Category: abstract algebra

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抽象代数Abstract Algebra在代数（数学中一个已经很广泛的部门）中，抽象代数（偶尔也称为现代代数）是对代数结构的研究。代数结构包括群、环、场、模块、向量空间、网格和代数。抽象代数这个术语是在20世纪初创造的，目的是将这一研究领域与代数的旧部分区分开来，更具体地说，是与初等代数，即在计算和推理中使用变量来表示数字。

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数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|Nilpotent elements

Example 29.13. Consider $3 \in \mathbb{Z}_{81}$. We have
$$
3^1=3,3^2=9,3^3=27,3^4=\mathbf{0} .
$$
After that, we have
$$
\begin{aligned}
& 3^5=3^4 \cdot 3=\mathbf{0} \cdot 3=0 \text {, } \
& 3^6=\mathbf{3}^5 \cdot 3=\mathbf{0} \cdot 3=0 \text {, } \
& 3^7=\mathbf{3}^6 \cdot 3=\mathbf{0} \cdot 3=0 \text {, } \
&
\end{aligned}
$$
Thus, we conclude that $3^n=0$ for all positive integers $n \geq 4$.

Example $29.13$ motivates the following definition.
Definition 29.14 (Nilpotent). A ring element $r$ is said to be nilpotent if $r^n=0$ for some positive integer $n$.

Example 29.15. In Example 29.13, we saw that $3 \in \mathbb{Z}{81}$ is nilpotent. In $\mathbb{Z}{81}$, we also have $0^1=0,6^4=0$, and $9^2=0$, so that 0,6 , and 9 are nilpotent in $\mathbb{Z}{81}$. In an exercise at the end of the chapter, you’ll find all other nilpotent elements in $\mathbb{Z}{81}$.
Example 29.16. In any ring, $0^1=0$. Thus, the additive identity 0 is nilpotent.
Example 29.17. In $\mathbb{Z}$, the only nilpotent element is 0 . For $a \neq 0$, we have $a^n \neq 0$ for all positive integers $n$.

Example $29.17$ illustrates the following theorem, whose proof is left for you as an exercise.

数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|Examples and definition

Example 30.1. We might say that the polynomial $x^2+1$ is unfactorable; i.e., it cannot be factored. Indeed, it’s true that $x^2+1$ is unfactorable in $\mathbb{R}[x]$. But if we work in $\mathbb{Z}_5[x]$, then
$$
(x+2) \cdot(x+3)=x^2+5 x+6=x^2+0 x+1=x^2+1,
$$
as we reduce the coefficients $5=0$ and $6=1$ in $\mathbb{Z}_5$. Thus, $x^2+1=(x+2) \cdot(x+3)$ is factorable in $\mathbb{Z}_5[x]$. The lesson here is that we need to specify the polynomial ring in which we’re working (e.g., $\mathbb{R}[x]$ or $\mathbb{Z}_5[x]$ ).

Example 30.2. We might say that $x^2+1$ is actually factorable in $\mathbb{R}[x]$, because $x^2+1=$ $3 \cdot\left(\frac{1}{3} x^2+\frac{1}{3}\right)$. But this is not a legitimate factorization. When we factor a polynomial, we must write it as a product of two “smaller” polynomials, i.e., polynomials of lower degree. However, $\frac{1}{3} x^2+\frac{1}{3}$ is not smaller than $x^2+1$, because they both have degree 2 .

These examples motivate the following definition. Note how factorable and unfactorable polynomials are analogous to composite and prime integers.

Definition $30.3$ (Factorable/unfactorable polynomials). Let $F$ be a field. Suppose $f(x) \in F[x]$ with $\operatorname{deg} f(x) \geq 1$; i.e., $f(x)$ is not a constant polynomial.

• We say that $f(x)$ is factorable in $F[x]$ when $f(x)=p(x) \cdot q(x)$ for some $p(x), q(x) \in$ $F[x]$ with $\operatorname{deg} p(x), \operatorname{deg} q(x)<\operatorname{deg} f(x)$.
• Otherwise, we say that $f(x)$ is unfactorable in $F[x]$.

抽象代数代写

数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|Nilpotent elements

示例 29.13。考虑 $3 \in \mathbb{Z}_{81}$. 我们有
$$
3^1=3,3^2=9,3^3=27,3^4=\mathbf{0} .
$$
在那之后，我们有
$$
3^5=3^4 \cdot 3=\mathbf{0} \cdot 3=0, \quad 3^6=\mathbf{3}^5 \cdot 3=\mathbf{0} \cdot 3=0,3^7=\mathbf{3}^6 \cdot 3=\mathbf{0} \cdot 3=0,
$$
因此，我们得出结论 $3^n=0$ 对于所有正整数 $n \geq 4$.
例子29.13激发了以下定义。
定义 $29.14$ (幂零) 。环形元素 $r$ 据说是幂零的，如果 $r^n=0$ 对于某个正整数 $n$.
示例 29.15。在示例 $29.13$ 中，我们看到 $3 \in \mathbb{Z} 81$ 是募霝的。在 $\mathbb{Z} 81$ ，我们还有 $0^1=0,6^4=0$ ，和 $9^2=0$ ， 因此 0,6 和 9 在 $\mathbb{Z} 81$. 在本章末尾的练习中，您会发现所有其他募露元表 $\mathbb{Z} 81$.
示例 29.16。在任何戒指中， $0^1=0$. 因此，加法恒等式 0 是幂零的。
示例 29.17。在 $\mathbb{Z}$ ，唯一的幂零元素是 0 。为了 $a \neq 0$ ，我们有 $a^n \neq 0$ 对于所有正整数 $n$.
例子29.17说明了以下定理，其证明留给您作为练习。

数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|Examples and definition

示例 30.1。我们可以说多项式 $x^2+1$ 是不可分解的；即，它不能因式分解。的确，这是真的 $x^2+1$ 在 $\mathbb{R}[x]$. 但 是如果我们在 $\mathbb{Z}_5[x]$ ，然后
$$
(x+2) \cdot(x+3)=x^2+5 x+6=x^2+0 x+1=x^2+1,
$$
当我们减少系数 $5=0$ 和 $6=1$ 在 $\mathbb{Z}_5$. 因此， $x^2+1=(x+2) \cdot(x+3)$ 可以考虑 $\mathbb{Z}_5[x]$. 这里的教训是我们 需要指定我们正在工作的多项式环 (例如， $\mathbb{R}[x]$ 或者 $\left.\mathbb{Z}_5[x]\right)$.
示例 30.2。我们可能会说 $x^2+1$ 实际上是可以考虑的 $\mathbb{R}[x]$ ，因为 $x^2+1=3 \cdot\left(\frac{1}{3} x^2+\frac{1}{3}\right)$. 但这不是合法, 的因式分解。当我们因式分解一个多项式时，我们必须将它写成两个“较小”多项式的乘积，即较低次数的多项 式。然而， $\frac{1}{3} x^2+\frac{1}{3}$ 不小于 $x^2+1$ ，因为他们的度数都是 2 。
这些示例激发了以下定义。请注意可因式和不可因式多项式如何类似于复合整数和质数。
定义 $30.3$ (可因式/不可因式多项式) 。让 $F$ 成为一个领域。认为 $f(x) \in F[x]$ 和deg $f(x) \geq 1$; IE。 $f(x)$ 不 是常数多项式。

• 我们说 $f(x)$ 可以考虑 $F[x]$ 什么时候 $f(x)=p(x) \cdot q(x)$ 对于一些 $p(x), q(x) \in F[x]$ 和 $\operatorname{deg} p(x), \operatorname{deg} q(x)<\operatorname{deg} f(x)$.
• 否则，我们说 $f(x)$ 在 $F[x]$.

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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抽象代数Abstract Algebra在代数（数学中一个已经很广泛的部门）中，抽象代数（偶尔也称为现代代数）是对代数结构的研究。代数结构包括群、环、场、模块、向量空间、网格和代数。抽象代数这个术语是在20世纪初创造的，目的是将这一研究领域与代数的旧部分区分开来，更具体地说，是与初等代数，即在计算和推理中使用变量来表示数字。

抽象代数Abstract Algebra代写，免费提交作业要求， 满意后付款，成绩80\%以下全额退款，安全省心无顾虑。专业硕 博写手团队，所有订单可靠准时，保证 100% 原创。 最高质量的抽象代数Abstract Algebra作业代写，服务覆盖北美、欧洲、澳洲等 国家。 在代写价格方面，考虑到同学们的经济条件，在保障代写质量的前提下，我们为客户提供最合理的价格。 由于作业种类很多，同时其中的大部分作业在字数上都没有具体要求，因此抽象代数Abstract Algebra作业代写的价格不固定。通常在专家查看完作业要求之后会给出报价。作业难度和截止日期对价格也有很大的影响。

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数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|Integral domains

Example 27.1. In $\mathbb{Z}{12}$, there is a pair of non-zero elements whose product is zero: $3 \cdot 4=$ 0 , for instance. Recall that such elements are called zero divisors in $\mathbb{Z}{12}$. Other zero divisors in $\mathbb{Z}{12}$ include $2,6,8,9,10$. Note that $2 \cdot 6=0,8 \cdot 9=0$, and $6 \cdot 10=0$ in $\mathbb{Z}{12}$.
Some rings do not have any zero divisors, which motivates the following definition.
Definition 27.2 (Integral domain). A commutative ring is called an integral domain if it does not contain any zero divisors.

