Category: 图论

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数学代写|图论代写GRAPH THEORY代考|Properties of a Tree

There are many different sets of properties of trees; any of these sets of properties can be taken as a definition of a tree. In this section, we discuss these properties of a tree. We first observe the following two trivial properties of a tree which play crucial roles while dealing with trees.
Lemma 4.2.1 Every tree with two or more vertices has at least two leaves.
Proof Let $T$ be a tree of two or more vertices and let $P$ be a maximal path in $T$. Then the end vertices $u$ and $v$ of $P$ have degree 1 (see Fig.4.1(f)), otherwise $P$ would not be a maximal path in $T$.

Lemma 4.2.2 Every edge in a tree is a cut edge.
Proof Immediate from Lemma 3.1.4.
The following lemma gives some characterization of trees.
Lemma 4.2.3 Let $G$ be a graph with $n$ vertices. Then, any two of the following three statements imply the third (and characterize a tree of $n$ vertices).
(a) $G$ is connected.
(b) $G$ contains no cycle.
(c) $G$ has $n-1$ edges.
Proof (a) \& (b) $\Rightarrow$ (c). We first prove that a connected and acyclic graph $G$ with $n$ vertices has $n-1$ edges. The claim is obvious for $n=1$ since a graph with a single vertex and no cycle has no edges. We thus assume that $n>1$ and the claim is true for any connected and acyclic graph with less than $n$ vertices. We now show that the graph $G$ with $n$ vertices has $n-1$ edges. Since $G$ contains no cycle, every edge $e$ of $G$ is a cut edge. Let $H_1$ and $H_2$ be the two connected components of $G-e$ with $n_1$ and $n_2$ vertices, respectively, where $n_1+n_2=n$. Since both $H_1$ and $H_2$ are acyclic and connected, they contain $n_1-1$ and $n_2-1$ edges respectively. Then the total number of edges in $G$ is $n_1-1+n_2-1+1=n-1$.

数学代写|图论代写GRAPH THEORY代考|Rooted Trees

A rooted tree is a tree in which one of the vertices is distinguished from the others. The distinguished vertex is called the root of the tree. The root of a tree is usually drawn at the top. In Fig. 4.3, the root is $v_1$. If a rooted tree is regarded as a directed graph in which each edge is directed from top to bottom, then every vertex $u$ other than the root is connected by an edge from some other vertex $p$, called the parent of $u$. We also call $u$ a child of vertex $p$. We draw the parent of a vertex above that vertex. For example, in Fig. 4.3, $v_1$ is the parent of $v_2, v_3$, and $v_4$, while $v_2$ is the parent of $v_5$ and $v_6 ; v_2, v_3$, and $v_4$ are the children of $v_1$, while $v_5$ and $v_6$ are the children of $v_2$. A leaf is a vertex of a tree that has no children. An internal vertex is a vertex that has one or more children. Thus every vertex of a tree is either a leaf or an internal vertex. In Fig. 4.3, the leaves are $v_4, v_5, v_6$, and $v_7$, and the vertices $v_1, v_2$, and $v_3$ are internal vertices.

The parent-child relationship can be extended naturally to ancestors and descendants. Suppose that $u_1, u_2, \ldots, u_l$ is a sequence of vertices in a tree such that $u_1$ is the parent of $u_2$, which is a parent of $u_3$, and so on. Then vertex $u_1$ is called an ancestor of $u_l$ and vertex $u_l$ a descendant of $u_1$. The root is ancestor of every other vertex in a tree and every other vertex is a descendant of the root. In Fig. 4.3, $v_1$ is an ancestor of all other vertices, and all other vertices are descendants of the root $v_1$. Note that the definition of ancestor (descendant) does not allow a vertex to be an ancestor (descendant) of itself. However, there are some definitions of ancestor (descendant) which allow a vertex to be an ancestor (descendant) of itself.

A rooted tree is called a binary tree if each vertex has at most two children. In general, a rooted tree is called a $k$-ary tree if each vertex has at most $k$ children. That is, the maximum number of children of a vertex in a $k$-ary tree is $k$.

An ordered rooted tree is a rooted tree in which the children of a vertex is somehow ordered. For example, in a ordered rooted binary tree the children of a vertex are ordered as the left child and the right child. The children of a vertex in a ordered rooted tree may also be ordered in a clockwise or in a counterclockwise order.

图论代写

数学代写|图论代写GRAPH THEORY代考|Properties of a Tree

树有很多不同的属性;这些属性集合中的任何一个都可以作为树的定义。在本节中，我们将讨论树的这些属性。我们首先观察到树的以下两个微不足道的性质，它们在处理树时起着至关重要的作用。
引理4.2.1每个有两个或两个以上顶点的树至少有两个叶子。
证明设$T$是一个有两个或两个以上顶点的树，设$P$是$T$中的一个最大路径。那么$P$的端点$u$和$v$的阶为1(见图4.1(f))，否则$P$就不是$T$中的最大路径。

引理4.2.2树的每条边都是一条切边。
引理3.1.4的直接证明。
下面的引理给出了树的一些特征。
引理4.2.3设$G$是一个有$n$顶点的图。然后，下面三个语句中的任意两个都暗示了第三个(并描述了一个有$n$个顶点的树)。
(a)连接$G$。
(b) $G$不包含循环。
(c) $G$有$n-1$条边。
证明(a) \& (b) \Rightarrow$ (c)。我们首先证明一个有$n$顶点的连通无环图$G$有$n-1$条边。这个结论对于$n=1$是很明显的，因为一个只有一个顶点且没有循环的图没有边。因此，我们假设$n>1$，并且对于任何顶点少于$n$的连通无环图都成立。我们现在证明了有n个顶点的图G有n-1条边。由于$G$不包含循环，因此$G$的每条边$e$都是切边。设$H_1$和$H_2$为$G-e$的两个连通分量，分别具有$n_1$和$n_2$顶点，其中$n_1+n_2=n$。由于$H_1$和$H_2$都是无环且连通的，它们分别包含$n_1-1$和$n_2-1$边。则$G$中的边总数为$n_1-1+n_2-1+1=n-1$。

数学代写|图论代写GRAPH THEORY代考|Rooted Trees

有根树是这样一种树，其中一个顶点与其他顶点是不同的。被区分的顶点称为树的根。树的根通常画在顶部。图4.3中，根为$v_1$。如果把一棵有根树看作是一个有向图，其中的每条边都是从上到下的，那么除了根之外的每个顶点$u$都被另一个顶点$p$的边连接起来，这个顶点$p$被称为$u$的父顶点。我们也称$u$为顶点$p$的子结点。我们在顶点上方画一个顶点的父顶点。例如，在图4.3中，$v_1$是$v_2、v_3$和$v_4$的父结点，$v_2$是$v_5$和$v_6的父结点;V_2、v_3$和v_4$是$v_1$的子节点，$v_5$和$v_6$是$ V_2 $的子节点。叶子是没有子结点的树的顶点。内部顶点是具有一个或多个子顶点的顶点。因此，树的每个顶点要么是叶子顶点，要么是内部顶点。在图4.3中，叶子为$v_4, v_5, v_6$和$v_7$，顶点$v_1, v_2$和$v_3$为内部顶点。

亲子关系可以自然地延伸到祖先和后代。假设$u_1, u_2， \ldots, u_l$是树中的一个顶点序列，使得$u_1$是$u_2$的父结点，而$u_2$又是$u_3$的父结点，以此类推。则顶点$u_1$称为$u_l$的祖先，顶点$u_l$称为$u_1$的后代。根是树中每个其他顶点的祖先，而每个其他顶点是根的后代。在图4.3中，$v_1$是所有其他顶点的祖先，所有其他顶点都是根$v_1$的后代。注意，祖先(后代)的定义不允许一个顶点是它自己的祖先(后代)。然而，有一些祖先(后代)的定义允许顶点成为自身的祖先(后代)。

如果一棵有根树的每个顶点最多有两个子结点，就称为二叉树。一般来说，如果每个顶点最多有$k$个子结点，则根树称为$k$-ary树。也就是说，$k$任意树中顶点的子结点的最大数目是$k$。

有序根树是一种根树，其中顶点的子结点在某种程度上是有序的。例如，在有序根二叉树中，顶点的子节点依次为左子节点和右子节点。在有序根树中，顶点的子结点也可以按顺时针或逆时针顺序排列。

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图论Graph Theory通过熟悉许多过去和现在对图论的发展负责的人，可以增强对图论的欣赏。因此，我们收录了一些关于“图论人士”的有趣评论。因为我们相信这些人是图论故事的一部分，所以我们在文中讨论了他们，而不仅仅是作为脚注。我们常常没有认识到数学是一门有生命的学科。图论是人类创造的，是一门仍在不断发展的学科。

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数学代写|图论代写GRAPH THEORY代考|Connected Separable Graphs

A connected graph is separable if $G$ has at least one cut vertex, otherwise $G$ is nonseparable. Thus a nonseparable graph is 2-connected. However, $K_1$ and $K_2$ are considered nonseparable. A maximal nonseparable connected subgraph of $G$ is called a block of $G$. Thus a block of a connected graph $G$ of $n \geq 2$ vertices is either a biconnected component or a bridge of $G$. We now have the following lemma.

The blocks and cut vertices in $G$ can be represented by a tree $T$, called the $B C$-tree of $G$. In $T$ each block is represented by a $B$-node and each cut vertex of $G$ is represented by a $C$-node. The graph in Fig. 3.11(a) has the blocks $B_1, B_2, \ldots, B_9$ depicted in Fig.3.11(b). The $B C$-tree $T$ of the plane graph $G$ in Fig.3.11(a) is depicted in Fig.3.11(c), where each $B$-node is represented by a rectangle and each $C$-node is represented by a circle.

2-Connected Graphs
The reliability of a computer network can be increased by providing alternative paths between workstations. In fact the connectivity of a graph is a measure of number of alternative paths. If the graph is 1-connected then there is a path between any two workstations. We will show that there are two alternative paths between any two workstations in a 2-connected network, as in Theorem 3.4.5 below due to Whitney [3]. Two paths $P_1$ and $P_2$ with the same end vertices are internally disjoint if $P_1$ and $P_2$ do not share any internal vertex.

