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## 数学代写|实分析代写Real Analysis代考|Alternative proof of Intermediate value theorem

Let $[a, b]$ be a closed and bounded interval and $f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ is continuous on $[a, b]$. If $f(a) \neq f(b)$ then for every real number $r$ lying between $f(a)$ and $f(b)$ there is a point $c$ in $(a, b)$ such that $f(c)=r$.
Proof. Suppose on the contrary, there does not exist a point $c$ in $(a, b)$ such that $f(c)=r$.
Let us define a function $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ by $g(x)=f(a), x \in(-\infty, a)$
\begin{aligned} & =f(x), x \in[a, b]^{\circ} \ & =f(b), x \in(b, \infty) . \end{aligned}
Then $g$ is continuous on $\mathbb{R}$ and $g=f$ on $[a, b]$.
Let $G_1=(-\infty, r), G_2=(r, \infty)$. Then $\mathbb{R}=G_1 \cup{r} \cup G_2$.

$G_1$ and $G_2$ are open sets in $\mathbb{R}$. Since $g$ is continuous on $\mathbb{R}, g^{-1}\left(G_1\right)$ and $g^{-1}\left(G_2\right)$ are both open sets in $\mathbb{R}$.

Since $g^{-1}(r)=\phi, g^{-1}\left(G_1\right)=\mathbb{R}-g^{-1}\left(G_2\right)$. Since $g^{-1}\left(G_2\right)$ is open, $g^{-1}\left(G_1\right)$ is closed. Thus $g^{-1}\left(G_1\right)$ is both open and closed in $\mathbb{R}$.

But $g^{-1}\left(G_1\right)$ is non-empty, since $a \in g^{-1}\left(G_1\right)$ and $g^{-1}\left(G_1\right) \neq \mathbb{R}$, since $b \notin g^{-1}\left(G_1\right)$.

So $g^{-1}\left(G_1\right)$ is neither $\mathbb{R}$ nor $\phi$ and at the same time $g^{-1}\left(G_1\right)$ is both open and closed. This is a contradiction, since the only subsets in $\mathbb{R}$ which are both open and closed are $\phi$ and $\mathbb{R}$.
Hence our assumption is wrong and the theorem is proved.

## 数学代写|实分析代写Real Analysis代考|Monotone functions and continuity

Theorem 8.6.1. Let $I=(a, b)$ be an interval. Let $f: I \rightarrow \mathbb{R}$ be monotone increasing on $I$. Then at any point $c \in I$,
(i) $f(c-0)=\sup {x \in(a, c)} f(x)$, (ii) $f(c+0)=\inf {x \in(c, b)} f(x)$,
(iii) $f(c-0) \leq f(c) \leq f(c+0)$.
Proof. (i) If $x \in I$ and $x{x \rightarrow c-} f(x)=u$, i.e., $f(c-0)=u=\sup {x \in(a, c)} f(x)$ (ii) If $x \in I$ and $x>c$, then $f(x) \geq f(c)$.
Hence the set ${f(x): c<x<b}$ is bounded below, $f(c)$ being a lower bound. The set being non-empty, has a greatest lower bound, say $l$.

Then $l \geq f(c)$, and for a pre-assigned positive $\epsilon$, there exists a point $x_1$ in $(c, b)$ such that $l \leq f\left(x_1\right)<l+\epsilon$.
Let $x_1=c+\delta, 0<\bar{\delta}<b-c$.
Since $f$ is monotone increasing on $(c, b)$, for all $x$ in $c<x<x_1$ $l-\epsilon<l \leq f(x) \leq f\left(x_1\right)<l+\epsilon$ for all $x$ in $c<x<x_1$ Consequently, $|f(x)-l|<\epsilon$ for all $x$ in $c<x<x_1+\delta$ This implies that $\lim {x \rightarrow c+} f(x)=l$, i.e., $f(c+0)=l=\inf {x \in(c, b)} f(x)$
(iii) We have $f(c-0)=u \leq f(c)$ and $f(c+0)=l \geq f(c)$. Therefore $f(c-0) \leq f(c) \leq f(c+0)$.
Note. If $f: I \rightarrow \mathbb{R}$ be monotone decreasing on $I=(a, b)$ then at any point $c \in I$,
(i) $f(c-0)=\inf {x \in(a, c)} f(x)$, (ii) $f(c+0)=\sup {x \in(c, b)} f(x)$
(iii) $f(c-0) \geq f(c) \geq f(c+0)$.

## 数学代写|实分析代写Real Analysis代考|Alternative proof of Intermediate value theorem

\begin{aligned} & =f(x), x \in[a, b]^{\circ} \ & =f(b), x \in(b, \infty) . \end{aligned}

