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## 数学代写|测度与积分代写Measure And Integration代考|Polar Coordinates and Surface Measure

Polar Coordinates and Surface Measure. Let
$$S^{d-1}=\left{x \in \mathbb{R}^d:|x|^2:=\sum_{i=1}^d x_i^2=1\right}$$
be the unit sphere in $\mathbb{R}^d$. Let $\Phi: \mathbb{R}^d \backslash(0) \rightarrow(0, \infty) \times S^{d-1}$ and $\Phi^{-1}$ be the inverse map given by
$$\Phi(x):=\left(|x|, \frac{x}{|x|}\right) \text { and } \Phi^{-1}(r, \omega)=r \omega$$
respectively. Since $\Phi$ and $\Phi^{-1}$ are continuous, they are Borel measurable.
Consider the measure $\Phi_* m$ on $\mathcal{B}{(0, \infty)} \otimes \mathcal{B}{S^{d-1}}$ given by
$$\Phi_* m(A):=m\left(\Phi^{-1}(A)\right)$$
for all $A \in \mathcal{B}{(0, \infty)} \otimes \mathcal{B}{S^{d-1}}$. For $E \in \mathcal{B}{S^{d-1}}$ and $a>0$, let $$E_a:={r \omega: r \in(0, a] \text { and } \omega \in E}=\Phi^{-1}((0, a] \times E) \in \mathcal{B}{\mathbb{R}^d} \text {. }$$
Noting that $E_a=a E_1$, we have for $0<a<b, E \in \mathcal{B}_{S^{d-1}}, E$ and $A=(a, b] \times E$ that
\begin{aligned} \Phi^{-1}(A) & ={r \omega: r \in(a, b] \text { and } \omega \in E} \ & =b E_1 \backslash a E_1 . \end{aligned}

## 数学代写|测度与积分代写Measure And Integration代考|Hahn Decomposition Theorem

Definition 13.4. Let $\nu$ be a signed measure on $(X, \mathcal{M})$ and $E \in \mathcal{M}$, then
(1) $E$ is positive if for all $A \in \mathcal{M}$ such that $A \subset E, \nu(A) \geq 0$, i.e. $\left.\nu\right|{\mathcal{M}_E} \geq 0$. (2) $E$ is negative if for all $A \in \mathcal{M}$ such that $A \subset E, \nu(A) \leq 0$, i.e. $\left.\nu\right|{\mathcal{M}E} \leq 0$. (3) $E$ is null if for all $A \in \mathcal{M}$ such that $A \subset E$, i.e. $\left.\nu\right|{\mathcal{M}_E}=0$.
Here $\mathcal{M}_E \equiv{A \cap E: A \in \mathcal{M}}=$ trace of $M$ on $E$.
Lemma 13.5. Suppose that $\nu$ is a signed measure on $(X, \mathcal{M})$. Then
(1) Any subset of a positive set is positive.
(2) The countable union of positive (negative or null) sets is still positive (negative or null).
(3) Let us now further assume that $\nu(\mathcal{M}) \subset[-\infty, \infty)$ and $E \in \mathcal{M}$ is a set such that $\nu(E) \in(0, \infty)$. Then there exists a positive set $P \subseteq E$ such that $\nu(P) \geq \nu(E)$.

Proof. The first assertion is obvious. If $P_j \in \mathcal{M}$ are positive sets, let $P=$ $\bigcup_{n=1}^{\infty} P_n$. By replacing $P_n$ by the positive set $P_n \backslash\left(\bigcup_{j=1}^{n-1} P_j\right)$ we may assume that the $\left{P_n\right}_{n=1}^{\infty}$ are pairwise disjoint so that $P=\bigcup_{n=1}^{\infty} P_n$. Now if $E \subset P$ and $E \in \mathcal{M}$, $E=\coprod_{n=1}^{\infty}\left(E \cap P_n\right)$ so
$$\nu(E)=\sum_{n=1}^{\infty} \nu\left(E \cap P_n\right) \geq 0$$