Theorem 3.4.5 A graph $G$ of three or more vertices is 2-connected if and only if there are two internally disjoint paths between every pair of vertices in $G$.

Proof Sufficiency Assume that there are two internally disjoint paths between every pair $u, v \in V(G)$. Then deletion of one vertex cannot separate $u$ from $v$. Since this condition is valid for every pair of vertices in $G, G$ is 2-connected.

Necessity Assume that $G$ is 2 -connected. We show that $G$ has two internally disjoint paths between every pair $u, v \in V(G)$ by induction on the length $l$ of a shortest path between $u$ and $v$.

数学代写|图论代写GRAPH THEORY代考Ear Decomposition

An ear of a graph $G$ with $\delta(G)=2$ is a maximal path with distinct end vertices whose internal vertices have degree 2 in $G$. Note that an edge $(u, v), u \neq v$ in $G$ with $d_G(u) \geq 3$ and $d_G(v) \geq 3$ is also an ear of $G$. An ear decomposition of $G$ is a decomposition $P_0, \ldots, P_k$ of edges such that $P_0$ is a cycle and $P_i$ for $i \geq 1$ is an ear of the graph induced by $P_0 \cup \cdots P_i$. An ear decomposition $P_0, P_1, \ldots, P_7$ of a graph is illustrated in Fig. 3.14 where the ear $P_6$ is an edge. Whitney [3] in 1932 gave a characterization of a 2-connected graph in terms of ear decomposition as in the following theorem.

Theorem 3.4.8 A graph $G$ has an ear decomposition if and only if $G$ is 2-connected.
Proof Necessity Assume that $G$ has an ear decomposition $P_0, P_1, \ldots, P_k$. By definition of ear decomposition $P_0$ is a cycle, which is 2-connected. Assume that $G_i=P_0 \cup \cdots \cup P_i$ is biconnected. We now show that $G_{i+1}=G_i \cup P_{i+1}$ is biconnected. $G_i$ is biconnected and the two end vertices of $P_{i+1}$ are on $G_i$. Then adding $P_{i+1}$ to $G_i$ will not introduce any cut vertex in $G_{i+1}$, and hence $G_{i+1}$ is biconnected.
Sufficiency We give a constructive proof. Assume that $G$ is 2 -connected. Then $G$ has a cycle. Let $C$ be a cycle in $G$. We choose $C$ as $P_0=G_0$. If $G_0 \neq G$, we can choose an edge $(u, v)$ of $G-E\left(P_0\right)$ and an edge $(x, y) \in E\left(P_0\right)$. Since $G$ is 2-connected, $(u, v)$ and $(x, y)$ lie on a cycle $C^{\prime}$ by Lemma 3.4.7. Let $P$ be a path in $C^{\prime}$ that contains $(u, v)$ and exactly two vertices of $G_0$. We choose $P$ as $P_1$. Clearly $G_1=P_0 \cup P_1$ is biconnected and $P_1$ is an ear of $G_1$. Let $G_i$ be the graph obtained by successively adding ears $P_1, P_2, \ldots, P_i$. We can find an ear $P_{i+1}$ similarly as we found $P_1$. The process ends only by absorbing all edges of $G$.

图论代写

数学代写|图论代写GRAPH THEORY代考|Connected Separable Graphs

连通图是可分离的，如果$G$至少有一个切割顶点，否则$G$不可分离。因此不可分图是2连通的。然而，$K_1$和$K_2$被认为是不可分离的。$G$的最大不可分连通子图称为$G$的块。因此，由$n \geq 2$顶点组成的连通图$G$中的一个块要么是双连通的组件，要么是$G$的桥。现在我们有了下面的引理。

$G$中的块和切割顶点可以用树$T$表示，称为$G$的$B C$ -tree。在$T$中，每个块由一个$B$ -节点表示，$G$的每个切割顶点由一个$C$ -节点表示。图3.11(a)中的图中有图3.11(b)中所示的块$B_1, B_2, \ldots, B_9$。图3.11(a)中平面图$G$的$B C$ -tree $T$如图3.11(c)所示，其中每个$B$ -节点用矩形表示，每个$C$ -节点用圆形表示。

二连通图
计算机网络的可靠性可以通过在工作站之间提供可选路径来提高。事实上，图的连通性是可选路径数量的度量。如果图是1连通的，那么任意两个工作站之间都有一条路径。我们将证明，在2连通网络中，任意两个工作站之间存在两条可选路径，如下面Whitney[3]的定理3.4.5所示。如果$P_1$和$P_2$不共享任何内部顶点，则具有相同端点的两条路径$P_1$和$P_2$在内部不相交。

定理3.4.5有三个或三个以上顶点的图$G$是2连通的，当且仅当$G$中每对顶点之间有两条内部不相交的路径。

假设每一对之间有两条内部不相交的路径$u, v \in V(G)$。那么删除一个顶点不能把$u$和$v$分开。因为这个条件对$G, G$中的每一对顶点都是2连通的。

假设$G$是2连接的。我们通过对$u$和$v$之间最短路径的长度$l$的归纳，证明了$G$在每对$u, v \in V(G)$之间有两条内部不相交的路径。

数学代写|图论代写GRAPH THEORY代考Ear Decomposition

具有$\delta(G)=2$的图$G$的ear是具有不同端点的最大路径，其内部顶点在$G$中的度数为2。请注意，$G$与$d_G(u) \geq 3$和$d_G(v) \geq 3$的边$(u, v), u \neq v$也是$G$的边。$G$的耳分解是对边的分解$P_0, \ldots, P_k$，使得$P_0$是一个循环，$i \geq 1$的$P_i$是$P_0 \cup \cdots P_i$生成的图的耳。图3.14示出图的耳分解$P_0, P_1, \ldots, P_7$，其中耳$P_6$是一条边。Whitney[3]在1932年用耳分解给出了2连通图的一个表征，如下面的定理所示。

定理3.4.8图$G$有耳分解当且仅当$G$是2连通的。
证明必要性假设$G$有耳朵分解$P_0, P_1, \ldots, P_k$。根据耳分解的定义$P_0$是一个2连通的循环。假设$G_i=P_0 \cup \cdots \cup P_i$是双连接的。现在我们证明$G_{i+1}=G_i \cup P_{i+1}$是双连接的。$G_i$是双连通的，并且$P_{i+1}$的两个端点都在$G_i$上。然后将$P_{i+1}$添加到$G_i$将不会在$G_{i+1}$中引入任何切割顶点，因此$G_{i+1}$是双连接的。
我们给出建设性的证明。假设$G$是2连接的。然后$G$有一个循环。让$C$成为$G$的一个循环。我们选择$C$作为$P_0=G_0$。如果是$G_0 \neq G$，我们可以选择$G-E\left(P_0\right)$的边$(u, v)$和$(x, y) \in E\left(P_0\right)$的边。由于$G$是2连通的，根据引理3.4.7,$(u, v)$和$(x, y)$位于一个循环$C^{\prime}$上。设$P$是$C^{\prime}$中的一条路径，它包含$(u, v)$和$G_0$的两个顶点。我们选择$P$作为$P_1$。显然$G_1=P_0 \cup P_1$是双连接的，$P_1$是$G_1$的一个分支。设$G_i$为连续加耳$P_1, P_2, \ldots, P_i$得到的图。我们可以像找到$P_1$一样找到耳朵$P_{i+1}$。该过程仅在吸收$G$的所有边时结束。

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数学代写|图论代写GRAPH THEORY代考|Supply Gas to a Locality

A gas company wants to supply gas to a locality from a single gas source. They are allowed to pass the underground gas lines along the road network only, because no one allows to pass gas lines through the bottom of one’s building. The road network divides the locality into many regions as illustrated in Fig. 1.4(a), where each road is represented by a line segment and a point at which two or more roads meet is represented by a small black circle. A point at which two or more roads meet is called an intersection point. Each region is bounded by some line segments and intersection points. These regions need to be supplied gas. If a gas line reaches an intersection point on the boundary of a region, then the region may receive gas from the line at that intersection point. Thus, the gas lines should reach the boundaries of all the regions of the locality. Gas will be supplied from a gas field which is located outside of the locality, and a single pipe line will be used to supply gas from the gas field to an intersection point on the outer boundary of the locality.

The gas company wants to minimize the establishment cost of gas lines by selecting the roads for laying gas lines such that the total length of the selected roads is minimal. Since gas will be supplied from the gas field using a single line to the locality, the selected road network should be connected and contain an intersection point on the outer boundary of the locality. Thus, the gas company needs to find a set of roads that induces a connected road network, supply gas in all the regions of the locality and the length of the induced road network is minimum. Such a set of roads is illustrated by thick lines in Fig. 1.4(b).The problem mentioned above can be modeled using a “plane graph.” A graph is planar if it can be embedded in the plane without edge crossings. A plane graph is a planar graph with a fixed planar embedding in the plane. A plane graph divides the plane into connected regions called faces. Let $G=(V, E)$ be an edge-weighted connected plane graph, where $V$ and $E$ are the sets of vertices and edges, respectively. Let $F$ be the set of faces of graph $G$. For each edge $e \in E, w(e) \geq 0$ is the weight of the edge $e$ of $G$. A face-spanning subgraph of $G$ is a connected subgraph $H$ induced by a set of edges $S \subseteq E$ such that the vertex set of $H$ contains at least one vertex from the boundary of each face $f \in F$ of $G$ [6]. Figure 1.5 shows two face-spanning subgraphs drawn by thick lines where the cost of the face-spanning subgraph in Fig. 1.5(a) is 22 and the cost of the face-spanning subgraph in Fig. 1.5(b) is 16. Thus, a plane graph may have many face-spanning subgraphs whose costs are different. A minimum face-spanning subgraph $H$ of $G$ is a face-spanning subgraph of $G$, where $\sum_{e \in S} w(e)$ is minimum, and a minimum face-spanning subgraph problem asks to find a minimum face-spanning subgraph of a plane graph. If we represent each road of the road network by an edge of $G$, each intersection point by a vertex of $G$, each region by a face of $G$, and assign the length of a road to the weight of the corresponding edge, then the problem of finding a minimum face-spanning subgraph of $G$ is the same as the problem of the gas company mentioned above [6]. A minimum face-spanning subgraph problem often arises in applications like establishing power transmission lines in a city, power wires layout in a complex circuit, planning irrigation canal networks for irrigation systems, etc.