G_1$$G_2是\mathbb{R}中的开放集。因为g在\mathbb{R}, g^{-1}\left(G_1\right)上是连续的，而g^{-1}\left(G_2\right)在\mathbb{R}上都是开集。 自从g^{-1}(r)=\phi, g^{-1}\left(G_1\right)=\mathbb{R}-g^{-1}\left(G_2\right)。因为g^{-1}\left(G_2\right)是打开的，所以g^{-1}\left(G_1\right)是关闭的。因此g^{-1}\left(G_1\right)在\mathbb{R}中既是开放的又是封闭的。 但是g^{-1}\left(G_1\right)是非空的，因为a \in g^{-1}\left(G_1\right)和g^{-1}\left(G_1\right) \neq \mathbb{R}，因为b \notin g^{-1}\left(G_1\right)。 所以g^{-1}\left(G_1\right)既不是\mathbb{R}也不是\phi，同时g^{-1}\left(G_1\right)既是开放的也是封闭的。这是一个矛盾，因为\mathbb{R}中既开放又封闭的子集只有\phi和\mathbb{R}。 因此我们的假设是错误的，定理被证明了。 ## 数学代写|实分析代写Real Analysis代考|Monotone functions and continuity 定理8.6.1。设I=(a, b)为间隔。让f: I \rightarrow \mathbb{R}在I上单调递增。然后在任意一点c \in I， (i) f(c-0)=\sup {x \in(a, c)} f(x)， (ii) f(c+0)=\inf {x \in(c, b)} f(x)， (iii) f(c-0) \leq f(c) \leq f(c+0)。 证明。(i)如果是x \in I和x{x \rightarrow c-} f(x)=u，即f(c-0)=u=\sup {x \in(a, c)} f(x); (ii)如果是x \in I和x>c，则f(x) \geq f(c)。 因此集合{f(x): c<x<b}在下面有界，f(c)是下界。集合是非空的，有一个最大下界，比如l。 然后 l \geq f(c)，以及预先分配的阳性 \epsilon，存在一个点 x_1 在 (c, b) 这样 l \leq f\left(x_1\right)<l+\epsilon． 让 x_1=c+\delta, 0<\bar{\delta}<b-c． 自从 f 单调增加了吗 (c, b)对所有人来说 x 在 c<x<x_1 l-\epsilon<l \leq f(x) \leq f\left(x_1\right)<l+\epsilon 对所有人 x 在 c<x<x_1 因此， |f(x)-l|<\epsilon 对所有人 x 在 c<x<x_1+\delta 这意味着 \lim {x \rightarrow c+} f(x)=l，即: f(c+0)=l=\inf {x \in(c, b)} f(x) (三)我们已经 f(c-0)=u \leq f(c) 和 f(c+0)=l \geq f(c)． 因此 f(c-0) \leq f(c) \leq f(c+0)． 注意。如果 f: I \rightarrow \mathbb{R} 单调递减 I=(a, b) 那么在任何时候 c \in I， (i) f(c-0)=\inf {x \in(a, c)} f(x)(ii) f(c+0)=\sup {x \in(c, b)} f(x) (iii) f(c-0) \geq f(c) \geq f(c+0)． 数学代写|实分析代写Real Analysis代考 请认准UprivateTA™. 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Let f(x)=a_0 x^n+a_1: x^{n-1}+\cdots+a_{n-1} x+a_n for all x \in \mathbb{R}, where a_o, a_1, \ldots, a_n are real numbers. Then f is a polynomial function. f is the sum of n+1 functions f_0, f_1, f_2, \ldots, f_n where f_i=a_i x^{n-i}, i= 0,1,2, \ldots, n. Each f_i is continuns on \mathbb{R}. Therefore by Theoren 8.1.5; f is continuous on \mathbb{R}. Rational function. Let p(x) and q(x) be polynomial functions on \mathbb{R}. There are at most a finite number of real roots, say \alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_m of q(x). If x \neq \alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_m then we can define a function f by f(x)=\frac{m(x)}{\eta(x)}, x \neq \alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_m. By Theorem 8.1.4, if q(c) \neq 0 then f is continuous at c. That is, if c be not a root of q(x) then f is continuous at c. So a rational function is continuous for all x \in \mathbb{R} for which the function is defined. Trigonometric functions. (a) Let f(x)=\sin x, x \in \mathbb{R}. Let c \in \mathbb{R}.$$ \begin{aligned} |\sin x-\sin c| & =2\left|\cos \frac{x+c}{2} \sin \frac{x-c}{2}\right| \ & \leq 2\left|\sin \frac{\pi-c}{2}\right|, \text { since }|\cos x| \leq 1 \ & \leq 2\left|\frac{x-c}{2}\right|, \text { since }|\sin x| \leq|x| \ & =|x-c| . \end{aligned} $$Let us choose \epsilon>0. Then |\sin x-\sin c|<\epsilon for all x satisfying |x-c|<\epsilon. So f is continuous at c. Since c is arbitrary, f is continuous on \mathbb{R}. (b) Let f(x)=\cos x, x \in \mathbb{R}. Let c \in \mathbb{R}.$$ \begin{aligned} |\cos x-\cos c| & =2\left|\sin \frac{x+c}{2} \sin \frac{x-c}{2}\right| \ & \leq 2\left|\sin \frac{x-c}{2}\right|, \operatorname{since}\left|\sin \frac{x+c}{2}\right| \leq 1 \ & \leq 2\left|\frac{x-c}{2}\right|, \operatorname{since}|\sin x| \leq|x| \ & =|x-c| \end{aligned} $$Let us choose \epsilon>0. Then |\cos x-\cos c|<\epsilon for all x satisfying |x-c|<\epsilon. So f is continuous at c. Since c is arbitrary, f is continuous on \mathbb{R}. (c) Let f(x)=\tan x. f is not defined at the points (2 n+1) \frac{\pi}{2}(n being an integer) where the denominator \cos x=0. Let c \in \mathbb{R} and c \neq(2 n+1) \frac{\pi}{2}. Then \lim _{x \rightarrow c} \tan x=\tan c. So f is continuous at c when c \neq(2 n+1) \frac{\pi}{2}. Thus f is continuous on its domain. (d) The functions \cot x, \operatorname{cosec} x, \sec x are continuous on their respective domains. ## 数学代写|实分析代写Real Analysis代考|Some composite functions (a) Let D \subset \mathbb{R} and f: D \rightarrow \mathbb{R} be such that f(x) \geq 0 for all x \in D and f is continuous on D. Then \sqrt{f} is continuous on D. To prove this, let g(x)=\sqrt{x}. Then the composite function g f: D \rightarrow \mathbb{R} is defined by g f(x)= \sqrt{f(x)}, x \in D Since f is continuous on D and g is continuous on f(D), the composite function g f, i.e., \sqrt{f} is continuous on D. Worked Examples. (i) Prove that the function h(x)=\sqrt{x^2+3}, x \in \mathbb{R} is continuous on \mathbb{R}. h is the composite function g f where f(x)=x^2+3, x \in \mathbb{R} and g(x)=\sqrt{x}, x \geq 0 . f(x)>0 for x \in \mathbb{R}. f is continuous on \mathbb{R} and g is continuous on f(\mathbb{R}). So g f is continuous on \mathbb{R}. That is, h is continuous on \mathbb{R}. (ii) Prove that the function h(x)=\sqrt{\sin x}, x \in[0, \pi] is continuous on [0, \pi] h is the composite function g f where f(x)=\sin x, x \in[0, \pi] and g(x)=\sqrt{x}, x \geq 0. f(x) \geq 0 for x \in[0, \pi] . \quad f is continuous on [0, \pi]=D, say. g is continuous on f(D). So g f is continuous on [0, \pi]. That is, h is continuous on [0, \pi]. (iii) Prove that the function h(x)=\sqrt{x+\sqrt{x}}, x \geq 0 is continuous on [0, \infty) h is the composite function g f where f(x)=x+\sqrt{x}, x \geq 0 and g(x)=\sqrt{x}, x \geq 0. f(x) \geq 0 for x \geq 0. f is continuous on [0, \infty)=D, say. g is continuous on f(D). So g f is continuous on [0, \infty). That is, h is continuous on [0, \infty). ## 数学代写|实分析代写Real Analysis代考|Continuity of some important functions 多项式函数。 设f(x)=a_0 x^n+a_1: x^{n-1}+\cdots+a_{n-1} x+a_n为所有x \in \mathbb{R}，其中a_o, a_1, \ldots, a_n为实数。那么f是一个多项式函数。 f为n+1函数和f_0, f_1, f_2, \ldots, f_n，其中f_i=a_i x^{n-i}, i=$$0,1,2, \ldots, n。每个$f_i$都在$\mathbb{R}$上继续。因此根据定理8.1.5;$f$在$\mathbb{R}$上是连续的。

