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## 数学代写|微分几何代写DIFFERENTIAL GEOMETRY代写|Generalized Theorema Egregium

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## 数学代写|微分几何代写DIFFERENTIAL GEOMETRY代写|Generalized Theorema Egregium

We assume throughout this section that $M \subset \mathbb{R}^n$ and $M^{\prime} \subset \mathbb{R}^{n^{\prime}}$ are smooth submanifolds of the same dimension $m$. As in Sect. 5.1 we denote objects on $M^{\prime}$ by the same letters as objects in $M$ with primes affixed. In particular, $g^{\prime}$ denotes the first fundamental form on $M^{\prime}$ and $R^{\prime}$ denotes the Riemann curvature tensor on $M^{\prime}$.
Let $\phi: M \rightarrow M^{\prime}$ be a diffeomorphism. Using $\phi$ we can move objects on $M$ to $M^{\prime}$. For example the pushforward of a smooth curve $\gamma: I \rightarrow M$ is the curve
$$\phi_* \gamma:=\phi \circ \gamma: I \rightarrow M^{\prime}$$
the pushforward of a smooth function $f: M \rightarrow \mathbb{R}$ is the function
$$\phi_* f:=f \circ \phi^{-1}: M^{\prime} \rightarrow \mathbb{R}$$
the pushforward of a vector field $X \in \operatorname{Vect}(\gamma)$ along a curve $\gamma: I \rightarrow M$ is the vector field $\phi_* X \in \operatorname{Vect}\left(\phi_* \gamma\right)$ defined by
$$\left(\phi_* X\right)(t):=d \phi(\gamma(t)) X(t)$$
for $t \in I$, and the pushforward of a global vector field $X \in \operatorname{Vect}(M)$ is the vector field $\phi_* X \in \operatorname{Vect}\left(M^{\prime}\right)$ defined by
$$\left(\phi_* X\right)(\phi(p)):=d \phi(p) X(p)$$
for $p \in M$. Recall that the first fundamental form on $M$ is the Riemannian metric $g$ defined as the restriction of the Euclidean inner product on the ambient space to each tangent space of $M$. It assigns to each $p \in M$ the bilinear map $g_p: T_p M \times T_p M \rightarrow \mathbb{R}$ given by
$$g_p(u, v)=\langle u, v\rangle, \quad u, v \in T_p M$$

## 数学代写|微分几何代写DIFFERENTIAL GEOMETRY代写|Theorema Egregium

Theorem 5.3.1 (Theorema Egregium) The first fundamental form, covariant differentiation, geodesics, parallel transport, and the Riemann curvature tensor are intrinsic. This means that for every isometry $\phi: M \rightarrow M^{\prime}$ the following holds.
(i) $\phi_* g=g^{\prime}$.
(ii) If $X \in \operatorname{Vect}(\gamma)$ is a vector field along a smooth curve $\gamma: I \rightarrow M$, then
$$\nabla^{\prime}\left(\phi_* X\right)=\phi_* \nabla X$$
and if $X, Y \in \operatorname{Vect}(M)$ are global vector fields, then
$$\nabla_{\phi_* X}^{\prime} \phi_* Y=\phi_\left(\nabla_X Y\right)$$ (iii) If $\gamma: I \rightarrow M$ is a geodesic, then $\phi \circ \gamma: I \rightarrow M^{\prime}$ is a geodesic. (iv) If $\gamma: I \rightarrow M$ is a smooth curve, then for all $s, t \in I$, we have $$\Phi_{\phi \circ \gamma}^{\prime}(t, s) d \phi(\gamma(s))=d \phi(\gamma(t)) \Phi_\gamma(t, s)$$ (v) $\phi_ R=R^{\prime}$

Proof Assertion (i) is simply a restatement of Theorem 5.1.1. To prove (ii) we choose a local smooth parametrization $\psi: \Omega \rightarrow U$ of an open set $U \subset M$, defined on an open set $\Omega \subset \mathbb{R}^m$, so that $\psi^{-1}: U \rightarrow \Omega$ is a coordinate chart. Suppose without loss of generality that $\gamma(t) \in U$ for all $t \in I$ and define $c: I \rightarrow \Omega$ and $\xi: I \rightarrow \mathbb{R}^m$ by
$$\gamma(t)=\psi(c(t)), \quad X(t)=\sum_{i=1}^m \xi^i(t) \frac{\partial \psi}{\partial x^i}(c(t)) .$$