数学代写|图论代写GRAPH THEORY代考|Floorplanning

Graph modeling has applications in VLSI floorplanning as well as architectural floorplaning [7]. In a VLSI floorplanning problem, an input is a plane graph $F$ as illustrated in Fig. 1.6(a); $F$ represents the functional entities of a chip, called modules, and interconnections among the modules; each vertex of $F$ represents a module, and an edge between two vertices of $F$ represents the interconnections between the two corresponding modules. An output of the problem for the input graph $F$ is a partition of a rectangular chip area into smaller rectangles as illustrated in Fig. 1.6(d); each module is assigned to a smaller rectangle, and furthermore, if two modules have interconnections, then their corresponding rectangles must be adjacent, i.e., they must have a common boundary. A similar problem may arise in architectural floorplanning also. When building a house, the owner may have some preference; for example, a bedroom should be adjacent to a reading room. The owner’s choice of room adjacencies can be easily modeled by a plane graph $F$, as illustrated in Fig. 1.6(a); each vertex represents a room and an edge between two vertices represents the desired adjacency between the corresponding rooms.

A “rectangular drawing” of a plane graph may provide a suitable solution to the floorplanning problem described above. (In a rectangular drawing of a plane graph each vertex is drawn as a point, each edge is drawn as either a horizontal line segment or a vertical line segment and each face including the outer face is drawn as a rectangle.) First, obtain a plane graph $F^{\prime}$ by triangulating all inner faces of $F$ as illustrated in Fig. 1.6(b), where dotted lines indicate new edges added to $F$. Then obtain a “dual-like” graph $G$ of $F^{\prime}$ as illustrated in Fig. 1.6(c), where the four vertices of degree 2 drawn by white circles correspond to the four corners of the rectangular area. Finally, by finding a rectangular drawing of the plane graph $G$, obtain a possible floorplan for $F$ as illustrated in Fig. 1.6(d).

图论代写

数学代写|图论代写GRAPH THEORY代考|Supply Gas to a Locality

某天然气公司希望从单一气源向某一地区供应天然气。他们只允许通过沿着道路网络的地下天然气管道，因为没有人允许通过建筑物底部的天然气管道。如图1.4(a)所示，路网将局地划分为许多区域，其中每条道路用线段表示，两条或两条以上道路相交的点用一个小黑色圆圈表示。两条或两条以上道路相交的点称为交叉点。每个区域由一些线段和交点围合。这些地区需要天然气供应。如果气体管线到达区域边界上的交点，则该区域可以从该交点处的管线接收气体。因此，天然气管道应该到达当地所有地区的边界。天然气由位于局地外的气田供气，由气田供气至局地外边界的交点采用单根管线。

天然气公司希望通过选择铺设天然气管道的道路，使所选道路的总长度最小，从而使天然气管道的建设成本最小化。由于天然气将通过单线从气田输送到该地区，因此所选择的路网应连接并在该地区的外边界上包含一个交叉点。因此，燃气公司需要找到一组道路，该道路可以形成一个连通的路网，在当地的所有地区供气，并且诱导的路网长度最小。这样一组道路如图1.4(b)中的粗线所示。上面提到的问题可以用“平面图”来建模。如果一个图形可以嵌入平面而没有边沿交叉，那么这个图形就是平面的。平面图形是在平面内嵌入固定平面的平面图形。平面图将平面划分为称为面的相连区域。设$G=(V, E)$为边加权连通平面图，其中$V$和$E$分别为顶点和边的集合。设$F$为图形$G$的面集。对于每条边$e \in E, w(e) \geq 0$是$G$的边$e$的权值。$G$的面生成子图是由一组边$S \subseteq E$诱导的连通子图$H$，使得$H$的顶点集至少包含一个来自$G$的每个面$f \in F$的边界的顶点[6]。图1.5显示了用粗线绘制的两个人脸生成子图，其中图1.5(a)中人脸生成子图的代价为22，图1.5(b)中人脸生成子图的代价为16。因此，一个平面图可能有许多代价不同的面生成子图。$G$的最小面部生成子图$H$是$G$的最小面部生成子图，其中$\sum_{e \in S} w(e)$是最小值，最小面部生成子图问题要求找到平面图的最小面部生成子图。如果我们将路网中的每条道路用一条边$G$表示，每个交点用一个顶点$G$表示，每个区域用一个面$G$表示，并将道路的长度分配给相应边的权值，那么寻找$G$最小面生成子图的问题与上面提到的燃气公司问题相同[6]。最小面跨越子图问题经常出现在城市输电线路的建立、复杂电路中的电线布局、灌溉系统灌溉渠网的规划等应用中。

数学代写|图论代写GRAPH THEORY代考|Floorplanning

图形建模在VLSI平面规划和建筑平面规划中都有应用[7]。在VLSI平面规划问题中，输入是如图1.6(a)所示的平面图$F$;$F$表示芯片的功能实体，称为模块，以及模块之间的互连关系;$F$的每个顶点表示一个模块，$F$的两个顶点之间的一条边表示两个对应模块之间的互连。输入图$F$的问题输出是将矩形芯片区域划分为更小的矩形，如图1.6(d)所示;每个模块被分配到一个较小的矩形上，并且，如果两个模块有相互连接，那么它们对应的矩形必须是相邻的，即它们必须有一个共同的边界。在建筑平面规划中也可能出现类似的问题。建房时，业主可能会有一些偏好;例如，卧室应该与阅览室相邻。业主对房间邻接关系的选择可以很容易地用平面图$F$来建模，如图1.6(a)所示;每个顶点表示一个房间，两个顶点之间的边表示相应房间之间所需的邻接关系。

平面图形的“矩形图”可以为上述平面规划问题提供合适的解决方案。(在平面图形的矩形图中，每个顶点绘制为一个点，每个边缘绘制为一个水平线或垂直线，每个面(包括外面)绘制为一个矩形。)首先，如图1.6(b)所示，对$F$的所有内面进行三角剖分，得到一个平面图$F^{\prime}$，虚线表示添加到$F$的新边。然后得到F^{\素数}$的“双象”图$G$，如图1.6(c)所示，其中用白色圆圈画出的4个2度顶点对应于矩形区域的4个角。最后，通过寻找平面图形$G$的矩形图，得到$F$的可能平面图，如图1.6(d)所示。

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图论Graph Theory通过熟悉许多过去和现在对图论的发展负责的人，可以增强对图论的欣赏。因此，我们收录了一些关于“图论人士”的有趣评论。因为我们相信这些人是图论故事的一部分，所以我们在文中讨论了他们，而不仅仅是作为脚注。我们常常没有认识到数学是一门有生命的学科。图论是人类创造的，是一门仍在不断发展的学科。

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数学代写|图论代写GRAPH THEORY代考|Minors

In this section and the next, we ask how global assumptions about a graph – on its average degree, its chromatic number, or even its girthcan force it to contain a given graph as a minor or topological minor.
For example, consider the analogue of Turán’s theorem: how many edges on $n$ vertices force a $K^r$ minor or topological minor? We know already from Chapter 3.5 that topological $K^r$ minors can be forced in sparse graphs, i.e., that some linear number $c_r n$ of edges is enough. But what can we say about $c_r$ as a function of $r$ ? The upper bound $h(r)$ on $c_r$ that we found in the proof of Lemma 3.5 .1 was $2^{\left(\begin{array}{l}r \ 2\end{array}\right)}$; an easy lower bound is $\frac{1}{8} r^2$ (Exercise 25).

It was only in 1996 that this lower bound was shown to be of the right order of magnitude. With the help of Theorem 3.5.3, the proof is now just a few lines:

Theorem 7.2.1. There is a constant $c \in \mathbb{R}$ such that, for every $r \in \mathbb{N}$, every graph $G$ of average degree $d(G) \geqslant c r^2$ contains $K^r$ as a topological minor.

Proof. We prove the theorem with $c=10$. Let $G$ be a graph of average degree at least $10 r^2$. By Theorem 1.4 .3 with $k:=r^2, G$ has an $r^2$-connected subgraph $H$ with $\varepsilon(H)>\varepsilon(G)-r^2 \geqslant 4 r^2$. To find a $T K^r$ in $H$, we start by picking $r$ vertices as branch vertices, and $r-1$ neighbours of each of these as some initial subdividing vertices. These are $r^2$ vertices in total, so as $\delta(H) \geqslant \kappa(H) \geqslant r^2$ they can be chosen distinct. Now all that remains is to link up the subdividing vertices in pairs, by disjoint paths in $H$ corresponding to the edges of the $K^r$ of which we wish to find a subdivision. Such paths exist, because $H$ is $\frac{1}{2} r^2$-linked by Theorem 3.5.3.

For small $r$, one can try to determine the exact number of edges needed to force a $T K^r$ subgraph on $n$ vertices. For $r=4$, this number is $2 n-2$; see Corollary 7.3.2. For $r=5$, plane triangulations yield a lower bound of $3 n-5$ (Corollary 4.2.10). The converse, that $3 n-5$ edges do force a $T K^5$ – not just either a $T K^5$ or a $T K_{3,3}$, as they do by Corollary 4.2.10 and Kuratowski’s theorem-is already a difficult theorem (Mader 1998).

Let us now turn from topological minors to general minors. The average degree needed to force a $K^r$ minor is known almost precisely. Thomason (2001) determined, asymptotically, the smallest constant $c$ that makes the following theorem true as $\alpha+o(1)$, where $o(1)$ stands for a function of $r$ tending to zero as $r \rightarrow \infty$ and $\alpha=0.53131 \ldots$ is an explicit constant.