Example 27.3. If $a$ and $b$ are non-zero integers, then their product $a b$ is also non-zero. Hence, there are no zero divisors in $\mathbb{Z}$, which implies that $\mathbb{Z}$ is an integral domain.
Example 27.4. In the ring $\mathbb{Z}{13}={0,1,2, \ldots, 12}$, every non-zero element is a unit, i.e., an element with a multiplicative inverse. Then by Theorem $26.18$, these units cannot be zero divisors. Thus, there are no zero divisors in $\mathbb{Z}{13}$, so that $\mathbb{Z}_{13}$ is an integral domain. The same argument shows that the set of real numbers $\mathbb{R}$ is an integral domain as well.

数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|Fields

Example 27.12. In $\mathbb{Z}_7={0,1,2,3,4,5,6}$, all non-zero elements are units; i.e., they have multiplicative inverses. Note that $1 \cdot 1=1,2 \cdot 4=1,3 \cdot 5=1$, and $6 \cdot 6=1$ in $\mathbb{Z}_7$. Similarly, all non-zero elements of $\mathbb{R}$ are units. While a ring is never a multiplicative group, since the additive identity element 0 does not have a multiplicative inverse, examples like $\mathbb{Z}_7$ and $\mathbb{R}$ come awfully close!

Rings like $\mathbb{Z}_7$ and $\mathbb{R}$, which are almost multiplicative groups, are examples of a field.

Definition $27.13$ (Field). A commutative ring is called a field if every non-zero element is a unit.

Examples of a field include $\mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}, \mathbb{Z}7$, and $\mathbb{Z}{13}$. Below are a couple more examples.

抽象代数代写

数学代写|抽象代数代写|抽象代数代考|积分域

例27.1. 在$/mathbb{Z}12$中，有一对非零元素的乘积为零：例如，$3\cdot 4=$ 0。回顾一下，这种元素在$$mathbb{Z}12$中被称为零除数。$mathbb{Z}12$中的其他零除数包括2,6,8,9,10$。请注意，在$mathbb{Z}12$中，2\cdot 6=0，8\cdot 9=0$，6\cdot 10=0$。有些环没有任何零除数，这就促使了下面的定义。定义$27.2$（积分域）。如果一个换元环不包含任何零除数，那么它就被称为积分域。

例27.3. 如果$a$和$b$为非零整数，那么它们的乘积$a b$也是非零的。因此，$mathbb{Z}$中没有零除数，这意味着$mathbb{Z}$是一个积分域。例27.4. 在$$mathbb{Z}13=0,1,2, \ldots, 12$的环中，每个非零元素都是一个单位，即一个有乘法逆的元素。那么根据定理$26.18$，这些单位不能是零除数。因此，$mathbb{Z}13$中没有零除数，所以$mathbb{Z}_{13}$是一个积分域。同样的论证表明，实数集合$mathbb{R}$也是一个积分域。

数学代写|抽象代数代写|字段

例27.12. 在$/mathbb{Z}_7=0,1,2,3,4,5,6$中，所有非零元素都是单位；也就是说，它们都有乘法的倒数。注意在$mathbb{Z}_7$中，1\cdot 1=1,2\cdot 4=1,3\cdot 5=1$，6\cdot 6=1$。同样地，$mathbb{R}$的所有非零元素都是单位。虽然一个环从来不是一个乘法群，因为加法的同位元素0没有一个乘法的逆位，但是像$mathbb{Z}_7$和$mathbb{R}$这样的例子却非常接近了!

像$mathbb{Z}_7$和$mathbb{R}$这样的环，几乎是乘法群，是领域的例子。
定义 $27.13$ （场）。如果每个非零元素都是一个单位，那么一个换元环被称为场。
场的例子包括$$ backslash\operatorname{mathbb}{Q}，mid\operatorname{mathbb}{R}$，$mid\operatorname{mathbb}{C}$，$mid\operatorname{mathbb}{Z}7$，以及$mid\operatorname{mathbb}{Z}。7$ ，和$mid operatorname{mathbb}{Z}{13}$。下面是另外几个例子。

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微观经济学代写

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线性代数代写

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博弈论代写

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微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

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什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

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MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|Examples of normal subgroups

Example 24.8 ( $G$ and ${\varepsilon}$ are normal subgroups). Let $G$ be a group. Then $G$ is its own subgroup, and you’ll show in an exercise at the end of the chapter that $G$ is a normal subgroup of $G$. Moreover, the trivial subgroup ${\varepsilon}$ is normal in $G$. For all $g \in G$, we have $g{\varepsilon}={g}$ and ${\varepsilon} g={g}$, so that $g{\varepsilon}={\varepsilon} g$.

Example 24.9 (Chapter 19, Exercise #16 revisited). Let $K=\left{\varepsilon, r_{90}, r_{180}, r_{270}\right}$ be a subgroup of $D_4$. We found that $a K=K a$ for all $a \in D_4$; i.e., all left and right cosets of $K$ are equal. More specifically,
$$
a K=K a= \begin{cases}K & \text { if } a \in K \text { (i.e., } a=\text { rotation) } \ D_4-K & \text { if } a \notin K \text { (i.e., } a=\text { reflection) }\end{cases}
$$

Here, $D_4-K$ is the set of elements in $D_4$ that are not in $K$. In other words, $D_4-K=$ $\left{h, v, d, d^{\prime}\right}$, the subset of $D_4$ containing all reflections.

In Example $24.9$ above, $K$ and $D_4$ contain 4 and 8 elements, respectively. Therefore, $\left[D_4: K\right]=2$. It turns out that a subgroup of index 2 is always a normal subgroup. The following theorem is left for you to prove in Chapter 23, Exercise $# 18$.

数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|Normal subgroup test

Directly showing that a subgroup is normal (i.e., by showing $g H=H g$ for all $g \in G$ ) can be a tedious task. Fortunately, there’s an “easier” way-in quotes, since nothing is easy in abstract algebra! The theorem below is often called the normal subgroup test.
Theorem 24.15 (Normal subgroup test). Let $G$ be a group, and let $H$ be a subgroup of $G$. Then $H$ is normal in $G$ if and only if $g H g^{-1} \subseteq H$ for all $g \in G$.

Remark. Recall from Chapter 12, Exercise #23 that for a fixed $g \in G$, we define $g H g^{-1}=\left{g h g^{-1} \mid h \in H\right}$. Then $g H g^{-1}$ is a subgroup of $G$ and is called a conjugate of $H$.

PROOF. We must prove two implications:

• If $H$ is normal in $G$, then $g H g^{-1} \subseteq H$ for all $g \in G$.
• If $g H g^{-1} \subseteq H$ for all $g \in G$, then $H$ is normal in $G$.

抽象代数代写

数学代写|抽象代数代写|正常子群的例子

例24.8（$G$和$varepsilon$是正常子群）。让$G$是一个群。那么$G$是它自己的子群，你将在本章末尾的练习中证明$G$是$G$的一个正常子群。此外，琐碎的子群$varepsilon$在$G$中是正常的。对于G$中的所有$g，我们有$g\varepsilon=g$和$varepsilon g=g$，所以$g\varepsilon=\varepsilon g$。

例24.9$ （第19章，练习#16复习）。让Missing or unrecognized delimiter for \left是$D_4$的一个子群。我们发现$a K=K a$对于D_4中的所有$a/4$；也就是说，$K$的所有左右cosets都是相等的。更具体地说。
$$
a K=K a=left{K\quad\text { if } a\in K\text { (i e, } a=\text { rotation) } D_4-K \quad \text { if } a \notin K \text { (i e, } a=right.\text { reflection) }
$$
这里，$D_4-K$是$D_4$中不在$K$中的元素的集合。换言之，$D_4-K=$
缺少或不被认可的分界符，为$D_4$中包含所有反射的子集。
在上面的例子$24.9$中，$K$和$D_4$分别包含4和8个元素。因此，$left[D_4: K\right]=2$。事实证明，一个索引为2的子群总是一个正常的子群。下面的定理将留给你在第23章中证明。
23, 练习 你不能在数学模式下使用’宏参数字符#’。

