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## 数学代写|常微分方程代考Ordinary Differential Equations代写|NONHOMOGENEOUS LINEAR SYSTEMS

Consider a real nonhomogeneous linear periodic system
$$x^{\prime}=A(t) x+f(t),$$
where $A(t)$ is an $n \times n$ matrix and both $A$ and $f$ are in $\mathscr{P}T$. Let $\Phi(t)$ be a fundamental matrix solution of the corresponding homogeneous system $$x^{\prime}=A(t) x$$ with $\Phi(0)=E$ so that $y=\left[\Phi^{-1}(t)\right]^{\mathrm{T}}$ is a fundamental matrix solution of the adjoint system $$y^{\prime}=-A(t)^{\mathbf{r}} \boldsymbol{y}$$ (refer to Section 3.2 for further details). Lemma 2.1. Systems (LH) and (2.1) have the same number of linearly independent solutions in $\mathscr{P}{\boldsymbol{r}}$.

Proof. A solution $p(t)=\Phi(t) \xi$ of $(\mathbf{L H})$ is in $\mathscr{T}T$ if and only if $\boldsymbol{\Phi}(T) \xi=\xi$, or equivalently, $$(\Phi(T)-E) \xi=0 .$$ Solutions of (2.1) have the form $q(t)=\Phi^{-1}(t)^T \eta$, where $\eta$ is an $n$-dimensional column vector. Hence, $q \in \mathscr{P}{\boldsymbol{T}}$ if and only if
$$\eta^{\top}\left(\Phi^{-1}(T)-E\right)=0 \text {. }$$
The number of linearly independent solutions of $(2.3)$ is the same as the number of linearly independent solutions of
$$\eta^{\mathbf{T}}\left(\Phi^{-1}(T)-E\right) \Phi(T)=\eta^{\mathrm{T}}(E-\Phi(T))=0 .$$

## 数学代写|常微分方程代考Ordinary Differential Equations代写|PERTURBATIONS OF NONLINEAR PERIODIC SYSTEMS

The behavior of the system
$$x^{\prime}=g(t, x)+\varepsilon h(t, x, \varepsilon),$$
for $|\varepsilon|$ small, can often be predicted, in part, from an analysis of this system when $\varepsilon=0$. We are interested in the case where $g$ and $h$ are $T$ periodic in $t$ and where the reduced system with $\varepsilon=0$ has a nontrivial solution $p \in \mathscr{P}_T$.

This situation may be viewed as a perturbation of the linear problem which we studied in Section 2 when $g$ and $h$ are sufficiently smooth. Indeed, if $y=x-p$, then $y$ satisfies
\begin{aligned} y^{\prime} & =g(t, y+p(t))-g(t, p(t))+\varepsilon[h(t, y+p(t), \varepsilon)-h(t, p(t), \varepsilon)] \ & =g_x(t, p(t)) y+O\left(|y|^2\right)+\varepsilon[h(t, y+p(t), \varepsilon)-h(t, p(t), \varepsilon)] \end{aligned}
or
$$y^{\prime}=g_x(t, p(t)) y+H(t, y, \varepsilon),$$
where $g_x(t, p(t))$ is a periodic matrix, $I \in C^{\prime}$ near $\varepsilon=0, y=0$, and
$$I(t, 0,0)=0, \quad H_y(t, 0,0)=0 .$$
If the linear system (LH) with $A(t)=g_x(t, p(t))$ has no nontrivial solutions in $\mathscr{P}T$, then the perturbed system (2.2) is not hard to analyze (see the problems at the end of this chapter). However, when (LH) has nontrivial solutions in $\mathscr{P}{\boldsymbol{T}}$, the analysis of the behavior of solutions of (3.2) for $|\varepsilon|$ small is extremely complex. For this reason, we shall adopt a somewhat different approach based on the implicit function theorem (cf. Theorem 6.1.1).

# 常微分方程代写

## 数学代写|常微分方程代考Ordinary Differential Equations代写|NONHOMOGENEOUS LINEAR SYSTEMS

$$x^{\prime}=A(t) x+f(t),$$

$$\eta^{\top}\left(\Phi^{-1}(T)-E\right)=0 \text {. }$$

$$\eta^{\mathbf{T}}\left(\Phi^{-1}(T)-E\right) \Phi(T)=\eta^{\mathrm{T}}(E-\Phi(T))=0 .$$

## 数学代写|常微分方程代考Ordinary Differential Equations代写|PERTURBATIONS OF NONLINEAR PERIODIC SYSTEMS

$$x^{\prime}=g(t, x)+\varepsilon h(t, x, \varepsilon),$$

\begin{aligned} y^{\prime} & =g(t, y+p(t))-g(t, p(t))+\varepsilon[h(t, y+p(t), \varepsilon)-h(t, p(t), \varepsilon)] \ & =g_x(t, p(t)) y+O\left(|y|^2\right)+\varepsilon[h(t, y+p(t), \varepsilon)-h(t, p(t), \varepsilon)] \end{aligned}

$$y^{\prime}=g_x(t, p(t)) y+H(t, y, \varepsilon),$$

$$I(t, 0,0)=0, \quad H_y(t, 0,0)=0 .$$

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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## 数学代写|常微分方程代考Ordinary Differential Equations代写|DOMAIN OF ATTRACTION

Miny practical systems possess more than one equilibrium point. In such cases, the concept of asymptotic stability in the large is no longer applicable and one is usually very interested in knowing the extent of the domain of attraction of an asymptotically stable equilibrium. In this section, we briefly address the problem of obtaining estimates of the domain of attraction of the equilibrium $x=0$ of the autonomous system
$$x^{\prime}=f(x)$$
As in Section 11, we assume thal $f$ and $\rho f / \rho x_i, i=1, \ldots, n$, are continuous in a region $D \subset R^n$ and we assume that $x=0$ is in the interior of $D$. As usual, we assume that $x=0$ is an isolated equilibrium point. Again we let $\phi\left(t, x_0\right)$ be the solution of $(A)$ satisfying $x(0)=x_0$.

Let us assume that there exists a continuously differentiable and positive delinite function $v$ such that
$$v_{(A, 1}^{\prime}(x) \leq 0 \text { for all } x \in D .$$
Let $\left.E=\left{x \in D: l_{(A,}^{\prime},(x)=0\right)\right}$ and suppose that ${(0}$ is the only invariant subset of $E$ with respect $(0)(A)$. In view of Corollary 11.12 we might conclude that lhe set $D$ is contained in the domain of attraction of $x=0$. Ilowever, this conjecture is false, as can be seen from the following. Let $n=2$ and suppose that $S_1=\left{x: v(x) \leq l\right.$; is a closed and bounded subset of $D$. Let $H_1$ be the component of $S_{\text {, which contains the origin for }} I \geq 0$. (Note that when $I=0$, $I_l={0 !$.$) Referring to Fig. 5.19$, we note that for small $I>0$, the level curves $v=1$ determine closed bounded regions which are contained in $D$ and which contain the origin. However, for $I$ sulliciently large, this may no longer be true, for in this case the sets $H_l$ may extend outside of $D$ and they may even be unbounded.

## 数学代写|常微分方程代考Ordinary Differential Equations代写|CONVERSE THEOREMS

It turns out that for virtually every result of Section 9 there is a converse theorem. That is, in virtually every case, the hypotheses of the results of Section 9 constitute necessary and sufficient conditions for some appropriate stability, instability, or boundedness statement. (See the books by Hahn [17, Chapter 6] and Yoshizawa [46, Chapter 5].) To establish these necessary and sullicient conditions, one needs to prove the so-called converse Lyapunov theorems. Results of this type are important, since they frequently allow us to establish additional qualitative results; however, they are not useful in constructing Lyapunov functions in a given situation. For this reason, we shall confine ourselves to presenting only one sample result. We first prove two preliminary results.

Lemma 13.1. Let $\left.f, f_x \in C\left(R^{+} \times \overline{B(h}\right)\right)$. Then there is a function $\psi \in C^{\prime}\left(R^{+}\right)$such that $\psi(0)=0, \psi^{\prime}(t)>0$ and such that $s=\psi(t)$ transforms (E) into
$$d x / d s=f^(s, x)$$ where $\left|\partial f^(s, x) / \lambda x\right| \leq 1$ on $R^{+} \times \boldsymbol{B}(h)$. Moreover, if $v(s, x)$ is a $C^1$-smooth function such that $v_{(t: r)}^{\prime}(s, x)$ is negative definite, then $v(\psi(t), x)$ has a derivative with respect to (E) which is negative definite.

Proof. Pick a positive and continuous function $F$ such that $|\rho f(t, x) / r x| \leq F(t)$ for all $(t, x) \in R^{+} \times B(h)$. We can assume that $F(t) \geq 1$ for all $t \geq 0$. Define
$$\psi(t)=\int_0^1 F(v) d v$$
and define $\Psi$ as the inverse function $\Psi=\psi^{-1}$. Define $s=\psi(t)$ so that (E) becomes $\left(\mathrm{I}^\right)$ with $$f^(s, x)=f(\Psi(s), x) / F(\Psi(s))$$