数学代写|图论代写GRAPH THEORY代考|Hadwiger’s conjecture

As we saw in Section 7.2, an average degree of $c r \sqrt{\log r}$ suffices to force an arbitrary graph to have a $K^r$ minor, and an average degree of $\mathrm{cr}^2$ forces it to have a topological $K^r$ minor. If we replace ‘average degree’ above with ‘chromatic number’ then, with almost the same constants $c$, the two assertions remain true: this is because every graph with chromatic number $k$ has a subgraph of average degree at least $k-1$ (Corollary 5.2 .3$)$.

Although both functions above, $c r \sqrt{\log r}$ and $c r^2$, are best possible (up to the constant $c$ ) for the said implications with ‘average degree’, the question arises whether they are still best possible with ‘chromatic number’ – or whether some slower-growing function would do in that case. What lies hidden behind this problem about growth rates is a fundamental question about the nature of the invariant $\chi$ : can this invariant have some direct structural effect on a graph in terms of forcing concrete substructures, or is its effect no greater than that of the ‘unstructural’ property of having lots of edges somewhere, which it implies trivially?
Neither for general nor for topological minors is the answer to this question known. For general minors, however, the following conjecture of Hadwiger suggests a positive answer:
Conjecture. (Hadwiger 1943)
The following implication holds for every integer $r>0$ and every graph $G$ :
$$
\chi(G) \geqslant r \Rightarrow G \succcurlyeq K^r
$$
Hadwiger’s conjecture is trivial for $r \leqslant 2$, easy for $r=3$ and $r=4$ (exercises), and equivalent to the four colour theorem for $r=5$ and $r=6$. For $r \geqslant 7$ the conjecture is open, but it is true for line graphs (Exercise 35) and for graphs of large girth (Exercise 33; see also Corollary 7.3.9). Rephrased as $G \succcurlyeq K^{\chi(G)}$, it is true for almost all graphs. ${ }^3$ In general, the conjecture for $r+1$ implies it for $r$ (exercise).

图论代写

数学代写|图论代写GRAPH THEORY代考|Minors

在本节和下一节中，我们将讨论关于图的全局假设——关于图的平均度，色数，甚至周长——是如何迫使图包含一个给定的图作为一个小图或拓扑小图的。
例如，考虑Turán定理的类比:$n$顶点上有多少条边强制形成$K^r$次边或拓扑次边?从第3.5章我们已经知道，在稀疏图中，拓扑$K^r$次元可以被强制，也就是说，一些线性数$c_r n$的边就足够了。但是我们怎么看待$c_r$作为$r$的函数呢?我们在引理3.5 .1的证明中找到的$c_r$的上界$h(r)$是$2^{\left(\begin{array}{l}r \ 2\end{array}\right)}$;一个简单的下限是$\frac{1}{8} r^2$(练习25)。

直到1996年，这个下限才被证明是正确的数量级。在定理3.5.3的帮助下，证明现在只有几行:

定理7.2.1。有一个常数$c \in \mathbb{R}$，使得对于每个$r \in \mathbb{N}$，每个平均度为$d(G) \geqslant c r^2$的图$G$都包含$K^r$作为拓扑次元。

证明。我们用$c=10$来证明这个定理。设$G$为至少$10 r^2$的平均度图。根据定理1.4 .3与$k:=r^2, G$有一个与$\varepsilon(H)>\varepsilon(G)-r^2 \geqslant 4 r^2$相连的$r^2$子图$H$。为了在$H$中找到$T K^r$，我们首先选择$r$顶点作为分支顶点，并将每个顶点的$r-1$邻居作为一些初始细分顶点。这些顶点总数为$r^2$，因此$\delta(H) \geqslant \kappa(H) \geqslant r^2$可以被选择为不同的顶点。现在剩下的就是通过$H$中不相交的路径将细分的顶点成对地连接起来，对应于我们希望找到细分的$K^r$的边。这样的路径是存在的，因为$H$是$\frac{1}{2} r^2$ -由定理3.5.3链接的。

对于较小的$r$，可以尝试确定在$n$顶点上强制一个$T K^r$子图所需的确切边数。对于$r=4$，这个数字是$2 n-2$;参见推论7.3.2。对于$r=5$，平面三角剖分产生$3 n-5$的下界(推论4.2.10)。相反，$3 n-5$边确实会产生$T K^5$——不像推论4.2.10和Kuratowski的定理那样，要么是$T K^5$要么是$T K_{3,3}$——这已经是一个困难的定理(Mader 1998)。

现在让我们从拓扑小调转向一般小调。强制选修$K^r$辅修课程所需的平均学位几乎是精确的。Thomason(2001)渐近地确定了使以下定理成立的最小常数$c$为$\alpha+o(1)$，其中$o(1)$表示$r$趋向于零的函数$r \rightarrow \infty$, $\alpha=0.53131 \ldots$是显式常数。

数学代写|图论代写GRAPH THEORY代考|Hadwiger’s conjecture

正如我们在7.2节中看到的，$c r \sqrt{\log r}$的平均度足以强制任意图具有$K^r$次次，$\mathrm{cr}^2$的平均度则强制其具有拓扑$K^r$次次。如果我们将上面的“平均度”替换为“色数”，那么，使用几乎相同的常数$c$，两个断言仍然成立:这是因为每个具有色数$k$的图都至少有一个平均度的子图$k-1$(推论5.2 .3 $)$)。

虽然上面的两个函数$c r \sqrt{\log r}$和$c r^2$对于上述“平均度”的含义来说是最好的(直到常数$c$)，但问题是它们是否仍然是“色数”的最佳可能-或者在这种情况下是否会有一些增长较慢的函数。这个关于增长率的问题背后隐藏的是一个关于不变量本质的基本问题$\chi$:这个不变量是否会对一个图形产生一些直接的结构影响，就强制混凝土子结构而言，或者它的影响并不比在某个地方有很多边的“非结构”性质更大，这是它微不足道的暗示?
无论是对于一般的还是对于拓扑的小分支，这个问题的答案都是未知的。然而，对于一般未成年人来说，哈德维格的以下猜想给出了一个肯定的答案:
猜想。(哈德维格，1943)
下面的含义适用于每个整数$r>0$和每个图$G$:
$$
\chi(G) \geqslant r \Rightarrow G \succcurlyeq K^r
$$
哈德维格的猜想对于$r \leqslant 2$来说是微不足道的，对于$r=3$和$r=4$(练习)来说是容易的，对于$r=5$和$r=6$来说等同于四色定理。对于$r \geqslant 7$，这个猜想是开放的，但对于线形图(练习35)和大周长的图(练习33;另见推论7.3.9)。换句话说就是$G \succcurlyeq K^{\chi(G)}$，它对几乎所有的图表都适用。${ }^3$一般来说，$r+1$的猜想意味着$r$(练习)。

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图论Graph Theory在数学和计算机科学领域，图论是对图的研究，涉及边和顶点之间的关系。它是一门热门学科，在计算机科学、信息技术、生物科学、数学和语言学中都有应用。近年来，图论已经成为各种学科的重要数学工具，从运筹学和化学到遗传学和语言学，从电气工程和地理到社会学和建筑。同时，它本身也作为一门有价值的数学学科出现。

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数学代写|图论代写GRAPH THEORY代考|List colouring

In this section, we take a look at a relatively recent generalization of the concepts of colouring studied so far. This generalization may seem a little far-fetched at first glance, but it turns out to supply a fundamental link between the classical (vertex and edge) chromatic numbers of a graph and its other invariants.

Suppose we are given a graph $G=(V, E)$, and for each vertex of $G$ a list of colours permitted at that particular vertex: when can we colour $G$ (in the usual sense) so that each vertex receives a colour from its list? More formally, let $\left(S_v\right){v \in V}$ be a family of sets. We call a vertex colouring $c$ of $G$ with $c(v) \in S_v$ for all $v \in V$ a colouring from the lists $S_v$. The graph $G$ is called $k$-list-colourable, or $k$-choosable, if, for every family $\left(S_v\right){v \in V}$ with $\left|S_v\right|=k$ for all $v$, there is a vertex colouring of $G$ from the lists $S_v$. The least integer $k$ for which $G$ is $k$-choosable is the list-chromatic number, or choice number $\operatorname{ch}(G)$ of $G$.

List-colourings of edges are defined analogously. The least integer $k$ such that $G$ has an edge colouring from any family of lists of size $k$ is the list-chromatic index $\operatorname{ch}^{\prime}(G)$ of $G$; formally, we just set $\operatorname{ch}^{\prime}(G):=$ $\operatorname{ch}(L(G))$, where $L(G)$ is the line graph of $G$.

In principle, showing that a given graph is $k$-choosable is more difficult than proving it to be $k$-colourable: the latter is just the special case of the former where all lists are equal to ${1, \ldots, k}$. Thus,
$$
\operatorname{ch}(G) \geqslant \chi(G) \text { and } \operatorname{ch}^{\prime}(G) \geqslant \chi^{\prime}(G)
$$
for all graphs $G$.
In spite of these inequalities, many of the known upper bounds for the chromatic number have turned out to be valid for the choice number, too. Examples for this phenomenon include Brooks’s theorem and Proposition 5.2.2; in particular, graphs of large choice number still have subgraphs of large minimum degree. On the other hand, it is easy to construct graphs for which the two invariants are wide apart (Exercise 25). Taken together, these two facts indicate a little how far those general upper bounds on the chromatic number may be from the truth.

数学代写|图论代写GRAPH THEORY代考|Plane graphs

A plane graph is a pair $(V, E)$ of finite sets with the following properties (the elements of $V$ are again called vertices, those of $E$ edges):
(i) $V \subseteq \mathbb{R}^2$
(ii) every edge is an arc between two vertices;
(iii) different edges have different sets of endpoints;
(iv) the interior of an edge contains no vertex and no point of any other edge.

