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## 数学代写|超平面置换理论代写Hyperplane Arrangements代考| Proposition

Proposition 6.18. Let $R_0=R_{\mathrm{id}}$ as above. If $w \in \mathfrak{S}n$ then $d\left(R_0, R_w\right)=\ell(w)$. Moreover, $$D{\mathcal{B}_n}(t)=(1+t)\left(1+t+t^2\right) \cdots\left(1+t+\cdots+t^{n-1}\right) .$$
There is a somewhat different approach to Proposition $6.18$ which will be generalized to the Shi arrangement. We label each region $R$ of $\mathcal{B}_n$ recursively by a vector $\lambda(R)=\left(c_1, \ldots, c_n\right) \in \mathbb{N}^n$ as follows.

$\lambda\left(R_0\right)=(0,0, \ldots, 0)$

Let $e_i$ denote the $i$ th unit coordinate vector in $\mathbb{R}^n$. If the regions $R$ and $R^{\prime}$ of $\mathcal{B}_n$ are separated by the single hyperplane $H$ with the equation $x_i=x_j$, $i<j$, and if $R$ and $R_0$ lie on the same side of $H$, then $\lambda\left(R^{\prime}\right)=\lambda(R)+e_j$.
Figure 2 shows the labels $\lambda(R)$ for $\mathcal{B}_3$.
Proposition 6.19. Let $w \in \mathfrak{S}_n$. Then $\lambda\left(R_w\right)=\operatorname{IS}(w)$, the inversion sequence of $w$

## 数学代写|超平面置换理论代写Hyperplane Arrangements代考|Proof

Proof. The proof is a straightforward induction on $\ell(w)$. If $\ell(w)=0$, then $w=\mathrm{id}$ and
$$\lambda\left(R_{\mathrm{id}}\right)=\lambda\left(R_0\right)=(0,0, \ldots, 0)=\mathrm{IS}(\mathrm{id}) .$$
Suppose $w=a_1 \cdots a_n$ and $\ell(w)>0$. For some $1 \leq k \leq n-1$ we must have $a_k=j>i=a_{k+1}$. Thus $\ell\left(w s_k\right)=\ell(w)-1$. Hence by induction we may assume $\lambda\left(w s_k\right)=\operatorname{IS}\left(w s_k\right)$. The hyperplane $x_i=x_j$ separates $R_w$ from $R_{w s_k}$. Hence by the definition of $\lambda$ we have
$$\lambda\left(R_w\right)=\lambda\left(R_{w s_k}\right)+e_j=\operatorname{IS}\left(w s_k\right)+e_j$$

By the definition of the inversion sequence we have $\operatorname{IS}\left(w s_k\right)+e_j=\operatorname{IS}(w)$, and the proof follows.

NotE. The weak order $W_{\mathcal{B}n}$ of the braid arrangement is an interesting poset, usually called the weak order or weak Bruhat order on $\mathfrak{S}_n$. For instance $[\mathbf{1 4}][\mathbf{1 7}][\mathbf{3 0}]$, the number of maximal chains of $W{\mathcal{B}_n}$ is given by
$$\frac{\left(\begin{array}{l} n \ 2 \end{array}\right) !}{1^{n-1} 3^{n-2} 5^{n-3} \cdots(2 n-3)} .$$