# 常微分方程代写

## 数学代写|常微分方程代考Ordinary Differential Equations代写|DOMAIN OF ATTRACTION

$$x^{\prime}=f(x)$$

$$v_{(A, 1}^{\prime}(x) \leq 0 \text { for all } x \in D .$$

## 数学代写|常微分方程代考Ordinary Differential Equations代写|CONVERSE THEOREMS

$$d x / d s=f^(s, x)$$哪里$\left|\partial f^(s, x) / \lambda x\right| \leq 1$哪里$R^{+} \times \boldsymbol{B}(h)$。此外，如果$v(s, x)$是一个$C^1$平滑函数，使得$v_{(t: r)}^{\prime}(s, x)$是负定的，那么$v(\psi(t), x)$对(E)有一个导数，它是负定的。

$$\psi(t)=\int_0^1 F(v) d v$$

\alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2+\cdots+\alpha_n v_n=0 \text {. }
$$If this inequality is true only for \alpha_1=\alpha_2=\cdots=\alpha_n=0, then the set \left{v_1\right., v_2, \ldots, v_n^{\prime} is said to be linearly independent. If v_k=\left[x_{1 k}, x_{2 k}, \ldots, x_{n k}\right]^r is a real or complex n vector, then \left[r_1, v_2, \ldots, v_n\right] denotes the matrix whose i th column is v_i, i.e.,$$
\left[v_1, v_2, \ldots, v_n\right]=\left[\begin{array}{llll}
x_{11} & x_{12} & \cdots & x_{1 n} \
\vdots & \vdots & & \vdots \
x_{n 1} & x_{n 2} & \cdots & x_{n n}
\end{array}\right] .
$$In this case, the set \left{v_1, v_2, \ldots, v_n\right} is linearly independent if and only if the determinant of the above matrix is not zero, i.e.,$$
\operatorname{det}\left[v_1, v_2, \ldots, v_n\right] \neq 0
$$A basis for a vector space X is a linearly independent set of vectors such that every vector in X can be expressed as a linear combination of these vectors. In R^n or C^n, the set$$
e_1=\left[\begin{array}{c}
1 \
0 \
\vdots \
0 \
0
0 \
1 \
0 \
\vdots \
0
\end{array}\right], \ldots, e_n=\left[\begin{array}{c}
0 \
\cdot \
\vdots \
0 \
1
\end{array}\right]
$$is a basis called the natural basis. ## 数学代写|常微分方程代考Ordinary Differential Equations代写|Jordan Canonical Form Two n \times n matrices A and B are said to be similar if there is a nonsingular matrix P such that A=P^{-1} B P. The polynomial p(\lambda)= \operatorname{det}\left(A-\lambda E_n\right) is called the characteristic polynomial of A. (Here E_n denotes the n \times n identity matrix and \lambda is a scalar.) The roots of p(\lambda) are called the eigenvalues of A. By an eigenvector (or right eigenvector) of A associated with the eigenvalue \lambda, we mean a nonzero x \in C^n such that A x=\lambda x. Now let A be an n \times n matrix. We may regard A as a mapping of C^n with the natural basis into itself, i.e., we may regard A: C^n \rightarrow C^n as a linear operator. To begin with, let us assume that A has distinct eigenvalues \lambda_1, \ldots, \lambda_n. Let v_i be an eigenvector of A corresponding to \lambda_i, i=1, \ldots, n. Then it can be easily shown that the set of vectors \left{v_1, \ldots, v_n\right} is linearly independent over C, and as such, it can be used as a basis for C^n. Now let \tilde{A} be the representation of A with respect to the basis \left{v_1, \ldots, v_n\right}. Since the i th column of \tilde{A} is the representation of A v_i=\lambda_i v_i with respect to the basis \left{v_1, \ldots, v_n\right}, it follows that$$
\tilde{A}=\left[\begin{array}{llll}
\lambda_1 & & & 0 \
& \lambda_2 & & \
& & \ddots & \
0 & & & \lambda_n
\end{array}\right] .
$$Since A and \tilde{A} are matrix representations of the same linear transformation, it follows that A and \tilde{A} are similar matrices. Indeed, this can be checked by computing$$
\tilde{A}=P^{-1} A P,
$$where P=\left[v_1, \ldots, v_n\right] and where the v_i are eigenvectors corresponding to \lambda_1, i=1, \ldots, n. When a matrix \bar{A} is obtained from a matrix A via a similarity transformation P, we say that matrix A has been diagonalized. Now if the matrix A has repeated eigenvalues, then it is not always possible to diagonalize it. In generating a “convenient” basis for C^n in this case, we introduce the concept of generalized eigenvector. Specifically, a vector v is called a generalized eigenvector of \operatorname{rank} k of A, associated with an eigenvaluc \lambda if and only if$$
\left(A-\lambda E_n\right)^k v=0 \quad \text { and } \quad\left(A-\lambda E_n\right)^{k-1} v \neq 0 \text {. }
$$# 常微分方程代写 ## 数学代写|常微分方程代考Ordinary Differential Equations代写|Linear Independence 设\boldsymbol{X}是实数或复数上的向量空间。一个向量集合\left{v_1, v_2, \ldots, v_n\right}是线性相关的如果存在标量\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n，而不是全为零，使得$$
\alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2+\cdots+\alpha_n v_n=0 \text {. }
$$如果这个不等式只对\alpha_1=\alpha_2=\cdots=\alpha_n=0成立，那么集合\left{v_1\right., v_2, \ldots, v_n^{\prime}就是线性无关的。 如果v_k=\left[x_{1 k}, x_{2 k}, \ldots, x_{n k}\right]^r是一个实数或复数n向量，则\left[r_1, v_2, \ldots, v_n\right]表示第i列为v_i的矩阵，即$$
\left[v_1, v_2, \ldots, v_n\right]=\left[\begin{array}{llll}
x_{11} & x_{12} & \cdots & x_{1 n} \
\vdots & \vdots & & \vdots \
x_{n 1} & x_{n 2} & \cdots & x_{n n}
\end{array}\right] .
$$在这种情况下，当且仅当上述矩阵的行列式不为零时，集合\left{v_1, v_2, \ldots, v_n\right}是线性无关的，即$$
\operatorname{det}\left[v_1, v_2, \ldots, v_n\right] \neq 0
$$向量空间X的基是一个线性无关的向量集合，使得X中的每个向量都可以表示为这些向量的线性组合。在R^n或C^n中，设置$$
e_1=\left[\begin{array}{c}
1 \
0 \
\vdots \
0 \
0
0 \
1 \
0 \
\vdots \
0
\end{array}\right], \ldots, e_n=\left[\begin{array}{c}
0 \
\cdot \
\vdots \
0 \
1
\end{array}\right]
$$是一种叫做自然基的基。 ## 数学代写|常微分方程代考Ordinary Differential Equations代写|Jordan Canonical Form 两个n \times n矩阵A和B如果存在一个非奇异矩阵P，使得A=P^{-1} B P是相似的。多项式p(\lambda)=$$\operatorname{det}\left(A-\lambda E_n\right)$称为$A$的特征多项式。(这里$E_n$表示$n \times n$单位矩阵，$\lambda$是一个标量。)$p(\lambda)$的根称为$A$的特征值。通过与特征值$\lambda$相关联的$A$的特征向量(或右特征向量)，我们指的是非零的$x \in C^n$，使得$A x=\lambda x$。 现在设$A$为$n \times n$矩阵。我们可以把$A$看作$C^n$与自然基到自身的映射，也就是说，我们可以把$A: C^n \rightarrow C^n$看作一个线性算子。首先，我们假设$A$有不同的特征值$\lambda_1, \ldots, \lambda_n$。设$v_i$是$A$对应于$\lambda_i, i=1, \ldots, n$的特征向量。然后可以很容易地证明向量集$\left{v_1, \ldots, v_n\right}$在$C$上是线性无关的，因此，它可以用作$C^n$的一组基。现在设$\tilde{A}$是$A$关于基底$\left{v_1, \ldots, v_n\right}$的表示。由于$\tilde{A}$的$i$第1列是$A v_i=\lambda_i v_i$相对于基$\left{v_1, \ldots, v_n\right}$的表示，因此可以得出如下结论 $$\tilde{A}=\left[\begin{array}{llll} \lambda_1 & & & 0 \ & \lambda_2 & & \ & & \ddots & \ 0 & & & \lambda_n \end{array}\right] .$$ 由于$A$和$\tilde{A}$是相同线性变换的矩阵表示，因此$A$和$\tilde{A}$是相似的矩阵。事实上，这可以通过计算来检验 $$\tilde{A}=P^{-1} A P,$$ 其中$P=\left[v_1, \ldots, v_n\right]$和$v_i$是对应于$\lambda_1, i=1, \ldots, n$的特征向量。 当矩阵$A$通过相似变换$P$得到矩阵$\bar{A}$时，我们说矩阵$A$已经对角化了。现在，如果矩阵$A$有重复的特征值，那么就不可能总是对角化它。在这种情况下，为了生成$C^n$的“方便”基，我们引入了广义特征向量的概念。具体地说，一个向量$v$被称为$A$的广义特征向量$\operatorname{rank} k$，它与一个特征值$\lambda$相关联当且仅当 $$\left(A-\lambda E_n\right)^k v=0 \quad \text { and } \quad\left(A-\lambda E_n\right)^{k-1} v \neq 0 \text {. }$$ 数学代写|常微分方程代考Ordinary Differential Equations代写 请认准exambang™. exambang™为您的留学生涯保驾护航。 在当今世界，学生正面临着越来越多的期待，他们需要在学术上表现优异，所以压力巨大。 avatest.org 为您提供可靠及专业的论文代写服务以便帮助您完成您学术上的需求，让您重新掌握您的人生。我们将尽力给您提供完美的论文，并且保证质量以及准时交稿。除了承诺的奉献精神，我们的专业写手、研究人员和校对员都经过非常严格的招聘流程。所有写手都必须证明自己的分析和沟通能力以及英文水平，并通过由我们的资深研究人员和校对员组织的面试。 其中代写论文大多数都能达到A，B 的成绩， 从而实现了零失败的目标。 这足以证明我们的实力。选择我们绝对不会让您后悔，选择我们是您最明智的选择！ ## 微观经济学代写 微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。 ## 线性代数代写 线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。 ## 博弈论代写 现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。 ## 微积分代写 微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。 它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。 ## 计量经济学代写 什么是计量经济学？ 计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。 根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。 ## MATLAB代写 MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。 