如果你也在 怎样代写偏微分方程Partial Differential Equations 这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。偏微分方程Partial Differential Equations在数学中，偏微分方程（PDE）是一个方程，它规定了一个多变量函数的各种偏导数之间的关系。常微分方程构成了偏微分方程的一个子类，对应于单变量函数。截至2020年，随机偏微分方程和非局部方程是 “PDE “概念的特别广泛研究的延伸。更为经典的课题包括椭圆和抛物线偏微分方程、流体力学、玻尔兹曼方程和色散偏微分方程，目前仍有很多积极的研究。

偏微分方程Partial Differential Equations在以数学为导向的科学领域，如物理学和工程学中无处不在。例如，它们是现代科学对声音、热量、扩散、静电、电动力学、热力学、流体动力学、弹性、广义相对论和量子力学（薛定谔方程、保利方程等）的基础性认识。它们也产生于许多纯粹的数学考虑，如微分几何和变分计算；在其他值得注意的应用中，它们是几何拓扑学中证明庞加莱猜想的基本工具。部分由于这种来源的多样性，存在着广泛的不同类型的偏微分方程，并且已经开发了处理许多出现的个别方程的方法。因此，人们通常认为，偏微分方程没有 “一般理论”，专业知识在一定程度上被划分为几个基本不同的子领域。

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数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代写|The Cauchy-Kovalevskaya Theorem

The theorem of Cauchy and Kovalevskaya quite generally asserts the local existence of solutions to a system of partial differential equations with initial conditions on a noncharacteristic surface. The coefficients in the equations, the initial data and the surface on which they are prescribed are required to be analytic. This is a severe restriction which, in general, cannot be removed. Moreover, we shall see that the theorem does not distinguish between well-posed and ill-posed problems; it covers situations where a small change in the data leads to a large change in the solution. For these reasons, the theorem has little practical importance. Historically, however, it is the first existence theorem for a general class of PDEs and it is one of very few such theorems which can be proved without the tools of functional analysis.

We shall state and prove the theorem for quasilinear first-order systems of the form
$$
\frac{\partial u_i}{\partial x_n}=\sum_{k=1}^{n-1} \sum_{j=1}^N a_{i j}^k(\mathbf{p}) \frac{\partial u_j}{\partial x_k}+b_i(\mathbf{p}), \quad i=1, \ldots, N,
$$
where $\mathbf{p}$ stands for the vector $\left(x_1, \ldots, x_{n-1}, u_1, \ldots, u_N\right)$, and the functions $a_{i j}^k$ and $b_i$ are assumed analytic. The initial conditions are
$$
u_i=0 \quad \text { on } x_n=0, \quad i=1, \ldots, N .
$$
A general noncharacteristic initial-value problem for a system of PDEs can always be reduced to the form $(2.45),(2.46)$; below we shall discuss the reduction algorithm in detail. We shall start the section by reviewing some basic facts about real analytic functions.

数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代写|Real Analytic Functions

Analytic functions are functions which can be represented locally by power series. We shall use the multi-index notation introduced in the previous section and write the power series of a function of $n$ variables in the form
$$
f(\mathbf{x})=\sum_\alpha c_\alpha \mathbf{x}^\alpha
$$
where $\alpha=\left(\alpha_1, \ldots, \alpha_n\right)$ is a multi-index and $\mathbf{x}^\alpha$ has the meaning introduced in equation (2.6).
We note the following facts about power series:

Suppose that (2.47) converges absolutely for $\mathbf{x}=\mathbf{y}$, where all components of $\mathbf{y}$ are different from zero. Then it converges absolutely in the domain $D=\left{\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n|| x_i|<| y_i \mid, i=1, \ldots, n\right}$ and it converges uniformly absolutely in any compact subset of $D$.
In $D$, the power series (2.47) can be differentiated term by term. We shall obtain an estimate for the derivatives. Let $\left|x_i\right| \leq q\left|y_i\right|$ for $i=1, \ldots, n$, where $0 \leq q<1$. We compute
$$
D^\beta f(\mathbf{x})=\sum_{\alpha \geq \beta} c_\alpha D^\beta \mathbf{x}^\alpha=\sum_{\alpha \geq \beta} c_\alpha \frac{\alpha !}{(\alpha-\beta) !} \mathbf{x}^{\alpha-\beta},
$$
and hence
$$
\begin{aligned}
\left|D^\beta f(\mathbf{x})\right| & \leq \sum_{\alpha \geq \beta} \frac{\alpha !}{(\alpha-\beta) !}\left|c_\alpha\right| q^{|\alpha-\beta|}\left|\mathbf{y}^{\alpha-\beta}\right| \
& \leq \frac{1}{\left|\mathbf{y}^\beta\right|} \sup \alpha\left(\left|c\alpha\right|\left|\mathbf{y}^\alpha\right|\right) \sum_{\alpha \geq \beta} \frac{\alpha !}{(\alpha-\beta) !} q^{|\alpha-\beta|} .
\end{aligned}
$$
We have (see Problem 2.7)
$$
\sum_{\alpha \geq \beta} \frac{\alpha !}{(\alpha-\beta) !} q^{|\alpha-\beta|}=\frac{\beta !}{(1-q)^{n+|\beta|}},
$$
and with
$$
M=(1-q)^{-n} \sup \alpha\left(\left|c\alpha\right|\left|\mathbf{y}^\alpha\right|\right), \quad r=(1-q) \min _i\left|y_i\right|,
$$
we finally obtain
$$
\left|D^\beta f(\mathbf{x})\right| \leq M|\beta| ! r^{-|\beta|} .
$$
We have
$$
c_\alpha=\frac{1}{\alpha !} D^\alpha f(0)
$$

偏微分方程代写

数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代写|The Cauchy-Kovalevskaya Theorem

柯西定理和科瓦列夫斯卡娅定理相当普遍地证明了非特征曲面上具有初始条件的偏微分方程组解的局部存在性。方程中的系数、初始数据和它们所规定的表面都要求是解析的。这是一个严重的限制，一般来说是无法消除的。此外，我们将看到定理不区分适定问题和不适定问题;它涵盖了数据中的一个小更改导致解决方案中的一个大更改的情况。由于这些原因，这个定理没有什么实际意义。然而，从历史上看，它是一类一般偏微分方程的第一个存在性定理，而且它是少数不借助泛函分析工具就能证明的定理之一。

我们将陈述并证明一类拟线性一阶系统的定理
$$
\frac{\partial u_i}{\partial x_n}=\sum_{k=1}^{n-1} \sum_{j=1}^N a_{i j}^k(\mathbf{p}) \frac{\partial u_j}{\partial x_k}+b_i(\mathbf{p}), \quad i=1, \ldots, N,
$$
其中$\mathbf{p}$表示向量$\left(x_1, \ldots, x_{n-1}, u_1, \ldots, u_N\right)$，并假设函数$a_{i j}^k$和$b_i$是解析的。初始条件为
$$
u_i=0 \quad \text { on } x_n=0, \quad i=1, \ldots, N .
$$
一般微分方程系统的非特征初值问题总是可以简化为$(2.45),(2.46)$;下面我们将详细讨论约简算法。我们将从回顾实解析函数的一些基本事实开始本节。

数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代写|Real Analytic Functions

解析函数是可以用幂级数局部表示的函数。我们将使用前一节介绍的多索引表示法，并将$n$变量函数的幂级数写成如下形式
$$
f(\mathbf{x})=\sum_\alpha c_\alpha \mathbf{x}^\alpha
$$
其中$\alpha=\left(\alpha_1, \ldots, \alpha_n\right)$为多指标，$\mathbf{x}^\alpha$含义如式(2.6)所示。
关于幂级数，我们注意到以下几点:

假设(2.47)对$\mathbf{x}=\mathbf{y}$绝对收敛，其中$\mathbf{y}$的所有分量都不等于零。那么它在$D=\left{\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n|| x_i|<| y_i \mid, i=1, \ldots, n\right}$域中绝对收敛并且在$D$的任何紧子集上绝对一致收敛。
在$D$中，幂级数(2.47)可以逐项求导。我们将得到导数的估计值。设$\left|x_i\right| \leq q\left|y_i\right|$为$i=1, \ldots, n$，其中$0 \leq q<1$。我们计算
$$
D^\beta f(\mathbf{x})=\sum_{\alpha \geq \beta} c_\alpha D^\beta \mathbf{x}^\alpha=\sum_{\alpha \geq \beta} c_\alpha \frac{\alpha !}{(\alpha-\beta) !} \mathbf{x}^{\alpha-\beta},
$$
因此
$$
\begin{aligned}
\left|D^\beta f(\mathbf{x})\right| & \leq \sum_{\alpha \geq \beta} \frac{\alpha !}{(\alpha-\beta) !}\left|c_\alpha\right| q^{|\alpha-\beta|}\left|\mathbf{y}^{\alpha-\beta}\right| \
& \leq \frac{1}{\left|\mathbf{y}^\beta\right|} \sup \alpha\left(\left|c\alpha\right|\left|\mathbf{y}^\alpha\right|\right) \sum_{\alpha \geq \beta} \frac{\alpha !}{(\alpha-\beta) !} q^{|\alpha-\beta|} .
\end{aligned}
$$
我们有(见问题2.7)
$$
\sum_{\alpha \geq \beta} \frac{\alpha !}{(\alpha-\beta) !} q^{|\alpha-\beta|}=\frac{\beta !}{(1-q)^{n+|\beta|}},
$$
和
$$
M=(1-q)^{-n} \sup \alpha\left(\left|c\alpha\right|\left|\mathbf{y}^\alpha\right|\right), \quad r=(1-q) \min i\left|y_i\right|, $$ 我们最终得到 $$ \left|D^\beta f(\mathbf{x})\right| \leq M|\beta| ! r^{-|\beta|} . $$ 我们有 $$ c\alpha=\frac{1}{\alpha !} D^\alpha f(0)
$$

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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偏微分方程Partial Differential Equations在以数学为导向的科学领域，如物理学和工程学中无处不在。例如，它们是现代科学对声音、热量、扩散、静电、电动力学、热力学、流体动力学、弹性、广义相对论和量子力学（薛定谔方程、保利方程等）的基础性认识。它们也产生于许多纯粹的数学考虑，如微分几何和变分计算；在其他值得注意的应用中，它们是几何拓扑学中证明庞加莱猜想的基本工具。部分由于这种来源的多样性，存在着广泛的不同类型的偏微分方程，并且已经开发了处理许多出现的个别方程的方法。因此，人们通常认为，偏微分方程没有 “一般理论”，专业知识在一定程度上被划分为几个基本不同的子领域。

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数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代写|Well-Posed Problems

We say that a problem is well-posed (in the sense of Hadamard) if

1. there exists a solution,
2. the solution is unique,
3. the solution depends continuously on the data.
   If these conditions do not hold, a problem is said to be ill-posed. Of course, the meaning of the term continuity with respect to the data has to be made more precise by a choice of norms in the context of each problem considered.
   In the course of this book we classify most of the problems we encounter as either well-posed or ill-posed, but the reader should avoid the assumption that well-posed problems are always “better” or more “physically realistic” than ill-posed problems. As we saw in the problem of buckling of a beam mentioned above, there are times when the conditions of a well-posed problem (uniqueness in this case) are physically unrealistic. The importance of ill-posedness in nature was stressed long ago by Maxwell [Max]:

For example, the rock loosed by frost and balanced on a singular point of the mountain-side, the little spark which kindles the great forest, the little word which sets the world afighting, the little scruple which prevents a man from doing his will, the little spore which blights all the potatoes, the little gemmule which makes us philosophers or idiots. Every existence above a certain rank has its singular points: the higher the rank, the more of them. At these points, influences whose physical magnitude is too small to be taken account of by a finite being may produce results of the greatest importance. All great results produced by human endeavour depend on taking advantage of these singular states when they occur.
We draw attention to the fact that this statement was made a full century before people “discovered” all the marvelous things that can be done with cubic surfaces in $\mathbb{R}^3$.

数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代写|Representations

There is one way of proving existence of a solution to a problem that is more satisfactory than all others: writing the solution explicitly. In addition to the aesthetic advantages provided by a representation for a solution there are many practical advantages. One can compute, graph, observe, estimate, manipulate and modify the solution by using the formula. We examine below some representations for solutions that are often useful in the study of PDEs.
Variation of parameters
Variation of parameters is a formula giving the solution of a nonhomogeneous linear system of ODEs (1.13) in terms of solutions of the homogeneous problem (1.15). Although this representation has at least some utility in terms of actually computing solutions, its primary use is analytical.