$$D \mathcal{B}n(t)=(1+t)\left(1+t+t^2\right) \cdots\left(1+t+\cdots+t^{n-1}\right) .$$ 命题有一种不同的方法6.18这将推广到 Shi 安排。我们标记每个区域 $R$ 的 $\mathcal{B}_n$ 通过向量递归 $\lambda(R)=\left(c_1, \ldots, c_n\right) \in \mathbb{N}^n$ 如下。 $$\lambda\left(R_0\right)=(0,0, \ldots, 0)$$ 让 $e_i$ 表示 $i$ 第单位坐标向量 $\mathbb{R}^n$. 如果地区 $R$ 和 $R^{\prime}$ 的 $B_n$ 被单个超平面分开 $H$ 用等式 $x_i=x_j, i{\text {id }}\right)=\lambda\left(R_0\right)=(0,0, \ldots, 0)=\mathrm{IS}(\mathrm{id}) . $$## 数学代写|超平面置换理论代写Hyperplane Arrangements代考|Proof 认为 w=a_1 \cdots a_n 和 \ell(w)>0. 对于一些 1 \leq k \leq n-1 㧴们必须有 a_k=j>i=a_{k+1}. 因此 \ell\left(w s_k\right)=\ell(w)-1. 因此， 通过归纳我们可以假设 \lambda\left(w s_k\right)=\mathrm{IS}\left(w s_k\right). 超平面 x_i=x_j 分开 R_w 从 R_{w s_k} 因此根据定义 \lambda 我们有$$ \lambda\left(R_w\right)=\lambda\left(R_{w s_k}\right)+e_j=\mathrm{IS}\left(w s_k\right)+e_j $$根据反转序列的定义，我们有IS \left(w s_k\right)+e_j=\operatorname{IS}(w) ，证明如下。 笔记。弱秩序 W_{\mathcal{B} n} 䛊子排列的一个有趣的偏序篧，通常称为弱序或弱 Bruhat 序 \mathcal{S}_n. 例如 [\mathbf{1 4}][\mathbf{1 7}][\mathbf{3 0}], 的最大链数 W \mathcal{B}_n 是 (谁) 给的$$ \frac{(n 2) !}{1^{n-1} 3^{n-2} 5^{n-3} \cdots(2 n-3)} $$数学代写|超平面置换理论代写Hyperplane Arrangements代考 请认准UprivateTA™. 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Thus all regions “look the same.” The Shi arrangement lacks this symmetry, but it still possesses a kind of “combinatorial symmetry” that allows us to express the characteristic polynomials \chi_{s_n}(t), for all n \geq 1, in terms of the number r\left(\mathcal{S}_n\right) of regions. Definition 5.14. A sequence \mathfrak{A}=\left(\mathcal{A}_1, \mathcal{A}_2, \ldots\right) of arrangements is called an exponential sequence of arrangements (ESA) if it satisfies the following three conditions. (1) \mathcal{A}_n is in K^n for some field K (independent of n ). (2) Every H \in \mathcal{A}_n is parallel to some hyperplane H^{\prime} in the braid arrangement \mathcal{B}_n( over K) (3) Let S be a k-element subset of [n], and define \mathcal{A}_n^S=\left{H \in \mathcal{A}_n: H\right. is parallel to x_i-x_j=0 for some \left.i, j \in S\right}. Then L\left(\mathcal{A}_n^S\right) \cong L\left(\mathcal{A}_k\right). Examples of ESA’s are given by \mathcal{A}_n=\mathcal{B}_n or \mathcal{A}_n=\mathcal{S}_n. In fact, in these cases we have \mathcal{A}_n^S \cong \mathcal{A}_k \times K^{n-k}. The combinatorial properties of ESA’s are related to the exponential formula in the theory of exponential generating functions [\mathbf{3 2}, \S 5.1], which we now review. Informally, we are dealing with “structures” that can be put on a vertex set V such that each structure is a disjoint union of its “connected components.” We obtain a structure on V by partitioning V and placing a connected structure on each block (independently). Examples of such structures are graphs, forests, and posets, but not trees or groups. Let h(n) be the total number of structures on an n-set V (with h(0)=1 ), and let f(n) be the number that are connected. The exponential formula states that$$ \sum_{n \geq 0} h(n) \frac{x^n}{n !}=\exp \sum_{n \geq 1} f(n) \frac{x^n}{n !} $$## 数学代写|超平面置换理论代写Hyperplane Arrangements代考|The Catalan arrangement Define the Catalan arrangement \mathcal{C}n in K^n, where \operatorname{char}(K) \neq 2, by$$ Q{\mathrm{e}n}(x)=\prod{1 \leq ix_{w(2)}>\cdots>x_{w(n)}$ of $\mathcal{B}_n$ is divided “in the same way” in $\mathcal{C}_n$. In particular, if $r_0\left(\mathcal{C}_n\right)$ denotes the number of regions of $\mathcal{C}_n$ contained in some fixed region of $\mathcal{B}_n$, then $r\left(\mathcal{C}_n\right)=n ! r_0\left(\mathcal{C}_n\right)$. See Figure 3 for $\mathcal{C}_3$ in the ambient space $\operatorname{ker}\left(x_1+x_2+x_3\right)$, where the hyperplanes of $\mathcal{B}_3$ are drawn as solid lines and the remaining hyperplanes as dashed lines. Each region of $\mathcal{B}_3$ contains five regions of $\mathcal{C}_3$, so $r\left(\mathcal{C}_3\right)=6 \cdot 5=30$.