Posted on Categories:Ordinary Differential Equations, 常微分方程, 数学代写 ## 数学代写|常微分方程代考Ordinary Differential Equations代写|EXISTENCE OF SOLUTIONS 如果你也在 怎样代写常微分方程Ordinary Differential Equations 这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。常微分方程Ordinary Differential Equations在数学中，常微分方程（ODE）是包含一个或多个独立变量的函数以及这些函数的导数的微分方程。术语普通是与术语偏微分方程相对应的，后者可能涉及一个以上的独立变量。 常微分方程Ordinary Differential Equations在常微分方程中，线性微分方程起着突出的作用，原因有几个。在物理学和应用数学中遇到的大多数基本函数和特殊函数都是线性微分方程的解（见整体函数）。当用非线性方程对物理现象进行建模时，一般用线性微分方程来近似，以便于求解。少数可以显式求解的非线性ODE，一般是通过将方程转化为等效的线性ODE来解决的（见，例如Riccati方程）。 ## avatest™帮您通过考试 avatest™的各个学科专家已帮了学生顺利通过达上千场考试。我们保证您快速准时完成各时长和类型的考试，包括in class、take home、online、proctor。写手整理各样的资源来或按照您学校的资料教您，创造模拟试题，提供所有的问题例子，以保证您在真实考试中取得的通过率是85%以上。如果您有即将到来的每周、季考、期中或期末考试，我们都能帮助您！ 在不断发展的过程中，avatest™如今已经成长为论文代写，留学生作业代写服务行业的翘楚和国际领先的教育集团。全体成员以诚信为圆心，以专业为半径，以贴心的服务时刻陪伴着您， 用专业的力量帮助国外学子取得学业上的成功。 •最快12小时交付 •200+ 英语母语导师 •70分以下全额退款 ## 数学代写|常微分方程代考Ordinary Differential Equations代写|EXISTENCE OF SOLUTIONS In the present section we develop conditions for the existence of solutions of initial value problems characterized by scalar first order ordinary differential equations. In section 6 we give existence results for initial value problems involving systems of first order ordinary differential equations. The results of the present section do not ensure that solutions to initial value problems are unique. Let$D \subset R^2$be a domain, that is, let$D$be an open, connected, nonempty set in the$(t, x)$plane. Let$f \in C(D)$. Given$(\tau, \xi)$in$D$, we seek a solution$\phi$of the initial value problem $$x^{\prime}=f(t, x), \quad x(\tau)=\xi .$$ The reader may find it instructive to refer to Fig. 1.1. Recall that in order to find a solution of$\left(\mathrm{I}^{\prime}\right)$, it suffices to find a solution of the equivalent integral equation $$\phi(t)=\xi+\int_t^t f(s, \phi(s)) d s .$$ This will be done in the following where we shall assume only that$f$is, continuous on$D$. Later on, when we consider uniqueness of solutions, we shall need more assumptions on$f$. We shall arrive at the main existence result in several steps. The first of these involves an existence result for a certain type of approximate solution which we introduce next. Definition 2.1 An$\varepsilon$-approximate solution of (I’) on an interval$J$containing$\tau$is a real valued function$\phi$which is piecewise$C^1$on$J$and satisfies$\phi(\tau)=\xi,(t, \phi(t)) \in D$for all$t$in$J$and which satisfies $$\left|\phi^{\prime}(t)-f(t, \phi(t))\right|<\varepsilon$$ at all points$t$of$J$where$\phi^{\prime}(t)$exists, Now let$S={(t, x):|t-\tau| \leq a,|x-\xi| \leq b}$be a fixed rectangle in$D$containing$(\tau, \xi)$. Since$f \in C(D)$, it is bounded on$S$and there is an$M>0$such that$|f(t, x)| \leq M$for all$(t, x)$in$S$. Define $$c=\min {a, b / M} .$$ ## 数学代写|常微分方程代考Ordinary Differential Equations代写|UNIQUENESS OF SOLUTIONS We now develop.conditions for the uniqueness of solutions of initial value problems involving scalar first order ordinary differential equations. Later, in Section 6 and in the problems, we consider the uniqueness of solutions of initial value problems characterized by systems of first order ordinary differential equations. We shall require the following concept. Definition 4.1. A function$f \in C(D)$is said to satisfy a Lipschitz condition in$D$with Lipschitz constant$L$if $$|f(t, x)-f(t, y)| \leq L|x-y|$$ for all points$(t, x)$and$(t, y)$in$D$. In this casc$f(t, x)$is also said to be Lipschitz continuous in$x$. For example, if$f \in C(D)$and if$\partial f / \partial x$exists and is continuous in$D$, then$f$is Lipschitz continuous on any compact and convex subset$D_0$of$D$. To see this, let$L_0$be a bound for$|\partial f / \partial x|$on$D_0$. If$(t, x)$and$(t, y)$are in$D_0$, then by the mean value theorem there is a$z$on the line between$x$and$y$such that $$|f(t, x)-f(t, y)|=\left|\frac{\partial f}{\partial x}(t, z)(x-y)\right| \leq L_0|x-y| .$$ result. We are now in a position to state and prove our first uniqueness Theorem 4.2. If$f \in C(D)$and if$f$satisfies a Lipschitz condition in$D$with Lipschitz constant$L$, then the initial value problem ($\left.I^{\prime}\right)$has at most one solution on any interval$|t-\tau| \leq d$. Proof. Suppose for some$d>0$there are two solutions$\phi_1$-and$\phi_2$on$|t-\tau| \leq d$. Since both solutions solve the integral equation (V), we “have on$\tau \leq t \leq \tau+d, $$\phi_1(t)-\phi_2(t)=\int_\tau^t\left[f\left(s, \phi_1(s)\right)-f\left(s, \phi_2(s)\right)\right] d s$$ and \begin{aligned} \left|\phi_1(t)-\phi_2(t)\right| & \leq \int_t^t\left|f\left(s, \phi_1(s)\right)-f\left(s, \phi_2(s)\right)\right| d s \ & \leq \int_\tau^t L\left|\phi_1(s)-\phi_2(s)\right| d s . \end{aligned} # 常微分方程代写 ## 数学代写|常微分方程代考Ordinary Differential Equations代写|EXISTENCE OF SOLUTIONS 在本节中，我们给出了以标量一阶常微分方程为特征的初值问题解存在的条件。在第6节中，我们给出了涉及一阶常微分方程组的初值问题的存在性结果。本节的结果并不能保证初值问题的解是唯一的。 让D \subset R^2$是一个定义域，也就是让$D$是一个开放的、连接的、非空的集合$(t, x)$飞机。让$f \in C(D)$． 给定$(\tau, \xi)$在$D$，我们寻求解决方案$\phi$初值问题的 $$x^{\prime}=f(t, x), \quad x(\tau)=\xi .$$ 读者可能会发现参考图1.1是有益的。回想一下，为了求的解$\left(\mathrm{I}^{\prime}\right)$，求出等效积分方程的解就足够了 $$\phi(t)=\xi+\int_t^t f(s, \phi(s)) d s .$$ 这将在下面完成，我们将只假设$f$是连续的$D$． 稍后，当我们考虑解的唯一性时，我们将需要更多的假设$f$． 我们将分几个步骤得出主要的存在结果。第一个涉及到一类近似解的存在性结果，我们将在下面介绍。 定义2.1 An$\varepsilon$- (I’)在区间上的近似解$J$包含$\tau$是实值函数吗$\phi$哪个是分段的$C^1$在$J$满足$\phi(\tau)=\xi,(t, \phi(t)) \in D$对所有人$t$在$J$它满足 $$\left|\phi^{\prime}(t)-f(t, \phi(t))\right|<\varepsilon$$ 在所有的点上$t$的$J$在哪里$\phi^{\prime}(t)$存在，现在让$S={(t, x):|t-\tau| \leq a,|x-\xi| \leq b}$是一个固定的矩形$D$包含$(\tau, \xi)$． 自从$f \in C(D)$，它是有界的$S$这里有一个$M>0$这样$|f(t, x)| \leq M$对所有人$(t, x)$在$S$． 定义 $$c=\min {a, b / M} .$$ ## 数学代写|常微分方程代考Ordinary Differential Equations代写|UNIQUENESS OF SOLUTIONS 我们现在发展。涉及标量一阶常微分方程的初值问题解的唯一性条件。随后，在第6节和问题中，我们考虑了一阶常微分方程系统的初值问题解的唯一性。 我们将需要下列概念。 4.1.定义我们说一个函数$f \in C(D)$满足$D$中的一个Lipschitz条件，它具有Lipschitz常数$L$if $$|f(t, x)-f(t, y)| \leq L|x-y|$$ 对于$D$中的所有点$(t, x)$和$(t, y)$。在这种情况下，$f(t, x)$在$x$也被认为是利普希茨连续的。 例如，如果$f \in C(D)$和$\partial f / \partial x$存在并且在$D$中连续，那么$f$在$D$的任何紧和凸子集$D_0$上都是Lipschitz连续的。为了了解这一点，让$L_0$成为$D_0$上$|\partial f / \partial x|$的绑定。如果$(t, x)$和$(t, y)$在$D_0$中，那么根据中值定理，$x$和$y$之间的直线上有一个$z$$$|f(t, x)-f(t, y)|=\left|\frac{\partial f}{\partial x}(t, z)(x-y)\right| \leq L_0|x-y| .$$ 结果。 现在我们可以陈述并证明我们的第一个唯一性 定理4.2。如果$f \in C(D)$和$f$满足$D$中的Lipschitz条件，且Lipschitz常数为$L$，则初值问题($\left.I^{\prime}\right)$)在任意区间$|t-\tau| \leq d$上最多有一个解。 证明。假设对于某些$d>0$，在$|t-\tau| \leq d$上有两个解决方案$\phi_1$和$\phi_2$。因为两个解都解积分方程(V)我们有$\tau \leq t \leq \tau+d， $$\phi_1(t)-\phi_2(t)=\int_\tau^t\left[f\left(s, \phi_1(s)\right)-f\left(s, \phi_2(s)\right)\right] d s$$ \begin{aligned} \left|\phi_1(t)-\phi_2(t)\right| & \leq \int_t^t\left|f\left(s, \phi_1(s)\right)-f\left(s, \phi_2(s)\right)\right| d s \ & \leq \int_\tau^t L\left|\phi_1(s)-\phi_2(s)\right| d s . \end{aligned} 数学代写|常微分方程代考Ordinary Differential Equations代写 请认准exambang™. exambang™为您的留学生涯保驾护航。 在当今世界，学生正面临着越来越多的期待，他们需要在学术上表现优异，所以压力巨大。 avatest.org 为您提供可靠及专业的论文代写服务以便帮助您完成您学术上的需求，让您重新掌握您的人生。我们将尽力给您提供完美的论文，并且保证质量以及准时交稿。除了承诺的奉献精神，我们的专业写手、研究人员和校对员都经过非常严格的招聘流程。所有写手都必须证明自己的分析和沟通能力以及英文水平，并通过由我们的资深研究人员和校对员组织的面试。 其中代写论文大多数都能达到A，B 的成绩， 从而实现了零失败的目标。 这足以证明我们的实力。选择我们绝对不会让您后悔，选择我们是您最明智的选择！ ## 微观经济学代写 微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。 ## 线性代数代写 线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。 ## 博弈论代写 现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。 ## 微积分代写 微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。 