(0, L) \times(0, \infty)
$$
在边界条件$U(0, t, s)=0, U(L, t, s)=0, t>0, s>0$和初始条件$U(x, 0, s)=0, U_t(x, 0, s)=f(x, s), s>0$下，由$u(x, t)=\int_0^t U(x, t-\theta, \theta) d \theta$定义的$u(x, t)$为非齐次问题的解
$$
u_{t t}-c^2 u_{x x}=f(x, t),(x, t) \in(0, L) \times(0, \infty)
$$
边界条件$u(0, t)=0, u(L, t)=0, t>0$和初始条件$u(x, 0)=0, u_t(x, 0)=0$。

数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代写|ONE-DIMENSIONAL HEAT EQUATION

对于一些实际的方法、初始条件和边界条件，我们将求解一维热方程$\frac{\partial u}{\partial t}=c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$。我们假设杆的两端$x=0$和$x=L$是绝缘的。因此，杆的两端$x=0$和$x=L$的温度为零。所以，边界条件是$u(0, t)=0$, $u(L, t)=0$对于所有的$t$棒的初始温度是$f(x)$。

我们将确定满足初始条件和边界条件的热方程的温度$u(x, t)$的解。
假设$u(x, t)=X(x) T(t)$是热方程的解。
因此，它满足热方程。
对$u(x, t)=X(x) T(t)$和$x$求导 $t$
$$
\frac{\partial u}{\partial x}=X^{\prime}(x) T(t), \frac{\partial u}{\partial t}=X(x) T^{\prime}(t)
$$

$$
\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=X(x) T^{\prime \prime}(t)
$$
将以上导数代入$\frac{\partial u}{\partial t}=c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$
$$
X(x) T^{\prime}(t)=c^2 X^{\prime \prime}(x) T(t)
$$
分离变量
$$
\frac{T^{\prime}(t)}{c^2 T(t)}=\frac{X^{\prime \prime}(x) .}{X(x)}
$$
因为$x$和$t$是自变量;因此，$\frac{T^{\prime}(t)}{c^2 T(t)}=\frac{X^{\prime \prime}(x)}{X(x)}$只能在每条边都等于某个常数时成立 $k$
$$
\begin{gathered}
\frac{T^{\prime}(t)}{c^2 T(t)}=\frac{X^{\prime \prime}(x)}{X(x)}=k \
\frac{X^{\prime \prime}(x)}{X(x)}=k \text { and } \frac{T^{\prime}(t)}{c^2 T(t)}=k \
\therefore X^{\prime \prime}(x)-k X(x)=0 \text { and } T^{\prime}(t)-k c^2 T(t)=0 \
\therefore D^2 X-k X=0 \text { and } D T-k c^2 T=0 .
\end{gathered}
$$

数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代写 请认准exambang™. exambang™为您的留学生涯保驾护航。

在当今世界，学生正面临着越来越多的期待，他们需要在学术上表现优异，所以压力巨大。

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

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如果你也在 怎样代写偏微分方程Partial Differential Equations 这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。偏微分方程Partial Differential Equations在数学中，偏微分方程（PDE）是一个方程，它规定了一个多变量函数的各种偏导数之间的关系。常微分方程构成了偏微分方程的一个子类，对应于单变量函数。截至2020年，随机偏微分方程和非局部方程是 “PDE “概念的特别广泛研究的延伸。更为经典的课题包括椭圆和抛物线偏微分方程、流体力学、玻尔兹曼方程和色散偏微分方程，目前仍有很多积极的研究。

偏微分方程Partial Differential Equations在以数学为导向的科学领域，如物理学和工程学中无处不在。例如，它们是现代科学对声音、热量、扩散、静电、电动力学、热力学、流体动力学、弹性、广义相对论和量子力学（薛定谔方程、保利方程等）的基础性认识。它们也产生于许多纯粹的数学考虑，如微分几何和变分计算；在其他值得注意的应用中，它们是几何拓扑学中证明庞加莱猜想的基本工具。部分由于这种来源的多样性，存在着广泛的不同类型的偏微分方程，并且已经开发了处理许多出现的个别方程的方法。因此，人们通常认为，偏微分方程没有 “一般理论”，专业知识在一定程度上被划分为几个基本不同的子领域。

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数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代写|LINEAR FIRST-ORDER PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS

Partial differential equations of the form
$$
P p+Q q=R
$$
where $P, Q$, and $R$ are functions of $x, y, z$ or constants, $p$ denotes $\frac{\partial z}{\partial x}$, and $q$ denotes $\frac{\partial z}{\partial y}$ is called the Lagrange linear equation of the first order.

