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## 计算机代写|算法代写Algorithm代考|Minimum-Capacity Cuts

We may naturally think of the Maximum Flow problem as an attempt to maximize the number of resources that reach a collection of destinations. In this vein, there is a natural dual problem: what are the minimum number of disruptions needed to prevent any resources from reaching any of the destinations? The motivation for these problems arose during the Cold War. Here, the United States was interested in the Soviet Union Railway System that connected Eastern Europe- particularly, East Germany- and the western region of the Soviet Union. In particualr, the United States wanted to identify the minimum number of points to bomb in order to disrupt the flow of resources along this system [Ano, Sch02]. We will see later that the Maximum Flow problem is equivalent to finding the minimum number of disruptions. This is the celebrated Max-Flow Min-Cut Theorem.
We now turn to formalizing the Minimum Cut problem.
Definition 93. Let $\mathcal{N}(G, c, S, T)$ be a flow network. A cut of $\mathcal{N}$ is a partition of the vertices $(X, Y)$, where $S \subseteq X$ (that is, $X$ contains the source vertices), and $T \subseteq Y$ (that is, $Y$ contains the sink vertices). Note that as $(X, Y)$ is a partition, we have that $X$ and $Y$ are disjoint.

The capacity of the partition $(X, Y)$ is the sum of the edge capacities with the initial endpoint in $X$ and the destination vertex in $Y$. That is:
$$c(X, Y):=\sum_{x \in X} \sum_{y \in Y} c(x, y) .$$
Recall that if $(x, y)$ is not an edge of the flow network, then $c(x, y)=0$.
Definition 94. The Minimum Cut problem is defined as follows.

Instance: Let $\mathcal{N}(G, c, S, T)$ be a flow network.

Solution: A cut $(X, Y)$ such that $c(X, Y)$ is minimized.

## 计算机代写|算法代写Algorithm代考|Max-Flow Min-Cut Theorem

In this section, we prove the Max-Flow Min-Cut Theorem. Our proof is based on [Mou16b].
Theorem 97 (Max-Flow Min-Cut Theorem (Ford-Fulkerson, 1956).). Let $\mathcal{N}(G, c, S, T)$ be a flow network. Let $f^$ be a maximum-valued flow, and let $(X, Y)$ be a minimum-capacity cut. We have that val $\left(f^\right)=c(X, Y)$.
We prove Theorem 97. We first show that the value of a maximum flow is no bigger than the capacity of a minimum cut. We then show that there exists a cut whose capacity is no bigger than the value of a maximum flow. It follows from this second claim that the capacity of a minimum cut is no bigger than the value of a maximum flow.

We begin by showing that the value of a maximum flow is no bigger than the capacity of a minimum cut. To this end, we introduce the following lemma, which intuitively states that the amount of flow that we can push from the source nodes to the sink nodes cannot exceed the capacity of a cut.

Lemma 98. Let $\mathcal{N}(G, c, S, T)$ be a flow network, and let $f$ be a flow. Let $(X, Y)$ be a cut. We have that $\operatorname{val}(f) \leq c(X, Y)$

Proof. As $(X, Y)$ is a cut, we have by the conservation of flow the total flow that makes it from the source vertices to the sink vertices is the amount of flow leaving $X$, minus the amount of flow returning to $X$ from $Y$. This is precisely:
$$\operatorname{val}(f)=\sum_{u \in X} \sum_{v \in Y} f(u, v)-\sum_{u \in Y} \sum_{v \in X} f(u, v) .$$
By ignoring the flow coming back into $X$, we have that:
\begin{aligned} \operatorname{val}(f) & =\sum_{u \in X} \sum_{v \in Y} f(u, v)-\sum_{u \in Y} \sum_{v \in X} f(u, v) \ & =\sum_{u \in X} \sum_{v \in Y} f(u, v) \ & \leq \sum_{u \in X} \sum_{v \in Y} c(u, v) \ & =c(X, Y) \end{aligned}

