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## 数学代写|谱几何代写Spectral Geometry代考|Elementary surgery

We will explain in detail the following fact (in the context of the Dirichlet boundary conditions): A small hole in a domain does not affect the spectrum “too much”(see (14) below). Let $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ a domain with smooth boundary. Let $x \in \Omega$, and $B(x, \epsilon)$ the ball of radius $\epsilon$ centered at the point $x$ ( $\epsilon$ is chosen small enough such that $B(x, \epsilon) \subset \Omega$ ). We denote by $\Omega_\epsilon$ the subset $\Omega-B(x, \epsilon)$, that is we make a hole of radius $\epsilon$ on $\Omega$.

Theorem 17. We consider the two domains $\Omega$ and $\Omega_\epsilon$ with the Dirichlet boundary conditions, and denote by $\left{\lambda_k\right}_{k=1}^{\infty}$ and by $\left{\lambda_k(\epsilon)\right}_{k=1}^{\infty}$ their respective spectrum.
Then, for each $k$, we have
$$\lim _{\epsilon \rightarrow 0} \lambda_k(\epsilon)=\lambda_k$$
Before showing this in detail, let us make a few remarks.
Remark 18. 1. The convergence is not uniform in $k$.

This result is a very specific part of a much more general facts. We get this type of results on manifolds, with subset much more general than balls, for example tubular neighborhood of submanifolds of codimension greater than 1. For the interested reader, we refer to the paper of Courtois [13] and to the book of Chavel [11].

We can get very precise asymptotic estimates of $\lambda_k(\epsilon)$ in terms of $\epsilon$. Again, we refer to [13] and references therein.

We have also the convergence of the eigenspace associated to $\lambda_k(\epsilon)$ to the eigenspace associated to $\lambda_k$, but this has to be defined precisely: a problem occurs if the multiplicity of $\lambda_k$ is not equal to the multiplicity of $\lambda_k(\epsilon)$, see [13].

As a consequence of the monotonicity, the same result is true if we excise a family of domains $V_\epsilon$ contained in a ball of radius $\epsilon \rightarrow 0$ : because $\Omega_\epsilon \subset \Omega-V_\epsilon$ we have $\lambda_k\left(\Omega-V_\epsilon\right) \leq \lambda_k\left(\Omega_\epsilon\right) \rightarrow \lambda_k(\Omega)$ and also $\lambda_k\left(\Omega-V_\epsilon\right) \geq \lambda_k(\Omega)$.

A similar result is true for a hole and Neumann boundary condition. The proof is more difficult and cannot be extended to the domains contained in a ball.

## 数学代写|谱几何代写Spectral Geometry代考|Nodal domains

On different pictures or video, it seems to appear that the eigenfunction(s) of the eigenvalue $\lambda_k$ on any domain $\Omega$ becomes more and more complicated as $k$ increase The simplest example is the interval $[0, L]$ where we have seen that the $\mathrm{k}$ th eigenvalue of the Dirichlet problem was $\frac{k^2 \pi^2}{L^2}$, and the eigenfunction corresponding to $\lambda_k$ was $f_k(x)=\sin \frac{k \pi}{L} x$.

This is the object of this part of the lecture to elaborate a little around this. I follow mainly the book of Chavel [11], p. 19-25.

Definition 19. Let $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ a domain and $f: \Omega \rightarrow \mathbb{R}$ a continuous function. The nodal set of $f$ is the set $\left{f^{-1}(0)\right}$ and a nodal domain of $f$ is one connected component of $\bar{\Omega}-\left{f^{-1}(0)\right}$.

In the sequel, I will describe a situation for the Dirichlet eigenvalues. The situation for the Neumann problem is often similar, but not always. I can be more precise about what we see on the video around Chladni plates: the sound oblige the plate to vibrate and the vibration of the plate correspond to an eigenfunction. What we see is the place where the plate does not vibrate, and this correspond to the nodal set of the corresponding eigenfuctions. The impression is that for large frequence (large eigenvalue) the nodal line is more and more complicated and tends to be “everywhere” on the plate. moreover, we have the impression that the number of nodal domains tends to increase with $k$. This is what we want to clarify thanks to Theorem 20 and 21 .

