Category: 有限元

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有限元方法finite differences method有限差分法将可能是非线性的常微分方程（ODE）或偏微分方程（PDE）转换成可以用矩阵代数技术解决的线性方程系统。现代计算机可以有效地进行这些线性代数计算，再加上其相对容易实现，使得FDM在现代数值分析中得到了广泛的应用。今天，FDM与有限元方法一样，是数值解决PDE的最常用方法之一。

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数学代写|有限元代写Finite Element Method代考|The Galerkin method

For the choice of weight function $\psi_i$ equal to the approximation function $\phi_i$, the weighted-residual method is known as the Galerkin method. When $A$ is a linear operator, the algebraic equations of the Galerkin approximation are
$$
\begin{gathered}
\sum_{j=1}^N A_{i j} c_j=F_i \
A_{i j}=\int_{\Omega} \phi_i A\left(\phi_j\right) d x d y, \quad F_i=\int_{\Omega} \phi_i\left[f-A\left(\phi_0\right)\right] d x d y
\end{gathered}
$$
We note that $A_{i j}$ are not symmetric (i.e., $A_{i j} \neq A_{j i}$ ).
In general, the Galerkin method is not the same as the Ritz method. This should be clear from the fact that the former uses the weighted-integral form whereas the latter uses the weak form to determine the coefficients $c_j$.
Consequently, the approximation functions used in the Galerkin method are required to be of higher order than those in the Ritz method. The method that uses the weak form in which the weight function is the same as the approximation function is sometimes called the weak-form Galerkin method, but it is the same as the Ritz method. The Ritz and Galerkin methods yield the same solutions in two cases: (i) when the specified boundary conditions of the problem are all of the essential type, and therefore the requirements on $\phi_i$ in the two methods become the same and the weighted-integral form reduces to the weak form; and (ii) when the approximation functions of the Galerkin method are used in the Ritz method.

数学代写|有限元代写Finite Element Method代考|The least-squares method

In least-squares method, we determine the parameters $c_j$ by minimizing the integral of the square of the residual $R$ in Eq. (2.5.55):
$$
\frac{\partial}{\partial c_i} \int_{\Omega} R^2\left(x, y, c_1, c_2, \cdots, c_n\right) d x d y=0
$$
Or
$$
\int_{\Omega} \frac{\partial R}{\partial c_i} R d x d y=0, i=1,2, \ldots, n
$$
Comparison of Eq. (2.5.59) with Eq. (2.5.56) shows that $\psi_i=\partial R / \partial c_i$. If $A$ is a linear operator, we have $\psi_i=\partial R / \partial c_i=A\left(\phi_i\right)$, and Eq. (2.5.59) becomes
$$
\begin{gathered}
\sum_{j=1}^N\left[\int_{\Omega} A\left(\phi_i\right) A\left(\phi_j\right) d x d y\right] c_j=\int_{\Omega} A\left(\phi_i\right)\left[f-A\left(\phi_0\right)\right] d x d y \
\sum_{j=1}^N A_{i j} c_j=F_i \
A_{i j}=\int_{\Omega} A\left(\phi_i\right) A\left(\phi_j\right) d x, \quad F_i=\int_{\Omega} A\left(\phi_i\right)\left[f-A\left(\phi_0\right)\right] d x
\end{gathered}
$$
Note that the coefficient matrix $A_{i j}$ is symmetric whenever $A$ is a linear operator, but it involves the same order of differentiation as in the governing differential equation $A(u)-f=0$.

有限元代写

数学代写|有限元代写Finite Element Method代考|The Galerkin method

对于权函数$\psi_i$等于近似函数$\phi_i$的选择，加权残差法称为伽辽金法。当$A$为线性算子时，伽辽金近似的代数方程为
$$
\begin{gathered}
\sum_{j=1}^N A_{i j} c_j=F_i \
A_{i j}=\int_{\Omega} \phi_i A\left(\phi_j\right) d x d y, \quad F_i=\int_{\Omega} \phi_i\left[f-A\left(\phi_0\right)\right] d x d y
\end{gathered}
$$
我们注意到$A_{i j}$不是对称的(即$A_{i j} \neq A_{j i}$)。
一般来说，伽辽金方法与里兹方法是不一样的。从前者使用加权积分形式而后者使用弱形式来确定系数$c_j$的事实中应该可以清楚地看出这一点。
因此，在伽辽金方法中使用的近似函数要求比在里兹方法中使用的近似函数具有更高阶。使用弱形式的方法，即权函数与近似函数相同的方法有时被称为弱形式伽辽金方法，但它与里兹方法相同。Ritz方法和Galerkin方法在两种情况下得到相同的解:(i)当问题的指定边界条件都是基本型时，两种方法对$\phi_i$的要求变得相同，加权积分形式化为弱形式;(ii)当伽辽金方法的近似函数用于里兹方法时。

