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## 数学代写|复分析代写COMPLEX ANALYSIS代写|TMA4175 An Estimate of the Integral: The M-L Formul

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## 数学代写|复分析代写COMPLEX ANALYSIS代写|4 An Estimate of the Integral: The M-L Formul

Suppose that $\gamma:[a, b] \rightarrow \mathbb{C}$ is a smooth curve of length $L$ and $f$ is a continuous complex-valued function on $\gamma$. Let $M=\max {|f(\gamma(t))| \mid a \leq t \leq b}$. Then we have the estimate
$$\left|\int_{\gamma} f(z) \mathrm{d} z\right| \leq M L$$
This estimate can be applied to prove the following result:
Theorem 6.6. Let $\gamma$ be a smooth curve and $\left{f_{n}\right}$ be a sequence of continuous complex-valued functions on $\gamma$ such that $f_{n} \rightarrow f$ uniformly on $\gamma$. Then we have
$$\lim {n \rightarrow \infty} \int{\gamma} f_{n}(z) \mathrm{d} z=\int_{\gamma} f(z) \mathrm{d} z .$$
Corollary 6.7. Suppose that $\left{f_{n}\right}$ is a sequence of continuous complex-valued functions and that $\sum_{n=1}^{\infty} f_{n}(z)$ converges uniformly on a smooth curve $\gamma$. Then we have
$$\sum_{n=1}^{\infty} \int_{\gamma} f_{n}(z) \mathrm{d} z=\int_{\gamma} \sum_{n=1}^{\infty} f_{n}(z) \mathrm{d} z$$

## 数学代写|复分析代写COMPLEX ANALYSIS代写|Cauchy’s Theorems

Cauchy’s theorem (or called Cauchy’s Integral Theorem) is a type of results which investigate conditions so that the integral of an analytic function over a simple closed curve vanishes. In fact, there are a variety of conditions available and we are going to list some of them here.

Theorem $6.8$ (Cauchy’s Theorem for a Triangle). Suppose that $\Delta$ is a triangle in $\mathbb{C}$ and $f$ is analytic in a region $\Omega$ containing $\Delta$ and its interior. Then we must have
$$\int_{\Delta} f(z) \mathrm{d} z=0$$
It is sometimes called Goursat’s Theorem. We notice that the above result is also true in the case that $\Delta$ replaced by a rectangle $R$ or in the case that $f$ is continuous on $\Omega$ and $f \in H(\Omega \backslash{p})$ for some $p \in \Omega$, see $[1$, Theorem 2, p. 109] or $[31$, Theorem 10.13, pp. 205, 206].

Theorem 6.9 (Cauchy’s Theorem in a Convex Region). Suppose that $\Omega$ is a convex region and $f \in H(\Omega)$. Then it is true that $f=F^{\prime}$ for some $F \in H(\Omega)$ and
$$\int_{\gamma} f(z) \mathrm{d} z=0$$
for every closed path $\gamma$ in $\Omega .$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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## 数学代写|复分析代写COMPLEX ANALYSIS代写|MA8108 Radius of Convergence of Power Series

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## 数学代写|复分析代写COMPLEX ANALYSIS代写|Radius of Convergence of Power Series

(*) Determine the radii of convergence of the following power series:
(a) $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-2)^{n} z^{n}}{n+1}$
(b) $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2 n) !}{2^{2 n}(n !)^{2}} \cdot \frac{z^{2 n+1}}{2 n+1}$.
(c) $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{3^{n} z^{n}}{5^{n}+7^{n}}$.
Proof.
(a) According to Theorem $5.2$ (The Cauchy-Hadamard Theorem), we see that
$$L=\lim {k \rightarrow \infty} \frac{2}{(k+1)^{\frac{1}{k}}}=2 .$$ Therefore, the radius of convergence of the power series is $\frac{1}{2}$. (b) Using the Ratio Test, we see that $$R=\lim {k \rightarrow \infty} \frac{(2 k) !}{2^{2 k}(k !)^{2}(2 k+1)} \cdot \frac{2^{2 k+2}[(k+1) !]^{2}(2 k+3)}{(2 k+2) !}=\lim {k \rightarrow \infty} \frac{4(k+1)^{2}(2 k+3)}{(2 k+1)^{2}(2 k+2)}=1$$ so the radius of convergence of the power series is $1 .$ (c) By the Ratio Test, we know that $$R=\lim {k \rightarrow \infty} \frac{3^{k}}{5^{k}+7^{k}} \cdot \frac{5^{k+1}+7^{k+1}}{3^{k+1}}=\frac{1}{3} \lim _{k \rightarrow \infty} \frac{5^{k+1}+7^{k+1}}{5^{k}+7^{k}}=\frac{7}{3}$$

