Category: 抽象代数

如果你也在 怎样代写抽象代数Abstract Algebra 这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。抽象代数Abstract Algebra是代数的一组高级课题，涉及抽象代数结构而不是通常的数系。这些结构中最重要的是群、环和场。通用代数是一个相关的学科，它将代数结构的类型作为单一对象进行研究。例如，群的结构是普遍代数中的一个单一对象，它被称为群的变种。

抽象代数Abstract Algebra在代数（数学中一个已经很广泛的部门）中，抽象代数（偶尔也称为现代代数）是对代数结构的研究。代数结构包括群、环、场、模块、向量空间、网格和代数。抽象代数这个术语是在20世纪初创造的，目的是将这一研究领域与代数的旧部分区分开来，更具体地说，是与初等代数，即在计算和推理中使用变量来表示数字。

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数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|Basic properties of rings

Believe it or not, even with all we’ve accomplished, we still haven’t developed a theory to solve equations as simple as $\frac{1}{2} x+1=0$. That’s because the expression $\frac{1}{2} x+1$ isn’t just about multiplication or addition: it involves both operations. Group theory is all about the properties of sets with a single binary operation, so group theory won’t provide the means to solve this type of linear equation. That means we need to develop a new algebraic structure that comes with more than one operation.

Definition 12.1. Let $R$ be a set with two binary operations on $R$, called addition and denoted + , and multiplication and denoted $\cdot$ Then $\langle R,+, \cdot\rangle$ is a ring if and only if the following hold:
(1) $\langle R,+\rangle$ is an abelian group.
(2) $\langle R, \cdot\rangle$ is an associative binary structure.
(3) $a \cdot(b+c)=a \cdot b+a \cdot c$ and $(b+c) \cdot a=b \cdot a+c \cdot a$ for all $a, b, c \in R$ (the distributive laws).

Before we proceed with examples, some observations about this definition are in order. First, we do just write $a b$ to mean $a \cdot b$ as we did with groups under multiplication, and we simply say that $R$ is a ring without explicitly mentioning the two operations. Second, notice that multiplication in a ring is very, very unstructured. Multiplication is only closed and associative: there need not be a multiplicative identity, and even if there is, there need not be any multiplicative inverses, and just like groups, multiplication need not be commutative. In particular, that means that we should not expect to be able to solve equations involving multiplication, since we need inverses to be able to “undo” an operation. Third, a ring’s additive structure is really, really nice: an abelian group! Addition commutes, and in fact we can now talk about subtraction in a ring by defining $a-b=a+(-b)$. Because of that, we also introduce a notation for the additive identity element: we use the symbol $\mathbf{0}$ to denote the additive identity.

数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|Homomorphisms

Just as we did with groups, we need to develop a notion of maps between rings that preserve structure. Now that we have two operations to deal with, those maps need to preserve both structures.

Definition 12.18. Let $R$ and $R^{\prime}$ be rings and $\phi: R \rightarrow R^{\prime}$ be a function. Then $\phi$ is a (ring) homomorphism if $\phi(a+b)=\phi(a)+\phi(b)$ and $\phi(a b)=\phi(a) \phi(b)$ for all $a, b \in R$. A ring homomorphism $\phi$ is an isomorphism if and only if $\phi$ is also a bijection, and a ring automorphism is a ring isomorphism from a ring to itself. Two rings are isomorphic if and only if there is a ring isomorphism from one ring to the other.

Notice that since ring homomorphisms and isomorphisms are, in fact, group homomorphisms and group isomorphisms under addition, all of the results from group theory still apply to the additive structure of a ring. On the other hand, since the multiplicative structure of a ring isn’t a group structure, we don’t get all of the nice multiplicative properties we might hope for. However, if you have a ring isomorphism, then all of the algebraic properties like commutativity, unity, and inverses are preserved, as well as unity and inverses being mapped to unity and inverses. Yet even with ring homomorphisms, we do get a few nice properties similar to our results from groups.
Theorem 12.19. Let $\phi: R \rightarrow R^{\prime}$ be a ring homomorphism.
(1) $\phi\left(a^n\right)=\phi(a)^n$ for all $a \in R$ and $n \in \mathbb{Z}^{+}$.
(2) If $S$ is a subring of $R$, then $\phi(S)$ is a subring of $R^{\prime}$, and if $S$ is commutative, then $\phi(S)$ is also commutative.
(3) If $S^{\prime}$ is a subring of $R^{\prime}$, then $\phi^{-1}\left(S^{\prime}\right)$ is a subring of $R$.

抽象代数代写

数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|Basic properties of rings

信不信由你，即使我们取得了这么多成就，我们仍然没有发展出一种理论来解决$\frac{1}{2} x+1=0$这样简单的方程。这是因为表达式$\frac{1}{2} x+1$不只是关于乘法或加法:它涉及这两种操作。群论是关于具有单个二元操作的集合的性质，所以群论不会提供解决这类线性方程的方法。这意味着我们需要开发一种新的代数结构，它包含不止一种运算。

12.1.定义设$R$是一个集合，在$R$上有两个二进制运算，分别是加法运算，记为+，和乘法运算，记为$\cdot$，那么$\langle R,+, \cdot\rangle$是一个环，当且仅当以下条件成立:
(1) $\langle R,+\rangle$是一个阿贝尔群。
(2) $\langle R, \cdot\rangle$是一个结合二元结构。
(3)所有$a, b, c \in R$(分配律)为$a \cdot(b+c)=a \cdot b+a \cdot c$和$(b+c) \cdot a=b \cdot a+c \cdot a$。

在我们继续示例之前，有必要对这个定义进行一些观察。首先，我们只是写$a b$来表示$a \cdot b$，就像我们对乘法组所做的那样，我们只是说$R$是一个环，而没有明确提到这两个操作。其次，注意到环中的乘法是非常非结构化的。乘法只是封闭的和结合的:不需要有乘法的恒等式，即使有，也不需要有乘法的逆，就像群一样，乘法不需要交换。特别是，这意味着我们不应该期望能够解决涉及乘法的方程，因为我们需要逆才能“撤消”操作。第三，环的加性结构非常非常好:一个阿贝尔群!加法交换，实际上我们现在可以通过定义$a-b=a+(-b)$来讨论环中的减法。因此，我们还为可加单位元素引入了一种符号:我们使用符号$\mathbf{0}$来表示可加单位元素。

数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|Homomorphisms

就像我们对群体所做的那样，我们需要在环之间建立一种保持结构的地图概念。现在我们有两个操作要处理，这些映射需要保留这两个结构。

12.18.定义让 $R$ 和 $R^{\prime}$ 他响了铃， $\phi: R \rightarrow R^{\prime}$ 是一个函数。然后 $\phi$ 环是同态的吗 $\phi(a+b)=\phi(a)+\phi(b)$ 和 $\phi(a b)=\phi(a) \phi(b)$ 对所有人 $a, b \in R$． 一个环同态 $\phi$ 同构是否当且仅当 $\phi$ 也是一个双射，一个环自同构是一个环到它自己的环同构。两个环是同构的当且仅当从一个环到另一个环存在环同构。

注意，由于环同态和同构实际上是加法下的群同态和群同构，所以群论的所有结果仍然适用于环的加性结构。另一方面，由于环的乘法结构不是群结构，我们没有得到我们希望的所有好的乘法性质。然而，如果你有一个环同构，那么所有的代数性质，如交换性、单位和逆都被保留，以及单位和逆被映射到单位和逆。然而，即使使用环同态，我们也能得到一些与群的结果相似的很好的性质。
定理12.19。设$\phi: R \rightarrow R^{\prime}$为环同态。
(1)所有$a \in R$和$n \in \mathbb{Z}^{+}$为$\phi\left(a^n\right)=\phi(a)^n$。
(2)如果$S$是$R$的子带，则$\phi(S)$是$R^{\prime}$的子带;如果$S$是可交换的，则$\phi(S)$也是可交换的。
(3)如果$S^{\prime}$是$R^{\prime}$的子带，那么$\phi^{-1}\left(S^{\prime}\right)$就是$R$的子带。

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|Cayley’s theorem

What began as a simple example of permutations from geometry gave rise to an interesting concept: recognizing a given group as a subgroup of a symmetric group. Is that possible for all groups? Not only is it true, but the theorem that answers our question is a famous result in abstract algebra.

Lemma 10.14. Let $G$ be a group. For each $g \in G$, define $\lambda_g: G \rightarrow G$ by $\lambda_g(x)=g x$, and let $\Lambda=\left{\lambda_g \mid g \in G\right}$. Likewise, for each $g \in G$, define $\rho_g: G \rightarrow G$ by $\rho_g(x)=x g$, and let $P=\left{\rho_g \mid g \in G\right}$. Then both $\Lambda$ and $P$ are subgroups of $S_G$.

Theorem 10.15 (Cayley’s Theorem). Let $G$ be a group. Then $G$ is isomorphic to a subgroup of $S_G$. In particular, every finite group of order $n$ is isomorphic to a subgroup of $S_n$

Notice that what Cayley’s theorem says is that every group $G$, no matter how large, is a subgroup of the (rather large) symmetric group $S_G$. You might be able to find a subgroup isomorphic to $G$ in a “smaller” symmetric group, and there might be multiple subgroups of $S_G$ isomorphic to $G$. In fact, if you used the lemma in your proof of Cayley’s theorem, then you showed that there are, in fact, at least two ways to view $G$ as a subgroup of $S_G$ : as the subgroups $\Lambda$ and $P$ of $S_G$.

Exercise 10.16. Let’s apply Cayley’s theorem to some known groups. For each small group $G$ below, find a collection of permutations of the elements of $G$ that correspond to $\Lambda$ and to $P$ as given by Cayley’s theorem.
(1) $G=\mathbb{Z}_3$
(3) $G=\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$
(2) $G=\mathbb{Z}_4$
(4) $G=S_3$

数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|Orbits and cycles

Our ability to recognize the dihedral groups as subgroups of the symmetric groups suggests that we might be able to think of any permutation of a set $A$ as “moving” the elements of $A$ around. Let’s see if we can develop this idea by considering what repeated application of an individual permutation in $S_A$ does to an element of the set $A$.