A plane graph $(V, E)$ defines a graph $G$ on $V$ in a natural way. As long as no confusion can arise, we shall use the name $G$ of this abstract graph also for the plane graph $(V, E)$, or for the point set $V \cup \cup E$; similar notational conventions will be used for abstract versus plane edges, for subgraphs, and so on. ${ }^1$

For every plane graph $G$, the set $\mathbb{R}^2 \backslash G$ is open; its regions are the faces of $G$. Since $G$ is bounded-i.e., lies inside some sufficiently large disc $D$-exactly one of its faces is unbounded: the face that contains $\mathbb{R}^2 \backslash D$. This face is the outer face of $G$; the other faces are its inner faces. We denote the set of faces of $G$ by $F(G)$.

图论代写

数学代写|图论代写GRAPH THEORY代考|Topological prerequisites

在本节中，我们简要回顾一些基本的拓扑定义和稍后需要的事实。所有这些事实(到目前为止)都有简单而众所周知的证据;有关来源，请参阅注释。由于这些证明不包含图论，我们在这里不再重复它们:事实上，我们的目的是精确地收集那些我们需要但不想证明的拓扑事实。稍后，所有的证明都将严格遵循这里所述的定义和事实(并由几何直觉指导，但不依赖于几何直觉)，因此现在提供的材料将有助于将这些证明中的基本拓扑论证降至最低。

欧几里得平面上的直线段是$\mathbb{R}^2$的一个子集，对于不同的点$p, q \in \mathbb{R}^2$，其形式为${p+\lambda(q-p) \mid 0 \leqslant \lambda \leqslant 1}$。多边形是$\mathbb{R}^2$的一个子集，它是有限多个直线段的并集，并且同胚于单位圆$S^1$，即$\mathbb{R}^2$中距离原点1处的点的集合。这里，和后面一样，假设拓扑空间的任何子集都携带子空间拓扑。多边形弧是$\mathbb{R}^2$的一个子集，它是有限个直线段的并，并且同胚于闭单位区间$[0,1]$。在这种同胚下，0和1的像是这条多边形弧的端点，这条弧将它们连接起来并在它们之间运行。在本章中，我们将不使用“多边形弧”，而简单地说为“弧”。如果$P$是$x$和$y$之间的弧，我们用$\stackrel{\circ}{P}$表示点集$P \backslash{x, y}$，即$P$的内部。

设$O \subseteq \mathbb{R}^2$为开放集。通过$O$中的弧链接在$O$上定义了等价关系。相应的等价类再次打开;它们是$O$的区域。如果$O \backslash X$有多个区域，则称封闭集$X \subseteq \mathbb{R}^2$分隔$O$。集合$X \subseteq \mathbb{R}^2$的边界是所有点$y \in \mathbb{R}^2$的集合$Y$，使得$y$的每个邻域同时满足$X$和$\mathbb{R}^2 \backslash X$。注意，如果$X$是开放的，那么它的边界位于$\mathbb{R}^2 \backslash X$。

数学代写|图论代写GRAPH THEORY代考|Plane graphs

平面图是一对$(V, E)$有限集合，具有以下属性($V$的元素再次称为顶点，$E$边的元素):
(i) $V \subseteq \mathbb{R}^2$
(ii)每条边都是两个顶点之间的弧;
(iii)不同的边有不同的端点集合;
(iv)一条边的内部不包含任何顶点，也不包含任何其他边的点。

平面图形$(V, E)$以自然的方式在$V$上定义图形$G$。只要不引起混淆，我们也将这个抽象图的名称$G$用于平面图$(V, E)$或点集$V \cup \cup E$;类似的符号约定将用于抽象边与平面边、子图等。 ${ }^1$

对于每一个平面图$G$，集合$\mathbb{R}^2 \backslash G$是开放的;它的区域是$G$的面。因为$G$是有界的。它位于某个足够大的圆盘$D$中——它的一个面是无界的:包含$\mathbb{R}^2 \backslash D$的面。这个面是$G$的外面;其他的面是它的内面。我们用$F(G)$表示$G$的面集。

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图论Graph Theory在数学和计算机科学领域，图论是对图的研究，涉及边和顶点之间的关系。它是一门热门学科，在计算机科学、信息技术、生物科学、数学和语言学中都有应用。近年来，图论已经成为各种学科的重要数学工具，从运筹学和化学到遗传学和语言学，从电气工程和地理到社会学和建筑。同时，它本身也作为一门有价值的数学学科出现。

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数学代写|图论代写GRAPH THEORY代考|Topological prerequisites

In this section we briefly review some basic topological definitions and facts needed later. All these facts have (by now) easy and well-known proofs; see the notes for sources. Since those proofs contain no graph theory, we do not repeat them here: indeed our aim is to collect precisely those topological facts that we need but do not want to prove. Later, all proofs will follow strictly from the definitions and facts stated here (and be guided by but not rely on geometric intuition), so the material presented now will help to keep elementary topological arguments in those proofs to a minimum.

A straight line segment in the Euclidean plane is a subset of $\mathbb{R}^2$ that has the form ${p+\lambda(q-p) \mid 0 \leqslant \lambda \leqslant 1}$ for distinct points $p, q \in \mathbb{R}^2$. A polygon is a subset of $\mathbb{R}^2$ which is the union of finitely many straight line segments and is homeomorphic to the unit circle $S^1$, the set of points in $\mathbb{R}^2$ at distance 1 from the origin. Here, as later, any subset of a topological space is assumed to carry the subspace topology. A polygonal arc is a subset of $\mathbb{R}^2$ which is the union of finitely many straight line segments and is homeomorphic to the closed unit interval $[0,1]$. The images of 0 and of 1 under such a homeomorphism are the endpoints of this polygonal arc, which links them and runs between them. Instead of ‘polygonal arc’ we shall simply say arc in this chapter. If $P$ is an arc between $x$ and $y$, we denote the point set $P \backslash{x, y}$, the interior of $P$, by $\stackrel{\circ}{P}$.

Let $O \subseteq \mathbb{R}^2$ be an open set. Being linked by an arc in $O$ defines an equivalence relation on $O$. The corresponding equivalence classes are again open; they are the regions of $O$. A closed set $X \subseteq \mathbb{R}^2$ is said to separate $O$ if $O \backslash X$ has more than one region. The frontier of a set $X \subseteq \mathbb{R}^2$ is the set $Y$ of all points $y \in \mathbb{R}^2$ such that every neighbourhood of $y$ meets both $X$ and $\mathbb{R}^2 \backslash X$. Note that if $X$ is open then its frontier lies in $\mathbb{R}^2 \backslash X$.

数学代写|图论代写GRAPH THEORY代考|Plane graphs

A plane graph is a pair $(V, E)$ of finite sets with the following properties (the elements of $V$ are again called vertices, those of $E$ edges):
(i) $V \subseteq \mathbb{R}^2$
(ii) every edge is an arc between two vertices;
(iii) different edges have different sets of endpoints;
(iv) the interior of an edge contains no vertex and no point of any other edge.

A plane graph $(V, E)$ defines a graph $G$ on $V$ in a natural way. As long as no confusion can arise, we shall use the name $G$ of this abstract graph also for the plane graph $(V, E)$, or for the point set $V \cup \cup E$; similar notational conventions will be used for abstract versus plane edges, for subgraphs, and so on. ${ }^1$

For every plane graph $G$, the set $\mathbb{R}^2 \backslash G$ is open; its regions are the faces of $G$. Since $G$ is bounded-i.e., lies inside some sufficiently large disc $D$-exactly one of its faces is unbounded: the face that contains $\mathbb{R}^2 \backslash D$. This face is the outer face of $G$; the other faces are its inner faces. We denote the set of faces of $G$ by $F(G)$.

图论代写

数学代写|图论代写GRAPH THEORY代考|Topological prerequisites

在本节中，我们简要回顾一些基本的拓扑定义和稍后需要的事实。所有这些事实(到目前为止)都有简单而众所周知的证据;有关来源，请参阅注释。由于这些证明不包含图论，我们在这里不再重复它们:事实上，我们的目的是精确地收集那些我们需要但不想证明的拓扑事实。稍后，所有的证明都将严格遵循这里所述的定义和事实(并由几何直觉指导，但不依赖于几何直觉)，因此现在提供的材料将有助于将这些证明中的基本拓扑论证降至最低。

欧几里得平面上的直线段是$\mathbb{R}^2$的一个子集，对于不同的点$p, q \in \mathbb{R}^2$，其形式为${p+\lambda(q-p) \mid 0 \leqslant \lambda \leqslant 1}$。多边形是$\mathbb{R}^2$的一个子集，它是有限多个直线段的并集，并且同胚于单位圆$S^1$，即$\mathbb{R}^2$中距离原点1处的点的集合。这里，和后面一样，假设拓扑空间的任何子集都携带子空间拓扑。多边形弧是$\mathbb{R}^2$的一个子集，它是有限个直线段的并，并且同胚于闭单位区间$[0,1]$。在这种同胚下，0和1的像是这条多边形弧的端点，这条弧将它们连接起来并在它们之间运行。在本章中，我们将不使用“多边形弧”，而简单地说为“弧”。如果$P$是$x$和$y$之间的弧，我们用$\stackrel{\circ}{P}$表示点集$P \backslash{x, y}$，即$P$的内部。

设$O \subseteq \mathbb{R}^2$为开放集。通过$O$中的弧链接在$O$上定义了等价关系。相应的等价类再次打开;它们是$O$的区域。如果$O \backslash X$有多个区域，则称封闭集$X \subseteq \mathbb{R}^2$分隔$O$。集合$X \subseteq \mathbb{R}^2$的边界是所有点$y \in \mathbb{R}^2$的集合$Y$，使得$y$的每个邻域同时满足$X$和$\mathbb{R}^2 \backslash X$。注意，如果$X$是开放的，那么它的边界位于$\mathbb{R}^2 \backslash X$。

数学代写|图论代写GRAPH THEORY代考|Plane graphs

平面图是一对$(V, E)$有限集合，具有以下属性($V$的元素再次称为顶点，$E$边的元素):
(i) $V \subseteq \mathbb{R}^2$
(ii)每条边都是两个顶点之间的弧;
(iii)不同的边有不同的端点集合;
(iv)一条边的内部不包含任何顶点，也不包含任何其他边的点。

平面图形$(V, E)$以自然的方式在$V$上定义图形$G$。只要不引起混淆，我们也将这个抽象图的名称$G$用于平面图$(V, E)$或点集$V \cup \cup E$;类似的符号约定将用于抽象边与平面边、子图等。 ${ }^1$

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|图论代写GRAPH THEORY代考|The structure of 3-connected graphs

In the last section we showed first how every connected graph decomposes canonically into 2 -connected subgraphs (and bridges), and how these are arranged in a tree-like way to make up the whole graph. There is a similar canonical decomposition of 2-connected graphs into 3-connected pieces (and cycles), which are again organized in a tree-like way. This nontrivial structure theorem of Tutte is most naturally expressed in terms of tree-decompositions, to be introduced in Chapter 12. We therefore omit it here. $^1$

Instead, we shall describe how every 3 -connected graph can be obtained from a $K^4$ by a succession of elementary operations preserving 3 -connectedness. We then prove a deep result of Tutte about the algebraic structure of the cycle space of 3-connected graphs; this will play an important role again in Chapter 4.5.