## 数学代写|微分几何代写DIFFERENTIAL GEOMETRY代写|Generalized Theorema Egregium

$$\phi_* \gamma:=\phi \circ \gamma: I \rightarrow M^{\prime}$$

$$\phi_* f:=f \circ \phi^{-1}: M^{\prime} \rightarrow \mathbb{R}$$

$$\left(\phi_* X\right)(t):=d \phi(\gamma(t)) X(t)$$

$$\left(\phi_* X\right)(\phi(p)):=d \phi(p) X(p)$$

$$g_p(u, v)=\langle u, v\rangle, \quad u, v \in T_p M$$

## 数学代写|微分几何代写DIFFERENTIAL GEOMETRY代写|Theorema Egregium

(我) $\phi_* g=g^{\prime}$.
(ii) 如果 $X \in \operatorname{Vect}(\gamma)$ 是沿着平滑曲线的矢量场 $\gamma: I \rightarrow M$ ，然后
$$\nabla^{\prime}\left(\phi_* X\right)=\phi_* \nabla X$$

$$\nabla_{\phi_* X}^{\prime} \phi_* Y=\phi_{\left(\nabla_X Y\right)}$$
(iii) 如果 $\gamma: I \rightarrow M$ 是测地线，那么 $\phi \circ \gamma: I \rightarrow M^{\prime}$ 是测地线。(iv) 如果 $\gamma: I \rightarrow M$ 是一条光滑的曲线，那么对于所有 $s, t \in I$ ，我们有
$$\Phi_{\phi \circ \gamma}^{\prime}(t, s) d \phi(\gamma(s))=d \phi(\gamma(t)) \Phi_\gamma(t, s)$$
(在) $\phi_R=R^{\prime}$

$$\gamma(t)=\psi(c(t)), \quad X(t)=\sum_{i=1}^m \xi^i(t) \frac{\partial \psi}{\partial x^i}(c(t))$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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## 数学代写|微分几何代写DIFFERENTIAL GEOMETRY代写|Defnition and Gauß–Codazzi

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## 数学代写|微分几何代写DIFFERENTIAL GEOMETRY代写|Defnition and Gauß–Codazzi

Let $M \subset \mathbb{R}^n$ be a smooth manifold and $\gamma: \mathbb{R}^2 \rightarrow M$ be a smooth map. Denote by $(s, t)$ the coordinates on $\mathbb{R}^2$. Let $Z \in \operatorname{Vect}(\gamma)$ be a smooth vector field along $\gamma$, i.e. $Z: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^n$ is a smooth map such that $Z(s, t) \in T_{\gamma(s, t)} M$ for all $s$ and $t$. The covariant partial derivatives of $Z$ with respect to the variables $s$ and $t$ are defined by
$$\nabla_s Z:=\Pi(\gamma) \frac{\partial Z}{\partial s}, \quad \nabla_t Z:=\Pi(\gamma) \frac{\partial Z}{\partial t} .$$
In particular $\partial_s \gamma=\partial \gamma / \partial s$ and $\partial_t \gamma=\partial \gamma / \partial t$ are vector fields along $\gamma$ and we have $\nabla_s \partial_t \gamma-\nabla_t \partial_s \gamma=0$ as both terms on the left are equal to $\Pi(\gamma) \partial_s \partial_t \gamma$. Thus ordinary partial differentiation and covariant partial differentiation commute. The analogous formula (which results on replacing $\partial$ by $\nabla$ and $\gamma$ by $Z$ ) is in general false. Instead we have the following.

Definition 5.2.1 The Riemann curvature tensor assigns to each $p \in M$ the bilinear map $R_p: T_p M \times T_p M \rightarrow \mathcal{L}\left(T_p M, T_p M\right)$ characterized by the equation
$$R_p(u, v) w=\left(\nabla_s \nabla_t Z-\nabla_t \nabla_s Z\right)(0,0)$$
for $u, v, w \in T_p M$ where $\gamma: \mathbb{R}^2 \rightarrow M$ is a smooth map and $Z \in \operatorname{Vect}(\gamma)$ is a smooth vector field along $\gamma$ such that
$$\gamma(0,0)=p, \quad \partial_s \gamma(0,0)=u, \quad \partial_t \gamma(0,0)=v, \quad Z(0,0)=w$$

## 数学代写|微分几何代写DIFFERENTIAL GEOMETRY代写|Covariant Derivative of a Global Vector Field

So far we have only defined the covariant derivatives of vector fields along curves. The same method can be applied to global vector fields. This leads to the following definition.