数学代写|有限元代写Finite Element Method代考|The least-squares method

在最小二乘法中，我们通过最小化式(2.5.55)中残差$R$平方的积分来确定参数$c_j$:
$$
\frac{\partial}{\partial c_i} \int_{\Omega} R^2\left(x, y, c_1, c_2, \cdots, c_n\right) d x d y=0
$$
或者
$$
\int_{\Omega} \frac{\partial R}{\partial c_i} R d x d y=0, i=1,2, \ldots, n
$$
比较Eq.(2.5.59)和Eq.(2.5.56)可知$\psi_i=\partial R / \partial c_i$。如果$A$是线性算子，则有$\psi_i=\partial R / \partial c_i=A\left(\phi_i\right)$，式(2.5.59)变为
$$
\begin{gathered}
\sum_{j=1}^N\left[\int_{\Omega} A\left(\phi_i\right) A\left(\phi_j\right) d x d y\right] c_j=\int_{\Omega} A\left(\phi_i\right)\left[f-A\left(\phi_0\right)\right] d x d y \
\sum_{j=1}^N A_{i j} c_j=F_i \
A_{i j}=\int_{\Omega} A\left(\phi_i\right) A\left(\phi_j\right) d x, \quad F_i=\int_{\Omega} A\left(\phi_i\right)\left[f-A\left(\phi_0\right)\right] d x
\end{gathered}
$$
注意，当$A$是线性算子时，系数矩阵$A_{i j}$是对称的，但它涉及与控制微分方程$A(u)-f=0$相同的微分阶。

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|有限元代写Finite Element Method代考|Virtual Work

The term configuration means the simultaneous positions of all material points of a body. A body with specific geometric constraints takes different configurations under different loads. The set of configurations that satisfy the geometric constraints (e.g., geometric boundary conditions) of the system is called the set of admissible configurations (i.e., every configuration in the set corresponds to the solution of the problem for a particular set of loads on the system). Of all admissible configurations only one of them corresponds to the equilibrium configuration under a set of applied loads, and it is this configuration that also satisfies Newton’s second law. The admissible configurations for a fixed set of loads can be obtained from infinitesimal variations of the true configuration (i.e., infinitesimal movement of the material points). During such variations, the geometric constraints of the system are not violated, and all applied forces are fixed at their actual equilibrium values. When a mechanical system experiences such variations in its equilibrium configuration, it is said to undergo virtual displacements. These displacements need not have any relationship with the actual displacements. The displacements are called virtual because they are imagined to take place (i.e., hypothetical) with the actual loads acting at their fixed values.

For example, consider a beam fixed at $x=0$ and subjected to any arbitrary loading (e.g., distributed as well as point loads), as shown in Fig. 2.3.6. The possible geometric configurations the beam can take under the loads may be expressed in terms of the transverse deflection $w(x)$ and axial displacement $u(x)$. The support conditions require that
$$
w(0)=0, \quad\left(-\frac{d w}{d x}\right)_{x=0}=0, \quad u(0)=0
$$
These are called the geometric or displacement boundary conditions. Boundary conditions that involve specifying the forces applied on the beam are called force boundary conditions.

The set of all functions $w(x)$ and $u(x)$ that satisfy the geometric boundary conditions is the set of admissible configurations for this case. This set consists of pairs of elements $\left{\left(u_i, w_i\right)\right}$ of the form
$$
\begin{gathered}
u_1(x)=a_1 x, \quad w_1(x)=b_1 x^2 \
u_2(x)=a_1 x+a_2 x^2, \quad w_2(x)=b_1 x^2+b_2 x^3
\end{gathered}
$$
where $a_i$ and $b_i$ are arbitrary constants. The pair $(u, w)$ that also satisfies, in addition to the geometric boundary conditions, the equilibrium equations and force boundary conditions (which require the precise nature of the applied loads) of the problem is the equilibrium solution. The virtual displacements, $\delta u(x)$ and $\delta w(x)$, must be necessarily of the form
$$
\delta u_1=a_1 x, \delta w_1=b_1 x^2 ; \quad \delta u_2=a_1 x+a_2 x^2, \delta w_2=b_1 x^2+b_2 x^3
$$
and so on, which satisfy the homogeneous form of the specified geometric boundary conditions:
$$
\delta w(0)=0, \quad\left(\frac{d \delta w}{d x}\right)_{x=0}=0, \quad \delta u(0)=0
$$

数学代写|有限元代写Finite Element Method代考|The Principle of Virtual Displacements

Consider the system of linear algebraic equations
$$
\begin{aligned}
& b_1=a_{11} x_1+a_{12} x_2+a_{13} x_3 \
& b_2=a_{21} x_1+a_{22} x_2+a_{23} x_3 \
& b_3=a_{31} x_1+a_{32} x_2+a_{33} x_3
\end{aligned}
$$
We see that there are nine coefficients $a_{i j}, i, j=1,2,3$ relating the three coefficients $\left(b_1, b_2, b_3\right)$ to $\left(x_1, x_2, x_3\right)$. The form of these linear equations suggests writing down the coefficients $a_{i j}$ (jth components in the ith equation) in the rectangular array
$$
\mathbf{A}=\left[\begin{array}{lll}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \
a_{21} & a_{22} & a_{23} \
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{array}\right]
$$
This rectangular array $\mathbf{A}$ of numbers $a_{i j}$ is called a matrix, and the quantities $a_{i j}$ are called the elements of matrix $\mathbf{A}$.