Definition 11.1. Let $A$ be a set, let $a \in A$, and let $\sigma \in S_A$. Then the orbit of $a$ under $\sigma$ is the $\operatorname{set}\left{\sigma^n(a) \mid n \in \mathbb{Z}\right}$
Theorem 11.2. Let $A$ be a set, and let $\sigma \in S_A$. Then the relation $\sim$ on $A$ defined by $a \sim b$ if and only if $b$ is in the orbit of $a$ under $\sigma$
is an equivalence relation on $A$ whose equivalence classes are the orbits of the elements of A under $\sigma$.

Definition 11.3. Let $A$ be a set. A permutation of $A$ is a cycle if and only if the permutation has at most one orbit with more than one element, and the length of a cycle is the number of elements in its largest orbit. A cycle of length one is the trivial cycle, and a cycle of length two is a transposition. We say two nontrivial cycles are disjoint if their largest orbits are disjoint.

Exercise 11.4. List all the orbits of the given element of $S_6$. Which are cycles? Which are transpositions?
(1) $f(1)=5, f(2)=2, f(3)=1, f(4)=6, f(5)=3, f(6)=4$.
(2) $f(1)=2, f(2)=4, f(3)=1, f(4)=5, f(5)=6, f(6)=3$.
(3) $f(1)=1, f(2)=5, f(3)=3, f(4)=6, f(5)=2, f(6)=4$.
(4) $f(1)=4, f(2)=2, f(3)=3, f(4)=1, f(5)=5, f(6)=6$.

(5) $f(1)=3, f(2)=1, f(3)=6, f(4)=4, f(5)=5, f(6)=2$.
(6) $f(1)=1, f(2)=2, f(3)=3, f(4)=4, f(5)=5, f(6)=6$.

抽象代数代写

数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|Cayley’s theorem

从一个简单的几何排列例子开始，产生了一个有趣的概念:将给定群识别为对称群的子群。这对所有群体都可能吗?它不仅是正确的，而且回答我们问题的定理是抽象代数中一个著名的结果。

引理10.14。让$G$成为一个团体。对于每个$g \in G$，用$\lambda_g(x)=g x$定义$\lambda_g: G \rightarrow G$，并让$\Lambda=\left{\lambda_g \mid g \in G\right}$。同样，对于每个$g \in G$，用$\rho_g(x)=x g$定义$\rho_g: G \rightarrow G$，并让$P=\left{\rho_g \mid g \in G\right}$。那么$\Lambda$和$P$都是$S_G$的子组。

定理10.15(凯莱定理)。让$G$成为一个团体。那么$G$与$S_G$的子群是同构的。特别地，每个阶为$n$的有限群都同构于的子群 $S_n$

注意，凯利定理说的是，每个群$G$，无论多大，都是(相当大的)对称群$S_G$的子群。您可能能够在“较小的”对称组中找到与$G$同构的子组，并且可能有多个与$G$同构的$S_G$子组。事实上，如果你在凯利定理的证明中使用了这个引理，那么你就证明了，事实上，至少有两种方法可以把$G$看作$S_G$的子群:$S_G$的子群$\Lambda$和$P$。

练习10.16。让我们把凯莱定理应用到一些已知的群上。对于下面的每一个小组$G$，根据Cayley的定理，找到对应于$\Lambda$和$P$的$G$的元素排列的集合。
(1) $G=\mathbb{Z}_3$
(3) $G=\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$
(2) $G=\mathbb{Z}_4$
（4） $G=S_3$

数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|Orbits and cycles

我们将二面体群识别为对称群的子群的能力表明，我们可能能够将集合$A$的任何排列视为$A$的元素的“移动”。让我们看看是否可以通过考虑$S_A$中单个排列的重复应用对集合$A$中的一个元素的影响来发展这个想法。

11.1.定义设$A$为一组，设$a \in A$，设$\sigma \in S_A$。那么$\sigma$下面的$a$轨道就是$\operatorname{set}\left{\sigma^n(a) \mid n \in \mathbb{Z}\right}$
定理11.2。设$A$为一组，设$\sigma \in S_A$。那么$a \sim b$定义的$A$上的关系$\sim$当且仅当$b$在$\sigma$下的$a$的轨道上
是$A$上的等价关系，其等价类是$\sigma$下A元素的轨道。

11.3.定义设$A$为集合。$A$的排列是一个循环当且仅当该排列最多有一个包含多个元素的轨道，周期的长度是其最大轨道上的元素数。长度为1的循环是平凡循环，长度为2的循环是转置。我们说两个非平凡循环是不相交的如果它们最大的轨道是不相交的。

练习11.4。列出$S_6$中给定元素的所有轨道。哪些是周期?哪些是换位?
(1) $f(1)=5, f(2)=2, f(3)=1, f(4)=6, f(5)=3, f(6)=4$。
(2) $f(1)=2, f(2)=4, f(3)=1, f(4)=5, f(5)=6, f(6)=3$。
(3) $f(1)=1, f(2)=5, f(3)=3, f(4)=6, f(5)=2, f(6)=4$。
(4) $f(1)=4, f(2)=2, f(3)=3, f(4)=1, f(5)=5, f(6)=6$。
(5) $f(1)=3, f(2)=1, f(3)=6, f(4)=4, f(5)=5, f(6)=2$。
(6) $f(1)=1, f(2)=2, f(3)=3, f(4)=4, f(5)=5, f(6)=6$。

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微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|Finitely generated abelian groups

We now arrive at a foundational theorem in the subject. This theorem provides a comprehensive list of all abelian groups that are finitely generated. Unfortunately, the particular details of the proof require techniques that we haven’t covered, but its power is too great to leave this theorem alone. Instead, we’ll prove aspects of the theorem that will give you some ideas as to why it might be true. We’ll begin with an interesting theorem.

Theorem 8.15. Let $G$ be an abelian group. If $T$ is the set of all elements of $G$ with finite order, then $T$ is a subgroup of $G$.

Definition 8.16. Let $G$ be an abelian group. The subgroup $T$ of all elements of $G$ with finite order is called the torsion subgroup of $G$. If the torsion subgroup of $G$ is the trivial group (that is, the only element of $G$ with finite order is $e$ ), then we say $G$ is torsion free.

Exercise 8.17. Many students mistakenly remember the torsion subgroup as “the set of all elements of finite order of a group.” That would be true, if the group itself were abelian. But nonabelian groups are far more problematic. Show that the two matrices $A=\left[\begin{array}{ll}0 & 1 \ 1 & 0\end{array}\right]$ and $B=\left[\begin{array}{cc}0 & \frac{1}{2} \ 2 & 0\end{array}\right]$ each have finite order, but their product has infinite order. This shows that the set of elements of finite order need not be closed in a nonabelian group.

数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|The first isomorphism theorem

We’re now in a position to put what we’ve learned in the past three chapters together. Specifically, we learned how to construct quotient groups in Chapter 6; the structure of cyclic groups in Chapter 7; and the nature of finitely generated abelian groups in Chapter 8. What we’d like to know now is how to identify the structure of quotient groups. What we need is a way to tell when a quotient group is isomorphic to a well known group, such as a cyclic group or a finitely generated abelian group. Such a method is our first and most important theorem of the chapter.

Theorem 9.1 (The First Isomorphism Theorem). Let $\phi: G \rightarrow G^{\prime}$ be a homomorphism with kernel $K$. Then the function $\bar{\phi}: G / K \rightarrow \phi(G)$ given by $\bar{\phi}(g K)=\phi(g)$ is a welldefined isomorphism.

Corollary 9.2. Let $\phi: G \rightarrow G^{\prime}$ be a surjective homomorphism with kernel $K$. Then $G^{\prime}$ is isomorphic to $G / K$.

With this theorem, we have the power to make intuition precise. Think of quotient groups as collapsing part of the group together, leaving only part of the group left. When this happens, what structure do we have left after the quotient? We’ll make an educated guess and then use the corollary to the First Isomorphism Theorem to verify our guess! The next example and the first few theorems that follow should help develop this intuition.

Example 9.3. Let’s see an example of how to use the First Isomorphism Theorem on a fact we already know: $\mathbb{Z} /\langle n\rangle \cong \mathbb{Z}_n$. What we should do is find an onto homomorphism $\phi: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}_n$ whose kernel is specifically $\langle n\rangle$. So, let’s use Theorem 7.7 and define a homomorphism $\phi$ by $\phi(1)=1$ (so that $\phi(x)=\phi(x \cdot 1)=x \phi(1)$, which means that $\phi(x)$ is the remainder of $x$ divided by $n$ ). We simply need to show that $\phi$ is onto and that $\operatorname{Ker}(\phi)=\langle n\rangle$.

The first is easy: for any $b \in \mathbb{Z}_n$, we have $\phi(b)=\phi(b \cdot 1)=b \phi(1)=b$. We now need to compute the kernel of $\phi$, and since $\operatorname{Ker}(\phi)$ are all those integers $x$ such that $\phi(x)=0$, we need to find all integers $x$ such that $\phi(x)$ is a multiple of $n$. But $\phi(x)$ is simply the remainder of $x$ when divided by $n$. That means that $x$ itself must be a multiple of $n$, so $\operatorname{Ker}(\phi)$ is the set of all multiples of $n$. That’s what $\langle n\rangle$ is, and thus $\operatorname{Ker}(\phi)=\langle n\rangle$. By the First Isomorphism Theorem, $\mathbb{Z} /\langle n\rangle \cong \mathbb{Z}_n$.

