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## 数学代写|数值方法作业代写NUMERICAL METHODS代考|Runge Phenomenon

When the number $(n+1)$ of points used for the interpolation of a function $f(x)$ increases, we can expect the convergence of the Lagrange interpolation polynomial $P_n(x)$ to increase. Difficulties can be highlighted when the function is nearly constant (plane function) or linear on some part of the domain of $x$ and has a totally different behavior in the other parts of the domain.

First, examine the case of regularly spaced points. Consider on the interval $[-2,2]$ the function $y=\exp \left(-10 x^2\right)$ which tends rapidly to 0 outside a domain close to the origin. The polynomial very well approximates the function around the middle of the interpolation interval $[a, b]$ and thus there is convergence, but on the opposite a divergence occurs close to the endpoints of the interval (Figure 1.10) when the degree $n$ of the interpolation polynomial increases. This is Runge phenomenon (Hairer 1993).

When irregularly spaced points are used for interpolation according to the equation of Chebyshev polynomial roots (Figure 1.11), the convergence is neatly improved. With respect to Figure 1.10, the same Lagrange interpolation polynomial was used, only the position of the interpolation points changed.

## 数学代写|数值方法作业代写NUMERICAL METHODS代考|Interpolation by Cubic Hermite Polynomial

The interpolation of a function given by a cubic Hermite polynomial (also called cubic Hermite spline) lies on the principle that the interpolation function passes through the endpoints of the interval and possesses the same derivatives at these endpoints.

Consider a variable $t \in[0,1]$ such that the function $f(t)$ to approximate and its derivatives are given at the endpoints of the interval. Note
$$f(t=0)=f_0, \quad f(t=1)=f_1, \quad f^{\prime}(t=0)=f_0^{\prime}, \quad f^{\prime}(t=1)=f_1^{\prime}$$
This imposes four constraints for the interpolating function $\tilde{f}(t)$ which can thus be a polynomial of degree 3 , that is
$$\tilde{f}(t)=a_0+a_1 t+a_2 t^2+a_3 t^3$$
The respect of the constraints results in the following linear system:

Numerical Methods and Optimization
\begin{aligned} & a_0=f_0 \ & a_0+a_1+a_2+a_3=f_1 \ & a_1=f_0^{\prime} \ & a_1+2 a_2+3 a_3=f_1^{\prime} \end{aligned}
from which the values of the polynomial coefficients are drawn
\begin{aligned} & a_0=f_0 \ & a_1=f_0^{\prime} \ & a_2=-3 f_0+3 f_1-2 f_0^{\prime}-f_1^{\prime} \ & a_3=2 f_0-2 f_1+f_0^{\prime}+f_1^{\prime} \end{aligned}

## 数学代写|数值方法作业代写NUMERICAL METHODS代考|Interpolation by Cubic Hermite Polynomial

$$f(t=0)=f_0, \quad f(t=1)=f_1, \quad f^{\prime}(t=0)=f_0^{\prime}, \quad f^{\prime}(t=1)=f_1^{\prime}$$

$$\tilde{f}(t)=a_0+a_1 t+a_2 t^2+a_3 t^3$$

$$a_0=f_0 \quad a_0+a_1+a_2+a_3=f_1 a_1=f_0^{\prime} \quad a_1+2 a_2+3 a_3=f_1^{\prime}$$

$$a_0=f_0 \quad a_1=f_0^{\prime} a_2=-3 f_0+3 f_1-2 f_0^{\prime}-f_1^{\prime} \quad a_3=2 f_0-2 f_1+f_0^{\prime}+f_1^{\prime}$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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## 数学代写|数值方法作业代写NUMERICAL METHODS代考|Forward Differences

The forward difference operator is defined by
$$\Delta f(x)=f(x+h)-f(x)$$
$\Delta f(x)$ is called first forward difference (Figure 1.4).