To solve the Lagrange linear equation $P p+Q q=R$, we will follow the following algorithm.
Step 1: Form the auxiliary equation $\frac{d x}{P}=\frac{d y}{Q}=\frac{d z}{R}$.
Step 2: The auxiliary equations can be solved using the grouping method or the multiplier method (described below) or both to get two independent solutions of auxiliary equations, denoted by
$u(x, y, z)=c_1, v(x, y, z)=c_2$; where $c_1$ and $c_2$ are arbitrary constants.

Step 3: Then $F(u, v)=0$ or $u=f(v)$ is the general solution of the given equation
$$
P p+Q q=R
$$

• Grouping Method
  In this method, we compare any two functions which make integration possible. In other words, to complete the first two fractions, the remaining third variable must be absent from them or it is possible to eliminate it by appropriate operations.
• Multipliers Method
  In this method, we find two sets of multiplier $l, m, n$ and $l^{\prime}, m^{\prime}$, and $n^{\prime}$ either constant or functions of $x, y, z$ such that
  $$
  l P+m Q+n R=0 \text { and } l^{\prime} P+m^{\prime} Q+n^{\prime} R=0
  $$
  Or the selection makes the integration possible.

数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代写|CHARPIT MFTHOD

To find the complete solution of the first-order non-linear partial differential equation of the form
$$
f(x, y, z, p, q)=0
$$
The main concept of Charpit method is the introduction of another first-order partial differential equation of the form
$$
F(x, y, z, p, q)=0
$$
Solve the above two equations for $p$ and $q$, and substitute in
$$
d z=p(x, y, z, a) d x+q(x, y, z, a) d y
$$

The solution of the above equation, if it exists, is the complete solution of the equation $f(x, y, z, p, q)=0$.

Now, the main thing is to determine the $F(x, y, z, p, q)=0$ which is compatible with the equation $d z=p(x, y, z, a) d x+q(x, y, z, a) d y$.
The necessary and sufficient condition is
$$
\begin{gathered}
\frac{\partial(f, F)}{\partial(x, p)}+p \frac{\partial(f, F)}{\partial(z, p)}+\frac{\partial(f, F)}{\partial(y, q)}+q \frac{\partial(f, F)}{\partial(z, q)}=0 \
\therefore\left(\frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial F}{\partial p}-\frac{\partial f}{\partial p} \frac{\partial F}{\partial x}\right)+p\left(\frac{\partial f}{\partial z} \frac{\partial F}{\partial p}-\frac{\partial f}{\partial p} \frac{\partial F}{\partial z}\right)+\left(\frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial F}{\partial q}-\frac{\partial f}{\partial q} \frac{\partial F}{\partial y}\right) \
+q\left(\frac{\partial f}{\partial z} \frac{\partial F}{\partial q}-\frac{\partial f}{\partial q} \frac{\partial F}{\partial z}\right)=0 \
\therefore f_p \frac{\partial F}{\partial x}+f_q \frac{\partial F}{\partial y}+\left(p f_p+q f_q\right) \frac{\partial F}{\partial z}-\left(f_x+p f_z\right) \frac{\partial F}{\partial p}-\left(f_y+q f_z\right) \frac{\partial F}{\partial q}=0
\end{gathered}
$$
The above equation is a linear partial differential equation.
So, the auxiliary equation is
$$
\frac{d x}{f_p}=\frac{d y}{f_q}=\frac{d z}{p f_p+q f_q}=\frac{d p}{-\left(f_x+p f_z\right)}=\frac{d q}{-\left(f_y+q f_z\right)} .
$$
The above equation is called the Charpit auxiliary equation.
The Charpit method is illustrated through the examples as follows.