数学代写|抽象代数代写|正态子群检验

直接证明一个子群是正常的（即通过证明$g H=H g$对所有$g\in G$）是一项繁琐的工作。幸运的是，有一个 “更容易 “的方法–引号，因为在抽象代数中没有什么是容易的! 下面的定理通常被称为正常子群检验。
定理$24.15$（正态子群检验）。设$G$是一个群，设$H$是$G$的一个子群。那么，当且仅当$g H g^{-1}\subseteq H$对于G$中的所有$g\，$H$在$G$中是正常的。
备注。回顾第12章练习#23，对于一个固定的$g\in G$，我们定义为
缺少或不被认可的分界符，为left。那么$g H_{g^{-1}}$是$G$的一个子群，被称为$H$的共轭物。
证明。我们必须证明两个含义。

• 如果$H$在$G$中是正常的，那么$g H g^{-1}\subseteq H$对于所有$g\在G$中是正常的。
• 如果$g H g^{-1} \subseteq H$适用于所有$g\in G$，那么$H$在$G$中是正常的。

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

如果你也在 怎样代写抽象代数Abstract Algebra MATH411这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。抽象代数Abstract Algebra是代数的一组高级课题，涉及抽象代数结构而不是通常的数系。这些结构中最重要的是群、环和场。通用代数是一个相关的学科，它将代数结构的类型作为单一对象进行研究。例如，群的结构是普遍代数中的一个单一对象，它被称为群的变种。

抽象代数Abstract Algebra在代数（数学中一个已经很广泛的部门）中，抽象代数（偶尔也称为现代代数）是对代数结构的研究。代数结构包括群、环、场、模块、向量空间、网格和代数。抽象代数这个术语是在20世纪初创造的，目的是将这一研究领域与代数的旧部分区分开来，更具体地说，是与初等代数，即在计算和推理中使用变量来表示数字。

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数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|Turning a set of cosets into a group

We begin by revisiting Example 19.1. Let $H={1,3,9}$ be a subgroup of $U_{13}$. The distinct cosets of $H$ are the following:

$1 H={1,3,9}=3 H=9 H$.

$2 H={2,6,5}=6 H=5 H$.

$4 H={4,12,10}=12 H=10 H$.

$7 H={7,8,11}=8 H=11 H$.
We can use the property $a \in a H$ (Theorem 19.12) and that distinct cosets do not overlap (Theorem 20.4) when finding these coset representatives. For instance, once we compute $2 H={2 \cdot 1,2 \cdot 3,2 \cdot 9}={2,6,5}$, then we know that this coset also equals $6 H$ and $5 H$, because 6 and 5 are contained in $2 H$.

Notation. We define $U_{13} / H$ (read ” $U_{13} \bmod H$ “) to be the set of distinct cosets of $H$. Thus,
$$
U_{13} / H={1 H, 2 H, 4 H, 7 H} .
$$
Since different coset representatives can generate the same coset (e.g., $2 H=6 H)$, we could have written $U_{13} / H$ slightly differently, perhaps like this:
$$
U_{13} / H={1 H, 6 H, 10 H, 11 H} .
$$

数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|Coset multiplication shortcut

As we saw in Examples 21.2, 21.3, and 21.4, coset multiplication can be a tedious process. Fortunately, there is a shortcut. To motivate this shortcut, let’s examine the earlier examples in more depth.

Example 21.7. Consider the subgroup $H={1,3,9}$ of $U_{13}$. We found the coset product $2 H \cdot 4 H=7 H$. But $7 H$ can be written as $8 H$ (i.e., they’re the same coset). Thus $2 H \cdot 4 H=8 H$, where we observe that $2 \cdot 4=8$ in $U_{13}$. We also found that $1 H \cdot 4 H=4 H$, where $1 \cdot 4=4$ in $U_{13}$. For the product $4 H \cdot 4 H=1 H$, we observe that $1 H$ can also be written as $3 H$. Hence we have $4 H \cdot 4 H=3 H$, where $4 \cdot 4=3$ in $U_{13}$.

Example $21.7$ above suggests that to find the coset product $a H \cdot b H$ in $G / H$, we can simply multiply their coset representatives in $G$; i.e., $a H \cdot b H=(a b) H$. The theorem below is for the case when $G$ is commutative, such as $G=U_{13}$. Its proof is left for you as an exercise at the end of the chapter.

Theorem 21.8 (Coset multiplication shortcut). Let $G$ be a commutative group, $H$ a subgroup of $G$, and $a, b \in G$. Define the coset product by $a H \cdot b H={\alpha \cdot \beta \mid \alpha \in a H$, $\beta \in b H}$. Then $a H \cdot b H=(a b) H$.

抽象代数代写

数学代写|抽象代数代写|将一个宇宙集变成一个群

我们首先重温一下例19.1。设$H=1,3,9$为$U_{13}$的一个子群。以下是$H$的不同余集。
$$
1 H=1,3,9=3 H=9 H
$$
$$
2 H=2,6,5=6 H=5 H\text {. }
$$
$$
4 H=4,12,10=12 H=10 H\text {. }
$$
$$
7 H=7,8,11=8 H=11 H\text {. }
$$
我们可以利用$a\in a H$的属性（定理19.12）和不同的余数不重叠（定理20.4）来寻找这些余数代表。例如，一旦我们计算出$2 H=2\cdot 1,2\cdot 3,2\cdot 9=2,6,5$，那么我们就知道这个余集也等于$6 H$和$5 H$，因为6和5都包含在$2 H$中。

符号。我们定义$U_{13} / H$ (读作” $U_{13}\bmod H^{\prime \prime}$ )是$H$的不同cosets的集合。因此。
$$
U_{13} / h=1 h, 2 h, 4 h, 7 h 。
$$
由于不同的余数代表可以产生相同的余数（例如，$2 H=6 H$ ），我们可以将$U_{13} / H$写得稍有不同。/ H$的写法略有不同，也许是这样的。
$$
U_{13} / h=1 h, 6 h, 10 h, 11 h 。
$$

数学代写|抽象代数代写|余数乘法快捷方式

正如我们在例21.2、21.3和21.4中所看到的，余数乘法可能是一个乏味的过程。幸运的是，有一个捷径。为了说明这个捷径，让我们更深入地研究一下前面的例子。

例21.7. 考虑$U_{13}$的子群$H=1,3,9$。我们发现 coset product $H\cdot 4 H=7 H$。但是$7 H$可以写成$8 H$（也就是说，它们是同一个余集）。因此$2 H\cdot 4 H=8 H$，在这里我们观察到$2\cdot 4=8$在$U_{13}$。我们还发现，1 H\cdot 4 H=4 H$，其中1\cdot 4=4$在$U_{13}$中。对于产品4 H\cdot 4 H=1 H$，我们观察到1 H$也可以写成3 H$。因此我们有$4 H\cdot 4 H=3 H$，其中$4\cdot 4=3$在$U_{13}$。
上面的例子$21.7$表明，要找到$G/H$中的coset积$a H\cdot b H$，我们可以简单地将它们在$G$中的coset代表相乘；即$a H\cdot b H=(a b) H$。下面的定理是针对$G$是换元的情况，如$G=U_{13}$。它的证明将作为本章末尾的一个练习留给大家。
定理$21.8$（余数乘法捷径）。设$G$是一个交换群，$H$是$G$的一个子群，$a，b在G$。用$a H\cdot b H=alpha\cdot \beta\mid \alpha\in a H\$, \$ \beta \in b H$定义余数乘。那么$a H\cdot b H=（a b）H$。

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它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

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什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

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数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|Applications of Sylow Theorems

A few numerical examples will make the Sylow theorems come to life.
I EXAMPLE 3 Say $\mathrm{G}$ is a group of order 40. What do the Sylow theorems tell us about G? A great deal! Since 1 is the only divisor of 40 that is congruent to 1 modulo 5 , we know that $\mathrm{G}$ has exactly one subgroup of order 5 , and therefore it is normal. Similarly, $\mathrm{G}$ has either one or five subgroups of order 8 . If there is only one subgroup of order 8 , it is normal. If there are five subgroups of order 8 , none is normal and all five can be obtained by starting with any particular one, say $\mathrm{H}$, and computing $x H x^{-1}$ for various $x$ ‘s. Finally, if we let $\mathrm{K}$ denote the normal subgroup of order 5 and let $\mathrm{H}$ denote any subgroup of order 8, then $G=H K$. (See Example 5 in Chapter 9.) If $\mathrm{H}$ happens to be normal, we can say even more: $G=H \times K$.