## 数学代写|谱几何代写Spectral Geometry代考|Elementary surgery

〈left 缺少或无法识别的分隔符 他们各自的频谱。

$$\lim {\epsilon \rightarrow 0} \lambda_k(\epsilon)=\lambda_k$$ 在详细说明之前，让我们做一些评论。 备注 18. 1. 收敛在 $k$. 这个结果是电普遍的事实中非常具体的一部分。我们在流形上得到了这种类型的结果，子集比球更普遍，例如余维大于 1 的子流形 的管状邻域。对于感兴趣的读者，我们参考 Courtois [13] 的论文和 Chavel 的书[11]. 我们可以获得非常精确的渐近估计 $\lambda_k(\epsilon)$ 按照 $\epsilon$. 同样，我们参考了 [13] 和其中的参考文献。 我们也有相关的特征空间的收敛 $\lambda_k(\epsilon)$ 到关联的特征空间 $\lambda_k$ ，但这必须精确定义: 如果多重性 $\lambda_k$ 不等于的重数 $\lambda_k(\epsilon)$ ，参见 [13]。 作为单调性的结果，如果我们切除一个域族，同样的结果也是正确的 $V\epsilon$ 包含在一个半径的球中 $\epsilon \rightarrow 0$ : 因为 $\Omega_\epsilon \subset \Omega-V_\epsilon$ 我们有 $\lambda_k\left(\Omega-V_\epsilon\right) \leq \lambda_k\left(\Omega_\epsilon\right) \rightarrow \lambda_k(\Omega)$ 并且 $\lambda_k\left(\Omega-V_\epsilon\right) \geq \lambda_k(\Omega)$.

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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## 数学代写|谱几何代写Spectral Geometry代考|Heat Equation

Throughout this section we assume that $(M, g)$ is a compact Riemannian manifold without boundary. The Heat Operator
$$-\Delta_g+\partial_t$$
acts on functions in $C(M \times(0,+\infty))$ that are $C^2$ on $M$ and $C^1$ on $(0, \infty)$.
The homogeneous heat equation is
$$\left{\begin{array}{ll} \left(-\Delta_g+\partial_t\right) u(x, t)=0 & (x, t) \in M \times(0,+\infty) \ u(x, 0)=f(x) & x \in M \end{array} .\right.$$
The function $u(x, t)$ represents the temperature at the point $x$ at time $t$ assuming that the initial temperature accross the manifolds was given by the function $f(x)$.
Solutions to Heat equation (Exercise 4)

Prove that the temperature of the manifold decreases as time evolves. That is, show that $t \mapsto|u(\cdot, t)|_{L^2}$ is decreasing with $t$.

Using the previous part show that the solution to the Heat Equation is unique.

Definition of the fundamental solution
We say that a fundamental solution of the heat equation is a continuous function $p: M \times M \times(0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$ which is $C^2$ in $(x, y)$, and $C^1$ with respect to $t$ and such that
$$L_y p=0 \quad \text { and } \quad \lim _{t \rightarrow 0} p(\cdot, y, t)=\delta_y .$$

## 数学代写|谱几何代写Spectral Geometry代考|Weyl’s Law and other high energy asymptotics

Let $(M, g)$ be a compact boundary-less Riemannian manifold. Write
$$0=\lambda_1<\lambda_2 \leq \lambda_3 \leq \ldots$$ for all the Laplace eigenvalues repeated according to their multiplicity. We begin this section by introducing the Zeta function $Z_g:(0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}$ $$Z_g(t)=\sum_{j=1}^{\infty} e^{-\lambda_j t} .$$ Since the series is uniformly convergent on intervals of the form $\left[t_0,+\infty\right)$ for all $t_0>0$ we know that $Z_g$ is continuous. We also have that it is decreasing in $t$, that $\lim {t \rightarrow 0^{+}} Z_g(t)=$ $+\infty$, and $\lim {t \rightarrow+\infty} Z_g(t)=0$.
Proposition 7.
$$Z_g(t) \sim \frac{1}{(4 \pi t)^{n / 2}}\left(\operatorname{vol}g(M)+O(t)\right) \quad \text { as } t \rightarrow 0^{+} .$$ Proof. \begin{aligned} Z_g(t) & =\sum{j=0}^{\infty} e^{-\lambda_j t} \ & =\int_M p(x, x, t) d v_g(x) \ & =\frac{1}{(4 \pi t)^{n / 2}}\left(\sum_{j=0}^k t^j \int_M u_j(x, x) d v_g(x)+O\left(t^{k+1}\right)\right) \ & =\frac{1}{(4 \pi t)^{n / 2}}\left(\operatorname{vol}_g(M)+O(t)\right) \end{aligned}