We can compute $r\left(\mathcal{C}_n\right)$ (or equivalently $r_0\left(\mathcal{C}_n\right)$ ) by a direct combinatorial argument. Let $R_0$ denote the region $x_1>x_2>\cdots>x_n$ of $\mathcal{B}_n$. The regions of $\mathcal{C}_n$ contained in $R_0$ are determined by those $i<j$ such that $x_i-x_j<1$. We need only specify the maximal intervals $[i, j]$ such that $x_i-x_j<1$, i.e., if $a \leq i<j \leq b$ and $x_a-x_b<1$, then $a=i$ and $b=j$. It is easy to see that any such specification of maximal intervals determines a region of $\mathcal{C}_n$ contained in $R_0$. Thus $r_0\left(\mathcal{C}_n\right)$ is equal to the number of antichains $A$ of strict intervals of $[n]$, i.e., sets $A$ of intervals $[i, j]$, where $1 \leq i<j \leq n$, such that no interval in $A$ is contained in another. (“Strict” means that $i=j$ is not allowed.) It is known (equivalent to [32, Exer. 6.19(bbb)]) that the number of such antichains is the Catalan number $C_n=\frac{1}{n+1}\left(\begin{array}{c}2 n \ n\end{array}\right)$. For the sake of completeness we give a bijection between these antichains and a standard combinatorial structure counted by Catalan numbers, viz., lattice paths from $(0,0)$ to $(n, n)$ with steps $(1,0)$ and $(0,1)$, never rising above the line $y=x([\mathbf{3 2}$, Exer. $6.19(\mathrm{~h})]$ ). Given an antichain $A$ of intervals of $[n]$, there is a unique lattice path of the claimed type whose “outer corners” (a step $(1,0)$ followed by $(0,1))$ consist of the points $(j, i-1)$ where $[i, j] \in A$, together with the points $(i, i-1)$ where no interval in $A$ contains $i$. Figure 4 illustrates this bijection for $n=8$ and $A={[1,4],[3,5],[7,8]}$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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## 数学代写|超平面置换理论代写Hyperplane Arrangements代考| The number of regions

The next result is perhaps the first major theorem in the subject of hyperplane arrangements, due to Thomas Zaslavsky in 1975.

Theorem 2.5. Let $\mathcal{A}$ be an arrangement in an $n$-dimensional real vector space. Then
\begin{aligned} & r(\mathcal{A})=(-1)^n \chi_{\mathcal{A}}(-1) \ & b(\mathcal{A})=(-1)^{\operatorname{rank}(\mathcal{A})} \chi_{\mathcal{A}}(1) \end{aligned}
First proof. Equation (11) holds for $\mathcal{A}=\emptyset$, since $r(\emptyset)=1$ and $\chi_{\emptyset}(t)=t^n$. By Lemmas $2.1$ and $2.2$, both $r(\mathcal{A})$ and $(-1)^n \chi_{\mathcal{A}}(-1)$ satisfy the same recurrence, so the proof follows.

Now consider equation (12). Again it holds for $\mathcal{A}=\emptyset$ since $b(\emptyset)=1$. (Recall that $b(\mathcal{A})$ is the number of relatively bounded regions. When $\mathcal{A}=\emptyset$, the entire ambient space $\mathbb{R}^n$ is relatively bounded.) Now
$$\chi_{\mathcal{A}}(1)=\chi_{\mathcal{A}^{\prime}}(1)-\chi_{\mathcal{A}^{\prime \prime}}(1)$$
Let $d(\mathcal{A})=(-1)^{\operatorname{rank}(\mathcal{A})} \chi_{\mathcal{A}}(1)$. If $\operatorname{rank}(\mathcal{A})=\operatorname{rank}\left(\mathcal{A}^{\prime}\right)=\operatorname{rank}\left(\mathcal{A}^{\prime \prime}\right)+1$, then $d(\mathcal{A})=$ $d\left(\mathcal{A}^{\prime}\right)+d\left(\mathcal{A}^{\prime \prime}\right)$. If $\operatorname{rank}(\mathcal{A})=\operatorname{rank}\left(\mathcal{A}^{\prime}\right)+1$ then $b(\mathcal{A})=0$ [why?] and $L\left(\mathcal{A}^{\prime}\right) \cong L\left(\mathcal{A}^{\prime \prime}\right)$ [why?]. Thus from Lemma $2.2$ we have $d(\mathcal{A})=0$. Hence in all cases $b(\mathcal{A})$ and $d(\mathcal{A})$ satisfy the same recurrence, so $b(\mathcal{A})=d(\mathcal{A})$.