Definition 5.2.3 (Covariant derivative) Let $M \subset \mathbb{R}^n$ be an $m$-dimensional submanifold and $X$ be a vector field on $M$. Fix a point $p \in M$ and a tangent vector $v \in T_p M$. The covariant derivative of $X$ at $p$ in the direction $v$ is the tangent vector
$$\nabla_v X(p):=\Pi(p) d X(p) v \in T_p M,$$
where $\Pi(p) \in \mathbb{R}^{n \times n}$ denotes the orthogonal projection onto $T_p M$.
Remark 5.2.4 Let $\gamma: I \rightarrow M$ be a smooth curve on an interval $I \subset \mathbb{R}$ and let $X \in \operatorname{Vect}(M)$ be a smooth vector field on $M$. Then $X \circ \gamma$ is a smooth vector field along $\gamma$ and the covariant derivative of $X \circ \gamma$ is related to the covariant derivative of $X$ by the formula
$$\nabla(X \circ \gamma)(t)=\nabla_{\dot{\gamma}(t)} X(\gamma(t))$$
Remark 5.2.5 (Gauß-Weingarten formula) Differentiating the equation $X=$ $\Pi X$ (understood as a function from $M$ to $\mathbb{R}^n$ ) and using the notation $\partial_v X(p):=$ $d X(p) v$ for the derivative of $X$ at $p$ in the direction $v$ we obtain the GaußWeingarten formula for global vector fields:
$$\partial_v X(p)=\nabla_v X(p)+h_p(v) X(p)$$

## 数学代写|微分几何代写DIFFERENTIAL GEOMETRY代写|Defnition and Gauß–Codazzi

$$\nabla_s Z:=\Pi(\gamma) \frac{\partial Z}{\partial s}, \quad \nabla_t Z:=\Pi(\gamma) \frac{\partial Z}{\partial t}$$

$$R_p(u, v) w=\left(\nabla_s \nabla_t Z-\nabla_t \nabla_s Z\right)(0,0)$$

$$\gamma(0,0)=p, \quad \partial_s \gamma(0,0)=u, \quad \partial_t \gamma(0,0)=v, \quad Z(0,0)=w$$

## 数学代写|微分几何代写DIFFERENTIAL GEOMETRY代写|Covariant Derivative of a Global Vector Field

$$\nabla_v X(p):=\Pi(p) d X(p) v \in T_p M$$

$$\nabla(X \circ \gamma)(t)=\nabla_{\dot{\gamma}(t)} X(\gamma(t))$$

$$\partial_v X(p)=\nabla_v X(p)+h_p(v) X(p)$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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## 数学代写|微分几何代写DIFFERENTIAL GEOMETRY代写|Global Existence of Minimal Geodesics

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## 数学代写|微分几何代写DIFFERENTIAL GEOMETRY代写|Global Existence of Minimal Geodesics

Theorem 4.6.6 (Hopf-Rinow) Let $M \subset \mathbb{R}^n$ be a connected m-manifold and let $p \in M$. Assume $M$ is geodesically complete at $p$. Then, for every $q \in M$, there exists a geodesic $\gamma:[0,1] \rightarrow M$ such that
$$\gamma(0)=p, \quad \gamma(1)=q, \quad L(\gamma)=d(p, q)$$
Before giving the proof of the Hopf-Rinow Theorem we show that it implies Theorem 4.6.5.

Theorem 4.6.6 implies Theorem 4.6.5 That (i) implies (ii) follows directly from the definitions.

We prove that (ii) implies (iii). Thus assume that $M$ is geodesically complete at the point $p_0 \in M$ and let $K \subset M$ be a closed and bounded subset. Then $r:=\sup {q \in K} d\left(p_0, q\right)<\infty$. Hence Theorem 4.6.6 asserts that, for every $q \in K$, there exists a vector $v \in T{p_0} M$ such that $|v|=d\left(p_0, q\right) \leq r$ and $\exp {p_0}(v)=q$. Thus $$K \subset \exp {p_0}\left(\bar{B}r\left(p_0\right)\right), \quad \bar{B}_r\left(p_0\right)=\left{v \in T{p_0} M|| v \mid \leq r\right} .$$
Then $B:=\left{v \in T_{p_0} M|| v \mid \leq r\right.$, $\left.\exp {p_0}(v) \in K\right}$ is a closed and bounded subset of the Euclidean space $T{p_0} M$. Hence $B$ is compact and $K=\exp {p_0}(B)$. Since the exponential map $\exp {p_0}: T_{p_0} M \rightarrow M$ is continuous it follows that $K$ is compact. This shows that (ii) implies (iii).