偏微分方程代写

代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代写|LINEAR FIRST-ORDER PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS

这种形式的偏微分方程
$$
P p+Q q=R
$$
其中$P, Q$和$R$是$x, y, z$或常数的函数，$p$表示$\frac{\partial z}{\partial x}$, $q$表示$\frac{\partial z}{\partial y}$称为一阶拉格朗日线性方程。

为了求解拉格朗日线性方程$P p+Q q=R$，我们将遵循以下算法。
第一步:形成辅助方程$\frac{d x}{P}=\frac{d y}{Q}=\frac{d z}{R}$。
步骤2:辅助方程可采用分组法或乘数法(如下所述)求解，也可两者同时求解，得到辅助方程的两个独立解，表示为
$u(x, y, z)=c_1, v(x, y, z)=c_2$;其中$c_1$和$c_2$是任意常数。

第三步:那么$F(u, v)=0$或$u=f(v)$是给定方程的通解
$$
P p+Q q=R
$$

数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代写|CHARPIT MFTHOD

在这种方法中，我们比较任意两个可以积分的函数。换句话说，要完成前两个分数，剩下的第三个变量必须不存在，或者可以通过适当的操作消除它。

乘数法
在这种方法中，我们找到了两组乘子$l, m, n$和$l^{\prime}, m^{\prime}$，并且$n^{\prime}$可以是$x, y, z$的常数或函数，使得
$$
l P+m Q+n R=0 \text { and } l^{\prime} P+m^{\prime} Q+n^{\prime} R=0
$$
或者说选择使得积分成为可能。

求一阶非线性偏微分方程的完全解
$$
f(x, y, z, p, q)=0
$$
Charpit方法的主要概念是引入另一种形式的一阶偏微分方程
$$
F(x, y, z, p, q)=0
$$
解上两个方程$p$和$q$，代入
$$
d z=p(x, y, z, a) d x+q(x, y, z, a) d y
$$

上述方程的解，如果存在，就是方程$f(x, y, z, p, q)=0$的完全解。

现在，主要的事情是确定$F(x, y, z, p, q)=0$它与方程$d z=p(x, y, z, a) d x+q(x, y, z, a) d y$兼容。
其充要条件为
$$
\begin{gathered}
\frac{\partial(f, F)}{\partial(x, p)}+p \frac{\partial(f, F)}{\partial(z, p)}+\frac{\partial(f, F)}{\partial(y, q)}+q \frac{\partial(f, F)}{\partial(z, q)}=0 \
\therefore\left(\frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial F}{\partial p}-\frac{\partial f}{\partial p} \frac{\partial F}{\partial x}\right)+p\left(\frac{\partial f}{\partial z} \frac{\partial F}{\partial p}-\frac{\partial f}{\partial p} \frac{\partial F}{\partial z}\right)+\left(\frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial F}{\partial q}-\frac{\partial f}{\partial q} \frac{\partial F}{\partial y}\right) \
+q\left(\frac{\partial f}{\partial z} \frac{\partial F}{\partial q}-\frac{\partial f}{\partial q} \frac{\partial F}{\partial z}\right)=0 \
\therefore f_p \frac{\partial F}{\partial x}+f_q \frac{\partial F}{\partial y}+\left(p f_p+q f_q\right) \frac{\partial F}{\partial z}-\left(f_x+p f_z\right) \frac{\partial F}{\partial p}-\left(f_y+q f_z\right) \frac{\partial F}{\partial q}=0
\end{gathered}
$$
上述方程是一个线性偏微分方程。
辅助方程是
$$
\frac{d x}{f_p}=\frac{d y}{f_q}=\frac{d z}{p f_p+q f_q}=\frac{d p}{-\left(f_x+p f_z\right)}=\frac{d q}{-\left(f_y+q f_z\right)} .
$$
上述方程称为Charpit辅助方程。
通过下面的例子来说明Charpit方法。

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线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

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现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

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计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