抽象代数代写

数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|Finitely generated abelian groups

现在我们得到了这门学科的一个基本定理。这个定理提供了有限生成的所有阿贝尔群的一个综合列表。不幸的是，证明的具体细节需要我们没有涉及的技术，但它的力量太大了，不能把这个定理单独留下。相反，我们将证明这个定理的一些方面这将给你一些关于为什么它可能是正确的想法。我们将从一个有趣的定理开始。

定理8.15。设$G$是一个阿贝尔群。如果$T$是$G$中所有有限阶元素的集合，那么$T$是$G$的一个子群。

8.16.定义设$G$是一个阿贝尔群。所有具有有限阶的$G$元素的子群$T$称为$G$的扭转子群。如果$G$的扭转子群是平凡群(即$G$的唯一有限阶元素是$e$)，那么我们说$G$是无扭转的。

练习8.17。许多学生错误地将扭转子群记为“群的有限阶元素的集合”。如果这个群体本身是阿贝尔的，那就对了。但非abel群体的问题要大得多。证明两个矩阵$A=\left[\begin{array}{ll}0 & 1 \ 1 & 0\end{array}\right]$和$B=\left[\begin{array}{cc}0 & \frac{1}{2} \ 2 & 0\end{array}\right]$都有有限阶，但它们的乘积有无限阶。这表明有限阶元素的集合在非贝尔群中不必是封闭的。

数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|The first isomorphism theorem

现在我们可以把过去三章学到的东西放在一起了。具体来说，我们在第六章学习了如何构造商群;第7章环群的结构;以及第八章中有限生成阿贝尔群的性质。我们现在想知道的是如何识别商群的结构。我们需要的是一种方法来判断一个商群是否同构于一个已知的群，比如一个循环群或一个有限生成的阿贝尔群。这种方法是本章第一个也是最重要的定理。

定理9.1(第一同构定理)。设$\phi: G \rightarrow G^{\prime}$为核$K$的同态。那么由$\bar{\phi}(g K)=\phi(g)$给出的函数$\bar{\phi}: G / K \rightarrow \phi(G)$是一个定义良好的同构。

推论9.2。设$\phi: G \rightarrow G^{\prime}$是核$K$的满射同态。那么$G^{\prime}$和$G / K$是同构的。

有了这个定理，我们就有能力让直觉变得精确。把商群想象成群的一部分塌缩在一起，只剩下群的一部分。当这种情况发生时，商之后还剩下什么结构?我们将做一个有根据的猜测，然后使用第一同构定理的推论来验证我们的猜测!下一个例子和接下来的几个定理应该有助于培养这种直觉。

例9.3。让我们看一个例子，看看如何在我们已经知道的事实上使用第一同构定理:$\mathbb{Z} /\langle n\rangle \cong \mathbb{Z}_n$。我们要做的是找到一个映同态$\phi: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}_n$它的核是$\langle n\rangle$。因此，让我们使用7.7定理并定义一个同态$\phi$除以$\phi(1)=1$(因此$\phi(x)=\phi(x \cdot 1)=x \phi(1)$，这意味着$\phi(x)$是$x$除以$n$的余数)。我们只需要证明$\phi$是on和$\operatorname{Ker}(\phi)=\langle n\rangle$。

第一个很简单:对于任何$b \in \mathbb{Z}_n$，我们都有$\phi(b)=\phi(b \cdot 1)=b \phi(1)=b$。现在我们需要计算$\phi$的内核，因为$\operatorname{Ker}(\phi)$是所有的整数$x$，因此$\phi(x)=0$，我们需要找到所有的整数$x$，使得$\phi(x)$是$n$的倍数。但是$\phi(x)$就是$x$除以$n$的余数。这意味着$x$本身一定是$n$的倍数，所以$\operatorname{Ker}(\phi)$是$n$的所有倍数的集合。这就是$\langle n\rangle$，所以是$\operatorname{Ker}(\phi)=\langle n\rangle$。根据第一同构定理，$\mathbb{Z} /\langle n\rangle \cong \mathbb{Z}_n$。

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

如果你也在 怎样代写抽象代数Abstract Algebra 这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。抽象代数Abstract Algebra是代数的一组高级课题，涉及抽象代数结构而不是通常的数系。这些结构中最重要的是群、环和场。通用代数是一个相关的学科，它将代数结构的类型作为单一对象进行研究。例如，群的结构是普遍代数中的一个单一对象，它被称为群的变种。

抽象代数Abstract Algebra在代数（数学中一个已经很广泛的部门）中，抽象代数（偶尔也称为现代代数）是对代数结构的研究。代数结构包括群、环、场、模块、向量空间、网格和代数。抽象代数这个术语是在20世纪初创造的，目的是将这一研究领域与代数的旧部分区分开来，更具体地说，是与初等代数，即在计算和推理中使用变量来表示数字。

抽象代数Abstract Algebra代写，免费提交作业要求， 满意后付款，成绩80\%以下全额退款，安全省心无顾虑。专业硕 博写手团队，所有订单可靠准时，保证 100% 原创。 最高质量的抽象代数Abstract Algebra作业代写，服务覆盖北美、欧洲、澳洲等 国家。 在代写价格方面，考虑到同学们的经济条件，在保障代写质量的前提下，我们为客户提供最合理的价格。 由于作业种类很多，同时其中的大部分作业在字数上都没有具体要求，因此抽象代数Abstract Algebra作业代写的价格不固定。通常在专家查看完作业要求之后会给出报价。作业难度和截止日期对价格也有很大的影响。

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数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|Homomorphisms and kernel

To begin our second part of our survey of group theory, consider the following two functions: $\phi: n \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ given by $\phi(x)=x$, and the function $\psi: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}_n$ given by $\psi(x)=r$, where $r$ is the remainder of $x$ divided by $n$. Neither map is an isomorphism, since $\phi$ is not surjective and $\psi$ is not injective. Yet despite this fact, the maps do preserve the group structure of the domain; that is, $\phi(x+y)=\phi(x)+\phi(y)$ and $\psi(x+y)=\psi(x)+\psi(y)$ (this latter fact is tedious to check, but true nonetheless). Hence, while neither map matches the two groups up perfectly, they at least relate the group structures faithfully. Consequently, we’ll define such maps precisely and turn our attention to their properties.

Definition 6.1. Let $G$ and $G^{\prime}$ be groups. A function $\phi: G \rightarrow G^{\prime}$ is a (group) homomorphism from $G$ to $G^{\prime}$ if and only if $\phi(a b)=\phi(a) \phi(b)$ for all $a, b \in G$.

Notice then that an isomorphism is simply a bijective homomorphism. It’s worthwhile to see what properties of isomorphisms still hold even when the homomorphism isn’t bijective.
Theorem 6.2. Let $\phi: G \rightarrow G^{\prime}$ be a group homomorphism and let $H<G$.
(1) The image of the identity of $G$ under $\phi$ is the identity of $G^{\prime}$.
(2) $\phi\left(g^{-1}\right)=\phi(g)^{-1}$ for all $g \in G$.
(3) $\phi\left(g^n\right)=(\phi(g))^n$ for all $g \in G$ and integers $n$.
(4) If $g \in G$ has finite order, then $\phi(g)$ has finite order and is a divisor of the order of $g$.
(5) $\phi(H)<G^{\prime}$
(6) If $H$ is abelian, then $\phi(H)$ is abelian.
(7) If $A \subset H$ generates $H$, then $\phi(A)$ generates $\phi(H)$.

数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|Normal subgroups

Theorem 6.10 gives us the opportunity to do something truly innovative. Recall that an isomorphism matched elements from two groups in such a way that the operations on the two groups also matched. A homomorphism still matches the operation, but the function need not be bijective, so individual elements aren’t always matched up perfectly. However, we just saw that it’s not the individual elements that are matched up: it’s the cosets of the kernel that are matched with elements of $G^{\prime}$. Does that mean that, somehow, we can put a group operation on cosets? What would that even mean?
Let’s first play with the kernel $K$ of a group homomorphism $\phi: G \rightarrow G^{\prime}$. If we pick two elements $a^{\prime}, b^{\prime} \in G^{\prime}$ and take their inverse images, we’ll get two cosets $a K$ and $b K$, where $\phi(a)=a^{\prime}$ and $\phi(b)=b^{\prime}$. On the other hand, if we take the inverse image of the product $a^{\prime} b^{\prime}$, we’ll get some coset $c K$, where $\phi(c)=a^{\prime} b^{\prime}$. But wait: since $\phi$ is a homomorphism, we know that $\phi(a b)=\phi(a) \phi(b)=a^{\prime} b^{\prime}$. Thus, we can choose $c=a b$. It therefore makes sense that we would want to say something like, “Define the product of cosets by $a K \cdot b K=(a b) K$.” Will this always work?

Let’s begin with a group $G$ and an arbitrary subgroup $H<G$. What we’re going to attempt is to define an operation on the set $G / H$ of left cosets of $H$ in $G$. The previous paragraph gives us what looks like the natural binary operation to use: given two left cosets $a H, b H \in G / H$, define
$$
(a H)(b H)=(a b) H
$$
But any time we define a function on cosets – and a binary operation is a function – we have to prove that the function is well-defined. This is now our first crucial theorem.
Theorem 6.11. Let $G$ be a group and $H<G$. Then the binary operation on $G / H$ given by $(a H)(b H)=(a b) H$ is well defined if and only if $g H=H g$ for all $g \in G$.

In other words, this operation makes sense – and only makes sense – when the left and right cosets of $H$ in $G$ are the same. These subgroups form the backbone of much of group theory.

Definition 6.12. Let $G$ be a group and $H<G$. The subgroup $H$ is a normal subgroup of $G$ if and only if $g H=H g$ for all $g \in G$. If $H$ is a normal subgroup of $G$, we write $H<G$.

Using this definition, the operation $(a H)(b H)=(a b) H$ is well-defined if and only if $H$ is a normal subgroup of $G$. Let’s now verify that $G / H$ is a group under this operation when $H$ is a normal subgroup of $G$.