## 计算机代写|算法代寻Algorithm代考|Minimum-Capacity Cuts

$$c(X, Y):=\sum_{x \in X} \sum_{y \in Y} c(x, y)$$

## 计算机代写|算法代写Algorithm代考|Max-Flow Min-Cut Theorem

\operatorname{val}(f)=\sum_{u \in X} \sum_{v \in Y} f(u, v)-\sum_{u \in Y} \sum_{v \in X} f(u, v)
$$通过芴略返回的流量 X ，我们有:$$
\operatorname{val}(f)=\sum_{u \in X} \sum_{v \in Y} f(u, v)-\sum_{u \in Y} \sum_{v \in X} f(u, v) \quad=\sum_{u \in X} \sum_{v \in Y} f(u, v) \leq \sum_{u \in X} \sum_{v \in Y} c(u, v) \quad=c(X, Y)
$$计算机代写|算法代写Algorithm代考 请认准UprivateTA™. 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We again start with the intermediate spanning forest \mathcal{F} that contains all the vertices of our input graph G(V, E, w), but none of the edges. While Kruskal’s algorithm determines which edges to add to \mathcal{F} by examining the entire graph, Prim’s algorithm takes a more local perspective. We provide as input a specified source vertex s \in V(G). Let T^ be the component of \mathcal{F} that contains s. Prim’s algorithm examines the edges of G that have exactly one endpoint in T^ and select a light edge e from these to add to \mathcal{F}. As e has exactly one endpoint in T^*, e connects two distinct components of \mathcal{F}. So by Corollary 61, e is a safe edge with respect to \mathcal{F}. This is the key observation in establishing that Prim’s algorithm returns a minimum-weight spanning tree. We now turn to formalizing Prim’s algorithm. We associate to each edge an attribute processed to indicate whether that edge has been placed into the priority queue. This ensures that each edge is considered at most once, which helps ensure that the algorithm will terminate. Now at lines 6-8, we initialize the priority queue to contain only edges that are incident to the source vertex. This ensures that the first edge placed into the intermediate spanning forest is incident to the source vertex. Now by adding an edge to \mathcal{F}, we introduce a new vertex v to the component containing our source vertex. Prim’s algorithm then adds to the prioritiy queue the edges incident to v, provided such edges have not already been polled from the queue. So the while loop at line 9 preserves the invariant that every edge in the priority queue has at least one endpoint in the component containing our source vertex. Prim’s algorithm only adds an edge if it connects two components. Such an edge e is polled from the priority queue, and so (i) has an endpoint in the component containing the source vertex, and (ii) is a minimum-weight edge connecting two distinct components. Therefore, e is a safe edge. ## 计算机代写|算法代写Algorithm代考|Prim’s Algorithm: Example We now work through an example of Prim’s algorithm. Example 71. Consider the following graph G(V, E, w) pictured below. Suppose we select the source vertex A. Prim’s algorithm proceeds as follows. 1. We initialize the intermediate spanning forest to contain all the vertices of G, but no edges. We then initialize the priority queue to contain the edges incident to our source vertex A. So:$$
Q=[({A, B}, 10),({A, C}, 12)],
$$and our intermediate spanning forest \mathcal{F} is pictured below. A F C E 2. We poll the edge {A, B} from the queue and mark {A, B} as processed. Note that w({A, B})=10. As {A, B} has exactly one endpoint on the component containing A (which is the isolated vertex A ), we add {A, B} to \mathcal{F}. We then push into the priority queue the unprocessed edges incident to B. So:$$
Q=[({B, C}, 1),({B, D}, 7),({A, C}, 12)],
$$and the updated intermediate spanning forest \mathcal{F} is pictured below. ## 算法代写 ## 计算机代写|算法代写Algorithm代考|Prim’s Algorithm 在本节中，我们将研究第二种构建最小权重生成树的技术；即 Prim 算法。我们再次从中间生成森林开始 \mathcal{F} 包含我们输入图的所有 顶点 G(V, E, w) ，但没有边。虽然 Kruskal 的算法确定要添加到哪些边缘 \mathcal{F} 通过检龺整个图，Prim 的算法采用了更局部的视 角。我们提供指定的源页点作为输入 s \in V(G). 让缺少上标或下标参数 成为的组成部分 \mathcal{F} 包含 s. Prim 的算法检萛边缘 G 恰好有一个端点缺少上上标或下标参数 并选择浅色边缘 e 从这些添加到 \mathcal{F}. 作为 e 恰好有一个端点 T^*, e 连接两个不同的组件 \mathcal{F}. 所以根据推论 61, e 是一个安全边 \mathcal{F}. 这是确定 Prim 算法返回最小权重生成树的关键 观宪结果。 我们现在转向形式化 Prim 的算法。 我们将每条边关联到一个经过处理的属性，以指示该边是否已放入优先级队列。这确保每条边最多被考虑一次，这有助于确保算法 将终止。 现在在第 6-8 行，我们将优先级队列初始化为仅包含入射到源页点的边。这确保放置到中间生成森林中的第一条边与源页点相关 联。现在通过添加一个边缘 \mathcal{F} ，我们引入一个新的顶点 v 到包含我们的源项点的组件。然后 Prim 的算法将边缘事件添加到优先级 队人列中 v ，前提是尚末从队列中轮询此米边縁。因此，第 9 行的 while 循环保留了不变性，即优先级队人列中的每条边在包含我们的 源页点的组件中至少有一个端点。 Prim 的算法仅在连接两个组件时才添加一条边。这样的边豚 e 从优先级队列中轮询，因此 (i) 在包含源页点的组件中有一个端点， 并且 (ii) 是连接两个不同组件的最小权重边。所以， e 是安全边。 ## 计算机代写|算法代写Algorithm代考|Prim’s Algorithm: Example 我们现在研究Prim 算法的一个例子。 示例 71. 考虑下图 G(V, E, w) 如下图所示。假设我们选择源页点 A. Prim 的算法如下进行。 1. 我们初始化中间生成森林以包含所有的顶点 G ，但没有边。然后我们初始化优先级队列以包含入射到我们的源项点的边 A. 所以:$$