If a matrix has $m$ rows and $n$ columns, we will say that is $m$ by $n(m \times n)$, the number of rows always being listed first. The element in the $i$ th row and $j$ th column of a matrix $\mathbf{A}$ is generally denoted by $a_{i j}$, and we will sometimes designate a matrix by $\mathbf{A}=[A]=\left[a_{i j}\right]$. A square matrix is one that has the same number of rows as columns. An $n \times n$ matrix is said to be of order $n$. The elements of a square matrix for which the row number and the column number are the same (that is, $a_{i i}$ for any fixed $i$ ) are called diagonal elements. A square matrix is said to be a diagonal matrix if all of the off-diagonal elements are zero. An identity matrix or its unit matrix, denoted by $\mathbf{I}=[I]$, is a diagonal matrix whose elements are all 1’s. Examples of diagonal and identity matrices are:
$$
\left[\begin{array}{rrrr}
6 & 0 & 0 & 0 \
0 & 1 & 0 & 0 \
0 & 0 & 3 & 0 \
0 & 0 & 0 & -2
\end{array}\right], \quad \mathbf{I}=\left[\begin{array}{llll}
1 & 0 & 0 & 0 \
0 & 1 & 0 & 0 \
0 & 0 & 1 & 0 \
0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right]
$$
If the matrix has only one row or one column, we will normally use only a single subscript to designate its elements. For example,
$$
\mathbf{X}=\left{\begin{array}{l}
x_1 \
x_2 \
x_3
\end{array}\right}, \quad \mathbf{Y}=\left{\begin{array}{lll}
y_1 & y_2 & y_3
\end{array}\right}
$$
denote a column matrix and a row matrix, respectively. Row and column matrices can be used to denote the components of a vector.

有限元代写

数学代写|有限元代写Finite Element Method代考|Virtual Work

术语位形是指物体所有质点的同时位置。具有特定几何约束的物体在不同载荷作用下具有不同的构型。满足系统几何约束(如几何边界条件)的组态集称为可容许组态集(即，组态中的每一个组态都对应于系统上一组特定载荷的问题解)。在所有可接受的构型中，只有一种构型与一组施加载荷下的平衡构型相对应，正是这种构型也满足牛顿第二定律。一组固定载荷的可容许结构可以从真实结构的无穷小变化(即材料点的无穷小运动)中获得。在这种变化过程中，系统的几何约束不受破坏，所有施加的力都固定在它们的实际平衡值上。当一个机械系统在其平衡结构中经历这样的变化时，我们说它经历虚位移。这些位移不必与实际位移有任何关系。这些位移被称为虚位移，因为它们是想象的(即假设的)，实际载荷作用于它们的固定值。

例如，考虑一根固定在$x=0$的梁，并承受任意荷载(例如，分布荷载和点荷载)，如图2.3.6所示。梁在荷载作用下可能采取的几何构型可以用横向挠度$w(x)$和轴向位移$u(x)$来表示。支撑条件要求这样做
$$
w(0)=0, \quad\left(-\frac{d w}{d x}\right)_{x=0}=0, \quad u(0)=0
$$
这些被称为几何或位移边界条件。涉及指定施加在梁上的力的边界条件称为力边界条件。

满足几何边界条件的所有函数$w(x)$和$u(x)$的集合就是这种情况下的可容许构型的集合。该集合由表单的元素对$\left{\left(u_i, w_i\right)\right}$组成
$$
\begin{gathered}
u_1(x)=a_1 x, \quad w_1(x)=b_1 x^2 \
u_2(x)=a_1 x+a_2 x^2, \quad w_2(x)=b_1 x^2+b_2 x^3
\end{gathered}
$$
其中$a_i$和$b_i$是任意常数。除了几何边界条件外，还满足平衡方程和力边界条件(要求施加载荷的精确性质)的对$(u, w)$是平衡解。虚位移$\delta u(x)$和$\delta w(x)$必须是形式
$$
\delta u_1=a_1 x, \delta w_1=b_1 x^2 ; \quad \delta u_2=a_1 x+a_2 x^2, \delta w_2=b_1 x^2+b_2 x^3
$$
以此类推，满足指定几何边界条件的齐次形式:
$$
\delta w(0)=0, \quad\left(\frac{d \delta w}{d x}\right)_{x=0}=0, \quad \delta u(0)=0
$$

数学代写|有限元代写Finite Element Method代考|The Principle of Virtual Displacements

考虑线性代数方程组
$ $
开始{对齐}
& b_1=a_{11} x_1+a_{12} x_2+a_{13} x_3 \
& b_2=a_{21} x_1+a_{22} x_2+a_{23} x_3 \
& b_3=a_{31} x_1+a_{32} x_2+a_{33} x_3
结束{对齐}
$ $
我们看到有9个系数$a_{i j}， i, j=1,2,3$将三个系数$\left(b_1, b_2, b_3\右)$和$\left(x_1, x_2, x_3\右)$联系起来。这些线性方程的形式建议在矩形数组中写下系数$a_{i j}$(第i个方程中的第j个分量)
$ $
\ mathbf{一}=左[开始{数组}{微光}
A_ {11} & A_ {12} & A_ {13} \
A_ {21} & A_ {22} & A_ {23} \
A_ {31} & A_ {32} & A_ {33}
数组{}\ \端)
$ $
这个由数字$a_{i j}$组成的矩形数组$\mathbf{A}$称为矩阵，而数量$a_{i j}$称为矩阵$\mathbf{A}$的元素。

如果一个矩阵有$m$行和$n$列，我们说它是$m$ × $n(m \ * n)$，总是列在前面的行数。矩阵$\mathbf{a}$的第i行和第j列中的元素通常用$a_{i j}$表示，有时我们用$\mathbf{a}=[a]=\左[a_{i j}\右]$来表示矩阵。方阵是行数与列数相同的方阵。一个n × n的矩阵是n阶矩阵。方阵中行号和列号相同的元素(即对于任意固定的$i$，为$a_{i i}$)称为对角线元素。如果一个方阵的所有非对角元素都为零，则称其为对角矩阵。单位矩阵或单位矩阵，表示为$\mathbf{I}=[I]$，是一个元素均为1的对角矩阵。对角矩阵和单位矩阵的例子如下:
$ $
左[开始{数组}{rrrr}
6 & 0 & 0 & 0 \
0 & 1 & 0 & 0 \
0 & 0 & 3 & 0 \
0 & 0 & 0 & -2
\end{array}\right]， \quad \mathbf{I}=\left[\begin{array}{llll}]
1 & 0 & 0 & 0 \
0 & 1 & 0 & 0 \
0 & 0 & 1 & 0

