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## 数学代写|多复变函数论代考Multivariable Complex Analysis代写|Smooth approximate identities and cutoff functions

In various problems, the first step towards a holomorphic solution is the construction of smooth approximate solutions. For that step we need smooth cutoff functions and they are constructed with the aid of suitable $C^{\infty}$ functions of compact support. The latter play an important role in analysis, for example, as test functions in the theory of distributions, cf. Chapter 11.
The precursor is the $C^{\infty}$ function on $\mathbb{R}$ defined by
$$\sigma(x)= \begin{cases}e^{-1 / x} & \text { for } x>0 \ 0 & \text { for } x \leq 0\end{cases}$$
its first and higher derivatives at 0 are all equal to 0 . One next defines a $C^{\infty}$ function $\tau$ on $\mathbb{R}$ with support $[-1,1]$ by setting
$$\tau(x)=\sigma{2(1+x)} \sigma{2(1-x)}= \begin{cases}\exp \left(-\frac{1}{1-x^2}\right) & \text { for }|x|<1 \ 0 & \text { for }|x| \geq 1\end{cases}$$

## 数学代写|多复变函数论代考Multivariable Complex Analysis代写|Use of the ∂ equation for analytic continuation

We can now prove the Hartogs-Osgood-Brown continuation theorem:
Theorem 3.4.1. Let $D$ be a connected domain in $\mathbb{C}^n$ with $n \geq 2$ and let $K$ be a compact subset of $D$ such that $D-K$ is connected. Then every holomorphic function $f$ on $D-K$ has an analytic continuation to $D$.
Proof. Let $f$ be any function in $\mathcal{O}(D-K)$.
(i) We first construct a $C^{\infty}$ approximate solution $g$ to the continuation problem. Since we do not know how $f$ behaves near $K$, we will start with the values of $f$ at some distance from $K$. For any $\rho \geq 0$, let $K_\rho$ denote the $\rho$-neighbourhood of $K$. Choosing $0<\epsilon<d(K, \partial D) / 3$, we set $S=\mathbb{C}^n-\bar{K}{3 \epsilon}$, so that the open set $S$ contains the whole boundary $\partial D$. For later use, the unbounded component of $S$ is called $S{\infty}$.

Now select a $C^{\infty}$ cutoff function $\omega$ on $\mathbb{C}^n \sim \mathbb{R}^{2 n}$ which is equal to 1 on $S$ and equal to 0 on $K_\epsilon$. [Use Proposition 3.3.2 with $2 n$ instead of $n$.] We then define $g$ on $D$ by setting
$$g= \begin{cases}\omega f & \text { on } D-K, \ 0 & \text { on } K .\end{cases}$$
This $g$ is of class $C^{\infty}$ [because $\omega$ vanishes near $\partial K$ ] and
$$g=f \quad \text { on } \quad D \cap S$$
[where $\omega=1$ ]. Thus $g$ furnishes a $C^{\infty}$ continuation to $D$ of the restriction of $f$ to $D \cap S$.

# 多复变函数论代考

## 数学代写|多复变函数论代考Multivariable Complex Analysis代写|Smooth approximate identities and cutoff functions

$$\sigma(x)=\left{e^{-1 / x} \quad \text { for } x>00 \quad \text { for } x \leq 0\right.$$

$$\tau(x)=\sigma 2(1+x) \sigma 2(1-x)=\left{\exp \left(-\frac{1}{1-x^2}\right) \quad \text { for }|x|<10 \quad \text { for }|x| \geq 1\right.$$

## 数学代写|多复变函数论代考Multivariable Complex Analysis代写|Use of the $\partial$ equation for analytic continuation

(i) 我们首先构造一个 $C^{\infty}$ 近似解 $g$ 到延续问题。由于我们不知道如何 $f$ 举止接近 $K$ ，我们将从以下值开始 $f$ 在一定距离 $K$. 对于任何 $\rho \geq 0 ，$ 让 $K_\rho$ 表示 $\rho$-附近的 $K$. 选择 $0<\epsilon<d(K, \partial D) / 3$ ，我们设置 $S=\mathbb{C}^n-\bar{K} 3 \epsilon$ ，使得开集 $S$ 包含整个边界 $\partial D$. 为了以 后使用，无界组件 $S$ 叫做 $S \infty$.

$$g={\omega f \quad \text { on } D-K, 0 \quad \text { on } K .$$

$$g=f \quad \text { on } \quad D \cap S$$
[在哪里 $\omega=1$ ]. 因此 $g$ 提供一个 $C^{\infty}$ 继续 $D$ 的限制 $f$ 至 $D \cap S$.

