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CS代写|强化学习代写Reinforcement learning代考|CS59300 Relationship With Distributional Dynamic Programming

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CS代写|强化学习代写Reinforcement learning代考|CS59300 Relationship With Distributional Dynamic Programming

CS代写|强化学习代写Reinforcement learning代考|Relationship With Distributional Dynamic Programming

In Chapter 5 we introduced distributional dynamic programming (DDP) as a class of methods that operates over return-distribution functions. In fact, every statistical functional dynamic programming is also a DDP algorithm (but not the other way around; see Exercise 8.8). This relationship is established by considering the implied representation
$$
\mathscr{F}=\left{\iota(s): s \in I_\psi\right} \subseteq \mathscr{P}(\mathbb{R})
$$
and the projection $\Pi_{\mathscr{F}}=\iota \circ \psi$ (see Figure 8.3).

From this correspondence, we may establish the relationship between Bellman closedness and the notion of a diffusion-free projection developed in Chapter 5.

Proposition 8.17. Let $\psi$ be a Bellman-closed sketch. Then for any choice of exact imputation strategy $\iota: I_\psi \rightarrow \mathscr{P}\psi(\mathbb{R})$, the projection operator $\Pi{\mathscr{F}}=$ $\iota \psi$ is diffusion-free.
$\triangle$
Proof. We may directly check the diffusion-free property (omitting parentheses for conciseness):
$$
\Pi_{\mathscr{F}} \mathcal{T}^\pi \Pi_{\mathscr{F}}=\iota \psi \mathcal{T}^\pi \iota \psi \stackrel{(a)}{=} \iota \mathcal{T}\psi^\pi \psi \iota \psi \stackrel{(b)}{=} \iota \mathcal{T}\psi^\pi \psi \stackrel{(a)}{=} \iota \psi \mathcal{T}^\pi=\Pi_{\mathscr{F}} \mathcal{T}^\pi .
$$
where steps marked (a) follow from the identity $\psi \mathcal{T}^\pi=\mathcal{T}_\psi^\pi \psi$, and (b) follows from the identity $\psi \iota \psi=\psi$ for any exact imputation strategy $\iota$ for $\psi$.

CS代写|强化学习代写Reinforcement learning代考|Expectile Dynamic Programming

Expectiles form a family of statistical functionals parametrised by a level $\tau \in(0,1)$. They extend the notion of the mean of a distribution ( $\tau=0.5)$ similar to how quantiles extend the notion of a median. Expectiles have classically found application in econometrics and finance as a form of risk measure (see the bibliographical remarks for further details). Based on the principles of statistical functional dynamic programming, expectile dynamic programming ${ }^{65}$ uses an approximate imputation strategy in order to iteratively estimate the expectiles of the return function.

Definition 8.18. For a given $\tau \in(0,1)$, the $\tau$-expectile of a distribution $\nu \in$ $\mathscr{P}2(\mathbb{R})$ is $$ \psi\tau^{\mathrm{E}}(\nu)=\underset{z \in \mathbb{R}}{\arg \min } \mathrm{ER}\tau(z ; \nu), $$ where $$ \mathbb{E R}\tau(z ; \nu)=\underset{Z \sim \nu}{\mathbb{E}}\left[\left|\mathbb{Y}_{{Z<z}}-\tau\right| \times(Z-z)^2\right]
$$
is the expectile loss.
The loss appearing in Definition $8.18$ is strongly convex [Boyd and Vandenberghe, 2004] and bounded below by 0 . As a consequence, Equation $8.12$ has a unique minimiser for a given $\tau$; this verifies that the corresponding expectile is uniquely defined.

CS代写|强化学习代写Reinforcement learning代考|CS59300 Relationship With Distributional Dynamic Programming

强化学习代写

CS代写|强化学习代写|强化学习代考|与分布式动态编程的关系

在第五章中，我们介绍了分布式动态编程（DDP）是一类对收益分布函数进行操作的方法。事实上，每一个统计函数动态编程也是一种DDP算法（但不是反过来，见练习8.8）。这种关系是通过考虑隐含的表示法建立的
lleft的缺失或未被识别的分隔符
和投影$Pi_{mathscr{F}}=\iota\circ \psi$（见图8.3）。
从这个对应关系中，我们可以建立Bellman封闭性和第五章中提出的无扩散投影的概念之间的关系。
命题8.17。让$psi$是一个贝尔曼封闭的草图。那么对于任何选择的精确归因策略$\iota: I_\psi \rightarrow \mathscr{P} \psi(\mathbb{R})$，投影算子$Pi\mathscr{F}=iota \psi$是无扩散的。
$triangle$
证明。我们可以直接检查无扩散属性（为了简洁起见，省略括号）。
$$
\Pi_{mathscr{F}}. \Pi_{T}^pi\Pi_{mathscr{F}}=iota \psi \mathcal{T}^\pi \iota \psi \stackrel{(a)}{=}。\iota\mathcal{T}^pi \psi^pi\psi \iota \psi \stackrel{(b)}{=}。\iota\mathcal{T} \psi^pi \psi \stackrel{(a)}{=}。\iota \psi \mathcal{T}^\pi=\Pi_{mathscr{F}}。\mathcal{T}^pi
$$
其中标有(a)的步骤来自于$psi\mathcal{T}^\pi=\mathcal{T}_\psi^pi\psi$的身份，(b)来自于$psi\iota\psi=\psi$的任何精确归因策略$iota$。

CS代写|强化学代可强化学习代考|Expectile Dynamic编程


期望值构成了一个统计函数系列，其参数是$tau \in(0,1)$的水平。它们扩展了分布的平均数的概念（$\tau=0.5）$，类似于量值扩展中位数的概念。期望值作为一种风险度量的形式，在计量经济学和金融学中得到了经典的应用（更多细节见书目注释）。基于统计函数动态编程的原则，期望值动态编程${ }^{ 65}$采用近似的归因策略，以迭代估计收益函数的期望值。
定义8.18. 对于一个给定的$tau\in(0,1)$，分布$nu\in `mathscr{P} 2(\mathbb{R})$的$tau$期望值是
$$
\psi \tau^{mathrm{E}}(nu)=underset{z\in \mathbb{R}}{arg \min }。\ǞǞǞǞ \tau(z; \nu)。
$$
其中
$$
\mathbb{E} \tau(z; \nu)=\underset{Z\sim \nu}{mathbb{E}}\left[\left|\mathbb{Y}_{Z<z}-tau\right| \times(Z-z)^2\right] 。
$$
是期望值损失。
定义$8.18$中出现的损失是强凸的[Boyd and Vandenberghe, 2004]，并在下面以0为界。因此，对于给定的$tau$，方程$8.12$有一个唯一的最小化器；这验证了相应的期望值是唯一定义的。

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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CS代写|强化学习代写Reinforcement learning代考|CS60077 Challenges In Risk-Sensitive Control

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CS代写|强化学习代写Reinforcement learning代考|CS60077 Challenges In Risk-Sensitive Control

CS代写|强化学习代写Reinforcement learning代考|Challenges In Risk-Sensitive Control

Many convenient properties of the risk-neutral objective do not carry over to risk-sensitive control. As a consequence, finding an optimal policy is usually significantly more involved. This remains true even when the risk-sensitive objective (Equation 7.18) can be evaluated efficiently, for example by using distributional dynamic programming to approximate the return-distribution function $\eta^\pi$. In this section we illustrate some of these challenges by characterising optimal policies for the variance-constrained control problem.