它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。 ## 计量经济学代写 什么是计量经济学？ 计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。 根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。 ## MATLAB代写 MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。 Posted on Categories:Ordinary Differential Equations, 常微分方程, 数学代写 ## 数学代写|常微分方程代考Ordinary Differential Equations代写|Classification of Systems of First Order Differential Equations 如果你也在 怎样代写常微分方程Ordinary Differential Equations 这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。常微分方程Ordinary Differential Equations在数学中，常微分方程（ODE）是包含一个或多个独立变量的函数以及这些函数的导数的微分方程。术语普通是与术语偏微分方程相对应的，后者可能涉及一个以上的独立变量。 常微分方程Ordinary Differential Equations在常微分方程中，线性微分方程起着突出的作用，原因有几个。在物理学和应用数学中遇到的大多数基本函数和特殊函数都是线性微分方程的解（见整体函数）。当用非线性方程对物理现象进行建模时，一般用线性微分方程来近似，以便于求解。少数可以显式求解的非线性ODE，一般是通过将方程转化为等效的线性ODE来解决的（见，例如Riccati方程）。 ## avatest™帮您通过考试 avatest™的各个学科专家已帮了学生顺利通过达上千场考试。我们保证您快速准时完成各时长和类型的考试，包括in class、take home、online、proctor。写手整理各样的资源来或按照您学校的资料教您，创造模拟试题，提供所有的问题例子，以保证您在真实考试中取得的通过率是85%以上。如果您有即将到来的每周、季考、期中或期末考试，我们都能帮助您！ 在不断发展的过程中，avatest™如今已经成长为论文代写，留学生作业代写服务行业的翘楚和国际领先的教育集团。全体成员以诚信为圆心，以专业为半径，以贴心的服务时刻陪伴着您， 用专业的力量帮助国外学子取得学业上的成功。 •最快12小时交付 •200+ 英语母语导师 •70分以下全额退款 ## 数学代写|常微分方程代考Ordinary Differential Equations代写|Classification of Systems of First Order Differential Equations There are several special classes of differential equations, resp., initial value problems, which we shall consider. These are enumerated in the following discussion. If in(1), f(t, x)=f(x)$for all$(t, x) \in D$, i.c.,$f(t, x)$does not depend on$t$, then we have $$x^{\prime}=f(x)$$ We call$(A)$an autonomous system of first order ordinary differential equations. If in (1),$(t+T, x) \in D$when$(t, x) \in D$and if$f$satisfies$f(t, x)=f(t+T, x)$for all$(t, x) \in D$, then $$x^{\prime}=f(t, x)=f(t+T, x)$$ Such a system is called a periodic system of first order differential equations of period$T$. The smallest number$T>0$for which$(\mathrm{P})$is true is the least period of this system of equations. If in$(\mathrm{I}), f(t, x)=A(t) x$, where$A(t)=\left[a_{i j}(t)\right]$is a real$n \times n$matrix with elements$a_{i j}(t)$which are defined and at least piecewise continuous on a$l$interval$J$, then we have $$x^{\prime}=A(t) x$$ and we speak of a linear homogeneous system of ordinary differential cyuations. If for (LH)$A(t)$is defined for all real$t$and if there is a$T>0$such that$A(t)=A(t+T)$for all$t$, then we have $$x^{\prime}=A(t) x=A(t+T) x .$$ This system is called a linear periodic system of ordinary differential equations. If in (1),$f(t, x)=A(t) x+g(t)$, where$g(t)^{\mathrm{T}}=\left[g_1(t), \ldots\right.$,$\left.g_n(t)\right]$, and where$g_i: J \rightarrow R$, then we have $$x^{\prime}=A(t) x+y(t) .$$ In this case we speak of a linear nonhomogeneous system of ordinary differential equations. If in$(\mathrm{I}), f(t, x)=A x$, where$A=\left[a_{i j}\right]$is a real$n \times n$matrix with constant cocficients, then we have $$x^{\prime}=A x .$$ This type of system is called a linear, autonomous, homogeneous system of ordinary differential equations. ## 数学代写|常微分方程代考Ordinary Differential Equations代写|nth Order Ordinary Differential Equations It is also possible to characterize initial value problems by means of$n$th order ordinary differential equations. To this end, we let$h$be a real function which is defined and continuous on a domain$D$of the real$\left(t, y_1, \ldots, y_n\right)$space and we let$y^{(k)}=d^k y / d t^k$. Then $$y^{(n)}=h\left(t, y, y^{(1)}, \ldots, y^{(n-1)}\right)$$ is an$n$th order ordinary differential equation. A solution of$\left(\mathrm{E}_n\right)$is a real function$\phi$which is defined on a$t$interval$J=(a, b) \subset R$which has$n$continuous derivatives on$J$and satisfies$\left(t, \phi(t), \ldots, \phi^{(n-1)}(t)\right) \in D$for all$t \in J$and $$\phi^{(n)}(t)=h\left(t, \phi(t), \ldots, \phi^{(n-1)}(t)\right)$$ for all$t \in J$. Definition 1.3. Given$\left(\tau, \xi_1, \ldots, \xi_n\right) \in D$, the initial value problem for$\left(\mathrm{E}_n\right)$is $$y^{(n)}=h\left(t, y, y^{(1)}, \ldots, y^{(n-1)}\right), \quad y(\tau)=\xi_1, \ldots, y^{(n-1)}(\tau)=\xi_n .$$ A function$\phi$is a solution of$\left(I_n\right)$if$\phi$is a solution of Eq.$\left(E_n\right)$on some interval containing$\tau$and if$\phi(\tau)=\xi_1, \ldots, \phi^{(n-1)}(\tau)=\xi_n$. As in the case of systems of first order equations, we single out several special cases. First we consider equations of the form $$a_n(t) y^{(n)}+a_{n-1}(t) y^{(n-1)}+\cdots+a_1(t) y^{(1)}+a_0(t) y=g(t),$$ where$a_n(t), \ldots, a_0(t)$are real continuous functions defined on the interval$J$and where$a_n(t) \neq 0$for all$t \in J$. Without loss of generality, we shall consider in this book the case when$a_n(t) \equiv 1$, i.e., $$y^{(n)}+a_{n-1}(t) y^{(n-1)}+\cdots+a_1(t) y^{(1)}+a_0(t) y=g(t) .$$ We refer to Eq. (1.1) as a linear nonhomogeneous ordinary differential equation of order$n$. If in Eq. (1.1) we let$g(t) \equiv 0$, then $$y^{(n)}+a_{n-1}(t) y^{(n-1)}+\cdots+a_1(t) y^{(1)}+a_0(t) y=0 .$$ We call Eq. (1.2) a linear homogeneous ordinary differential equation of order$n$. If in Eq. (1.2) we have$a_i(t) \equiv a_i, i=0,1, \ldots, n-1$, so that (1.2) reduces to $$y^{(n)}+a_{n-1} y^{(n-1)}+\cdots+a_1 y^{(1)}+a_0 y=0,$$ then we speak of a linear, autonomous, homogeneous ordinary differential cquation of order$n$. # 常微分方程代写 ## 数学代写|常微分方程代考Ordinary Differential Equations代写|Classification of Systems of First Order Differential Equations 微分方程有几种特殊的类型。，初值问题，我们将考虑。这些都在下面的讨论中列出。 如果在$(1), f(t, x)=f(x)$中对于所有$(t, x) \in D$，例如，$f(t, x)$不依赖于$t$，那么我们有 $$x^{\prime}=f(x)$$ 我们称$(A)$为一阶常微分方程的自治系统。 如果在(1)中，当$(t, x) \in D$时$(t+T, x) \in D$，如果$f$对所有$(t, x) \in D$都满足$f(t, x)=f(t+T, x)$，则 $$x^{\prime}=f(t, x)=f(t+T, x)$$ 这样的系统称为周期为$T$的一阶微分方程的周期系统。使$(\mathrm{P})$成立的最小数$T>0$是方程组的最小周期。 如果在$(\mathrm{I}), f(t, x)=A(t) x$中，$A(t)=\left[a_{i j}(t)\right]$是一个实数$n \times n$矩阵，其元素$a_{i j}(t)$是定义的，并且至少在$l$区间$J$上分段连续，那么我们有 $$x^{\prime}=A(t) x$$ 我们说的是常微分循环的线性齐次系统。 如果for (LH)为所有真实的$t$定义了$A(t)$，并且如果有一个$T>0$使得$A(t)=A(t+T)$为所有$t$定义，那么我们有 $$x^{\prime}=A(t) x=A(t+T) x .$$ 这个方程组称为常微分方程的线性周期方程组。 如果在(1)中，$f(t, x)=A(t) x+g(t)$，其中$g(t)^{\mathrm{T}}=\left[g_1(t), \ldots\right.$,$\left.g_n(t)\right]$，和$g_i: J \rightarrow R$，那么我们有 $$x^{\prime}=A(t) x+y(t) .$$ 在这种情况下，我们讨论的是常微分方程的线性非齐次方程组。 如果在$(\mathrm{I}), f(t, x)=A x$中，$A=\left[a_{i j}\right]$是一个常系数的实数$n \times n$矩阵，那么我们有 $$x^{\prime}=A x .$$ 这种类型的系统称为常微分方程的线性、自治、齐次系统。 ## 数学代写|常微分方程代考Ordinary Differential Equations代写|nth Order Ordinary Differential Equations 也可以用$n$三阶常微分方程来描述初值问题。为此，设$h$为实数函数，该实数函数在实数$\left(t, y_1, \ldots, y_n\right)$空间的域$D$上连续定义，并设$y^{(k)}=d^k y / d t^k$。然后 $$y^{(n)}=h\left(t, y, y^{(1)}, \ldots, y^{(n-1)}\right)$$ 是$n$阶常微分方程。$\left(\mathrm{E}n\right)$的解是一个实数函数$\phi$，它定义在$t$区间$J=(a, b) \subset R$上，在$J$上有$n$个连续导数，并且对所有$t \in J$和满足$\left(t, \phi(t), \ldots, \phi^{(n-1)}(t)\right) \in D$$$\phi^{(n)}(t)=h\left(t, \phi(t), \ldots, \phi^{(n-1)}(t)\right)$$ 对于所有$t \in J$。 1.3.定义给定$\left(\tau, \xi_1, \ldots, \xi_n\right) \in D$,$\left(\mathrm{E}_n\right)$的初值问题为 $$y^{(n)}=h\left(t, y, y^{(1)}, \ldots, y^{(n-1)}\right), \quad y(\tau)=\xi_1, \ldots, y^{(n-1)}(\tau)=\xi_n .$$ 如果$\phi$是等式$\left(E_n\right)$在包含$\tau$和$\phi(\tau)=\xi_1, \ldots, \phi^{(n-1)}(\tau)=\xi_n$的区间上的解，则函数$\phi$是$\left(I_n\right)$的解。 在一阶方程组的情况下，我们挑出几个特殊情况。 首先我们考虑这样的方程 $$a_n(t) y^{(n)}+a{n-1}(t) y^{(n-1)}+\cdots+a_1(t) y^{(1)}+a_0(t) y=g(t),$$ 其中$a_n(t), \ldots, a_0(t)$是定义在区间$J$上的实数连续函数，其中$a_n(t) \neq 0$表示所有$t \in J$。