(a)让$f(x)=\sin x, x \in \mathbb{R}$。让$c \in \mathbb{R}$。
\begin{aligned} |\sin x-\sin c| & =2\left|\cos \frac{x+c}{2} \sin \frac{x-c}{2}\right| \ & \leq 2\left|\sin \frac{\pi-c}{2}\right|, \text { since }|\cos x| \leq 1 \ & \leq 2\left|\frac{x-c}{2}\right|, \text { since }|\sin x| \leq|x| \ & =|x-c| . \end{aligned}

$f$在$c$是连续的。因为$c$是任意的，所以$f$在$\mathbb{R}$上是连续的。
(c)让$f(x)=\tan x$。
$f$在以下点没有定义$(2 n+1) \frac{\pi}{2}(n$是整数)，其中分母$\cos x=0$。

(d) $\cot x, \operatorname{cosec} x, \sec x$函数在各自的领域内是连续的。

## 数学代写|实分析代写Real Analysis代考|Some composite functions

(a)使$D \subset \mathbb{R}$和$f: D \rightarrow \mathbb{R}$的所有$x \in D$和$f$的$f(x) \geq 0$在$D$上连续。然后$\sqrt{f}$在$D$上连续。

(i)证明函数$h(x)=\sqrt{x^2+3}, x \in \mathbb{R}$在$\mathbb{R}$上连续。$h$是复合函数$g f$，其中$f(x)=x^2+3, x \in \mathbb{R}$和$g(x)=\sqrt{x}, x \geq 0 . f(x)>0$表示$x \in \mathbb{R}$。$f$在$\mathbb{R}$上连续，$g$在$f(\mathbb{R})$上连续。
$g f$在$\mathbb{R}$上是连续的。也就是说，$h$在$\mathbb{R}$上连续。
(ii)证明函数$h(x)=\sqrt{\sin x}, x \in[0, \pi]$在$[0, \pi]$上连续
$h$是复合函数$g f$，其中$f(x)=\sin x, x \in[0, \pi]$和$g(x)=\sqrt{x}, x \geq 0$。

$g f$在$[0, \pi]$上是连续的。也就是说，$h$在$[0, \pi]$上连续。
(iii)证明函数$h(x)=\sqrt{x+\sqrt{x}}, x \geq 0$在$[0, \infty)$上是连续的
$h$是复合函数$g f$，其中$f(x)=x+\sqrt{x}, x \geq 0$和$g(x)=\sqrt{x}, x \geq 0$。
$f(x) \geq 0$代表$x \geq 0$。比方说，$f$在$[0, \infty)=D$上是连续的。$g$在$f(D)$上是连续的。
$g f$在$[0, \infty)$上是连续的。也就是说，$h$在$[0, \infty)$上连续。

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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## 数学代写|实分析代写Real Analysis代考|One sided linlits

There are cases where a function $f$ does not have a limit at a limit point $c$ of its domain $D$, but the restriction of the function $f$ to an interval at one side of $c$ (either right or left) may have a limit.

For example, the function $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ defined by $f(x)=\operatorname{sgn} x$ does not possess a limit at 0 but the restriction of $f$ to $(0, \infty)$ does have a limit at 0 and also the restriction of $f$ to $(-\infty, 0)$ does have a limit at 0 .
In:the former case we say that $f$ has a right hand limit at 0 and in the latter case we say that $f$ has a left hand limit at 0 .
Definitions.
Right hand limit. Let $D \subset \mathbb{R}$ and $f: D \rightarrow \mathbb{R}$ is a function. Let $c$ be a limit point of $D_1=D \cap(c, \infty)={x \in D: x>c}$.
$f$ is said to have a right hand limit $l(\in \mathbb{R})$ at $c$ if corresponding to a pre-assigned positive $\epsilon$ there exists a positive $\delta$ such that
$$|f(x)-l|<\epsilon \text { for all } x \in N^{\prime}(c, \delta) \cap D_1$$
i.e., $l-\epsilon<f(x)<l+\epsilon$ for all $x$ in $D$ satisfying $c<x<c+\delta$.
In this case we write $\lim _{x \rightarrow c+} f(x)=l$.
Left hand limit. Let $D \subset \mathbb{R}$ and $f: D \rightarrow \mathbb{R}$ is a function. Let $c$ be a limit point of $D_2=D \cap(-\infty, c)={x \in D: x<c}$.
$f$ is said to have a left hand limit $l(\in \mathbb{R})$ at $c$ if corresponding to a pre-assigned positive $\epsilon$ there exists a positive $\delta$ such that
$$|f(x)-l|<\epsilon \text { for all } x \in N^{\prime}(c, \delta) \cap D_2$$
i.e., $l-\epsilon<f(x)<l+\epsilon$ for all $x$ in $D$ satisfying $c-\delta<x<c$.
In this case we write $\lim _{x \rightarrow c-} f(x)=l$.

## 数学代写|实分析代写Real Analysis代考|Sequential criterion.

Let. $D \subset \mathbb{R}$ and $f: D \rightarrow \mathbb{R}$ be a function. Let $c$ be a limit point of $D_1=D \cap(c, \infty)$. Then $\lim _{x \rightarrow c+} f(x)=l$ if and only if for every sequence $\left{x_n\right}$ in $D_1$ converging to $c$, the sequence $\left{f\left(x_n\right}\right.$ converges to $l$.

