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## 统计代写|抽样理论代考Sampling Theory代写|Raj’s Estimator and its Variance

Let us now consider the following ordered estimators for the total $Y$ based on the ordered sample $s_o=\left(i_1, \ldots, i_n\right)$.
$$t(1)=\frac{\gamma_{i_1}}{p_{i_1}}, t(2)=\gamma_{i_1}+\frac{y_{i_2}}{p_{i_2}}\left(1-p_{i_1}\right)$$

and in general
$$t(r)=y_{i_1}+\cdots+y_{i_{r-1}}+\frac{y_{i_r}}{p_{i_r}}\left(1-p_{i_1}-\cdots-p_{i_{r-1}}\right) \text { for } r=2, \ldots, n$$
The properties of ordered estimators are stated in the following theorem.
Theorem 5.3.1
(i) $E[t(r)]=Y$
(ii) $\operatorname{Var}[t(r)] \leq \operatorname{Var}[t(r-1)]$ for $r=2, \ldots, n$
(iii) $\operatorname{Cov}[t(r), t(k)]=0$ for $r \neq k$

## 统计代写|抽样理论代考Sampling Theory代写|Rao-Blackwellization

It should be noted that Raj’s (1956) estimator $\widehat{Y}{R A}$ is an ordered estimator because it depends on the order of selection of units in the ordered sample. Raj’s estimator based on the ordered sample $s_o=(i, j)$ is $\widehat{Y}{R A}\left(s_o\right)=\frac{1}{2}\left[\frac{y_i}{p_i}\left(1+p_i\right)+\frac{y_j}{p_j}\left(1-p_i\right)\right]$, which is quite different from Raj’s estimator $\widehat{Y}_{R A}\left(s_o^\right)=\frac{1}{2}\left[\frac{y_j}{p_j}\left(1+p_j\right)+\frac{y_i}{p_i}\left(1-p_j\right)\right]$, which is based on the ordered sample $s_o^=(j, i)$. Murthy (1957) improved Raj’s estimator by using Rao-Blackwellization as follows.

Murthy (1957) symmetrized Raj’s estimator by taking the weighted average of Raj’s estimators using weights proportional to the probability of selection of the ordered samples. So, Murthy’s estimator derived from the ordered samples $s_o=(i, j)$ or $s_o^=(j, i)$ is given by \begin{aligned} \widehat{Y}M & =\frac{\widehat{Y}{R A}\left(s_o\right) p\left(s_o\right)+\widehat{Y}_{R A}\left(s_o^\right) p\left(s_o^\right)}{p\left(s_o\right)+p\left(s_o^\right)} \ & =\frac{\frac{y_i}{p_i}\left(1-p_j\right)+\frac{y_j}{p_j}\left(1-p_i\right)}{\left(2-p_i-p_j\right)} \end{aligned}

# 抽样理论代写

## 统计代写|抽样理论代考代写|Raj的估计器及其方差

$$s_o=\left(i_1, \ldots, i_n\right) \text {. }$$
$$t(1)=\frac{\gamma_{i_1}}{p_{i_1}}, t(2)=\gamma_{i_1}+\frac{y_{i_2}}{p_{i_2}}\left(1-p_{i_1}\right)$$

$$t(r)=y_{i_1}+\cdots+y_{i_{r-1}}+\frac{y_{i_r}}{p_{i_r}}\left(1-p_{i_1}-cdots-p_{i_{r-1}}\right) { for } r=2, \ldots, n$$

(i) $E[t(r)]=Y$
(ii) $operatorname{Var}[t(r)] \leq operatorname{Var}[t(r-1)]$ 对于 $r=2, \ldots, n$
(iii) $operatorname{Cov}[t(r), t(k)]=0$ for $r\neq k$

## 统计代写|抽样理论代考|Rao-Blackwellization

$widehat{Y} R A\left(s_o\right)=\frac{1}{2}\left[\frac{y_i}{p_i}\left(1+p_i\right)+\frac{y_j}{p_j}\left(1-p_i\right)\right]$，这与Raj的估计器完全不同
Missing \left或extra \right，后者是基于有序样本$s_o^{=}(j, i)$。Murthy（1957）通过使用Rao-Blackwellization改进了Raj的估计器，具体如下。

Murthy（1957）通过使用与有序样本的选择概率成比例的权重，对Raj的估计器进行了对称化，取其加权平均。因此，Murthy从有序样本$s_o=(i, j)$或$s_o^{=}(j, i)$得出的估计器为
Missing lleft or extra right }

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## MATLAB代写

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## 统计代写|抽样理论代考Sampling Theory代写|Random Arrangements of Units

Systematic sampling can be treated as SRSWOR sampling if the arrangement of the units in the population is random. So, treating the selected systematic sample $s$ as an SRSWOR sample of size $n$, the variance of the systematic sample mean $V_{s Y}$ can be estimated as
where $f=n / N$ and $s_\gamma^2=\sum_{i \in s}\left{y_i-\bar{\gamma}(s)\right}^2 /(n-1)$.
The estimator $\widehat{v}_1$ performs well if the arrangement of the units is random, i.e., if no trend or periodicity in the arrangements of the units persists. However, if the arrangement of the units is such that the systematic sampling is more efficient than SRSWOR sampling, then $\widehat{v}_1$ certainly overestimates the variance. On the other hand, $\widehat{v}_1$ underestimates the variance if in reality systematic sampling is less efficient than SRSWOR.