在不失一般性的前提下，我们将在本书中考虑以下情况:$a_n(t) \equiv 1$，即， $$y^{(n)}+a_{n-1}(t) y^{(n-1)}+\cdots+a_1(t) y^{(1)}+a_0(t) y=g(t) .$$ 我们把Eq.(1.1)看作阶为$n$的线性非齐次常微分方程。 如果在式(1.1)中我们让$g(t) \equiv 0$，则 $$y^{(n)}+a_{n-1}(t) y^{(n-1)}+\cdots+a_1(t) y^{(1)}+a_0(t) y=0 .$$ 我们称Eq.(1.2)为阶为$n$的线性齐次常微分方程。如果在式(1.2)中我们有$a_i(t) \equiv a_i, i=0,1, \ldots, n-1$，那么式(1.2)就可以化简为 $$y^{(n)}+a_{n-1} y^{(n-1)}+\cdots+a_1 y^{(1)}+a_0 y=0,$$ 然后我们讨论阶为$n的线性、自治、齐次常微分方程。 数学代写|常微分方程代考Ordinary Differential Equations代写 请认准exambang™. exambang™为您的留学生涯保驾护航。 在当今世界，学生正面临着越来越多的期待，他们需要在学术上表现优异，所以压力巨大。 avatest.org 为您提供可靠及专业的论文代写服务以便帮助您完成您学术上的需求，让您重新掌握您的人生。我们将尽力给您提供完美的论文，并且保证质量以及准时交稿。除了承诺的奉献精神，我们的专业写手、研究人员和校对员都经过非常严格的招聘流程。所有写手都必须证明自己的分析和沟通能力以及英文水平，并通过由我们的资深研究人员和校对员组织的面试。 其中代写论文大多数都能达到A，B 的成绩， 从而实现了零失败的目标。 这足以证明我们的实力。选择我们绝对不会让您后悔，选择我们是您最明智的选择！ ## 微观经济学代写 微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。 ## 线性代数代写 线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。 ## 博弈论代写 现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。 ## 微积分代写 微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。 它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。 ## 计量经济学代写 什么是计量经济学？ 计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。 根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。 ## MATLAB代写 MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。 Posted on Categories:Ordinary Differential Equations, 常微分方程, 数学代写 ## 数学代写|常微分方程代考Ordinary Differential Equations代写|The neural network solution of ODE problems 如果你也在 怎样代写常微分方程Ordinary Differential Equations 这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。常微分方程Ordinary Differential Equations在数学中，常微分方程（ODE）是包含一个或多个独立变量的函数以及这些函数的导数的微分方程。术语普通是与术语偏微分方程相对应的，后者可能涉及一个以上的独立变量。 常微分方程Ordinary Differential Equations在常微分方程中，线性微分方程起着突出的作用，原因有几个。在物理学和应用数学中遇到的大多数基本函数和特殊函数都是线性微分方程的解（见整体函数）。当用非线性方程对物理现象进行建模时，一般用线性微分方程来近似，以便于求解。少数可以显式求解的非线性ODE，一般是通过将方程转化为等效的线性ODE来解决的（见，例如Riccati方程）。 ## avatest™帮您通过考试 avatest™的各个学科专家已帮了学生顺利通过达上千场考试。我们保证您快速准时完成各时长和类型的考试，包括in class、take home、online、proctor。写手整理各样的资源来或按照您学校的资料教您，创造模拟试题，提供所有的问题例子，以保证您在真实考试中取得的通过率是85%以上。如果您有即将到来的每周、季考、期中或期末考试，我们都能帮助您！ 在不断发展的过程中，avatest™如今已经成长为论文代写，留学生作业代写服务行业的翘楚和国际领先的教育集团。全体成员以诚信为圆心，以专业为半径，以贴心的服务时刻陪伴着您， 用专业的力量帮助国外学子取得学业上的成功。 •最快12小时交付 •200+ 英语母语导师 •70分以下全额退款 ## 数学代写|常微分方程代考Ordinary Differential Equations代写|The neural network solution of ODE problems In this section, we illustrate the use of the MLP network to solve ODE problems. For this purpose, a common approach is to define a trial function that includes the given initial/boundary conditions and the output of the MLP network. Specifically, consider the following Cauchy problem: \left{\begin{aligned} y^{\prime}(x) & =f(x, y(x)) \ y(a) & =y_a \end{aligned}\right. Then a suitable trial function is given by $$\bar{y}(x)=y_a+(x-a) O(x ; w)$$ where the\mathrm{NN}$function$O(x ; w)represents the output of the network. With this setting, the initial condition is automatically satisfied. Further, consider the following boundary-value problem: \left{\begin{aligned} y^{\prime \prime}(x) & =f\left(x, y(x), y^{\prime}(x)\right) \ y(a) & =y_a, \quad y(b)=y_b \end{aligned}\right. In this case, an appropriate choice of the trial function on the interval[a, b]$is as follows: $$\bar{y}(x)=y_a \frac{b-x}{b-a}+y_b \frac{x-a}{b-a}+\frac{(b-x)(x-a)}{(b-a)^2} O(x ; w) .$$ In the following, we refer to the MLP network of Figure 14.5 with input nodes for the value of$x$and the bias,$K$hidden nodes, and one output node. For clarity, we explicitly write the bias weight, thus$W^{(1)}$is a one-column matrix, and$W^{(2)}$is a one-row matrix. The output is linear (no activation function), and its value is denoted with$O(x ; w, \theta). We have $$O(x ; w, \theta)=\sum_{j=1}^K w_j^{(2)} \sigma\left(v_j^{(1)}\right)=\sum_{j=1}^K w_j^{(2)} \sigma\left(w_j^{(1)} x+\theta_j\right) .$$ ## 数学代写|常微分方程代考Ordinary Differential Equations代写|Parameter identification with neural networks A NN represents a versatile computation framework that can be applied to large classes of ODE problems. In particular, it can be used to solve control and inverse problems governed by ODEs; see [110] for a detailed discussion and further references. In the case of control problems and system identification problems where part of the dynamics function is unknown, one can use the setting of the trial function introduced in the previous section, together with the data representing part of the evolution of the real system to identify the missing part of the dynamics. On the other hand, we may have an adequate model of the system up to some parameters that need to be determined. This latter case is discussed in the following considering the Lotka-Volterra model (6.20). As discussed in Section 6.8, this is a model of evolution of a prey-predator system, which is written as follows: \begin{aligned} & z_1^{\prime}=z_1\left(a-b z_2\right), \ & z_2^{\prime}=z_2\left(c z_1-d\right), \end{aligned} wherez_1(x)$and$z_2(x)$represent the sizes of the prey and predator population, respectively, at the time instant$x$. In this section, we discuss a NN approach to the identification of the parameters$(a, b, c, d)$of (14.26). As in a real experiment, we assume that the population sizes have been measured and recorded with a time label for a representative period of time (e.g., one year), and this is all the data available. Thus, we have the following $$\left(z_1^k, z_2^k, x^k\right), \quad k=1, \ldots, N$$ where$x^k, k=1, \ldots, N$, are the times when the measurement were performed. Now, let us pursue an approach similar to the one of the previous section, and consider a MLP network as in Figure 14.5, but with two input nodes for the values of$z_1$and$z_2$(and no bias),$Khidden nodes, and four (linear) output nodes, corresponding to the four parameters sought. Specifically, we consider the following NN output: $$O_i(w)=\sum_{k=1}^K w_{i k}^{(2)} \sigma\left(\sum_{j=1}^2 w_{k j}^{(1)} z_j\right), \quad i=1, \ldots, 4$$ # 常微分方程代写 ## 数学代写|常微分方程代考Ordinary Differential Equations代写|The neural network solution of ODE problems 在本节中，我们将演示如何使用MLP网络来解决ODE问题。为此，一种常见的方法是定义一个试验函数，该函数包括给定的初始/边界条件和MLP网络的输出。具体来说，考虑以下柯西问题: \left{\begin{aligned} y^{\prime}(x) & =f(x, y(x)) \ y(a) & =y_a \end{aligned}\right. 一个合适的试函数由 $$\bar{y}(x)=y_a+(x-a) O(x ; w)$$ 其中\mathrm{NN}$函数$O(x ; w)表示网络的输出。有了这个设置，初始条件就会自动满足。 进一步考虑以下边值问题: \left{\begin{aligned} y^{\prime \prime}(x) & =f\left(x, y(x), y^{\prime}(x)\right) \ y(a) & =y_a, \quad y(b)=y_b \end{aligned}\right. 在这种情况下，区间[a, b]$上试用函数的适当选择如下: $$\bar{y}(x)=y_a \frac{b-x}{b-a}+y_b \frac{x-a}{b-a}+\frac{(b-x)(x-a)}{(b-a)^2} O(x ; w) .$$ 在下文中，我们引用图14.5的MLP网络，其中输入节点为$x$和偏差值，隐藏节点为$K$，输出节点为一个。 为了清楚起见，我们显式地写出偏置权值，因此$W^{(1)}$是一个单列矩阵，$W^{(2)}$是一个单行矩阵。输出为线性(无激活函数)，其值用$O(x ; w, \theta)表示。我们有 $$O(x ; w, \theta)=\sum_{j=1}^K w_j^{(2)} \sigma\left(v_j^{(1)}\right)=\sum_{j=1}^K w_j^{(2)} \sigma\left(w_j^{(1)} x+\theta_j\right) .$$ ## 数学代写|常微分方程代考Ordinary Differential Equations代写|Parameter identification with neural networks 神经网络代表了一种通用的计算框架，可以应用于大量的ODE问题。特别地，它可以用来解决由ode控制的控制和逆问题;有关详细讨论和进一步参考资料，请参见[110]。 在动力学函数部分未知的控制问题和系统识别问题中，可以使用前一节介绍的试用函数的设置，以及代表真实系统部分演化的数据来识别动力学缺失的部分。另一方面，我们可能有一个足够的系统模型，直到一些需要确定的参数。后一种情况将在下面考虑Lotka-Volterra模型(6.20)进行讨论。如第6.8节所述，这是一个捕食者-猎物系统的进化模型，其表达式如下: \begin{aligned} & z_1^{\prime}=z_1\left(a-b z_2\right), \ & z_2^{\prime}=z_2\left(c z_1-d\right), \end{aligned} 其中z_1(x)$和$z_2(x)$分别表示在瞬间$x$的猎物和捕食者的数量。 