It is possible to again use the operator, hence the second forward difference
\begin{aligned} \Delta^2 f(x) & =\Delta(\Delta f(x)) \ & =\Delta(f(x+h)-f(x)) \ & =\Delta f(x+h)-\Delta f(x) \ & =f(x+2 h)-2 f(x+h)+f(x) \end{aligned}
and so on until the $n$th forward difference
$$\Delta^n f(x)=\Delta^{n-1} f(x+h)-\Delta^{n-1} f(x)$$

## 数学代写|数值方法作业代写NUMERICAL METHODS代考|Backward Differences

The backward difference operator is defined by
$$\nabla f(x)=f(x)-f(x-h)$$
The interpolation based on backward differences (Figure 1.5) is very similar to that based on forward differences. Thus, the function $f(x)$ is expressed as
\begin{aligned} f\left(x_0+\alpha h\right) & =f\left(x_0\right)+\alpha \nabla f\left(x_0\right)+\frac{\alpha(\alpha+1)}{2 !} \nabla^2 f\left(x_0\right)+\ldots(\alpha+n-1) \ & \frac{\alpha(\alpha+1) \ldots}{n !} \nabla^n f\left(x_0\right)+R_n\left(x_0+\alpha h\right) \ & =P_n\left(x_0+\alpha h\right)+R_n\left(x_0+\alpha h\right) \end{aligned}

## 数学代写|数值方法作业代写NUMERICAL METHODS代考|Forward Differences

$$\Delta f(x)=f(x+h)-f(x)$$
$\Delta f(x)$ 称为一阶前向差分 (图 1.4)。

$$\Delta^2 f(x)=\Delta(\Delta f(x)) \quad=\Delta(f(x+h)-f(x))=\Delta f(x+h)-\Delta f(x) \quad=f(x+2 h)-2 f(x+h)+f(x)$$

$$\Delta^n f(x)=\Delta^{n-1} f(x+h)-\Delta^{n-1} f(x)$$

## 数学代写|数值方法作业代写NUMERICAL METHODS代考|Backward Differences

$$\nabla f(x)=f(x)-f(x-h)$$

$$f\left(x_0+\alpha h\right)=f\left(x_0\right)+\alpha \nabla f\left(x_0\right)+\frac{\alpha(\alpha+1)}{2 !} \nabla^2 f\left(x_0\right)+\ldots(\alpha+n-1) \quad \frac{\alpha(\alpha+1) \ldots}{n !} \nabla^n f\left(x_0\right)+R_n\left(x_0+\alpha h\right)=P_n\left(x_0+\alpha h\right)$$

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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## 数学代写|数值方法作业代写NUMERICAL METHODS代考|Interpolation Polynomial of Degree n

A criterion can be that, given $(n+1)$ couples $\left(x_i, f\left(x_i\right)\right)$, the interpolation polynomial passes through the $(n+1)$ points
$$\forall i=1, \ldots, n+1, \quad P_n\left(x_i\right)=f\left(x_i\right)$$
The approximation is not at all guaranteed for any value of $x$ different from $x_i$. As the polynomial goes through all points, the term of collocation is also used.

## 数学代写|数值方法作业代写NUMERICAL METHODS代考|Least Squares Polynomial

When the number $n$ of values is large or when the function is known with inaccuracy in a reduced number of points, it may be interesting to do the approximation by a polynomial of degree $m$ lower than $n$. The least squares approximation consists in searching the polynomial coefficients such that the sum of the squares of the errors is minimized
$$\min E=\sum_{i=0}^n\left[P_m\left(x_i\right)-f\left(x_i\right)\right]^2$$
with
$$P_m(x)=\sum_{j=0}^m a_j x^j=a_0+a_1 x+\cdots+a_m x^m$$

## 数学代写|数值方法作业代写NUMERICAL METHODS代 考|Interpolation Polynomial of Degree $\mathbf{n}$

$$\forall i=1, \ldots, n+1, \quad P_n\left(x_i\right)=f\left(x_i\right)$$

## 数学代写|数值方法作业代写NUMERICAL METHODS代考|Least Squares Polynomial

$$\min E=\sum_{i=0}^n\left[P_m\left(x_i\right)-f\left(x_i\right)\right]^2$$

$$P_m(x)=\sum_{j=0}^m a_j x^j=a_0+a_1 x+\cdots+a_m x^m$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。