Let $D \subset \mathbb{R}$ and $f: D \rightarrow \mathbb{R}$ be a function. Iet $c$ be a limit point of $D_2=D \cap(-\infty, c)$. Then $\lim _{x \rightarrow c-} f(x)=l$ if and only if for every sequence $\left{x_n\right}$ in $D_2$ converging to $c$, the sequence $\left{f\left(x_n\right}\right.$ corverges to $l$.

Note. It is possible that both the right hand limit and the left hand limit may exist, or both may not exist, or one of them exists while the other does not.
Worked Examples.

Let $f(x)=\operatorname{sgn} x$. Examine if $\lim {x \rightarrow 0^{+}} f(x)$ and $\lim {x \rightarrow 0^{-}} f(x)$ exist.
Here the domain $D$ of $f$ is $\mathbb{R}$.
Let $D_1=D \cap(0, \infty)$. Then $D_1={x \in \mathbb{R}: x>0}$. 0 is a limit point of $D_1 \cdot f(x)=1$ for all $x \in D_1$. Therefore $\lim _{x \rightarrow 0+} f(x)=1$.

Let $D_2=D \cap(-\infty, 0)$. Then $D_2={x \in \mathbb{R}: x<0}$. 0 is a limit point of $D_2 . f(x)=-1$ for all $x \in D_2$. Therefore $\lim _{x \rightarrow 0-} f(x)=-1$.

Note. Here both the right hand limit and the left hand limit of $f$ at 0 exist. $f$ is defined at 0 but $f(0) \neq \lim {x \rightarrow 0{+}} f(x)$ and also $f(0) \neq \lim _{x \rightarrow 0-} f(x)$.

## 数学代写|实分析代写Real Analysis代考|One sided linlits

$$|f(x)-l|<\epsilon \text { for all } x \in N^{\prime}(c, \delta) \cap D_1$$

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## 数学代写|实分析代写Real Analysis代考|Series of positive terms

A series $\Sigma u_n$ is said to be a series of positive terms if $u_n$ is a positive real number for all $n \in \mathbb{N}$.

Theorem 6.2.1. A series of positive real numbers $\Sigma u_n$ is convergent if and only if the sequence $\left{s_n\right}$ of partial sums is bounded above.

Proof. $s_n=u_1+u_2+\cdots+u_n$. Then $s_{n+1}-s_n=u_{n+1}>0$ for all $n \in \mathbb{N}$.
Hence the sequence $\left{s_n\right}$ is a monotone increasing sqeuence. Therefore $\left{s_n\right}$ is convergent if and only if it bounded above.

Consequently, the series $\Sigma u_n$ is convergent if and only if the sequence $\left{s_n\right}$ is bounded above.

Note. If not bounded above, the sequence $\left{s_n\right}$ being a monotone increasing sequence, diverges to $\infty$. In this case the series diverges to $\infty$
Therefore a series of positive real numbers either converges to a real number, or diverges to $\infty$.

Introduction and removal of brackets.
Let $\Sigma u_n$ be a series of positive real numbers. Let the terms of the series be arranged in groups without changing the order of the terms. Let us denote the $n$th group by $v_n$. Then a new series $\Sigma v_n$ is obtained.

## 数学代写|实分析代写Real Analysis代考|Re-arrangement of terms

Let $\Sigma u_n$ be a given series. If a new series $\Sigma v_n$ is obtained by using each term of $\Sigma u_n$ exactly once, the order of the terms being disturbed, then $\Sigma v_n$ is called a re-arrangement of $\Sigma u_n$.

If $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ be a bijective mapping, $\Sigma u_{f(n)}$ is a re-arrangement of $\Sigma u_n$ and conversely if $\Sigma v_n$ be a re-arrangement of the series $\Sigma u_n$ then $v_n=u_{f(n)}$ for some bijection $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$.
\begin{aligned} & \text { For example, let } f(n)=n+1 \text { if } n \text { be odd, } \ & =n-1 \text { if } n \text { be even. } \ & f(1)=2, f(2)=1, f(3)=4, f(4)=3, \cdots \cdots \ & \Sigma u_{f(n)}=u_2+u_1+u_4+u_3+\cdots \cdots \text { is a re-arrangement of } \Sigma u_n . \end{aligned}
Theorem 6.2.3. Let $\Sigma u_n$ be a convergent series of positive real numbers. Then any re-arrangement of $\Sigma u_n$ is convergent and the sum remains unaltered.

Proof. Let $\Sigma u_n$ converge to $s$ and $\Sigma v_n$ be a re-arrangement of $\Sigma u_n$. Then $v_n=u_{f(n)}$ for some bijection $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$.
Let $s_n=u_1+u_2+\cdots+u_n, t_n=v_1+v_2+\cdots+v_n$.
Since $u_n>0$, the sequence $\left{s_n\right}$ is a monotone increasing sequence. As $\Sigma u_n$ converges to $s, \lim s_n=s$. Therefore the sequence $\left{s_n\right}$ is bounded above and $s_n \leq s$ for all $n \in \mathbb{N}$.

## 数学代写|实分析代写Real Analysis代考|Re-arrangement of terms

\begin{aligned} & \text { For example, let } f(n)=n+1 \text { if } n \text { be odd, } \ & =n-1 \text { if } n \text { be even. } \ & f(1)=2, f(2)=1, f(3)=4, f(4)=3, \cdots \cdots \ & \Sigma u_{f(n)}=u_2+u_1+u_4+u_3+\cdots \cdots \text { is a re-arrangement of } \Sigma u_n . \end{aligned}

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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## 数学代写|实分析代写Real Analysis代考|Monotone sequence

A real sequence ${f(n)}$ is said to be a monotone increasing sequence if $f(n+1) \geq f(n)$ for all $n \in \mathbb{N}$.

A real sequence ${f(n)}$ is said to be a monotone decreasing sequence if $f(n+1) \leq f(n)$ for all $n \in \mathbb{N}$.