在本节中，我们讨论一种神经网络方法来识别(14.26)的参数$(a, b, c, d)$。就像在真实的实验中一样，我们假设已经测量并记录了一段代表性时期(例如一年)的人口规模，这就是所有可用的数据。因此，我们有以下内容 $$\left(z_1^k, z_2^k, x^k\right), \quad k=1, \ldots, N$$ 其中$x^k, k=1, \ldots, N$，是进行测量的时间。 现在，让我们采用一种类似于前一节的方法，并考虑如图14.5所示的MLP网络，但是有两个输入节点(分别表示$z_1$和$z_2$的值)(没有偏差)、$K$隐藏节点和四个(线性)输出节点，对应于所寻找的四个参数。具体来说，我们考虑以下NN输出: $$O_i(w)=\sum_{k=1}^K w_{i k}^{(2)} \sigma\left(\sum_{j=1}^2 w_{k j}^{(1)} z_j\right), \quad i=1, \ldots, 4$$ 数学代写|常微分方程代考Ordinary Differential Equations代写 请认准exambang™. exambang™为您的留学生涯保驾护航。 在当今世界，学生正面临着越来越多的期待，他们需要在学术上表现优异，所以压力巨大。 avatest.org 为您提供可靠及专业的论文代写服务以便帮助您完成您学术上的需求，让您重新掌握您的人生。我们将尽力给您提供完美的论文，并且保证质量以及准时交稿。除了承诺的奉献精神，我们的专业写手、研究人员和校对员都经过非常严格的招聘流程。所有写手都必须证明自己的分析和沟通能力以及英文水平，并通过由我们的资深研究人员和校对员组织的面试。 其中代写论文大多数都能达到A，B 的成绩， 从而实现了零失败的目标。 这足以证明我们的实力。选择我们绝对不会让您后悔，选择我们是您最明智的选择！ ## 微观经济学代写 微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。 ## 线性代数代写 线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。 ## 博弈论代写 现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。 ## 微积分代写 微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。 它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。 ## 计量经济学代写 什么是计量经济学？ 计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。 根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。 ## MATLAB代写 MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。 Posted on Categories:Ordinary Differential Equations, 常微分方程, 数学代写 ## 数学代写|常微分方程代考Ordinary Differential Equations代写|Stochastic differential equations 如果你也在 怎样代写常微分方程Ordinary Differential Equations 这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。常微分方程Ordinary Differential Equations在数学中，常微分方程（ODE）是包含一个或多个独立变量的函数以及这些函数的导数的微分方程。术语普通是与术语偏微分方程相对应的，后者可能涉及一个以上的独立变量。 常微分方程Ordinary Differential Equations在常微分方程中，线性微分方程起着突出的作用，原因有几个。在物理学和应用数学中遇到的大多数基本函数和特殊函数都是线性微分方程的解（见整体函数）。当用非线性方程对物理现象进行建模时，一般用线性微分方程来近似，以便于求解。少数可以显式求解的非线性ODE，一般是通过将方程转化为等效的线性ODE来解决的（见，例如Riccati方程）。 ## avatest™帮您通过考试 avatest™的各个学科专家已帮了学生顺利通过达上千场考试。我们保证您快速准时完成各时长和类型的考试，包括in class、take home、online、proctor。写手整理各样的资源来或按照您学校的资料教您，创造模拟试题，提供所有的问题例子，以保证您在真实考试中取得的通过率是85%以上。如果您有即将到来的每周、季考、期中或期末考试，我们都能帮助您！ 在不断发展的过程中，avatest™如今已经成长为论文代写，留学生作业代写服务行业的翘楚和国际领先的教育集团。全体成员以诚信为圆心，以专业为半径，以贴心的服务时刻陪伴着您， 用专业的力量帮助国外学子取得学业上的成功。 •最快12小时交付 •200+ 英语母语导师 •70分以下全额退款 ## 数学代写|常微分方程代考Ordinary Differential Equations代写|Stochastic differential equations The interpretation of the variable$x$as the time variable implies that we aim at modelling a possible causality relation between the random variables that define a stochastic process. This aim eventually leads to the formulation of an evolution equation, which is the purpose of this section. Consider two events$A_1$and$A_2$in the sample space$\Omega$of the probability space$(\Omega, \mathcal{F}, P)$. We define the conditional probability that the event$A_2$occurs, given that the event$A_1$occurs with probability$P\left(A_1\right)>0$, as follows: $$P\left(A_2 \mid A_1\right)=\frac{P\left(A_1 \cap A_2\right)}{P\left(A_1\right)} .$$ Now, let us define a partition of$\Omega$as the family of events$\left{B_j: j \in J\right}$such that$B_i \bigcap B_j=\emptyset, i \neq j$, and$\Omega=\bigcup_{j \in J} B_j$. Then it holds that for any event$A$and any partition$\left{B_j: j \in J\right}$, we have $$P(A)=\sum_{j \in J} P\left(A \mid B_j\right) P\left(B_j\right) .$$ This is the so-called law of total probability. In the case of two discrete-space random variables$y$and$w$, the notion of conditional probability can be defined as above. We have $$P\left(w=v_2 \mid y=v_1\right)=\frac{P\left(y=v_1 \text { and } w=v_2\right)}{P\left(y=v_1\right)},$$ where$v_1$and$v_2$are elements of$\operatorname{Range}(y)$and$\operatorname{Range}(w)$, respectively. On the other hand, in the case of continuous-space random variables, it is possible to define the following conditional PDF of$w$given the occurrence of the value$v$of$y$. We have $$f_w(z \mid y=v)=\frac{f_{w y}(z, v)}{f_y(v)}$$ where$f_{w y}(z, v)$represents the joint PDF (assuming it exists) of$y$and$w$, and$z \in \operatorname{Range}(w), v \in \operatorname{Range}(y)$with$f_y(v)>0$. Notice that$f_{w y}(z, v)=f_w(z \mid y=$v)$f_y(v)=f_y(v \mid w=z) f_w(z)$. In particular, if$y$and$w$are independent, then$f_w(z \mid y=v)=f_w(z)$and$f_y(v \mid w=z)=f_y(v)$. ## 数学代写|常微分方程代考Ordinary Differential Equations代写|The Euler-Maruyama method This section is devoted to the discussion of a numerical integration scheme for stochastic differential equations. Our focus is the Euler-Maruyama (EM) method, which was developed by Gisiro Maruyama . However, as in the ODE case, there are many other numerical methods for SDE problems available; see$[101,120]$. We discuss the EM scheme to solve the following jump-diffusion SDE $$d y(x)=a(x, y(x)) d x+b(x, y(x)) d W(x)+c\left(x, y\left(x^{-}\right)\right) d Y(x), \quad y(0)=y_0$$ Our aim is to determine the sample paths of the solution to (13.13) on a time interval$I=[0, T]$that is subdivided in$M$subintervals. Therefore we define the mesh size$h=T / M$and the following time grid: $$I_h:=\left{x_i=i h, i=0, \ldots, M\right} \subset I$$ The values of a sample path of our SDE are specified at the points of the time grid$I_h$. We denote with$y_i$the value of the numerical approximation to$y\left(x_i\right)$on the grid point$x_i$, where$y(\cdot)$denotes the solution to (13.13). To construct the EM approximation to (one realisation of) (13.13), we start from its original integral formulation given by $$y(x)=y(0)+\int_0^x a(s, y(s)) d s+\int_0^x b(s, y(s)) d W(s)+\int_0^x c\left(s, y\left(s^{-}\right)\right) d Y(s) .$$ This equation is considered in the interval$\left[x_i, x_{i+1}\right]$(replace 0 by$x_i$and$x$by$\left.x_{i+1}\right)$and approximated by quadrature to define the EM scheme as follows: $$y_{i+1}=y_i+a\left(x_i, y_i\right) h+b\left(x_i, y_i\right) \Delta W_{i+1}+c\left(x_i, y_i\right) \Delta Y_{i+1}$$ where$\Delta W_{i+1}$and$\Delta Y_{i+1}$denote the increments of the Brownian and compound Poisson processes over$\left(x_i, x_{i+1}\right]$. We have$i=0, \ldots, M-1$, and$y_0$corresponds to the value of the initial condition that can be fixed or given with a normal distribution. We also have$W_0=0$and$N_0=0$. The EM scheme defined by (13.15) resembles the explicit Euler scheme for the numerical solution of ODE problems. However, in the EM method, we need to determine the random increments$\Delta W_i$and$\Delta Y_i, i=1, \ldots, M$. # 常微分方程代写 ## 数学代写|常微分方程代考Ordinary Differential Equations代写|Stochastic differential equations 将变量$x$解释为时间变量意味着我们的目标是在定义随机过程的随机变量之间建立可能的因果关系。这个目的最终导致一个演化方程的公式，这是本节的目的。 考虑概率空间$(\Omega, \mathcal{F}, P)$的样本空间$\Omega$中的两个事件$A_1$和$A_2$。假设事件$A_1$以$P\left(A_1\right)>0$的概率发生，我们定义事件$A_2$发生的条件概率如下: $$P\left(A_2 \mid A_1\right)=\frac{P\left(A_1 \cap A_2\right)}{P\left(A_1\right)} .$$ 现在，让我们将$\Omega$的一个分区定义为事件族$\left{B_j: j \in J\right}$，例如$B_i \bigcap B_j=\emptyset, i \neq j$和$\Omega=\bigcup_{j \in J} B_j$。那么对于任何事件$A$和任何分区$\left{B_j: j \in J\right}$，我们都有 $$P(A)=\sum_{j \in J} P\left(A \mid B_j\right) P\left(B_j\right) .$$ 这就是所谓的全概率定律。 在两个离散空间随机变量$y$和$w$的情况下，条件概率的概念可以定义如下。我们有 $$P\left(w=v_2 \mid y=v_1\right)=\frac{P\left(y=v_1 \text { and } w=v_2\right)}{P\left(y=v_1\right)},$$ 其中$v_1$和$v_2$分别是$\operatorname{Range}(y)$和$\operatorname{Range}(w)$的元素。另一方面，在连续空间随机变量的情况下，如果$y$的值$v$出现，则可以定义以下$w$的条件PDF。我们有 $$f_w(z \mid y=v)=\frac{f_{w y}(z, v)}{f_y(v)}$$ 其中$f_{w y}(z, v)$表示$y$和$w$的联合PDF(假设存在)，$z \in \operatorname{Range}(w), v \in \operatorname{Range}(y)$与$f_y(v)>0$的联合PDF。