## 数学代写|谱几何代写Spectral Geometry代考|Heat Equation

$$-\Delta_g+\partial_t$$

\$\$
$\backslash$ left {
$$\left(-\Delta_g+\partial_t\right) u(x, t)=0 \quad(x, t) \in M \times(0,+\infty) u(x, 0)=f(x) \quad x \in M$$

\正确的。
$\$ \$$函数 u(x, t) 表示该点的温度 x 在时间 t 假设流形上的初始温度由函数给出 f(x). 热方程的解 (练习 4) 证明流形的温度随着时间的推移而降低。也就是说，表明 t \mapsto|u(\cdot, t)|{L^2 \text { 随差 }} t. 使用前面的部分表明热方程的解是唯一的。 基本解的定义 我们说热方程的甚本解是一个连续函数 p: M \times M \times(0, \infty) \rightarrow \mathbb{R} 这是 C^2 在 (x, y) ，和 C^1 关于 t 这样$$ L_y p=0 \quad \text { and } \quad \lim {t \rightarrow 0} p(\cdot, y, t)=\delta_y .
$$## 数学代写|谱几何代写Spectral Geometry代考|Weyl’s Law and other high energy asymptotics 让 (M, g) 是一个劵凑的无边界黎曼流形。写$$
0=\lambda_1<\lambda_2 \leq \lambda_3 \leq \ldots $$对于所有根据其多重性重复的拉普拉斯特征值。我们从介绍 Zeta 函数开始本节 Z_g:(0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}$$ Z_g(t)=\sum_{j=1}^{\infty} e^{-\lambda_j t} . $$因为级数在以下形式的区间上一致收敛 \left[t_0,+\infty\right) 对所有人 t_0>0 我们知道 Z_g 是连续的。我们还知道它正在减少 t ，那 \lim t \rightarrow 0^{+} Z_g(t)=+\infty ， 和 \lim t \rightarrow+\infty Z_g(t)=0. 提案 7。$$
Z_g(t) \sim \frac{1}{(4 \pi t)^{n / 2}}(\operatorname{vol} g(M)+O(t)) \quad \text { as } t \rightarrow 0^{+} .
$$证明。$$
Z_g(t)=\sum j=0^{\infty} e^{-\lambda_j t} \quad=\int_M p(x, x, t) d v_g(x)=\frac{1}{(4 \pi t)^{n / 2}}\left(\sum_{j=0}^k t^j \int_M u_j(x, x) d v_g(x)+O\left(t^{k+1}\right)\right) \quad=\frac{1}{(4 \pi t)^{n / 2}}\left(\operatorname{vol}_g(M)+O(t)\right)
$$数学代写|谱几何代写Spectral Geometry代考 请认准UprivateTA™. UprivateTA™为您的留学生涯保驾护航。 ## 微观经济学代写 微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。 ## 线性代数代写 线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。 ## 博弈论代写 现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。 ## 微积分代写 微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。 它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。 ## 计量经济学代写 什么是计量经济学？ 计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。 根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。 ## MATLAB代写 MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。 Posted on Categories:数学代写, 谱几何 ## 数学代写|谱几何代写Spectral Geometry代考|MATH741 Inverse problem: Can you hear the shape of a drum? 如果你也在 怎样代写谱几何Spectral Geometry MATH741个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。谱几何Spectral Geometry是一个数学领域，涉及流形的几何结构和典型定义的微分算子的谱系之间的关系。对封闭的黎曼流形上的拉普拉斯-贝特拉米算子的研究最为深入，尽管微分几何中的其他拉普拉斯算子也被研究。该领域关注两类问题：直接问题和逆向问题。 谱几何Spectral Geometry逆向问题试图从拉普拉斯算子的特征值的信息中找出几何学的特征。最早的此类结果之一是赫尔曼-韦尔（Hermann Weyl），他在1911年使用大卫-希尔伯特（David Hilbert）的积分方程理论，表明欧几里得空间有界域的体积可以从拉普拉斯算子的迪里切特边界值问题的特征值的渐近行为中确定。