In Proposition 3.1.3 we saw how every 2-connected graph can be constructed inductively by a sequence of steps starting from a cycle. All the graphs in the sequence were themselves 2-connected, so the graphs obtainable by this construction method are precisely the 2-connected graphs. Note that the cycles as starting graphs cannot be replaced by a smaller class, because they do not have proper 2-connected subgraphs.
When we try to do the same for 3-connected graphs, we soon notice that both the set of starting graphs and the construction steps required become too complicated. If we base our construction sequences on the minor relation instead of subgraphs, however, it all works smoothly again:

Lemma 3.2.1. If $G$ is 3-connected and $|G|>4$, then $G$ has an edge $e$ such that $G / e$ is again 3-connected.

Proof. Suppose there is no such edge $e$. Then, for every edge $x y \in G$, the graph $G / x y$ contains a separator $S$ of at most 2 vertices. Since $\kappa(G) \geqslant 3$, the contracted vertex $v_{x y}$ of $G / x y$ (see Chapter 1.7) lies in $S$ and $|S|=2$, i.e. $G$ has a vertex $z \notin{x, y}$ such that $\left{v_{x y}, z\right}$ separates $G / x y$. Then any two vertices separated by $\left{v_{x y}, z\right}$ in $G / x y$ are separated in $G$ by $T:={x, y, z}$. Since no proper subset of $T$ separates $G$, every vertex in $T$ has a neighbour in every component $C$ of $G-T$.

数学代写|图论代写GRAPH THEORY代考|Menger’s theorem

The following theorem is one of the cornerstones of graph theory.
Theorem 3.3.1. (Menger 1927)
Let $G=(V, E)$ be a graph and $A, B \subseteq V$. Then the minimum number of vertices separating $A$ from $B$ in $G$ is equal to the maximum number of disjoint $A-B$ paths in $G$.

We offer three proofs. Whenever $G, A, B$ are given as in the theorem, we denote by $k=k(G, A, B)$ the minimum number of vertices separating $A$ from $B$ in $G$. Clearly, $G$ cannot contain more than $k$ disjoint $A-B$ paths; our task will be to show that $k$ such paths exist.

First proof. We apply induction on $|G|$. If $G$ has no edge, then $|A \cap B|=k$ and we have $k$ trivial $A-B$ paths. So we assume that $G$ has an edge $e=x y$. If $G$ has no $k$ disjoint $A-B$ paths, then neither does $G / e$; here, we count the contracted vertex $v_e$ as an element of $A$ (resp. $B$ ) in $G / e$ if in $G$ at least one of $x, y$ lies in $A$ (resp. $B$ ). By the induction hypothesis, $G / e$ contains an $A-B$ separator $Y$ of fewer than $k$ vertices. Among these must be the vertex $v_e$, since otherwise $Y \subseteq V$ would be an $A-B$ separator in $G$. Then $X:=\left(Y \backslash\left{v_e\right}\right) \cup{x, y}$ is an $A-B$ separator in $G$ of exactly $k$ vertices.

We now consider the graph $G-e$. Since $x, y \in X$, every $A-X$ separator in $G-e$ is also an $A-B$ separator in $G$ and hence contains at least $k$ vertices. So by induction there are $k$ disjoint $A-X$ paths in $G-e$, and similarly there are $k$ disjoint $X-B$ paths in $G-e$. As $X$ separates $A$ from $B$, these two path systems do not meet outside $X$, and can thus be combined to $k$ disjoint $A-B$ paths.

图论代写

数学代写|图论代写GRAPH THEORY代考|The structure of 3-connected graphs

在上一节中，我们首先展示了每个连通图如何常规地分解为2连通子图(和桥)，以及这些子图如何以树状方式排列以组成整个图。有一个类似的规范分解，将2连通图分解为3连通的部分(和循环)，它们再次以树状方式组织。图特的这个非平凡结构定理最自然地表达为树分解，将在第12章介绍。因此，我们在这里省略它。 $^1$

相反，我们将描述如何通过一系列保持3连通的基本运算从$K^4$得到每一个3连通图。然后证明了Tutte关于3连通图的循环空间的代数结构的一个深刻结果;这将在第4.5章中再次发挥重要作用。

在命题3.1.3中，我们看到了如何用从一个循环开始的一系列步骤来归纳地构造每一个2连通图。序列中的所有图本身都是2连通的，因此用这种构造方法得到的图就是2连通图。注意，作为起始图的循环不能被更小的类所取代，因为它们没有适当的2连通子图。
当我们尝试对3连通图做同样的事情时，我们很快注意到，起始图的集合和所需的构造步骤都变得过于复杂。然而，如果我们将构造序列建立在次要关系上，而不是子图上，那么一切都会顺利进行:

引理3.2.1。如果$G$和$|G|>4$是3连接的，那么$G$有一条边$e$，使得$G / e$也是3连接的。

证明。假设没有这样的边$e$。然后，对于每条边$x y \in G$，图形$G / x y$包含最多2个顶点的分隔符$S$。由于$\kappa(G) \geqslant 3$, $G / x y$(参见1.7章)的收缩顶点$v_{x y}$位于$S$和$|S|=2$，即$G$有一个顶点$z \notin{x, y}$，这样$\left{v_{x y}, z\right}$就把$G / x y$分开了。然后在$G / x y$中以$\left{v_{x y}, z\right}$分隔的任意两个顶点在$G$中以$T:={x, y, z}$分隔。因为$T$没有合适的子集将$G$分开，所以$T$中的每个顶点在$G-T$的每个分量$C$中都有一个邻居。

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下面的定理是图论的基石之一。
定理3.3.1。(门格尔，1927)
设$G=(V, E)$为图形，$A, B \subseteq V$为图形。那么$G$中分离$A$和$B$的最小顶点数等于$G$中不相交的$A-B$路径的最大数目。

我们提供三种证明。当根据定理给出$G, A, B$时，我们用$k=k(G, A, B)$表示$G$中分离$A$和$B$的最小顶点数。显然，$G$不能包含超过$k$不相交的$A-B$路径;我们的任务是证明$k$存在这样的路径。

第一个证明。我们对 $|G|$． 如果 $G$ 没有棱角，是吗 $|A \cap B|=k$ 我们有 $k$ 琐碎的 $A-B$ 路径。所以我们假设 $G$ 有优势 $e=x y$． 如果 $G$ 没有 $k$ 不相交 $A-B$ 路径，那么两者都没有 $G / e$； 这里，我们计算收缩顶点 $v_e$ 作为 $A$ (回答) $B$ )在 $G / e$ 如果在 $G$ 至少有一个 $x, y$ 在于 $A$ (回答) $B$ ）. 根据归纳假设， $G / e$ 包含 $A-B$ 分离器 $Y$ 少于 $k$ 顶点。其中一定有顶点 $v_e$，既然不然 $Y \subseteq V$ 会是一个 $A-B$ 分隔符 $G$． 然后 $X:=\left(Y \backslash\left{v_e\right}\right) \cup{x, y}$ 是吗? $A-B$ 分隔符 $G$ 完全正确 $k$ 顶点。

我们现在考虑这个图$G-e$。从$x, y \in X$开始，$G-e$中的每个$A-X$分隔符也是$G$中的$A-B$分隔符，因此至少包含$k$个顶点。通过归纳，$G-e$中有$k$不相交的$A-X$路径，同样，$G-e$中也有$k$不相交的$X-B$路径。由于$X$将$A$与$B$分开，这两个路径系统不会在$X$之外相遇，因此可以组合为$k$不相交的$A-B$路径。

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线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|图论代写GRAPH THEORY代考|Contraction and minors

In Section 1.1 we saw two fundamental containment relations between graphs: the ‘subgraph’ relation, and the ‘induced subgraph’ relation. In this section we meet two more: the ‘minor’ relation, and the ‘topological minor’ relation.

Let $e=x y$ be an edge of a graph $G=(V, E)$. By $G / e$ we denote the graph obtained from $G$ by contracting the edge $e$ into a new vertex $v_e$, which becomes adjacent to all the former neighbours of $x$ and of $y$. Formally, $G / e$ is a graph $\left(V^{\prime}, E^{\prime}\right)$ with vertex set $V^{\prime}:=(V \backslash{x, y}) \cup\left{v_e\right}$ (where $v_e$ is the ‘new’ vertex, i.e. $v_e \notin V \cup E$ ) and edge set
$$
\begin{aligned}
E^{\prime}:= & {v w \in E \mid{v, w} \cap{x, y}=\emptyset} \
& \cup\left{v_e w \mid x w \in E \backslash{e} \text { or } y w \in E \backslash{e}\right}
\end{aligned}
$$

More generally, if $X$ is another graph and $\left{V_x \mid x \in V(X)\right}$ is a partition of $V$ into connected subsets such that, for any two vertices $x, y \in X$, there is a $V_x-V_y$ edge in $G$ if and only if $x y \in E(X)$, we call $G$ an $M X$ and write $^7 G=M X$ (Fig. 1.7.2). The sets $V_x$ are the branch sets of this $M X$. Intuitively, we obtain $X$ from $G$ by contracting every branch set to a single vertex and deleting any ‘parallel edges’ or ‘loops’ that may arise. In infinite graphs, branch sets are allowed to be infinite. For example, the graph shown in Figure 8.1.1 is an $M X$ with $X$ an infinite star.