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微观经济学代写

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线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

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MATLAB代写

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数学代写|有限元代写Finite Element Method代考|Integration by parts formulae

Let $p, q, u, v$, and $w$ be sufficiently differentiable functions of the coordinate $x$. Then the following integration by parts formulae hold:
$$
\int_a^b w \frac{d}{d x}\left(p \frac{d u}{d x}\right) d x=-\int_a^b p \frac{d w}{d x} \frac{d u}{d x} d x-w(a)\left(p \frac{d u}{d x}\right){x=a}+w(b)\left(p \frac{d u}{d x}\right){x=b}
$$

$$
\begin{aligned}
\int_a^b v \frac{d^2}{d x^2}\left(q \frac{d^2 w}{d x^2}\right) d x= & \int_a^b q \frac{d^2 v}{d x^2} \frac{d^2 w}{d x^2} d x \
& -v(a)\left[\frac{d}{d x}\left(q \frac{d^2 w}{d x^2}\right)\right]{x=a}+v(b)\left[\frac{d}{d x}\left(q \frac{d^2 w}{d x^2}\right)\right]{x=b} \
& +\left(\frac{d v}{d x}\right){x=a}\left(q \frac{d^2 w}{d x^2}\right){x=a}-\left(\frac{d v}{d x}\right){x=b}\left(q \frac{d^2 w}{d x^2}\right){x=b}
\end{aligned}
$$
These relations can easily be established.
To establish the relation in Eq. (2.2.26), we begin with the identity
$$
\frac{d}{d x}\left(w \cdot p \frac{d u}{d x}\right)=\frac{d w}{d x} p \frac{d u}{d x}+w \frac{d}{d x}\left(p \frac{d u}{d x}\right)
$$
Therefore, we have
$$
\begin{aligned}
\int_a^b w \frac{d}{d x}\left(p \frac{d u}{d x}\right) d x & =\int_a^b \frac{d}{d x}\left(w \cdot p \frac{d u}{d x}\right) d x-\int_a^b p \frac{d w}{d x} \frac{d u}{d x} d x \
& =-w(a)\left(p \frac{d u}{d x}\right){x=a}+w(b)\left(p \frac{d u}{d x}\right){x=b}-\int_a^b p \frac{d w}{d x} \frac{d u}{d x} d x
\end{aligned}
$$

数学代写|有限元代写Finite Element Method代考|Definition of a matrix

Consider the system of linear algebraic equations
$$
\begin{aligned}
& b_1=a_{11} x_1+a_{12} x_2+a_{13} x_3 \
& b_2=a_{21} x_1+a_{22} x_2+a_{23} x_3 \
& b_3=a_{31} x_1+a_{32} x_2+a_{33} x_3
\end{aligned}
$$
We see that there are nine coefficients $a_{i j}, i, j=1,2,3$ relating the three coefficients $\left(b_1, b_2, b_3\right)$ to $\left(x_1, x_2, x_3\right)$. The form of these linear equations suggests writing down the coefficients $a_{i j}$ (jth components in the ith equation) in the rectangular array
$$
\mathbf{A}=\left[\begin{array}{lll}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \
a_{21} & a_{22} & a_{23} \
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{array}\right]
$$
This rectangular array $\mathbf{A}$ of numbers $a_{i j}$ is called a matrix, and the quantities $a_{i j}$ are called the elements of matrix $\mathbf{A}$.

If a matrix has $m$ rows and $n$ columns, we will say that is $m$ by $n(m \times n)$, the number of rows always being listed first. The element in the $i$ th row and $j$ th column of a matrix $\mathbf{A}$ is generally denoted by $a_{i j}$, and we will sometimes designate a matrix by $\mathbf{A}=[A]=\left[a_{i j}\right]$. A square matrix is one that has the same number of rows as columns. An $n \times n$ matrix is said to be of order $n$. The elements of a square matrix for which the row number and the column number are the same (that is, $a_{i i}$ for any fixed $i$ ) are called diagonal elements. A square matrix is said to be a diagonal matrix if all of the off-diagonal elements are zero. An identity matrix or its unit matrix, denoted by $\mathbf{I}=[I]$, is a diagonal matrix whose elements are all 1’s. Examples of diagonal and identity matrices are:
$$
\left[\begin{array}{rrrr}
6 & 0 & 0 & 0 \
0 & 1 & 0 & 0 \
0 & 0 & 3 & 0 \
0 & 0 & 0 & -2
\end{array}\right], \quad \mathbf{I}=\left[\begin{array}{llll}
1 & 0 & 0 & 0 \
0 & 1 & 0 & 0 \
0 & 0 & 1 & 0 \
0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right]
$$
If the matrix has only one row or one column, we will normally use only a single subscript to designate its elements. For example,
$$
\mathbf{X}=\left{\begin{array}{l}
x_1 \
x_2 \
x_3
\end{array}\right}, \quad \mathbf{Y}=\left{\begin{array}{lll}
y_1 & y_2 & y_3
\end{array}\right}
$$
denote a column matrix and a row matrix, respectively. Row and column matrices can be used to denote the components of a vector.

