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## 英国补课|计算方法代写ALGORITHMIC METHODS代写|CSCI5980/8980 Fractals and L-systems

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## 英国补课|计算方法代写ALGORITHMIC METHODS代写|Fractals

To start with we generalise the notions of open and closed interval to subsets of $\mathbb{R}^{2}$. For a fixed $\mathbf{a}=(a, b) \in \mathbb{R}^{2}$ and $\varepsilon>0$ the set
$$B(\mathbf{a}, \varepsilon)=\left{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} ; \sqrt{(x-a)^{2}+(y-b)^{2}}<\varepsilon\right}$$ is called an $\varepsilon$-neighbourhood of a. Note that the set $B(\mathbf{a}, \varepsilon)$ is a circular disc (with centre a and radius $\varepsilon$ ) where the boundary is missing. Definition 9.1 Let $A \subseteq \mathbb{R}^{2}$. (a) A point $\mathbf{a} \in A$ is called interior point of $A$ if there exists an $\varepsilon$-neighbourhood of a which itself is contained in $A$. (b) $A$ is called open if each point of $A$ is an interior point. (c) A point $\mathbf{c} \in \mathbb{R}^{2}$ is called boundary point of $A$ if every $\varepsilon$-neighbourhood of $\mathbf{c}$ contains at least one point of $A$ as well as a point of $\mathbb{R}^{2} \backslash A$. The set of boundary points of $A$ is denoted by $\partial A$ (boundary of $A$ ). (d) A set is called closed if it contains all its boundary points. (e) $A$ is called bounded if there is a number $r>0$ with $A \subseteq B(\mathbf{0}, r)$.
Example $9.2$ The square
$$Q=\left{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} ; 0<x<1 \text { and } 0<y<1\right}$$
is open since every point of $Q$ has an $\varepsilon$-neighbourhood which is contained in $Q$, see Fig. 9.1, left picture. The boundary of $Q$ consists of four line segments
$${0,1} \times[0,1] \cup[0,1] \times{0,1} .$$

## 英国补课|计算方法代写ALGORITHMIC METHODS代写|Mandelbrot Sets

An interesting class of fractals can be obtained with the help of iteration methods. As an example we consider in $\mathbb{C}$ the iteration
$$z_{n+1}=z_{n}^{2}+c .$$
Setting $z=x+\mathrm{i} y$ and $c=a+\mathrm{i} b$ one obtains, by separating the real and the imaginary part, the equivalent real form of the iteration
\begin{aligned} &x_{n+1}=x_{n}^{2}-y_{n}^{2}+a, \ &y_{n+1}=2 x_{n} y_{n}+b . \end{aligned}
The real representation is important when working with a programming language that does not support complex arithmetic.
First we investigate for which values of $c \in \mathbb{C}$ the iteration
$$z_{n+1}=z_{n}^{2}+c, \quad z_{0}=0$$
remains bounded. In the present case this is equivalent to $\left|z_{n}\right| \nrightarrow \infty$ for $n \rightarrow \infty$. The set of all $c$ with this property is obviously not empty since it contains $c=0$. On the other hand it is bounded since the iteration always diverges for $|c|>2$ as can easily be verified with MATLAB.

## 英国补课|计算方法代写ALGORITHMIC METHODS代写|Fractals

\left 的分隔符忤失或无法识别

$\mathbf{a} \in A$ 称为内点 $A$ 如果存在一个 $\varepsilon-$ 个个本身包含在其中的邻域 $A$. (二) $A$ 如果每个点被称为打开 $A$ 是一个内点。(c)一个点
$\mathbf{c} \in \mathbb{R}^{2}$ 称为边界点 $A$ 如果每个 $\varepsilon-$ 邻里c至少包含一个点 $A$ 以及一点 $\mathbb{R}^{2} \backslash A$. 的边界点集合 $A$ 表示为 $\partial A$ (边界 $\left.A\right)$ 。 (d) 如果集合

〈left 的分隔符忤失或无法识别

$$0,1 \times[0,1] \cup[0,1] \times 0,1 \text {. }$$

## 英国补课|计算方法代写ALGORITHMIC METHODS代写|Mandelbrot Sets

$$z_{n+1}=z_{n}^{2}+c .$$

$$x_{n+1}=x_{n}^{2}-y_{n}^{2}+a, \quad y_{n+1}=2 x_{n} y_{n}+b .$$

$$z_{n+1}=z_{n}^{2}+c, \quad z_{0}=0$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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## 计算机代写|计算方法代写ALGORITHMIC METHODS代写|COMP460 Applications of the Derivative