The variance-constrained problem introduces risk sensitivity by forbidding policies whose return variance is too high. Given a parameter $C \geq 0$, the objective is to
$$
\begin{array}{ll}
\operatorname{maximise} & \mathbb{E}\pi\left[G^\pi\left(X_0\right)\right] \ \text { subject to } & \operatorname{Var}\pi\left(G^\pi\left(X_0\right)\right) \leq C .
\end{array}
$$
Equation $7.19$ can be shown to satisfy our definition of a risk-sensitive control problem if we express it in terms of a Lagrange multiplier:
$$
J_{\mathrm{vC}}(\pi)=\min {\lambda \geq 0}\left(\mathbb{E}\pi\left[G^\pi\left(X_0\right)\right]-\lambda\left(\operatorname{Var}\pi\left(G^\pi\left(X_0\right)\right)-C\right)\right) . $$ The variance-penalised and variance-constrained problems are related in that they share the Pareto set $\boldsymbol{\pi}{\mathrm{PAR}} \subseteq \boldsymbol{\pi}{\mathrm{H}}$ of possibly optimal solutions. A policy $\pi$ is in the set $\pi{\mathrm{PAR}}$ if we have that for all $\pi^{\prime} \in \boldsymbol{\pi}_{\mathrm{H}}$,
(a) $\operatorname{Var}\left(G^\pi\left(X_0\right)\right)>\operatorname{Var}\left(G^{\pi^{\prime}}\left(X_0\right)\right) \Longrightarrow \mathbb{E}\left[G^\pi\left(X_0\right)\right]>\mathbb{E}\left[G^{\pi^{\prime}}\left(X_0\right)\right]$, and
(b) $\operatorname{Var}\left(G^\pi\left(X_0\right)\right)=\operatorname{Var}\left(G^{\pi^{\prime}}\left(X_0\right)\right) \Longrightarrow \mathbb{E}\left[G^\pi\left(X_0\right)\right] \geq \mathbb{E}\left[G^{\pi^{\prime}}\left(X_0\right)\right]$.

CS代写|强化学习代写Reinforcement learning代考|Conditional Value-At-Risk

In the previous section, we saw that solutions to the variance-constrained control problem can take unintuitive forms, including the need to penalise better-thanexpected outcomes. One issue is that variance only coarsely measures what we mean by “risk” in the common sense of the word. To refine our meaning, we may identify two types of risk: downside risk, involving undesirable outcomes such as greater-than-expected losses, and upside risk, involving what we may informally call a stroke of luck. In some situations, it is possible and useful to separately account for these two types of risk.

To illustrate this point, we now present a distributional algorithm for optimising conditional value-at-risk (CVaR), based on work by Bäuerle and $\mathrm{Ott}$ [2011] and Chow et al. [2015]. One benefit of working with full return distributions is that the algorithmic template we present here can be reasonably adjusted to deal with other risk measures, including the entropic risk measure described in Example 7.17. For conciseness, in what follows we will state without proof a few technical facts about conditional value-at-risk which can be found in those sources and the work of Rockafellar and Uryasev [2002].

Conditional value-at-risk measures downside risk by focusing on the lower tail behaviour of the return distribution, specifically the expected value of this tail. This expected value quantifies the magnitude of losses in extreme scenarios. Let $Z$ be a random variable with cumulative and inverse cumulative distribution functions $F_Z$ and $F_Z^{-1}$, respectively. For a parameter $\tau \in(0,1)$, the $\mathrm{CVaR}$ of $Z$ is
$$
\operatorname{CVAR}_\tau(Z)=\frac{1}{\tau} \int_0^\tau F_Z^{-1}(u) \mathrm{d} u .
$$
When the inverse cumulative distribution $F_Z^{-1}$ is strictly increasing, the righthand side of Equation $7.20$ is equivalent to
$$
\mathbb{E}\left[Z \mid Z \leq F_Z^{-1}(\tau)\right]
$$

CS代写|强化学习代写Reinforcement learning代考|CS60077 Challenges In Risk-Sensitive Control

强化学习代写

CS代写|强化学习代写|强化学习代考|风险敏感控制中的挑战


风险中性目标的许多便利特性并没有延续到风险敏感控制中。因此，寻找一个最优的政策通常要花费很多时间。即使风险敏感目标（方程7.18）可以被有效地评估，例如通过使用分布动态编程来近似收益分布函数$/eta^/pi$，情况仍然如此。在本节中，我们通过描述方差约束控制问题的最优策略来说明其中的一些挑战。
方差约束问题通过禁止收益方差过高的政策而引入了风险敏感性。给定一个参数$C\geq 0$，其目的是为了
$$
\纹理 {最大化 } \mathbb{E} \pi\left[G^pi\left(X_0\right)\right] \text { subject to } \ooperatorname{Var} \pi\left(G^pi\left(X_0\right)\right) \leq C 。
$$
如果我们用拉格朗日乘数来表示，方程7.19$可以被证明满足我们对风险敏感控制问题的定义。
$$
J_{\mathrm{vC}}(\pi)=\min\lambda \geq 0\left(\mathbb{E}) \pi\left[G^pi\left(X_0\right)\right]-lambda\left(operatorname{Var}) \opi\left(G^pi\left(X_0right)\right)-C\right)\right)
$$
方差惩罚问题和方差约束问题是相关的，因为它们共享Pareto集$pi \mathrm{PAR}。\pareto集，可能是最优解。如果我们有一个政策$pi$在集合$pi \mathrm{PAR}$中，对于所有$pi^{prime} \in `pi_{mathrm{H}}$来说。
(a) $operatorname{Var}\left(G^\pi\left(X_0\right)\right)>operatorname{Var}\left(G^{pi^{prime}}\left(X_0\right)\right) \Longrightarrow \mathbb{E}\left[G^\pi\left(X_0\right)\right]>\mathbb{E}\left[G^{pi^{prime}\left(X_0\right)\right]$。和
(b) $operatorname{Var}\left(G^\pi\left(X_0\right)\right)=operatorname{Var}\left(G^{pi^{prime}}\left(X_0\right)\right) \Longrightarrow \mathbb{E}\left[G^\pi\left(X_0\right)\right] \geq \mathbb{E}\left[G^{pi^{prime}\left(X_0\right)]$

CS代写|强化学习代写|条件价值-风险代写

在上一节中，我们看到方差约束控制问题的解决方案可以采取不直观的形式，包括需要对更好的预期结果进行惩罚。一个问题是，方差只是粗略地衡量了我们在通常意义上的 “风险 “的含义。为了细化我们的意思，我们可以确定两种类型的风险：下行风险，涉及不良的结果，如大于预期的损失，和上行风险，涉及我们可以非正式地称之为运气。在某些情况下，对这两类风险进行单独说明是可能的，也是有用的。
为了说明这一点，我们现在介绍一种优化条件风险值（CVaR）的分布式算法，该算法基于Bäuerle和Ott[2011]以及Chow等人[2015]的工作。使用完全收益分布的一个好处是，我们在此提出的算法模板可以合理调整，以处理其他风险度量，包括例7.17中描述的熵风险度量。为了简洁起见，下面我们将不加证明地陈述一些关于条件风险值的技术事实，这些事实可以在这些资料以及Rockafellar和Uryasev[2002]的工作中找到。
条件性风险价值通过关注收益分布的低尾行为，特别是这个尾巴的预期值来衡量下行风险。这个预期值量化了极端情况下的损失程度。让$Z$是一个随机变量，其累积和反累积分布函数分别为$F_Z$和$F_Z^{-1}$。对于一个参数$tau/in(0,1)$，$Z$的$mathrm{CVaR}$为
$$
\operatorname{CVAR}_tau(Z)=\frac{1}{tau}\int_0^\tau F_Z^{-1}(u) \mathrm{d} u
$$
当反累积分布$F_Z^{-1}$是严格增加的时候，方程7.20$的右边就等价于
$$
`mathbb{E}\left[Z mid Zleq F_Z^{-1}(tau)right] 。
$$

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线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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CS代写|强化学习代写Reinforcement learning代考|CS285 Risk-Neutral Control

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CS代写|强化学习代写Reinforcement learning代考|CS285 Risk-Neutral Control

CS代写|强化学习代写Reinforcement learning代考|Risk-Neutral Control

The problem of finding a policy that maximises the agent’s expected return is called the risk-neutral control problem, as it is insensitive to the deviations of returns from their mean. We have already encountered risk-neutral control when we introduced the Q-learning algorithm in Section 3.7. We begin this chapter by providing a theoretical justification for this algorithm.