## 数学代写|微分几何代写DIFFERENTIAL GEOMETRY代写|Proof of the Hopf–Rinow Theorem

The proof of Theorem 4.6.6 relies on the next two lemmas.
Lemma 4.6.7 Let $M \subset \mathbb{R}^n$ be a connected m-manifold and $p \in M$. Suppose $\varepsilon>0$ is smaller than the injectivity radius of $M$ at $p$ and denote
$$\Sigma_1(p):=\left{v \in T_p M|| v \mid=1\right}, \quad S_{\varepsilon}(p):=\left{p^{\prime} \in M \mid d\left(p, p^{\prime}\right)=\varepsilon\right}$$
Then the map $\Sigma_1(p) \rightarrow S_{\varepsilon}(p): v \mapsto \exp p(\varepsilon v)$ is a diffeomorphism and, for all $q \in M$, we have $$d(p, q)>\varepsilon \quad \Longrightarrow \quad d\left(S{\varepsilon}(p), q\right)=d(p, q)-\varepsilon$$
Proof By Theorem 4.4.4, we have
$$d\left(p, \exp _p(v)\right)=|v| \quad \text { for all } v \in T_p M \text { with }|v| \leq \varepsilon$$
and
$$d\left(p, p^{\prime}\right)>\varepsilon \quad \text { for all } p^{\prime} \in M \backslash\left{\exp _p(v)\left|v \in T_p M,\right| v \mid \leq \varepsilon\right}$$

This shows that $S_{\varepsilon}(p)=\exp p\left(\varepsilon \Sigma_1(p)\right)$ and, since $\varepsilon$ is smaller than the injectivity radius, the map $$\Sigma_1(p) \rightarrow S{\varepsilon}(p): v \mapsto \exp _p(\varepsilon v)$$
is a diffeomorphism.
To prove the second assertion, let $q \in M$ such that
$$r:=d(p, q)>\varepsilon$$

## 数学代写|微分几何代写DIFFERENTIAL GEOMETRY代写|Global Existence of Minimal Geodesics

$$\gamma(0)=p, \quad \gamma(1)=q, \quad L(\gamma)=d(p, q)$$

$\backslash$ left 缺少或无法识别的分隔符

## 数学代写|微分几何代写DIFFERENTIAL GEOMETRY代写|Proof of the Hopf–Rinow Theorem

$\backslash 1$ eft 缺少或无法识别的分隔符

$$d(p, q)>\varepsilon \quad \Longrightarrow \quad d(S \varepsilon(p), q)=d(p, q)-\varepsilon$$

$$d\left(p, \exp p(v)\right)=|v| \quad \text { for all } v \in T_p M \text { with }|v| \leq \varepsilon$$ 和 \1eft 缺少或无法识别的分隔符 这表明 $S{\varepsilon}(p)=\exp p\left(\varepsilon \Sigma_1(p)\right)$ 并且，因为 $\varepsilon$ 小于注入半径，映射
$$\Sigma_1(p) \rightarrow S \varepsilon(p): v \mapsto \exp _p(\varepsilon v)$$

$$r:=d(p, q)>\varepsilon$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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## 数学代写|微分几何代写DIFFERENTIAL GEOMETRY代写|MATH4250 Examples and Exercises

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## 数学代写|微分几何代写DIFFERENTIAL GEOMETRY代写|Examples and Exercises

How large can the constant $\varepsilon$ in Corollary 4.4.6 be chosen in the case $M=S^{2}$ ? Compare this with the injectivity radius.

Remark 4.4.8 We conclude from Theorem 4.4.4 that
$$S_{r}(p):={q \in M \mid d(p, q)=r}=\exp {p}\left(\left{v \in T{p} M|| v \mid=r\right}\right)$$
for $0<r<\operatorname{inj}(p ; M)$. The Gauß Lemma $4.4 .5$ shows that the geodesic rays $[0,1] \rightarrow M: s \mapsto \exp {p}(s v)$ emanating from $p$ are the orthogonal trajectories to the concentric spheres $S{r}(p)$.
Let
$$M \subset \mathbb{R}^{3}$$
be of dimension two and suppose that $M$ is invariant under the (orthogonal) reflection about some plane $E \subset \mathbb{R}^{3}$. Show that $E$ intersects $M$ in a geodesic. (Hint: Otherwise there would be points $p, q \in M$ very close to one another joined by two distinct minimal geodesics.) Conclude for example that the coordinate planes intersect the ellipsoid $(x / a)^{2}+(y / b)^{2}+(z / c)^{2}=1$ in geodesics.