Second proof. Our second proof of Theorem $2.5$ is based on Möbius inversion and some instructive topological considerations. For this proof we assume basic knowledge of the Euler characteristic $\psi(\Delta)$ of a topological space $\Delta$. (Standard notation is $\chi(\Delta)$, but this would cause too much confusion with the characteristic polynomial.) In particular, if $\Delta$ is suitably decomposed into cells with $f_i$ $i$-dimensional cells, then
$$\psi(\Delta)=f_0-f_1+f_2-\cdots$$

## 数学代写|超平面置换理论代写Hyperplane Arrangements代考|Graphical arrangements

There are close connections between certain invariants of a graph $G$ and an associated arrangement $\mathcal{A}G$. Let $G$ be a simple graph on the vertex set $[n]$. Let $E(G)$ denote the set of edges of $G$, regarded as two-element subsets of $[n]$. Write $i j$ for the edge ${i, j}$. Definition 2.5. The graphical arrangement $\mathcal{A}_G$ in $K^n$ is the arrangement $$x_i-x_j=0, i j \in E(G) .$$ Thus a graphical arrangement is simply a subarrangement of the braid arrangement $\mathcal{B}_n$. If $G=K_n$, the complete graph on $[n]$ (with all possible edges $i j$ ), then $\mathcal{A}{K_n}=\mathcal{B}_n$

Definition 2.6. A coloring of a graph $G$ on $[n]$ is a map $\kappa:[n] \rightarrow \mathbb{P}$. The coloring $\kappa$ is proper if $\kappa(i) \neq \kappa(j)$ whenever $i j \in E(G)$. If $q \in \mathbb{P}$ then let $\chi_G(q)$ denote the number of proper colorings $\kappa:[n] \rightarrow[q]$ of $G$, i.e., the number of proper colorings of $G$ whose colors come from $1,2, \ldots, q$. The function $\chi_G$ is called the chromatic polynomial of $G$.

For instance, suppose that $G$ is the complete graph $K_n$. A proper coloring $\kappa:[n] \rightarrow[q]$ is obtained by choosing a vertex, say 1 , and coloring it in $q$ ways. Then choose another vertex, say 2 , and color it in $q-1$ ways, etc., obtaining
$$\chi_{K_n}(q)=q(q-1) \cdots(q-n+1) .$$
A similar argument applies to the graph $G$ of Figure 5. There are $q$ ways to color vertex 1 , then $q-1$ to color vertex 2 , then $q-1$ to color vertex 3 , etc., obtaining
\begin{aligned} \chi_G(q) & =q(q-1)(q-1)(q-2)(q-1)(q-1)(q-2)(q-2)(q-3) \ & =q(q-1)^4(q-2)^3(q-3) \end{aligned}

## 数学代写|超平面置换理论代写Hyperplane Arrangements代考| The number of regions

$$r(\mathcal{A})=(-1)^n \chi_{\mathcal{A}}(-1) \quad b(\mathcal{A})=(-1)^{\operatorname{rank}(\mathcal{A})} \chi_{\mathcal{A}}(1)$$

$$\chi_{\mathcal{A}}(1)=\chi_{\mathcal{A}^{\prime}}(1)-\chi_{\mathcal{A}^{\prime \prime}}(1)$$

$$\psi(\Delta)=f_0-f_1+f_2-\cdots$$

## 数学代写|超平面置换理论代写Hyperplane Arrangements代考|Graphical arrangements

$$\chi_G(q)=q(q-1)(q-1)(q-2)(q-1)(q-1)(q-2)(q-2)(q-3) \quad=q(q-1)^4(q-2)^3(q-3)$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。