## 数学代写|复分析代写COMPLEX ANALYSIS代写|power series point of view of function

we see that every function defined by its power series is in fact analytic inside its radius of convergence. For the converse of this statement, we have to study the complex integration. We assume that the reader is familiar with the definition and basic properties of the Riemann integral
$$\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x$$
of a real-valued continuous function $f$ defined on the interval $[a, b]$. The extension to complexvalued continuous function $f:[a, b] \rightarrow \mathbb{C}$ is
$$\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\int_{a}^{b} \operatorname{Re} f(x) \mathrm{d} x+i \int_{a}^{b} \operatorname{Im} f(x) \mathrm{d} x$$
Integrals are important in the study of functions of a complex variable. The integral we frequently use in complex function theory is a type of line integral around a closed curve in the complex plane. In this chapter, such line integral is introduced. Then Cauchy’s Theorem and the Cauchy’s Integral Formula, which are the central theme of complex function theory, as well as their applications are studied.

Recall from Chapter 4 that $\Omega, \Omega$ and $H(\Omega)$ denote a region, the unit disc $D(0 ; 1)$ and the space of all analytic functions in the region $\Omega$.

## 数学代写|复分析代写COMPLEX ANALYSIS代写|Radius of Convergence of Power Series

(*) Determine the radii of convergence of the following power series:
(a) $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-2)^{n} z^{n}}{n+1}$
(b) $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2 n) !}{2^{2 n}(n !)^{2}} \cdot \frac{z^{2 n+1}}{2 n+1}$.
(c) $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{3^{n} z^{n}}{5^{n}+7^{n}}$.
Proof.
(a) According to Theorem $5.2$ (The Cauchy-Hadamard Theorem), we see that
$$L=\lim {k \rightarrow \infty} \frac{2}{(k+1)^{\frac{1}{k}}}=2 .$$ Therefore, the radius of convergence of the power series is $\frac{1}{2}$. (b) Using the Ratio Test, we see that $$R=\lim {k \rightarrow \infty} \frac{(2 k) !}{2^{2 k}(k !)^{2}(2 k+1)} \cdot \frac{2^{2 k+2}[(k+1) !]^{2}(2 k+3)}{(2 k+2) !}=\lim {k \rightarrow \infty} \frac{4(k+1)^{2}(2 k+3)}{(2 k+1)^{2}(2 k+2)}=1$$ so the radius of convergence of the power series is $1 .$ (c) By the Ratio Test, we know that $$R=\lim {k \rightarrow \infty} \frac{3^{k}}{5^{k}+7^{k}} \cdot \frac{5^{k+1}+7^{k+1}}{3^{k+1}}=\frac{1}{3} \lim _{k \rightarrow \infty} \frac{5^{k+1}+7^{k+1}}{5^{k}+7^{k}}=\frac{7}{3}$$

## 数学代写|复分析代写COMPLEX ANALYSIS代写|Fundamental Concepts

∫一个bF(X)dX

∫一个bF(X)dX=∫一个b回覆F(X)dX+一世∫一个b在里面F(X)dX

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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## 数学代写|复分析代写Complex analysis代写|MAT513 Operations on Power Series

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## 数学代写|复分析代写COMPLEX ANALYSIS代写|Operations on Power Series

Suppose that $f(z)=\sum_{n=0} a_{n} z^{n}$ converges in $D(0 ; R)={z \in \mathbb{C}|| z \mid<R}$. Then $f^{\prime}(z)$ exists and
$$f^{\prime}(z)=\sum_{n=1}^{\infty} n a_{n} z^{n-1}$$
in $D(0 ; R)$. Furthermore, $f$ is infinitely differentiable in $D(0 ; R)$ and for every $k \geq 1$, we have
$$f^{(k)}(z)=\sum_{n=k}^{\infty} n(n-1) \cdots(n-k+1) a_{n} z^{n-k}$$
in $D(0 ; R)$.

## 数学代写|复分析代写COMPLEX ANALYSIS代写|Power Series centered at z0

The power series considered in the previous sections is called power series centered at 0 . Generally, we may consider power series centered at an arbitrary point $z_{0}$ :
$$f(z)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}\left(z-z_{0}\right)^{n}$$
In this case, the disc of convergence will be changed from $D(0 ; R)$ to $D\left(z_{0} ; R\right)$ and the above theorems and corollary remain valid. See Figure $5.1$ for the convergence of this general power series.