A real sequence ${f(n)}$ is said to be a monotone sequence if it is either a monotone increasing sequence or a monotone decreasing sequence.
Note. If $f(n+1)>f(n)$ for all $n \in \mathbb{N}$, the sequence ${f(n)}$ is said to be a strictly monotone increasing sequence.

If $f(n+1)<f(n)$ for all $n \in \mathbb{N}$, the sequence ${f(n)}$ is said to be a strictly monotone decreasing sequence.

If for some natural number $m, f(n+1) \geq f(n)$ for all $n \geq m$ the sequence ${f(n)}$ is said to be an ‘ultimately’ monotone increasing sequence.

If for some natural number $m, f(n+1) \leq f(n)$ for all $n \geq m$ the sequence ${f(n)}$ is said to be an ‘ultimately’ monotone decreasing sequence.

## 数学代写|实分析代写Real Analysis代考|Some important sequences

1. The sequence $\left{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right}$ is a monotone increasing sequence, bounded above.
Let $u_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$. Then $u_{n+1}=\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}$.
Let us consider $n+1$ positive numbers $1+\frac{1}{n}, 1+\frac{1}{n}, \cdots, 1+\frac{1}{n}(n$ times) and 1.
Applying A.M.> G.M., we have $\frac{n\left(1+\frac{1}{n}\right)+1}{n+1}>\left(1+\frac{1}{n}\right)^{\frac{n}{n+1}}$
\begin{aligned} & \text { or, }\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}>\left(1+\frac{1}{n}\right)^n \text {. } \ & \text { i.e., } u_{n+1}>u_n \text { for all } n \in \mathbb{N} \text {. } \end{aligned}
This shows that the sequence $\left{u_n\right}$ is a monotone increasing sequence.
\text { Now } \begin{aligned} u_n & =1+1+\frac{n(n-1)}{2 !} \frac{1}{n^2}+\cdots+\frac{n(n-1) \cdots 2 \cdot 1}{n !} \frac{1}{n^n} \ & =1+1+\frac{1}{2 !}\left(1-\frac{1}{n}\right)+\cdots+\frac{1}{n !}\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right) \cdots \frac{2}{n} \cdot \frac{1}{n} \ & <1+1+\frac{1}{2 !}+\cdots+\frac{1}{n !} \text { for all } n \geq 2 . \end{aligned} We have $n !>2^{n-1}$ for all $n>2$. Utilising this
$$1+1+\frac{1}{2 !}+\cdots+\frac{1}{n !}<1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\cdots+\frac{1}{2^{n-1}} \text {, for } n>2 \text {. }$$
Also $1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\cdots+\frac{1}{2^{n-1}}=1+2\left[1-\left(\frac{1}{2}\right)^n\right]<3$ for all $n \in \mathbb{N}$. It follows that $u_n<3$ for all $n \in \mathbb{N}$, proving that the sequence $\left{u_n\right}$ is bounded above.

Thus the sequence $\left{u_n\right}$ being a monotone increasing sequence bounded above, is convergent. The limit of the sequence is denoted by $e$.
Since $u_1=2$, it follows that $2<u_n<3$ for all $n \geq 2$.

## 数学代写|实分析代写Real Analysis代考|Some important sequences

\begin{aligned} & \text { or, }\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}>\left(1+\frac{1}{n}\right)^n \text {. } \ & \text { i.e., } u_{n+1}>u_n \text { for all } n \in \mathbb{N} \text {. } \end{aligned}

\text { Now } \begin{aligned} u_n & =1+1+\frac{n(n-1)}{2 !} \frac{1}{n^2}+\cdots+\frac{n(n-1) \cdots 2 \cdot 1}{n !} \frac{1}{n^n} \ & =1+1+\frac{1}{2 !}\left(1-\frac{1}{n}\right)+\cdots+\frac{1}{n !}\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right) \cdots \frac{2}{n} \cdot \frac{1}{n} \ & <1+1+\frac{1}{2 !}+\cdots+\frac{1}{n !} \text { for all } n \geq 2 . \end{aligned}我们有$n !>2^{n-1}$表示所有的$n>2$。利用这个
$$1+1+\frac{1}{2 !}+\cdots+\frac{1}{n !}<1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\cdots+\frac{1}{2^{n-1}} \text {, for } n>2 \text {. }$$

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## 数学代写|实分析代写Real Analysis代考|Monotone functions

Let $I \subset \mathbb{R}$ be an interval. A function $f: I \rightarrow \mathbb{R}$ is said to be monotone increasing on $I$ if $x_1, x_2 \in I$ and $x_1<x_2 \Rightarrow f\left(x_1\right) \leq f\left(x_2\right)$. $f: I \rightarrow \mathbb{R}$ is said to be monotone decreasing on $I$ if $x_1, x_2 \in I$ and $x_1<x_2 \Rightarrow f\left(x_1\right) \geq f\left(x_2\right)$.

A function $f: I \rightarrow \mathbb{R}$ is said to be monotone on $I$ if $f$ is either monotone increasing or monotone decreasing on $I$.

A function $f: I \rightarrow \mathbb{R}$ is said to be strictly increasing on $I$ if $x_1, x_2 \in I$ and $x_1f\left(x_2\right)$.

A function $f: I \rightarrow \mathbb{R}$ is said to be strictly monotone on $I$ if $f$ is either strictly increasing or strictly decreasing on $I$.
Let $I=[a, b]$ be a closed and bounded interval.
A function $f: I \rightarrow \mathbb{R}$ is said to be monotone increasing on $I$ if $x_1, x_2 \in I$ and $a \leq x_10, k f$ is monotone increasing (decreasing) on $I$.
(iii) if $k \in \mathbb{R}$ and $k<0, k f$ is monotone decreasing (increasing) on $I$.

## 数学代写|实分析代写Real Analysis代考|Even function, odd function

For $a \in \mathbb{R}^*$, let $D$ be the symmetric interval $(-a, a)$.
A function $f: D \rightarrow \mathbb{R}$ is said to be an even function if $f(-x)=f(x)$ for all $x \in D$.

A function $f: D \rightarrow \mathbb{R}$ is said to be an odd function if $f(-x)=-f(x)$ for all $x \in D$.