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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## 数学代写|多复变函数论代考Multivariable Complex Analysis代写|Multiple power series and multicircular domains

In the following we will study sets of convergence of power series and of more general Laurent series
$$\sum_{\alpha \in \mathbb{Z}^n} c_\alpha z^\alpha=\sum_{\alpha_1 \in \mathbb{Z}, \ldots, \alpha_n \in \mathbb{Z}} c_{\alpha_1 \ldots \alpha_n} z_1^{\alpha_1} \ldots z_n^{\alpha_n} .$$
In order to avoid problems with the order of the terms, we only consider absolute convergence here.

Definition 2.3.1. Let $A$ be the set of those points $z \in \mathbb{C}^n$ where the Laurent series (2.3.1) [or power series (2.3.2)] is absolutely convergent. The interior $A^0$ of $A$ will be called the domain of (absolute) convergence of the series.

In the case $n=1$ the domain of convergence is an open annulus or disc (or empty). For general $n$, our first observation is that the absolute convergence of a Laurent series (2.3.1) at a point $z$ implies its absolute convergence at every point $z^{\prime}$ with $\left|z_j^{\prime}\right|=\left|z_j\right|, \forall j$. Indeed, one will have $\left|c_\alpha\left(z^{\prime}\right)^\alpha\right|=\left|c_\alpha z^\alpha\right|, \forall \alpha$. It is convenient to give a name to the corresponding sets of points:
Definition 2.3.2. $E \subset \mathbb{C}^n$ is called a multicircular set (or Reinhardt set) if
$$a=\left(a_1, \ldots, a_n\right) \in E \quad \text { implies } \quad a^{\prime}=\left(e^{i \theta_1} a_1, \ldots, e^{i \theta_n} a_n\right) \in E$$
for all real $\theta_1, \ldots, \theta_n$. A multicircular domain or Reinhardt domain is an open multicircular set.
Multicircular sets are conveniently represented by their “trace” in the space $\mathbb{R}_{+}^n$ “of absolute values”, in which all coordinates are nonnegative. Cf. Figure 1.5, where the multicircular domain $D=\Delta\left(0,0 ; 2, \frac{1}{2}\right) \cup \Delta\left(0,0 ; \frac{1}{2}, 2\right)$ in $\mathbb{C}^2$ is represented by its trace.