I EXAMPLE 4 Consider a group of order 30. By Sylow’s Third Theorem, it must have either one or six subgroups of order 5 and one or 10 subgroups of order 3 . However, $G$ cannot have both six subgroups of order 5 and 10 subgroups of order 3 (for then G would have more than 30 elements). Thus, the subgroup of order 3 is unique or the subgroup of order 5 is unique (or both are unique) and therefore is normal in G. It follows, then, that the product of a subgroup of order 3 and one of order 5 is a group of order 15 that is both cyclic (Exercise 35) and normal (Exercise 9 in Chapter 9) in G. [This, in turn, implies that both the subgroup of order 3 and the subgroup of order 5 are normal in $G$ (Exercise 59 in Chapter 9).] So, if we let $y$ be a generator of the cyclic subgroup of order 15 and let $x$ be an element of order 2 (the existence of which is guaranteed by Cauchy’s Theorem), we see that $G=\left{x^i y^j \mid 0 \leq i \leq 1,0 \leq j \leq 14\right}$.
I EXAMPLE 5 We show that any group $\mathrm{G}$ of order 72 must have a proper, nontrivial normal subgroup. Our arguments are a preview of those in Chapter 24. By Sylow’s Third Theorem, the number of Sylow 3-subgroups of $\mathrm{G}$ is equal to $1 \bmod 3$ and divides 8 . Thus, the number is 1 or 4 . If there is only one, then it is normal by the corollary of Sylow’s Third Theorem. Otherwise, let $H$ and $H^{\prime}$ be two distinct Sylow 3-subgroups. By Theorem 7.2, we have that $\left|H H^{\prime}\right|=|H|\left|H^{\prime}\right| /\left|H \cap H^{\prime}\right|=81 /\left|H \cap H^{\prime}\right|$. Since $|G|=72$ and $\left|H \cap H^{\prime}\right|$ is a subgroup of $\mathrm{H}$ and $H^{\prime}$, we know that $\left|H \cap H^{\prime}\right|=3$. By the corollary to Theorem 23.2, $N\left(H \cap H^{\prime}\right)$ contains both $\mathrm{H}$ and $H^{\prime}$. Thus, $\left|N\left(H \cap H^{\prime}\right)\right|$ divides 72 , is divisible by 9 , and has at least $\left|H H^{\prime}\right|=27$ elements. This leaves only 36 or 72 for $\left|N\left(H \cap H^{\prime}\right)\right|$. In the first case, we have from Exercise 9 of Chapter 9 that $N\left(H \cap H^{\prime}\right)$ is normal in $G$. In the second case, we have by definition that $H \cap H^{\prime}$ is normal in $G$.

数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|Cyclic Groups of Order $p q$

If $G$ is a group of order $p q$, where $p$ and $q$ are primes, $p<q$, and $p$ does not divide $q-1$, then $G$ is cyclic. In particular, $G$ is isomorphic to $Z_{p q}$.

PROOF Let $H$ be a Sylow $p$-subgroup of $G$ and let $K$ be a Sylow $q$-subgroup of $G$. Sylow’s Third Theorem states that the number of Sylow $p$-subgroups of $G$ is of the form $1+k p$ and divides $q$. So $1+k p=1$ or $1+k p=q$. Since $p$ does not divide $q-1$, we have that $k=0$ and therefore $H$ is the only Sylow $p$-subgroup of $G$.

Similarly, there is only one Sylow $q$-subgroup of $G$ (see Exercise 25). Thus, by the corollary to Theorem 23.5, $H$ and $K$ are normal subgroups of $G$. Moreover, from Theorem $7.2$ and Lagrange, we have $G=H K$ and $H \cap K={e}$. This tells us that $G=H \times K$. Finally, by Theorem $8.2, G \approx Z_p \oplus Z_q \approx Z_{p q}$.

Theorem $23.6$ demonstrates the power of the Sylow theorems in classifying the finite groups whose orders have small numbers of prime factors. Similar results exist for groups of orders $p^2 q, p^2 q^2, p^3$, and $p^4$, where $p$ and $q$ are prime.

For your amusement, Figure $23.2$ lists the number of nonisomorphic groups with order at most 100. Note in particular the large number of groups of order 64 . Also observe that, generally speaking, it is not the size of the group that gives rise to a large number of groups of that size but the number of prime factors involved. In all, there are 1047 nonisomorphic groups with 100 or fewer elements. Contrast this with the fact that there are $49,487,365,422$ groups of order $1024=2^{10}$. The number of groups of any order less than 2048 is given at http://oeis.org/A000001/b000001.txt.

抽象代数代写

数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|Applications of Sylow Theorems

一些数值示例将使 Sylow 定理栩栩如生。
我例 3 说 $\mathrm{G}$ 是 40 阶群。关于 $G$ ， Sylow 定理告诉我们什么? 好的折扣！由于 1 是 40 中唯一与 1 模 5 全等的约数，我们知道G恰 好有一个 5 阶子群，因此它是正常的。相似地，G有一个或五个 8 阶子群。如果只有一个 8 阶子群，则正常。如果有 8 阶的五个 子群，则没有一个是正常的，并且可以通过从任何特定的一个开始获得所有五个子群，比如说 $\mathrm{H}$ 和计算 $x H x^{-1}$ 对于各种 $x$ 的。最 后，如果我们让K表示 5 阶的正规子群，令 $\mathrm{H}$ 表示任何 8 阶子群，则 $G=H K$. (参见第 9 章中的示例 5。）如果 $\mathrm{H}$ 恰好是正常 的，我们更可以说: $G=H \times K$.
1 示例 4 考虑一个 30 阶群。根据 Sylow 第三定理，它必须有一个或六个 5 阶子群和一个或 10 个 3 阶子群。然而， $G$ 不能同时有 6 个 5 阶子群和 10 个 3 阶子群 (因为那时 $G$ 将有超过 30 个元溸) 。因此，3 阶子群是唯一的或 5 阶子群是唯一的（或两者都是 唯一的），因此在 $G$ 中是正规的。因此，3 阶子群与 5 阶子群之一的乘积是 $G$ 中的一个 15 阶群，它既是徣环的（练习 35) 又是 正规的（第 9 章的练习 9) 。[这又意味着 3 阶的子群和 5 阶的子群都是正规的 $G$ (第 9 章练习 59) ] 所以，如果我们让 $y$ 是 15 阶循环子群的生成器并令 $x$ 是 2 阶元㨞（其存在由柯西定理保证)，我们看到 $\backslash$ lef $t$ 缺少或无法识别的分隔符
1 示例 5 我们证明任何组G72 阶的子群必须有一个适当的、非平凡的正规子群。我们的论点是第 24 章中那些论点的预演。根据 Sylow 第三定理，sylow 3-子群的数量G等于 $1 \mathrm{mod} 3$ 并除以 8。因此，数字是 1 或 4。如果只有一个，则根据 Sylow 第三定 理的推论，它是正常的。否则，让 $H$ 和 $H^{\prime}$ 是两个不同的 Sylow 3-子群。根据定理 7.2，我们有
$\left|H H^{\prime}\right|=|H|\left|H^{\prime}\right| /\left|H \cap H^{\prime}\right|=81 /\left|H \cap H^{\prime}\right|$. 自从 $|G|=72$ 和 $\left|H \cap H^{\prime}\right|$ 是一个子群 $\mathrm{H}$ 和 $H^{\prime}$ ， 我们知道 $\left|H \cap H^{\prime}\right|=3$. 根 据定理 $23.2$ 的推论， $N\left(H \cap H^{\prime}\right)$ 包含两者H和 $H^{\prime}$. 因此， $\left|N\left(H \cap H^{\prime}\right)\right|$ 被 72 整除，能被 9 整除，并且至少有 $\left|H H^{\prime}\right|=27$ 元 䍱。这只剩下 36 或 $72\left|N\left(H \cap H^{\prime}\right)\right|$. 在第一种情况下，我们从第 9 章的练习 9 中得到 $N\left(H \cap H^{\prime}\right)$ 是正常的 $G$. 在第二种情况 下，根据定义我们有 $H \cap H^{\prime}$ 是正常的 $G$.