For example,the functions $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ defined by $f(x)=x^2, f(x)=$ $\cos x$ are even functions on $\mathbb{R}$ and defined by $f(x)=x, f(x)=$ $\operatorname{sgn} x, f(x)=\sin x$ are odd functions on $\mathbb{R}$.
If $f$ be an odd function on $(-a, a)$ then $f(0)=0$.
Let $f$ be an odd function on $(-a, a)$, for some $a \in \mathbb{R}^*$. If $(x, f(x))$ be a point on the graph of $f$ then $(-x,-f(x))$ is also a point on the graph. It follows that the graph of $f$ is symmetrical about the origin.

Let $f$ be an even function on $(-a, a)$, for some $a \in \mathbb{R}^*$. If $(x, y)$ be a point on the graph of $f$ then $(-x, y)$ is also a point on the graph. It follows that the graph of $f$ is symmetrical about the $y$ axis.

## 数学代写|实分析代写Real Analysis代考|Monotone functions

(iii)如果$k \in \mathbb{R}$和$k<0, k f$是单调的，在$I$上递减(递增)。

## MATLAB代写

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## 数学代写|实分析代写Real Analysis代考|Real function

Let $X$ be a non-empty set. A function $f: X \rightarrow \mathbb{R}$ is called a real valued function on $X$. For each $x \in X$, the $f$-image, which is also called the value of $f$ at $x$, denoted by $f(x)$, is a real number.

For example, the function $f: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{R}$ defined by $f(z)=|z|, z \in \mathbb{C}$ is a real valued function of complex numbers.

Let $D$ be a non-empty subset of $\mathbb{R}$. A function $f: D \rightarrow \mathbb{R}$ is said to be a real valued function of real numbers. Such a function is also called a real function.
$D$ is said to be the domain of $f$. The set $f(D)={f(x): x \in D}$ is a subset of $\mathbb{R}$ and it is called the range of $f$.

## 数学代写|实分析代写Real Analysis代考|Injective function, Surjective function.

Let $D \subset \mathbb{R}$. A function $f: D \rightarrow \mathbb{R}$ is said to be injective (or one-one) if for two distinct elements $x_1, x_2$ in $D$ the functional values $f\left(x_1\right)$ and $f\left(x_2\right)$ are distinct.

Let $D \subset \mathbb{R}, E \subset \mathbb{R}$. A function $f: D \rightarrow E$ is said to be surjective (or onto) if $f(D)=E$.

For example, the function $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ defined by $f(x)=\sin x, x \in \mathbb{R}$ is not injective, because two distinct points $\pi$ and $2 \pi$ in the domain $\mathbb{R}$ have the same functional value. $f$ is not surjective, because the range of $f={x \in \mathbb{R}:-1 \leq x \leq 1}$, a proper subset of the codomain set $\mathbb{R}$.

## 数学代写|实分析代写Real Analysis代考|Real function

$D$据说是$f$的域名。集合$f(D)={f(x): x \in D}$是$\mathbb{R}$的一个子集，它被称为$f$的范围。

## MATLAB代写

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## 数学代写|实分析代写Real Analysis代考|Dense set. Perfect set

Definition. Let $S$ be a subset of $\mathbb{R}$. A subset $T \subset S$ is said to be dense in $S$ if $S \subset T_4^{\prime}$.

In particular, $S$ is said to be dense in $\mathbb{R}$ (or dense, or everywhere dense) if every point of $\mathbb{R}$ is a limit point of $S$, or equivalently $S^{\prime}=\mathbb{R}$.
Definition. Let $S$ be a subset of $\mathbb{R}$. $S$ is said to be dense-in-itself if $S \subset S^{\prime}$.

Definition. Let $S$ be a subset of $\mathbb{R} . S$ is said to be a perfect set if $S$ is dense-in-itself and closed, i.e., if $S=S^{\prime}$.
Examples.

1. The set $\mathbb{Q}$ is dense in $\mathbb{R}$, since $\mathbb{Q}^{\prime}=\mathbb{R}$.
2. Let $S={x \in \mathbb{R}: 1<x<2}$. Then $S \subset S^{\prime}$. $S$ is dense-in-itself.
3. The set $\mathbb{Q}$ is dense-in-itself, since $\mathbb{Q} \subset \mathbb{Q}^{\prime}$. The set $\mathbb{R}$ is dense-in-itself.
4. Let $S={x \in \mathbb{R}: 1 \leq x \leq 3}$. Then $S$ is a perfect set.

## 数学代写|实分析代写Real Analysis代考|Decimal representation of a real number

Let $x \in[0,1]$. If we divide $[0,1]$ into 10 equal subintervals, then $x$ lies in at least one of the subintervals $\left[\frac{a}{10}, \frac{a+1}{10}\right]$ where $a$ is one of integers $0,1,2, \ldots, 9$

If $x$ be a point of division, then two values of $a$ are possible. We choose one of then and call it $a_1$. Then
$$\frac{a_1}{10} \leq x \leq \frac{a_1+1}{10} \text {, where } 0 \leq a_1 \leq 9$$
The chosen interval $\left[\frac{a_1}{10}, \frac{a_2+1}{10}\right]$ is again divided into 10 equal subintervals. Then $x$ lies in at least one of them and
$$\frac{a_1}{10}+\frac{a_2}{10^2} \leq x \leq \frac{a_1}{10}+\frac{a_2+1}{10^2} \text { where } 0 \leq a_i \leq 9, i=1,2 .$$

The process is continued and we obtain integers $a_1, a_2, a_3, \cdots$ with $0 \leq a_n \leq 9$ for all $n \in \mathbb{N}$ such that
$$\frac{a_1}{10}+\frac{a_2}{10^2}+\cdots+\frac{a_n}{10^n} \leq x \leq \frac{a_1}{10}+\frac{a_2}{10^2}+\cdots+\frac{a_n+1}{10^n} \text { for all } n \in \mathbb{N} .$$
We write $x=a_1 a_2 a_3 \cdots \cdots$ and call it a decimal representation of $x$.
Conversely, we now show that every decimal of the form $a_1 a_2 a_3 \cdots \cdots$ is the decimal representation of some real number in $[0,1]$.
Let $I_1=[0,1], I_2=\left[\frac{a_1}{10}, \frac{a_1+1}{10}\right], I_3=\left[\frac{a_1}{10}+\frac{a_2}{10^2}, \frac{a_1}{10}+\frac{a_2+1}{10^2}\right], \cdots$,
$$I_{n+1}=\left[\frac{a_1}{10}+\frac{a_2}{10^2}+\cdots+\frac{a_n}{10^n}, \frac{a_1}{10}+\frac{a_2}{10^2}+\cdots+\frac{a_n+1}{10^n}\right], \cdots$$
We obtain a family of closed and bounded intervals $\left{I_n\right}$ satisfying the conditions (i) $I_{n+1} \subset I_n$ for all $n \in \mathbb{N}$ and
(ii) $\left|I_n\right|=\frac{1}{10^{n-1}}$.