The key to the variations of constants formula is the construction of a fundamental solution matrix $\Phi(t, \tau) \in \mathbb{R}^{n \times n}$ for the linear homogeneous system. This solution matrix satisfies
$$
\begin{aligned}
\frac{d}{d t} \Phi(t, \tau) & =\mathbf{A}(t) \Phi(t, \tau), \
\Phi(\tau, \tau) & =\mathbf{I},
\end{aligned}
$$
where $\mathbf{I}$ is the $n \times n$ identity matrix. The proof of existence of the fundamental matrix is standard and is left as an exercise. Note that the unique solution of the initial-value problem (1.15), (1.14) for the homogeneous system is given by
$$
\mathbf{y}(t):=\Phi\left(t, t_0\right) \mathbf{y}_0
$$

偏微分方程代写

数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代写|Well-Posed Problems

我们说一个问题是适定的(在Hadamard意义上)，如果

存在一个解决方案，

解决方案是独一无二的，

解决方案持续依赖于数据。
如果这些条件不成立，我们就说这个问题是不适定的。当然，就数据而言，连续性一词的含义必须通过在所考虑的每个问题的范围内选择规范而更加精确。
在本书中，我们将遇到的大多数问题分为适定问题和病态问题，但读者应避免假设适定问题总是比病态问题“更好”或更“实际”。正如我们在上面提到的梁的屈曲问题中所看到的，有时适定问题的条件(在这种情况下是唯一性)在物理上是不现实的。麦克斯韦[马克斯]很久以前就强调过自然界中病态的重要性:

例如，被霜冻松动的岩石，在山腰的一点上保持平衡，点燃大森林的小火花，引起世界战争的小话语，阻碍一个人实现自己意志的小疑虑，使所有马铃薯枯萎的小孢子，使我们成为哲学家或白痴的小宝石。每一个在一定等级以上的存在都有它的奇异点:等级越高，奇异点越多。在这些点上，那些物理上小到不能被有限的存在所考虑的影响，可能会产生最重要的结果。人类努力所产生的一切伟大成果，都有赖于在这些独特的状态出现时加以利用。
我们提请注意的事实是，这句话是在人们在$\mathbb{R}^3$上“发现”所有可以用立方体表面完成的奇妙事情之前整整一个世纪提出的。

数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代写|Representations

有一种方法可以证明一个问题的解的存在性，这比其他所有方法都更令人满意:明确地写出解。除了解决方案的表示所提供的美学优势之外，还有许多实际优势。人们可以用这个公式计算、作图、观察、估计、处理和修改解。我们将在下面检查一些在偏微分方程研究中经常有用的解的表示。
参数变化
参数变分是用齐次问题(1.15)的解表示非齐次线性方程组(1.13)的一个公式。尽管这种表示至少在实际计算解决方案方面有一些实用程序，但其主要用途是分析性的。

常数公式变化的关键是线性齐次系统的基本解矩阵$\Phi(t, \tau) \in \mathbb{R}^{n \times n}$的构造。这个解矩阵满足
$$
\begin{aligned}
\frac{d}{d t} \Phi(t, \tau) & =\mathbf{A}(t) \Phi(t, \tau), \
\Phi(\tau, \tau) & =\mathbf{I},
\end{aligned}
$$
其中$\mathbf{I}$为$n \times n$单位矩阵。证明基本矩阵的存在性是标准的，是一个练习。注意，齐次系统的初值问题(1.15)，(1.14)的唯一解由
$$
\mathbf{y}(t):=\Phi\left(t, t_0\right) \mathbf{y}_0
$$

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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偏微分方程Partial Differential Equations在以数学为导向的科学领域，如物理学和工程学中无处不在。例如，它们是现代科学对声音、热量、扩散、静电、电动力学、热力学、流体动力学、弹性、广义相对论和量子力学（薛定谔方程、保利方程等）的基础性认识。它们也产生于许多纯粹的数学考虑，如微分几何和变分计算；在其他值得注意的应用中，它们是几何拓扑学中证明庞加莱猜想的基本工具。部分由于这种来源的多样性，存在着广泛的不同类型的偏微分方程，并且已经开发了处理许多出现的个别方程的方法。因此，人们通常认为，偏微分方程没有 “一般理论”，专业知识在一定程度上被划分为几个基本不同的子领域。

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数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代写|Helmholtz’s Second Theorem

If $\Psi(\mathbf{r})$ is a solution of the space form of the wave equation whose partial derivatives of the first and second orders are continuous outside the volume $V$ and on the closed surface $S$ bounding $V$, if $r \Psi(\mathbf{r})$ is bounded, and if
$$
r\left(\frac{\partial \Psi}{\partial r}-i k \Psi\right) \rightarrow 0
$$
uniformly with respect to the angle variables as $r \rightarrow \infty$, then
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{4 \pi} \int_S\left{\Psi\left(\mathbf{r}^{\prime}\right) \frac{\partial}{\partial n}\left(\frac{e^{i k\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right|}}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right|}\right)-\frac{\partial \Psi\left(\mathbf{r}^{\prime}\right)}{\partial n} \frac{e^{i k\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right|}}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right|}\right} d S^{\prime} \
=\left{\begin{aligned}
\Psi(\mathbf{r}) & \text { if } \mathbf{r} \notin V \
0 & \text { if } \mathbf{r} \in V
\end{aligned}\right.
\end{aligned}
$$
where $\mathbf{n}$ is the outward normal to $S$.
It would appear from Helmholtz’s formulas that the values taken by $\Psi$ and $\partial \Psi / \partial n$ on the surface $S$ can be assigned arbitrarily and independently of each other. By use of a Green’s function $G\left(\mathbf{r}, \mathbf{r}^{\prime}\right)$ with singularity at $P$ (see Sec. 7 below) we can express $\Psi(\mathbf{r})$ in terms of $\Psi\left(\mathbf{r}^{\prime}\right)$ alone through the equation
$$
\Psi(\mathbf{r})=-\frac{1}{4 \pi} \int_S \Psi\left(\mathbf{r}^{\prime}\right) \frac{\partial G}{\partial n} d S^{\prime}
$$
so that knowing the value of $\Psi$ on the surface $S$, we can, in general, determine $\Psi(\mathbf{r})$ uniquely and, in particular, calculate the value of $\partial \Psi / \partial n$ on $S$. It can also be shown that if $\partial \Psi / \partial n$ is prescribed on $S$, $\Psi(\mathbf{r})$ is in general determined uniquely so that its value on $S$ can be determined. The values of $\Psi$ and $\partial \Psi / \partial n$ on $S$ are therefore related. If the functions $f(\mathbf{r})$ and $g(\mathbf{r})$ are defined in an arbitrary way, then the function
satisfies the space form of the wave equation, but it does not necessarily follow that $\Psi\left(\mathbf{r}^{\prime}\right)=g\left(\mathbf{r}^{\prime}\right), \partial \Psi / \partial n=f\left(\mathbf{r}^{\prime}\right)$ on $S$.

数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代写|Weber’s Theorem

Weber’s Theorem. If $\Psi(\rho)$ is a solution of the space form of the two-dimensional wave equation $\nabla_1^2 \Psi+k^2 \Psi=0$ whose partial derivatives of the first and second orders are continuous within the area $S$ and on the closed curve $\Gamma$ bounding $S$, then
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{4 i} \int_{\Gamma}\left{\Psi\left(\rho^{\prime}\right) \frac{\partial}{\partial n} H_0^{(1)}\left(k\left|\rho-\rho^{\prime}\right|\right)-H_0^{(1)}\left(k\left|\rho-\rho^{\prime}\right|\right)\right. & \left.\frac{\partial \Psi\left(\rho^{\prime}\right)}{\partial n}\right} d s^{\prime} \
& = \begin{cases}\Psi(\rho) & \text { if } \rho \in S \
0 & \text { if } \rho \notin S\end{cases}
\end{aligned}
$$
where $\mathbf{n}$ is the outward normal to $\Gamma$. The proof is left as an exercise to the reader. ${ }^1$

Helmholtz’s first theorem can be expressed in another way by introducing the idea of a retarded value. If $\psi\left(\mathbf{r}^{\prime}, t\right)$ is a function of the coordinates of a variable point with position vector $\mathbf{r}^{\prime}$, then we define the retarded value $[\psi]$ of $\psi$ by the equation
$$
[\psi]=\psi\left(\mathbf{r}^{\prime}, t-\frac{\lambda}{c}\right), \quad \lambda=\left|\mathbf{r}^{\prime}-\mathbf{r}\right|
$$
where $\mathbf{r}$ is the position vector of some fixed point. If
$$
\psi\left(\mathbf{r}^{\prime}, t\right)=\Psi\left(\mathbf{r}^{\prime}\right) e^{-i k c t}
$$
then it is obvious that
$$
[\psi]=\psi\left(\mathbf{r}^{\prime}, t\right) e^{i k \lambda}, \quad\left[\frac{\partial \psi}{\partial t}\right]=-i k c[\psi]
$$
If, now, we multiply both sides of the equation which occurs in Helmholtz’s first theorem by $e^{i k c t}$, we find that if the point with position vector $\mathbf{r}$ is inside the surface $S$, then that equation can be written in the form
$$
\psi(\mathbf{r}, t)=\frac{1}{4 \pi} \int_S\left{-[\psi] \frac{\partial \lambda}{\partial n}\left(\frac{i k}{\lambda}+\frac{d}{d \lambda}\left(\frac{1}{\lambda}\right)\right}+\frac{1}{\lambda}\left[\frac{\partial \psi}{\partial n}\right]\right} d S^{\prime}
$$
which, because of the second of equations (6), can be written in the form
$$
\psi(\mathbf{r}, t)=\frac{1}{4 \pi} \int_S\left{-[\psi] \frac{\partial}{\partial n}\left(\frac{1}{\lambda}\right)+\frac{1}{c \lambda} \frac{\partial \lambda}{\partial n}\left[\frac{\partial \psi}{\partial t}\right]+\frac{1}{\lambda}\left[\frac{\partial \psi}{\partial n}\right]\right} d S^{\prime}
$$

偏微分方程代写

数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代写|Helmholtz’s Second Theorem

如果$\Psi(\mathbf{r})$是波动方程的空间形式的解，其一阶和二阶偏导数在体积$V$外和在封闭表面$S$边界$V$上连续，如果$r \Psi(\mathbf{r})$是有界的，如果
$$
r\left(\frac{\partial \Psi}{\partial r}-i k \Psi\right) \rightarrow 0
$$
对角度变量的一致表达式为$r \rightarrow \infty$
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{4 \pi} \int_S\left{\Psi\left(\mathbf{r}^{\prime}\right) \frac{\partial}{\partial n}\left(\frac{e^{i k\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right|}}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right|}\right)-\frac{\partial \Psi\left(\mathbf{r}^{\prime}\right)}{\partial n} \frac{e^{i k\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right|}}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right|}\right} d S^{\prime} \
=\left{\begin{aligned}
\Psi(\mathbf{r}) & \text { if } \mathbf{r} \notin V \
0 & \text { if } \mathbf{r} \in V
\end{aligned}\right.
\end{aligned}
$$
其中$\mathbf{n}$是$S$的外法线。
从亥姆霍兹公式中可以看出，在表面$S$上$\Psi$和$\partial \Psi / \partial n$所取的值可以任意地、相互独立地赋值。通过使用奇异点为$P$的格林函数$G\left(\mathbf{r}, \mathbf{r}^{\prime}\right)$(见下文第7节)，我们可以通过方程单独用$\Psi\left(\mathbf{r}^{\prime}\right)$表示$\Psi(\mathbf{r})$
$$
\Psi(\mathbf{r})=-\frac{1}{4 \pi} \int_S \Psi\left(\mathbf{r}^{\prime}\right) \frac{\partial G}{\partial n} d S^{\prime}
$$
因此，知道了表面$S$上$\Psi$的值，我们通常可以唯一地确定$\Psi(\mathbf{r})$，特别是计算$S$上$\partial \Psi / \partial n$的值。还可以证明，如果$S$上规定了$\partial \Psi / \partial n$，则$\Psi(\mathbf{r})$通常是唯一确定的，因此可以确定其在$S$上的值。因此，$S$上的$\Psi$和$\partial \Psi / \partial n$的值是相关的。如果函数$f(\mathbf{r})$和$g(\mathbf{r})$以任意方式定义，则函数
满足波动方程的空间形式，但它不一定符合$\Psi\left(\mathbf{r}^{\prime}\right)=g\left(\mathbf{r}^{\prime}\right), \partial \Psi / \partial n=f\left(\mathbf{r}^{\prime}\right)$在$S$上。