有限元代写

数学代写|有限元代写Finite Element Method代考|Integration by parts formulae

设$p, q, u, v$和$w$是坐标$x$的充分可微函数。则分部积分公式成立:
$$
\int_a^b w \frac{d}{d x}\left(p \frac{d u}{d x}\right) d x=-\int_a^b p \frac{d w}{d x} \frac{d u}{d x} d x-w(a)\left(p \frac{d u}{d x}\right){x=a}+w(b)\left(p \frac{d u}{d x}\right){x=b}
$$

$$
\begin{aligned}
\int_a^b v \frac{d^2}{d x^2}\left(q \frac{d^2 w}{d x^2}\right) d x= & \int_a^b q \frac{d^2 v}{d x^2} \frac{d^2 w}{d x^2} d x \
& -v(a)\left[\frac{d}{d x}\left(q \frac{d^2 w}{d x^2}\right)\right]{x=a}+v(b)\left[\frac{d}{d x}\left(q \frac{d^2 w}{d x^2}\right)\right]{x=b} \
& +\left(\frac{d v}{d x}\right){x=a}\left(q \frac{d^2 w}{d x^2}\right){x=a}-\left(\frac{d v}{d x}\right){x=b}\left(q \frac{d^2 w}{d x^2}\right){x=b}
\end{aligned}
$$
这些关系很容易建立起来。
为了建立式(2.2.26)中的关系，我们先从恒等开始
$$
\frac{d}{d x}\left(w \cdot p \frac{d u}{d x}\right)=\frac{d w}{d x} p \frac{d u}{d x}+w \frac{d}{d x}\left(p \frac{d u}{d x}\right)
$$
因此，我们有
$$
\begin{aligned}
\int_a^b w \frac{d}{d x}\left(p \frac{d u}{d x}\right) d x & =\int_a^b \frac{d}{d x}\left(w \cdot p \frac{d u}{d x}\right) d x-\int_a^b p \frac{d w}{d x} \frac{d u}{d x} d x \
& =-w(a)\left(p \frac{d u}{d x}\right){x=a}+w(b)\left(p \frac{d u}{d x}\right){x=b}-\int_a^b p \frac{d w}{d x} \frac{d u}{d x} d x
\end{aligned}
$$

数学代写|有限元代写Finite Element Method代考|Definition of a matrix

考虑线性代数方程组
$$
\begin{aligned}
& b_1=a_{11} x_1+a_{12} x_2+a_{13} x_3 \
& b_2=a_{21} x_1+a_{22} x_2+a_{23} x_3 \
& b_3=a_{31} x_1+a_{32} x_2+a_{33} x_3
\end{aligned}
$$
我们看到有九个系数$a_{i j}, i, j=1,2,3$将三个系数$\left(b_1, b_2, b_3\right)$和$\left(x_1, x_2, x_3\right)$联系起来。这些线性方程的形式建议在矩形数组中写下系数$a_{i j}$(第i个方程中的第j个分量)
$$
\mathbf{A}=\left[\begin{array}{lll}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \
a_{21} & a_{22} & a_{23} \
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{array}\right]
$$
这个矩形数组$\mathbf{A}$的数字$a_{i j}$称为矩阵，数量$a_{i j}$称为矩阵$\mathbf{A}$的元素。

如果一个矩阵有$m$行和$n$列，我们就说它是$m$ × $n(m \times n)$，总是首先列出的行数。矩阵$\mathbf{A}$的$i$第行和$j$第列中的元素通常用$a_{i j}$表示，有时我们用$\mathbf{A}=[A]=\left[a_{i j}\right]$来指定一个矩阵。方阵是行数与列数相同的方阵。我们说$n \times n$矩阵的阶为$n$。方阵中行号和列号相同的元素(即对于任何固定的$i$，为$a_{i i}$)称为对角线元素。如果一个方阵的所有非对角元素都为零，则称其为对角矩阵。单位矩阵或它的单位矩阵，表示为$\mathbf{I}=[I]$，是一个元素都为1的对角矩阵。对角矩阵和单位矩阵的例子如下:
$$
\left[\begin{array}{rrrr}
6 & 0 & 0 & 0 \
0 & 1 & 0 & 0 \
0 & 0 & 3 & 0 \
0 & 0 & 0 & -2
\end{array}\right], \quad \mathbf{I}=\left[\begin{array}{llll}
1 & 0 & 0 & 0 \
0 & 1 & 0 & 0 \
0 & 0 & 1 & 0 \
0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right]
$$
如果矩阵只有一行或一列，我们通常只使用一个下标来指定它的元素。例如，
$$
\mathbf{X}=\left{\begin{array}{l}
x_1 \
x_2 \
x_3
\end{array}\right}, \quad \mathbf{Y}=\left{\begin{array}{lll}
y_1 & y_2 & y_3
\end{array}\right}
$$
分别表示列矩阵和行矩阵。行矩阵和列矩阵可以用来表示向量的分量。

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

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数学代写|有限元代写Finite Element Method代考|Summation convention