## 数学代写|复分析代写COMPLEX ANALYSIS代写|Power Series centered at Infinity

The function $f(z)$ is said to be analytic at $z=\infty$ if the function $g(\omega)=f\left(\frac{1}{\omega}\right)$ is analytic at $\omega=0$. If $f(z)$ is analytic at $\infty$, then $g(\omega)=f\left(\frac{1}{\omega}\right)$ has a power series expansion centered at $\omega=0$, i.e.,
$$g(\omega)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} \omega^{n}$$

for $|\omega|<R$, where $R$ is its radius of convergence. Thus $f(z)$ has the following series representation
$$f(z)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_{n}}{z^{n}}$$

## 数学代写|复分析代写COMPLEX ANALYSIS代写|Operations on Power Series

F′(和)=∑n=1∞n一个n和n−1

F(ķ)(和)=∑n=ķ∞n(n−1)⋯(n−ķ+1)一个n和n−ķ

## 数学代写|复分析代写COMPLEX ANALYSIS代写|Power Series centered at z0

F(和)=∑n=0∞一个n(和−和0)n

G(ω)=∑n=0∞一个nωn

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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## 数学代写|实分析代写REAL ANALYSIS代写|MATHS7100 Uniform Continuity

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## 数学代写|实分析代写REAL ANALYSIS代写|Uniform Continuity

Let $\epsilon>0$ be given. Take $\delta=\epsilon / 2 C$. If $x, y \in E$ with $|x-y|<\delta$, then by the above $$|f(x)-f(y)| \leq 2 C|x-y|<2 C \delta<\epsilon .$$ Therefore $f$ is uniformly continuous on $E$. In this example, the choice of $\delta$ depends both on $\epsilon$, and the set $E$. In the exercises you will be asked to show that this result is false if the set $E$ is an unbounded interval. (b) Let $f(x)=\sin x$. As in Example $4.2 .2(\mathrm{f})$, $$|f(y)-f(x)| \leq|y-x|$$ for all $x, y \in \mathbb{R}$. Consequently, $f$ is uniformly continuous on $\mathbb{R}$. (c) In this example, we show that the function $f(x)=1 / x, x \in(0,1)$, is not uniformly continuous on $(0,1)$. Suppose on the contrary that $f$ is uniformly continuous on $(0,1)$. Then if we take $\epsilon=1$, there exists a $\delta>0$ such that
$$|f(x)-f(y)|=\left|\frac{1}{x}-\frac{1}{y}\right|<1$$
for all $x, y \in(0,1)$ with $|x-y|<\delta$. Since any smaller $\delta$ will also work, we can assume that $\delta<1$. Then for any $x \in\left(0, \frac{1}{2}\right), y=x+\frac{1}{2} \delta$ is in $(0,1)$ and satisfies $|x-y|<\delta$. Thus
$$|f(x)-f(y)|=\frac{\frac{1}{2} \delta}{x\left(x+\frac{1}{2} \delta\right)}<1$$

## 数学代写|实分析代写REAL ANALYSIS代写|Lipschitz Functions

Both of the functions in Example $4.3 .2$ (a) and (b) are examples of an extensive class of functions. If $E$ is a subset of a metric space $(X, d)$, a function $f: E \rightarrow$ $\mathbb{R}$ satisfies a Lipschitz condition on $E$ if there exists a positive constant $M$ such that
$$|f(x)-f(y)| \leq M d(x, y)$$
for all $x, y \in E$. Functions satisfying the above inequality are usually referred to as Lipschitz functions. As we will see in the next chapter, functions for which the derivative is bounded are Lipschitz functions. As a consequence of the following theorem, every Lipschitz function is uniformly continuous. However, not every uniformly continuous function is a Lipschitz function. For example, the function $f(x)=\sqrt{x}$ is uniformly continuous on $[0, \infty)$, but $f$ does not satisfy a Lipschitz condition on $[0, \infty)$ (see Exercise 5$)$.