注意$f_{w y}(z, v)=f_w(z \mid y=$v)$f_y(v)=f_y(v \mid w=z) f_w(z)$。特别是，如果$y$和$w$是独立的，那么$f_w(z \mid y=v)=f_w(z)$和$f_y(v \mid w=z)=f_y(v)$。 ## 数学代写|常微分方程代考Ordinary Differential Equations代写|The Euler-Maruyama method 本节专门讨论随机微分方程的数值积分格式。我们的重点是由Gisiro Maruyama开发的Euler-Maruyama (EM)方法。然而，与ODE的情况一样，对于SDE问题，还有许多其他的数值方法可用;参见$[101,120]$。 我们讨论了解决以下跳跃扩散SDE的EM方案 $$d y(x)=a(x, y(x)) d x+b(x, y(x)) d W(x)+c\left(x, y\left(x^{-}\right)\right) d Y(x), \quad y(0)=y_0$$ 我们的目标是确定(13.13)在时间间隔$I=[0, T]$上的解的示例路径，该时间间隔被细分为$M$子间隔。因此我们定义网格尺寸$h=T / M$和以下时间网格: $$I_h:=\left{x_i=i h, i=0, \ldots, M\right} \subset I$$ 我们的SDE的样本路径的值在时间网格$I_h$的点上指定。我们用$y_i$表示网格点$x_i$上$y\left(x_i\right)$的数值近似值，其中$y(\cdot)$表示(13.13)的解。 为了构造(13.13)的(一种实现)的EM近似，我们从给出的原始积分公式开始 $$y(x)=y(0)+\int_0^x a(s, y(s)) d s+\int_0^x b(s, y(s)) d W(s)+\int_0^x c\left(s, y\left(s^{-}\right)\right) d Y(s) .$$ 考虑该方程在区间$\left[x_i, x_{i+1}\right]$(将0替换为$x_i$，将$x$替换为$\left.x_{i+1}\right)$，用正交近似定义EM方案如下: $$y_{i+1}=y_i+a\left(x_i, y_i\right) h+b\left(x_i, y_i\right) \Delta W_{i+1}+c\left(x_i, y_i\right) \Delta Y_{i+1}$$ 其中$\Delta W_{i+1}$和$\Delta Y_{i+1}$表示布朗泊松过程和复合泊松过程在$\left(x_i, x_{i+1}\right]$上的增量。我们有$i=0, \ldots, M-1$,$y_0$对应的是初始条件的值它可以是固定的，也可以是正态分布。我们还有$W_0=0$和$N_0=0$。(13.15)定义的EM格式类似于ODE问题数值解的显式欧拉格式。然而，在EM方法中，我们需要确定随机增量$\Delta W_i$和$\Delta Y_i, i=1, \ldots, M$。 数学代写|常微分方程代考Ordinary Differential Equations代写 请认准exambang™. exambang™为您的留学生涯保驾护航。 在当今世界，学生正面临着越来越多的期待，他们需要在学术上表现优异，所以压力巨大。 avatest.org 为您提供可靠及专业的论文代写服务以便帮助您完成您学术上的需求，让您重新掌握您的人生。我们将尽力给您提供完美的论文，并且保证质量以及准时交稿。除了承诺的奉献精神，我们的专业写手、研究人员和校对员都经过非常严格的招聘流程。所有写手都必须证明自己的分析和沟通能力以及英文水平，并通过由我们的资深研究人员和校对员组织的面试。 其中代写论文大多数都能达到A，B 的成绩， 从而实现了零失败的目标。 这足以证明我们的实力。选择我们绝对不会让您后悔，选择我们是您最明智的选择！ ## 微观经济学代写 微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。 ## 线性代数代写 线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。 ## 博弈论代写 现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。 ## 微积分代写 微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。 它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。 ## 计量经济学代写 什么是计量经济学？ 计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。 根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。 ## MATLAB代写 MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。 Posted on Categories:Ordinary Differential Equations, 常微分方程, 数学代写 ## 数学代写|常微分方程代考Ordinary Differential Equations代写|Tikhonov regularisation 如果你也在 怎样代写常微分方程Ordinary Differential Equations 这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。常微分方程Ordinary Differential Equations在数学中，常微分方程（ODE）是包含一个或多个独立变量的函数以及这些函数的导数的微分方程。术语普通是与术语偏微分方程相对应的，后者可能涉及一个以上的独立变量。 常微分方程Ordinary Differential Equations在常微分方程中，线性微分方程起着突出的作用，原因有几个。在物理学和应用数学中遇到的大多数基本函数和特殊函数都是线性微分方程的解（见整体函数）。当用非线性方程对物理现象进行建模时，一般用线性微分方程来近似，以便于求解。少数可以显式求解的非线性ODE，一般是通过将方程转化为等效的线性ODE来解决的（见，例如Riccati方程）。 ## avatest™帮您通过考试 avatest™的各个学科专家已帮了学生顺利通过达上千场考试。我们保证您快速准时完成各时长和类型的考试，包括in class、take home、online、proctor。写手整理各样的资源来或按照您学校的资料教您，创造模拟试题，提供所有的问题例子，以保证您在真实考试中取得的通过率是85%以上。如果您有即将到来的每周、季考、期中或期末考试，我们都能帮助您！ 在不断发展的过程中，avatest™如今已经成长为论文代写，留学生作业代写服务行业的翘楚和国际领先的教育集团。全体成员以诚信为圆心，以专业为半径，以贴心的服务时刻陪伴着您， 用专业的力量帮助国外学子取得学业上的成功。 •最快12小时交付 •200+ 英语母语导师 •70分以下全额退款 ## 数学代写|常微分方程代考Ordinary Differential Equations代写|Tikhonov regularisation We have seen that an inverse problem may have or not a unique solution depending on the location where the state of the system is measured. We have also recognised that the inverse of$K$becomes continuous if we restrict the function space where the solution is sought. In particular, this fact is also stated in the following theorem due to Andrey Nikolayevich Tikhonov, who has made many pioneering contribution in the field of inverse problems. We have the following Theorem. Theorem 11.1 Let$X, Y$normed vector spaces. If$K: D(K) \rightarrow Y, D(K) \subseteq X$is a continuous one-to-one operator and$C \subseteq D(K)$is a compact set, then the inverse of the restriction of the operator$K$to$C,\left(\left.K\right|_C\right)^{-1}$is continuous.$(D(K)$denotes the domain of definition of$K$.) Thus, in the case of the source problem for (11.1), we may restrict the function space where the source$q$is sought to the set$|q|_1 \leq c, c>0$, which is compact in$C(I)$; see the Arzelá-Ascoli theorem. Therefore with this setting the inverse source problem is well defined. Now, for a more general discussion, let$K: H_1 \rightarrow H_2$be a bounded linear operator between the real Hilbert spaces$H_1$and$\mathrm{H}_2$, and consider the following problem of determining$q$for a given$y$as follows: $$K q=y$$ A solution to this problem exists if$y \in R(K)$(the range of$K$); however,$R(K)$may be only a subset of$\mathrm{H}_2$. ## 数学代写|常微分方程代考Ordinary Differential Equations代写|Inverse problems with nonlinear models The formulation (11.27) can be taken as the starting point for solving inverse problems where$K$is a nonlinear operator,$K: D(K) \subseteq H_1 \rightarrow H_2$. The corresponding so-called “penalised least-squares” problem is stated as follows: $$\min J_\alpha(q)=\left|K(q)-y^\delta\right|_{H_2}^2+\alpha|q|_{H_1}^2$$ To solve this problem in the case where$K$is Fréchet differentiable, we can consider an initial approximation for$q$, say$q_0$, and correspondingly use the linearisation $$K\left(q_0+\delta q\right)=K\left(q_0\right)+\partial K\left(q_0\right) \delta q+r\left(q_0, \delta q\right)$$ where$\partial K\left(q_0\right)$represents the Fréchet derivative of$K$at$q_0$, and$\left|r\left(q_0, \delta q\right)\right|=o(|\delta q|)$. Now, let$y_0=K\left(q_0\right)$, and require that$K\left(q_0+\delta q\right)=y^\delta$, then we have the following linear equation: $$\partial K\left(q_0\right) \delta q=y^\delta-y_0$$ However, this equation may be ill-posed, and hence Tikhonov regularisation could be used to solve it. Thus, we consider the following normal equations: $$\left(\partial K\left(q_0\right)^* \partial K\left(q_0\right)+\alpha I\right) \delta q_\alpha=\partial K\left(q_0\right)^*\left(y^\delta-y_0\right)$$ The solution$\delta q_\alpha$to this problem provides a new approximation for$q$, i.e.,$q_1=q_0+\delta q_\alpha$. With this new approximation the procedure is repeated assembling (11.37) at$q_1$with$y_1=K\left(q_1\right)$, and so on iteratively until a given convergence criterion is met. This is the Levenberg-Marquardt method, and the linearisation strategy is called “output least-squares.” # 常微分方程代写 ## 数学代写|常微分方程代考Ordinary Differential Equations代写|Tikhonov regularisation 我们已经看到逆问题可能有或没有唯一解，这取决于测量系统状态的位置。我们也认识到，如果我们限制了寻找解的函数空间，$K$的逆就会变成连续的。特别是，在逆问题领域做出了许多开创性贡献的Andrey Nikolayevich Tikhonov的定理也说明了这一事实。我们有下面的定理。 定理11.1设$X, Y$赋范向量空间。如果$K: D(K) \rightarrow Y, D(K) \subseteq X$是一个连续的一对一算子，$C \subseteq D(K)$是一个紧集，那么算子$K$到$C,\left(\left.K\right|_C\right)^{-1}$的逆限制是连续的。$(D(K)$表示$K$的定义域。) 因此，对于(11.1)的源问题，我们可以将寻找源$q$的函数空间限制为集合$|q|_1 \leq c, c>0$，该集合在$C(I)$中被压缩;看看Arzelá-Ascoli定理。因此，在这种情况下，逆源问题得到了很好的定义。 现在，为了进行更一般的讨论，设$K: H_1 \rightarrow H_2$为实数Hilbert空间$H_1$和$\mathrm{H}_2$之间的有界线性算子，并考虑以下问题，对于给定的$y$确定$q$如下: $$K q=y$$ 如果$y \in R(K)$($K$的范围)存在这个问题的解决方案;但是，$R(K)$可能只是$\mathrm{H}_2$的一个子集。 ## 数学代写|常微分方程代考Ordinary Differential Equations代写|Inverse problems with nonlinear models 式(11.27)可作为求解逆问题的起点，其中$K$为非线性算子$K: D(K) \subseteq H_1 \rightarrow H_2$。相应的所谓“惩罚最小二乘”问题表述如下: $$\min J_\alpha(q)=\left|K(q)-y^\delta\right|{H_2}^2+\alpha|q|{H_1}^2$$ 为了在$K$是fr可微的情况下解决这个问题，我们可以考虑$q$的初始近似，比如$q_0$，并相应地使用线性化 $$K\left(q_0+\delta q\right)=K\left(q_0\right)+\partial K\left(q_0\right) \delta q+r\left(q_0, \delta q\right)$$ 其中$\partial K\left(q_0\right)$表示$K$在$q_0$和$\left|r\left(q_0, \delta q\right)\right|=$$o(|\delta q|)的fr衍生函数。现在，设y_0=K\left(q_0\right)，并要求K\left(q_0+\delta q\right)=y^\delta，然后我们有以下线性方程:$$