数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|Cyclic Groups of Order $p q$

如果 $G$ 是一组顺序 $p q$ ，在哪里 $p$ 和 $q$ 是质数， $p<q$ ，和 $p$ 不分裂 $q-1$ ，然后 $G$ 是循环的。尤其是， $G$ 同构于 $Z_{p q}$
证明让 $H$ 成为一个西洛 $p$-子群 $G$ 然后让 $K$ 成为一个西洛 $q$-子群 $G$. Sylow 第三定理指出 Sylow 的数量 $p$-亚群的 $G$ 是形式 $1+k p$ 并 划分 $q$. 所以 $1+k p=1$ 或者 $1+k p=q$. 自从 $p$ 不分裂 $q-1$, 我们有 $k=0$ 因此 $H$ 是唯一的西洛 $p$-子群 $G$.
同样，只有一个sylowq-子群 $G$ (见炼习 25) 。因此，根据定理 $23.5$ 的推论， $H$ 和 $K$ 是正规的子群 $G$. 此外，从定理 $7.2$ 和拉格 朗日，我们有 $G=H K$ 和 $H \cap K=e$. 这告诉我们 $G=H \times K$. 最后，由定理 $8.2, G \approx Z_p \oplus Z_q \approx Z_{p q}$
定理23.6证明了 Sylow 定理在对阶数具有少量表因子的有限群进行分类时的威力。订单组存在类似的结果 $p^2 q, p^2 q^2, p^3$ ，和 $p^4$ ， 在哪里 $p$ 和 $q$ 是质数。
为了您的娱乐，图23.2列出阶数最多为 100 的非同构群的数量。请特别注意阶数为 64 的大量群。还要注意的是，一般来说，不 是群体的规模导致了该规梘的大量群体，而是所涉及的主要因䋤的数量。总共有 1047 个元转不超过 100 个的非同构群。将此与存 在的事实进行对比 $49,487,365,422$ 顺序组 $1024=2^{10}$. http://oeis.org/A000001/b000001.txt 给出了任何小于 2048 的组 数。

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

如果你也在 怎样代写抽象代数Abstract Algebra Math4120这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。抽象代数Abstract Algebra是代数的一组高级课题，涉及抽象代数结构而不是通常的数系。这些结构中最重要的是群、环和场。通用代数是一个相关的学科，它将代数结构的类型作为单一对象进行研究。例如，群的结构是普遍代数中的一个单一对象，它被称为群的变种。

抽象代数Abstract Algebra在代数（数学中一个已经很广泛的部门）中，抽象代数（偶尔也称为现代代数）是对代数结构的研究。代数结构包括群、环、场、模块、向量空间、网格和代数。抽象代数这个术语是在20世纪初创造的，目的是将这一研究领域与代数的旧部分区分开来，更具体地说，是与初等代数，即在计算和推理中使用变量来表示数字。

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数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|Subfields of a Finite Field

Theorem $21.1$ gives us a complete description of all finite fields. The following theorem gives us a complete description of all the subfields of a finite field. Notice the close analogy between this theorem and Theorem 4.3, which describes all the subgroups of a finite cyclic group.
Theorem 21.11 Subfields of a Finite Field
For each divisor $m$ of $n, \operatorname{GF}\left(p^n\right)$ has a unique subfield of order $p^m$. Moreover, these are the only subfields of $\mathrm{GF}\left(p^n\right)$.

PROOF To show the existence portion of the theorem, suppose that $m$ divides $n$. Then, since
$$
p^n-1=\left(p^m-1\right)\left(p^{n-m}+p^{n-2 m}+\cdots+p^m+1\right),
$$
we see that $p^m-1$ divides $p^n-1$. For simplicity, write $p^n-1=\left(p^m-1\right)$. Let $K=\left{x \in \operatorname{GF}\left(p^n\right) \mid x^{p^m}=x\right}$. We leave it as an easy exercise for the reader to show that $K$ is a subfield of $\mathrm{GF}\left(p^n\right)$ (Exercise 37). Since the polynomial $x^{p^m}-x$ has at most $p^m$ zeros in $\operatorname{GF}\left(p^n\right)$, we have $|K| \leq p^m$. Let $\langle a\rangle=\operatorname{GF}\left(p^n\right)^*$. Then $\left|a^t\right|=p^m-1$, and since $\left(a^t\right)^{p^{m-1}}=1$ , it follows that $a^t \in K$. So, $K$ is a subfield of $\operatorname{GF}\left(p^n\right)$ of order $p^m$.

The uniqueness portion of the theorem follows from the observation that if $\operatorname{GF}\left(p^n\right)$ had two distinct subfields of order $p^m$, then the polynomial $x^{p^m}-x$ would have more than $p^m$ zeros in $\mathrm{GF}\left(p^n\right)$. This contradicts Theorem 16.3.

数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|Degrees of Irreducible Factors of $x^{p^n}-x$ over $Z_p$

The degree of an irreducible factor of $x^{p^n}-x$ over $Z_p$ divides $n$.
PROOF If $g(x)$ is an irreducible factor of $x^{p^n}-x$ over $Z_p$ with degree $d$ and $a \in \operatorname{GF}\left(p^n\right)$ is a zero of $g(x)$, then $\left|Z_p(a)\right|=p^d$. So, $d$ is a divisor of $n$.
I EXAMPLE 14 Let’s look at the irreducible factorization of $x^{16}-x$ used to construct GF(16). Obviously, $\mathrm{x}$ and $x-1$ are factors. By the corollary of Theorem $21.3$ the other irreducible factors of $x^{16}-x$ have degrees 2 or 4 . Fortunately, it is possible to determine these factors without resorting to long division. Since $x^{16}-x$ has no multiple zeros in GF (16), it has no irreducible factors with multiplicity greater than 1 . Because the sum of the degrees of the nonlinear irreducible factors of $x^{16}-x$ must be 14 , and 14 is not a multiple of 4 , not the irreducible factors can be quartics. Noting that the only irreducible quadratic over $Z_2$ is $x^2+x+1$, we know the irreducible factorization consist of it and three quartics. Finally, we observe that any quartic irreducible factor must begin with $x^4$, end with 1 , and have an odd number of terms in between (otherwise, 1 would be a zero). So, the remaining irreducibles factors must be $x^4+x+1, x^4+x^2+1$, and $x^4+x^3+x^2+x+1$ because these are only possibilities that meet the two stated necessary conditions.

抽象代数代写

数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|Subfields of a Finite Field

定理21.1给了我们所有有限域的完慗苗述。下面的定理给了我们一个有限域的所有子域的完整苢述。注意这个定理和定理 $4.3$ 之 间的密切尖比，定理 $4.3$ 描述了有限循环群的所有子群。
定理 $21.11$ 有限域的子域
对于每个除数 $m$ 的 $n, \mathrm{GF}\left(p^n\right)$ 有一个独特的顺序子字段 $p^m$. 此外，这些是唯一的子字殹 $\mathrm{GF}\left(p^n\right)$.
证明为了证明定理的存在性部分，假设 $m$ 分裂 $n$. 然后，因为
$$
p^n-1=\left(p^m-1\right)\left(p^{n-m}+p^{n-2 m}+\cdots+p^m+1\right),
$$
我们看到 $p^m-1$ 分裂 $p^n-1$. 为简单起见，写 $p^n-1=\left(p^m-1\right)$. 让ไleft 缺少或无法识别的分隔符 . 我们把 它作为一个简单的练习留给读者来证明 $K$ 是一个子字段 $\mathrm{GF}\left(p^n\right)$ （练习 37）。由于多项式 $x^{p^m}-x$ 至多有 $p^{m_1}$ 归零 $\mathrm{GF}\left(p^n\right)$ ，我 们有 $|K| \leq p^m$. 让 $\langle a\rangle=\operatorname{GF}\left(p^n\right)^*$. 然后 $\left|a^t\right|=p^m-1$ ，并且因为 $\left(a^t\right)^{p^{m-1}}=1$ ，它遭循 $a^t \in K$. 所以， $K$ 是一个子字段 $\mathrm{GF}\left(p^n\right)$ 秩序 $p^m$.
定理的唯一性部分来自观眎如果 $\mathrm{GF}\left(p^n\right)$ 有两个不同的顺序子字段 $p^m$ ，那么多项式 $x^{p^m}-x$ 会有超过 $p^m$ 归零 $\mathrm{GF}\left(p^n\right)$. 这与定理 $16.3$ 相矛盾。

数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|Degrees of Irreducible Factors of $x^{p^n}-x$

超过 $Z_p$
不可约因維的程度 $x^{p^n}-x$ 超过 $Z_p$ 分裂 $n$.
证明如果 $g(x)$ 是不可约因羏 $x^{p^n}-x$ 超过 $Z_p$ 有学位 $d$ 和 $a \in \mathrm{GF}\left(p^n\right)$ 是零 $g(x)$ ，然后 $\left|Z_p(a)\right|=p^d$. 所以， $d$ 是除数 $n$.
। 示例 14 让我们看一下不可约分解 $x^{16}-x$ 用于构建 $\mathrm{GF}(16)$ 。明显地， $\mathrm{x}$ 和 $x-1$ 是因䋤。由定理的堆论 $21.3$ 其他不可減少的因溸 $x^{16}-x$ 有学位 2 或 4 。幸运的是，无需求助于长除去就可以确定这些因售。自从 $x^{16}-x$ 在 $\mathrm{GF}$ (16) 中没有多个零点，它没有重 数大于 1 的不可约因子。因为非线性不可约因子的度数之和 $x^{16}-x$ 必须是 14 ，并且 14 不是 4 的倍数，不可约因子可以是四次。 注意到唯一不可约的二次方 $Z_2$ 是 $x^2+x+1$ ，我们知道不可约分解由它和三个四次方程组成。最后，我们观寮到任何四次不可约 因子必须以 $x^4$ ，以 1 结尾，并且中间有奇数项（否则，1 将为零)。因此，剩余的不可约因㨞必须是 $x^4+x+1, x^4+x^2+1$ ， 和 $x^4+x^3+x^2+x+1$ 因为这些只是满足两个规定的必要条件的可能性。

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计量经济学代写

什么是计量经济学？
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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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抽象代数Abstract Algebra在代数（数学中一个已经很广泛的部门）中，抽象代数（偶尔也称为现代代数）是对代数结构的研究。代数结构包括群、环、场、模块、向量空间、网格和代数。抽象代数这个术语是在20世纪初创造的，目的是将这一研究领域与代数的旧部分区分开来，更具体地说，是与初等代数，即在计算和推理中使用变量来表示数字。

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数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|Right cosets

In Section 19.1, we considered left cosets of the form $a H$, where we multiplied each element of $H$ on the left by $a$. We can also consider right cosets $H a$, as shown in the example below.