## 数学代写测度与积分代写Measure And Integration代考|Polar Coordinates and Surface Measure

\left 缺分或无法识别的分隔符

$$\Phi(x):=\left(|x|, \frac{x}{|x|}\right) \text { and } \Phi^{-1}(r, \omega)=r \omega$$

$$\Phi_* m(A):=m\left(\Phi^{-1}(A)\right)$$

$$E_a:=r \omega: r \in(0, a] \text { and } \omega \in E=\Phi^{-1}((0, a] \times E) \in \mathcal{B}^d$$

## 数学代写|测度与积分代写Measure And Integration代考|Hahn Decomposition Theorem

left 缺少或无法识别的分隔符

$$\nu(E)=\sum_{n=1}^{\infty} \nu\left(E \cap P_n\right) \geq 0$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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## 数学代写|测度与积分代写Measure And Integration代考|Construction of measures on a simple product space

Exercise 6.11. Let $Y \equiv{0,1}^{\mathbb{N}}$ (the set of sequences $y=\left(y_1, y_2, \ldots\right.$ ) with $y_i \in$ $X \equiv{0,1}, Y_n \equiv{0,1}^n$ for all $n \in \mathbb{N}$, and $\pi_n: Y \rightarrow Y_n$ be defined by $\pi_n(y)=$ $\left(y_1, y_2, \ldots, y_n\right) . \mathcal{A}$ denote the collection of “cylinder sets” in $Y$, i.e. sets of the form
$$A=\pi_n^{-1}(C) \text { where } n \in \mathbb{N} \text { and } C \subset Y_n \text {. }$$
In words a cylinder set is a subset of $Y$ which is determined by restricting the values of only a finite number of coordinates of $y \in Y$. For example $A \equiv\left{y \in Y: y_{2 i}=\right.$ 0 for $i \in N}$ is not a cylinder set.

a) Show that $\mathcal{A}$ is an algebra.
b) Show that if $A_n \in \mathcal{A}$ and $A_n \downarrow \emptyset$ then $A_n=\emptyset$ for all $n$ sufficiently large.
c) Conclude that any finitely additive measure $\mu_0$ on $\mathcal{A}$ is a premeasure.

## 数学代写|测度与积分代写Measure And Integration代考|Product Spaces

Product Spaces. The reader who finds this section a little too heavy may wish to first read Appendix $7.4$ below where the most important special cases are covered. The material in this subsection before Corollary $7.28$ may then be skipped on the first reading.

Definition 7.20. Let $X$ and $A$ be sets, and suppose for $\alpha \in A$ we are give a measurable (topological) space $\left(Y_\alpha, \mathcal{F}\alpha\right)$ and a function $f\alpha: X \rightarrow Y_\alpha$. We will write $\sigma\left(f_\alpha: \alpha \in A\right)\left(\tau\left(f_\alpha: \alpha \in A\right)\right)$ for the smallest $\sigma$-algebra (topology) on $X$ such that each $f_\alpha$ is measurable (continuous), i.e.
\begin{aligned} & \sigma\left(f_\alpha: \alpha \in A\right)=\sigma\left(\cup_\alpha f_\alpha^{-1}\left(\mathcal{F}\alpha\right)\right) \text { and } \ & \tau\left(f\alpha: \alpha \in A\right)=\tau\left(\cup_\alpha f_\alpha^{-1}\left(\mathcal{F}\alpha\right)\right) . \end{aligned} Proposition 7.21. Assuming the notation in Definition 7.20 and additionally let $(Z, \mathcal{M})$ be a measurable (topological) space and $g: Z \rightarrow X$ be a function. Then $g$ is $\left(\mathcal{M}, \sigma\left(f\alpha: \alpha \in A\right)\right)$ – measurable $\left(\left(\mathcal{M}, \tau\left(f_\alpha: \alpha \in A\right)\right)\right.$ – continuous) iff $f_\alpha \circ g$ is $\left(\mathcal{M}, \mathcal{F}_\alpha\right)$-measurable (continuous) for all $\alpha \in A$.