It is useful to abbreviate a summation of terms by understanding that a repeated index means summation over all values of that index. Thus the summation
$$
\mathbf{A}=\sum_{i=1}^3 A_i \mathbf{e}i $$ can be shortened to $$ \mathbf{A}=A_i \mathbf{e}_i $$ The repeated index is a dummy index and thus can be replaced by any other symbol that has not already been used. Thus we can also write $$ \mathbf{A}=A_i \mathbf{e}_i=A_m \mathbf{e}_m $$ and so on. The “dot product” $\hat{\mathbf{e}}_i \cdot \hat{\mathbf{e}}_j$ and “cross product” $\hat{\mathbf{e}}_i \times \hat{\mathbf{e}}_j$ of base vectors in a righthanded system are defined by $$ \begin{aligned} & \hat{\mathbf{e}}_i \cdot \hat{\mathbf{e}}_j \equiv \delta{i j}= \begin{cases}0, & \text { if } i \neq j \
1, & \text { if } i=j\end{cases} \
& \hat{\mathbf{e}}i \times \hat{\mathbf{e}}_j \equiv \varepsilon{i j k} \hat{\mathbf{e}}_k
\end{aligned}
$$

where $\delta_{i j}$ is the Kronecker delta and $\varepsilon_{i j k}$ is the alternating symbol or permutation symbol
$$
\varepsilon_{i j k}=\left{\begin{aligned}
1, & \text { if } i, j, k \text { are in cyclic order } \
& \text { and not repeated }(i \neq j \neq k), \
-1, & \text { if } i, j, k \text { are not in cyclic order } \
& \text { and not repeated }(i \neq j \neq k), \
0, & \text { if any of } i, j, k \text { are repeated. }
\end{aligned}\right.
$$
Note that in Eq. (2.2.6), $k$ is a dummy index, while $i$ and $j$ are not. The latter are called free indices. A free index can be changed to some other index only when it is changed in every expression of the equation to the same index. Thus, we can write Eq. (2.2.6) as
$$
\hat{\mathbf{e}}m \times \hat{\mathbf{e}}_j=\varepsilon{m j k} \hat{\mathbf{e}}k ; \quad \hat{\mathbf{e}}_m \times \hat{\mathbf{e}}_n=\varepsilon{m n k} \hat{\mathbf{e}}k ; \quad \hat{\mathbf{e}}_p \times \hat{\mathbf{e}}_q=\varepsilon{p q k} \hat{\mathbf{e}}_k
$$

数学代写|有限元代写Finite Element Method代考|The del operator

Differentiation of vector functions with respect to the coordinates is common in science and engineering. Most of the operations involve the “del operator”, denoted by $\nabla$. In a rectangular Cartesian system it has the form
$$
\nabla \equiv \hat{\mathbf{e}}_x \frac{\partial}{\partial x}+\hat{\mathbf{e}}_y \frac{\partial}{\partial y}+\hat{\mathbf{e}}_z \frac{\partial}{\partial z}
$$
It is important to note that the del operator has some of the properties of a vector but it does not have them all, because it is an operator. The operation $\nabla \phi(\mathbf{x})$ is called the gradient of a scalar function $\phi$ whereas $\nabla \times \mathbf{A}(\mathbf{x})$ is called the curl of a vector function $\mathbf{A}$. The operator $\nabla^2 \equiv \nabla \cdot \nabla$ is called the Laplace operator. In a 3-D rectangular Cartesian coordinate system it has the form
$$
\nabla^2=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}
$$
We have the following relations between the rectangular Cartesian coordinates $(x, y, z)$ and cylindrical coordinates $(r, \theta, z)$ (see Fig. 2.2.2):

$$
x=r \cos \theta, y=r \sin \theta, z=z
$$
The base vectors in the two coordinate systems are related by
$$
\hat{\mathbf{e}}r=\cos \theta \hat{\mathbf{e}}_x+\sin \theta \hat{\mathbf{e}}_y, \quad \hat{\mathbf{e}}\theta=-\sin \theta \hat{\mathbf{e}}x+\cos \theta \hat{\mathbf{e}}_y, \quad \hat{\mathbf{e}}_z=\hat{\mathbf{e}}_z $$ Note that the base vectors of the cylindrical coordinate system are not constant; the direction of $\theta$ and $r$-coordinates change as we move around the cylindrical surface. Thus, we have $$ \frac{\partial \hat{\mathbf{e}}_r}{\partial \theta}=-\sin \theta \hat{\mathbf{e}}_x+\cos \theta \hat{\mathbf{e}}_y=\hat{\mathbf{e}}\theta, \frac{\partial \hat{\mathbf{e}}\theta}{\partial \theta}=-\cos \theta \hat{\mathbf{e}}_x-\sin \theta \hat{\mathbf{e}}_y=-\hat{\mathbf{e}}_r $$ and all other derivatives of the base vectors are zero. The operators $\nabla$ and $\nabla^2$ in the cylindrical coordinate system are given by (see Reddy $[2,3]$ ) $$ \boldsymbol{\nabla}=\hat{\mathrm{e}}_r \frac{\partial}{\partial r}+\frac{1}{r} \hat{\mathrm{e}}\theta \frac{\partial}{\partial \theta}+\hat{\mathrm{e}}_z \frac{\partial}{\partial z}, \quad \nabla^2=\frac{1}{r}\left[\frac{\partial}{\partial r}\left(r \frac{\partial}{\partial r}\right)+\frac{1}{r} \frac{\partial^2}{\partial \theta^2}+r \frac{\partial^2}{\partial z^2}\right]
$$