Problem 7.1 (Risk-neutral control). Given an $\operatorname{MDP}\left(\mathcal{X}, \mathcal{A}, \xi_0, P_{\mathcal{X}}, P_{\mathcal{R}}\right)$ and discount factor $\gamma \in[0,1)$, find a policy $\pi$ maximising the objective function
$$
J(\pi)=\mathbb{E}\pi\left[\sum{t=0}^{\infty} \gamma^t R_t\right] .
$$
A solution $\pi^*$ that maximises $J$ is called an optimal policy.
Implicit in the definition of risk-neutral control and our definition of a policy in Chapter 2 is the fact that the objective $J$ is maximised by a policy that only depends on the current state, that is one that takes the form
$$
\pi: \mathcal{X} \rightarrow \mathscr{P}(\mathcal{A})
$$

CS代写|强化学习代写Reinforcement learning代考|Value Iteration and Q-Learning

The main consequence of Proposition $7.2$ is that when optimising the riskneutral objective we can restrict our attention to deterministic stationary Markov policies. In turn, this makes it possible to find an optimal policy $\pi^$ by computing the optimal state-action value function $Q^$, defined as
$$
Q^(x, a)=\sup {\pi \in \pi{\mathrm{MS}}} \mathbb{E}\pi\left[\sum{t=0}^{\infty} \gamma^t R_t \mid X=x, A=a\right] .
$$
Just as the value function $V^\pi$ for a given policy $\pi$ satisfies the Bellman equation, $Q^$ satisfies the Bellman optimality equation:
$$
Q^(x, a)=\mathbb{E}\left[R+\gamma \max {d \in \mathcal{A}} Q^\left(X^{\prime}, a^{\prime}\right) \mid X=x, A=a\right] .
$$
The optimal state-action value function describes the expected return obtained by acting so as to maximise the risk-neutral objective when beginning from the state-action pair $(x, a)$. Intuitively, we may understand Equation $7.3$ as describing this maximising behaviour recursively. While there might be multiple optimal policies, they must (by definition) achieve the same objective value in Problem 7.1. This value is
$$
\mathbb{E}\pi\left[V^\left(X_0\right)\right], $$ where $V^$ is the optimal value function:
$$
V^(x)=\max _{a \in \mathcal{A}} Q^(x, a) .
$$

CS代写|强化学习代写Reinforcement learning代考|CS285 Risk-Neutral Control

强化学习代写

CS代写|强化学习代写|风险中性控制

寻找一个能使代理人的预期收益最大化的策略的问题被称为风险中性控制问题，因为它对收益偏离其平均值的情况不敏感。我们在第3.7节介绍Q-learning算法时已经遇到了风险中性控制问题。在本章开始时，我们将为这种算法提供理论上的依据。

问题$7.1$（风险中性控制）。给出一个$operatorname{MDP}\left(\mathcal{X}, \mathcal{A}, \xi_0, P_{mathcal{X}, P_{mathcal{R}}\right.$)和折扣因子$gamma\in[0,1$)，找到一个目标函数最大化的政策$pi$
$$
J(\pi)=mathbb{E}。\pi\left[sum t=0^{infty} \gamma^t R_t\right]
$$
一个能使$J$最大化的解决方案$pi^*$被称为最优政策。
风险中性控制的定义和我们在第二章中对政策的定义中隐含了这样一个事实：目标$J$是由一个只取决于当前状态的政策来实现的，也就是说，一个政策的形式为
$$
\pi: `mathcal{X} rightarrowmathscr{P}(`mathcal{A})
$$

CS代写|强化学习代写|Value Iteration and QLearning

命题7.2$的主要结果是，在优化风险中性目标时，我们可以将注意力限制在确定性的静止马尔可夫政策上。反过来，这使得我们有可能通过计算最优的状态-行动价值函数（缺失上标或下标参数）来找到一个最优的政策 缺失上标或下标参数，定义为
$$
\left.Q^{(} x, a\right)=\sup\pi\in \pi\operatorname{MSE}。\pi\left[sum t=0^{infty}\gamma^t R_t mid X=x, A=a\right] 。
$$
正如给定政策$V^pi$的价值函数$V^pi$满足贝尔曼方程一样，缺失上标或下标参数也满足贝尔曼最优方程。
$$
\left.Q^{(} x, a\right)=\mathbb{E}\left[R+\gamma max d \in \mathcal{A}]。Q^{\left(X^{prime}, a^{prime}\right)}mid X=x, A=a\right］。
$$
最佳状态行动价值函数描述了从状态行动对$(x, a)$开始时，通过行动使风险中性目标最大化而获得的预期收益。直观地说，我们可以把方程7.3$理解为递归地描述这种最大化行为。虽然可能有多个最优政策，但它们必须（根据定义）实现问题7.1中的相同目标值。这个值是
$$
\mathbb{E} \pi\left[V^{\left(X_0\right)}\right],
$$
其中缺失的上标或下标参数是最优价值函数。
$$
\δleft.δleft.V^{(}x\right)=\max _{a\in δmathcal{A}}. Q^{(} x, a\right)
$$

CS代写|强化学习代写Reinforcement learning代考

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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CS代写|强化学习代写Reinforcement learning代考|CS60077 Value function approximation

如果你也在 怎样代写强化学习Reinforcement learning CS60077这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。强化学习Reinforcement learning是机器学习的一个领域，涉及到智能代理应该如何在环境中采取行动，以使累积奖励的概念最大化。强化学习是三种基本的机器学习范式之一，与监督学习和无监督学习并列。

强化学习Reinforcement learning与监督学习的不同之处在于，不需要标记的输入/输出对，也不需要明确纠正次优的行动。相反，重点是在探索（未知领域）和利用（现有知识）之间找到平衡。部分监督RL算法可以结合监督和RL算法的优点。环境通常以马尔科夫决策过程（MDP）的形式陈述，因为许多强化学习算法在这种情况下使用动态编程技术。经典的动态编程方法和强化学习算法之间的主要区别是，后者不假定知道MDP的精确数学模型，它们针对的是精确方法变得不可行的大型MDP。

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CS代写|强化学习代写Reinforcement learning代考|CS60077 Value function approximation

CS代写|强化学习代写Reinforcement learning代考|Value function approximation

Estimate value function with function approximation
$$
\begin{aligned}
\hat{V}(s, w) & \approx V_\pi(s) \
\hat{Q}(s, a, w) & \approx Q_\pi(s, a)
\end{aligned}
$$
generalize from seen states to unseen states update parameter $w$ by MC or TD learning

After the approximate evaluation, then take policy improvement based on the approximate value function

Types of function approximation

Differentiable approximater

Function approximaters, e.g
Linear combinations of features, Neural Network, Decision tree, Nearest neighbor, Fourier/wavelet bases…

CS代写|强化学习代写Reinforcement learning代考|Basic idea

Goal: find parameter vector $w$ minimizing mean-square error between approximate value $\hat{V}(s, w)$ and true value $V_\pi(s)$
$$
J(w)=E_\pi\left[\left(V_\pi(s)-\hat{V}(s, w)\right)^2\right]
$$

Gradient descent ( $\alpha$ is stepsize)
$$
w \leftarrow w-\frac{1}{2} \alpha \nabla_w J(w)=w+\alpha_t E_\pi\left[\left(V_\pi(s)-\hat{V}(s, w)\right) \nabla_w \hat{V}(s, w)\right]
$$