这个问题通常被表述为 “人们能听到鼓的形状吗？”，这句流行语是由马克-卡克提出的。Pleijel和Minakshisundaram对Weyl的渐进公式进行了细化，产生了一系列涉及曲率张量共变微分的局部频谱不变性，这可以用来建立一类特殊流形的频谱刚性。然而，正如John Milnor所举的例子告诉我们的那样，特征值的信息并不足以确定流形的等值类（见等谱）。苏纳达（Toshikazu Sunada）提出的一种普遍而系统的方法，产生了一个名副其实的家庭工业，这种例子澄清了等谱流形的现象。 谱几何Spectral Geometry代写，免费提交作业要求， 满意后付款，成绩80\%以下全额退款，安全省心无顾虑。专业硕 博写手团队，所有订单可靠准时，保证 100% 原创。 最高质量的谱几何Spectral Geometry作业代写，服务覆盖北美、欧洲、澳洲等 国家。 在代写价格方面，考虑到同学们的经济条件，在保障代写质量的前提下，我们为客户提供最合理的价格。 由于作业种类很多，同时其中的大部分作业在字数上都没有具体要求，因此谱几何Spectral Geometry作业代写的价格不固定。通常在专家查看完作业要求之后会给出报价。作业难度和截止日期对价格也有很大的影响。 ## avatest™帮您通过考试 avatest™的各个学科专家已帮了学生顺利通过达上千场考试。我们保证您快速准时完成各时长和类型的考试，包括in class、take home、online、proctor。写手整理各样的资源来或按照您学校的资料教您，创造模拟试题，提供所有的问题例子，以保证您在真实考试中取得的通过率是85%以上。如果您有即将到来的每周、季考、期中或期末考试，我们都能帮助您！ 在不断发展的过程中，avatest™如今已经成长为论文代写，留学生作业代写服务行业的翘楚和国际领先的教育集团。全体成员以诚信为圆心，以专业为半径，以贴心的服务时刻陪伴着您， 用专业的力量帮助国外学子取得学业上的成功。 •最快12小时交付 •200+ 英语母语导师 •70分以下全额退款 想知道您作业确定的价格吗? 免费下单以相关学科的专家能了解具体的要求之后在1-3个小时就提出价格。专家的 报价比上列的价格能便宜好几倍。 我们在数学Mathematics代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在线性代数Linear algebra代写方面经验极为丰富，各种线性代数Linear algebra相关的作业也就用不着 说。 ## 数学代写|谱几何代写Spectral Geometry代考|Inverse problem: Can you hear the shape of a drum? Inverse problem: If I know (more or less) the Laplace eigenvalues of a domain, what can I deduce of its geometry? Suppose you have perfect pitch. Could you derive the shape of a drum from the music you hear from it? More generally, can you determine the structural soundness of an object by listening to its vibrations? This question was first posed by Schuster in 1882. As Berger says in his book A panoramic view of Riemannian Geometry, “Already in the middle ages bell makers knew how to detect invisible cracks by sounding a bell on the ground before lifting it up to the belfry. How can one test the resistance to vibrations of large modern structures by nondestructive essays?… A small crack will not only change the boundary shape of our domain, one side of the crack will strike the other during vibrations invalidating our use of the simple linear wave equation. On the other hand, heat will presumably not leak out of a thin crack very quickly, so perhaps the heat equation will still provide a reasonable approximation for a short time…” An infinite sequence of numbers determines via Fourier analysis an integrable function. It wouldn’t be that crazy if an infinite sequences of eigenvalues would determine the shape of the domain. Unfortunately, the answer to the question can you hear the shape of a drum? is no. This was proved in 1992 by Gordon, Web and Wolpert. Nowadays many planar domains are known to have different shapes but exactly the same spectrum. ## 数学代写|谱几何代写Spectral Geometry代考|Hearing the length of a guitar string Consider an interval [0, \ell] with Dirichlet boundary conditions \varphi(0)=\varphi(\ell)=0. The eigenfunctions are$$