## 数学代写|实分析代写Real Analysis代考|Decimal representation of a real number

$$\frac{a_1}{10} \leq x \leq \frac{a_1+1}{10} \text {, where } 0 \leq a_1 \leq 9$$

$$\frac{a_1}{10}+\frac{a_2}{10^2} \leq x \leq \frac{a_1}{10}+\frac{a_2+1}{10^2} \text { where } 0 \leq a_i \leq 9, i=1,2 .$$

$$\frac{a_1}{10}+\frac{a_2}{10^2}+\cdots+\frac{a_n}{10^n} \leq x \leq \frac{a_1}{10}+\frac{a_2}{10^2}+\cdots+\frac{a_n+1}{10^n} \text { for all } n \in \mathbb{N} .$$

$$I_{n+1}=\left[\frac{a_1}{10}+\frac{a_2}{10^2}+\cdots+\frac{a_n}{10^n}, \frac{a_1}{10}+\frac{a_2}{10^2}+\cdots+\frac{a_n+1}{10^n}\right], \cdots$$

(ii) $\left|I_n\right|=\frac{1}{10^{n-1}}$。

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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## 数学代写|实分析代写Real Analysis代考|Properties of the supremum and the infimum

Let $S$ be a non-empty subset of $\mathbb{R}$, bounded above. Then sup $S$ exists. Let $M=\sup S$. Then $M \in \mathbb{R}$ and $M$ satisfies the following conditions :
(i) $x \in S \Rightarrow x \leq M$, and
(ii) for each $\epsilon>0$, there exists an element $y(\epsilon)$ in $S$ such that $M-\epsilon<$ $y \leq M$

Let $S$ be a non-empty subset of $\mathbb{R}$, bounded below. Then inf $S$ exists. Let $m=\inf S$. Then $m \in \mathbb{R}$ and $m$ satisfies the following conditions :
(i) $x \in S \Rightarrow x \geq m$, and
(ii) for each $\epsilon>0$, there exists an element $y(\epsilon)$ in $S$ such that $m \leq$ $y<m+\epsilon$
Note. The symbol $y(\epsilon)$ indicates dependence of $y$ on the choice of $\epsilon$.

Prove that the set $\mathbb{N}$ is not bounded above.
The set $\mathbb{N}$ is a non-empty subset of $\mathbb{R}$, since $1 \in \mathbb{N}$.
Let $\mathbb{N}$ be bounded above. Then $\mathbb{N}$ being a non-empty subset of $\mathbb{R}$ bounded above, $\sup \mathbb{N}$ exists by the supremum property of $\mathbb{R}$. Let $u=$ $\sup \mathbb{N}$. Then (i) $x \in \mathbb{N} \Rightarrow x \leq u$, and
(ii) for each $\epsilon>0$ there exists an element, say $y$ in $\mathbb{N}$ such that $u-\epsilon<y \leq u$.

Let us choose $\epsilon=1$. Then there exists an element $k$ in $\mathbb{N}$ such that $u-1u$.

Since $k$ is a natural number, $k+1$ is also a natural number. $k+1>u$ implies that $u$ is not an upper bound of $\mathbb{N}$.

Thus we arrive at a contradiction. So our assumption that $\mathbb{N}$ is bounded above is wrong. Hence the set $\mathbb{N}$ is not bounded above

## 数学代写|实分析代写Real Analysis代考|Archimedean property of lR

If $x, y \in \mathbb{R}$ and $x>0, y>0$, then there cxists a natural number $n$ such thát $n y>x$.

Proof. If possible, let there exist no natural number $n$ for which $n y>x$. Then for every natural number $k, k y \leq x$.

Thus the set $S={k y: k \in \mathbb{N}}$ is bounded above, $x$ being an upper bound. $S$ is non-empty because $y \in S$.
By the supremum property of $\mathbb{R}$, sup $S$ exists. Let $\sup S=b$. Then $k y \leq b$ for all $k \in \mathbb{N}$.
$b-y0$. This shows that $b-y$ is not an upper bound of $S$ and therefore there exists a natural number $p$ such that
$b-y . b \ldots \ldots$
(i)
But $p \in \mathbb{N} \Rightarrow p+1 \in \mathbb{N}$ and therefore $(p+1) y \in S$.
(i) shows that $b$ is not the supremum of $S$, a contradiction.
Therefore our assumption is wrong and the existence of a natural number $n$ satisfying $n y>x$ is proved.

(i) If $x \in \mathbb{R}$, then there exists a natural number $n$ such that $n>x$.
Case 1. $x>0$.
Taking $y=1$, by Archimedean property of $\mathbb{R}$ there exists a natural number $n$ such that $n .1>x$ and hence the existence is proved.
Case 2. $x \leq 0$. Then $n=1$.
(ii) If $x \in \mathbb{R}$ and $x>0$, then there exists a natural number $n$ such that $0<\frac{1}{n}<x$

Taking $y=1$, by Archimedean property of $\mathbb{R}$ there exists a natural number $n$ such that $n x>1$.