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如果你也在 怎样代写偏微分方程Partial Differential Equations 这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。偏微分方程Partial Differential Equations在数学中，偏微分方程（PDE）是一个方程，它规定了一个多变量函数的各种偏导数之间的关系。常微分方程构成了偏微分方程的一个子类，对应于单变量函数。截至2020年，随机偏微分方程和非局部方程是 “PDE “概念的特别广泛研究的延伸。更为经典的课题包括椭圆和抛物线偏微分方程、流体力学、玻尔兹曼方程和色散偏微分方程，目前仍有很多积极的研究。

偏微分方程Partial Differential Equations在以数学为导向的科学领域，如物理学和工程学中无处不在。例如，它们是现代科学对声音、热量、扩散、静电、电动力学、热力学、流体动力学、弹性、广义相对论和量子力学（薛定谔方程、保利方程等）的基础性认识。它们也产生于许多纯粹的数学考虑，如微分几何和变分计算；在其他值得注意的应用中，它们是几何拓扑学中证明庞加莱猜想的基本工具。部分由于这种来源的多样性，存在着广泛的不同类型的偏微分方程，并且已经开发了处理许多出现的个别方程的方法。因此，人们通常认为，偏微分方程没有 “一般理论”，专业知识在一定程度上被划分为几个基本不同的子领域。

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数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代写|Boundary regularit

To study the regularity of solutions near the boundary, we localize the problem to a neighborhood of a boundary point by use of a partition of unity: We decompose the solution into a sum of functions that are compactly supported in the sets of a suitable open cover of the domain and estimate each function in the sum separately.
Assuming, as in Section 1.10, that the boundary is at least $C^1$, we may ‘flatten’ the boundary in a neighborhood $U$ by a diffeomorphism $\varphi: U \rightarrow V$ that maps $U \cap \Omega$ to an upper half space $V=B_1(0) \cap\left{y_n>0\right}$. If $\varphi^{-1}=\psi$ and $x=\psi(y)$, then by a change of variables (c.f. Theorem 1.44 and Proposition 3.21) the weak formulation (4.34)-(4.35) on $U$ becomes
$$
\sum_{i, j=1}^n \int_V \tilde{a}{i j} \frac{\partial \tilde{u}}{\partial y_i} \frac{\partial \tilde{v}}{\partial y_j} d y=\int_V \tilde{f} \tilde{v} d y \quad \text { for all functions } \tilde{v} \in H_0^1(V) $$ where $\tilde{u} \in H^1(V)$. Here, $\tilde{u}=u \circ \psi, \tilde{v}=v \circ \psi$, and $$ \tilde{a}{i j}=|\operatorname{det} D \psi| \sum_{p, q=1}^n a_{p q} \circ \psi\left(\frac{\partial \varphi_i}{\partial x_p} \circ \psi\right)\left(\frac{\partial \varphi_j}{\partial x_q} \circ \psi\right), \quad \tilde{f}=|\operatorname{det} D \psi| f \circ \psi .
$$
The matrix $\tilde{a}{i j}$ satisfies the uniform ellipticity condition if $a{p q}$ does. To see this, we define $\zeta=\left(D \varphi^t\right) \xi$, or
$$
\zeta_p=\sum_{i=1}^n \frac{\partial \varphi_i}{\partial x_p} \xi_i
$$
Then, since $D \varphi$ and $D \psi=D \varphi^{-1}$ are invertible and bounded away from zero, we have for some constant $C>0$ that
$$
\sum_{i, j=1}^n \tilde{a}{i j} \xi_i \xi_j=|\operatorname{det} D \psi| \sum{p, q=1}^n a_{p q} \zeta_p \zeta_q \geq|\operatorname{det} D \psi| \theta|\zeta|^2 \geq C \theta|\xi|^2
$$

数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代写|Some further perspectives

This book is to a large extent self-contained, with the restriction that the linear theory – Schauder estimates and Campanato theory – is not presented. The reader is expected to be familiar with functional-analytic tools, like the theory of monotone operators. $^4$
The above results give an existence and $L^2$-regularity theory for second-order, uniformly elliptic PDEs in divergence form. This theory is based on the simple a priori energy estimate for $|D u|_{L^2}$ that we obtain by multiplying the equation $L u=f$ by $u$, or some derivative of $u$, and integrating the result by parts.