抽象代数代写

数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|Homomorphisms and kernel

开始我们的群论调查的第二部分，考虑以下两个函数: $\phi: n \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ 由 $\phi(x)=x$, 和功能 $\psi: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}_n$ 由 $\psi(x)=r ＼mathrm{~ ， 在 哪 里 ~} r$ 是剩下的 $x$ 除以 $n$. 两个映射都不是同构的，因为 $\phi$ 不是满射的并且 $\psi$ 不是单射的。尽管如 此，地图确实保留了域的组结构；那是， $\phi(x+y)=\phi(x)+\phi(y)$ 和 $\psi(x+y)=\psi(x)+\psi(y)$ (后一 个事实很难检查，但仍然是事实)。因此，虽然两张地图都无法完美匹配这两个群体，但它们至少忠实地关联 了群体结构。因此，我们将精确定义此类地图并将注意力转移到它们的属性上。
定义 6.1。让 $G$ 和 $G^{\prime}$ 成为团体。一个功能 $\phi: G \rightarrow G^{\prime}$ 是一个 (群) 同态来自 $G^{\text {到 }} G^{\prime}$ 当且仅当 $\phi(a b)=\phi(a) \phi(b)$ 对全部 $a, b \in G$.
请注意，同构只是双射同态。值得一看的是，即使同态不是双射的，同构的哪些性质仍然成立。 定理 6.2。让 $\phi: G \rightarrow G^{\prime}$ 是一个群同态并且让 $H<G$.
(一)身份形象 $G$ 在下面 $\phi$ 是的身份 $G^{\prime}$.
(2) $\phi\left(g^{-1}\right)=\phi(g)^{-1}$ 对全部 $g \in G$.
(3) $\phi\left(g^n\right)=(\phi(g))^n$ 对全部 $g \in G$ 和整数 $n$.
(4) 如果 $g \in G$ 有有限阶，那么 $\phi(g)$ 具有有限阶并且是阶的除数 $g$.
(5) $\phi(H)<G^{\prime}$
(6) 如果 $H$ 是交换矩阵，那么 $\phi(H)$ 是阿贝尔的。
(7) 如果 $A \subset H$ 产生 $H$ ，然后 $\phi(A)$ 产生 $\phi(H)$.

数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|Normal subgroups

定理 6.10 让我们有机会做一些真正创新的事情。回想一下，同构以这样的方式匹配来自两个组的元淸，使得对 两个组的操作也匹配。同态仍然匹配操作，但函数不必是双射的，因此单个元素并不总是完美匹配。然而，我 们刚刚看到，匹配的不是单个元龶：匹配的是核的陪集 $G^{\prime}$. 这是否意味看我们可以以某种方式对陪集进行群操 作? 这甚至意味着什么?
让我们先玩一下内核 $K$ 群同态 $\phi: G \rightarrow G^{\prime}$. 如果我们选择两个元素 $a^{\prime}, b^{\prime} \in G^{\prime}$ 并拍摄他们的反像，我们会得 到两个陪集 $a K$ 和 $b K$ ，在哪里 $\phi(a)=a^{\prime}$ 和 $\phi(b)=b^{\prime}$. 另一方面，如果我们取产品的反像 $a^{\prime} b^{\prime}$ ，我们会得到 一些陪集 $c K$ ，在哪里 $\phi(c)=a^{\prime} b^{\prime}$. 但是等等: 因为 $\phi$ 是同态的，我们知道 $\phi(a b)=\phi(a) \phi(b)=a^{\prime} b^{\prime}$. 这 样，我们可以选择 $c=a b$. 因此，我们想说这样的话是有道理的，“定义陪集的乘积 $a K \cdot b K=(a b) K^{\prime \prime}$ 这会 一直有效吗?
让我们从一组开始 $G$ 和任意子群 $H<G$. 我们要尝试的是在集合上定义一个操作 $G / H$ 的左陪集 $H$ 在 $G$. 上一段 给了我们使用的自然二元运算: 给定两个左陪集 $a H, b H \in G / H$ ，定义
$$
(a H)(b H)=(a b) H
$$
但是任何时候我们在陪集上定义一个函数一一而二元运算是一个函数一一我们必须证明这个函数是明确定义的。 现在这是我们的第一个关键定理。
定理 6.11。让 $G$ 成为一个团体并且 $H<G$. 然后二元运算 $G / H$ 由 $(a H)(b H)=(a b) H$ 是明确定义的当且仅 当 $g H=H g$ 对全部 $g \in G$.
换句话说，当 $H$ 在 $G$ 是相同的。这些子群构成了大部分群论的支柱。
定义 6.12。让 $G$ 成为一个团体并且 $H<G$. 子群 $H$ 是正规子群 $G$ 当且仅当 $g H=H g$ 对全部 $g \in G$. 如果 $H$ 是 正规子群 $G$ ，我们写 $H<G$.
使用这个定义，操作 $(a H)(b H)=(a b) H$ 是明确定义的当且仅当 $H$ 是正规子群 $G$. 现在让我们验证一下 $G / H$ 是这个操作下的一个组，当 $H$ 是正规子群 $G$.

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它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

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抽象代数Abstract Algebra在代数（数学中一个已经很广泛的部门）中，抽象代数（偶尔也称为现代代数）是对代数结构的研究。代数结构包括群、环、场、模块、向量空间、网格和代数。抽象代数这个术语是在20世纪初创造的，目的是将这一研究领域与代数的旧部分区分开来，更具体地说，是与初等代数，即在计算和推理中使用变量来表示数字。

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数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|Subgroups and generating sets

As we have seen in Chapter 3 , examples of groups are quite varied: sets of numbers or matrices under addition or multiplication, sets of functions under composition, and even finite sets with a suitably constructed table are groups. However, for many of these examples, it’s not the operation that’s different, but rather only the set that changes.
Example 4.1. Consider the groups $G=\mathbb{R}$ and $H=\mathbb{Q}$. Although they are both groups in their own right, there’s a natural relationship between them: not only is $\mathbb{Q}$ a subset of $\mathbb{R}$, but their operations are identical: addition of elements of $\mathbb{Q}$ is identical to addition of those same elements in $\mathbb{R}$. When this special relationship of being both a subset and agreement on the operation occurs, we tend to think not of two different groups, but of one “large” group inside of which lies the “smaller” group as a subset.

There is a technical issue we must first raise. The binary operation of a group $\langle G, \cdot\rangle$ is a function with domain $G \times G$. Given a subset $H \subset G$, we can restrict the domain of – to $H \times H$ and see if this restricted operation – the “same” one used to define a valid operation on $G$ – yields a group (or a binary operation, at least). Hence, we need a preliminary definition to deal with this technicality.

Definition 4.2. Let $\langle G, \cdot\rangle$ be a binary structure and let $H \subset G$. Then the function $: H \times H \rightarrow G$ given by $(a, b)=a \cdot b$ is called the operation induced by $\cdot$
With this terminology, we can now define the key term precisely.
Definition 4.3. Let $G$ be a group. We say a subset $H \subset G$ is a subgroup of $G$ if and only if $H$ is a group under the operation induced by the operation on $G$. We write $H<G$ to denote that $H$ is a subgroup of $G$.

Given a group $G$, there are always two (not necessarily different) subgroups of $G$ : the group $G$ itself, and the subgroup consisting of the identity element alone. Since we’re often interested in subgroups other than those two, let’s name them for future reference.

数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|The center of a group

All we’ve done so far is identify what subgroups are, so we might try to use them to help us understand the structure of a group. To begin, let’s see if we can use subgroups to measure how close to abelian a given group is.

Theorem 4.13. Let $G$ be a group. Then the subset $Z(G)={g \in G \mid x g=g x$ for all $x \in G}$ is a subgroup of $G$.

Definition 4.14. Let $G$ be a group. The subgroup $Z(G)={g \in G \mid x g=g x$ for all $x \in G}$ is called the center of $G$.
Corollary 4.15. Let $G$ be a group. Then $G$ is abelian if and only if $Z(G)=G$.
Ah, an actual object that detects if a group is abelian or not. But even if a group $G$ isn’t abelian, that doesn’t mean that the center is the trivial subgroup. After all, there might be only a few elements that don’t commute. Can we use subgroups to see if an individual element commutes well?

Theorem 4.16. Let $G$ be a group and $a \in G$. Then the subset $C(a)={g \in G \mid g a=a g}$ is a subgroup of $G$.

Definition 4.17. Let $G$ be a group and $a \in G$. The subgroup $C(a)={g \in G \mid g a=a g}$ is called the centralizer of $a$ in $G$.

This means that centralizers are objects that tell us how well individual elements commute with others in the group. In fact, you might have anticipated this next theorem.
Theorem 4.18. Let $G$ be a group. Then $Z(G)=\bigcap_{a \in G} C(a)$.
Exercise 4.19. Find the centralizers of the elements $\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \ 0 & 2\end{array}\right]$ and $\left[\begin{array}{ll}3 & 0 \ 0 & 3\end{array}\right]$ in the group $G L_2(\mathbb{R})$. Use this to state what elements are in $Z\left(G L_2(\mathbb{R})\right)$, and justify your answer.

抽象代数代写

数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|Subgroups and generating sets

正如我们在第 3 章中看到的，群的例子是多种多样的：加法或乘法下的数集或矩阵集、组合下的函数集，甚至 具有适当构造的表的有限集都是群。但是，对于其中许多示例，不同的不是操作，而是集合发生了变化。
例 4.1。考虑群体 $G=\mathbb{R}$ 和 $H=\mathbb{Q}$. 虽然他们本身都是群体，但他们之间有一种天然的关系：不仅是 $\mathbb{Q}$ 的一个 子集 $\mathbb{R}$ ，但它们的操作是相同的: 添加元渍 $\mathbb{Q}$ 与添加那些相同的元素相同 $\mathbb{R}$. 当这种既是子集又是操作一致的特 殊关系出现时，我们往往不会想到两个不同的组，而是想到一个“大”组，其中“较小”组作为一个子集。
我们必须首先提出一个技术问题。群的二元运算 $\langle G, \cdot\rangle$ 是一个有定义域的函数 $G \times G$. 给定一个子集 $H \subset G$ ， 我们可以将 – 的域限制为 $H \times H$ 并查看此受限操作是否与用于定义有效操作的“相同“操作 $G$ – 产生一个组 (或至少是一个二元运算) 。因此，我们需要一个初步的定义来处理这个技术问题。
定义 4.2。让 $\langle G, \cdot\rangle$ 是一个二元结构，让 $H \subset G$. 然后是函数: $H \times H \rightarrow G$ 由 $(a, b)=a \cdot b$ 称为由. 有了这个术语，我们现在可以精确定义关键术语。
定义 4.3。让 $G$ 成为一个团体。我们说一个子集 $H \subset G$ 是一个子群 $G$ 当且仅当 $H$ 是由操作诱导的操作下的一组 $G$. 我们写 $H<G$ 表示 $H$ 是一个子群 $G$.
给定一组 $G$ ，总有两个 (不一定不同) 的子群 $G$ ：群组 $G$ 本身，以及仅由身份元素组成的子群。由于我们通常 对这两个以外的子组感兴趣，所以让我们为它们命名以供将来参考。