Example 19.7. Consider again the group $U_{13}$ and its subgroup $H={1,3,9}$. The left coset $6 H$ is given by $6 H={6 \cdot 1,6 \cdot 3,6 \cdot 9}={6,5,2}$, and we have the right coset $H 6={1 \cdot 6,3 \cdot 6,9 \cdot 6}={6,5,2}$. Observe that $6 H=H 6$; i.e., the left and right cosets are equal, because $U_{13}$ is commutative.

As seen in Example 19.7, the distinction between left and right cosets is irrelevant in a commutative group. In particular, additive groups are always commutative, so there is no distinction between the left coset $a+H$ and the right coset $H+a$. Thus, we will only consider left cosets $a+H$ with additive groups.
Here is a non-commutative example, where things get a bit more interesting.
Example 19.8. Let $H={\varepsilon, d}$ be a subgroup of $D_4$. Let’s compute and compare the left coset $r_{90} \mathrm{H}$ and the right coset $H r_{90}$ :

• $r_{90} H=\left{r_{90} \cdot \varepsilon, r_{90} \cdot d\right}=\left{r_{90}, h\right}$.
• $H r_{90}=\left{\varepsilon \cdot r_{90}, d \cdot r_{90}\right}=\left{r_{90}, v\right}$.
  Therefore, the left and right cosets are not the same; i.e., $r_{90} H \neq H r_{90}$.
  Example 19.9. Let $K=C(h)=\left{\varepsilon, r_{180}, h, v\right}$ be a subgroup of $D_4$. (It’s the centralizer of $h$ in $D_4$. See Section 5.3.) Let’s compute and compare the left coset $d K$ and the right $\operatorname{coset} K d$ :
• $d K=\left{d \cdot \varepsilon, d \cdot r_{180}, d \cdot h, d \cdot v\right}=\left{d, d^{\prime}, r_{270}, r_{90}\right}$.
• $K d=\left{\varepsilon \cdot d, r_{180} \cdot d, h \cdot d, v \cdot d\right}=\left{d, d^{\prime}, r_{90}, r_{270}\right}$
  Thus we have a coset equality $d K=K d$, because these sets contain the same four elements. But this does not imply that we have an element-by-element equality; i.e., $d k=k d$ for all $k \in K$. Indeed, we have $d h \neq h d$ and $d v \neq v d$, where $h, v \in K$.

数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|Structure of Finite Fields

The next theorem tells us the additive and multiplicative group structure of a field of order $p^n$.
Theorem 21.9 Structure of Finite Fields
As a group under addition, $G F\left(p^n\right)$ is isomorphic to
$$
\underset{n \text { factors }}{Z_p \oplus Z_p \oplus \ldots \oplus Z_p} .
$$
As a group under multiplication, the set of nonzero elements of $G F\left(p^n\right)$ is isomorphic to $Z_{p^n-1}$ ( and is, therefore, cyclic).

PROOF Since GF $\left(p^n\right)$ has characteristic $p$ (Theorem 13.3), every nonzero element of GF $\left(p^n\right)$ has additive order $p$. Then by the Fundamental Theorem of Finite Abelian Groups, $\operatorname{GF}\left(p^{\prime}\right)$ under addition is isomorphic to a direct product of $n$ copies of $Z_p$.
To see that the multiplicative group $\operatorname{GF}\left(p^n\right)^$ of nonzero elements of $\mathrm{GF}\left(p^n\right)$ is cyclic, we first note that by the Fundamental Theorem of Finite Abelian Groups (Theorem 11.1), $\mathrm{GF}\left(p^n\right)^$ is isomorphic to a direct product of the form $Z_{n_1} \oplus Z_{n_2} \oplus \cdots \oplus Z_{n_m}$. If the orders of these components are pairwise relatively prime, then it follows from Corollary 1 of Theorem $8.2$ that $\operatorname{GF}\left(p^m\right)^$ is cyclic. Hence we may assume that there is an integer $d>1$ that divides the orders of two of the components. From the Fundamental Theorem of Cyclic Groups (Theorem 4.3) we know that each of these components has a subgroup of order $d$. This means that $\operatorname{GF}\left(p^n\right)^$ has two distinct subgroups of order $d$, call them $H$ and $K$. But then every element of $H$ and $K$ is a zero of $x^d-1$, which contradicts the fact that a polynomial of degree $d$ over a field can have at most $d$ zeros (Theorem 16.3).

抽象代数代写

数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|Right cosets

在 $19.1$ 节中，我们考虑了以下形式的左陪集 $a H$ ，我们将每个元嗉相乘 $H$ 在左边 $a$. 我们也可以考虑右陪集 $H a$ ，如下例所示。
例 19.7。再考虑群 $U_{13}$ 及其子群 $H=1,3,9$. 左陪集 $6 H$ 是 (谁) 给的 $6 H=6 \cdot 1,6 \cdot 3,6 \cdot 9=6,5,2$, 我们有正确的陪集 $H 6=1 \cdot 6,3 \cdot 6,9 \cdot 6=6,5,2$. 观察那个 $6 H=H 6$; 即，左右陪集相等，因为 $U_{13}$ 是可交换的。
如示例 $19.7$ 所示，左陪焦和右陪集之间的区别在交换群中是无关紧要的。特别地，加法群总是可交换的，所以左陪集之间没有区 别 $a+H$ 和右陪集 $H+a$. 因此，我们将只考虑左陪集 $a+H$ 与添加剂组。
这是一个非交换的例子，事情变得更有趣了。
例 19.8。让 $H=\varepsilon, d$ 是一个子群 $D_4$. 让我们计算并比较左陪集 $r_{90} \mathrm{H}$ 和右陪集 $H r_{90}$ :

\left 缺少或无法识别的分隔符

\left 缺少或无法识别的分隔符
因此，左右陪焦不相同； $\mathrm{EE}, r_{90} H \neq H r_{90}$.
例 19.9。让 left 缺少或无法识别的分隔符
是一个子群 $D_4$. (这是集中器 $h$ 在 $D_4$. 参见第 $5.3$ 节。) 让我
们计算并比较左陪集 $d K$ 和权利 $\operatorname{coset} K d$ :

\left 缺少或无法识别的分隔符

\left 缺少或无法识别的分隔符
$\mathrm{IE}, d k=k d$ 对所有人 $k \in K$. 确实，我们有 $d h \neq h d$ 和 $d v \neq v d$ ，在哪里 $h, v \in K$.

数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|Structure of Finite Fields

下一个定理告诉我们序域的加法和乘法群结构 $p^n$.
定理 $21.9$ 有限域的结构
作为一个加法群， $G F\left(p^n\right)$ 同构于
作为乘法下的群，非零元㨞的集合 $G F\left(p^n\right)$ 同构于 $Z_{p^n-1}$ (因此是循环的)。
自 GF 以来的证明 $\left(p^n\right)$ 有特点 $p$ (定理 13.3)，GF 的每个非雪元凊 $\left(p^n\right)$ 有加法顺序 $p$. 则由有限阿贝尔群甚本定理， $\mathrm{GF}\left(p^{\prime}\right)$ 在加法 下同构于的直积 $n$ 副本 $Z_p$.
看到乘法群生少上标或下标参数
的非雪元嗉 $\mathrm{GF}\left(p^n\right)$ 是循环的，我们首先注意到有限阿贝尔群的甚本 定理 (定理 11.1)，缺少上标或下标参数 $\quad$ 同构于形式的直积 $Z_{n_1} \oplus Z_{n_2} \oplus \cdots \oplus Z_{n_m}$ 如畢这些分量的 阶数是成对互质的，则可以从定理的推论 1 中得出 $8.2$ 那蚗少上标或下标参数 是循环的。因此我们可以 假设有一个整数 $d>1$ 将两个组件的顺序分开。从循环群的甚本定理 (定理 4.3) 我们知道这些分量中的每一个都陏阶的子群 $d$. 这 意味着杵少上标或下标参数 $\quad$ 有两个不同的顺序子群 $d$ ，给他们打电话 $H$ 和 $K$. 但随后的每一个元素 $H$ 和 $K$ 是雪 $x^d-1$, 这与阶多项式的事实相矛盾 $d$ 在一个字段上最多可以有 $d$ 零点（定理 16.3）。