Stochastic gradient descent
$$
w \leftarrow w+\alpha\left(V_\pi(s)-\hat{V}(s, w)\right) \nabla_w \hat{V}(s, w)
$$

Converges to a local optimum if the stepsize $\alpha_t$ satisfies
$$
\sum_{t=1}^{\infty} \alpha_t=\infty, \sum_{t=1}^{\infty} \alpha_t^2 \leq \infty
$$

CS代写|强化学习代写Reinforcement learning代考|CS60077 Value function approximation

强化学习代写

CS代写|强化学习代写Reinforcement learning代考|Value function approximation


用函数逼近估计值函数
$$
\hat{V}(s, w) \approx V_\pi(s) \hat{Q}(s, a, w) \quad \approx Q_\pi(s, a)
$$
从已见状态概括为末见状态更新参数 $w$ 通过 MC 或 TD 学习
近似评估后，再根据近似值函数进行策略改进
函数逼近的类型
可微近似器
函数逼近器，例卟
特征的线性组合、神经网络、决策树、最近邻、傅立叶/小波基…


CS代写|强化学习代写Reinforcement learning代考|Basic idea


目标: 找到参数向量 $w$ 最小化近似值之间的均方误差 $\hat{V}(s, w)$ 和真正的价值 $V_\pi(s)$
$$
J(w)=E_\pi\left[\left(V_\pi(s)-\hat{V}(s, w)\right)^2\right]
$$
梯度下降 $(\alpha$ 是步长 $)$
$$
w \leftarrow w-\frac{1}{2} \alpha \nabla_w J(w)=w+\alpha_t E_\pi\left[\left(V_\pi(s)-\hat{V}(s, w)\right) \nabla_w \hat{V}(s, w)\right]
$$
随机梯度下降
$$
w \leftarrow w+\alpha\left(V_\pi(s)-\hat{V}(s, w)\right) \nabla_w \hat{V}(s, w)
$$
如果步长 $\alpha_t$ 满足
$$
\sum_{t=1}^{\infty} \alpha_t=\infty, \sum_{t=1}^{\infty} \alpha_t^2 \leq \infty
$$

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CS代写|强化学习代写Reinforcement learning代考|Value iteration

One-step truncated policy evaluation

Iterative application of Bellman optimality backup
$$
\begin{aligned}
V(s) & \leftarrow \max {a \in \mathcal{A}} \sum{s^{\prime} \in \mathcal{S}} P\left(s^{\prime} \mid s, a\right)\left[r\left(s, a, s^{\prime}\right)+\gamma V\left(s^{\prime}\right)\right] \
q(s, a) & \leftarrow \sum_{s^{\prime} \in \mathcal{S}} P\left(s^{\prime} \mid s, a\right)\left[r\left(s, a, s^{\prime}\right)+\gamma \max _{a^{\prime} \in \mathcal{A}} q\left(s^{\prime}, a^{\prime}\right)\right]
\end{aligned}
$$

converges to the true solution of Bellman optimal equations

Learn optimal value function directly

Unlike policy iteration, there is no explicit policy

CS代写|强化学习代写Reinforcement learning代考|Model-free Algorithm

Previous discussion planning by dynamic programming the model and dynamics of a MDP are required curse of dimensionality

Next discussion model-free prediction and control estimate and optimize the value function of an unknown MDP

In RL, we always deal with an unknown model, exploration and exploitation are needed

Model-free prediction

Goal: learn $V_\pi(s)$ from episodes of experience under policy $\pi$

On policy learning

No requirement of MDP transitions or rewards

Monte-Carlo learning

Temporal-Difference learning

CS代写|强化学习代写Reinforcement learning代考|CS285 Value iteration

强化学习代写

CS代写|强化学习代写Reinforcement learning代考|Value iteration


一步截断策略评估
贝尔曼最优备份的迭代应用
$$
V(s) \leftarrow \max a \in \mathcal{A} \sum s^{\prime} \in \mathcal{S P}\left(s^{\prime} \mid s, a\right)\left[r\left(s, a, s^{\prime}\right)+\gamma V\left(s^{\prime}\right)\right] q(s, a) \quad \leftarrow \sum_{s^{\prime} \in \mathcal{S}} P\left(s^{\prime} \mid s, a\right)\left[r\left(s, a, s^{\prime}\right)+\gamma \underset{a^{\prime} \in \mathcal{A}}{ } \max \left(s^{\prime}, a^{\prime}\right)\right]
$$
收敛于 Bellman 最优方程的真解
直接学习最优价值函数
与策略迭代不同，没有明确的策略


CS代写|强化学习代写Reinforcement learning代考|Model-free Algorithm


之前的讨论通过动态规划进行规划 MDP 的模型和动力学需要倠数灾难
接下来讨论无模型预则和控制估计和优化末知 MDP 的价值函数
在 RL 中，我们总是处理一个末知的模型，需要探索和开发
无模型预恻
目标: 学习 $V_\pi(s)$ 从政策下的经验片段 $\pi$
关于政策学习
无需 MDP 转换或奖励
蒙特卡洛学习
时间差异学习

CS代写|强化学习代写Reinforcement learning代考

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微观经济学代写

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线性代数代写

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博弈论代写

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CS代写|强化学习代写Reinforcement learning代考|CSE546 Tetris

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CS代写|强化学习代写Reinforcement learning代考|CSE546 Tetris

CS代写|强化学习代写Reinforcement learning代考|Tetris

Tetris

State: the current board, the current falling tile

Action: Rotate or shift the falling shape

One-step reward: if a level is cleared by the current action, reward 1 , o.w. reward 0 ;

Transition Probability: future tile is uniformly distributed

Discount factor: $\gamma=1$

Maze

Rewards: -1 per time-step

Actions: N, E, S, W

States: Agent’s location

Markov Property
A state $s_t$ is Markov iff
$$
P\left(s_{t+1} \mid s_t\right)=P\left(s_{t+1} \mid s_1, \ldots, s_t\right)
$$

the state captures all relevant information from the history

once the state is known, the history may be thrown away

i.e. the state is a sufficient statistic of the future

CS代写|强化学习代写Reinforcement learning代考|Markov Property


A state $s_t$ is Markov iff
$$
P\left(s_{t+1} \mid s_t\right)=P\left(s_{t+1} \mid s_1, \ldots, s_t\right)
$$

the state captures all relevant information from the history

once the state is known, the history may be thrown away

i.e. the state is a sufficient statistic of the future

Policy

  • Stochastic policy
    $$
    \pi(a \mid s)=\mathbb{P}\left(a_t=a \mid s_t=s\right)
    $$
  • Policy $\pi$ defines the behavior of an agent
  • For MDP, the policy depends on the current state(Markov property)
  • Deterministic policy: $\pi(a \mid s)=\mathbb{P}\left(a_t=a \mid s_t=s\right)=1$
CS代写|强化学习代写Reinforcement learning代考|CSE546 Tetris

强化学习代写

CS代写|强化学习代写Reinforcement learning代考|Tetris


俄罗斯方块
状态: 当前棋盘，当前下落的棋子
动作: 旋转或移动下落的形状
一步奖励: 如果当前动作通关了一个关卡，奖励 1 ， Ow 奖励 0 ；
转移概率: 末来的瓦片是均匀分布的
折扣条数: $\gamma=1$
迷宫
奖励: 每个时间步-1
动作: N、E、S、W
状态：代理的位置
马尔可夫性质
$\mathrm{A}$ 状态 $s_t$ 是马尔可夫当且仅当
$$
P\left(s_{t+1} \mid s_t\right)=P\left(s_{t+1} \mid s_1, \ldots, s_t\right)
$$
国家从历史中获取所有相关信息
一旦状态为人所知，历史可能会被舎弃
即状态是末来的充分统计