数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|The center of a group

到目前为止，我们所做的只是确定子群是什么，因此我们可能会尝试使用它们来帮助我们理解群的结构。首 先，让我们看看是否可以使用子群来衡量给定群与阿贝尔群的接近程度。
定理 4.13。让 $G$ 成为一个团体。然后是子集 $Z(G)=g \in G \mid x g=g x \$$ forall $\$ x \in G$ 是一个子群 $G$.
定义 4.14。让 $G$ 成为一个团体。子群 $Z(G)=g \in G \mid x g=g x \$$ forall $\$ x \in G$ 被称为中心 $G$.
推论 4.15。让 $G$ 成为一个团体。然后 $G$ 是交换的当且仅当 $Z(G)=G$.
啊，检测一个群是否是交换群的实际对象。但即使是一群 $G$ 不是阿贝尔群，这并不意味着中心是平凡子群。毕 竟，可能只有少数元龶不通勤。我们可以使用子组来龺看单个元龶是否通勒良好吗?
定理 4.16。让 $G$ 成为一个团体并且 $a \in G$. 然后是子集 $C(a)=g \in G \mid g a=a g$ 是一个子群 $G$.
定义 4.17。让 $G$ 成为一个团体并且 $a \in G$. 子群 $C(a)=g \in G \mid g a=a g$ 称为中心化器 $a$ 在 $G$.
这意味着中心化器是告诉我们各个元清与组中其他元嫊的交换情况的对象。事实上，您可能已经预料到下一个 定理。
定理 4.18。让 $G$ 成为一个团体。然后 $Z(G)=\bigcap_{a \in G} C(a)$.
练习 4.19。找到元淸的中心化器 $\left[\begin{array}{lllll}1 & 0 & 0 & 2\end{array}\right]$ 和 $\left[\begin{array}{llll}3 & 0 & 0 & 3\end{array}\right]$ 在群里 $G L_2(\mathbb{R})$. 用它来说明元龶是什么 $Z\left(G L_2(\mathbb{R})\right)$ ，并证明你的答案。

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

如果你也在 怎样代写抽象代数Abstract Algebra 这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。抽象代数Abstract Algebra是代数的一组高级课题，涉及抽象代数结构而不是通常的数系。这些结构中最重要的是群、环和场。通用代数是一个相关的学科，它将代数结构的类型作为单一对象进行研究。例如，群的结构是普遍代数中的一个单一对象，它被称为群的变种。

抽象代数Abstract Algebra在代数（数学中一个已经很广泛的部门）中，抽象代数（偶尔也称为现代代数）是对代数结构的研究。代数结构包括群、环、场、模块、向量空间、网格和代数。抽象代数这个术语是在20世纪初创造的，目的是将这一研究领域与代数的旧部分区分开来，更具体地说，是与初等代数，即在计算和推理中使用变量来表示数字。

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数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|Binary operations

When one begins to think on the variety of equations one tries to solve, it doesn’t take long to realize that each subject has its own objects, upon which are defined a variety of processes that you can use to manipulate them: addition on numbers, matrix multiplication on matrices, etc. But despite the apparent differences between them, they all share one fundamental property: whenever you combine two or more of the objects, you get another object of the same type: the sum of two numbers is a number, the product of two $n \times n$ matrices is another matrix, etc. Hence, that’s where we’ll start our study of abstract algebra proper.

To begin, let’s reflect on what we’re really doing when we “combine” objects. We take two objects from a set and apply some kind of rule or process to this pair of objects, and the result produces an object from that same set. Yet what we’ve described here is nothing more than a function whose domain is ordered pairs of elements from a set and whose range is contained back in that same set. This basic observation is codified in the following definition.

Definition 2.1. Let $G$ be a set. Any function, $$, whose domain is $G \times G$ is a binary operation on $G$ if and only if the range of $$ is a subset of $G$. When $$ is a binary operation on $G$, we say that $G$ is closed under $$. We denote the image of $(a, b)$ under $*$ as $a * b$. We write $\langle G, *\rangle$ to indicate that * is a binary operation on $G$, and we say that $\langle G, *\rangle$ is a binary structure.

Although a binary operation is simply a particular function, it’s probably best to review the terms about functions and how they apply to this definition. If you need, read Section A.2 in Appendix A for a refresher on the relevant terminology.
(1) If $*$ is a binary operation on a set $G$, then the element $a * b$ cannot be undefined for any elements $a, b \in G$. For instance, if we let $G=\mathbb{Q}$ and define $\frac{a}{b} * \frac{c}{d}=\frac{a}{b} / \frac{c}{d}$, then this rule isn’t defined when $c=0$, since division by zero isn’t defined.

(2) Likewise, if $*$ is a binary operation on a set $G$, then the element $a * b$ must be welldefined for each pair of elements $a, b \in G$. For instance, if we let $G=\mathbb{Q}$ and define $\frac{a}{b} * \frac{c}{d}=a+c$, then this rule isn’t well-defined, since $\frac{1}{2}$ and $\frac{2}{4}$ represent the same number, but $\frac{a}{b} * \frac{1}{2}=a+1$, and $\frac{a}{b} * \frac{2}{4}=a+2$, which are always different.

Aside. Students often fail to appreciate the import of this example. The issue of a welldefined function always arises whenever the objects in the set have more than one description or form. The standard way to verify that a binary operation $*$ is well-defined is to take two equivalent forms of the objects in your set and prove that the result does not depend on the form of the objects. Functions dealing with rational numbers frequently fall in this category, since every rational number has infinitely many equivalent fractional forms. Hence, to check that a function $f$ is well-defined in this case, you would need to suppose that $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ and prove that $f\left(\frac{a}{b}\right)=f\left(\frac{c}{d}\right)$.

数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|Binary tables

When a set $G$ is small, one way to define a binary operation $*$ on $G$ is to list all of the possible combinations of $a * b$ for elements $a, b \in G$. The most convenient way to do this is to set up a table whose entries indicate the result of applying the binary operation to two elements. Specifically, we create a binary table to define a binary operation on the set $G=\left{a_1, \ldots, a_n\right}$ in the following way:
1) Write the elements of $G$ in a column, then write them in a row at the top in the same order as you did in the column.
2) Fill in the corresponding $n^2$ entries with exactly one element in $G$.
3) Define the element $a_i * a_j$ to be the entry in the $i^{\text {th }}$ row and the $j^{\text {th }}$ column.
It’s also easy to verify that your table gives a rule that is both well-defined and is defined everywhere. After all, as long as every entry is filled with at least one element of $G$, then $a * b$ is defined everywhere; and as long as you don’t put more than one element from $G$ in any entry, then your rule is well-defined.

Exercise 2.9. Let $G={a, b, c}$. Suppose we define a binary operation on $G$ with the following table:
\begin{tabular}{|c||c|c|c|}
\hline$*$ & $a$ & $b$ & $c$ \
\hline \hline$a$ & $a$ & $c$ & $c$ \
\hline$b$ & $b$ & $b$ & $b$ \
\hline$c$ & $a$ & $a$ & $b$ \
\hline
\end{tabular}
(So, for instance, $c * a=a$.)
(1) Compute $a * b, \quad b * a, \quad b * b, \quad(a * c) * b, \quad a *(c * b), \quad c *(c * c)$, and $(c * c) * c$.
(2) Determine if the operation is commutative, associative, neither, or both.

There’s really no theory about binary tables, but there are several observations that are useful to have. First, since you can put any of the $n$ elements of $G$ into any of the $n^2$ entries, there are a total of $n^{n^2}$ possible ways to construct a binary operation on $G$. Second, checking to see if a binary table’s operation is commutative is easy: reflect the table along the “main diagonal” and compare with the original table. If they’re the same, then it’s a commutative operation; otherwise, you’ll have at least one pair of elements $a_i, a_j$ such that $a_i * a_j \neq a_j * a_i$.

Associativity, on the other hand, is never easy to check by looking at the table. That’s because checking associativity deals with using the table sequentially. It also means verifying that $(a * b) * c=a *(b * c)$ for all choices of $a, b, c \in G$, which means you’ve got $n^3$ different pairs of triples to compare. That’s just too tedious to do by hand; a computer is almost a necessity if you need to know if your operation is associative.

抽象代数代写

数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|Binary operations

当一个人开始思考试图求解的各种方程式时，很快就会意识到毎个主题都有自己的对象，在这些对象上定义了可以用来操它们的 各种过程: 数字加法，矩阵乘法等。尽管它们之间存在明显差异，但它们都具有一个其本属性: 无论何时组合两个或多个对彖，都 会得到另一个相同类型的对象：两个数字的总和是一个数字，两个的乘积 $n \times n$ 矩阵是另一个矩阵，等等。因此，这就是我们开始 研究抽象代数的地方。
首先，让我们反思一下当我们”组合”对象时我们实际上在做什么。我们从一组中取出两个对彖，并将某种规则或过程应用于这对对 象，结果从同一组中生成一个对彖。然而，我们在这里描述的只不过是一个函数，它的域是一个集合中有序的元䋤对，并且它的范 围包含在同一个集合中。这一基本观察被編入以下定义。
定义 2.1。让 $G$ 是一个集合。任何功能，
, whosedomainis $\$ G \times G$ \$isabinaryoperationon $\$ G \$$ fandonlyiftherangeof
是一个子集 $G$. 什么时候
isabinaryoperationon $\$ G \$$, wesaythat $\$ G$ sclosedunder
. 我们表示图像 $(a, b)$ 在下面*作为 $a * b$. 我们写 $\langle G, *\rangle$ 表示 * 是对的二元运算 $G$ ，我们说 $\langle G, *\rangle$ 是二进制结构。

. 我们表示图像 $(a, b)$ 在下面 $*$ 作为 $a * b$. 我们写 $\langle G, \rangle$ 表示 $$ 是对的二元运算 $G$ ，我们说 $\langle G, *\rangle$ 是二进制姞构。
尽管二元运算只是一个特定的函数，但最好还是复习一下有关函数的术语以及它们如何应用于此定义。如果需要，请阅渎附录 $A$ 中的 A.2节以复习相关术语。 $\frac{a}{b} * \frac{c}{d}=\frac{a}{b} / \frac{c}{d}$, 则此规则末定义时 $c=0$, 因为末定义被零除。
(2) 同样，如果 $*$ 是对集合的二元运算 $G$ ，那 $/$ 元䋤 $a * b$ 必须为每对元表明确定义 $a, b \in G$. 例如，如果我们让 $G=\mathbb{Q}$ 并定义 $\frac{a}{b} * \frac{c}{d}=a+c$ ，那么这个规则没有明确定义，因为 $\frac{1}{2}$ 和 $\frac{2}{4}$ 代表相同的数字，但 $\frac{a}{b} * \frac{1}{2}=a+1 ，$ 和 $\frac{a}{b} * \frac{2}{4}=a+2$ ，它们总 是不同的。
在旁边。学生们常常无法理解这个例子的重要性。每当集合中的对象具有不止一种描述或形式时，总会出现定义良好的函数问题。 验证二元运算的标准方法*定义明确的是取集合中对象的两种等价形式，并证明结果不依赖于对象的形式。处理有理数的函数经常 属于这一类，因为每个有理数都陏无限多个等价的小数形式。因此，要检龺一个函数 $f$ 在这种情况下是明确定义的，您需要假设 $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ 并证明 $f\left(\frac{a}{b}\right)=f\left(\frac{c}{d}\right)$.