\partial K\left(q_0\right) \delta q=y^\delta-y_0
$$然而，这个方程可能是病态的，因此吉洪诺夫正则化可以用来解决它。因此，我们考虑以下正规方程:$$
\left(\partial K\left(q_0\right)^* \partial K\left(q_0\right)+\alpha I\right) \delta q_\alpha=\partial K\left(q_0\right)^*\left(y^\delta-y_0\right)
$$这个问题的解\delta q_\alpha为q提供了一个新的近似值，即q_1=q_0+\delta q_\alpha。有了这个新的近似，这个过程在q_1与y_1=K\left(q_1\right)处重复组装(11.37)，以此类推，直到满足给定的收敛准则。这就是Levenberg-Marquardt方法，线性化策略被称为“输出最小二乘”。 数学代写|常微分方程代考Ordinary Differential Equations代写 请认准exambang™. exambang™为您的留学生涯保驾护航。 在当今世界，学生正面临着越来越多的期待，他们需要在学术上表现优异，所以压力巨大。 avatest.org 为您提供可靠及专业的论文代写服务以便帮助您完成您学术上的需求，让您重新掌握您的人生。我们将尽力给您提供完美的论文，并且保证质量以及准时交稿。除了承诺的奉献精神，我们的专业写手、研究人员和校对员都经过非常严格的招聘流程。所有写手都必须证明自己的分析和沟通能力以及英文水平，并通过由我们的资深研究人员和校对员组织的面试。 其中代写论文大多数都能达到A，B 的成绩， 从而实现了零失败的目标。 这足以证明我们的实力。选择我们绝对不会让您后悔，选择我们是您最明智的选择！ ## 微观经济学代写 微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。 ## 线性代数代写 线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。 ## 博弈论代写 现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。 ## 微积分代写 微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。 它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。 ## 计量经济学代写 什么是计量经济学？ 计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。 根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。 ## MATLAB代写 MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。 Posted on Categories:Ordinary Differential Equations, 常微分方程, 数学代写 ## 数学代写|常微分方程代考Ordinary Differential Equations代写|Existence of optimal controls 如果你也在 怎样代写常微分方程Ordinary Differential Equations 这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。常微分方程Ordinary Differential Equations在数学中，常微分方程（ODE）是包含一个或多个独立变量的函数以及这些函数的导数的微分方程。术语普通是与术语偏微分方程相对应的，后者可能涉及一个以上的独立变量。 常微分方程Ordinary Differential Equations在常微分方程中，线性微分方程起着突出的作用，原因有几个。在物理学和应用数学中遇到的大多数基本函数和特殊函数都是线性微分方程的解（见整体函数）。当用非线性方程对物理现象进行建模时，一般用线性微分方程来近似，以便于求解。少数可以显式求解的非线性ODE，一般是通过将方程转化为等效的线性ODE来解决的（见，例如Riccati方程）。 ## avatest™帮您通过考试 avatest™的各个学科专家已帮了学生顺利通过达上千场考试。我们保证您快速准时完成各时长和类型的考试，包括in class、take home、online、proctor。写手整理各样的资源来或按照您学校的资料教您，创造模拟试题，提供所有的问题例子，以保证您在真实考试中取得的通过率是85%以上。如果您有即将到来的每周、季考、期中或期末考试，我们都能帮助您！ 在不断发展的过程中，avatest™如今已经成长为论文代写，留学生作业代写服务行业的翘楚和国际领先的教育集团。全体成员以诚信为圆心，以专业为半径，以贴心的服务时刻陪伴着您， 用专业的力量帮助国外学子取得学业上的成功。 •最快12小时交付 •200+ 英语母语导师 •70分以下全额退款 ## 数学代写|常微分方程代考Ordinary Differential Equations代写|Existence of optimal controls The first question that arises is if at least one control function exists that solves (10.4). This depends on the components of the problem and on the functional space where the control is sought. For the functional analysis results that we mention in this section, we refer to, e.g., [17,35] and results given in the Appendix. Now, we discuss a so-called linear-quadratic control problem that allows us to illustrate some classical techniques to prove existence of optimal controls. For this purpose, consider the following linear ODE problem$$
y^{\prime}=A y+B u, \quad y(a)=y_a
$$where y(x) \in \mathbb{R}^n, u(x) \in \mathbb{R}^m, A \in \mathbb{R}^{n \times n}, and B \in \mathbb{R}^{n \times m}. The solution to this problem is given by$$
y(x)=e^{(x-a) A} y_a+e^{x A} \int_a^x e^{-s A} B u(s) d s .
$$Assuming u \in L^2\left((a, b) ; \mathbb{R}^m\right), and because \sup _{s \in[a, b]}\left|e^{-s A} B\right|<\infty, the integrand is also in L^2 and the solution y \in C\left([a, b] ; \mathbb{R}^n\right). Thus, (10.7) defines a function S: L^2\left((a, b) ; \mathbb{R}^m\right) \rightarrow C\left([a, b] ; \mathbb{R}^n\right), u \mapsto y=S(u), which is called the control-to-state map. Notice that this map includes a given fixed initial condition. As it appears in (10.7), this map is affine: \tilde{S}(u)=S(u)-S(0), and \tilde{S} is continuous since$$
|\tilde{S}(u)|_{\infty}=\max {t \in[a, b]}|S(u)(t)-S(0)(t)|_2 \leq c \sqrt{(b-a)}|u|{L^2\left((a, b) ; \mathbb{R}^m\right)}
$$where |\cdot|_2 denotes the Euclidean norm. ## 数学代写|常微分方程代考Ordinary Differential Equations代写|Optimality conditions We have seen that, with a well-defined control-to-state map that encodes the solution of the differential constraint, an optimal control problem becomes a problem of the calculus of variation with the reduced cost functional as follows:$$
\min {u \in U{a d}} \hat{J}(u)
$$Hence, if \hat{J} is differentiable, the optimality conditions for (10.10) can be formulated in terms of functional derivatives. In particular, in terms of the gradient of \hat{J} with respect to the control function, if u is an optimal control, it must satisfy$$
(\nabla \hat{J}(u), v-u) \geq 0, \quad v \in U_{a d} .
$$Now, since \hat{J}(u)=J(S(u), u), differentiability of \hat{J} requires differentiability of S(\cdot) and of J(\cdot, \cdot). Notice that, if J is defined as in (10.4), the conditions \ell \in C^1 and g \in C^1 are sufficient for guaranteeing the differentiability of J. In the linear-quadratic optimal control case (10.8), the control-to-state map S is an affine function and thus differentiable, and assuming \ell \in C^1 and g \in C^1, we can state differentiability of \hat{J}. More in general, one defines the map$$
c: H \times U \rightarrow Z, \quad(y, u) \mapsto y^{\prime}-f(\cdot, y, u),
$$where Z \subseteq U, such that the differential constraint is formulated as c(y, u)=0, where we assume that a given fixed initial condition is included. Then the construction of S requires that the equation c(y, u)=0 can be solved for y with a given u. Equivalently, this means that c is invertible with respect to y. Similarly, if c is differentiable, we have the linearised constraint \partial c(y, u)(\delta y, \delta u)=0, and the requirement that at y, u, and given \delta u, it is invertible with respect to \delta y. # 常微分方程代写 ## 数学代写|常微分方程代考Ordinary Differential Equations代写|Existence of optimal controls 出现的第一个问题是，是否存在至少一个可以解决(10.4)的控制函数。这取决于问题的组成部分和寻求控制的功能空间。对于我们在本节中提到的功能分析结果，我们参考，例如[17,35]和附录中给出的结果。 现在，我们讨论一个所谓的线性二次控制问题，它允许我们说明一些经典的技术来证明最优控制的存在性。为此，考虑以下线性ODE问题$$
y^{\prime}=A y+B u, \quad y(a)=y_a
$$其中y(x) \in \mathbb{R}^n, u(x) \in \mathbb{R}^m, A \in \mathbb{R}^{n \times n}和B \in \mathbb{R}^{n \times m}。这个问题的解由$$
y(x)=e^{(x-a) A} y_a+e^{x A} \int_a^x e^{-s A} B u(s) d s .
$$假设u \in L^2\left((a, b) ; \mathbb{R}^m\right)，因为\sup _{s \in[a, b]}\left|e^{-s A} B\right|<\infty，被积函数也在L^2，解在y \in C\left([a, b] ; \mathbb{R}^n\right)。因此，(10.7)定义了一个函数S: L^2\left((a, b) ; \mathbb{R}^m\right) \rightarrow C\left([a, b] ; \mathbb{R}^n\right), u \mapsto y=S(u)，它被称为控件到状态映射。注意，这个映射包含一个给定的固定初始条件。 如(10.7)所示，这张图是仿射的:\tilde{S}(u)=S(u)-S(0)，而\tilde{S}从那以后就是连续的$$
|\tilde{S}(u)|_{\infty}=\max {t \in[a, b]}|S(u)(t)-S(0)(t)|_2 \leq c \sqrt{(b-a)}|u|{L^2\left((a, b) ; \mathbb{R}^m\right)}
$$其中|\cdot|_2表示欧几里得范数。 ## 数学代写|常微分方程代考Ordinary Differential Equations代写|Optimality conditions 我们已经看到，通过定义良好的控制-状态映射来编码微分约束的解，最优控制问题就变成了变分问题，其代价函数简化如下:$$
\min {u \in U{a d}} \hat{J}(u)
$$因此，如果\hat{J}是可微的，则(10.10)的最优性条件可以用泛函导数的形式表示。特别地，对于\hat{J}相对于控制函数的梯度，如果u是最优控制，它必须满足$$
(\nabla \hat{J}(u), v-u) \geq 0, \quad v \in U_{a d} .
$$既然\hat{J}(u)=J(S(u), u), \hat{J}的可微性要求S(\cdot)和J(\cdot, \cdot)的可微性。注意，如果将J定义为(10.4)，则条件\ell \in C^1和g \in C^1足以保证J的可微性。 在线性二次最优控制情况(10.8)中，控制到状态映射S是仿射函数，因此是可微的，并且假设\ell \in C^1和g \in C^1，我们可以声明\hat{J}的可微性。 更一般地说，定义映射$$
c: H \times U \rightarrow Z, \quad(y, u) \mapsto y^{\prime}-f(\cdot, y, u),


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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。