CS代写|强化学习代写Reinforcement learning代考|Markov Property


一个状态 $s_t$ 是马尔可夫当且仅当
$$
P\left(s_{t+1} \mid s_t\right)=P\left(s_{t+1} \mid s_1, \ldots, s_t\right)
$$
国家从历史中获取所有相关信息
一旦状态为人所知，历史可能会被舎弃
即状态是末来的充分统计
政策

  • 随机策略
    $$
    \pi(a \mid s)=\mathbb{P}\left(a_t=a \mid s_t=s\right)
    $$
  • 政策 $\pi$ 定义代理的行为
  • 对于 MDP，策略取决于当前状态 (马尔可夫属性)
  • 确定性政策: $\pi(a \mid s)=\mathbb{P}\left(a_t=a \mid s_t=s\right)=1$
CS代写|强化学习代写Reinforcement learning代考

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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CS代写|强化学习代写Reinforcement learning代考|CSE546 Fixed-Size Empirical Representations

如果你也在 怎样代写强化学习Reinforcement learning CSE546这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。强化学习Reinforcement learning是机器学习的一个领域，涉及到智能代理应该如何在环境中采取行动，以使累积奖励的概念最大化。强化学习是三种基本的机器学习范式之一，与监督学习和无监督学习并列。

强化学习Reinforcement learning与监督学习的不同之处在于，不需要标记的输入/输出对，也不需要明确纠正次优的行动。相反，重点是在探索（未知领域）和利用（现有知识）之间找到平衡。部分监督RL算法可以结合监督和RL算法的优点。环境通常以马尔科夫决策过程（MDP）的形式陈述，因为许多强化学习算法在这种情况下使用动态编程技术。经典的动态编程方法和强化学习算法之间的主要区别是，后者不假定知道MDP的精确数学模型，它们针对的是精确方法变得不可行的大型MDP。

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CS代写|强化学习代写Reinforcement learning代考|CSE546 Fixed-Size Empirical Representations

CS代写|强化学习代写Reinforcement learning代考|Fixed-Size Empirical Representations

The empirical representation is expressive because it can use more particles to describe more complex probability distributions. This “blank cheque” approach to memory and computation, however, results in an intractable algorithm. On the other hand, the simple normal distribution is rarely sufficient to give a good approximation of the return distribution. A good middle ground is to preserve the form of the empirical representation while imposing a limit on its expressivity. Our approach is to fix the number and type of particles used to represent probability distributions.

Definition 5.11. The $m$-quantile representation parametrises the location of $m$ equally-weighted particles. That is,
$$
\mathscr{F}{\mathrm{Q}, m}=\left{\frac{1}{m} \sum{i=1}^m \delta_{\theta_i}: \theta_i \in \mathbb{R}\right} .
$$
Definition 5.12. Given a collection of $m$ evenly-spaced locations $\theta_1<\cdots<\theta_m$, the $m$-categorical representation parametrises the probability of $m$ particles at these fixed locations:
$$
\mathscr{F}{\mathrm{C}, m}=\left{\sum{i=1}^m p_i \delta_{\theta_i}: p_i \geq 0, \sum_{i=1}^m p_i=1\right}
$$

CS代写|强化学习代写Reinforcement learning代考|The Projection Step

We now describe projection operators for the categorical and quantile representations, correspondingly called categorical projection and quantile projection. In both cases, these operators can be seen as finding the best approximation to a given probability distribution, as measured according to a specific probability metric.

To begin, recall that for a probability metric $d, \mathscr{P}d(\mathbb{R}) \subseteq \mathscr{P}(\mathbb{R})$ is the set of probability distributions with finite mean and finite distance from the reference distribution $\delta_0$ (Equation 4.26). For a representation $\mathscr{F} \subseteq \mathscr{P}_d(\mathbb{R})$, a d-projection of $\nu \in \mathscr{P}_d(\mathbb{R})$ onto $\mathscr{F}$ is a function $\Pi{\mathscr{F}, d}: \mathscr{P}d(\mathbb{R}) \rightarrow \mathscr{F}$ that finds a distribution $\hat{\nu} \in \mathscr{F}$ that is $d$-closest to $\nu$ : $$ \Pi{\mathscr{F}, d} \nu \in \underset{\hat{\nu} \in \mathscr{F}}{\arg \min } d(\nu, \hat{\nu}) .
$$
Although both the categorical and quantile projections that we present here satisfy this definition, it is worth noting that in the most general setting neither the existence nor uniqueness of a $d$-projection $\Pi_{\mathscr{F}, d}$ is actually guaranteed (see Remark 5.3). We lift the notion of a $d$-projection to return-distribution functions in our usual manner; the $\bar{d}$-projection of $\eta \in \mathscr{P}d(\mathbb{R})^{\mathcal{X}}$ onto $\mathscr{F}^{\mathcal{X}}$ is $$ \left(\Pi{\mathscr{F} X,}, \eta\right)(x)=\Pi_{\mathscr{F}, d}(\eta(x)) .
$$
When unambiguous, we overload notation and write $\Pi_{\mathscr{F}, d} \eta$ to denote the projection onto $\mathscr{F}^{\mathcal{X}}$

It is natural to think of the $\bar{d}$-projection of the return-distribution function $\eta$ onto $\mathscr{F} \mathcal{X}$ as the best achievable approximation within this representation, measured in terms of $d$. We thus call $\Pi_{\mathscr{F}, d} \nu$ and $\Pi_{\mathscr{F} X, \bar{d}} \eta$ the (d, $\mathscr{F}$ )-optimal approximations to $\nu \in \mathscr{P}(\mathbb{R})$ and $\eta$, respectively.

CS代写|强化学习代写Reinforcement learning代考|CSE546 Fixed-Size Empirical Representations

强化学习代写

CS代写|强化学习代写Reinforcement learning代考|Fixed-Size Empirical Representations


经验表示是富有表现力的，因为它可以使用更多的粒子来苗述更复杂的概率分布。然而，这种存储和计算的“空白支票”方法导致了 一种难以处理的算法。另一方面，简单的正态分布很少足以给出回报分布的良好近似。一个好的中间立场是保留经验表示的形式， 同时对其表现力施加限制。我们的方法是固定用于表示概率分布的粒子的数量和类型。
定义 5.11。这 $m-$ 分位数表示参数化的位置 $m$ 等权重的粒子。那是，
\eft 的分隔符缺失或无法识别
定义 5.12。给定一个集合 $m$ 均匀分布的位置 $\theta_1<\cdots<\theta_m$ ，这 $m$-分类表示参数化的概率 $m$ 这些固定位置的粒子:
《left 的分隔符缺失或无法识别


CS代写|强化学习代写Reinforcement learning代考|The Projection Step


我们现在描述分类和分位数表示的投影算子，相应地称为分类投影和分位数投影。在这两种情况下，这些算子都可以看作是找到给 定概率分布的最佳斦似值，根据特定的概率度量来衡量。
首先，回相一下概率度量 $d, \mathscr{P} d(\mathbb{R}) \subseteq \mathscr{P}(\mathbb{R})$ 是与参考分布具有有限均值和有限距离的概率分布集 $\delta_0$ (公式 4.26) 。对于代表
$\Pi \mathscr{F}, d \nu \in \underset{\hat{\nu} \in \mathscr{F}}{\arg \min } d(\nu, \hat{\nu})$.
尽管我们在这里提出的分类和分位数投影都满足这个定义，但值得注意的是，在最一般的情况下，既不存在也不存在唯一性 $d-$ 投 影 $\Pi_{\mathscr{F}, d}$ 实际上是有保证的（见备注 5.3) 。我们提出了一个概念 $d-$ 以我们通常的方式投影到收益分配函数；这 $\bar{d}-$ 投影 $\eta \in \mathscr{P} d(\mathbb{R})^{\mathcal{X}}$ 到 $\mathscr{F}^{\mathcal{X}}$ 是
$(\Pi \mathscr{F} X,, \eta)(x)=\Pi_{\mathscr{F}, d}(\eta(x))$
当明确时，我们重载符昊并编写 $\Pi_{\mathscr{F}, d} \eta$ 表示投影到 $\mathscr{F} \mathcal{X}$ 优逼近 $\nu \in \mathscr{P}(\mathbb{R})$ 和 $\eta$ ， 分别。