数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|Binary tables

当一镸 $G$ 很小，一种定义二元运算的方法*在 $G$ 是列出所有可能的组合 $a * b$ 对于元素 $a, b \in G$. 最方便的方法是建立一个表，表中
的条目表示将二元运算应用于两个元表的结果。具体来说，我们创建一个二进制表来定义集合上的二进制操作
$G=\backslash$ left{a_l, \Idots, a_n right $}$ 以下列方式:
1) 编写元責 $G$ 在一列中，然后按照与在该列中相同的顺序将它们写在顶部的一行中。
2) 填写相应的 $n^2$ 条目中只有一个元綘 $G$.
3) 定义元莍 $a_i * a_j$ 成为 $i^{\text {th }}$ 行和 ${ }^{\text {th }}$ 柱子。
也很容易验证您的表给出的规则是否定义明确且在任何地方都陏定义。毕竟只要每一个entry都至少填充了一个元䋤 $G ，$ 然后 $a * b$ 到处都有定义; 只要你不放一个以上的元䋤 $G$ 在任何条目中，那么您的规则定义明确。
练习2.9。让 $G=a, b, c$ 假设我们定义一个二元运算 $G$ 与下表:
(所以，例如， $c * a=a$.)
(1) 计算 $a * b, b * a, b * b, \quad(a * c) * b, \quad a *(c * b), \quad c *(c * c)$ ，和 $(c * c) * c$.
(2) 确定运算是可交换的、结合的、两者都不是，还是两者都是。
确实没有关于二进制表的理论，但有一些有用的观䕓结果。首先，因为你可以把任何 $n$ 要点 $G$ 进入任何一个 $n^2$ 条目，共有 $n^{n^2}$ 构造
二元运算的可能方法 $G$. 其次，检龺二进制表的操作是否可交换很容易: 沿“主对角线”反映该表并与原始表进行比较。如果它们相
同，那么这是一个交换㨐作; 否则，您将至少有一对元䋘 $a_i, a_j$ 伩样 $a_i * a_j \neq a_j * a_i$.
另一方面，结合性从来都不容易通过查看表格来检龺。那是因为检龺关联性涉及按顺序使用表格。这也意味着验证
$(a * b) * c=a *(b * c)$ 对于所有的选择 $a, b, c \in G$ ，这意味着你有 $n^3$ 要比较的不同对的三元组。手工操作太乏味了；如果您
需要知道您的操作是否具有关联性, 那么计算机几乎是必不可少的。

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线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

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现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

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微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

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什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

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抽象代数Abstract Algebra在代数（数学中一个已经很广泛的部门）中，抽象代数（偶尔也称为现代代数）是对代数结构的研究。代数结构包括群、环、场、模块、向量空间、网格和代数。抽象代数这个术语是在20世纪初创造的，目的是将这一研究领域与代数的旧部分区分开来，更具体地说，是与初等代数，即在计算和推理中使用变量来表示数字。

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数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|Element-coset commutativity

If you understand cyclic groups, the previous section might leave you unimpressed. With addition based on division with remainders, perhaps it is obvious that quotient groups work tidily. But that only makes the general question more interesting. Quotient groups arise not only in cyclic groups but also in dihedral groups, where the elements are not numbers but symmetries. Symmetries have neither division nor remainders, at least in the usual sense-could there be an analogue of division with remainders for dihedral groups? And, to reiterate the earlier question, does a quotient group arise for every subgroup of every group, or not?
We will approach these questions by considering the dihedral group $D_4$. The table in Section 7.1 (refer to your copy) shows that if $H=\left{e, \rho, \rho^2, \rho^3\right}$is the four-element subgroup of rotations, then $D_4 / H \cong \mathbb{Z}_2$. But $D_4$ has many subgroups, as discussed in Section 6.6 and represented below. Do other subgroups give rise to meaningful cosets and a quotient group? Does $H=\left{e, \rho^2\right}$ give rise to a quotient group in $D_4$, for instance? If so, how many elements would you expect that quotient group to have?

Calculating cosets is straightforward, but we should think carefully about those calculations because for cyclic groups I implicitly relied on experience of division with remainders. For instance, I calculated the three cosets of $3 \mathbb{Z}$ shown below, then stopped. Probably three seemed like the right number. But why, exactly? What would happen if we calculated $3+3 \mathbb{Z}, 4+3 \mathbb{Z}$, and so on?
$$
\begin{aligned}
& 0+3 \mathbb{Z}={0+z \mid z \in 3 \mathbb{Z}}={\ldots,-6,-3,0,3,6,9, \ldots} \
& 1+3 \mathbb{Z}={1+z \mid z \in 3 \mathbb{Z}}={\ldots,-5,-2,1,4,7,10, \ldots} \
& 2+3 \mathbb{Z}={2+z \mid z \in 3 \mathbb{Z}}={\ldots,-4,-1,2,5,8,11, \ldots}
\end{aligned}
$$

数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|Left and right cosets

Perhaps, then, a quotient group arises for every subgroup of every group. But we should not conclude too hastily. Everything worked for $H=$ $\left{e, \rho^2\right}$ in $D_4$ due to an element-coset form of commutativity. But, with respect to commutativity, some elements are less ‘well behaved’ than $\rho^2$. So it is worth checking similarly for different subgroups. Calculating cosets for $H=\left{e, r_1\right}$, for instance, gives:
$$
\begin{aligned}
e H & =\left{e e, e r_1\right}=\left{e, r_1\right} ; \
\rho H & =\left{\rho e, \rho r_1\right}=\left{\rho, r_3\right} ; \
\rho^2 H & =\left{\rho^2 e, \rho^2 r_1\right}=\left{\rho^2, r_2\right} ; \
\rho^3 H & =\left{\rho^3 e, \rho^3 r_1\right}=\left{\rho^3, r_4\right} ; \
r_1 H & =\left{r_1 e, r_1 r_1\right}=\left{r_1, e\right} ; \
r_2 H & =\left{r_2 e, r_2 r_1\right}=\left{r_2, \rho^2\right} ; \
r_3 H & =\left{r_3 e, r_3 r_1\right}=\left{r_3, \rho\right} ; \
r_4 H & =\left{r_4 e, r_4 r_1\right}=\left{r_4, \rho^3\right} .
\end{aligned}
$$
Again this yields four distinct cosets, each appearing twice. And again $H=\left{e, r_1\right}$ is a subgroup of $D_4$, so it is closed under composition and forms a first table block. This time, the next listed coset, $\left{\rho, r_3\right}$, gives a self-contained block below the subgroup-check that the partial table below is filled in correctly. However, to the right of the subgroup, things ‘go wrong. The top row reflects the fact that $e\left{\rho, r_3\right}=\left{\rho, r_3\right}$. But the lower row contains $r_1 \rho=r_4$, not $r_3$, and $r_1 r_3=\rho^3$, not $\rho$. In other words, $\rho\left{e, r_1\right} \neq\left{e, r_1\right} \rho$.

抽象代数代写

数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|Element-coset commutativity

如果您了解循环群，那么上一节可能不会给您留下深刻印象。对于基于除法和余数的加法，商组的工作可能很 明显。但这只会使一般问题更有趣。商群不仅出现在循环群中，而且出现在二面角群中，其中元责不是数字而 是对称性。对称性既没有除法也没有余数，至少在通常的意义上是这样一一对于二面体群，是否存在除法与余 数的类比? 并且，重申之前的问题，是否每个群的每个子群都会出现一个商群?
我们将通过考虑二面角群来解决这些问题 $D_4$. 第 7.1 节中的表格 (参考您的副本) 显示，如果
$\backslash$ left 缺少或无法识别的分隔符 是旋转的四元素子群，那么 $D_4 / H \cong \mathbb{Z}_2$. 但 $D_4$ 有许多子 组，如第 6.6 节中所讨论和下面所示。其他子群是否产生有意义的陪集和商群? 做
【left 缺少或无法识别的分隔符 产生一个商群 $D_4$ ，例如? 如果是这样，您莃望商组有多少 个元莍?
计算陪集很简单，但我们应该仔细考虑这些计算，因为对于循环群，我隐含地依赖于除法余数的经验。例如， 我计算了三个陪集 $3 \mathbb{Z}$ 如下图，然后停止。大概三似乎是正确的数字。但究竟是为什么? 如果我们计算会发生什 $么 3+3 \mathbb{Z}, 4+3 \mathbb{Z}$ ，等等?
$$
0+3 \mathbb{Z}=0+z|z \in 3 \mathbb{Z}=\ldots,-6,-3,0,3,6,9, \ldots \quad 1+3 \mathbb{Z}=1+z| z \in 3 \mathbb{Z}=\ldots,-5,-2,1,4,7,10, \ldots 2+3 \mathbb{Z}=2+z \mid z \in 3
$$

数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|Left and right cosets

那么，也许每个群的每个子群都会出现一个商群。但我们不应该草草下结论。一切都为之工作 $H=$
\left 缺少或无法识别的分隔符 在 $D_4$ 由于交换性的元素陪集形式。但是，就交换性而言，某 些元责的“表现良好”不如 $\rho^2$. 因此值得对不同的子组进行类似的检查。计算陪集
left 缺少或无法识别的分隔符，，例如，给出:
\left 缺少或无法识别的分隔符
这再次产生四个不同的陪集，每个陪集出现两次。然后再次 $\backslash$ left 缺少或无法识别的分隔符 是一个子群 $D_4$, 因此它在组合下关闭并形成第一个表块。这次，下一个列出的陪集，
\left 缺少或无法识别的分隔符，在子组下面给出一个独立的块 – 检查下面的部分表格是否 填写正确。然而，对于子组的右侧，事情“出了问题”。第一行反映了这样一个事实
\left 缺少或无法识别的分隔符 $\quad$. 但下排包含 $r_1 \rho=r_4$ ，不是 $r_3 ＼mathrm{~ ， 和 ~} r_1 r_3=\rho^3$ ，不是 $\rho$. 换 句话说，\left 缺少或无法识别的分隔符

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

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数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|The dihedral group $D_3$

The dihedral group $D_3$ is the group of symmetries of an equilateral triangle, mentioned in Section 1.3 and discussed in Section 5.7. The group operation is composition-symmetries are combined by performing one then another.