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

如果你也在 怎样代写抽象代数Abstract Algebra MATH411这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。抽象代数Abstract Algebra是代数的一组高级课题，涉及抽象代数结构而不是通常的数系。这些结构中最重要的是群、环和场。通用代数是一个相关的学科，它将代数结构的类型作为单一对象进行研究。例如，群的结构是普遍代数中的一个单一对象，它被称为群的变种。

抽象代数Abstract Algebra在代数（数学中一个已经很广泛的部门）中，抽象代数（偶尔也称为现代代数）是对代数结构的研究。代数结构包括群、环、场、模块、向量空间、网格和代数。抽象代数这个术语是在20世纪初创造的，目的是将这一研究领域与代数的旧部分区分开来，更具体地说，是与初等代数，即在计算和推理中使用变量来表示数字。

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数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|Right cosets

In Section 19.1, we considered left cosets of the form $a H$, where we multiplied each element of $H$ on the left by $a$. We can also consider right cosets $H a$, as shown in the example below.

Example 19.7. Consider again the group $U_{13}$ and its subgroup $H={1,3,9}$. The left coset $6 H$ is given by $6 H={6 \cdot 1,6 \cdot 3,6 \cdot 9}={6,5,2}$, and we have the right coset $H 6={1 \cdot 6,3 \cdot 6,9 \cdot 6}={6,5,2}$. Observe that $6 H=H 6$; i.e., the left and right cosets are equal, because $U_{13}$ is commutative.

As seen in Example 19.7, the distinction between left and right cosets is irrelevant in a commutative group. In particular, additive groups are always commutative, so there is no distinction between the left coset $a+H$ and the right coset $H+a$. Thus, we will only consider left cosets $a+H$ with additive groups.
Here is a non-commutative example, where things get a bit more interesting.
Example 19.8. Let $H={\varepsilon, d}$ be a subgroup of $D_4$. Let’s compute and compare the left coset $r_{90} \mathrm{H}$ and the right coset $H r_{90}$ :

• $r_{90} H=\left{r_{90} \cdot \varepsilon, r_{90} \cdot d\right}=\left{r_{90}, h\right}$.
• $H r_{90}=\left{\varepsilon \cdot r_{90}, d \cdot r_{90}\right}=\left{r_{90}, v\right}$.
  Therefore, the left and right cosets are not the same; i.e., $r_{90} H \neq H r_{90}$.
  Example 19.9. Let $K=C(h)=\left{\varepsilon, r_{180}, h, v\right}$ be a subgroup of $D_4$. (It’s the centralizer of $h$ in $D_4$. See Section 5.3.) Let’s compute and compare the left coset $d K$ and the right $\operatorname{coset} K d$ :
• $d K=\left{d \cdot \varepsilon, d \cdot r_{180}, d \cdot h, d \cdot v\right}=\left{d, d^{\prime}, r_{270}, r_{90}\right}$.
• $K d=\left{\varepsilon \cdot d, r_{180} \cdot d, h \cdot d, v \cdot d\right}=\left{d, d^{\prime}, r_{90}, r_{270}\right}$
  Thus we have a coset equality $d K=K d$, because these sets contain the same four elements. But this does not imply that we have an element-by-element equality; i.e., $d k=k d$ for all $k \in K$. Indeed, we have $d h \neq h d$ and $d v \neq v d$, where $h, v \in K$.

数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|Properties of cosets

We’ve seen plenty of examples of cosets thus far, and now we’re ready for a general definition.
Definition $19.10$ (Coset). Let $G$ be a group, $H$ a subgroup of $G$, and $a \in G$. Then:

• The set $a H={a h \mid h \in H}$ is the left coset of $H$ generated by $a$.
• The set $H a={h a \mid h \in H}$ is the right coset of $H$ generated by $a$.
  The element $a$ is called the coset representative of $a H$ and $H a$.
  Remark. If $G$ is an additive group, then the left and right cosets are $a+H={a+h \mid$ $h \in H}$ and $H+a={h+a \mid h \in H}$, respectively. Recall that we always have $a+H=H+a$, since additive groups are commutative. Given this lack of distinction between left and right cosets, we will only consider left cosets $a+H$ with additive groups.

Below are the first three properties of cosets observed in Examples 19.1 and 19.5. (The fourth property about how the distinct cosets partition the group will be addressed in the next chapter.) While they are stated in the context of left cosets, as will be typical of coset theorems, analogous statements are true for right cosets. Each proof is written for a multiplicative group, and the proofs for an additive group are left for you as an exercise.
The following example motivates the proof of the first theorem.

抽象代数代写

数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|Right cosets

在 $19.1$ 节中，我们考虑了形式的左陪集 $a H$ ，我们将每个元靑相乘 $H$ 在左边 $a$. 我们也可以考虑右陪集 $H a$ ，如下例所示。
例 19.7。再考虑组 $U_{13}$ 及其子群 $H=1,3,9$. 左恻陪祇 $6 H$ 是（谁） 给的 $6 H=6 \cdot 1,6 \cdot 3,6 \cdot 9=6,5,2$, 我们有正确的陪集 $H 6=1 \cdot 6,3 \cdot 6,9 \cdot 6=6,5,2$. 请注意 $6 H=H 6$; 即，左右陪集相等，因为 $U_{13}$ 是可交换的。
如例 $19.7$ 所示，左陪集和右陪集之间的区别在可交换群中是无关览要的。特别是加法群总是可交换的，所以左陪集之间没有区别 $a+H$ 和正确的陪祇 $H+a$. 因此，我们将只考虑左陪集 $a+H$ 与添加剂组。
这是一个不可交换的例子，事情变得更有趣了。
例 19.8。让 $H=\varepsilon, d$ 成为一个子群 $D_4$. 让掝们计算和比较左陪集 $r_{90} \mathrm{H}$ 和正确的陪氷 $H r_{90}$ ：

〈left 的分隔符缺失或无法识别

〈left 的分隔符缺失或无法识别
因此，左右陪集不相同; $\mathrm{IE}, r_{90} H \neq H r_{90}$.
例 19.9。让lleft 的分隔符缺失或无法识别
成为一个子群 $D_4$. (它是集中器 $h$ 在 $D_4$. 见第 $5.3$ 节。) 让我
们计算和比较左陪集 $d K$ 和权利 $\operatorname{coset} K d$ :

〈left 的分隔符缺失或无法识别

lleft 的分隔符缺失或无法识别
因此我们有一个陪集相等 $d K=K d ＼mathrm{~ ， 因 为 这 些 集 合 包 含 相 同 的 四 个 元 恝 。 但 这 并 不 意 味 着 我 们 具 有 逐 个 元 維 的 相 等 性 ； ~}$
$\mathrm{IE} ， d k=k d$ 对所有人 $k \in K$. 确实，我们有 $d h \neq h d$ 和 $d v \neq v d$ ，在哪里 $h, v \in K$.

数学代写抽象代数代写Abstract Algebra代考|Properties of cosets

到目前为止，我们已经看到了很多陪集的例子，现在我们已经准备好进行一般定义了。
定义 $19.10$ (陪祔) 。让 $G$ 成为一个群体， $H$ 一个子群 $G$ ，和 $a \in G$. 然后:

套装 $a H=a h \mid h \in H$ 是的左陪集 $H$ 由产生 $a$.