Q=[(A, B, 10),(A, C, 12)]
$$和我们的中间生成林 \mathcal{F} 如下图所示。 A \mathrm{F} C E 2. 我们轮询边溕 A, B 从队列中标记 A, B 作为处理。注意 w(A, B)=10. 作为 A, B 在包含的组件上只有一个端点 A (这是孤 立的顶点 A )，我们增加 A, B 到 \mathcal{F}. 然后我们将末处理的边褖推入优先级队列 B. 所以:$$
Q=[(B, C, 1),(B, D, 7),(A, C, 12)],
$$和更新的中间生成林 \mathcal{F} 如下图所示。 计算机代写|算法代写Algorithm代考 请认准UprivateTA™. 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The key idea is to start with a solution (multi)set S and show that we may swap out or exchange elements of S in such a way that improves the solution. Understanding which elements to exchange often provides key insights into designing effective greedy algorithms. Such provable observations imply the correctness of our greedy algorithms. Example 32. Recall the Making Change problem, where we have an infinite supply of pennies (worth 1 cent), nickels (worth 5 cents), dimes (worth 10 cents), and quarters (worth 25 cents). We take as input an integer n \geq 0. The goal is to make change for n using the fewest number of coins possible. The greedy algorithm chooses as many quarters as possible, followed by as many dimes as possible, then as many nickels as possible. Finally, the greedy algorithm uses pennies to finish making change. Why is the greedy algorithm correct? Why does it select dimes before nickels? Exchange arguments allow us to answer this question. Consider the following lemma. Lemma 33. Let n \in \mathbb{N} be the amount for which we wish to make change. In an optimal solution, we have at most one nickel. Proof. Let S be the multiset of coins used to make change for n. Suppose that S contains k>1 nickels. The key idea is that we may exchange each pair of nickels for a single dime. We formalize this as follows. By the Division Algorithm, we may write k=2 j+r, where j \in \mathbb{N} and r \in{0,1}. As k>1, we have that j \geq 1. So we exchange 2 j nickels for j dimes to obtain a new solution set S^{\prime}. Observe that: \left|S^{\prime}\right|=|S|-j<|S|. As we may construct a solution using fewer coins, it follows that any optimal solution uses at most one nickel. While we will not go through a full proof of correctness for the greedy algorithm to make change, similar lemmas regarding dimes and pennies serve as key steps in establishing the correctness of this algorithm. In fact, Lemma 33 provides the key insight that we should select dimes before nickels; as otherwise, we may need to swap out the nickels for fewer dimes. ## 计算机代写|算法代写Algorithm代考|Interval Scheduling In this section, we consider the Interval Scheduling problem. Intuitively, we have a single classroom. The goal is to assign the maximum number of courses to the classroom, such that no two classes are scheduled for our room at the same time. We now turn to formalizing the Interval Scheduling problme. Here, we think of intervals as line segments on the real line. We specify each interval by a pair s_i and f_i, where s_i<f_i. An interval with starting point s_i and ending point s_i is the set:$$
\left[s_i, f_i\right]=\left{x \in \mathbb{R}: s_i \leq x \leq f_i\right} .

As an example, $[0,1]$ is the set of real numbers between 0 and 1, including the endpoints 0 and 1 . Intuitively, the Interval Scheduling problem takes as input $\mathcal{I}$, a set of intervals. The goal is to find the maximum number of intervals we can select, such that no two intervals overlap.
Definition 34. The Interval Scheduling problem is defined as follows.

• Instance: Let $\mathcal{I}=\left{\left[s_1, f_1\right], \ldots,\left[s_k, f_k\right]\right}$ be our set of intervals.
• Solution: A set $S \subseteq \mathcal{I}$ such that no two intervals in $S$ overlap, where $|S|$ is as large as possible.

## 计算机代写|算法代写Algorithm代考|Interval Scheduling

〈left 缺少或无法识别的分隔符

• 实例: 让left 缺少或无法识别的分隔符
是我们的间隔集。
• 解决方案: 一套 $S \subseteq \mathcal{I}$ 这样没有两个间隔 $S$ 重珢，其中 $|S|$ 尽可能大。

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。