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CS代写|强化学习代写Reinforcement learning代考|COMP5328 Weak Convergence of Return Functions

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CS代写|强化学习代写Reinforcement learning代考|COMP5328 Weak Convergence of Return Functions

CS代写|强化学习代写Reinforcement learning代考|Weak Convergence of Return Functions

Proposition $4.27$ implies that if each distribution $\eta^\pi(x)$ lies in the finite domain $\mathscr{P}d(\mathbb{R})$ of a given probability metric $d$ that is regular, $c$-homogeneous, and $p$-convex, then $\eta^\pi$ is the unique solution to the equation $$ \eta=\mathcal{T}^\pi \eta $$ in the space $\mathscr{P}_d(\mathbb{R})^{\mathcal{X}}$. It does not, however, rule out the existence of solutions outside this space. This concern can be addressed by showing that for any $\eta_0 \in \mathscr{P}(\mathbb{R})^{\mathcal{X}}$, the sequence of probability distributions $\left(\eta_k(x)\right){k \geq 0}$ defined by
$$
\eta_{k+1}=\mathcal{T}^\pi \eta_k
$$
converges weakly to the return distribution $\eta^\pi(x)$, for each state $x \in \mathcal{X}$. In addition to giving an alternative perspective on the quantitative convergence results of these iterates, the uniqueness of $\eta^\pi$ as a solution to Equation $4.18$ (stated as Proposition 4.9) follows immediately from Proposition $4.34$ below.

CS代写|强化学习代写Reinforcement learning代考|Random Variable Bellman Operators

In this chapter, we defined the distributional Bellman operator $\mathcal{T}^\pi$ as a mapping on the space of return-distribution functions $\mathscr{P}(\mathbb{R})^{\mathcal{X}}$. We also saw that the action of the operator on a return function $\eta \in \mathscr{P}(\mathbb{R})^{\mathcal{X}}$ can be understood both through direct manipulation of the probability distributions or through manipulation of a collection of random variables instantiating these distributions.

Viewing the operator through its effect on the distribution of a collection of representative random variables is a useful tool for understanding distributional reinforcement learning, and may prompt the reader to ask whether it is possible to avoid referring to probability distributions at all, working instead directly with random variables. We describe one approach to this below using the tools of probability theory, and then discuss some of its shortcomings.

Let $G_0=\left(G_0(x): x \in \mathcal{X}\right)$ be an initial collection of real-valued random variables, indexed by state, supported on a probability space $\left(\Omega_0, \mathscr{F}0, \mathbb{P}_0\right)$. For each $k \in \mathbb{N}^{+}$, let $\left(\Omega_k, \mathscr{F}_k, \mathbb{P}_k\right)$ be another probability space, supporting a collection of random variables $\left(\left(A_k(x), R_k(x, a), X_k^{\prime}(x, a)\right): x \in \mathcal{X}, a \in \mathcal{A}\right)$, with $A_k(x) \sim \pi(\cdot \mid x)$, and independently $R_k(x, a) \sim P{\mathcal{R}}(\cdot \mid x, a), X_k(x, a) \sim P_{\mathcal{X}}(\cdot \mid x, a)$. We then consider the product probability space on $\Omega=\prod_{k \in \mathbb{N}} \Omega_k$. All random variables defined above can naturally be viewed as functions on this joint probability space, that depend on $\omega=\left(\omega_0, \omega_1, \omega_2, \ldots\right) \in \Omega$ only through the coordinate $\omega_k$ that matches the index $k$ on the random variable. Note that under this construction, all random variables with distinct indices are independent.

Now define $\mathscr{X}{\mathbb{N}}$ as the set of real-valued random variables on $(\Omega, \mathscr{F}, \mathbb{P}$ ) (where $\mathscr{F}$ is the product $\sigma$-algebra) that depend on only finitely-many coordinates of $\omega \in \Omega$. We can define a Bellman operator $\mathcal{T}^\pi: \mathscr{X}{\mathbb{N}} \rightarrow \mathscr{X}{\mathbb{N}}$ as follows. Given $G=(G(x): x \in \mathcal{X}) \in \mathscr{X}{\mathbb{N}}^{\mathcal{X}}$, let $K \in \mathbb{N}$ be the smallest integer such that the random variables $(G(x): x \in \mathcal{X})$ depend on $\omega=\left(\omega_0, \omega_1, \omega_2, \ldots\right) \in \Omega$ only through $\omega_0, \ldots, \omega_{K-1} ;$ such an integer exists due to the definition of $\mathscr{X}{\mathbb{N}}$ and the finiteness of $\mathcal{X}$. We then define $\mathcal{T}^\pi G \in \mathscr{X}{\mathbb{N}}$ by
$$
\left(\mathcal{T}^\pi G\right)(x)=R_K\left(x, A_K(x)\right)+\gamma G\left(X_K^{\prime}\left(x, A_K(x)\right) .\right.
$$

CS代写|强化学习代写Reinforcement learning代考|COMP5328 Weak Convergence of Return Functions

强化学习代写

CS代写|强化学习代写Reinforcement learning代考|Weak Convergence of Return Functions


主张4.27意味着如果每个分布 $\eta^\pi(x)$ 位于有限域中 $\mathscr{P} d(\mathbb{R})$ 给定既率度量的 $d$ 这是営规的， $c$ 同质的，和 $p$-凸，然后 $\eta^\pi$ 是方程的 唯一解
$$
\eta=\mathcal{T}^\pi \eta
$$
在空间 $\mathscr{P}d(\mathbb{R})^{\mathcal{X}}$. 但是，它并不排除在这个空间之外存在解妨䅁。这个问题可以通过证明对于任何 $\eta_0 \in \mathscr{P}(\mathbb{R})^{\mathcal{X}}$ ，概率分布序列 $\left(\eta_k(x)\right) k \geq 0$ 被定义为 $$ \eta{k+1}=\mathcal{T}^\pi \eta_k
$$
弱收玫于回报分布 $\eta^\pi(x)$ ，对于每个状态 $x \in \mathcal{X}$. 除了对这些迭代的定量收敛结果惿供另一种观点外， $\eta^\pi$ 作为方程的解4.18 (陈述 为命题 4.9）絮随命题4.34以下。