Proof. $(\Rightarrow)$ If $g$ is $\left(\mathcal{M}, \sigma\left(f_\alpha: \alpha \in A\right)\right)$ – measurable, then the composition $f_\alpha \circ g$ is $\left(\mathcal{M}, \mathcal{F}\alpha\right)$ – measurable by Lemma 7.6. $(\Leftarrow)$ Let $$\mathcal{G}=\sigma\left(f\alpha: \alpha \in A\right)=\sigma\left(\cup_{\alpha \in A} f_\alpha^{-1}\left(\mathcal{F}_\alpha\right)\right)$$

## 数学代写|测度与积分代写Measure And Integration代考|Construction of measures on a simple product space

$$A=\pi_n^{-1}(C) \text { where } n \in \mathbb{N} \text { and } C \subset Y_n \text {. }$$

〈left 缺少或无法识别的分隔符 不是圆柱体组。
a) 表明 $\mathcal{A}$ 是一个代数。
b) 证明如果 $A_n \in \mathcal{A}$ 和 $A_n \downarrow \emptyset$ 然后 $A_n=\emptyset$ 对所有人 $n$ 足够大。
c) 得出结论，任何有限加法测度 $\mu_0$ 上 $\mathcal{A}$ 是一种预防措施。

## 数学代写测度与积分代写Measure And Integration代考|Product Spaces

$$\sigma\left(f_\alpha: \alpha \in A\right)=\sigma\left(\cup_\alpha f_\alpha^{-1}(\mathcal{F} \alpha)\right) \text { and } \quad \tau(f \alpha: \alpha \in A)=\tau\left(\cup_\alpha f_\alpha^{-1}\left(\mathcal{F}\alpha\right)\right) .$$ 提䅁 7.21。假设定义 $7.20$ 中的符号，另外让 $(Z, \mathcal{M}$ ) 是一个可测量的 (拓扑) 空间并且 $g: Z \rightarrow X$ 成为一个函数。然后 $g$ 是 $(\mathcal{M}, \sigma(f \alpha: \alpha \in A))$ – 可衡量的 $\left(\left(\mathcal{M}, \tau\left(f\alpha: \alpha \in A\right)\right)\right.$ – 连续的) 当且仅当 $f_\alpha \circ g$ 是 $\left(\mathcal{M}, \mathcal{F}\alpha\right)$ – 对所有人都是可测量的 (连 续的) $\alpha \in A$. 证明。 $(\Rightarrow)$ 如果 $g$ 是 $\left(\mathcal{M}, \sigma\left(f\alpha: \alpha \in A\right)\right)$ – 可测量，然后是组成 $f_\alpha \circ g$ 是 $(\mathcal{M}, \mathcal{F} \alpha)$ – 可由引理 $7.6$ 测量。( $\left.\Leftarrow\right)$ 让
$$\mathcal{G}=\sigma(f \alpha: \alpha \in A)=\sigma\left(\cup_{\alpha \in A} f_\alpha^{-1}\left(\mathcal{F}_\alpha\right)\right)$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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## avatest™帮您通过考试

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## 数学代写|测度与积分代写Measure And Integration代考|Sums of positive functions

Sums of positive functions. In this and the next few sections, let $X$ and $Y$ be two sets. We will write $\alpha \subset \subset X$ to denote that $\alpha$ is a finite subset of $X$.

Definition 2.6. Suppose that $a: X \rightarrow[0, \infty]$ is a function and $F \subset X$ is a subset, then
$$\sum_F a=\sum_{x \in F} a(x)=\sup \left{\sum_{x \in \alpha} a(x): \alpha \subset \subset F\right}$$
Remark 2.7. Suppose that $X=\mathbb{N}={1,2,3, \ldots}$, then
$$\sum_{\mathbb{N}} a=\sum_{n=1}^{\infty} a(n):=\lim {N \rightarrow \infty} \sum{n=1}^N a(n) .$$
Indeed for all $N, \sum_{n=1}^N a(n) \leq \sum_{\mathbb{N}} a$, and thus passing to the limit we learn that
$$\sum_{n=1}^{\infty} a(n) \leq \sum_{\mathbb{N}} a$$
Conversely, if $\alpha \subset \subset \mathbb{N}$, then for all $N$ large enough so that $\alpha \subset{1,2, \ldots, N}$, we have $\sum_\alpha a \leq \sum_{n=1}^N a(n)$ which upon passing to the limit implies that
$$\sum_\alpha a \leq \sum_{n=1}^{\infty} a(n)$$
and hence by taking the supremum over $\alpha$ we learn that
$$\sum_{\mathbb{N}} a \leq \sum_{n=1}^{\infty} a(n)$$