数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代写|Weber’s Theorem

韦伯定理。如果$\Psi(\rho)$是二维波动方程$\nabla_1^2 \Psi+k^2 \Psi=0$的空间形式的解，其一阶和二阶偏导数在$S$区域内和在$\Gamma$边界$S$的封闭曲线上连续，则
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{4 i} \int_{\Gamma}\left{\Psi\left(\rho^{\prime}\right) \frac{\partial}{\partial n} H_0^{(1)}\left(k\left|\rho-\rho^{\prime}\right|\right)-H_0^{(1)}\left(k\left|\rho-\rho^{\prime}\right|\right)\right. & \left.\frac{\partial \Psi\left(\rho^{\prime}\right)}{\partial n}\right} d s^{\prime} \
& = \begin{cases}\Psi(\rho) & \text { if } \rho \in S \
0 & \text { if } \rho \notin S\end{cases}
\end{aligned}
$$
其中$\mathbf{n}$是$\Gamma$的外法线。证明留给读者作为练习。 ${ }^1$

亥姆霍兹第一定理可以用另一种方式表示，即引入迟滞值的概念。如果$\psi\left(\mathbf{r}^{\prime}, t\right)$是一个变量点的坐标与位置向量$\mathbf{r}^{\prime}$的函数，则由式定义$\psi$的延迟值$[\psi]$
$$
[\psi]=\psi\left(\mathbf{r}^{\prime}, t-\frac{\lambda}{c}\right), \quad \lambda=\left|\mathbf{r}^{\prime}-\mathbf{r}\right|
$$
其中$\mathbf{r}$是某个固定点的位置向量。如果
$$
\psi\left(\mathbf{r}^{\prime}, t\right)=\Psi\left(\mathbf{r}^{\prime}\right) e^{-i k c t}
$$
那么很明显
$$
[\psi]=\psi\left(\mathbf{r}^{\prime}, t\right) e^{i k \lambda}, \quad\left[\frac{\partial \psi}{\partial t}\right]=-i k c[\psi]
$$
如果，现在，我们在方程的两边乘以$e^{i k c t}$，我们发现如果位置向量为$\mathbf{r}$的点在曲面$S$内，那么这个方程可以写成这样
$$
\psi(\mathbf{r}, t)=\frac{1}{4 \pi} \int_S\left{-[\psi] \frac{\partial \lambda}{\partial n}\left(\frac{i k}{\lambda}+\frac{d}{d \lambda}\left(\frac{1}{\lambda}\right)\right}+\frac{1}{\lambda}\left[\frac{\partial \psi}{\partial n}\right]\right} d S^{\prime}
$$
由于第二个方程(6)，哪个可以写成这种形式
$$
\psi(\mathbf{r}, t)=\frac{1}{4 \pi} \int_S\left{-[\psi] \frac{\partial}{\partial n}\left(\frac{1}{\lambda}\right)+\frac{1}{c \lambda} \frac{\partial \lambda}{\partial n}\left[\frac{\partial \psi}{\partial t}\right]+\frac{1}{\lambda}\left[\frac{\partial \psi}{\partial n}\right]\right} d S^{\prime}
$$

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微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

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什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

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偏微分方程Partial Differential Equations在以数学为导向的科学领域，如物理学和工程学中无处不在。例如，它们是现代科学对声音、热量、扩散、静电、电动力学、热力学、流体动力学、弹性、广义相对论和量子力学（薛定谔方程、保利方程等）的基础性认识。它们也产生于许多纯粹的数学考虑，如微分几何和变分计算；在其他值得注意的应用中，它们是几何拓扑学中证明庞加莱猜想的基本工具。部分由于这种来源的多样性，存在着广泛的不同类型的偏微分方程，并且已经开发了处理许多出现的个别方程的方法。因此，人们通常认为，偏微分方程没有 “一般理论”，专业知识在一定程度上被划分为几个基本不同的子领域。

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数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代写|The degree of mapping in R

J.L.E. Brouwer introduced the degree of mapping in $\mathbb{R}^n$ by simplicial approximation within combinatorial topology. When we intend to define the degree of mapping analytically, we have to replace the integral of the winding number by $(n-1)$-dimensional surface-integrals in $\mathbb{R}^n$ (compare G. de Rham: Varietés differentiables). E. Heinz transformed the boundary integral for the winding number into an area-integral and thus created a possibility to define the degree of mapping in $\mathbb{R}^n$ in a natural way. We present the transition of the winding-number-integral to the area-integral in $\mathbb{R}^2$ in the sequel:

Let the radius $R \in(0,+\infty)$ and the function $f=f(z) \in C^2\left(B_R, \mathbb{C}\right)$ satisfying $\varphi(t):=f\left(R e^{i t}\right) \neq 0,0 \leq t \leq 2 \pi$ be given. We choose $\varepsilon>0$ so small that $\varepsilon<|\varphi(t)|$ for all $t \in[0,2 \pi]$ holds true. Now we consider a function
$$
\psi(r)=\left{\begin{array}{l}
0,0 \leq r \leq \delta \
1, \varepsilon \leq r
\end{array} \in C^1([0,+\infty), \mathbb{R})\right.
$$

with $0<\delta<\varepsilon$, and we investigate the winding-number-integral
$$
\begin{aligned}
2 \pi i W(\varphi) & =\oint_{\partial B_R}\left{\frac{f_x}{f} d x+\frac{f_y}{f} d y\right}=\oint_{\partial B_R} d F \
& =\oint_{\partial B_R} \psi(|f(z)|) d F(z)=\oint_{\partial B_R} \psi(|f(x, y)|) d F(x, y)
\end{aligned}
$$
with
$$
F(x, y)=\log f(x, y)+2 \pi i k, \quad k \in \mathbb{Z} .
$$
We remark that $F$ is defined only locally; however, the differential $d F$ is globally available. The 1 -form
$$
\psi(|f(x, y)|) d F(x, y), \quad(x, y) \in B_R
$$
belongs to the class $C^1\left(B_R\right)$, and we determine its exterior derivative. Via the identity
$$
\begin{aligned}
d{\psi(|f(x, y)|)} & =\psi^{\prime}(|f(x, y)|)\left{\left((f \cdot \bar{f})^{\frac{1}{2}}\right)_x d x+\left((f \cdot \bar{f})^{\frac{1}{2}}\right)_y d y\right} \
& =\frac{\psi^{\prime}(|f(x, y)|)}{2|f(x, y)|}\left{f\left(\bar{f}_x d x+\bar{f}_y d y\right)+\bar{f}\left(f_x d x+f_y d y\right)\right}
\end{aligned}
$$
we obtain
$$
\begin{aligned}
d{\psi(|f|) d F}= & d{\psi(|f|)} \wedge d F \
= & \frac{\psi^{\prime}(|f(x, y)|)}{2|f(x, y)|}\left{f\left(\bar{f}_x d x+\bar{f}_y d y\right)+\bar{f}\left(f_x d x+f_y d y\right)\right} \
& \wedge\left{\frac{1}{f}\left(f_x d x+f_y d y\right)\right} \
= & \frac{\psi^{\prime}(|f(x, y)|)}{2|f(x, y)|}\left{\bar{f}_x d x+\bar{f}_y d y\right} \wedge\left{f_x d x+f_y d y\right} \
= & \frac{\psi^{\prime}(|f(x, y)|)}{2|f(x, y)|}\left{\left(\bar{f}_x d x \wedge f_y d y\right)-\left(\overline{f_x d x \wedge f_y d y}\right)\right} \
= & i \frac{\psi^{\prime}(|f(x, y)|)}{|f(x, y)|} \operatorname{Im}\left{\bar{f}_x d x \wedge f_y d y\right}
\end{aligned}
$$

数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代写|Geometric existence theorems

We begin with the fundamental
Proposition 1. Let $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ denote a bounded open set and define the function $f(x)=\varepsilon(x-\xi), x \in \Omega$; here we choose $\varepsilon= \pm 1$ and $\xi \in \Omega$. Then we have the identity $d(f, \Omega)=\varepsilon^n$.

Proof: We take a number $\eta>0$ such that $|f(x)|>\eta$ for all points $x \in \partial \Omega$ holds true. Let $\omega \in C_0^0((0, \eta), \mathbb{R})$ denote an arbitrary test function satisfying
$$
\int_{\mathbb{R}^n} \omega(|x|) d x=1
$$

Then we have
$$
d(f, \Omega)=\int_{\Omega} \omega(|f(x)|) J_f(x) d x=\int_{\Omega} \omega(|x-\xi|) \varepsilon^n d x=\varepsilon^n .
$$
q.e.d.
Theorem 1. Let $f_\tau(x)=f(x, \tau): \bar{\Omega} \times[a, b] \rightarrow \mathbb{R}^n \in C^0\left(\bar{\Omega} \times[a, b], \mathbb{R}^n\right)$ denote a family of mappings with
$$
f_\tau(x) \neq 0 \quad \text { for all } \quad x \in \partial \Omega \quad \text { and all } \quad \tau \in[a, b] .
$$
Furthermore, we have the function
$$
f_a(x)=(x-\xi), \quad x \in \Omega
$$
with a point $\xi \in \Omega$. For each parameter $\tau \in[a, b]$ we find a point $x_\tau \in \Omega$ satisfying $f\left(x_\tau, \tau\right)=0$.
Proof: The homotopy lemma and Proposition 1 yield
$$
d\left(f_\tau, \Omega\right)=d\left(f_a, \Omega\right)=1 \quad \text { for all } \tau \in[a, b] .
$$
Consequently, there exists a point $x_\tau \in \Omega$ with $f\left(x_\tau, \tau\right)=0$ for each parameter $\tau \in[a, b]$, due to Theorem 3 in $\S 2$.
q.e.d.

偏微分方程代写

数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代写|The degree of mapping in R

J.L.E. browwer在组合拓扑中引入了$\mathbb{R}^n$中简单逼近的映射度。当我们打算解析地定义映射的程度时，我们必须用$\mathbb{R}^n$中的$(n-1)$维曲面积分来代替圈数的积分(比较G. de Rham:可变的可变的)。E. Heinz将圈数的边界积分转化为面积积分，从而创造了在$\mathbb{R}^n$中以自然的方式定义映射度的可能性。在续文中，我们给出了$\mathbb{R}^2$中圈数积分到面积积分的转换:

设半径$R \in(0,+\infty)$和满足$\varphi(t):=f\left(R e^{i t}\right) \neq 0,0 \leq t \leq 2 \pi$的函数$f=f(z) \in C^2\left(B_R, \mathbb{C}\right)$。我们选择$\varepsilon>0$是如此之小，以至于$\varepsilon<|\varphi(t)|$对所有的$t \in[0,2 \pi]$都成立。现在我们考虑一个函数
$$
\psi(r)=\left{\begin{array}{l}
0,0 \leq r \leq \delta \
1, \varepsilon \leq r
\end{array} \in C^1([0,+\infty), \mathbb{R})\right.
$$