## 数学代写|实分析代写REAL ANALYSIS代写|Uniform Continuity

|F(X)−F(是)|=|1X−1是|<1

|F(X)−F(是)|=12dX(X+12d)<1

## 数学代写|实分析代写REAL ANALYSIS代写|Lipschitz Functions

Example 中的两个函数4.3.2(a) 和 (b) 是一类广泛的函数的例子。如果和是度量空间的子集(X,d), 一个函数F:和→ R满足 Lipschitz 条件和如果存在一个正常数米这样
|F(X)−F(是)|≤米d(X,是)

## MATLAB代写

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## 数学代写|实分析代写Real analysis代写|MTH3140 Continuity and Compactness

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## 数学代写|实分析代写REAL ANALYSIS代写|Continuity and Compactness

We now consider several consequences of continuity. In our first result we prove that the continuous image of a compact set is compact. In the proof of the theorem we only use continuity and the definition of a compact set. For subsets of $\mathbb{R}$, an alternate proof using the Heine-Borel-Bolzano-Weierstrass theorem (Theorem 2.4.2) is suggested in the exercises (Exercise 25).

If $K$ is a compact subset of a metric space $X$ and if $f: K \rightarrow \mathbb{R}$ is continuous on $K$, then $f(K)$ is compact.

Proof. Let $\left{V_{\alpha}\right}_{\alpha \in A}$ be an open cover of $f(K)$. Since $f$ is continuous on $K$, $f^{-1}\left(V_{\alpha}\right)$ is open in $K$ for every $\alpha \in A$. By Theorem $2.2 .23$, for each $\alpha$ there exists an open subset $U_{\alpha}$ of $X$ such that
$$f^{-1}\left(V_{\alpha}\right)=K \cap U_{\alpha} .$$

## 数学代写|实分析代写REAL ANALYSIS代写|Intermediate Value Theorem

The following theorem is attributed to both Bolzano and Cauchy. Cauchy however implicitly assumed the completeness of $\mathbb{R}$ in his proof, whereas the proof by Bolzano (given below) uses the least upper bound property. An alternate proof is outlined in the miscellaneous exercises.

(Intermediate Value Theorem) Let $f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ be continuous. Suppose $f(a)<f(b)$. If $\gamma$ is a number satisfying
$$f(a)<\gamma<f(b),$$
then there exists $c \in(a, b)$ such that $f(c)=\gamma$.

F−1(在一个)=ķ∩在一个.

## 数学代写|实分析代写REAL ANALYSIS代写|Intermediate Value Theorem

(中值定理) 让F:[一个,b]→R是连续的。认为F(一个)<F(b). 如果C是一个满足的数
F(一个)<C<F(b),

## 计量经济学代写

MATLAB代写

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## 数学代写|实分析代写Real analysis代写|MTH2140 Topological Characterization of Continuity

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## 数学代写|实分析代写REAL ANALYSIS代写|Topological Characterization of Continuity

We illustrate the previous theorem for the function $f(x)=\sqrt{x}$, Dom $f=[0, \infty)$. Suppose first that $V$ is an open interval $(a, b)$ with $a<b$. Then
$$f^{-1}(V)= \begin{cases}\emptyset, & b \leq 0 \ {\left[0, b^{2}\right),} & a \leq 0<b \ \left(a^{2}, b^{2}\right), & 0<a\end{cases}$$
Clearly $\emptyset$ and $\left(a^{2}, b^{2}\right)$ are open subsets of $\mathbb{R}$ and hence also of $[0, \infty)$. Although $\left[0, b^{2}\right)$ is not open in $\mathbb{R}$,
$$\left[0, b^{2}\right)=\left(-b^{2}, b^{2}\right) \cap[0, \infty)$$

## 数学代写|实分析代写REAL ANALYSIS代写|Continuity and Compactness

We claim that $\left{U_{\alpha}\right}_{\alpha \in A}$ is an open cover of $K$. If $p \in K$, then $f(p) \in f(K)$ and thus $f(p) \in V_{\alpha}$ for some $\alpha \in A$. But then $p$ is in $f^{-1}\left(V_{\alpha}\right)$ and hence also in $U_{\alpha}$. Since each $U_{\alpha}$ is also open, the collection $\left{U_{\alpha}\right}_{\alpha \in A}$ is an open cover of $K$. Since $K$ is compact, there exists $\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n} \in A$ such that
$$K \subset \bigcup_{j=1}^{n} U_{\alpha_{j}}$$
Therefore,
$$K=\bigcup_{j=1}^{n}\left(U_{\alpha_{j}} \cap K\right)=\bigcup_{j=1}^{n} f^{-1}\left(V_{\alpha_{j}}\right)$$
and by Theorem $1.7 .14(\mathrm{a})$
$$f(K)=\bigcup_{j=1}^{n} f\left(f^{-1}\left(V_{\alpha_{j}}\right)\right) .$$
Since $f\left(f^{-1}\left(V_{\alpha_{j}}\right)\right) \subset V_{\alpha_{j}}, f(K) \subset \bigcup_{j=1}^{n} V_{\alpha_{j}}$. Thus $f(K)$ is compact.
As a corollary of the previous theorem we obtain the following generalization of the usual maximum-minimum theorem normally encountered in calculus.