This theory is a fundamental one, but there is a bewildering variety of approaches to the existence and regularity of solutions of elliptic PDEs. In an attempt to put the above analysis in a broader context, we briefly list some of these approaches and other important results, without any claim to completeness. Many of these topics are discussed further in the references $[\mathbf{9}, \mathbf{1 7}, \mathbf{2 3}]$.
$L^p$-theory: If $1<p<\infty$, there is a similar regularity result that solutions of $L u=f$ satisfy $u \in W^{2, p}$ if $f \in L^p$. The derivation is not as simple when $p \neq 2$, however, and requires the use of more sophisticated tools from real analysis (such as the $L^p$-theory of Calderón-Zygmund operators).
Schauder theory: The Schauder theory provides Hölder-estimates similar to those derived in Section 2.7.2 for Laplace’s equation, and a corresponding existence theory of solutions $u \in C^{2, \alpha}$ of $L u=f$ if $f \in C^{0, \alpha}$ and $L$ has Hölder continuous coefficients. General linear elliptic PDEs are treated by regarding them as perturbations of constant coefficient PDEs, an approach that works because there is no ‘loss of derivatives’ in the estimates of the solution. The Hölder estimates were originally obtained by the use of potential theory, but other ways to obtain them are now known; for example, by the use of Campanato spaces, which provide Hölder norms in terms of suitable integral norms that are easier to estimate directly.
Perron’s method: Perron (1923) showed that solutions of the Dirichlet problem for Laplace’s equation can be obtained as the infimum of superharmonic functions or the supremum of subharmonic functions, together with the use of barrier functions to prove that, under suitable assumptions on the boundary, the solution attains the prescribed boundary values. This method is based on maximum principle estimates.
Boundary integral methods: By the use of Green’s functions, one can often reduce a linear elliptic BVP to an integral equation on the boundary, and then use the theory of integral equations to study the existence and regularity of solutions. These methods also provide efficient numerical schemes because of the lower dimensionality of the boundary.

偏微分方程代写

数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代写|Boundary regularit

为了研究边界附近解的正则性，我们利用单位划分将问题定位到边界点的邻域:我们将解分解为在合适的开盖集合中紧支持的函数和，并分别估计和中的每个函数。
如第1.10节所述，假设边界至少为$C^1$，我们可以通过将$U \cap \Omega$映射到上半空间$V=B_1(0) \cap\left{y_n>0\right}$的微分同态$\varphi: U \rightarrow V$来“平坦”邻域$U$中的边界。如果$\varphi^{-1}=\psi$和$x=\psi(y)$，则通过变量的变换(参见定理1.44和命题3.21)，$U$上的弱式(4.34)-(4.35)变为
$$
\sum_{i, j=1}^n \int_V \tilde{a}{i j} \frac{\partial \tilde{u}}{\partial y_i} \frac{\partial \tilde{v}}{\partial y_j} d y=\int_V \tilde{f} \tilde{v} d y \quad \text { for all functions } \tilde{v} \in H_0^1(V) $$哪里$\tilde{u} \in H^1(V)$。这里是$\tilde{u}=u \circ \psi, \tilde{v}=v \circ \psi$和$$ \tilde{a}{i j}=|\operatorname{det} D \psi| \sum_{p, q=1}^n a_{p q} \circ \psi\left(\frac{\partial \varphi_i}{\partial x_p} \circ \psi\right)\left(\frac{\partial \varphi_j}{\partial x_q} \circ \psi\right), \quad \tilde{f}=|\operatorname{det} D \psi| f \circ \psi .
$$
若$a{p q}$满足一致椭圆性条件，则矩阵$\tilde{a}{i j}$满足一致椭圆性条件。要看到这一点，我们定义$\zeta=\left(D \varphi^t\right) \xi$或
$$
\zeta_p=\sum_{i=1}^n \frac{\partial \varphi_i}{\partial x_p} \xi_i
$$
然后，因为$D \varphi$和$D \psi=D \varphi^{-1}$是可逆的并且离0有界，我们有一个常数$C>0$
$$
\sum_{i, j=1}^n \tilde{a}{i j} \xi_i \xi_j=|\operatorname{det} D \psi| \sum{p, q=1}^n a_{p q} \zeta_p \zeta_q \geq|\operatorname{det} D \psi| \theta|\zeta|^2 \geq C \theta|\xi|^2
$$