## 数学代写|微分几何代写DIFFERENTIAL GEOMETRY代写|Convex Neighborhoods

A subset of an affine space is called convex iff it contains the line segment joining any two of its points. The definition carries over to a submanifold $M$ of Euclidean space (or indeed more generally to any manifold $M$ equipped with a spray) once we reword the definition so as to confront the difficulty that a geodesic joining two points might not exist nor, if it does, need it be unique.

Definition 4.5.1 (Geodesically convex set) Let $M \subset \mathbb{R}^{n}$ be a smooth $m$ dimensional manifold. A subset $U \subset M$ is called geodesically convex iff, for all $p_{0}, p_{1} \in U$, there exists a unique geodesic $\gamma:[0,1] \rightarrow U$ such that $\gamma(0)=p_{0}$ and $\gamma(1)=p_{1}$

It is not precluded in Definition 4.5.1 that there be other geodesics from $p$ to $q$ which leave and then re-enter $U$, and these may even be shorter than the geodesic in $U$.

(a) Find a geodesically convex set $U$ in a manifold $M$ and points $p_{0}, p_{1} \in U$ such that the unique geodesic $\gamma:[0,1] \rightarrow U$ with $\gamma(0)=p_{0}$ and $\gamma(1)=p_{1}$ has length $L(\gamma)>d\left(p_{0}, p_{1}\right)$. Hint: An interval of length bigger than $\pi$ in $S^{1}$.
(b) Find a set $U$ in a manifold $M$ such that any two points in $U$ can be joined by a minimal geodesic in $U$, but $U$ is not geodesically convex. Hint: A closed hemisphere in $S^{2}$.

## 数学代写|微分几何代写DIFFERENTIAL GEOMETRY代写|Examples and Exercises

$\backslash$ left 的分隔符缺失或无法识别

$$M \subset \mathbb{R}^{3}$$

## 数学代写|微分几何代写DIFFERENTIAL GEOMETRY代写|Convex Neighborhoods

(a) 求测地凸集 $U$ 在一个歧管 $M$ 和点 $p_{0}, p_{1} \in U$ 这样独特的测地线 $\gamma:[0,1] \rightarrow U$ 和 $\gamma(0)=p_{0}$ 和 $\gamma(1)=p_{1}$ 有长度 $L(\gamma)>d\left(p_{0}, p_{1}\right)$. 提示：长度大于的区间 $\pi$ 在 $S^{1}$.
(b) 找到一个集合 $U$ 在一个歧管 $M$ 使得任意两点 $U$ 可以通过最小测地线连接 $U$ ，但 $U$ 不是测地线凸 的。提示: 一个封闭的半球 $S^{2}$.

## MATLAB代写

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## 数学代写|微分几何代写DIFFERENTIAL GEOMETRY代写|MATH464 Minimal Geodesics

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## 数学代写|微分几何代写DIFFERENTIAL GEOMETRY代写|Characterization of Minimal Geodesics

Lemma 4.4.1 Let $I=[a, b]$ be a compact interval, let $\gamma: I \rightarrow M$ be a smooth curve, and define $p:=\gamma(a)$ and $q:=\gamma(b)$. Then the following are equivalent.
(i) $\gamma$ is parametrized proportional to the arclength, i.e. $|\dot{\gamma}(t)|=c$ is constant, and $\gamma$ minimizes the length, i.e. $L(\gamma) \leq L\left(\gamma^{\prime}\right)$ for every smooth curve $\gamma^{\prime}$ in $M$ joining $p$ and $q$.
(ii) $\gamma$ minimizes the energy, i.e. $E(\gamma) \leq E\left(\gamma^{\prime}\right)$ for every smooth curve $\gamma^{\prime}$ in $M$ joining $p$ and $q$.