If $V_x=U \subseteq V$ is one of the branch sets above and every other branch set consists just of a single vertex, we also write $G / U$ for the graph $X$ and $v_U$ for the vertex $x \in X$ to which $U$ contracts, and think of the rest of $X$ as an induced subgraph of $G$. The contraction of a single edge $u u^{\prime}$ defined earlier can then be viewed as the special case of $U=\left{u, u^{\prime}\right}$.

数学代写|图论代写GRAPH THEORY代考|Euler tours

Any mathematician who happens to find himself in the East Prussian city of Königsberg (and in the 18th century) will lose no time to follow the great Leonhard Euler’s example and inquire about a round trip through the old city that traverses each of the bridges shown in Figure 1.8.1 exactly once.

Thus inspired, ${ }^9$ let us call a closed walk in a graph an Euler tour if it traverses every edge of the graph exactly once. A graph is Eulerian if it admits an Euler tour.
Theorem 1.8.1. (Euler 1736)
A connected graph is Eulerian if and only if every vertex has even degree.
Proof. The degree condition is clearly necessary: a vertex appearing $k$ times in an Euler tour (or $k+1$ times, if it is the starting and finishing vertex and as such counted twice) must have degree $2 k$.

Conversely, let $G$ be a connected graph with all degrees even, and let
$$
W=v_0 e_0 \ldots e_{\ell-1} v_{\ell}
$$
be a longest walk in $G$ using no edge more than once. Since $W$ cannot be extended, it already contains all the edges at $v_{\ell}$. By assumption, the number of such edges is even. Hence $v_{\ell}=v_0$, so $W$ is a closed walk.
Suppose $W$ is not an Euler tour. Then $G$ has an edge $e$ outside $W$ but incident with a vertex of $W$, say $e=u v_i$. (Here we use the connectedness of $G$, as in the proof of Proposition 1.4.1.) Then the walk
$$
u e v_i e_i \ldots e_{\ell-1} v_{\ell} e_0 \ldots e_{i-1} v_i
$$
is longer than $W$, a contradiction.

图论代写

数学代写|图论代写GRAPH THEORY代考|Contraction and minors

在第1.1节中，我们看到了图之间的两个基本包含关系:“子图”关系和“诱导子图”关系。在本节中，我们还会遇到两个:“小”关系和“拓扑小”关系。

设$e=x y$为图的一条边$G=(V, E)$。通过$G / e$，我们通过将边$e$压缩成一个新的顶点$v_e$来表示从$G$得到的图，该顶点与$x$和$y$之前的所有邻居相邻。形式上，$G / e$是一个图形$\left(V^{\prime}, E^{\prime}\right)$，具有顶点集$V^{\prime}:=(V \backslash{x, y}) \cup\left{v_e\right}$(其中$v_e$是“新”顶点，即$v_e \notin V \cup E$)和边集
$$
\begin{aligned}
E^{\prime}:= & {v w \in E \mid{v, w} \cap{x, y}=\emptyset} \
& \cup\left{v_e w \mid x w \in E \backslash{e} \text { or } y w \in E \backslash{e}\right}
\end{aligned}
$$

更一般地说，如果$X$是另一个图，而$\left{V_x \mid x \in V(X)\right}$是$V$的一个分区，使得对于任意两个顶点$x, y \in X$，当且仅当$x y \in E(X)$在$G$中存在一条$V_x-V_y$边，我们称其为$G$和$M X$，并写为$^7 G=M X$(图1.7.2)。集合$V_x$是这个$M X$的分支集。直观地，我们通过将每个分支集合压缩为单个顶点并删除可能出现的任何“平行边”或“环路”，从$G$获得$X$。在无限图中，分支集允许是无限的。例如，图8.1.1中显示的图形是一个$M X$，其中$X$是一个无限星号。

如果$V_x=U \subseteq V$是上面的分支集之一，并且每个其他分支集只包含一个顶点，我们也可以将$G / U$表示图$X$，将$v_U$表示与$U$收缩的顶点$x \in X$，并将$X$的其余部分视为$G$的诱导子图。前面定义的一条边$u u^{\prime}$的收缩可以看作是$U=\left{u, u^{\prime}\right}$的特例。

数学代写|图论代写GRAPH THEORY代考|Euler tours

任何碰巧在东普鲁士城市Königsberg(而且是在18世纪)的数学家都会不失时机地效仿伟大的莱昂哈德·欧拉的例子，并询问通过图1.8.1中所示的每座桥只经过一次的旧城往返路线。

受此启发，${ }^9$让我们称图中的封闭遍历为欧拉之旅，如果它只遍历图的每条边一次。如果一个图允许欧拉巡回，那么它就是欧拉图。
定理1.8.1。(欧拉1736)
连通图是欧拉的当且仅当每个顶点都有偶数次。
证明。度条件显然是必要的:在欧拉巡回中出现$k$次的顶点(或$k+1$次，如果它是开始和结束顶点，因此计数两次)必须具有$2 k$次。

反之，设$G$为所有度为偶数的连通图，设
$$
W=v_0 e_0 \ldots e_{\ell-1} v_{\ell}
$$
在$G$中走最长的路，不使用边缘超过一次。因为$W$不能扩展，所以它已经包含了$v_{\ell}$的所有边。通过假设，这样的边的数目是偶的。因此$v_{\ell}=v_0$，所以$W$是封闭的步行。
假设$W$不是欧拉路径。那么$G$在$W$之外有一条边$e$，但是与$W$的一个顶点相关联，比如$e=u v_i$。(这里我们使用$G$的连通性，正如命题1.4.1的证明一样。)然后是散步
$$
u e v_i e_i \ldots e_{\ell-1} v_{\ell} e_0 \ldots e_{i-1} v_i
$$
比$W$还长，是个矛盾。

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

如果你也在 怎样代写图论Graph Theory 这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。图论Graph Theory在数学和计算机科学领域，图论是对图的研究，涉及边和顶点之间的关系。它是一门热门学科，在计算机科学、信息技术、生物科学、数学和语言学中都有应用。

图论Graph Theory在数学和计算机科学领域，图论是对图的研究，涉及边和顶点之间的关系。它是一门热门学科，在计算机科学、信息技术、生物科学、数学和语言学中都有应用。近年来，图论已经成为各种学科的重要数学工具，从运筹学和化学到遗传学和语言学，从电气工程和地理到社会学和建筑。同时，它本身也作为一门有价值的数学学科出现。

图论Graph Theory代写，免费提交作业要求， 满意后付款，成绩80\%以下全额退款，安全省心无顾虑。专业硕 博写手团队，所有订单可靠准时，保证 100% 原创。最高质量的图论Graph Theory作业代写，服务覆盖北美、欧洲、澳洲等 国家。 在代写价格方面，考虑到同学们的经济条件，在保障代写质量的前提下，我们为客户提供最合理的价格。 由于作业种类很多，同时其中的大部分作业在字数上都没有具体要求，因此图论Graph Theory作业代写的价格不固定。通常在专家查看完作业要求之后会给出报价。作业难度和截止日期对价格也有很大的影响。

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数学代写|图论代写GRAPH THEORY代考|Isomorphism

Two graphs $G_1$ and $G_2$ are isomorphic if there is a one-one correspondence between the vertices of $G_1$ and those of $G_2$ such that the number of edges joining any two vertices of $G_1$ equals the number of edges joining the corresponding vertices of $G_2$. For example, the two graphs in Fig. 1.3 are isomorphic, under the correspondence
$$
u \leftrightarrow I, v \leftrightarrow m, w \leftrightarrow n, x \leftrightarrow p, y \leftrightarrow q, z \leftrightarrow r .
$$

For many problems, the labels on the vertices are unnecessary and we drop them. We then say that two ‘unlabelled graphs’ are isomorphic if we can assign labels to their vertices so that the resulting ‘labelled graphs’ are isomorphic. For example, we regard the unlabelled graphs in Fig. 1.4 as isomorphic, since the labelled graphs in Fig. 1.3 are isomorphic.

The difference between labelled and unlabelled graphs becomes more apparent when we try to count them. For example, if we restrict ourselves to graphs with three vertices, then there are eight different labelled graphs (see Fig. 1.5), but only four unlabelled ones (see Fig. 1.6). It is usually clear from the context whether we are referring to labelled or unlabelled graphs.

数学代写|图论代写GRAPH THEORY代考|Connected graphs

We can combine two graphs to make a larger graph. If the two graphs are $G_1$ and $G_2$ and their vertex-sets $V\left(G_1\right)$ and $V\left(G_2\right)$ are disjoint, then their union $G_1 \cup G_2$ is the graph with vertex-set $V\left(G_1\right) \cup V\left(G_2\right)$ and edge-family $E\left(G_1\right) \cup E\left(G_2\right)$ (see Fig. 1.7).
Most of the graphs discussed so far have been ‘in one piece’. A graph is connected if it cannot be expressed as a union of graphs, and disconnected otherwise. Clearly, any disconnected graph $G$ can be expressed as the union of connected graphs, each of which is called a component of $G$, a disconnected graph with three components is shown in Fig. 1.8.

When proving results about graphs in general, we can often obtain the corresponding results for connected graphs and then apply them to each component separately. A table of all the unlabelled connected simple graphs with up to five vertices is given in Fig. 1.9.