## 数学代写|多复变函数论代考Multivariable Complex Analysis代写|Convergence domains of power series and analytic continuation

Let $B$ denote the set of those points $z \in \mathbb{C}^n$ at which the terms $c_\alpha z^\alpha, \alpha \in \mathbb{Z}{\geq 0}^n$ of the power series (2.3.2) form a bounded sequence: $$B=\left{z \in \mathbb{C}^n:\left|c\alpha z^\alpha\right| \leq M=M(z)<+\infty, \quad \forall \alpha \in \mathbb{Z}{\geq 0}^n\right} .$$ The set $B$ is clearly multicircular and it also has a certain convexity property: Lemma 2.4.1. The trace of $B$ is logarithmically convex. Proof. Let $r^{\prime} \geq 0$ and $r^{\prime \prime} \geq 0$ be any two points in $\operatorname{tr} B$. Then there is a constant $M$ [for example, $\left.M=\max \left{M\left(r^{\prime}\right), M\left(r^{\prime \prime}\right)\right}\right]$ such that $$\left|c\alpha\right|\left(r_1^{\prime}\right)^{\alpha_1} \ldots\left(r_n^{\prime}\right)^{\alpha_n} \leq M, \quad\left|c_\alpha\right|\left(r_1^{\prime \prime}\right)^{\alpha_1} \ldots\left(r_n^{\prime \prime}\right)^{\alpha_n} \leq M, \quad \forall \alpha \in \mathbb{Z}{\geq 0}^n .$$ It follows that for any $r=\left(r_1, \ldots, r_n\right)$ with components of the form $r_j=\left(r_j^{\prime}\right)^{1-\lambda}\left(r_j^{\prime \prime}\right)^\lambda[$ with $\lambda \in[0,1]$ independent of $j]$ and for all $\alpha^{\prime} s$, $$\left|c\alpha\right| r_1^{\alpha_1} \ldots r_n^{\alpha_n}=\left{\left|c_\alpha\right|\left(r_1^{\prime}\right)^{\alpha_1} \ldots\left(r_n^{\prime}\right)^{\alpha_n}\right}^{1-\lambda}\left{\left|c_\alpha\right|\left(r_1^{\prime \prime}\right)^{\alpha_1} \ldots\left(r_n^{\prime \prime}\right)^{\alpha_n}\right}^\lambda \leq M .$$
Thus $r \in B$ and hence $\operatorname{tr} B$ is logarithmically convex [Definition 2.2.3].

# 多复变函数论代考

## 数学代写|多复变函数论代考Multivariable Complex Analysis代写|Multiple power series and multicircular domains

$$\sum_{\alpha \in \mathbb{Z}^n} c_\alpha z^\alpha=\sum_{\alpha_1 \in \mathbb{Z}2 \ldots, \alpha_n \in \mathbb{Z}} c{\alpha_1 \ldots \alpha_n} z_1^{\alpha_1} \ldots z_n^{\alpha_n}$$

$$a=\left(a_1, \ldots, a_n\right) \in E \quad \text { implies } \quad a^{\prime}=\left(e^{i \theta_1} a_1, \ldots, e^{i \theta_n} a_n\right) \in E$$

## 数学代写|多复变函数论代考Multivariable Complex Analysis代写|Convergence domains of power series and analytic continuation

\left 缺少或无法识别的分隔符

$$|c \alpha|\left(r_1^{\prime}\right)^{\alpha_1} \ldots\left(r_n^{\prime}\right)^{\alpha_n} \leq M, \quad\left|c_\alpha\right|\left(r_1^{\prime \prime}\right)^{\alpha_1} \ldots\left(r_n^{\prime \prime}\right)^{\alpha_n} \leq M, \quad \forall \alpha \in \mathbb{Z} \geq 0^n .$$

\left 缺少或无法识别的分隔符

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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## 数学代写|多复变函数论代考Multivariable Complex Analysis代写|Cauchy integral formula for a polydisc

For functions $f$ that are holomorphic on a closed polydisc $\bar{\Delta}(a, r)$, there is an integral representation of Cauchy which extends the well-known one-variable formula. We will actually assume a little less than holomorphy:

Theorem 1.3.1. Let $f(z)=f\left(z_1, \ldots, z_n\right)$ be continuous on $\Omega \subset \mathbb{C}^n$ and differentiable in the complex sense with respect to each of the variables $z_j$ separately. Then for every closed polydisc $\bar{\Delta}(a, r) \subset \Omega$
$$f(z)=\frac{1}{(2 \pi i)^n} \int_{T(a, r)} \frac{f(\zeta)}{\left(\zeta_1-z_1\right) \ldots\left(\zeta_n-z_n\right)} d \zeta_1 \ldots d \zeta_n, \quad \forall z \in \Delta(a, r)$$
where $T(a, r)$ is the torus $C\left(a_1, r_1\right) \times \ldots \times C\left(a_n, r_n\right)$, with positive orientation of the circles $C\left(a_j, r_j\right)$.
Proof. We write out a proof for $n=2$. In the first part we only use the complex differentiability of $f$ with respect to each variable $z_j$, not the continuity of $f$.