(Minimal geodesic) A smooth curve $\gamma: I \rightarrow M$ on a compact interval $I \subset \mathbb{R}$ is called a minimal geodesic iff it satisfies the equivalent conditions of Lemma 4.4.1.
Remark 4.4.3
(i) Condition (i) says that (the velocity $|\dot{\gamma}|$ is constant and) $L(\gamma)=d(p, q)$, i.e. that $\gamma$ is a shortest curve from $p$ to $q$. It is not precluded that there be more than one such $\gamma$; consider for example the case where $M$ is a sphere and $p$ and $q$ are antipodal.
(ii) Condition (ii) implies that
$$\left.\frac{d}{d s}\right|{s=0} E\left(\gamma{s}\right)=0$$
for every smooth variation $\mathbb{R} \times I \rightarrow M: s \mapsto \gamma_{s}(t)$ of $\gamma$ with fixed endpoints. Hence a minimal geodesic is a geodesic.
(iii) Finally, we remark that $L(\gamma)$ (but not $E(\gamma))$ is independent of the parametrization of $\gamma$. Hence, if $\gamma$ is a minimal geodesic, then $L(\gamma) \leq L\left(\gamma^{\prime}\right)$ for every $\gamma^{\prime}$ (from $p$ to $q$ ) whereas $E(\gamma) \leq E\left(\gamma^{\prime}\right)$ for those $\gamma^{\prime}$ defined on (an interval the same length as) $I$.

Proof of Lemma 4.4.1 We prove that (i) implies (ii). Let $c$ be the (constant) value of $|\dot{\gamma}(t)|$. Then
$$L(\gamma)=(b-a) c, \quad E(\gamma)=\frac{(b-a) c^{2}}{2}$$

## 数学代写|微分几何代写DIFFERENTIAL GEOMETRY代写|Local Existence of Minimal Geodesics

Theorem 4.4.4 (Existence of minimal geodesics) Let $M \subset \mathbb{R}^{n}$ be a smooth $m$ manifold, fix a point $p \in M$, and let $r>0$ be smaller than the injectivity radius of $M$ at $p$. Let $v \in T_{p} M$ such that $|v|<r$. Then
$$d(p, q)=|v|, \quad q:=\exp {p}(v),$$ and a curve $\gamma \in \Omega{p, q}$ has minimal length $L(\gamma)=|v|$ if and only if there is a smooth $\operatorname{map} \beta:[0,1] \rightarrow[0,1]$ satisfying
$$\beta(0)=0, \quad \beta(1)=1, \quad \dot{\beta} \geq 0$$
such that $\gamma(t)=\exp _{p}(\beta(t) v)$ for $0 \leq t \leq 1$
The proof is based on the following lemma.

## 数学代写|微分几何代写DIFFERENTIAL GEOMETRY代 写|Characterization of Minimal Geodesics

(一世) $\gamma$ 参数化与弧长成比例，即 $|\dot{\gamma}(t)|=c$ 是恒定的，并且 $\gamma$ 最小化长度，即 $L(\gamma) \leq L\left(\gamma^{\prime}\right)$ 对于每条平滑曲线 $\gamma^{\prime}$ 在 $M$ 加入 $p$ 和 $q$.
(二) $\gamma$ 最小化能量，即 $E(\gamma) \leq E\left(\gamma^{\prime}\right)$ 对于每条平滑曲线 $\gamma^{\prime}$ 在 $M$ 加入 $p$ 和 $q$.
(最小测地线) 平滑曲线 $\gamma: I \rightarrow M$ 在一个䋯凑的区间 $I \subset \mathbb{R}$ 称为最小测地线当且仅当它 满足引理 $4.4 .1$ 的等效条件。