有限元代写

数学代写|有限元代写Finite Element Method代考|Summation convention

通过理解重复索引意味着对该索引的所有值求和，可以简化项的求和。这就是求和
$$
\mathbf{A}=\sum_{i=1}^3 A_i \mathbf{e}i $$可以缩写为$$ \mathbf{A}=A_i \mathbf{e}_i $$重复索引是一个虚拟索引，因此可以用任何其他尚未使用过的符号代替。因此，我们也可以写$$ \mathbf{A}=A_i \mathbf{e}_i=A_m \mathbf{e}_m $$等等。右手坐标系中基向量的“点积”$\hat{\mathbf{e}}_i \cdot \hat{\mathbf{e}}_j$和“叉积”$\hat{\mathbf{e}}_i \times \hat{\mathbf{e}}_j$定义为 $$ \begin{aligned} & \hat{\mathbf{e}}_i \cdot \hat{\mathbf{e}}_j \equiv \delta{i j}= \begin{cases}0, & \text { if } i \neq j \
1, & \text { if } i=j\end{cases} \
& \hat{\mathbf{e}}i \times \hat{\mathbf{e}}_j \equiv \varepsilon{i j k} \hat{\mathbf{e}}_k
\end{aligned}
$$

其中$\delta_{i j}$是克罗内克符号$\varepsilon_{i j k}$是交替符号或排列符号
$$
\varepsilon_{i j k}=\left{\begin{aligned}
1, & \text { if } i, j, k \text { are in cyclic order } \
& \text { and not repeated }(i \neq j \neq k), \
-1, & \text { if } i, j, k \text { are not in cyclic order } \
& \text { and not repeated }(i \neq j \neq k), \
0, & \text { if any of } i, j, k \text { are repeated. }
\end{aligned}\right.
$$
注意，在Eq.(2.2.6)中，$k$是一个虚拟索引，而$i$和$j$不是。后者称为自由索引。只有当一个自由索引在等式的每个表达式中都被更改为相同的索引时，它才能被更改为其他索引。因此，我们可以将Eq.(2.2.6)写成
$$
\hat{\mathbf{e}}m \times \hat{\mathbf{e}}_j=\varepsilon{m j k} \hat{\mathbf{e}}k ; \quad \hat{\mathbf{e}}_m \times \hat{\mathbf{e}}_n=\varepsilon{m n k} \hat{\mathbf{e}}k ; \quad \hat{\mathbf{e}}_p \times \hat{\mathbf{e}}_q=\varepsilon{p q k} \hat{\mathbf{e}}_k
$$

数学代写|有限元代写Finite Element Method代考|The del operator

向量函数关于坐标的微分在科学和工程中是很常见的。大多数操作都涉及“del操作符”，用$\nabla$表示。在直角笛卡尔坐标系中，它有这样的形式
$$
\nabla \equiv \hat{\mathbf{e}}_x \frac{\partial}{\partial x}+\hat{\mathbf{e}}_y \frac{\partial}{\partial y}+\hat{\mathbf{e}}_z \frac{\partial}{\partial z}
$$
重要的是要注意，del运算符具有向量的一些属性，但它不具有所有属性，因为它是一个运算符。操作$\nabla \phi(\mathbf{x})$称为标量函数的梯度$\phi$，而$\nabla \times \mathbf{A}(\mathbf{x})$称为矢量函数$\mathbf{A}$的旋度。算子$\nabla^2 \equiv \nabla \cdot \nabla$被称为拉普拉斯算子。在三维直角笛卡尔坐标系中，它有这样的形式
$$
\nabla^2=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}
$$
直角笛卡尔坐标$(x, y, z)$与柱坐标$(r, \theta, z)$的关系如下图2.2.2:

$$
x=r \cos \theta, y=r \sin \theta, z=z
$$
两个坐标系中的基向量由
$$
\hat{\mathbf{e}}r=\cos \theta \hat{\mathbf{e}}_x+\sin \theta \hat{\mathbf{e}}_y, \quad \hat{\mathbf{e}}\theta=-\sin \theta \hat{\mathbf{e}}x+\cos \theta \hat{\mathbf{e}}_y, \quad \hat{\mathbf{e}}_z=\hat{\mathbf{e}}_z $$注意圆柱坐标系的基向量不是恒定的;当我们绕圆柱面移动时，$\theta$和$r$坐标的方向会改变。因此，我们有$$ \frac{\partial \hat{\mathbf{e}}_r}{\partial \theta}=-\sin \theta \hat{\mathbf{e}}_x+\cos \theta \hat{\mathbf{e}}_y=\hat{\mathbf{e}}\theta, \frac{\partial \hat{\mathbf{e}}\theta}{\partial \theta}=-\cos \theta \hat{\mathbf{e}}_x-\sin \theta \hat{\mathbf{e}}_y=-\hat{\mathbf{e}}_r $$所有基向量的导数都是零。柱坐标系中的算子$\nabla$和$\nabla^2$由(参见Reddy $[2,3]$)给出。 $$ \boldsymbol{\nabla}=\hat{\mathrm{e}}_r \frac{\partial}{\partial r}+\frac{1}{r} \hat{\mathrm{e}}\theta \frac{\partial}{\partial \theta}+\hat{\mathrm{e}}_z \frac{\partial}{\partial z}, \quad \nabla^2=\frac{1}{r}\left[\frac{\partial}{\partial r}\left(r \frac{\partial}{\partial r}\right)+\frac{1}{r} \frac{\partial^2}{\partial \theta^2}+r \frac{\partial^2}{\partial z^2}\right]
$$

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

如果你也在 怎样代写有限元方法finite differences method 这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。有限元方法finite differences method在数值分析中，是一类通过用有限差分逼近导数解决微分方程的数值技术。空间域和时间间隔（如果适用）都被离散化，或被分成有限的步骤，通过解决包含有限差分和附近点的数值的代数方程来逼近这些离散点的解的数值。