Stratified Sampling With One Unit Per Stratum

Systematic sampling stratifies the population into $k$ strata each of size $n$. Let $n$ be even and equal to $2 q$. Now consider the units $(r, r+k)$ as a stratified sample of size 2 selected by the SRSWOR method from a stratum comprising the first $2 k$ units viz. $1, \ldots, 2 k ;(r+2 k, r+3 k)$ as a stratified sample of size 2 from a stratum comprising the next $2 k$ viz. $2 k+1, \ldots, 4 k$; in general, units ${r+2(j-1) k, r+(2 j-1) k}$ as a stratified sample of size 2 from the $j$ th stratum comprising units $2(j-1) k+1, \ldots, 2 j k ; j=1, \ldots, q$. An approximate estimate of $V_{s Y}$ is obtained as
$$\widehat{v}2=\frac{(1-f)}{n^2} \sum{j=1}^{n / 2} \delta_j^2$$
where $\delta_j=y_{r+(2 j-1) k}-y_{r+2(j-1) k}$.

## 统计代写|抽样理论代考Sampling Theory代写|Presence of Linear Trend

Let us construct the following difference table from the selected systematic sample $s_r$ :

The variance of the systematic sample mean $V_{s Y}$ is estimated by using the following formulae:
$$\widehat{v}3=\frac{(1-f)}{n} \frac{1}{2(n-1)} \sum{j=1}^{n-1}{\Delta(j)}^2$$
and
$$\widehat{v}4=\frac{(1-f)}{n} \frac{1}{6(n-2)} \sum{j=1}^{n-2}\left{\Delta^2(j)\right}^2$$
The estimators $\widehat{v}_3$ and $\widehat{v}_4$ perform well if the ordering of units produces a linear trend. Otherwise, they underestimate variance. Several variance estimators based on higher-order differences are also proposed, e.g., Yates (1949).

Cochran (1946) provided an alternative variance estimator involving $\widehat{\rho}k$ as an estimate of $\rho_k$, intraclass correlation of order $k(=N / n)$. Cochran’s variance estimator is given by where $\widehat{\boldsymbol{\rho}}_k=\left[\frac{1}{(n-1)} \sum{j=0}^{n-2}\left{y_{r+(j+1) k}-\bar{y}(s)\right}\left{y_{r+j k}-\bar{y}(s)\right}\right] / s_y^2$.
The proposed variance estimators mentioned earlier are based on underlying certain superpopulation model. The variance estimators may not perform well if the underlying model fails. Wolter (1984) studied in detail the properties of bias, mean-square error, and confidence interval estimation theoretically and empirically.

# 抽样理论代写

## 统计代写|抽样理论代考代写|单位的随机安排

$$\hat{v} 2=frac{(1-f)}{n^2}。\sum j=1^{n / 2} δj^2$$ 其中$delta_j=y{r+(2 j-1) k}-y_{r+2(j-1) k}$。

## 统计代写|抽样理论代考代写|线性趋势的存在

$$\hat{v} 3=frac{(1-f)}{n}。\夫拉克{1}{2(n-1)} 总和 j=1^{n-1}\Delta(j)^2$$

Missing or unrecognized delimiter for \left }

Cochran(1946)提供了一个替代的方差估计器，涉及$hat{\rho} k$作为$rho_{k text { r }}$阶$k(=N / n)$的类内相关的估计。Cochran的方差估计器是由其中Missing or unrecognized delimiter for \left给出的。

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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## 统计代写|抽样理论代考Sampling Theory代写|Given Margin of Permissible Error

Here, sample size is determined by assigning the probability to a certain level, $(1-\alpha)$ (say) for the maximum permissible error (difference between the estimated and the true value of the parameter) to a certain value $d$. For instance, let $d$ be the permissible error, maximum acceptable difference between the estimator $t$, and the population mean $\bar{Y}$. The sample size is determined from the relation
$$\operatorname{Prob}{|t-\bar{Y}| \leq d}=1-\alpha$$
The above equation is equivalent to
$$\operatorname{Prob}\left{\frac{|t-\bar{Y}|}{\sqrt{V(t)}} \leq \frac{d}{\sqrt{V(t)}}\right}=1-\alpha$$
Assuming the sample size to be so large, enabling $z=\frac{|t-\bar{Y}|}{\sqrt{V(t)}}$ distributed $N(0,1)$, one can determine the value of $n$ using the relation
$$\frac{d}{\sqrt{V(t)}}=z_{\alpha / 2}$$
For an SRSWOR design with $t=\bar{\gamma}(s)$, Eq. (3.5.1) yields
$$n=\left[\frac{1}{N}+\left(\frac{d}{S_\gamma z_{\alpha / 2}}\right)^2\right]^{-1}=\left[\frac{1}{N}+\frac{N-1}{N}\left(\frac{k}{C_\gamma z_{\alpha / 2}}\right)^2\right]^{-1}$$
where $k=d / \bar{Y}$
For an SRSWR design with $t=\bar{\gamma}\left(s_o\right)$, Eq. (3.5.1) yields
$$n=\left(\frac{\sigma_\gamma z_{\alpha / 2}}{d}\right)^2=\left(\frac{C_\gamma z_{\alpha / 2}}{k}\right)^2$$