(i) 条件 (i) 表示 (速度 $|\dot{\gamma}|$ 是恒定的并且) $L(\gamma)=d(p, q)$, 即 $\gamma$ 是一条最短的曲线 $p$ 至 $q$. 不排 除有不止一种这样的 $\gamma$, 例如考虑以下情况 $M$ 是一个球体并且 $p$ 和 $q$ 是对映的。
(ii) 条件 (ii) 意味着
\$\$
Veft.|frac{d ${\mathrm{ds}}$ |right ${s=0}$ E|left $($ lgamma ${s} \mid$ right $)=0$
$\$ \$$对于每个平滑变化 \mathbb{R} \times I \rightarrow M: s \mapsto \gamma_{s}(t) 的 \gamma 具有固定端点。因此，最小测地线是测地 线。 (iii) 最后，我们注意到 L(\gamma) (但不是 E(\gamma) )是独立的参数化 \gamma. 因此，如果 \gamma 是最小测地线， 则 L(\gamma) \leq L\left(\gamma^{\prime}\right) 对于每个 \gamma^{\prime}\left(\right. 从 p 至 q ) 然而 E(\gamma) \leq E\left(\gamma^{\prime}\right) 对于那些 \gamma^{\prime} 定义在（与长度相 同的间隔) I. 引理 4.4 .1 的证明 我们证明 (i) 䡞含 (ii)。让 c 是 (常数) 值 |\dot{\gamma}(t)|. 然后$$
$$## 数学代写|微分几何代写DIFFERENTIAL GEOMETRY代 写|Local Existence of Minimal Geodesics 定理 4.4.4 (最小测地线的存在) 让 M \subset \mathbb{R}^{n} 做一个光滑的 m 多方面的，固定一个点 p \in M ，然后让 r>0 小于注入半径 M 在 p. 让 v \in T_{p} M 这样 |v|<r. 然后$$
$$和一条曲线 \gamma \in \Omega p, q 有最小长度 L(\gamma)=|v| 当且仅当有一个平滑的map \beta:[0,1] \rightarrow[0,1] 令人满意的$$
$$这样 \gamma(t)=\exp _{p}(\beta(t) v) 为了 0 \leq t \leq 1 证明基于以下引理。 数学代写|微分几何代写Differential geometry代写 请认准UprivateTA™. UprivateTA™为您的留学生涯保驾护航。 ## 微观经济学代写 微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。 ## 线性代数代写 线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。 ## 博弈论代写 现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。 ## 微积分代写 微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。 它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。 ## 计量经济学代写 什么是计量经济学？ 计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。 根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。 ## MATLAB代写 MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。 Posted on Categories:Differential Geometry, 微分几何, 数学代写 ## 数学代写|微分几何代写DIFFERENTIAL GEOMETRY代写|MATH4351 Examples and Exercises 如果你也在 怎样代写微分几何Differential geometry MATH4351这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。微分几何Differential geometry作为一门学科的历史和发展，至少可以追溯到古代的古典。它与几何学、空间和形状的概念以及拓扑学，特别是流形的研究的发展有着密切的联系。在本节中，我们主要关注无限小方法在几何学中的应用历史，以及后来的切线空间思想，并最终在张量和张量场方面发展出该学科的现代形式主义。 微分几何Differential geometry在整个数学和自然科学领域都有应用。最突出的是，爱因斯坦在他的广义相对论中使用了微分几何的语言，随后物理学家在发展量子场理论和粒子物理学的标准模型时也使用了这种语言。在物理学之外，微分几何在化学、经济学、工程、控制理论、计算机图形和计算机视觉以及最近的机器学习中也有应用。 avatest.org™微分几何Differential geometry代写，免费提交作业要求， 满意后付款，成绩80\%以下全额退款，安全省心无顾虑。专业硕 博写手团队，所有订单可靠准时，保证 100% 原创。avatest.org™， 最高质量的微分几何Differential geometry作业代写，服务覆盖北美、欧洲、澳洲等 国家。 在代写价格方面，考虑到同学们的经济条件，在保障代写质量的前提下，我们为客户提供最合理的价格。 由于统计Statistics作业种类很多，同时其中的大部分作业在字数上都没有具体要求，因此微分几何Differential geometry作业代写的价格不固定。通常在经济学专家查看完作业要求之后会给出报价。作业难度和截止日期对价格也有很大的影响。 想知道您作业确定的价格吗? 免费下单以相关学科的专家能了解具体的要求之后在1-3个小时就提出价格。专家的 报价比上列的价格能便宜好几倍。 avatest.org™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在微分几何Differential geometry代写方面经验极为丰富，各种微分几何Differential geometry相关的作业也就用不着 说。 我们提供的微分几何Differential geometry MATH4351及其相关学科的代写，服务范围广, 其中包括但不限于: ## 数学代写|微分几何代写DIFFERENTIAL GEOMETRY代写|Examples and Exercises The exponential map on \mathbb{R}^{m} is given by$$
\exp {p}(v)=p+v \quad \text { for } p, v \in \mathbb{R}^{m} $$For every p \in \mathbb{R}^{m} this map is a diffeomorphism from T{p} \mathbb{R}^{m}=\mathbb{R}^{m} to \mathbb{R}^{m} and hence the injectivity radius of \mathbb{R}^{m} is infinity. The exponential map on S^{m} is given by$$