利用$0<\delta<\varepsilon$，研究了绕数积分
$$
\begin{aligned}
2 \pi i W(\varphi) & =\oint_{\partial B_R}\left{\frac{f_x}{f} d x+\frac{f_y}{f} d y\right}=\oint_{\partial B_R} d F \
& =\oint_{\partial B_R} \psi(|f(z)|) d F(z)=\oint_{\partial B_R} \psi(|f(x, y)|) d F(x, y)
\end{aligned}
$$
有
$$
F(x, y)=\log f(x, y)+2 \pi i k, \quad k \in \mathbb{Z} .
$$
我们注意到$F$仅在局部定义;但是，差分$d F$是全球可用的。1 -form
$$
\psi(|f(x, y)|) d F(x, y), \quad(x, y) \in B_R
$$
属于$C^1\left(B_R\right)$类，我们确定它的外导数。通过恒等式
$$
\begin{aligned}
d{\psi(|f(x, y)|)} & =\psi^{\prime}(|f(x, y)|)\left{\left((f \cdot \bar{f})^{\frac{1}{2}}\right)_x d x+\left((f \cdot \bar{f})^{\frac{1}{2}}\right)_y d y\right} \
& =\frac{\psi^{\prime}(|f(x, y)|)}{2|f(x, y)|}\left{f\left(\bar{f}_x d x+\bar{f}_y d y\right)+\bar{f}\left(f_x d x+f_y d y\right)\right}
\end{aligned}
$$
我们得到
$$
\begin{aligned}
d{\psi(|f|) d F}= & d{\psi(|f|)} \wedge d F \
= & \frac{\psi^{\prime}(|f(x, y)|)}{2|f(x, y)|}\left{f\left(\bar{f}_x d x+\bar{f}_y d y\right)+\bar{f}\left(f_x d x+f_y d y\right)\right} \
& \wedge\left{\frac{1}{f}\left(f_x d x+f_y d y\right)\right} \
= & \frac{\psi^{\prime}(|f(x, y)|)}{2|f(x, y)|}\left{\bar{f}_x d x+\bar{f}_y d y\right} \wedge\left{f_x d x+f_y d y\right} \
= & \frac{\psi^{\prime}(|f(x, y)|)}{2|f(x, y)|}\left{\left(\bar{f}_x d x \wedge f_y d y\right)-\left(\overline{f_x d x \wedge f_y d y}\right)\right} \
= & i \frac{\psi^{\prime}(|f(x, y)|)}{|f(x, y)|} \operatorname{Im}\left{\bar{f}_x d x \wedge f_y d y\right}
\end{aligned}
$$

数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代写|Geometric existence theorems

我们从最基本的开始
提案一。设$\Omega \subset \mathbb{R}^n$为有界开集，定义函数$f(x)=\varepsilon(x-\xi), x \in \Omega$;这里我们选择$\varepsilon= \pm 1$和$\xi \in \Omega$。然后是等式$d(f, \Omega)=\varepsilon^n$。

证明:我们取一个数字$\eta>0$，使得$|f(x)|>\eta$对所有点$x \in \partial \Omega$都成立。设$\omega \in C_0^0((0, \eta), \mathbb{R})$表示满足的任意测试函数
$$
\int_{\mathbb{R}^n} \omega(|x|) d x=1
$$

然后我们有
$$
d(f, \Omega)=\int_{\Omega} \omega(|f(x)|) J_f(x) d x=\int_{\Omega} \omega(|x-\xi|) \varepsilon^n d x=\varepsilon^n .
$$
Q.E.D.
定理1。设$f_\tau(x)=f(x, \tau): \bar{\Omega} \times[a, b] \rightarrow \mathbb{R}^n \in C^0\left(\bar{\Omega} \times[a, b], \mathbb{R}^n\right)$表示一个映射族
$$
f_\tau(x) \neq 0 \quad \text { for all } \quad x \in \partial \Omega \quad \text { and all } \quad \tau \in[a, b] .
$$
更进一步，我们有了这个函数
$$
f_a(x)=(x-\xi), \quad x \in \Omega
$$
有一个点$\xi \in \Omega$。对于每个参数$\tau \in[a, b]$，我们找到一个点$x_\tau \in \Omega$满足$f\left(x_\tau, \tau\right)=0$。
证明:同伦引理和命题1成立
$$
d\left(f_\tau, \Omega\right)=d\left(f_a, \Omega\right)=1 \quad \text { for all } \tau \in[a, b] .
$$
因此，根据$\S 2$中的定理3，对于每个参数$\tau \in[a, b]$，存在一个点$x_\tau \in \Omega$，其$f\left(x_\tau, \tau\right)=0$。

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微观经济学代写

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线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

如果你也在 怎样代写偏微分方程Partial Differential Equations 这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。偏微分方程Partial Differential Equations在数学中，偏微分方程（PDE）是一个方程，它规定了一个多变量函数的各种偏导数之间的关系。常微分方程构成了偏微分方程的一个子类，对应于单变量函数。截至2020年，随机偏微分方程和非局部方程是 “PDE “概念的特别广泛研究的延伸。更为经典的课题包括椭圆和抛物线偏微分方程、流体力学、玻尔兹曼方程和色散偏微分方程，目前仍有很多积极的研究。

偏微分方程Partial Differential Equations在以数学为导向的科学领域，如物理学和工程学中无处不在。例如，它们是现代科学对声音、热量、扩散、静电、电动力学、热力学、流体动力学、弹性、广义相对论和量子力学（薛定谔方程、保利方程等）的基础性认识。它们也产生于许多纯粹的数学考虑，如微分几何和变分计算；在其他值得注意的应用中，它们是几何拓扑学中证明庞加莱猜想的基本工具。部分由于这种来源的多样性，存在着广泛的不同类型的偏微分方程，并且已经开发了处理许多出现的个别方程的方法。因此，人们通常认为，偏微分方程没有 “一般理论”，专业知识在一定程度上被划分为几个基本不同的子领域。

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数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代写|Measurable sets

Beginning with this section, we have to require the following
Additional assumptions for the sets $X$ and $M(X)$ :

• We assume $X \subset \mathbb{R}^n$ with the dimension $n \in \mathbb{N}$. Then $X$ becomes a topological space as follows: A subset $A \subset X$ is open (closed) if and only if we have an open (closed) subset $\widehat{A} \subset \mathbb{R}^n$ such that $A=X \cap \widehat{A}$ holds true.
• Furthermore, we assume that the inclusion $C_b^0(X, \mathbb{R}) \subset M(X) \subset C^0(X, \mathbb{R})$ is fulfilled. Here $C_b^0(X, \mathbb{R})$ describes the set of bounded continuous functions. This is valid for our main example 2 . In our main example 1 , this is fulfilled as well if the open set $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ is subject to the following condition:
  $$
  \int_{\Omega} 1 d x<+\infty
  $$
  We see immediately that the function $f_0 \equiv 1, x \in X$ then belongs to the class $M(X)$.

Now we specialize our theory of integration from $\S 2$ to characteristic functions and obtain a measure theory. For an arbitrary set $A \subset X$ we define its characteristic function by
$$
\chi_A(x):=\left{\begin{array}{l}
1, x \in A \
0, x \in X \backslash A
\end{array} .\right.
$$
Definition 1. A subset $A \subset X$ is called finitely measurable (or alternatively integrable) if its characteristic function satisfies $\chi_A \in L(X)$. We name
$$
\mu(A):=I\left(\chi_A\right)
$$
the measure of the set $A$ with respect to the integral $I$. The set of all finitely measurable sets in $X$ is denoted by $\mathcal{S}(X)$.

From the additional assumptions above, namely $f_0 \equiv 1 \in M(X)$, we infer $\chi_X \in M(X) \subset L(X)$ and consequently $X \in \mathcal{S}(X)$. Therefore, we speak equivalently of finitely measurable and measurable sets.

数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代写|Measurable functions

Fundamental is the following
Definition 1. The function $f: X \rightarrow \overline{\mathbb{R}}$ is named measurable if the level set above the level $a$ –
$$
\mathcal{O}(f, a):={x \in X: f(x)>a}
$$
is measurable for all $a \in \mathbb{R}$.
Remark: Each continuous function $f: X \rightarrow \mathbb{R} \in C^0(X, \mathbb{R})$ is measurable. Then $\mathcal{O}(f, a) \subset X$ is an open set for all $a \in \mathbb{R}$, which is measurable due to $\S 3$, Theorem 4. Furthermore, Proposition 4 in $\S 3$ shows us that each function $f \in V(X)$ is measurable as well.

Proposition 1. Let $f: X \rightarrow \overline{\mathbb{R}}$ denote a measurable function. Furthermore, let us consider the numbers $a, b \in \mathbb{\mathbb { R }}$ with $a \leq b$ and the interval $I=[a, b]$; for $a1(f, c):=\mathcal{O}(f, c)={x \in X: f(x)>c} $$ are measurable for all $c \in \mathbb{R}$. For a given $c \in \mathbb{R}$, we now choose a sequence $\left{c_n\right}{n=1,2, \ldots}$ satisfying $c_n \uparrow c$, and we obtain again a measurable set via $$ \mathcal{O}2(f, c):={x \in X: f(x) \geq c}=\bigcap{n=1}^{\infty}\left{x \in X: f(x)>c_n\right} .
$$
The measurable sets $\mathcal{S}(X)$ namely constitute a $\sigma$-algebra due to $\S 3$, Definition 2 and Theorem 2. Furthermore, we have the relations
$$
\mathcal{O}2(f,+\infty)=\bigcap{n=1}^{\infty} \mathcal{O}2(f, n), \quad \mathcal{O}_1(f,-\infty)=\bigcup{n=1}^{\infty} \mathcal{O}_1(f,-n),
$$
and these sets are measurable as well. The transition to their complements shows that
$$
\mathcal{O}_3(f, c):={x \in X: f(x) \leq c} \quad \text { and } \quad \mathcal{O}_4(f, c):={x \in X: f(x)<c}
$$
are measurable for all $c \in \overline{\mathbb{R}}$. Here
$$
A:={x \in X: f(x) \in I}
$$

偏微分方程代写

数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代写|Measurable sets

从本节开始，我们必须要求以下内容
对$X$和$M(X)$组的附加假设:

我们假设$X \subset \mathbb{R}^n$的维度是$n \in \mathbb{N}$。然后$X$变成如下拓扑空间:当且仅当我们有一个开(闭)子集$\widehat{A} \subset \mathbb{R}^n$使得$A=X \cap \widehat{A}$成立时，子集$A \subset X$是开(闭)的。

此外，我们假设包含$C_b^0(X, \mathbb{R}) \subset M(X) \subset C^0(X, \mathbb{R})$已经实现。这里$C_b^0(X, \mathbb{R})$描述了有界连续函数的集合。这对于我们的主要示例2是有效的。在我们的主要示例1中，如果开放集$\Omega \subset \mathbb{R}^n$满足以下条件，也可以实现这一点:
$$
\int_{\Omega} 1 d x<+\infty
$$
我们立即看到，函数$f_0 \equiv 1, x \in X$属于类$M(X)$。

现在我们将积分理论从$\S 2$专门化到特征函数，得到一个测度理论。对于任意集合$A \subset X$，我们定义它的特征函数为
$$
\chi_A(x):=\left{\begin{array}{l}
1, x \in A \
0, x \in X \backslash A
\end{array} .\right.
$$
定义:如果子集$A \subset X$的特征函数满足$\chi_A \in L(X)$，则称为有限可测(或可积)子集。我们命名
$$
\mu(A):=I\left(\chi_A\right)
$$
集合$A$关于积分$I$的测度。$X$中所有有限可测集合的集合用$\mathcal{S}(X)$表示。

从上面的附加假设，即$f_0 \equiv 1 \in M(X)$，我们推断$\chi_X \in M(X) \subset L(X)$，因此$X \in \mathcal{S}(X)$。因此，我们等价地说有限可测集和可测集。

数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代写|Measurable functions

基本原则如下
定义1。如果水平集高于水平$a$ -，则函数$f: X \rightarrow \overline{\mathbb{R}}$被命名为可测量的
$ $
\mathcal{O}(f, a):={x \in x: f(x)>a}
$ $
对于所有$a \in \mathbb{R}$都是可测量的。
注:C^0(X， \mathbb{R})$中的每一个连续函数$f: X \rightarrow \mathbb{R} \都是可测的。则$\mathcal{O}(f, a) \子集X$是\mathbb{R}$中所有$a \的开集，根据定理4，它是可测的。此外，在$ $ S $ 3$中的命题4告诉我们，在V(X)$中的每个函数$f $也是可测量的。

命题1。设$f: X \rightarrow \overline{\mathbb{R}}$表示一个可测函数。更进一步，让我们考虑在\mathbb{\mathbb {R}}$中的数字$a, b \与$a \leq b$和区间$I=[a, b]$;for $a1(f, c):=\mathcal{O}(f, c)={x \in x: f(x)>c} $$对于所有$c \in \mathbb{R}$都是可测量的。对于给定的$c \in \mathbb{R}$，我们现在选择一个序列$\left{c_n\right}{n=1,2， \ldots}$满足$c_n \ uprow c$，我们通过$$ \mathcal{O}2(f, c):={x \in x: f(x) \geq c}=\bigcap{n=1}^{\infty}\left{x \in x: f(x)>c_n\right}再次得到一个可测集合。
$ $
可测集$\mathcal{S}(X)$即由$\S 3$、定义2和定理2构成$\sigma$-代数。此外，我们有关系
$ $
\ mathcal {O} 2 (f + \ infty) = \ bigcap {n = 1} ^ {\ infty} \ mathcal {O} 2 (f, n), \四\ mathcal {O} _1 (f – \ infty) = \ bigcup {n = 1} ^ {\ infty} \ mathcal {O} _1 (f – n),
$ $
这些集合也是可以测量的。向它们的互补体的过渡表明
$ $
\ mathcal {O} _3 (f、c): = {x在x: \ f (x) \ leq c}{和}\四\ \四\文本mathcal {O} _4 (f、c): = {x在x: \ f (x) < c}
$ $
对于所有$c \in \overline{\mathbb{R}}$都是可测量的。在这里
$ $
A:={x \in x: f(x) \in I}
$ $