Adjacency and degrees
We say that two vertices $v$ and $w$ of a graph are adjacent if there is an edge $v w$ joining them, and the vertices $v$ and $w$ are then incident with such an edge. We also say that two distinct edges $e$ and $f$ are adjacent if they have a vertex in common (see Fig. 1.10).

The degree of a vertex $v$ is the number of edges incident with $v$, and is written $\operatorname{deg}(v)$; when calculating the degree of $v$, we usually make the convention that a loop at $v$ contributes 2 (rather than 1 ) to $\operatorname{deg}(v)$. A vertex of degree 0 is an isolated vertex and a vertex of degree 1 is an end-vertex. Thus each of the two graphs in Fig. 1.11 has two end-vertices and three vertices of degree 2, while the graph in Fig. 1.12 has one end-vertex, one vertex of degree 3 , one of degree 6 and one of degree 8 .

The degree sequence of a graph consists of the degrees written in increasing order, with repeats where necessary. For example, the degree sequences of the graphs in Figs 1.11 and 1.12 are $(1,1,2,2,2)$ and $(1,3,6,8)$.

图论代写

数学代写|图论代写GRAPH THEORY代考|Isomorphism

两个图$G_1$和$G_2$是同构的，如果$G_1$的顶点和$G_2$的顶点之间存在一一对应关系，使得连接$G_1$的任意两个顶点的边的数目等于连接$G_2$的相应顶点的边的数目。例如，图1.3中的两个图是同构的，在对应关系下
$$
u \leftrightarrow I, v \leftrightarrow m, w \leftrightarrow n, x \leftrightarrow p, y \leftrightarrow q, z \leftrightarrow r .
$$

对于许多问题，顶点上的标签是不必要的，我们把它们去掉。如果我们可以给两个“未标记图”的顶点分配标签，那么我们就说两个“未标记图”是同构的，从而得到的“标记图”是同构的。例如，我们认为图1.4中的未标记图是同构的，因为图1.3中的标记图是同构的。

当我们尝试计数时，标记图和未标记图之间的区别变得更加明显。例如，如果我们将自己限制为具有三个顶点的图，则有八个不同的标记图(见图1.5)，但只有四个未标记的图(见图1.6)。通常从上下文中可以清楚地看出我们指的是有标记的还是没有标记的图。

数学代写|图论代写GRAPH THEORY代考|Connected graphs

我们可以把两个图组合成一个更大的图。如果两个图分别为$G_1$和$G_2$，且它们的顶点集$V\left(G_1\right)$和$V\left(G_2\right)$不相交，则它们的并集$G_1 \cup G_2$为顶点集$V\left(G_1\right) \cup V\left(G_2\right)$和边族$E\left(G_1\right) \cup E\left(G_2\right)$的图(见图1.7)。
到目前为止讨论的大多数图表都是“一体的”。如果图不能表示为图的并集，则表示为连通图，否则表示为非连通图。显然，任何连通图$G$都可以表示为连通图的并集，每个连通图称为$G$的一个分量，如图1.8所示为三个分量的连通图。

在证明一般图的结果时，我们通常可以得到连通图的相应结果，然后分别应用到每个组件上。图1.9给出了所有不超过5个顶点的未标记连通简单图的表。

邻接度
如果有一条边$v w$连接一个图的两个顶点$v$和$w$，我们说它们是相邻的，那么这两个顶点$v$和$w$就与这样一条边关联。我们还说，如果两条不同的边$e$和$f$有一个共同的顶点，它们就是相邻的(见图1.10)。

顶点的度数$v$是与$v$相关的边的个数，写为$\operatorname{deg}(v)$;在计算$v$的度数时，我们通常约定$v$处的循环为$\operatorname{deg}(v)$贡献2(而不是1)。0次顶点是孤立顶点，1次顶点是终顶点。因此，图1.11中的两个图各有两个端点和三个2次顶点，而图1.12中的图有一个端点，一个3次顶点，一个6次顶点和一个8次顶点。

图的度数序列由按递增顺序书写的度数组成，必要时可以重复。例如，图1.11和图1.12的度序列分别为$(1,1,2,2,2)$和$(1,3,6,8)$。

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它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

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MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|图论代写GRAPH THEORY代考|Direct Proof

Many, indeed most, theorems in mathematics are (or can be) stated as an implication, typically as a quantified statement $\forall x \in S, P(x) \Rightarrow Q(x)$, where $P(x)$ and $Q(x)$ are open sentences involving a variable $x$ whose values are taken from a set $S$. The most common proof technique is a direct proof, where $P(x)$ is assumed to be true for an arbitrary element $x \in S$ and then $Q(x)$ is shown to be true. An example of a direct proof is given next.
Example 3.1 If $n$ is an even integer, then $5 n+7$ is an odd integer.
Proof. Assume that $n$ is an even integer. Then $n=2 k$ for some integer $k$. Therefore,
$$
5 n+7=5(2 k)+7=10 k+7=10 k+6+1=2(5 k+3)+1 .
$$
since $5 k+3$ is an integer, $5 n+7$ is odd.
A few comments about Example 3.1 and its proof might be useful. First, the implication in Example 3.1 can be restated as follows:
For every even integer $n$, the integer $5 n+7$ is odd.
If we let $T$ denote the set of even integers and define
$$
P(n): 5 n+7 \text { is odd. }
$$
then the implication in Example 3.1 can be restated more symbolically as:
$$
\forall n \in T, P(n) \text { : For every } n \in T, 5 n+7 \text { is odd. }
$$
When we gave a direct proof of the implication in Example 3.1, we began by assuming that $n$ is an even integer (or letting $n$ be an even integer). Therefore, we began with an arbitrary element in the set $T$. We then showed that $5 n+7$ is an odd integer.

数学代写|图论代写GRAPH THEORY代考|Counterexamples

A mathematical statement that can be expressed as an implication can be shown to be false by providing a counterexample. Suppose that a statement we are considering is expressed as $\forall x \in S$, $P(x) \Rightarrow Q(x)$ where $P(x)$ and $Q(x)$ are open sentences concerning a variable $x$ whose values belong to a set $S$. If some specific element $x \in S$ can be discovered for which $P(x)$ is true and $Q(x)$ is false, then $x$ is a counterexample to the statement $\forall x \in S, P(x) \Rightarrow Q(x)$. Counterexamples often occur when a conjecture is made (that is, a statement that is believed to be true) and an example is found to show that, in fact, the statement is false. This is illustrated below.
Example 3.2 Determine whether the following statement is true.
If $n$ is an integer, then $6 n+3$ is not prime.
Solution This statement is false. For $n=0$, it follows that $6 n+3=3$, which is a prime. Therefore, $n=0$ is a counterexample to this statement.
If the statement in Example 3.2 had read:
If $n$ is a positive integer, then $6 n+3$ is not prime., then the statement would be true.
One instance of a counterexample in the text occurs in Section 10.3, where it was mentioned that Peter Guthrie Tait believed that if $G$ is a 3-regular, 3-connected, planar graph, then $G$ is Hamiltonian. However, William Tutte produced an example (a counterexample) of a 3-regular, 3-connected, planar graph (the Tutte graph) that is not Hamiltonian.

图论代写

数学代写|图论代写GRAPH THEORY代考|Direct Proof

数学中的许多(实际上是大多数)定理都是(或可以)作为暗示来陈述的，通常是作为量化语句$\forall x \in S, P(x) \Rightarrow Q(x)$，其中$P(x)$和$Q(x)$是涉及变量$x$的开放句子，其值取自集合$S$。最常见的证明技术是直接证明，假设$P(x)$对任意元素$x \in S$为真，然后证明$Q(x)$为真。下面给出一个直接证明的例子。
例3.1如果$n$是偶数，则$5 n+7$是奇数。
证明。假设$n$是一个偶数。然后是$n=2 k$对于某个整数$k$。因此，
$$
5 n+7=5(2 k)+7=10 k+7=10 k+6+1=2(5 k+3)+1 .
$$
因为$5 k+3$是整数，所以$5 n+7$是奇数。
关于例3.1及其证明的一些注释可能会有所帮助。首先，例3.1中的含义可以重述如下:
对于每一个偶数$n$，整数$5 n+7$都是奇数。
如果我们让$T$表示偶数的集合并定义
$$
P(n): 5 n+7 \text { is odd. }
$$
那么，例3.1中的含义可以更象征性地重述为:
$$
\forall n \in T, P(n) \text { : For every } n \in T, 5 n+7 \text { is odd. }
$$
当我们在例3.1中给出直接证明时，我们首先假设$n$是一个偶数(或者让$n$是一个偶数)。因此，我们从集合$T$中的任意元素开始。然后我们证明了$5 n+7$是一个奇整数。

数学代写|图论代写GRAPH THEORY代考|Counterexamples

一个可以表达为暗示的数学命题可以通过提供反例来证明是错误的。假设我们正在考虑的语句被表示为$\forall x \in S$, $P(x) \Rightarrow Q(x)$，其中$P(x)$和$Q(x)$是关于变量$x$的开放句子，其值属于一个集合$S$。如果可以发现某些特定元素$x \in S$，其中$P(x)$为真，$Q(x)$为假，则$x$是语句$\forall x \in S, P(x) \Rightarrow Q(x)$的反例。反例通常发生在一个猜想(即，一个被认为是正确的陈述)被发现的例子表明，事实上，该陈述是错误的。如下图所示。
例3.2判断下列语句是否为真。
如果$n$是整数，那么$6 n+3$不是素数。
处理建议错误。对于$n=0$，它遵循$6 n+3=3$，它是一个素数。因此，$n=0$是这个说法的反例。
如果例3.2中的语句为:
如果$n$是正整数，那么$6 n+3$不是素数。，则表述为真。
在10.3节中有一个反例，其中提到Peter Guthrie Tait认为，如果$G$是一个3正则，3连通的平面图，那么$G$是哈密顿函数。然而，William Tutte提出了一个3规则，3连通的平面图(Tutte图)的例子(反例)，它不是哈密顿图。

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。