## 数学代写|测度与积分代写Measure And Integration代考|Sums of complex functions

Definition 2.13. Suppose that $a: X \rightarrow \mathbb{C}$ is a function, we say that
$$\sum_X a=\sum_{x \in X} a(x)$$
exists and is equal to $A \in \mathbb{C}$, if for all $\epsilon>0$ there is a finite subset $\alpha_\epsilon \subset X$ such that for all $\alpha \subset \subset X$ containing $\alpha_\epsilon$ we have
$$\left|A-\sum_\alpha a\right| \leq \epsilon .$$
Definition $2.14$ (Summable). We call a function $a: X \rightarrow \mathbb{C}$ summable if
$$\sum_X|a|<\infty .$$
Proposition 2.15. Let $a: X \rightarrow \mathbb{C}$ be a function, then $\sum_X$ a exists iff $\sum_X|a|<\infty$, i.e. iff $a$ is summable.

Proof. If $\sum_X|a|<\infty$, using Remarks $2.12$ we may choose an increasing sequence of finite subsets $\alpha_n$ of $X$, such that $$\sum_X|a| \geq \sum_{\alpha_n}|a| \geq \sum_X|a|-1 / n \forall n .$$ Letting $S_n:=\sum_{\alpha_n} a$ we have for $m>n$
\begin{aligned} \left|S_m-S_n\right| & =\left|\sum_{\alpha_m \backslash \alpha_n} a\right| \leq \sum_{\alpha_m \backslash \alpha_n}|a| \ & =\sum_{\alpha_m}|a|-\sum_{\alpha_n}|a| \ & \leq\left|A-\sum_{\alpha_m}\right| a||+\left|A-\sum_{\alpha_n}\right| a|| \ & \leq \frac{1}{m}+\frac{1}{n} \end{aligned}
which tends to 0 as $m, n \rightarrow \infty$. Thus $\left{S_m\right}$ is a Cauchy sequence and we let $A:=\lim _{m \rightarrow \infty} S_m \cdot{ }^2$ Letting $m \rightarrow \infty$ in the previous equation also shows that
$$\left|A-S_n\right| \leq \frac{1}{n}$$

## 数学代写测度与积分代写Measure And Integration代考|Sums of positive functions

\left 缺少或无法识别的分隔符

$$\sum_{\mathbb{N}} a=\sum_{n=1}^{\infty} a(n):=\lim N \rightarrow \infty \sum n=1^N a(n) .$$

$$\sum_{n=1}^{\infty} a(n) \leq \sum_{\mathbb{N}} a$$

$$\sum_\alpha a \leq \sum_{n=1}^{\infty} a(n)$$

$$\sum_{\mathbb{N}} a \leq \sum_{n=1}^{\infty} a(n)$$

## 数学代写|测度与积分代写Measure And Integration代考|Sums of complex functions

$$\sum_X a=\sum_{x \in X} a(x)$$

$$\left|A-\sum_\alpha a\right| \leq \epsilon$$

$$\sum_X|a|<\infty .$$ 提案 2.15。让 $a: X \rightarrow \mathbb{C}$ 是一个函数，那么 $\sum_X$ 存在当且仅当 $\sum_X|a|<\infty$ ，即当且仅当 $a$ 是可总结的。 证明。如果 $\sum_X|a|<\infty$ ，使用备注 $2.12$ 我们可以选择一个递增的有限子堆序列 $\alpha_n$ 的 $X$ ，这样 $$\sum_X|a| \geq \sum_{\alpha_n}|a| \geq \sum_X|a|-1 / n \forall n .$$ 出租 $S_n:=\sum_{\alpha_n} a$ 我们有 $m>n$
$$\left|S_m-S_n\right|=\left|\sum_{\alpha_m \backslash \alpha_n} a\right| \leq \sum_{\alpha_m \backslash \alpha_n}|a| \quad=\sum_{\alpha_m}|a|-\sum_{\alpha_n}|a| \leq\left|A-\sum_{\alpha_m}\right| a||+\left|A-\sum_{\alpha_n}\right| a|| \quad \leq \frac{1}{m}+\frac{1}{n}$$

$$\left|A-S_n\right| \leq \frac{1}{n}$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。