有限元方法finite differences method有限差分法将可能是非线性的常微分方程（ODE）或偏微分方程（PDE）转换成可以用矩阵代数技术解决的线性方程系统。现代计算机可以有效地进行这些线性代数计算，再加上其相对容易实现，使得FDM在现代数值分析中得到了广泛的应用。今天，FDM与有限元方法一样，是数值解决PDE的最常用方法之一。

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数学代写|有限元代写Finite Element Method代考|A Brief Review of the History of the Finite Element Method

The idea of representing a given domain as a collection of discrete parts is not unique to the finite element method. It was recorded that ancient mathematicians estimated the value of $\pi$ by noting that the perimeter of a polygon inscribed in a circle approximates the circumference of the latter. They predicted the value of $\pi$ to accuracy of almost 40 significant digits by representing the circle as a polygon of a finitely large number of sides (see Reddy $[5,6])$. In modern times, the idea first found a home in structural analysis, where, for example, wings and fuselages are treated as assemblages of stringers, skins, and shear panels. In 1941, Hrenikoff [7] introduced the socalled framework method, in which a plane elastic medium was represented as a collection of bars and beams. The use of piecewise continuous functions defined over a subdomain to approximate an unknown function can be found in the work of Courant [8], who used an assemblage of triangular elements and the principle of minimum total potential energy to study the St. Venant torsion problem. Although certain key features of the finite element method can be found in the works of Hrenikoff [7] and Courant [8], its formal presentation is attributed to Argyris and Kelsey [9] and Turner et. al. [10]. The term “finite element” was first used by Clough [11]. Since its inception, the literature on finite element applications has grown exponentially, and today there are numerous books and journals that are primarily devoted to the theory and application of the method. Additional information on the history of the finite element method can be found in [12-16].

In recent years, extensions and modifications of the finite element method have been proposed. These include the partition of unity method (PUM) of Melenk and Babuska [17], the $h-p$ cloud method of Duarte and Oden [18], meshless methods advanced by Belytschko and his colleagues [19], and generalized finite element method (GFEM) detailed by Babuska and Strouboulis [20]. All of these methods and numerous other methods not named here are very closely related to the original idea.

数学代写|有限元代写Finite Element Method代考|The Present Study

This book deals with an introduction to the finite element method and its application to linear problems in engineering and applied sciences. Most introductory finite element textbooks written for use in engineering schools are intended for students of solid and structural mechanics, and these introduce the method as an offspring of matrix methods of structural analysis. A few texts that treat the method as a variationally based technique leave the variational formulations and the associated methods of approximation to an appendix. The approach taken in this book is one in which the finite element method is introduced as a numerical technique of solving classes of problems, each class having a common mathematical structure in the form of governing differential equations. This approach makes the reader understand the generality of the finite element method, irrespective of the reader’s subject background. It also enables the reader to see the mathematical structure common to various physical problems, and thereby to gain additional insights into various engineering problems. Review of engineering problems that are governed by each class of equations will receive significant attention because the review helps the reader to understand the connection between the continuum problem and its discrete model.

有限元代写

数学代写|有限元代写Finite Element Method代考|A Brief Review of the History of the Finite Element Method

将给定域表示为离散部分的集合的思想并不是有限元法所独有的。据记载，古代数学家估计$\pi$的值是通过注意到在圆上刻的多边形的周长近似于后者的周长。他们通过将圆表示为具有有限个边数的多边形，预测了$\pi$的值，精度接近40位有效数字(参见Reddy $[5,6])$。在现代，这个想法首先在结构分析中找到了一个家，例如，机翼和机身被视为弦、外皮和剪切板的组合。1941年，Hrenikoff[7]引入了所谓的框架法，将平面弹性介质表示为杆和梁的集合。在Courant[8]的工作中，可以发现使用子域上定义的分段连续函数来近似未知函数，他使用三角形元素组合和最小总势能原理来研究St. Venant扭转问题。虽然有限元法的某些关键特征可以在Hrenikoff[7]和Courant[8]的作品中找到，但其正式表达要归功于Argyris和Kelsey[9]以及Turner等人[10]。“有限元”一词最早由Clough提出[11]。自成立以来，关于有限元应用的文献呈指数级增长，今天有许多书籍和期刊主要致力于该方法的理论和应用。关于有限元法历史的更多信息可以在[12-16]中找到。

近年来，人们提出了对有限元方法的扩展和修正。这些方法包括Melenk和Babuska[17]的单位分割法(PUM)， Duarte和Oden[18]的$h-p$ cloud方法，Belytschko等人提出的无网格方法[19]，Babuska和strououlis详细介绍的广义有限元法(GFEM)[20]。所有这些方法以及这里没有提到的许多其他方法都与最初的想法密切相关。

数学代写|有限元代写Finite Element Method代考|The Present Study

本书介绍了有限元方法及其在工程和应用科学线性问题中的应用。大多数为工程学校编写的入门级有限元教材都是为学习固体力学和结构力学的学生编写的，这些教材将有限元方法作为结构分析的矩阵方法的后代来介绍。一些将该方法视为基于变分的技术的文本将变分公式和相关的近似方法留在附录中。本书所采用的方法是将有限元方法作为一种解决问题的数值技术引入，每一类都具有控制微分方程形式的共同数学结构。这种方法使读者了解有限元方法的通用性，而不考虑读者的学科背景。它还使读者能够看到各种物理问题的通用数学结构，从而获得对各种工程问题的额外见解。对每一类方程所控制的工程问题的回顾将得到极大的关注，因为回顾有助于读者理解连续统问题与其离散模型之间的联系。

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线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。