Fix $z$ in $\Delta(a, r)=\Delta_1\left(a_1, r_1\right) \times \Delta_1\left(a_2, r_2\right)$ where $\bar{\Delta}(a, r) \subset \Omega$. Then $g(w)=f\left(w, z_2\right)$ has a complex derivative with respect to $w$ throughout a neighbourhood of the closed disc $\bar{\Delta}1\left(a_1, r_1\right)$ in $\mathbb{C}$. The one-variable Cauchy integral formula thus gives $$f\left(z_1, z_2\right)=g\left(z_1\right)=\frac{1}{2 \pi i} \int{C\left(a_1, r_1\right)} \frac{g(w)}{w-z_1} d w=\frac{1}{2 \pi i} \int_{C\left(a_1, r_1\right)} \frac{f\left(\zeta_1, z_2\right)}{\zeta_1-z_1} d \zeta_1 .$$

## 数学代写|多复变函数论代考Multivariable Complex Analysis代写|Multiple power series

The general power series in $\mathbb{C}^n$ with center $a$ has the form
$$\sum_{\alpha_1 \geq 0, \ldots, \alpha_n \geq 0} c_{\alpha_1 \ldots \alpha_n}\left(z_1-a_1\right)^{\alpha_1} \ldots\left(z_n-a_n\right)^{\alpha_n} .$$
Here the $\alpha_j$ ‘s are nonnegative integers and the $c$ ‘s are complex constants. We will see that multiple power series have properties similar to those of power series in one complex variable.

Before we start it is convenient to introduce abbreviated notation. We write $\alpha$ for the multi-index or ordered $n$-tuple $\left(\alpha_1, \ldots, \alpha_n\right)$ of integers. Such $n$-tuples are added in the usual way; the inequality $\alpha \geq \beta$ will mean $\alpha_j \geq \beta_j, \forall j$. In the case $\alpha \geq 0$ [that is, $\alpha_j \geq 0, \forall j$ ], we also write
$$\alpha \in \mathbb{C}0^n, \quad \alpha !=\alpha{1} ! \ldots \alpha_{n} !, \quad|\alpha|=\alpha_1+\ldots+\alpha_n \quad \text { (height of } \alpha \text { ) } .$$
One sets
$$z_1^{\alpha_1} \ldots z_n^{\alpha_n}=z^\alpha, \quad\left(z_1-a_1\right)^{\alpha_1} \ldots\left(z_n-a_n\right)^{\alpha_n}=(z-a)^\alpha,$$
so that the multiple sum (1.4.1) becomes simply
$$\sum_{\alpha \geq 0} c_\alpha(z-a)^\alpha .$$

# 多复变函数论代考

## 数学代写|多复变函数论代考Multivariable Complex Analysis代写|Cauchy integral formula for a polydisc

$$f(z)=\frac{1}{(2 \pi i)^n} \int_{T(a, r)} \frac{f(\zeta)}{\left(\zeta_1-z_1\right) \ldots\left(\zeta_n-z_n\right)} d \zeta_1 \ldots d \zeta_n, \quad \forall z \in \Delta(a, r)$$

$$f\left(z_1, z_2\right)=g\left(z_1\right)=\frac{1}{2 \pi i} \int C\left(a_1, r_1\right) \frac{g(w)}{w-z_1} d w=\frac{1}{2 \pi i} \int_{C\left(a_1, r_1\right)} \frac{f\left(\zeta_1, z_2\right)}{\zeta_1-z_1} d \zeta_1 .$$

## 数学代写|多复变函数论代考Multivariable Complex Analysis代写|Multiple power series

$$\sum_{\alpha_1 \geq 0, \ldots, \alpha_n \geq 0} c_{\alpha_1 \ldots \alpha_n}\left(z_1-a_1\right)^{\alpha_1} \ldots\left(z_n-a_n\right)^{\alpha_n} .$$

$$\alpha \in \mathbb{C} 0^n, \quad \alpha !=\alpha 1 ! \ldots \alpha_{n} !, \quad|\alpha|=\alpha_1+\ldots+\alpha_n \quad \text { (height of } \alpha \text { ) . }$$

$$\sum_{\alpha \geq 0} c_\alpha(z-a)^\alpha .$$

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。