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线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

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它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

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偏微分方程Partial Differential Equations在以数学为导向的科学领域，如物理学和工程学中无处不在。例如，它们是现代科学对声音、热量、扩散、静电、电动力学、热力学、流体动力学、弹性、广义相对论和量子力学（薛定谔方程、保利方程等）的基础性认识。它们也产生于许多纯粹的数学考虑，如微分几何和变分计算；在其他值得注意的应用中，它们是几何拓扑学中证明庞加莱猜想的基本工具。部分由于这种来源的多样性，存在着广泛的不同类型的偏微分方程，并且已经开发了处理许多出现的个别方程的方法。因此，人们通常认为，偏微分方程没有 “一般理论”，专业知识在一定程度上被划分为几个基本不同的子领域。

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数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代写|The Weierstraß approximation theorem

Let $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ with $n \in \mathbb{N}$ denote an open set and $f(x) \in C^k(\Omega)$ with $k \in$ $\mathbb{N} \cup{0}=: \mathbb{N}0$ a $k$-times continuously differentiable function. We intend to prove the following statement: There exists a sequence of polynomials $p_m(x), x \in \mathbb{R}^n$ for $m=1,2, \ldots$ which converges on each compact subset $C \subset \Omega$ uniformly towards the function $f(x)$. Furthermore, all partial derivatives up to the order $k$ of the polynomials $p_m$ converge uniformly on $C$ towards the corresponding derivatives of the function $f$. The coefficients of the polynomials $p_m$ depend on the approximation, in general. If this were not the case, the function $$ f(x)=\left{\begin{array}{cl} \exp \left(-\frac{1}{x^2}\right), & x>0 \ 0, & x \leq 0 \end{array}\right. $$ could be expanded into a power series. However, this leads to the evident contradiction: $$ 0 \equiv \sum{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(0)}{k !} x^k
$$
In the following Proposition, we introduce a ‘mollifier’ which enables us to smooth functions.

Proposition 1. We consider the following function to each $\varepsilon>0$, namely
$$
\begin{aligned}
K_{\varepsilon}(z) & :=\frac{1}{\sqrt{\pi \varepsilon}^n} \exp \left(-\frac{|z|^2}{\varepsilon}\right) \
& =\frac{1}{\sqrt{\pi \varepsilon}^n} \exp \left(-\frac{1}{\varepsilon}\left(z_1^2+\ldots+z_n^2\right)\right), \quad z \in \mathbb{R}^n .
\end{aligned}
$$
Then this function $K_{\varepsilon}=K_{\varepsilon}(z)$ possesses the following properties:

1. We have $K_{\varepsilon}(z)>0$ for all $z \in \mathbb{R}^n$;
2. The condition $\int_{\mathbb{R}^n} K_{\varepsilon}(z) d z=1$ holds true;
3. For each $\delta>0$ we observe: $\lim {\varepsilon \rightarrow 0+} \int{|z| \geq \delta} K_{\varepsilon}(z) d z=0$.

数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代写|Parameter-invariant integrals and differential forms

In the basic lectures of Analysis the following fundamental result is established.
Theorem 1. (Transformation formula for multiple integrals)
Let $\Omega, \Theta \subset \mathbb{R}^n$ denote two open sets, where we take $n \in \mathbb{N}$. Furthermore, let $y=\left(y_1\left(x_1, \ldots, x_n\right), \ldots, y_n\left(x_1, \ldots, x_n\right)\right): \Omega \rightarrow \Theta$ denote a bijective mapping of the class $C^1\left(\Omega, \mathbb{R}^n\right)$ satisfying
$$
J_y(x):=\operatorname{det}\left(\frac{\partial y_i(x)}{\partial x_j}\right){i, j=1, \ldots, n} \neq 0 \quad \text { for all } \quad x \in \Omega . $$ Let the function $f=f(y): \Theta \rightarrow \mathbb{R} \in C^0(\Theta)$ be given with the property $$ \int{\Theta}|f(y)| d y<+\infty
$$
for the improper Riemannian integral of $|f|$. Then we have the transformation formula
$$
\int_{\Theta} f(y) d y=\int_{\Omega} f(y(x))\left|J_y(x)\right| d x .
$$
In the sequel, we shall integrate differential forms over $m$-dimensional surfaces in $\mathbb{R}^n$.

Definition 1. Let the open set $T \subset \mathbb{R}^m$ with $m \in \mathbb{N}$ constitute the parameter domain. Furthermore, the symbol
$$
X(t)=\left(\begin{array}{c}
x_1\left(t_1, \ldots, t_m\right) \
\vdots \
x_n\left(t_1, \ldots, t_m\right)
\end{array}\right): T \longrightarrow \mathbb{R}^n \in C^k\left(T, \mathbb{R}^n\right)
$$
represents a mapping – with $k, n \in \mathbb{N}$ and $m \leq n$ – whose functional matrix
$$
\partial X(t)=\left(X_{t_1}(t), \ldots, X_{t_m}(t)\right), \quad t \in T
$$
has the rank $m$ for all $t \in T$. Then we call $X$ a parametrized regular surface with the parametric representation $X(t): T \rightarrow \mathbb{R}^n$.
When $X: T \rightarrow \mathbb{R}^n$ and $\widetilde{X}: \widetilde{T} \rightarrow \mathbb{R}^n$ are two parametric representations, we call them equivalent if there exists a topological mapping
$$
t=t(s)=\left(t_1\left(s_1, \ldots, s_m\right), \ldots, t_m\left(s_1, \ldots, s_m\right)\right): \widetilde{T} \longrightarrow T \in C^k(\widetilde{T}, T)
$$
with the following properties:

1. $J(s):=\frac{\partial\left(t_1, \ldots, t_m\right)}{\partial\left(s_1, \ldots, s_m\right)}(s)=\left|\begin{array}{ccc}\frac{\partial t_1}{\partial s_1}(s) & \ldots & \frac{\partial t_1}{\partial s_m}(s) \ \vdots & \vdots \ \frac{\partial t_m}{\partial s_1}(s) & \ldots & \frac{\partial t_m}{\partial s_m}(s)\end{array}\right|>0 \quad$ for all $s \in \tilde{T}$;
2. $\tilde{X}(s)=X(t(s))$ for all $s \in \widetilde{T}$.

偏微分方程代写

数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代写|The Weierstraß approximation theorem

设$\Omega \subset \mathbb{R}^n$与$n \in \mathbb{N}$表示开集，$f(x) \in C^k(\Omega)$与$k \in$表示$\mathbb{N} \cup{0}=: \mathbb{N}0$是一个$k$次连续可微函数。我们打算证明以下命题:对于$m=1,2, \ldots$存在一个多项式序列$p_m(x), x \in \mathbb{R}^n$，它在每个紧子集$C \subset \Omega$上一致收敛于函数$f(x)$。此外，所有阶为$k$的多项式$p_m$的偏导数在$C$上一致收敛于函数$f$的相应导数。多项式的系数$p_m$通常取决于近似。如果不是这种情况，则函数$$ f(x)=\left{\begin{array}{cl} \exp \left(-\frac{1}{x^2}\right), & x>0 \ 0, & x \leq 0 \end{array}\right. $$可以展开为幂级数。然而，这导致了一个明显的矛盾:$$ 0 \equiv \sum{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(0)}{k !} x^k
$$
在下面的命题中，我们引入一个“mollifier”，使我们能够平滑函数。

提案一。我们考虑以下函数分别为$\varepsilon>0$，即
$$
\begin{aligned}
K_{\varepsilon}(z) & :=\frac{1}{\sqrt{\pi \varepsilon}^n} \exp \left(-\frac{|z|^2}{\varepsilon}\right) \
& =\frac{1}{\sqrt{\pi \varepsilon}^n} \exp \left(-\frac{1}{\varepsilon}\left(z_1^2+\ldots+z_n^2\right)\right), \quad z \in \mathbb{R}^n .
\end{aligned}
$$
那么这个函数$K_{\varepsilon}=K_{\varepsilon}(z)$拥有以下属性:

我们有$K_{\varepsilon}(z)>0$代表$z \in \mathbb{R}^n$;

条件$\int_{\mathbb{R}^n} K_{\varepsilon}(z) d z=1$成立;

对于每个$\delta>0$，我们观察到:$\lim {\varepsilon \rightarrow 0+} \int{|z| \geq \delta} K_{\varepsilon}(z) d z=0$。

数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代写|Parameter-invariant integrals and differential forms

在《分析》的基础课程中，建立了以下基本结论。
定理1。(多重积分的变换公式)
设$\Omega, \Theta \subset \mathbb{R}^n$表示两个开集，取$n \in \mathbb{N}$。更进一步，设$y=\left(y_1\left(x_1, \ldots, x_n\right), \ldots, y_n\left(x_1, \ldots, x_n\right)\right): \Omega \rightarrow \Theta$表示满足的类$C^1\left(\Omega, \mathbb{R}^n\right)$的双射映射
$$
J_y(x):=\operatorname{det}\left(\frac{\partial y_i(x)}{\partial x_j}\right){i, j=1, \ldots, n} \neq 0 \quad \text { for all } \quad x \in \Omega . $$函数$f=f(y): \Theta \rightarrow \mathbb{R} \in C^0(\Theta)$的属性为$$ \int{\Theta}|f(y)| d y<+\infty
$$
对于$|f|$的反常黎曼积分。然后我们有了变换公式
$$
\int_{\Theta} f(y) d y=\int_{\Omega} f(y(x))\left|J_y(x)\right| d x .
$$
在后续中，我们将在$\mathbb{R}^n$中积分$m$维曲面上的微分形式。

定义:设开集$T \subset \mathbb{R}^m$与$m \in \mathbb{N}$构成参数域。此外，符号
$$
X(t)=\left(\begin{array}{c}
x_1\left(t_1, \ldots, t_m\right) \
\vdots \
x_n\left(t_1, \ldots, t_m\right)
\end{array}\right): T \longrightarrow \mathbb{R}^n \in C^k\left(T, \mathbb{R}^n\right)
$$
表示一个映射-使用$k, n \in \mathbb{N}$和$m \leq n$ -其函数矩阵
$$
\partial X(t)=\left(X_{t_1}(t), \ldots, X_{t_m}(t)\right), \quad t \in T
$$
所有$t \in T$的排名为$m$。然后我们称$X$为参数化正则曲面，其参数表示为$X(t): T \rightarrow \mathbb{R}^n$。
当$X: T \rightarrow \mathbb{R}^n$和$\widetilde{X}: \widetilde{T} \rightarrow \mathbb{R}^n$是两个参数表示时，如果存在拓扑映射，我们称它们是等价的
$$
t=t(s)=\left(t_1\left(s_1, \ldots, s_m\right), \ldots, t_m\left(s_1, \ldots, s_m\right)\right): \widetilde{T} \longrightarrow T \in C^k(\widetilde{T}, T)
$$
具有以下属性:

$J(s):=\frac{\partial\left(t_1, \ldots, t_m\right)}{\partial\left(s_1, \ldots, s_m\right)}(s)=\left|\begin{array}{ccc}\frac{\partial t_1}{\partial s_1}(s) & \ldots & \frac{\partial t_1}{\partial s_m}(s) \ \vdots & \vdots \ \frac{\partial t_m}{\partial s_1}(s) & \ldots & \frac{\partial t_m}{\partial s_m}(s)\end{array}\right|>0 \quad$ 对于所有$s \in \tilde{T}$;

$\tilde{X}(s)=X(t(s))$ 对于所有$s \in \widetilde{T}$。

数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代写 请认准exambang™. exambang™为您的留学生涯保驾护航。