Now, $D_3$ has six elements. Is it isomorphic-structurally identical-to $\mathbb{Z}_6$ ? If you trust intuition based on group tables, you might feel that it is not, because the structures are different: the table for $\mathbb{Z}_6$ has diagonal ‘stripes’, whereas this table has ‘blocks’. But could reordering the elements reveal hidden stripes? One way to answer is to consider group properties. Every cyclic group is commutative. And $D_3$ is not: for instance, $\rho r_1 \neq r_1 \rho$. Reordering cannot make non-commutativity ‘go away’ because it does not change the result of any composition. So $\mathrm{D}_3$ is not cyclic.

Another approach is to consider the definition, which says that a cyclic group is generated by a single element. In $D_3$, the identity $e$ generates the single-element set ${e}$. The rotations $\rho$ and $\rho^2$ each generate the subgroup $\left{e, \rho, \rho^2\right}$. What does a reflection generate? Repeatedly performing any reflection gives the reflection then the identity then the reflection then the identity, and so on. So each reflection generates a two-element subgroup. Thus $D_3$ is not generated by a single element, so is not cyclic.

That raises a question, however. If a single element is not enough to generate $D_3$, how many are needed? What do you think? Can two elements be combined in different ways to give every group element? Does it matter which two? I recommend that before reading on, you make a triangle and experiment.

数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|More symmetry groups

The obvious group to investigate next is $D_4$, the group of symmetries of a square.

Does the information about $D_3$ generalize to $D_4$ ? Maybe, because $D_3$ and $D_4$ are similarly constructed. But $D_4$ is bigger, so there is ‘room’ for more internal structure. What do you think? What are the subgroups of $D_4$, and are they all cyclic? Can two elements generate $\mathrm{D}_4$ ?

Like $D_3$, the group $D_4$ has a two-element subgroup generated by each reflection and a subgroup $\left{e, \rho, \rho^2, \rho^3\right}$ comprising the rotations and the identity. This time, the rotation subgroup itself has a nontrivial proper subgroup $\left{e, \rho^2\right}$. Can you see this in the table and understand it by imagining transformations?

The group $D_4$ also has a four-element subgroup $\left{e, \rho^2, r_3, r_4\right}$, highlighted below in the table and a mini-table. Is this subgroup cyclic? No: each non-identity element is self-inverse so it cannot have a single generator.

Thus $D_4$ is unlike $D_3$ in having proper subgroups that are not cyclic. The full set of subgroups of $D_4$ is represented below.

Now, $r_3$ and $r_4$ ‘go together’ in that they are diagonal reflections that appear in $\left{e, \rho^2, r_3, r_4\right}$. But their inelegant positioning in the main table suggests that the elements of $D_4$ could be labelled in a more structurally natural way. As for $D_3$, a single rotation and reflection generate $D_4$.

抽象代数代写

数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|The dihedral group $D_3$

二面角群 $D_3$ 是等边三角形的对称群，在 1.3 节中提到并在 5.7 节中讨论。群运算是组合对称性，通 过一个接一个的组合来组合。
现在， $D_3$ 有六个元素。它是同构的 – 结构上相同的 $-\mathbb{Z}_6$ ? 如果您相信基于组表的直觉，您可能 会觉得它不是，因为结构不同: $\mathbb{Z}_6$ 有对角线的“条纹”，而这张桌子有“方块”。但是重新排列元素可以 揭示隐藏的条纹吗? 一种回答方法是考虑组属性。每个循环群都是可交换的。和 $D_3$ 不是: 例如， $\rho r_1 \neq r_1 \rho$. 重新排序不能使非交换性“消失”，因为它不会改变任何组合的结果。所以 $\mathrm{D}_3$ 不是循环 的。
另一种方法是考虑定义，它说循碧群是由单个元素生成的。在 $D_3$ ，身份 $e$ 生成单元素集e. 旋转p和 $\rho^2$ 每个生成子组 $\backslash$ left 缺少或无法识别的分隔符 射会产生什么? 重复执行任何 反射给出反射，然后是身份，然后是反射，然后是身份，等等。所以每次反射都会生成一个二元子 群。因此 $D_3$ 不是由单个元素生成的，因此不是循环的。
然而，这提出了一个问题。如果单个元素不足以生成 $D_3$ ，需要多少个? 你怎么认为? 两个元素可以 以不同的方式组合以给出每个组元素吗? 哪两个重要吗? 我建议在继续兑读之前, 先制作一个三角形 并进行实验。

数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|More symmetry groups

接下来要调查的明显组是 $D_4$, 正方形的对称群。
是否有关于 $D_3$ 概括为 $D_4$ ? 也许，因为 $D_3$ 和 $D_4$ 构造类似。但 $D_4$ 更大，所以有更多内部结构的“空 间”。你怎么认为? 什么是子群 $D_4$ ，它们都是循环的吗? 两个元素能否生成 $\mathrm{D}_4$ ?
喜欢 $D_3$ ，群组 $D_4$ 有一个由每个反射生成的二元子群和一个子群
\left 缺少或无法识别的分隔符 包括旋转和身份。这一次，旋转子群本身有一个 非平凡的真子群 $\backslash$ left 缺少或无法识别的分隔符 你能在表中看到这一点并通过想 象转换来理解它吗?
群组 $D_4$ 也有一个四元素子群 $\backslash$ left 缺少或无法识别的分隔符，，在下面的表格和迷 你表格中突出显示。这个子群是循环的吗? 否：每个非身份元素都是自逆的，因此它不能有一个生成 器。
因此 $D_4$ 不像 $D_3$ 具有适当的非循环子群。的全套子组 $D_4$ 如下所示。
现在， $r_3$ 和 $r_4$ “一起走”，因为它们是出现在 $\backslash$ left 缺少或无法识别的分隔符 . 但是 它们在主表中的不雅定位表明 $D_4$ 可以用结构上更自然的方式来标记。至于 $D_3$, 一次旋转和反射产生 $D_4$.

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博弈论代写

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它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

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数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|Matrices and transformations

Another type of object is a matrix. Matrices, like functions, might feel less like objects than numbers. But matrices of appropriately matching sizes can be combined via binary operations. For instance, for $2 \times 2$ matrices, addition and multiplication work like this:
$$
\begin{aligned}
\left(\begin{array}{ll}
a & b \
c & d
\end{array}\right)+\left(\begin{array}{ll}
k & l \
m & n
\end{array}\right) & =\left(\begin{array}{ll}
a+k & b+l \
c+m & d+n
\end{array}\right) \
\left(\begin{array}{ll}
a & b \
c & d
\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}
k & l \
m & n
\end{array}\right) & =\left(\begin{array}{ll}
a k+b m & a l+b n \
c k+d m & c l+d m
\end{array}\right) .
\end{aligned}
$$
The set of $2 \times 2$ matrices with entries in $\mathbb{R}$ is sometimes denoted by $M_2(\mathbb{R})$ or $M(2, \mathbb{R})$ or $M_{2 \times 2}(\mathbb{R})$ (I know, multiple notations are annoying-I prefer the last as it seems clearest what it means). This set is closed under matrix addition and under matrix multiplication-why? Both operations are associative, which you can check as in Section 1.2. Addition is commutative, but multiplication is not, so $M_{2 \times 2}(\mathbb{R})$ under multiplication is a non-commutative algebraic structure.

How about identities and inverses? For addition, the identity is a matrix of zeros, and all $2 \times 2$ matrices have additive inverses. For multiplication, the identity is
$$
\left(\begin{array}{ll}
1 & 0 \
0 & 1
\end{array}\right) \text {, and }\left(\begin{array}{ll}
a & b \
c & d
\end{array}\right) \text { has inverse } \frac{1}{a d-b c}\left(\begin{array}{cc}
d & -b \
-c & a
\end{array}\right) \text {. }
$$

数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|Symmetries and permutations

Another type of mathematical object is a symmetry. The idea of symmetries as objects was introduced in Section 1.3, which noted that an equilateral triangle has six distinct symmetries: two rotations, three reflections and an identity (‘do nothing’). These symmetries are represented below; the dots are just to track which vertex goes where.

Each symmetry can be understood as a transformation, a function mapping the triangle to itself. We could think of the triangle as centred at $(0,0)$ so that its symmetries form a subset of isometries of the plane. Indeed, you might observe that the triangle in fact has infinitely many symmetries because we could keep spinning it: a rotation through $480^{\circ}$ would map it to itself just as well as a rotation through $120^{\circ}$. But the two have the same effect on the triangle’s vertices, so there are only six interestingly different symmetries.

Because symmetries are transformations, they can be combined using composition. For the symmetries of an equilateral triangle, we can construct a binary operation table by cutting out a triangle, labelling its vertices, deciding on a ‘start’ position, then performing pairs of symmetries to check where it ends up. For instance, as observed in Section 1.3, the rotation $\rho$ followed by the reflection $r_1$ gives the single reflection $r_2$.

I strongly recommend that you do this cutting, labelling and turning. I am not a stickler for tedious checks, but I do believe that developing intuition for a new structure requires more than just reading a book. It will take five minutes to construct the whole table, so please do. Then check that it matches that below.