数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代写|Some further perspectives

这本书在很大程度上是自成一体的，限制是线性理论- Schauder估计和Campanato理论-没有提出。期望读者熟悉函数分析工具，如单调算子理论。$^4$
上述结果给出了发散形式的二阶一致椭圆偏微分方程的存在性和$L^2$ -正则性理论。这个理论是基于对$|D u|_{L^2}$的简单的先验能量估计，我们通过将方程$L u=f$乘以$u$，或$u$的一些导数，并将结果按部分积分来获得。

这个理论是一个基本的理论，但是对于椭圆偏微分方程解的存在性和规律性，有各种各样令人眼花缭乱的方法。为了将上述分析置于更广泛的背景中，我们简要地列出了其中的一些方法和其他重要的结果，而不要求其完整性。其中许多主题在参考文献$[\mathbf{9}, \mathbf{1 7}, \mathbf{2 3}]$中有进一步的讨论。
$L^p$ -理论:如果$1<p<\infty$，有一个类似的规律性结果，$L u=f$的解满足$u \in W^{2, p}$如果$f \in L^p$。但是，当$p \neq 2$时推导就不那么简单了，需要使用来自实际分析的更复杂的工具(例如Calderón-Zygmund操作符的$L^p$ -理论)。
Schauder理论:Schauder理论为拉普拉斯方程提供了类似于2.7.2节中推导的Hölder-estimates，如果$f \in C^{0, \alpha}$和$L$具有Hölder连续系数，则提供了对应的$L u=f$解$u \in C^{2, \alpha}$的存在性理论。一般的线性椭圆偏微分方程被视为常系数偏微分方程的扰动，这种方法是有效的，因为在解的估计中没有“导数损失”。Hölder估计值最初是通过使用势理论获得的，但现在已知其他获得它们的方法;例如，通过使用Campanato空间，它提供了Hölder范数，用合适的积分范数表示，更容易直接估计。
Perron方法:Perron(1923)证明了拉普拉斯方程的Dirichlet问题的解可以用超调和函数的极值或次调和函数的极值来求得，并利用势垒函数证明了在边界上适当的假设下，解达到规定的边界值。该方法基于最大原理估计。
边界积分法:利用格林函数，通常可以将线性椭圆型微分方程化为边界上的积分方程，然后利用积分方程理论研究解的存在性和正则性。由于边界的维数较低，这些方法也提供了有效的数值格式。以上翻译结果来自有道神经网络翻译（YNMT）· 通用场景

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

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偏微分方程Partial Differential Equations在以数学为导向的科学领域，如物理学和工程学中无处不在。例如，它们是现代科学对声音、热量、扩散、静电、电动力学、热力学、流体动力学、弹性、广义相对论和量子力学（薛定谔方程、保利方程等）的基础性认识。它们也产生于许多纯粹的数学考虑，如微分几何和变分计算；在其他值得注意的应用中，它们是几何拓扑学中证明庞加莱猜想的基本工具。部分由于这种来源的多样性，存在着广泛的不同类型的偏微分方程，并且已经开发了处理许多出现的个别方程的方法。因此，人们通常认为，偏微分方程没有 “一般理论”，专业知识在一定程度上被划分为几个基本不同的子领域。

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数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代写|Compactness of the resolvent

An elliptic operator $L+\mu I$ of the type studied above is a bounded, invertible linear map from $H_0^1(\Omega)$ onto $H^{-1}(\Omega)$ for sufficiently large $\mu \in \mathbb{R}$, so we may define an inverse operator $K=(L+\mu I)^{-1}$. If $\Omega$ is a bounded open set, then the Sobolev embedding theorem implies that $H_0^1(\Omega)$ is compactly embedded in $L^2(\Omega)$, and therefore $K$ is a compact operator on $L^2(\Omega)$.