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

如果你也在 怎样代写偏微分方程Partial Differential Equations 这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。偏微分方程Partial Differential Equations在数学中，偏微分方程（PDE）是一个方程，它规定了一个多变量函数的各种偏导数之间的关系。常微分方程构成了偏微分方程的一个子类，对应于单变量函数。截至2020年，随机偏微分方程和非局部方程是 “PDE “概念的特别广泛研究的延伸。更为经典的课题包括椭圆和抛物线偏微分方程、流体力学、玻尔兹曼方程和色散偏微分方程，目前仍有很多积极的研究。

偏微分方程Partial Differential Equations在以数学为导向的科学领域，如物理学和工程学中无处不在。例如，它们是现代科学对声音、热量、扩散、静电、电动力学、热力学、流体动力学、弹性、广义相对论和量子力学（薛定谔方程、保利方程等）的基础性认识。它们也产生于许多纯粹的数学考虑，如微分几何和变分计算；在其他值得注意的应用中，它们是几何拓扑学中证明庞加莱猜想的基本工具。部分由于这种来源的多样性，存在着广泛的不同类型的偏微分方程，并且已经开发了处理许多出现的个别方程的方法。因此，人们通常认为，偏微分方程没有 “一般理论”，专业知识在一定程度上被划分为几个基本不同的子领域。

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在不断发展的过程中，avatest™如今已经成长为论文代写，留学生作业代写服务行业的翘楚和国际领先的教育集团。全体成员以诚信为圆心，以专业为半径，以贴心的服务时刻陪伴着您， 用专业的力量帮助国外学子取得学业上的成功。

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数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代写|Relation of the Logarithmic Potential to the Theory of Functions

There is a close connection between the theory of two-dimensional harmonic functions and the theory of analytic functions of a complex variable. The class of analytic functions of a complex variable $z=x+i y$ consists of the complex functions of $z$ which possess a derivative at each point. It can be shown ${ }^1$ that if $\phi$ and $\psi$ are the real and imaginary parts of an analytic function of the complex variable $x+i y$, then $\phi$ and $\psi$ must satisfy the Cauchy-Riemann equations
$$
\frac{\partial \phi}{\partial x}=\frac{\partial \psi}{\partial y}, \quad \frac{\partial \phi}{\partial y}=-\frac{\partial \psi}{\partial x}
$$
Now it can be proved that the derivative of an analytic function is itself analytic, so that the functions $\phi$ and $\psi$ will have continuous partial derivatives of all orders and, in particular, Schwartz’s theorem
$$
\frac{\partial^2 \phi}{\partial x \partial y}=\frac{\partial^2 \phi}{\partial y \partial x}, \quad \frac{\partial^2 \psi}{\partial x \partial y}=\frac{\partial^2 \psi}{\partial y \partial x}
$$
will hold. Combining the results (1) and (2), we then find that
$$
\nabla_1^2 \phi=\nabla_1^2 \psi=0
$$
i.e., the real and imaginary parts of an analytic function are harmonic functions. The functions $\phi, \psi$ so defined are called conjugate functions.
The converse result is also true: If the harmonic functions $\phi$ and $\psi$ satisfy the Cauchy-Riemann equations, then $\phi+i \psi$ is an analytic function of $z=x+i y$.

If either $\phi(x, y)$ or $\psi(x, y)$ is given, it is possible to determine the analytic function $w=\phi+i \psi$, for, by equations (1),
$$
\frac{d w}{d z}=\frac{\partial \phi}{\partial x}+i \frac{\partial \psi}{\partial x}=\phi_1(x, y)-i \phi_2(x, y)
$$
where $\phi_1=\partial \phi / \partial x, \phi_2=\partial \phi / \partial y$. Putting $y=0$, we have the identity
$$
\frac{d w}{d z}=\phi_1(z, 0)-i \phi_2(z, 0)
$$
from which $w$ may be derived by a simple integration. If $\psi$ is given, then, in a similar notation,
$$
\frac{d w}{d z}=\psi_2(z, 0)+i \psi_1(z, 0)
$$

数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代写|Green’s Function for the Two-dimensional Equation

The theory of the Green’s function for the two-dimensional Laplace equation may be developed along lines similar to those of Sec. 8 . If we put
$$
P=-\psi \frac{\partial \psi^{\prime}}{\partial y}, \quad Q=\psi \frac{\partial \psi^{\prime}}{\partial x}
$$
in equation (4) of Sec. 11 , we find that
$$
\int_K \psi \nabla_1^2 \psi^{\prime} d s+\int_K\left(\frac{\partial \psi}{\partial x} \frac{\partial \psi^{\prime}}{\partial x}+\frac{\partial \psi}{\partial y} \frac{\partial \psi^{\prime}}{\partial y}\right) d S=\int_C \psi \frac{\partial \psi^{\prime}}{\partial n} d S
$$
If we interchange $\psi$ and $\psi^{\prime}$ and subtract the two equations, we find that
$$
\int_R\left(\psi \nabla_1^2 \psi^{\prime}-\psi^{\prime} \nabla_1^2 \psi\right) d S=\int_C\left(\psi \frac{\partial \psi^{\prime}}{\partial n}-\psi^{\prime} \frac{\partial \psi}{\partial n}\right) d S
$$
Suppose that $P$ with coordinates $(x, y)$ is a point in the interior of the region $S$ in which the function $\psi$ is assumed to be harmonic. Draw a circle. $\Gamma$ with center $P$ and small radius $\varepsilon$ (cf. Fig. 33), and apply the result (2) to the region $K$ bounded by the curves $C$ and $\Gamma$ with
$$
\psi^{\prime}=\log \frac{1}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right|}
$$
Since both $\psi$ and $\psi^{\prime}$ are harmonic, it follows that if $s$ is measured in the directions shown in Fig. 33,
$$
\left(\int_{\Gamma}+\int_C\right)\left{\psi\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right) \frac{\partial}{\partial n} \log \frac{1}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right|}-\log \frac{1}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right|} \frac{\partial \psi}{\partial n}\right} d s^{\prime}=0
$$

偏微分方程代写

数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代写|Relation of the Logarithmic Potential to the Theory of Functions

二维调和函数理论与复变解析函数理论有着密切的联系。一类复变量$z=x+i y$的解析函数由在每个点上都有导数的复函数$z$组成。可以证明${ }^1$如果$\phi$和$\psi$是复变量$x+i y$的解析函数的实部和虚部，则$\phi$和$\psi$必须满足Cauchy-Riemann方程
$$
\frac{\partial \phi}{\partial x}=\frac{\partial \psi}{\partial y}, \quad \frac{\partial \phi}{\partial y}=-\frac{\partial \psi}{\partial x}
$$
现在可以证明一个解析函数的导数本身是解析的，所以函数$\phi$和$\psi$会有所有阶的连续偏导数，特别是Schwartz定理
$$
\frac{\partial^2 \phi}{\partial x \partial y}=\frac{\partial^2 \phi}{\partial y \partial x}, \quad \frac{\partial^2 \psi}{\partial x \partial y}=\frac{\partial^2 \psi}{\partial y \partial x}
$$
会坚持下去。结合结果(1)和(2)，我们发现
$$
\nabla_1^2 \phi=\nabla_1^2 \psi=0
$$
也就是说，解析函数的实部和虚部是调和函数。这样定义的函数$\phi, \psi$称为共轭函数。
相反的结果也成立:如果调和函数$\phi$和$\psi$满足Cauchy-Riemann方程，则$\phi+i \psi$是$z=x+i y$的解析函数。

如果给出$\phi(x, y)$或$\psi(x, y)$，则可以确定解析函数$w=\phi+i \psi$，为，由式(1):
$$
\frac{d w}{d z}=\frac{\partial \phi}{\partial x}+i \frac{\partial \psi}{\partial x}=\phi_1(x, y)-i \phi_2(x, y)
$$
在哪里$\phi_1=\partial \phi / \partial x, \phi_2=\partial \phi / \partial y$。输入$y=0$，就得到了恒等式
$$
\frac{d w}{d z}=\phi_1(z, 0)-i \phi_2(z, 0)
$$
通过简单的积分可以得到$w$。如果给出$\psi$，那么，用类似的符号表示，
$$
\frac{d w}{d z}=\psi_2(z, 0)+i \psi_1(z, 0)
$$

数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代写|Green’s Function for the Two-dimensional Equation

二维拉普拉斯方程的格林函数理论可以沿着与第8节类似的路线发展。如果我们把
$$
P=-\psi \frac{\partial \psi^{\prime}}{\partial y}, \quad Q=\psi \frac{\partial \psi^{\prime}}{\partial x}
$$
在第11节的式(4)中，我们发现
$$
\int_K \psi \nabla_1^2 \psi^{\prime} d s+\int_K\left(\frac{\partial \psi}{\partial x} \frac{\partial \psi^{\prime}}{\partial x}+\frac{\partial \psi}{\partial y} \frac{\partial \psi^{\prime}}{\partial y}\right) d S=\int_C \psi \frac{\partial \psi^{\prime}}{\partial n} d S
$$
如果我们交换$\psi$和$\psi^{\prime}$并相减这两个方程，我们发现
$$
\int_R\left(\psi \nabla_1^2 \psi^{\prime}-\psi^{\prime} \nabla_1^2 \psi\right) d S=\int_C\left(\psi \frac{\partial \psi^{\prime}}{\partial n}-\psi^{\prime} \frac{\partial \psi}{\partial n}\right) d S
$$
假设坐标为$(x, y)$的$P$是区域$S$内部的一个点，在该区域中假设函数$\psi$是调和的。画一个圆。中心为$P$，半径为$\varepsilon$的$\Gamma$(参见图33)，并将结果(2)应用于曲线$C$和$\Gamma$所包围的区域$K$
$$
\psi^{\prime}=\log \frac{1}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right|}
$$
由于$\psi$和$\psi^{\prime}$都是谐波，因此，如果在图33所示的方向上测量$s$，
$$
\left(\int_{\Gamma}+\int_C\right)\left{\psi\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right) \frac{\partial}{\partial n} \log \frac{1}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right|}-\log \frac{1}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right|} \frac{\partial \psi}{\partial n}\right} d s^{\prime}=0
$$以上翻译结果来自有道神经网络翻译（YNMT）· 通用场景

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线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

如果你也在 怎样代写偏微分方程Partial Differential Equations 这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。偏微分方程Partial Differential Equations在数学中，偏微分方程（PDE）是一个方程，它规定了一个多变量函数的各种偏导数之间的关系。常微分方程构成了偏微分方程的一个子类，对应于单变量函数。截至2020年，随机偏微分方程和非局部方程是 “PDE “概念的特别广泛研究的延伸。更为经典的课题包括椭圆和抛物线偏微分方程、流体力学、玻尔兹曼方程和色散偏微分方程，目前仍有很多积极的研究。

偏微分方程Partial Differential Equations在以数学为导向的科学领域，如物理学和工程学中无处不在。例如，它们是现代科学对声音、热量、扩散、静电、电动力学、热力学、流体动力学、弹性、广义相对论和量子力学（薛定谔方程、保利方程等）的基础性认识。它们也产生于许多纯粹的数学考虑，如微分几何和变分计算；在其他值得注意的应用中，它们是几何拓扑学中证明庞加莱猜想的基本工具。部分由于这种来源的多样性，存在着广泛的不同类型的偏微分方程，并且已经开发了处理许多出现的个别方程的方法。因此，人们通常认为，偏微分方程没有 “一般理论”，专业知识在一定程度上被划分为几个基本不同的子领域。

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数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代写|Elementary Solutions of Laplace’s Equation

If we take the function $\psi$ to be given by the equation
$$
\psi=\frac{q}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right|}=\frac{q}{\sqrt{\left(x-x^{\prime}\right)^2+\left(y-y^{\prime}\right)^2+\left(z-z^{\prime}\right)^2}}
$$
where $q$ is a constant and $\left(x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}\right)$ are the coordinates of a fixed point, then since
$$
\begin{gathered}
\frac{\partial \psi}{\partial x}=-\frac{q\left(x-x^{\prime}\right)}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right|^3}, \text { etc. } \
\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}=-\frac{q}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right|^3}+\frac{3 q\left(x \cdots x^{\prime}\right)^2}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right|^5}, \text { etc. }
\end{gathered}
$$
it follows that
$$
\nabla^2 \psi=0
$$
showing that the function (1) is a solution of Laplace’s equation except possibly at the point $\left(x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}\right)$, where it is not defined.