Since $n$ is a natural number, $n>0$ and therefore $\frac{1}{n}>0$ and also $\frac{1}{n}0$, there exists a natural number $m$ such that $m-1 \leq x<m$

## 数学代写|实分析代写Real Analysis代考|Properties of the supremum and the infimum

(i) $x \in S \Rightarrow x \leq M$
(ii)对于每个$\epsilon>0$，在$S$中存在一个元素$y(\epsilon)$，使得 $M-\epsilon<$ $y \leq M$

(i) $x \in S \Rightarrow x \geq m$
(ii)对于每个$\epsilon>0$，在$S$中存在一个元素$y(\epsilon)$，使得$m \leq$$y<m+\epsilon 注意。符号y(\epsilon)表示y对\epsilon的选择的依赖性。 证明集合\mathbb{N}在上面没有界。 集合\mathbb{N}是\mathbb{R}的非空子集，因为1 \in \mathbb{N}。 设\mathbb{N}为上界。那么\mathbb{N}是上面有界的\mathbb{R}的一个非空子集，\sup \mathbb{N}根据\mathbb{R}的上性而存在。让u=$$\sup \mathbb{N}$。然后(i) $x \in \mathbb{N} \Rightarrow x \leq u$，和
(ii)对于每个$\epsilon>0$，存在一个元素，例如$\mathbb{N}$中的$y$，使得$u-\epsilon<y \leq u$。

## 数学代写|实分析代写Real Analysis代考|Archimedean property of lR

$b-y0$。这表明$b-y$不是$S$的上界，因此存在一个自然数$p$，使得
$b-y . b \ldots \ldots$
(i)

(一)证明$b$不是$S$的最高，这是一个矛盾。

(i)如果$x \in \mathbb{R}$，则存在一个自然数$n$，使得$n>x$。

(ii)如果$x \in \mathbb{R}$和$x>0$，则存在一个自然数$n$，使得 $0<\frac{1}{n}<x$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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## 数学代写|实分析代写Real Analysis代考|Order properties of Q

On the set $\mathbb{Q}$, a linear order relation $<$ is defined by ” $aa$ ( $b$ is greater than $c$ The law of trichotomy states that a rational number $a$ is one of following : $a<0, a=0,00$.

A rational number $a$ is said to be positive if $a>0$ and is said tc negative if $a<0$.

1. If $a, b, c \in \mathbb{Q}$ and $a<c, c<b$ both hold, we write $a<c<b$. We that $c$ lies between $a$ and $b$.
2. The ficld $\mathbb{Q}$ together with the order relation defined on $\mathbb{Q}$ satisf. O1-O4 becomes an ordered field.

If $x$ and $y$ be any two rational numbers and $x<y$, there exists a rational number’ $r$ such that $x<r<y$. That is, between any two rational numbers there exists a rational number.
\begin{aligned} & x<y \Rightarrow x+y<y+y \text {, by } O 3 \ & \Rightarrow \frac{1}{2}(x+y)<\frac{1}{2}(2 y) \text {, by } O 4 \ & \text { i.e., } \quad \frac{1}{2}(x+y)<y \text {. } \ & \text { Again, } x<y \Rightarrow x+x<x+y \text {, by } O 3 \ & \Rightarrow \quad \frac{1}{2}(2 x)<\frac{1}{2}(x+y) \text {, by } O 4 \ & \text { i.e., } \quad x<\frac{1}{2}(x+y) \text {. } \ & \end{aligned}
Therefore we have $x<\frac{1}{2}(x+y)<y$. Then $r=\frac{1}{2}(x+y)$.
We observe that between two rational numbers $x$ and $y$ (where $x<y$ ) there exists another rational number $\frac{1}{2}(x+y)$. Again between $x$ and $\frac{1}{2}(x+y)$ ( since $x<\frac{1}{2}(x+y)$ ) there exists another rational number and the process can be continued indefinitely.

We say that between any two rational numbers $x$ and $y$ (where $x<y$ ) there exist infinitely many rational numbers. This is expressed by saying that the set $\mathbb{Q}$ is dense and this property of $\mathbb{Q}$ is called the density property of $\mathbb{Q}$.

Because of this density property of $\mathbb{Q}$, between any two rational numbers $x$ and $y$ we can interpolate infinitely many rational numbers.

## 数学代写|实分析代写Real Analysis代考|Geometrical representation of rational numbers

Rational numbers can be represented by points on a straight line. Let $X^{\prime} X$ be a directed line. We take a point $O$ on the line. $O$ divides the line into two parts. The part to the right of $O$ is called the positive side and the part to the left of $O$ is called the negative side.

Let us take a point $A$ to the right of $O$. Let $O$ represent the rational number zero and $A$ represent the rational number one. Taking the distance $O A$ as the unit distance on some chosen scale, each rational number can be represented by a unique point on the line. First of all, the positive integers $2,3, \cdots$ are represented by the points $A_2, A_3, \cdots$ lying to the right of $O$ where $O A_2=2 O A, O A_3=3 O A, \cdots$ and the negative integers $-1,-2, \cdots$ are represented by the points $A_1^{\prime}, A_2^{\prime}, \cdots$ lying to the left $O$ such that $O A_1^{\prime}=O A, O A_2^{\prime}=2 O A, \cdots$

To represent a positive rational number $r$ of the form $\frac{p}{q}$ where $p, q$ are positive integers, we measure $p$ times the distance $O A$ to the right of $O$ and get a point $B$ and then measure the $q$ th part of the distance $O B$ to the right of $O$ to the get the point $P . P$ represents the rational number $r$. If $r$ be a negative rational number $(-s)$ then the point $P^{\prime}$ to the left of $O$ (where $O P^{\prime}=O P$ and $P$ represents $s$ ) represents $r$.

Thus every rational number can be made to correspond to a point on the line. If a point that corresponds to a rational number be called a rational point then we observe that between any two rational points there lie infinitely many rational points. If all the rational numbers be plotted as points on the line it appears that the whole line is covered by rational points i.e., the whole line is composed of only rational points.

## 数学代写|实分析代写Real Analysis代考|Order properties of Q

\begin{aligned} & x<y \Rightarrow x+y<y+y \text {, by } O 3 \ & \Rightarrow \frac{1}{2}(x+y)<\frac{1}{2}(2 y) \text {, by } O 4 \ & \text { i.e., } \quad \frac{1}{2}(x+y)<y \text {. } \ & \text { Again, } x<y \Rightarrow x+x<x+y \text {, by } O 3 \ & \Rightarrow \quad \frac{1}{2}(2 x)<\frac{1}{2}(x+y) \text {, by } O 4 \ & \text { i.e., } \quad x<\frac{1}{2}(x+y) \text {. } \ & \end{aligned}

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。