The operator $(L-\lambda I)^{-1}$ is called the resolvent of $L$, so this property is sometimes expressed by saying that $L$ has compact resolvent. As discussed in Example $4.14, L+\mu I$ may fail to be invertible at smaller values of $\mu$, such that $\lambda=-\mu$ belongs to the spectrum $\sigma(L)$ of $L$, and the resolvent is not defined as a bounded operator on $L^2(\Omega)$ for $\lambda \in \sigma(L)$.

The compactness of the resolvent of elliptic operators on bounded open sets has several important consequences for the solvability of the elliptic PDE and the spectrum of the elliptic operator. Before describing some of these, we discuss the resolvent in more detail.
From Theorem 4.22 , for $\mu \geq \gamma$ we can define
$$
K: L^2(\Omega) \rightarrow L^2(\Omega), \quad K=\left.(L+\mu I)^{-1}\right|_{L^2(\Omega)} .
$$
We define the inverse $K$ on $L^2(\Omega)$, rather than $H^{-1}(\Omega)$, in which case its range is a subspace of $H_0^1(\Omega)$. If the domain $\Omega$ is sufficiently smooth for elliptic regularity theory to apply, then $u \in H^2(\Omega)$ if $f \in L^2(\Omega)$, and the range of $K$ is $H^2(\Omega) \cap H_0^1(\Omega)$; for non-smooth domains, the range of $K$ is more difficult to describe.

If we consider $L$ as an operator acting in $L^2(\Omega)$, then the domain of $L$ is $D=\operatorname{ran} K$, and
$$
L: D \subset L^2(\Omega) \rightarrow L^2(\Omega)
$$
is an unbounded linear operator with dense domain $D$. The operator $L$ is closed, meaning that if $\left{u_n\right}$ is a sequence of functions in $D$ such that $u_n \rightarrow u$ and $L u_n \rightarrow f$ in $L^2(\Omega)$, then $u \in D$ and $L u=f$. By using the resolvent, we can replace an analysis of the unbounded operator $L$ by an analysis of the bounded operator $K$.

数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代写|The Fredholm alternativ

Consider the Dirichlet problem
$$
L u=f \quad \text { in } \Omega, \quad u=0 \text { on } \partial \Omega,
$$
where $\Omega$ is a smooth, bounded open set, and
$$
L u=-\sum_{i, j=1}^n \partial_i\left(a_{i j} \partial_j u\right)+\sum_{i=1}^n \partial_i\left(b_i u\right)+c u
$$

If $u=v=0$ on $\partial \Omega$, Green’s formula implies that
$$
\int_{\Omega}(L u) v d x=\int_{\Omega} u\left(L^* v\right) d x
$$
where the formal adjoint $L^$ of $L$ is defined by $$ L^ v=-\sum_{i, j=1}^n \partial_i\left(a_{i j} \partial_j v\right)-\sum_{i=1}^n b_i \partial_i v+c v
$$
It follows that if $u$ is a smooth solution of (4.28) and $v$ is a smooth solution of the homogeneous adjoint problem,
$$
L^* v=0 \quad \text { in } \Omega, \quad v=0 \quad \text { on } \partial \Omega
$$
then
$$
\int_{\Omega} f v d x=\int_{\Omega}(L u) v d x=\int_{\Omega} u L^* v d x=0 .
$$
Thus, a necessary condition for (4.28) to be solvable is that $f$ is orthogonal with respect to the $L^2(\Omega)$-inner product to every solution of the homogeneous adjoint problem.

For bounded domains, we will use the compactness of the resolvent to prove that this condition is necessary and sufficient for the existence of a weak solution of (4.28) where $f \in L^2(\Omega)$. Moreover, the solution is unique if and only if a solution exists for every $f \in L^2(\Omega)$.