\varphi_k(x)=\sin \left(\frac{k \pi}{\ell} x\right) \quad \text { for } k \geq 1
$$with eigenvalues \lambda_k=\left(\frac{k \pi}{\ell}\right)^2 for k \geq 1. After the first half of the 18th century mathematicians such as d’Alembert and Bernoulli developed the theory of a vibrational string. As one should expect, the vibrations of a string will depend on many factors such us its length, mass and tension. To simplify our exposition consider a guitar string of length \ell which we model as the interval [0, \ell]. Assume further that the density mass and the tension are constant and equal to 1 . Today it comes as no surprise that the behavior of a vibrating string is described by the wave equation. That is, if we write x for a point in the string [0, \ell] and t for the time variable, then the height u(x, t) of the string above the point x after a time t should satisfy the wave equation$$
\Delta u(x, t)=\frac{\partial^2}{\partial t^2} u(x, t) .
$$## 谱几何代写 ## 数学代写|谱几何代写Spectral Geometry代考|Inverse problem: Can you hear the shape of a drum? 逆向问题：如果我知道（或多或少）一个域的拉普拉斯特征值，我可以推断出它的几何形状？ 假设你有完美的音准。你能从你听到的音乐中推导出一个鼓的形状吗？更广泛地说，你能通过听一个物体的振动来确定它的结构是否健全吗？这个问题最早是由舒斯特尔在1882年提出的。正如伯杰在他的《黎曼尼几何学全景》一书中所说。 “早在中世纪，制钟人就知道如何通过在地面上敲响大钟，然后再把它抬到钟楼上，来检测看不见的裂缝。如何通过无损检测论文来测试大型现代结构的抗震性呢……一个小裂缝不仅会改变我们领域的边界形状，裂缝的一边会在振动时撞击另一边，使我们对简单线性波方程的使用失效。另一方面，热量大概不会很快从细小的裂缝中泄漏出来，所以也许热方程在短时间内仍会提供一个合理的近似值……” 一个无限的数字序列通过傅里叶分析决定了一个可整定的函数。如果一个无限的特征值序列能决定领域的形状，这也不是那么疯狂。不幸的是，对于你能听到鼓的形状吗这个问题的答案是否定的。这一点在1992年被Gordon、Web和Wolpert证明。现在已知许多平面域具有不同的形状，但光谱完全相同。 ## 数学代写|谱几何代写Spectral Geometry代考|Hearing the length of a guitar string 考虗一个区间 [0, \ell] 具有狄利克雷边界条件 \varphi(0)=\varphi(\ell)=0. 本征函数是$$
\varphi_k(x)=\sin \left(\frac{k \pi}{\ell} x\right) \quad \text { for } k \geq 1
$$具有特征值 \lambda_k=\left(\frac{k \pi}{\ell}\right)^2 为了 k \geq 1. 18 世纪上半叶之后，达朗贝尔和伯努利等数学家发展了弦振动理论。正如人们应该预料的那样，一根弦的振动将取诀于许多因 㨞，例如的长度、质量和张力。 为了简化我们的说明，考虑一根长度为 \ell 我们侍其建模为间隔 [0, \ell]. 进一步假设密度质量和张力恒定且等于 1 。如今，用波动方程苗 述振动弦的行为已经不足为奇了。也就是说，如果我们写 x 对于字符吕中的一个点 [0, \ell] 和对于时间变量，然后是高度 u(x, t) 点以 上的字符吕 x 经过一段时间 t 应满足波动方程$$
\Delta u(x, t)=\frac{\partial^2}{\partial t^2} u(x, t) .


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