From what we have said in $(c)$ of Sec. 1 it follows that the function $\psi$ given by equation (1) is a possible form for the electrostatic potential corresponding to a space which, apart from the isolated point $\left(x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}\right)$, is empty of electric charge. To find the charge at this singular point we make use of Gauss’ theorem (Problem 1 of Sec. 1). If $S$ is any sphere with center $\left(x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}\right)$, then it is easily shown that
$$
\int_S \frac{\partial \psi}{\partial n} d S=-4 \pi q
$$
from which it follows, by Gauss’ theorem, that equation (1) gives the solution of Laplace’s equation corresponding to an electric charge $+q$.

数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代写|Separation of Variables

We shall now apply to Laplace’s equation the method of separation of variables outlined in Sec. 9 of Chap. 3 .

In spherical polar coordinates $r, \theta, \phi$ Laplace’s equation takes the form
$$
\frac{\partial^2 \psi}{\partial r^2}+\frac{2}{r} \frac{\partial \psi}{\partial r}+\frac{1}{r^2} \frac{\partial^2 \psi}{\partial \theta^2}+\frac{\cot \theta}{r^2} \frac{\partial \psi}{\partial \theta}+\frac{1}{r^2 \sin ^2 \theta} \frac{\partial^2 \psi}{\partial \phi^2}=0
$$
and it was shown in Example 5 of Sec. 9, Chap. 3 that this equation is separable with solutions of the form
$$
\left{A_n r^n+\frac{B_n}{r^{n+1}}\right} \Theta(\cos \theta) e^{ \pm i m \phi}
$$
where $A_n, B_n, m$ are constants and $\Theta(\mu)$ satisfies Legendre’s associated equation
$$
\left(1-\mu^2\right) \frac{d^2 \Theta}{d \mu^2}-2 \mu \frac{d \Theta}{d \mu}+\left{n(n+1)-\frac{m^2}{1-\mu^2}\right} \Theta=0
$$
If we take $m=0$, we see that equation (3) reduces to Legendre’s equation
$$
\left(1-\mu^2\right) \frac{d^2 \Theta}{d \mu^2}-2 \mu \frac{d \Theta}{d \mu}+n(n+1) \Theta=0
$$
In the applications we wish to consider we assume that $n$ is a positive integer. In that case it is readily shown ${ }^1$ that this equation has two independent solutions given by the formulas
$$
\begin{gathered}
P_n(\mu)=\frac{1}{2^n n !} \frac{d^n}{d \mu^n}\left(\mu^2-1\right)^n \
Q_n(\mu)=\frac{1}{2} P_n(\mu) \log \frac{\mu+1}{\mu-1}-\sum_{s=0}^p \frac{2 n-4 s-1}{(2 s+1)(n-s)} P_{n-2 s-1}(\mu)
\end{gathered}
$$
where $p=\frac{1}{2}(n-1)$ or $\frac{1}{2} n-1$ according as $n$ is odd or even. The general solution of equation (4) is thus
$$
\Theta=C_n P_n(\mu)+D_n Q_n(\mu)
$$

偏微分方程代写

数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代写|Elementary Solutions of Laplace’s Equation

如果我们用方程给出$\psi$这个函数
$$
\psi=\frac{q}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right|}=\frac{q}{\sqrt{\left(x-x^{\prime}\right)^2+\left(y-y^{\prime}\right)^2+\left(z-z^{\prime}\right)^2}}
$$
其中$q$是常数，$\left(x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}\right)$是固定点的坐标，那么since
$$
\begin{gathered}
\frac{\partial \psi}{\partial x}=-\frac{q\left(x-x^{\prime}\right)}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right|^3}, \text { etc. } \
\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}=-\frac{q}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right|^3}+\frac{3 q\left(x \cdots x^{\prime}\right)^2}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right|^5}, \text { etc. }
\end{gathered}
$$
由此得出
$$
\nabla^2 \psi=0
$$
表明函数(1)是拉普拉斯方程的解，除了可能在$\left(x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}\right)$点处，它没有定义。

从我们在第1节$(c)$中所说的可以得出，方程(1)给出的函数$\psi$是对应于一个空间的静电势的可能形式，该空间除了孤立点$\left(x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}\right)$外，没有电荷。为了求出这个奇点处的电荷，我们利用高斯定理(第1节的问题1)。如果$S$是任何以$\left(x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}\right)$为中心的球，那么很容易证明
$$
\int_S \frac{\partial \psi}{\partial n} d S=-4 \pi q
$$
根据高斯定理，方程(1)给出了对应于一个电荷的拉普拉斯方程的解$+q$。

数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代写|Separation of Variables

现在，我们将把第三章第九节所概述的分离变量的方法应用于拉普拉斯方程。

在球极坐标$r, \theta, \phi$中，拉普拉斯方程是这样的
$$
\frac{\partial^2 \psi}{\partial r^2}+\frac{2}{r} \frac{\partial \psi}{\partial r}+\frac{1}{r^2} \frac{\partial^2 \psi}{\partial \theta^2}+\frac{\cot \theta}{r^2} \frac{\partial \psi}{\partial \theta}+\frac{1}{r^2 \sin ^2 \theta} \frac{\partial^2 \psi}{\partial \phi^2}=0
$$
在第三章第九节的例5中已经证明，这个方程是可分离的，其解为
$$
\left{A_n r^n+\frac{B_n}{r^{n+1}}\right} \Theta(\cos \theta) e^{ \pm i m \phi}
$$
其中$A_n, B_n, m$是常数$\Theta(\mu)$满足勒让德关联方程
$$
\left(1-\mu^2\right) \frac{d^2 \Theta}{d \mu^2}-2 \mu \frac{d \Theta}{d \mu}+\left{n(n+1)-\frac{m^2}{1-\mu^2}\right} \Theta=0
$$
如果我们取$m=0$，我们看到方程(3)简化为勒让德方程
$$
\left(1-\mu^2\right) \frac{d^2 \Theta}{d \mu^2}-2 \mu \frac{d \Theta}{d \mu}+n(n+1) \Theta=0
$$
在我们希望考虑的应用程序中，我们假设$n$是一个正整数。在这种情况下，很容易证明${ }^1$这个方程有两个由公式给出的独立解
$$
\begin{gathered}
P_n(\mu)=\frac{1}{2^n n !} \frac{d^n}{d \mu^n}\left(\mu^2-1\right)^n \
Q_n(\mu)=\frac{1}{2} P_n(\mu) \log \frac{\mu+1}{\mu-1}-\sum_{s=0}^p \frac{2 n-4 s-1}{(2 s+1)(n-s)} P_{n-2 s-1}(\mu)
\end{gathered}
$$
其中$p=\frac{1}{2}(n-1)$或$\frac{1}{2} n-1$根据$n$是奇数或偶数。式(4)的通解为
$$
\Theta=C_n P_n(\mu)+D_n Q_n(\mu)
$$

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

如果你也在 怎样代写偏微分方程Partial Differential Equations 这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。偏微分方程Partial Differential Equations在数学中，偏微分方程（PDE）是一个方程，它规定了一个多变量函数的各种偏导数之间的关系。常微分方程构成了偏微分方程的一个子类，对应于单变量函数。截至2020年，随机偏微分方程和非局部方程是 “PDE “概念的特别广泛研究的延伸。更为经典的课题包括椭圆和抛物线偏微分方程、流体力学、玻尔兹曼方程和色散偏微分方程，目前仍有很多积极的研究。

偏微分方程Partial Differential Equations在以数学为导向的科学领域，如物理学和工程学中无处不在。例如，它们是现代科学对声音、热量、扩散、静电、电动力学、热力学、流体动力学、弹性、广义相对论和量子力学（薛定谔方程、保利方程等）的基础性认识。它们也产生于许多纯粹的数学考虑，如微分几何和变分计算；在其他值得注意的应用中，它们是几何拓扑学中证明庞加莱猜想的基本工具。部分由于这种来源的多样性，存在着广泛的不同类型的偏微分方程，并且已经开发了处理许多出现的个别方程的方法。因此，人们通常认为，偏微分方程没有 “一般理论”，专业知识在一定程度上被划分为几个基本不同的子领域。

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数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代写|The Origin of Second-order Equations

Suppose that the function $z$ is given by an expression of the type
$$
z=f(u)+g(v)+w
$$
where $f$ and $g$ are arbitrary functions of $u$ and $v$, respectively, and $u, v$, and $w$ are prescribed functions of $x$ and $y$. Then writing
$$
p=\frac{\partial z}{\partial x}, \quad q=\frac{\partial z}{\partial y}, \quad r=\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}, \quad s=\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}, \quad t=\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}
$$
we find, on differentiating both sides of (1) with respect to $x$ and $y$, respectively, that
$$
\begin{aligned}
& p=f^{\prime}(u) u_x+g^{\prime}(v) v_x+w_x \
& q=f^{\prime}(u) u_y+g^{\prime}(v) v_y+w_y
\end{aligned}
$$
and hence that
$$
\begin{aligned}
& r=f^{\prime \prime}(u) u_x^2+g^{\prime \prime}(v) v_x^2+f^{\prime}(u) u_{x x}+g^{\prime}(v) v_{x x}+w_{x x} \
& s=f^{\prime \prime}(u) u_x u_y+g^{\prime \prime}(v) v_x u_y+f^{\prime}(u) u_{x v}+g^{\prime}(v) v_{x v}+w_{x y} \
& t=f^{\prime \prime}(u) u_y^2+g^{\prime \prime}(v) v_y^2+f^{\prime}(u) u_{y v}+g^{\prime}(v) v_{y y}+w_{y v}
\end{aligned}
$$
We now have five equations involving the four arbitrary quantities $f^{\prime}$, $f^{\prime \prime}, g^{\prime}, g^{\prime \prime}$. If we eliminate these four quantities from the five equations, we obtain the relation
$$
\left|\begin{array}{cllcc}
p-w_x & u_x & v_x & 0 & 0 \
q-w_y & u_y & v_y & 0 & 0 \
r-w_{x x} & u_{x x} & v_{x x} & u_x^2 & v_x^2 \
s-w_{x y} & u_{x v} & v_{x v} & u_x u_v & v_x v_y \
t-w_{v y} & u_{y v} & v_{y v} & u_y^2 & v_y^2
\end{array}\right|=0
$$
which involves only the derivatives $p, q, r, s, t$ and known functions of $x$ and $y$. It is therefore a partial differential equation of the second order. Furthermore if we expand the determinant on the left-hand side of equation (3) in terms of the elements of the first column, we obtain an equation of the form
$$
R r+S s+T t+P p+Q q=W
$$
where $R, S, T, P, Q, W$ are known functions of $x$ and $y$. Therefore the relation (1) is a solution of the second-order linear partial differential equation (4). It should be noticed that the equation (4) is of a particular type: the dependent variable $z$ does not occur in it.

数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代写|Equations with Variable Coefficients

We shall now consider equations of the type
$$
R r+S s+T t+f(x, y, z, p, q)=0
$$

which may be written in the form
$$
\mathrm{L}(z)+f(x, y, z, p, q)=0
$$
where $L$ is the differential operator defined by the equation
$$
\mathrm{L}=R \frac{\partial^2}{\partial x^2}+S \frac{\partial^2}{\partial x \partial y}+T \frac{\partial^2}{\partial y^2}
$$
in which $R, S, T$ are continuous functions of $x$ and $y$ possessing continuous partial derivatives of as high an order as necessary. By a suitable change of the independent variables we shall show that any equation of the type (2) can be reduced to one of three canonical forms. Suppose we change the independent variables from $x, y$ to $\xi, \eta$, where
$$
\xi=\xi(x, y), \quad \eta=\eta(x, y)
$$
and we write $z(x, y)$ as $\zeta(\xi, \eta)$; then it is readily shown that equation (1) takes the form
$$
\begin{aligned}
A\left(\xi_x, \xi_y\right) \frac{\partial^2 \zeta}{\partial \xi^2}+2 B\left(\xi_x, \xi_y ; \eta_x, \eta_y\right) & \frac{\partial^2 \zeta}{\partial \xi \partial \eta} \
& +A\left(\eta_x, \eta_y\right) \frac{\partial^2 \zeta}{\partial \eta^2}=F\left(\xi, \eta, \zeta, \zeta_{\xi}, \zeta_\eta\right)
\end{aligned}
$$
where
$$
\begin{gathered}
A(u, v)=R u^2+S u v+T v^2 \
B\left(u_1, v_1 ; u_2, v_2\right)=R u_1 u_2+\frac{1}{2} S\left(u_1 v_2+u_2 v_1\right)+T v_1 v_2
\end{gathered}
$$
and the function $F$ is readily derived from the given function $f$.
The problem now is to determine $\xi$ and $\eta$ so that equation (4) takes the simplest possible form. The procedure is simple when the discriminant $S^2-4 R T$ of the quadratic form (5) is everywhere either positive, negative, or zero, and we shall discuss these three cases separately.