偏微分方程代写

数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代写|Compactness of the resolvent

对于足够大的$\mu \in \mathbb{R}$，上面研究的类型的椭圆算子$L+\mu I$是从$H_0^1(\Omega)$到$H^{-1}(\Omega)$的有界可逆线性映射，因此我们可以定义一个逆算子$K=(L+\mu I)^{-1}$。如果$\Omega$是一个有界开集，那么Sobolev嵌入定理表明$H_0^1(\Omega)$紧嵌入到$L^2(\Omega)$中，因此$K$是$L^2(\Omega)$上的紧算子。

运算符$(L-\lambda I)^{-1}$被称为$L$的解算符，所以这个性质有时表示为$L$具有紧解算符。如示例中所讨论的，$4.14, L+\mu I$在较小的$\mu$值处可能不可逆，因此$\lambda=-\mu$属于$L$的$\sigma(L)$谱，并且对于$\lambda \in \sigma(L)$，解析符没有定义为$L^2(\Omega)$上的有界算子。

有界开集上椭圆算子解的紧性对椭圆PDE的可解性和椭圆算子的谱有几个重要的影响。在描述其中一些之前，我们将更详细地讨论解决方案。
根据定理4.22，对于$\mu \geq \gamma$，我们可以定义
$$
K: L^2(\Omega) \rightarrow L^2(\Omega), \quad K=\left.(L+\mu I)^{-1}\right|_{L^2(\Omega)} .
$$
我们在$L^2(\Omega)$而不是$H^{-1}(\Omega)$上定义逆$K$，在这种情况下，它的值域是$H_0^1(\Omega)$的一个子空间。如果域$\Omega$足够光滑，可以应用椭圆正则性理论，则$u \in H^2(\Omega)$ = $f \in L^2(\Omega)$, $K$的取值范围为$H^2(\Omega) \cap H_0^1(\Omega)$;对于非光滑域，$K$的范围更难以描述。

如果我们把$L$看作一个作用于$L^2(\Omega)$的运算符，那么$L$的域是$D=\operatorname{ran} K$，并且
$$
L: D \subset L^2(\Omega) \rightarrow L^2(\Omega)
$$
是一个具有密集域的无界线性算子$D$。操作符$L$是封闭的，这意味着如果$\left{u_n\right}$是$D$中的一个函数序列，那么$L^2(\Omega)$中的$u_n \rightarrow u$和$L u_n \rightarrow f$就是$u \in D$和$L u=f$。通过使用解析式，我们可以用有界算子$K$的分析来代替对无界算子$L$的分析。

数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代写|The Fredholm alternativ

考虑狄利克雷问题
$$
L u=f \quad \text { in } \Omega, \quad u=0 \text { on } \partial \Omega,
$$
其中$\Omega$是光滑有界开集，并且
$$
L u=-\sum_{i, j=1}^n \partial_i\left(a_{i j} \partial_j u\right)+\sum_{i=1}^n \partial_i\left(b_i u\right)+c u
$$

如果$u=v=0$在$\partial \Omega$上，格林的公式表明
$$
\int_{\Omega}(L u) v d x=\int_{\Omega} u\left(L^* v\right) d x
$$
其中$L$的正式伴随结点$L^$定义为$$ L^ v=-\sum_{i, j=1}^n \partial_i\left(a_{i j} \partial_j v\right)-\sum_{i=1}^n b_i \partial_i v+c v
$$
如果$u$是(4.28)的光滑解，$v$是齐次伴随问题的光滑解，
$$
L^* v=0 \quad \text { in } \Omega, \quad v=0 \quad \text { on } \partial \Omega
$$
然后
$$
\int_{\Omega} f v d x=\int_{\Omega}(L u) v d x=\int_{\Omega} u L^* v d x=0 .
$$
因此，(4.28)可解的一个必要条件是$f$与齐次伴随问题的每一个解的$L^2(\Omega)$ -内积正交。

对于有界域，我们将利用解的紧性来证明这个条件对于式(4.28)的弱解的存在性是充分必要的，其中$f \in L^2(\Omega)$。此外，当且仅当每个$f \in L^2(\Omega)$都存在解时，解是唯一的。

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微观经济学代写

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线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。