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## 计算机代写|计算方法代写ALGORITHMIC METHODS代写|Curve Sketching

In the following we investigate some geometric properties of graphs of functions using the derivative: maxima and minima, intervals of monotonicity and convexity. We further discuss the mean value theorem which is an important technical tool for proofs.
Definition 8.1 A function $f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ has
(a) a global maximum at $x_{0} \in[a, b]$ if
$$f(x) \leq f\left(x_{0}\right) \text { for all } x \in[a, b] ;$$

(b) a local maximum at $x_{0} \in[a, b]$, if there exists a neighbourhood $U_{\varepsilon}\left(x_{0}\right)$ so that
$$f(x) \leq f\left(x_{0}\right) \text { for all } x \in U_{\varepsilon}\left(x_{0}\right) \cap[a, b] .$$
The maximum is called strict if the strict inequality $f(x)<f\left(x_{0}\right)$ holds in (a) or (b) for $x \neq x_{0}$.

The definition for minimum is analogous by inverting the inequalities. Maxima and minima are subsumed under the term extrema. Figure $8.1$ shows some possible situations. Note that the function there does not have a global minimum on the chosen interval.

For points $x_{0}$ in the open interval $(a, b)$ one has a simple necessary condition for extrema of differentiable functions:

Proposition 8.2 Let $x_{0} \in(a, b)$ and $f$ be differentiable at $x_{0}$. If $f$ has a local maximum or minimum at $x_{0}$ then $f^{\prime}\left(x_{0}\right)=0$.
Proof Due to the differentiability of $f$ we have
$$f^{\prime}\left(x_{0}\right)=\lim {h \rightarrow 0+} \frac{f\left(x{0}+h\right)-f\left(x_{0}\right)}{h}=\lim {h \rightarrow 0-} \frac{f\left(x{0}+h\right)-f\left(x_{0}\right)}{h} .$$
In the case of a maximum the slope of the secant satisfies the inequalities
$$\begin{array}{ll} \frac{f\left(x_{0}+h\right)-f\left(x_{0}\right)}{h} \leq 0, & \text { if } h>0 \ \frac{f\left(x_{0}+h\right)-f\left(x_{0}\right)}{h} \geq 0, & \text { if } h<0 \end{array}$$
Consequently the limit $f^{\prime}\left(x_{0}\right)$ has to be greater than or equal to zero as well as smaller than or equal to zero, thus necessarily $f^{\prime}\left(x_{0}\right)=0$.

## 计算机代写|计算方法代写ALGORITHMIC METHODS代写|Newton’s Method

With the help of differential calculus efficient numerical methods for computing zeros of differentiable functions can be constructed. One of the basic procedures is Newton’s method ${ }^{1}$ which will be discussed in this section for the case of real-valued functions $f: D \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$.

First we recall the bisection method discussed in Sect. 6.3. Consider a continuous, real-valued function $f$ on an interval $[a, b]$ with
$$f(a)<0, f(b)>0 \text { or } f(a)>0, f(b)<0 .$$
With the help of continued bisection of the interval, one obtains a zero $\xi$ of $f$ satisfying
$$a=a_{1} \leq a_{2} \leq a_{3} \leq \cdots \leq \xi \leq \cdots \leq b_{3} \leq b_{2} \leq b_{1}=b,$$
where
$$\left|b_{n+1}-a_{n+1}\right|=\frac{1}{2}\left|b_{n}-a_{n}\right|=\frac{1}{4}\left|b_{n-1}-a_{n-1}\right|=\ldots=\frac{1}{2^{n}}\left|b_{1}-a_{1}\right| .$$

## 计算机代写|计算方法代写ALGORITHMIC METHODS代写|Curve Sketching

(a) 全局最大值 $x_{0} \in[a, b]$ 如果
$$f(x) \leq f\left(x_{0}\right) \text { for all } x \in[a, b] ;$$
(b) 同部最大值 $x_{0} \in[a, b]$, 如果存在邻域 $U_{\varepsilon}\left(x_{0}\right)$ 以便
$$f(x) \leq f\left(x_{0}\right) \text { for all } x \in U_{\varepsilon}\left(x_{0}\right) \cap[a, b] .$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。