偏微分方程代写

数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代写|The Origin of Second-order Equations

假设函数$z$由该类型的表达式给出
$$
z=f(u)+g(v)+w
$$
其中$f$和$g$分别为$u$和$v$的任意函数，$u, v$和$w$为$x$和$y$的规定函数。然后写作
$$
p=\frac{\partial z}{\partial x}, \quad q=\frac{\partial z}{\partial y}, \quad r=\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}, \quad s=\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}, \quad t=\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}
$$
在(1)的两边分别对$x$和$y$求导时，我们发现
$$
\begin{aligned}
& p=f^{\prime}(u) u_x+g^{\prime}(v) v_x+w_x \
& q=f^{\prime}(u) u_y+g^{\prime}(v) v_y+w_y
\end{aligned}
$$
因此
$$
\begin{aligned}
& r=f^{\prime \prime}(u) u_x^2+g^{\prime \prime}(v) v_x^2+f^{\prime}(u) u_{x x}+g^{\prime}(v) v_{x x}+w_{x x} \
& s=f^{\prime \prime}(u) u_x u_y+g^{\prime \prime}(v) v_x u_y+f^{\prime}(u) u_{x v}+g^{\prime}(v) v_{x v}+w_{x y} \
& t=f^{\prime \prime}(u) u_y^2+g^{\prime \prime}(v) v_y^2+f^{\prime}(u) u_{y v}+g^{\prime}(v) v_{y y}+w_{y v}
\end{aligned}
$$
我们现在有五个方程涉及四个任意量$f^{\prime}$$f^{\prime \prime}, g^{\prime}, g^{\prime \prime}$。如果我们从五个方程中消去这四个量，我们就得到了这个关系
$$
\left|\begin{array}{cllcc}
p-w_x & u_x & v_x & 0 & 0 \
q-w_y & u_y & v_y & 0 & 0 \
r-w_{x x} & u_{x x} & v_{x x} & u_x^2 & v_x^2 \
s-w_{x y} & u_{x v} & v_{x v} & u_x u_v & v_x v_y \
t-w_{v y} & u_{y v} & v_{y v} & u_y^2 & v_y^2
\end{array}\right|=0
$$
只涉及到$x$和$y$的导数$p, q, r, s, t$和已知函数。因此它是一个二阶偏微分方程。此外，如果我们将等式(3)左边的行列式展开，用第一列的元素表示，我们得到如下形式的等式
$$
R r+S s+T t+P p+Q q=W
$$
其中$R, S, T, P, Q, W$为$x$和$y$的已知函数。因此关系式(1)是二阶线性偏微分方程(4)的解。需要注意的是，方程(4)是一种特殊类型:因变量$z$不出现在其中。

数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代写|Equations with Variable Coefficients

现在我们来考虑这种类型的方程
$$
R r+S s+T t+f(x, y, z, p, q)=0
$$

哪些可以写在表格中
$$
\mathrm{L}(z)+f(x, y, z, p, q)=0
$$
方程定义的微分算子$L$在哪里
$$
\mathrm{L}=R \frac{\partial^2}{\partial x^2}+S \frac{\partial^2}{\partial x \partial y}+T \frac{\partial^2}{\partial y^2}
$$
其中$R, S, T$是$x$和$y$的连续函数，具有任意高阶的连续偏导数。通过适当地改变自变量，我们将证明(2)型的任何方程都可以化为三种标准形式之一。假设我们将自变量从$x, y$改为$\xi, \eta$，其中
$$
\xi=\xi(x, y), \quad \eta=\eta(x, y)
$$
我们把$z(x, y)$写成$\zeta(\xi, \eta)$;这样就很容易证明，式(1)的形式为
$$
\begin{aligned}
A\left(\xi_x, \xi_y\right) \frac{\partial^2 \zeta}{\partial \xi^2}+2 B\left(\xi_x, \xi_y ; \eta_x, \eta_y\right) & \frac{\partial^2 \zeta}{\partial \xi \partial \eta} \
& +A\left(\eta_x, \eta_y\right) \frac{\partial^2 \zeta}{\partial \eta^2}=F\left(\xi, \eta, \zeta, \zeta_{\xi}, \zeta_\eta\right)
\end{aligned}
$$
在哪里
$$
\begin{gathered}
A(u, v)=R u^2+S u v+T v^2 \
B\left(u_1, v_1 ; u_2, v_2\right)=R u_1 u_2+\frac{1}{2} S\left(u_1 v_2+u_2 v_1\right)+T v_1 v_2
\end{gathered}
$$
函数$F$很容易从给定的函数$f$推导出来。
现在的问题是确定$\xi$和$\eta$，以便方程(4)采用最简单的形式。当二次式(5)的判别式$S^2-4 R T$处处为正、负或零时，过程很简单，我们将分别讨论这三种情况。

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微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

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偏微分方程Partial Differential Equations在以数学为导向的科学领域，如物理学和工程学中无处不在。例如，它们是现代科学对声音、热量、扩散、静电、电动力学、热力学、流体动力学、弹性、广义相对论和量子力学（薛定谔方程、保利方程等）的基础性认识。它们也产生于许多纯粹的数学考虑，如微分几何和变分计算；在其他值得注意的应用中，它们是几何拓扑学中证明庞加莱猜想的基本工具。部分由于这种来源的多样性，存在着广泛的不同类型的偏微分方程，并且已经开发了处理许多出现的个别方程的方法。因此，人们通常认为，偏微分方程没有 “一般理论”，专业知识在一定程度上被划分为几个基本不同的子领域。

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数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代写|Integral Surfaces Passing through a Given Curve

In the last section we considered a method of finding the general solution of a linear partial differential equation. We shall now indicate how such a general solution may be used to determine the integral surface which passes through a given curve. We shall suppose that we have found two solutions
$$
u(x, y, z)=c_1, \quad v(x, y, z)=c_2
$$
of the auxiliary equations (4) of Sec. 4. Then, as we saw in that section, any solution of the corresponding linear equation is of the form
arising from a relation
$$
\begin{gathered}
F(u, v)=0 \
F\left(c_1, c_2\right)=0
\end{gathered}
$$
between the,constants $c_1$ and $c_2$. The problem we have to consider is that of determining the function $F$ in special circumstances.

If we wish to find the integral surface which passes through the curve $c$ whose parametric equations are
$$
x=x(t), \quad y=y(t), \quad z=z(t)
$$
where $t$ is a parameter, then the particular solution (1) must be such that
$$
u{x(t), y(t), z(t)}=c_1, \quad v{x(t), y(t), z(t)}=c_2
$$
We therefore have two equations from which we may eliminate the single variable $t$ to obtain a relation of the type (3). The solution we are seeking is then given by equation (2).

数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代写|Cauchy’s Method of Characteristics

We shall now consider methods of solving the nonlinear partial differential equation
$$
F\left(x, y, z, \frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}\right)=0
$$
In this section we shall consider a method, due to Cauchy, which is based largely on geometrical ideas.
The plane passing through the point $P\left(x_0, y_0, z_0\right)$ with its normal parallel to the direction $n$ defined by the direction ratios $\left(p_0, q_0,-1\right)$ is uniquely specified by the set of numbers $D\left(x_0, y_0, z_0, p_0, q_0\right)$. Conversely any such set of five real numbers defines a plane in three-dimensional space. For this reason a set of five numbers $D(x, y, z, p, q)$ is called a plane element of the space. In particular a plane element $\left(x_0, y_0, z_0, p_0, q_0\right)$ whose components satisfy an equation
$$
F(x, y, z, p, q)=0
$$
is called an integral element of the equation (2) at the point $\left(x_0, y_0, z_0\right)$.

It is theoretically possible to solve an equation of the type (2) to obtain an expression
$$
q=G(x, y, z, p)
$$
from which to calculate $q$ when $x$, $y, z$, and $p$ are known. Keeping $x_0, y_0$, and $z_0$ fixed and varying $p$, we obtain a set of plane elements $\left{x_0, y_0, z_0, p, G\left(x_0, y_0, z_0, p\right)\right}$, which depend on the single parameter $p$. As $p$ varies, we obtain a set of plane elements all of which pass through the point $P$ and which therefore envelop a cone with vertex $P$; the cone so generated is called the elementary cone of equation (2) at the point $P$ (cf. Fig. 16).
Consider now a surface $S$ whose equation is
$$
z=g(x, y)
$$
If the function $g(x, y)$ and its first partial derivatives $g_x(x, y), g_y(x, y)$ are continuous in a certain region $R$ of the $x y$ plane, then the tangent plane at each point of $S$ determines a plane element of the type
$$
\left{x_0, y_0, g\left(x_0, y_0\right), g_x\left(x_0, y_0\right), g_y\left(x_0, y_0\right)\right}
$$
which we shall call the tangent element of the surface $S$ at the point $\left{x_0, y_0, g\left(x_0, y_0\right)\right}$.

偏微分方程代写

数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代写|Integral Surfaces Passing through a Given Curve

在上一节中，我们考虑了求线性偏微分方程通解的一种方法。现在我们将说明如何使用这样的通解来确定穿过给定曲线的积分曲面。假设我们已经找到了两个解
$$
u(x, y, z)=c_1, \quad v(x, y, z)=c_2
$$
第4节辅助方程(4)的然后，正如我们在那一节看到的，任何相应线性方程的解都是这样的形式
由关系产生
$$
\begin{gathered}
F(u, v)=0 \
F\left(c_1, c_2\right)=0
\end{gathered}
$$
在常数$c_1$和$c_2$之间。我们必须考虑的问题是在特殊情况下如何确定$F$函数。

如果我们希望找到通过曲线$c$的积分曲面，其参数方程为
$$
x=x(t), \quad y=y(t), \quad z=z(t)
$$
其中$t$为参数，则特解(1)必须满足
$$
u{x(t), y(t), z(t)}=c_1, \quad v{x(t), y(t), z(t)}=c_2
$$
因此，我们有两个方程，从中我们可以消除单个变量$t$以获得类型(3)的关系。然后，我们正在寻找的解由方程(2)给出。

数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代写|Cauchy’s Method of Characteristics

现在我们考虑解非线性偏微分方程的方法
$$
F\left(x, y, z, \frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}\right)=0
$$
在本节中，我们将考虑一种主要基于几何思想的柯西方法。
通过点$P\left(x_0, y_0, z_0\right)$且法线平行于方向$n$(方向比$\left(p_0, q_0,-1\right)$定义)的平面由一组数字$D\left(x_0, y_0, z_0, p_0, q_0\right)$唯一指定。相反，任何这样的五个实数的集合都定义了三维空间中的一个平面。由于这个原因，一组五个数字$D(x, y, z, p, q)$被称为空间的平面元素。特别是一个平面单元$\left(x_0, y_0, z_0, p_0, q_0\right)$，它的分量满足一个方程
$$
F(x, y, z, p, q)=0
$$
称为方程(2)在点$\left(x_0, y_0, z_0\right)$处的积分元素。

从理论上讲，求解(2)型方程可以得到一个表达式
$$
q=G(x, y, z, p)
$$
当已知$x$, $y, z$和$p$时，从中计算$q$。保持$x_0, y_0$和$z_0$固定和变化$p$，我们得到一组平面元素$\left{x_0, y_0, z_0, p, G\left(x_0, y_0, z_0, p\right)\right}$，它们依赖于单个参数$p$。随着$p$的变化，我们得到一组平面元素，它们都经过$P$点，因此包围了一个顶点为$P$的圆锥;这样生成的锥体称为方程(2)在点$P$处的初等锥体(参见图16)。
现在考虑一个曲面$S$，它的方程是
$$
z=g(x, y)
$$
如果函数$g(x, y)$及其一阶偏导数$g_x(x, y), g_y(x, y)$在$x y$平面的某一区域$R$内连续，则$S$的每一点的切平面决定了该类型的平面元素
$$
\left{x_0, y_0, g\left(x_0, y_0\right), g_x\left(x_0, y_0\right), g_y\left(x_0, y_0\right)\right}
$$
我们称它为表面在$\left{x_0, y_0, g\left(x_0, y_0\right)\right}$处的切线元素$S$。

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线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。