## 统计代写|抽样理论代考Sampling Theory代写|Use of Chebyshev Inequality

Here we determine sample size by keeping permissible error to a certain level with probability exceeding a certain preassigned value $(1-\alpha)$. Let $t$ be an unbiased estimator for $\bar{Y}$. Using the Chebyshev Inequality, we have
$$\operatorname{Prob}[|t-\bar{Y}| \leq d] \geq 1-\frac{V(t)}{d^2}$$
The sample size $n$ is determined from the relation $1-\frac{V(t)}{d^2}=1-\alpha$ which is equivalent to
$$\frac{V(t)}{d^2}=\alpha$$

For an SRSWOR design with $t=\bar{\gamma}(s)$, Eq. (3.5.5) yields
\begin{aligned} n & =\left[\frac{1}{N}+\alpha \frac{N-1}{N}\left(\frac{d}{\sigma_\gamma}\right)^2\right]^{-1} \ & =N\left[1+\gamma^2 \alpha(N-1)\right]^{-1} \end{aligned}
where $d=\gamma \sigma_\gamma$
For an SRSWR design with $t=\bar{\gamma}\left(s_o\right)$, Eq. (3.5.6) yields
$$n=\frac{\sigma_\gamma^2}{\alpha d^2}=\frac{1}{\alpha \gamma^2}$$
Substituting $\alpha=0.05$ and $\gamma=1$ in (3.5.8), we get $n=20$, i.e., selection of $n=20$ ensures
$$\operatorname{Prob}\left[\left|\bar{y}\left(s_0\right)-\bar{Y}\right| \leq \sigma_\gamma\right] \geq 0.95$$

# 抽样理论代写

## 统计代写|抽样理论代考代写|给定的容许误差幅度

$$\ooperatorname{Prob}|t-\bar{Y}| \leq d=1-alpha$$

Missing or unrecognized delimiter for \left }

$$\frac{d}{sqrt{V(t)}=z_{alpha / 2}。$$

$$n=\left[\frac{1}{N}+\left(\frac{d}{S_\gamma z_{alpha / 2}}\right)^2\right]^{-1}=\left[\frac{1}{N}+\frac{N-1}{N}\left(\frac{k}{C_\gamma z_{alpha / 2}}}\right]^{-1}.$$

$$n==left(\frac{sigma_\gamma z_{alpha / 2}}{d}\right)^2=\left(\frac{C_\gamma z_{alpha / 2}}{k}\right)^2$$

## 统计代写|抽样理论代考代写|切比雪夫不等式的应用

$$\ooperatorname{Prob}[|t-\bar{Y}| \leq d] \geq 1-frac{V(t)}{d^2}。$$

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## MATLAB代写

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## 统计代写|抽样理论代考Sampling Theory代写|INTRODUCTION

Various government organizations, researchers, sociologist, and businesses often conduct surveys to get answers to certain specific questions, which cannot be obtained merely through laboratory experiments or simply using economic, mathematical, or statistical formulation. For example, the knowledge of the proportion of unemployed people, those below poverty line, and the extent of child labor in a certain locality is very important for the formulation of a proper economic planning. To get the answers to such questions, we conduct surveys on sections of people of the locality very often. Surveys should be conducted in such a way that the results of the surveys can be interpreted objectively in terms of probability. Drawing inference about aggregate (population) on the basis of a sample, a part of the populations, is a natural instinct of human beings. Surveys should be conducted in such a way that the inference relating to the population should have some valid statistical background. To achieve valid statistical inferences, one needs to select samples using some suitable sampling procedure. The collected data should be analyzed appropriately. In this book, we have discussed various methods of sample selection procedures, data collection, and methods of data analysis and their applications under various circumstances. The statistical theories behind such procedures have also been studied in great detail.

In this chapter we introduce some of the basic definitions and terminologies in survey sampling such as population, unit, sample, sampling designs, and sampling schemes. Various methods of sample selection as well as Hanurav’s algorithm which gives the correspondence between a sampling design and a sampling scheme have also been discussed.

## 统计代写|抽样理论代考Sampling Theory代写|Population and Unit

A population is an aggregate or collection of elements or objects in a certain region at a particular point in time and is often a subject of study. Each element of the population is called a unit. Suppose we want to study the prevalence of HIV in the province of KwaZulu-Natal in 2016, the collection of all individuals, i.e., male or female and child or adult, residing in KwaZulu-Natal will be termed as population and each individual will be called a unit. Suppose we consider air pollution in a certain region. In this case, the air under consideration constitutes the population, but we cannot divide it into identifiable parts or elements. This type of population is called a continuous population.

# 抽样理论代写

.采样理论

## 统计代写|抽样理论代考采样理论代写|人口与单位

. . .统计代写|抽样理论代考

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。