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## 数学代写|希尔伯特空间代写Hilbert Space代考|Holomorphic Functional Calculus

Let $x \in \mathrm{B}(\mathcal{H})$ be an arbitrary operator. In particular, $x$ is not assumed to be self-adjoint. The algebra of functions holomorphic on a neighborhood of $\sigma(x)$ will be denoted by the symbol $\mathscr{H}(\sigma(x)) .^4$

Let $f \in \mathscr{H}(\sigma(x))$ and let $\Gamma$ be a positively oriented curve surrounding $\sigma(x)$ contained in the domain of holomorphy of $f$. Define
$$f(x)=\frac{1}{2 \pi \mathrm{i}} \oint_{\Gamma} f(\lambda)(\lambda \mathbb{1}-x)^{-1} d \lambda$$
(the integral is of a continuous Banach space-valued function over a compact set). As usual, the value of the integral is independent of the choice of the curve $\Gamma$. Moreover, it is easy to see that $f(x)$ commutes with $x$.

## 数学代写|希尔伯特空间代写Hilbert Space代考|Theorems of Fuglede and Putnam

Theorem $4.18$ (Fuglede’s Theorem)
Let $x$ and $y$ be commuting elements of $\mathrm{B}(\mathcal{H})$. Assume further that $x$ is normal. Then $y x^=x^ y$.
Proof
For $\lambda \in \mathbb{C}$ and let
$$u(\lambda)=\exp \left(\lambda x^-\bar{\lambda} x\right) .$$ Then $u(\lambda)$ is a unitary operator, since we can easily check that $u(\lambda)^=u(-\lambda)$ for all $\lambda$ and
$$u(\lambda) u(\mu)=u(\lambda+\mu), \quad \lambda, \mu \in \mathbb{C} .$$
Moreover $u(0)=\mathbb{1}$ and
$$u(\lambda)=\exp \left(\lambda x^\right) \exp (-\bar{\lambda} x)=\exp (-\bar{\lambda} x) \exp \left(\lambda x^\right)$$
(as $x$ is normal), so since $x$ commutes with $y$, we see that
\begin{aligned} \exp \left(-\lambda x^\right) y \exp \left(\lambda x^\right) & =\exp \left(-\lambda x^\right) \exp (\bar{\lambda} x) y \exp (-\bar{\lambda} x) \exp \left(\lambda x^\right) \ & =u(-\lambda) y u(\lambda) . \end{aligned}

## 数学代写|桸尔伯特空间代写Hilbert Space代考|Holomorphic Functional Calculus

$$f(x)=\frac{1}{2 \pi \mathrm{i}} \oint_{\Gamma} f(\lambda)(\lambda \mathbb{1}-x)^{-1} d \lambda$$
(积分是䋈集上的连续 Banach 空间值函数) 。和往常一样，积分的值与曲线的选兟无关 $\Gamma$. 此外，不难看出 $f(x)$ 上下班 $x$.

## 数学代写|希尔伯特空间代写Hilbert Space代考|Theorems of Fuglede and Putnam

$-\lambda \in \mathbb{C}$ 然后让
$$u(\lambda)=\exp \left(\lambda x^{-} \bar{\lambda} x\right) .$$

$$u(\lambda) u(\mu)=u(\lambda+\mu), \quad \lambda, \mu \in \mathbb{C} .$$

(作为 $x$ 是正常的)，所以既然 $x$ 上卜班 $y$ ，我们看到

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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## 数学代写|希尔伯特空间代写Hilbert Space代考|Positive Operators

An operator $x \in \mathrm{B}(\mathcal{H})$ is called positive if $x$ is self-adjoint and $\sigma(x) \subset \mathbb{R}{+}$. In this case we write $x \geq 0$. The set of positive operators on $\mathcal{H}$ will be denoted by the symbol $\mathrm{B}(\mathcal{H}){+}$
Theorem $3.1$
Let $x \in \mathrm{B}(\mathcal{H})$ be positive. Then there exists a unique positive a $\in \mathrm{B}(\mathcal{H})$ such that $a^2=x$
Proof
The function $f: \lambda \mapsto \lambda^{\frac{1}{2}}$ is continuous on $\sigma(x)$. Put $a=f(x)$. Clearly
$$a^2=f(x) f(x)=x,$$
since $f(\lambda) f(\lambda)=\lambda$ for all $\lambda \in \sigma(x)$. Moreover $\sigma(a)=f(\sigma(x))$ is contained in $\mathbb{R}{+}$, so that $a \in \mathrm{B}(\mathcal{H}){+}$.

## 数学代写|希尔伯特空间代写Hilbert Space代考|Projections

A projection is an operator $e \in \mathrm{B}(\mathcal{H})$ such that $e=e^2$ and $e=e^*$. We are using the term “projection” in a way which is slightly more restrictive than usual. More precisely, the term “projection” is often taken to mean “idempotent operator”, i.e. an $x \in \mathrm{B}(\mathcal{H})$ such that $x^2=x$. We have chosen to use the more restrictive definition requiring that all projection be self-adjoint, because the extra flexibility of working with general idempotents will not have any significance for the topics considered in this book. We leave it to the reader to check that an idempotent operator is self-adjoint if and only if its kernel and range are orthogonal.

Any projection $e$ is a positive operator of norm 1 or 0 . Moreover the operator $\mathbb{1}-e$ is also a projection. The set of all projections in $B(\mathcal{H})$ will be denoted by $\operatorname{Proj}(\mathrm{B}(\mathcal{H}))$. Note that an operator $e \in \mathrm{B}(\mathcal{H})$ is a projection if and only if it is self-adjoint and the two functions $\lambda \mapsto \lambda^2$ and $\lambda \mapsto \lambda$ coincide on $\sigma(e)$. It follows that $\sigma(e) \subset{0,1}$. Conversely, if $e \in \mathrm{B}(\mathcal{H})$ is self adjoint and $\sigma(e) \subset{0,1}$ then $e^2=e$ precisely because the functions $\lambda \mapsto \lambda^2$ and $\lambda \mapsto \lambda$ are equal on $\sigma(e)$.

## 数学代写|希尔伯特空间代写|希尔伯特空间代考|正向算子

$$a^2=f(x) f(x)=x。$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。