CS代写|强化学习代写Reinforcement learning代考|Random Variable Bellman Operators


在本章中，我们定义了分布贝尔曼算子 $\mathcal{T}^\pi$ 作为回报分布函数空间的映射 $\mathscr{P}(\mathbb{R})^X$. 我哒还看到了运算符对返回函数拍操作 $\eta \in \mathscr{P}(\mathbb{R})^{\mathcal{X}}$ 可以通过直接喿纵概率分布或通过操纵实例化这些分布的随机变量集合来理解。
通过其对代表性随机变量集合的分布的影响来龺看算子是理解分布强化学习的有用工具，并且可能会提示渎者询问是否可以完全避 免参考概率分布，而是直接使用随机变量。我们使用概率论工具在下面描述一种方法，然后讨论它的一些缺点。 $\left(\Omega_k, \mathscr{F}k, \mathbb{P}_k\right)$ 是另一个概率空间，㕝持随机变量的集合 $\left(\left(A_k(x), R_k(x, a), X_k^{\prime}(x, a)\right): x \in \mathcal{X}, a \in \mathcal{A}\right)$ ，和 $A_k(x) \sim \pi(\cdot \mid x)$ ，并独立地 $R_k(x, a) \sim P \mathcal{R}(\cdot \mid x, a), X_k(x, a) \sim P{\mathcal{X}}(\cdot \mid x, a)$. 然启涐们考虚产品概率空间
$\Omega=\prod_{k \in \mathbb{N}} \Omega_k$. 上面定义的所有随机变量目然可以看作是这个联合概率空间上的函数，它依赖于 $\omega=\left(\omega_0, \omega_1, \omega_2, \ldots\right) \in \Omega$ 只 能通过坐标 $\omega_k$ 与索引|配的 $k$ 关于随机变量。请注意，在伩种结构下，所有具有不同索引的随机变量都是独立的。
现在定义 $\mathscr{X} \mathbb{N}$ 作为实值随机恋量的集合 $(\Omega, \mathscr{F}, \mathbb{P})$ （在郆里 $\mathscr{F}$ 是产品 $\sigma$-algebra) 仅依赖于 $\omega \in \Omega$. 我们可以定义一个贝尔曼算 子 $\mathcal{T}^\pi: \mathscr{X} \mathbb{N} \rightarrow \mathscr{X} \mathbb{N}$ 如下。 给定 $G=(G(x): x \in \mathcal{X}) \in \mathscr{X} \mathbb{N}^X$ ，让 $K \in \mathbb{N}$ 是最小整数，使得随机变量 $(G(x): x \in \mathcal{X})$ 取 决于 $\omega=\left(\omega_0, \omega_1, \omega_2, \ldots\right) \in \Omega$ 只有通过 $\omega_0, \ldots, \omega_{K-1}$; 由于定义了这样一个整数 $\mathscr{X} \mathbb{N}$ 和有限性 $\mathcal{X}$. 然启涐们定义 $\mathcal{T}{ }^\pi G \in \mathscr{X} \mathbb{N}$ 经过
$$
\left(\mathcal{T}^\pi G\right)(x)=R_K\left(x, A_K(x)\right)+\gamma G\left(X_K^{\prime}\left(x, A_K(x)\right) .\right.
$$

CS代写|强化学习代写Reinforcement learning代考

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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CS代写|强化学习代写Reinforcement learning代考|CS234 Sufficient Conditions for Contractivity

如果你也在 怎样代写强化学习Reinforcement learning CS234这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。强化学习Reinforcement learning是机器学习的一个领域，涉及到智能代理应该如何在环境中采取行动，以使累积奖励的概念最大化。强化学习是三种基本的机器学习范式之一，与监督学习和无监督学习并列。

强化学习Reinforcement learning与监督学习的不同之处在于，不需要标记的输入/输出对，也不需要明确纠正次优的行动。相反，重点是在探索（未知领域）和利用（现有知识）之间找到平衡。部分监督RL算法可以结合监督和RL算法的优点。环境通常以马尔科夫决策过程（MDP）的形式陈述，因为许多强化学习算法在这种情况下使用动态编程技术。经典的动态编程方法和强化学习算法之间的主要区别是，后者不假定知道MDP的精确数学模型，它们针对的是精确方法变得不可行的大型MDP。

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CS代写|强化学习代写Reinforcement learning代考|CS234 Sufficient Conditions for Contractivity

CS代写|强化学习代写Reinforcement learning代考|Sufficient Conditions for Contractivity

In the remainder of this chapter, we characterise in greater generality the behaviour of the sequence of return function estimates described by Equation $4.14$, viewed under the lens of different probability metrics. We begin with a formal definition of what it means for a function $d$ to be a probability metric.
Definition 4.21. A probability metric is an extended metric on the space of probability distributions, written
$$
d: \mathscr{P}(\mathbb{R}) \times \mathscr{P}(\mathbb{R}) \rightarrow[0, \infty] .
$$

Its supremum extension is the function $\bar{d}: \mathscr{P}(\mathbb{R})^{\mathcal{X}} \times \mathscr{P}(\mathbb{R})^{\mathcal{X}} \rightarrow \mathbb{R}$ defined as
$$
\bar{d}\left(\eta, \eta^{\prime}\right)=\sup _{x \in \mathcal{X}} d\left(\eta(x), \eta^{\prime}(x)\right) .
$$
We refer to $\bar{d}$ as a return-function metric; it is an extended metric on $\mathscr{P}(\mathbb{R})^{\mathcal{X}}$.
Our analysis is based on three properties that a probability metric should possess in order to guarantee contractivity. These three properties relate closely to the three fundamental operations that make up the distributional Bellman operator: scaling, convolution, and mixture of distributions (equivalently: scaling, addition, and indexing of random variables). In this analysis, we will find that some properties are more easily stated in terms of random variables, others in terms of probability distributions. Accordingly, given two probability distributions $\nu, \nu^{\prime}$ with instantiations $Z, Z^{\prime}$, let us overload notation and write
$$
d\left(Z, Z^{\prime}\right)=d\left(\nu, \nu^{\prime}\right)
$$

CS代写|强化学习代写Reinforcement learning代考|A Matter of Domain

Suppose that we have demonstrated, by means of Theorem 4.25, that the distributional Bellman operator is a contraction mapping in the supremum extension of some probability metric $d$. Is this sufficient to guarantee that the sequence
$$
\eta_{k+1}=\mathcal{T}^\pi \eta_k
$$
converges to the return function $\eta^\pi$, by means of Proposition 4.7? In general, no, because $d$ may assign infinite distances to certain pairs of distributions. To invoke Proposition 4.7, we identify a subset of probability distributions $\mathscr{P}_d(\mathbb{R})$ that are all within finite $d$-distance of each other and then ensure that the distributional Bellman operator is well-behaved on this subset. Specifically, we identify a set of conditions under which
(a) The distributional Bellman operator $\mathcal{T}^\pi$ maps $\mathscr{P}_d(\mathbb{R})^{\mathcal{X}}$ to itself, and
(b) The return function $\eta^\pi$ (the fixed point of $\mathcal{T}^\pi$ ) lies in $\mathscr{P}_d(\mathbb{R})^{\mathcal{X}}$.
For most common probability metrics and natural problem settings, these requirements are easily verified. In Proposition 4.16, for example, we demonstrated that under the assumption that the reward distributions are bounded, then Proposition $4.7$ can be applied with the Wasserstein distances. The aim of this section is to extend the analysis to a broader set of probability metrics, but also a greater number of problem settings, including those where the reward distributions are not bounded.

CS代写|强化学习代写Reinforcement learning代考|CS234 Sufficient Conditions for Contractivity

强化学习代写

CS代写|强化学习代写Reinforcement learning代考|Sufficient Conditions for Contractivity


在本章的其余部分，我们更一般地描述了方程描术的返回函数估计序列的行为 $4.14$ ，从不同的概率度量的角度来看。我们从一个 函数的正式定义开始 $d$ 成为一个概率度量。
定义 4.21。概率度量是概率分布空间的扩展度量，写成
$$
d: \mathscr{P}(\mathbb{R}) \times \mathscr{P}(\mathbb{R}) \rightarrow[0, \infty] .
$$
它的最高扩展是函数 $\bar{d}: \mathscr{P}(\mathbb{R})^{\mathcal{X}} \times \mathscr{P}(\mathbb{R})^{\mathcal{X}} \rightarrow \mathbb{R}$ 定义为
$$
\bar{d}\left(\eta, \eta^{\prime}\right)=\sup {x \in \mathcal{X}} d\left(\eta(x), \eta^{\prime}(x)\right) . $$ 我们指 $\bar{d}$ 作为返回函数度量; 这是一个扩展的指标 $\mathscr{P}(\mathbb{R})^{\mathcal{X}}$. 我们的分析基于概率度量应具备的三个属性，以保证收缩性。这三个属性与构成分布贝尔曼算子的三个其本操作密切相关: 缩放、 卷积和分布混合 (等效于: 随机变量的樎放、加法和索引) 。在这个分析中，我们会发现一些属性更容易用随机变量来表示，而另 一些则更容易用概率分布来表示。因此，给定两个概率分布 $\nu, \nu^{\prime}$ 实例化 $Z, Z^{\prime}$ ，让我们重载符号并编写 $$ d\left(Z, Z^{\prime}\right)=d\left(\nu, \nu^{\prime}\right) $$