\exp {p}(v)=\cos (|v|) p+\frac{\sin (|v|)}{|v|} v $$for every p \in S^{m} and every nonzero tangent vector v \in T{p} S^{m}=p^{\perp}. The restriction of this map to the open ball of radius r in T_{p} M is a diffeomorphism onto its image if and only if r \leq \pi. Hence the injectivity radius of S^{m} at every point is \pi. Exercise: Given p \in S^{m} and 0 \neq v \in T_{p} S^{m}=p^{\perp}, prove that the geodesic \gamma: \mathbb{R} \rightarrow S^{m} with \gamma(0)=p and \dot{\gamma}(0)=v is given by$$
\gamma(t)=\cos (t|v|) p+\frac{\sin (t|v|)}{|v|} v
$$for t \in \mathbb{R}. Show that in the case 0 \leq|v| \leq \pi there is no shorter curve in S^{m} connecting p and q:=\gamma(1) and deduce that the intrinsic distance on S^{m} is given by$$
d(p, q)=\cos ^{-1}(\langle p, q\rangle)
$$for p, q \in S^{m} (see Example 4.2 .5 for m=2 ). ## 数学代写|微分几何代写DIFFERENTIAL GEOMETRY代写|Geodesics in Local Coordinates Let M \subset \mathbb{R}^{n} be an m-dimensional manifold and choose a coordinate chart \phi: U \rightarrow \Omega with inverse$$
\psi:=\phi^{-1}: \Omega \rightarrow U
$$Let \Gamma_{i j}^{k}: \Omega \rightarrow \mathbb{R} be the Christoffel symbols defined by (3.6.6) and let c: I \rightarrow \Omega be a smooth curve. Then the curve$$
\gamma:=\psi \circ c: I \rightarrow M
$$is a geodesic if and only if c satisfies the 2 n d order differential equation$$
\ddot{c}^{k}+\sum_{i, j=1}^{m} \Gamma_{i j}^{k}(c) \dot{c}^{i} \dot{c}^{j}=0
$$for k=1, \ldots, m. Proof This follows immediately from the definition of geodesics and equation (3.6.7) in Lemma 3.6.1 with X=\dot{\gamma} and \xi=\dot{c}. We remark that Lemma 4.3.14 gives rise to another proof of Lemma 4.3.4 that is based on the existence and uniqueness of solutions of second order differential equations in local coordinates. ## 微分几何代写 ## 数学代写|微分几何代写DIFFERENTIAL GEOMETRY代 写|Examples and Exercises 上的指数地图 \mathbb{R}^{m} 是 (谁) 给的$$
\exp p(v)=p+v \quad \text { for } p, v \in \mathbb{R}^{m}
$$对于每一个 p \in \mathbb{R}^{m} 这张地图是一个微分同胚 T p \mathbb{R}^{m}=\mathbb{R}^{m} 至 \mathbb{R}^{m} 因此注入半径 \mathbb{R}^{m} 是无穷 上的指数地图 S^{m} 是 (谁) 给的$$
\exp p(v)=\cos (|v|) p+\frac{\sin (|v|)}{|v|} v
$$对于每个 p \in S^{m} 和每个非零切向量 v \in T p S^{m}=p^{\perp}. 这张地图对半径开放球的限制 r 在 T_{p} M 是其图像上的微分同胚当且仅当 r \leq \pi. 因此注入半径为 S^{m} 在每一点都是 \pi. 绦习: 给定 p \in S^{m} 和 0 \neq v \in T_{p} S^{m}=p^{\perp} ，证明测地线 \gamma: \mathbb{R} \rightarrow S^{m} 和 \gamma(0)=p 和 \dot{\gamma}(0)=v 是（谁）给的$$
\gamma(t)=\cos (t|v|) p+\frac{\sin (t|v|)}{|v|} v
$$内在距离 S^{m} 是 (谁) 给的$$
d(p, q)=\cos ^{-1}(\langle p, q\rangle)
$$为了 p, q \in S^{m} (见示例 4.2 .5 为了 m=2 ). ## 数学代写|微分几何代写DIFFERENTIAL GEOMETRY代 写|Geodesics in Local Coordinates 让 M \subset \mathbb{R}^{n} 是一个 \mathrm{m} 维㳘开并选择一个丛标图 \phi: U \rightarrow \Omega 与逆$$
\psi:=\phi^{-1}: \Omega \rightarrow U
$$让 \Gamma_{i j}^{k}: \Omega \rightarrow \mathbb{R} 是由 (3.6.6) 定义的 Christoffel 符昊并让 c: I \rightarrow \Omega 成为一条平滑的曲线。 然后是曲线$$
\gamma:=\psi \circ c: I \rightarrow M
$$是测地线当且仅当 c 满足 2 n d 阶微分方程$$
\ddot{c}^{k}+\sum_{i, j=1}^{m} \Gamma_{i j}^{k}(c) \dot{c}^{i} \dot{c}^{j}=0


## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。