抽象代数代写

数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|Matrices and transformations

另一种类型的对象是矩阵。矩阵和函数一样，可能更像是数字而不是对象。但是可以通过二元运算组合大小适 当匹配的矩阵。例如，对于 $2 \times 2$ 矩阵、加法和乘法是这样工作的:
该组的 $2 \times 2$ 具有条目的矩阵 $\mathbb{R}$ 有时表示为 $M_2(\mathbb{R})$ 或者 $M(2, \mathbb{R})$ 或者 $M_{2 \times 2}(\mathbb{R})$ (我知道，多个符号很烦人-我更喜欦最后一个，因为它看起来最清楚它的意思) 。这个集合在矩阵加法和矩阵乘法下是封闭的 – 为什 $么 ?$ ? 这两个操作都是关联的，您可以在 1.2 节中检車。加法是可交换的，但乘法不是，所以 $M_{2 \times 2}(\mathbb{R})$ 乘法下是 一个非交换代数结构。
身份和逆怎么样? 另外，身份是一个䨐矩阵，所有 $2 \times 2$ 矩阵具有加法逆元。对于乘法，恒等式是
$\left(\begin{array}{llll}1 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)$, and $\left(\begin{array}{llll}a & b c & d\end{array}\right)$ has inverse $\frac{1}{a d-b c}\left(\begin{array}{lll}d & -b-c & a\end{array}\right)$.

数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|Symmetries and permutations

另一种类型的数学对象是对称性。 1.3 节介绍了对称作为对象的概念，其中指出等边三角形有六个不同的对称 性：两个旋转、三个反射和一个身份（“什么都不做”）。这些对称性如下所示; 这些点只是为了跟踪哪个顶点 去哪里。
每个对称性都可以理解为一种变换，一种将三角形映射到自身的函数。我们可以认为三角形的中心是 $(0,0)$ 因此 它的对称性形成了平面等距的子集。事实上，你可能会观察到三角形实际上有无限多的对称性，因为我们可以 不停地旋转它: 旋转 $480^{\circ}$ 会将它映射到自身以及通过旋转 $120^{\circ}$. 但两者对三角形顶点的影响相同，因此只有六 个有趣的不同对称性。
因为对称是变换，所以可以使用组合将它们组合起来。对于等边三角形的对称性，我们可以构造一个二元运算 表，方法是切出一个三角形，标记其顶点，确定“开始”位置，然后执行对称对以检查其结束位置。例如，如第 1.3 节所述，旋转 $\rho$ 其次是反射 $r_1$ 给出单一反射 $r_2$.
我强烈建议您进行切割、贴标签和车削。我不喜欢喷琐的检查，但我确实相信培养对新结构的直觉需要的不仅 仅是阅读一本书。构建整个表格需要五分钟，所以请做。然后检查它是否与下面的匹配。

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

如果你也在 怎样代写抽象代数Abstract Algebra MATH413这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。抽象代数Abstract Algebra是代数的一组高级课题，涉及抽象代数结构而不是通常的数系。这些结构中最重要的是群、环和场。通用代数是一个相关的学科，它将代数结构的类型作为单一对象进行研究。例如，群的结构是普遍代数中的一个单一对象，它被称为群的变种。

抽象代数Abstract Algebra在代数（数学中一个已经很广泛的部门）中，抽象代数（偶尔也称为现代代数）是对代数结构的研究。代数结构包括群、环、场、模块、向量空间、网格和代数。抽象代数这个术语是在20世纪初创造的，目的是将这一研究领域与代数的旧部分区分开来，更具体地说，是与初等代数，即在计算和推理中使用变量来表示数字。

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数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|Writing proofs

Reading proofs more effectively will help you to understand them more fully and become better at constructing proofs of your own. But there is no doubt that proof construction is difficult. Just as mathematical reading is not like ordinary reading, mathematical writing is not like ordinary writing. A proof is not like a message to tell a housemate that you have gone to the supermarket. Nor is it like a standard algorithm that you can learn and apply. There are standard proof strategies, and you should look out for those. But they are not that standard-to some extent, each proof is different, which can leave students feeling overwhelmed.

However, specific approaches can help. Some people find it useful to think of proof construction as involving two main processes: a formal part and a problem solving part. The formal part involves using the structure of a theorem to write a ‘frame’ for its proof: writing the premises, leaving a gap, then writing the conclusion. With that done, it is often possible to work forward from the premises and backward from the conclusion by formulating relevant things in terms of definitions or by making standard or obvious deductions. If you let it, a formal approach will shoulder quite a bit of the burden of proving. Indeed, for simple proofs, it might on its own be enough.

For more complex proofs, you also need problem solving to fill in the gap. This requires insight, which can come from reasoning about familiar examples, or from writing down possibly relevant theorems and thinking about whether they usefully apply. A proof will not flow from your pen in a single stream of mathematically correct argument-probably it will involve some false starts and periods of being stuck, and some cleaning up so that the writing makes sense. But writing one requires no magic. To demonstrate what I mean, I will reason through a formal part and a problem-solving part for this theorem.

数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|Who are you as a student?

Whappy to learn, and willing to put in the hours. The problem you will face is that it is easy to be like that for the first two weeks of a course like Abstract Algebra, but hard to sustain for more than about four. By week eight, you might want to lie on the floor, moan quietly and wish for someone to make it all easy. I can’t make it easy-undergraduate mathematics just isn’t easy. But if you find Abstract Algebra difficult, that is not because you are stupid or incapable. It’s because it is difficult. If this is your first full-on theorems-and-proofs course, it is likely to seem both difficult and alarmingly different from earlier mathematics. This can make students wonder whether they have topped out-whether they cannot cope with mathematics at this level or, more prosaically, whether they just don’t like it.

I would encourage you, though, to avoid making either judgement too soon. Many students transitioning to advanced mathematics have to adjust their expectations in two ways, accepting that they will not understand everything and learning to tolerate longer periods of intellectual discomfort. But most do manage that, and reach a point where they are satisfied with what they have learned. Of course, some then decide that pure mathematics is not their thing and that where possible in future they will avoid it. But better to decide from a position of strength, I think; better to know that you could do more but choose not to. Others experience not only new understanding but real joy in trading the more routine aspects of earlier work for logical reasoning and theory building.

To reach a positive position with minimal pain, I think it helps to reflect on your study trajectory, on the decisions you have made. For instance, you probably chose to study at the most prestigious accessible institution. A natural consequence of this is that the material you are taught will be only just within your intellectual reach. If you wished, you could switch to an easier degree or major, switch to a lower-prestige institution, or drop out of higher education and take a different route into professional life. Some students choose to do those things, and more power to themeveryone should think about how to use their time. But most students don’t. Most, when they reflect, decide that although it might be difficult, they do want to stick with their degree. Reflection and recommitment help, though. If you recognize that you’re doing what you’re doing by choice, it becomes easier to put up with its downsides and keep your eye on the prize.

抽象代数代写

数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|Writing proofs

更有效地阅读校样将帮助您更全面地理解它们，并更好地构建自己的校样。但毫无疑问，证明构造是困难的。正如数学阅读不同于普通阅读一样，数学写作也不同于普通写作。证明不像是告诉室友你去了超市的消息。它也不像您可以学习和应用的标准算法。有标准的证明策略，您应该注意这些策略。但它们并不是那么标准——在某种程度上，每个证明都是不同的，这会让学生感到不知所措。

但是，具体方法可以提供帮助。有些人发现将证明构建视为涉及两个主要过程是有用的：正式部分和问题解决部分。形式部分涉及使用定理的结构为其证明编写“框架”：编写前提，留空，然后编写结论。完成后，通常可以通过根据定义或通过标准或明显的推论来表述相关事物，从前提向前推，从结论向后推。如果你愿意，正式的方法将承担相当多的证明负担。事实上，对于简单的证明，它本身可能就足够了。

对于更复杂的证明，您还需要解决问题来填补空白。这需要洞察力，洞察力可以来自对熟悉示例的推理，或者来自写下可能相关的定理并思考它们是否有用。证明不会以数学上正确的论证的单一流从你的笔下流出——它可能会涉及一些错误的开始和卡住的时期，以及一些清理以使写作有意义。但是写一个不需要魔法。为了证明我的意思，我将通过这个定理的形式部分和问题解决部分进行推理。

数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|Who are you as a student?

乐于学习，愿意投入时间。你将面临的问题是，在像抽象代数这样的课程的前两周很容易做到这一点，但很难持续超过大约四个星期。到第八周，您可能想躺在地板上，安静地呻吟，并希望有人能让这一切变得轻松。我不能让它变得简单——本科数学并不容易。但是，如果您发现抽象代数很难，那并不是因为您愚蠢或无能。是因为难。如果这是您的第一门完整的定理和证明课程，它可能看起来既困难又与早期的数学有惊人的不同。这会让学生怀疑他们是否已经达到顶峰——他们是否无法应对这个水平的数学，或者更通俗地说，他们是否只是不喜欢它。

不过，我会鼓励您避免过早做出任何判断。许多过渡到高等数学的学生必须以两种方式调整他们的期望，接受他们不会理解所有事情并学会容忍更长时间的智力不适。但大多数人确实做到了这一点，并达到了对所学知识感到满意的地步。当然，有些人随后决定纯数学不是他们的事，并且在将来可能的情况下他们会避免它。但我认为最好从强势的立场来决定；最好知道你可以做更多但选择不做。其他人不仅体验到新的理解，而且体验到将早期工作的更常规方面换成逻辑推理和理论构建的真正乐趣。

为了以最小的痛苦达到积极的位置，我认为这有助于反思您的学习轨迹和您所做的决定。例如，您可能选择在最负盛名的无障碍机构学习。这样做的一个自然结果是，您所教授的材料将仅在您的智力范围内。如果你愿意，你可以换一个更简单的学位或专业，换一个声望较低的机构，或者退出高等教育，走另一条进入职业生涯的道路。有些同学选择做那些事情，给他们更多的权力，大家应该想想如何利用自己的时间。但大多数学生不会。大多数人在反思时都会决定，尽管这可能很困难，但他们确实希望坚持自己的学位。不过，反思和重新承诺会有所帮助。

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。