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假设我们已已经通过定理 $4.25$ 证明了分布贝尔曼算子是某个概率度量的上确界扩展中的收勓映射 $d$. 这是否足以保证序列 $$ \eta{k+1}=\mathcal{T}^\pi \eta_k
$$
收敛到返回函数 $\eta^\pi$ ，通过命题 4.7? 一般来说，不会，因为 $d$ 可以为某些分布对分配无限距离。为了调用命题 4.7，我们确定了概 率分布的一个子集 $\mathscr{P}_d(\mathbb{R})$ 都在有限范围内 $d$-彼此的距离，然后确保分布贝尔曼算子在这个子集上表现良好。具体来说，我们确定 了一组条件，在这些条件下
(b) 返回函数 $\eta^\pi\left(\right.$ 的不动点 $\left.\mathcal{T}^\pi\right)$ 位于 $\mathscr{P}_d(\mathbb{R})^{\mathcal{X}}$.
对于最常见的概率度量和自然问题设置，这些要求很容易验证。例如，在命题 $4.16$ 中，我们证明了在奖励分布是有界的假设下，
命题4.7可以与 Wasserstein 距离一起应用。本节的目的是将分析扩展到更广泛的概率指标集，以及百多的问题设置，包括奖励 分布无界的问题设置。

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CS代写|强化学习代写Reinforcement learning代考|LSML22 The Monte Carlo Method

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CS代写|强化学习代写Reinforcement learning代考|LSML22 The Monte Carlo Method

CS代写|强化学习代写Reinforcement learning代考|The Monte Carlo Method

Birds such as the pileated woodpecker follow a feeding routine that regularly takes them back to the same foraging grounds. The success of this routine can be measured in terms of the total amount of food obtained during a fixed period of time, say a single day. As part of a field study, it may be desirable to predict the success of a particular bird’s routine on the basis of a limited set of observations; for example, to assess its survival chances at the beginning of winter based on feeding observations from the summer months. In reinforcement learning terms, we view this as the problem of learning to predict the expected return (total food per day) of a given policy $\pi$ (the feeding routine). Here, variations in weather, human activity, and other foraging animals are but a few of the factors that affect the amount of food obtained on any particular day.

In our example, the problem of learning to predict is abstractly a problem of statistical estimation. To this end, let us model the woodpecker’s feeding routine as a Markov decision process. ${ }^{17}$ We associate each day with a sample trajectory or episode, corresponding to measurements made at regular intervals about the bird’s location $x$, behaviour $a$, and per-period food intake $r$. Suppose that we have observed a set of $K$ sample trajectories,
$$
\left{\left(x_{k, t}, a_{k, t}, r_{k, t}\right){t=0}^{T_k-1}\right}{k=1}^K,
$$
where we use $k$ to index the trajectory and $t$ to index time, and where $T_k$ denotes the number of measurements taken each day. In this example, it is most sensible to assume a fixed number of measurements $T_k=T$, but in the general setting $T_k$ may be random and possibly dependent on the trajectory, often corresponding to the time when a terminal state is first reached. For now, let us also assume that there is a unique starting state $x_0$, such that $x_{k, 0}=x_0$ for all $k$. We are interested in the problem of estimating the expected return
$$
\mathbb{E}\pi\left[\sum{t=0}^{T-1} \gamma^t R_t\right]=V^\pi\left(x_0\right),
$$
corresponding to the expected per-day food intake of our bird. ${ }^{18}$

CS代写|强化学习代写Reinforcement learning代考|Incremental Learning

Both in practice and in theory, it is useful to consider a learning model under which sample trajectories are processed sequentially, rather than all at once. Algorithms that operate in this fashion are called incremental algorithms, as they maintain a running value function estimate $V \in \mathbb{R}^{\mathcal{X}}$ which they improve with each sample. ${ }^{19}$ Under this model, we now consider an infinite sequence of sample trajectories
$$
\left(\left(x_{k, t}, a_{k, t}, r_{k, t}\right){t=0}^{T_k-1}\right){k \geq 0},
$$
presented one at a time to the learning algorithm. In addition, we consider the more general setting in which the initial states $\left(x_{k, 0}\right)_{k \geq 0}$ may be different; we call these states the source states, as with the sample transition model (Section 2.6). As in the previous section, a minimum requirement for learning $V^\pi$ is that every state $x \in \mathcal{X}$ should be the source state of some trajectories.

CS代写|强化学习代写Reinforcement learning代考|LSML22 The Monte Carlo Method

强化学习代写

CS代写|强化学习代写Reinforcement learning代考|The Monte Carlo Method

. The蒙特卡罗方法


像冠状啄木鸟这样的鸟类遵循一种进食规律，定期将它们带回相同的觅食地。这种方法的成功与否可以用在一段固定时间内(比如一天)获得的食物总量来衡量。作为实地研究的一部分，在有限的观察基础上预测某只鸟的日常活动是否成功可能是可取的;例如，根据夏季的摄食观察来评估它在初冬时的生存机会。在强化学习术语中，我们将其视为学习预测某一特定政策(喂养常规)的预期回报(每天的总食物量)$\pi$的问题。在这里，天气、人类活动和其他觅食动物的变化只是影响某一天获得食物量的几个因素


在我们的例子中，学习预测的问题抽象地说是一个统计估计的问题。为此，让我们将啄木鸟的进食习惯建模为马尔可夫决策过程。${ }^{17}$我们将每一天与一个样本轨迹或插曲联系起来，对应于定期测量鸟类的位置$x$，行为$a$和每个周期的食物摄入量$r$。假设我们已经观察到一组$K$样本轨迹，
$$
\left{\left(x_{k, t}, a_{k, t}, r_{k, t}\right){t=0}^{T_k-1}\right}{k=1}^K,
$$
，其中我们使用$k$来索引轨迹，使用$t$来索引时间，其中$T_k$表示每天进行的测量数量。在本例中，假设固定数量的测量值$T_k=T$是最明智的，但在一般设置中，$T_k$可能是随机的，可能依赖于轨迹，通常对应于第一次到达终端状态的时间。现在，我们还假设有一个唯一的起始状态$x_0$，这样所有$k$都有$x_{k, 0}=x_0$。我们感兴趣的问题是估计预期收益
$$
\mathbb{E}\pi\left[\sum{t=0}^{T-1} \gamma^t R_t\right]=V^\pi\left(x_0\right),
$$
对应于我们的鸟的预期每日食物摄入量。${ }^{18}$

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.增量学习


在实践和理论上，考虑一种学习模型是有用的，在这种学习模型下，样本轨迹是按顺序处理的，而不是一次性处理所有的。以这种方式运行的算法称为增量算法，因为它们维持一个运行的值函数估计$V \in \mathbb{R}^{\mathcal{X}}$，并随着每个样本的改进而改进。${ }^{19}$在这个模型下，我们现在考虑一个无限的样本轨迹序列
$$
\left(\left(x_{k, t}, a_{k, t}, r_{k, t}\right){t=0}^{T_k-1}\right){k \geq 0},
$$
每次呈现一个给学习算法。此外，我们考虑更一般的设置，初始状态$\left(x_{k, 0}\right)_{k \geq 0}$可能不同;我们将这些状态称为源状态，就像示例转换模型(第2.6节)一样。正如上一节所述，学习$V^\pi$的一个最低要求是，每个状态$x \in \mathcal{X}$都应该是某些轨迹的源状态

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什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。