## 数学代写|实分析代写REAL ANALYSIS代写|Topological Characterization of Continuity

F−1(在)={∅,b≤0 [0,b2),一个≤0<b (一个2,b2),0<一个

[0,b2)=(−b2,b2)∩[0,∞)

## 数学代写|实分析代写REAL ANALYSIS代写|Continuity and Compactness

ķ⊂⋃j=1n在一个j

ķ=⋃j=1n(在一个j∩ķ)=⋃j=1nF−1(在一个j)

F(ķ)=⋃j=1nF(F−1(在一个j)).

## 计量经济学代写

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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## 数学代写|实分析代写Real analysis代写|MAST20026 Continuous Functions

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## 数学代写|实分析代写REAL ANALYSIS代写|Limits at Infinity

Let $f$ be a real-valued function such that Dom $f \cap$ $(a, \infty) \neq \emptyset$ for every $a \in \mathbb{R}$. The function $f$ has $a$ limit at $\infty$ if there exists a number $L \in \mathbb{R}$ such that given $\epsilon>0$, there exists a real number $M$ for which
$$|f(x)-L|<\epsilon$$ for all $x \in \operatorname{Dom} f \cap(M, \infty)$. If this is the case, we write $$\lim {x \rightarrow \infty} f(x)=L .$$ Similarly, if Dom $f \cap(-\infty, b) \neq \emptyset$ for every $b \in \mathbb{R}$. $$\lim {x \rightarrow-\infty} f(x)=L$$ if and only if given $\epsilon>0$, there exists a real number $M$ such that
$$|f(x)-L|<\epsilon$$
for all $x \in \operatorname{Dom} f \cap(-\infty, M)$.

## 数学代写|实分析代写REAL ANALYSIS代写|Continuous Functions

(a) Let $g$ be defined as in Example 4.1.2(b), i.e.,
$$g(x)=\left{\begin{array}{cc} \frac{x^{2}-4}{x-2}, & x \neq 2 \ 2, & x=2 \end{array}\right.$$
At the point $p=2, \lim {x \rightarrow 2} g(x)=4 \neq g(2)$. Thus $g$ is not continuous at $p=2$. However, if we redefine $g$ at $p=2$ so that $g(2)=4$, then this function is now continuous at $p=2$. (b) Let $f$ be as defined in Example 4.1.2(e), i.e. $f(x)=\left{\begin{array}{ll}0, & x \in \mathbb{Q} \ x, & x \notin \mathbb{Q}\end{array}\right.$. Since $$\lim {x \rightarrow 0} f(x)=0=f(0),$$
$f$ is continuous at $p=0$. On the other hand, since $\lim _{x \rightarrow p} f(x)$ fails to exists for every $p \neq 0, f$ is discontinuous at every $p \in \mathbb{R}, p \neq 0$.

## 数学代写|实分析代写REAL ANALYSIS代写|Limits at Infinity

$$|f(x)-L|<\epsilon$$ for all $x \in \operatorname{Dom} f \cap(M, \infty)$. If this is the case, we write $$\lim {x \rightarrow \infty} f(x)=L .$$ Similarly, if Dom $f \cap(-\infty, b) \neq \emptyset$ for every $b \in \mathbb{R}$. $$\lim {x \rightarrow-\infty} f(x)=L$$ if and only if given $\epsilon>0$, there exists a real number $M$ such that
$$|f(x)-L|<\epsilon$$

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$$g(x)=\left{\begin{array}{cc} \frac{x^{2}-4}{x-2}, & x \neq 2 \ 2, & x=2 \end{array}\right.$$
At the point $p=2, \lim {x \rightarrow 2} g(x)=4 \neq g(2)$. Thus $g$ is not continuous at $p=2$. However, if we redefine $g$ at $p=2$ so that $g(2)=4$, then this function is now continuous at $p=2$. (b) Let $f$ be as defined in Example 4.1.2(e), i.e. $f(x)=\left{\begin{array}{ll}0, & x \in \mathbb{Q} \ x, & x \notin \mathbb{Q}\end{array}\right.$. Since $$\lim {x \rightarrow 0} f(x)=0=f(0),$$
$f$ is continuous at $p=0$. On the other hand, since $\lim _{x \rightarrow p} f(x)$ fails to exists for every $p \neq 0, f$ is discontinuous at every $p \in \mathbb{R}, p \neq 0$.

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。