套装 $H a=h a \mid h \in H$ 是的右陪集 $H$ 由产生 $a$.
元䋏 $a$ 被称为陪集代表 $a H$ 和 $H a$.
评论。如果 $G$ 是一个加法群，那么左右陪焦是 $a+H=a+h \mid \$ \$ h \in H$ 和 $H+a=h+a \mid h \in H$ ，分别。回想一 下，我们总是有 $a+H=H+a$ ，因为加法群是可交换的。监于左右陪集之间缺工区别，我们将只考虑左陪集 $a+H$ 与 添加剂组。
下面是在示例 $19.1$ 和 $19.5$ 中观䕓到的陪集的前三个属性。（关于不同陪集如何划分群的第四个属性将在下一章中讨论。）虽然它 们是在左陪集的上下文中陈述的，这将是陪集定理的典型，但类似的陈述也适用于右陪集。每个证明都是为乘法组编写的，而加法 组的证明留给您作为练习。
下面的例子激发了第一个定理的证明。

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微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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抽象代数Abstract Algebra在代数（数学中一个已经很广泛的部门）中，抽象代数（偶尔也称为现代代数）是对代数结构的研究。代数结构包括群、环、场、模块、向量空间、网格和代数。抽象代数这个术语是在20世纪初创造的，目的是将这一研究领域与代数的旧部分区分开来，更具体地说，是与初等代数，即在计算和推理中使用变量来表示数字。

抽象代数Abstract Algebra代写，免费提交作业要求， 满意后付款，成绩80\%以下全额退款，安全省心无顾虑。专业硕 博写手团队，所有订单可靠准时，保证 100% 原创。 最高质量的抽象代数Abstract Algebra作业代写，服务覆盖北美、欧洲、澳洲等 国家。 在代写价格方面，考虑到同学们的经济条件，在保障代写质量的前提下，我们为客户提供最合理的价格。 由于作业种类很多，同时其中的大部分作业在字数上都没有具体要求，因此抽象代数Abstract Algebra作业代写的价格不固定。通常在专家查看完作业要求之后会给出报价。作业难度和截止日期对价格也有很大的影响。

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数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|Groups ℤ12 and ⟨𝑔⟩: Elements match up

Let’s begin by revisiting an earlier example. Recall that given a group element $g$, the cyclic subgroup $\langle g\rangle$ is defined by $\langle g\rangle=\left{g^k \mid k \in \mathbb{Z}\right}$, i.e., the set of all integer powers of g.

Example 13.16 Let $g$ be an element of a multiplicative group with ord $(g)=12$. By Theorem 13.17, the distinct elements of $\langle g\rangle$ are given by $\langle g\rangle=\left{\varepsilon, g^1, g^2, g^3, \ldots, g^{11}\right}$, where $\varepsilon=g^0$. We thus have the correspondence $k \leftrightarrow g^k$ between $\mathbb{Z}{12}$ and $\langle g\rangle$. Moreover, $\langle g\rangle$ behaves like $\mathbb{Z}{12}$; e.g.,
$$
g^9 \cdot g^7=g^{9+7}=g^{16}=g^{12+4}=g^{12} \cdot g^4=\varepsilon \cdot g^4=g^4,
$$
so that $g^9 \cdot g^7=g^4$, which is just like $9+7=4$ in $\mathbb{Z}{12}$. Thus, we’ve said that the groups $\mathbb{Z}{12}$ and $\langle g\rangle$ are essentially the same. To make this notion of sameness more precise, consider the function $\theta: \mathbb{Z}{12} \rightarrow\langle g\rangle$ where $\theta(k)=g^k$ for all $k \in \mathbb{Z}{12}$. For instance, $\theta(7)=g^7$.

Remark. The function $\theta$ associates to each $k \in \mathbb{Z}_{12}$ the element $g^k \in\langle g\rangle$. This is no different from the correspondence $k \leftrightarrow g^k$. But using the language of a function here provides a powerful tool that will allow us to derive and prove various features of groups that are essentially the same.

We will prove that $\theta$ is one-to-one and onto. To show that $\theta$ is one-to-one, we begin by assuming that $\theta(a)=\theta(b)$, where $a, b \in \mathbb{Z}_{12}$. Then we show that $a=b$.

数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|Groups ℤ12 and ⟨𝑔⟩: Operations match up

As in Section 16.1, let $g$ be a group element with ord $(g)=12$. Consider again the function $\theta: \mathbb{Z}{12} \rightarrow\langle g\rangle$ where $\theta(k)=g^k$ for all $k \in \mathbb{Z}{12}$. We saw that $\theta$ is a bijection; i.e., it’s one-to-one and onto. Therefore, $\theta$ allows the elements in $\mathbb{Z}_{12}$ and $\langle g\rangle$ to “match up” with each other.

We also recall from Example $13.16$ that the operations of $\mathbb{Z}{12}$ and $\langle g\rangle$ match up as well. For instance, since $12=0$ in $\mathbb{Z}{12}$ and $g^{12}=\varepsilon$ in $\langle g\rangle$, we have $9+7=4$ in $\mathbb{Z}{12}$, which is just like $g^9 \cdot g^7=g^{9+7}=g^4$ in $\langle g\rangle$. Addition in $\mathbb{Z}{12}$ feels like multiplication in $\langle g\rangle$, and the function $\theta$ can more precisely capture this intuition.

Using the law of exponents (i.e., $g^{a+b}=g^a \cdot g^b$ ), we have
$$
\theta(9+7)=g^{9+7}=g^9 \cdot g^7=\theta(9) \cdot \theta(7),
$$
so that $\theta(9+7)=\theta(9) \cdot \theta(7)$.
Let’s dig deeper into the equation $\theta(9+7)=\theta(9) \cdot \theta(7)$. As shown in the diagram below:

• $\theta(9+7)$ means first add 9 and 7 in $\mathbb{Z}_{12}$ and then apply $\theta$ to the sum.
• $\theta(9) \cdot \theta(7)$ means first apply $\theta$ to each of 9 and 7 and then multiply them in $\langle g\rangle$.

抽象代数代写

数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|Groups

$\mathbb{Z} 12$ and $\langle g\rangle$ : Elements match up
让我们从重温前面的例子开始。回想一下，给定一个组元䋏 $g$ ，循环子群 $\langle g\rangle$ 定义为
〈left 的分隔符缺失或无法识别 ，即g的所有整数帛的集合。
例 $13.16$ 让 $g$ 是具有 ord 的乘㳂群的元隻 $(g)=12$. 根据定理 13.17， $\langle g\rangle$ 由 left 的分隔符缺失或无法识别，，在 哪里 $\varepsilon=g^0$. 因此我们有对应的 $k \leftrightarrow g^k$ 之间 $\mathbb{Z} 12$ 和 $\langle g\rangle$. 而且， $\langle g\rangle$ 表现得像 $\mathbb{Z} 12$; 例如。，
$$
g^9 \cdot g^7=g^{9+7}=g^{16}=g^{12+4}=g^{12} \cdot g^4=\varepsilon \cdot g^4=g^4,
$$
以便 $g^9 \cdot g^7=g^4$ ，就像 $9+7=4$ 在 $\mathbb{Z} 12$. 因此，我们已经说过，这些组 $\mathbb{Z} 12$ 和 $\langle g\rangle$ 本质上是一样的。为了使这种相同性的概念更 加精确，请考虑函数 $\theta: \mathbb{Z} 12 \rightarrow\langle g\rangle$ 在哪里 $\theta(k)=g^k$ 对所有人 $k \in \mathbb{Z} 12$. 例如， $\theta(7)=g^7$.
评论。功能 $\theta$ 关联到每个 $k \in \mathbb{Z}{12}$ 元挈 $g^k \in\langle g\rangle$. 这和信函没什么区别 $k \leftrightarrow g^k$. 但是在这里使用函数语言提供了一个强大的工具, 可以让我们推导和证明本质上相同的群的各种特征。 我们将证明 $\theta$ 是一对一的。为了表明 $\theta$ 是一对一的，我们首先假设 $\theta(a)=\theta(b)$ ，在哪里 $a, b \in \mathbb{Z}{12}$. 然后我们证明 $a=b$. match up

数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|Groups ℤ12 and ⟨𝑔⟩: Operations match up

如第 $16.1$ 节，让 $g$ 是 个带有 ord 的群元拜 $(g)=12$. 再次考虑函数 $\theta: \mathbb{Z} 12 \rightarrow\langle g\rangle$ 在哪里 $\theta(k)=g^k$ 对所有人 $k \in \mathbb{Z} 12$. 我们看 到了 $\theta$ 是双射; 即，它是一对一的。所以， $\theta$ 允许元隻在 $\mathbb{Z}_{12}$ 和 $\langle g\rangle$ 相互“匹配”。
我们还从示例中回忆起 $13.16$ 的操作 $\mathbb{Z} 12$ 和 $\langle g\rangle$ 匹配为好。例如，由于 $12=0$ 在 $\mathbb{Z} 12$ 和 $g^{12}=\varepsilon$ 在 $\langle g\rangle$ ，我们有 $9+7=4$ 在 $\mathbb{Z} 12$ ，就像 $g^9 \cdot g^7=g^{9+7}=g^4$ 在 $\langle g\rangle$. 添加在 $\mathbb{Z} 12$ 感觉像乘法 $\langle g\rangle$ ，和函数 $\theta$ 可以更准确地㭪哫到这种直觉。
使用指数定律 (即， $\left.g^{a+b}=g^a \cdot g^b\right)$ ，我们有
$$
\theta(9+7)=g^{9+7}=g^9 \cdot g^7=\theta(9) \cdot \theta(7),
$$
以便 $\theta(9+7)=\theta(9) \cdot \theta(7)$.
让我们更深入地研究方程 $\theta(9+7)=\theta(9) \cdot \theta(7)$. 如下图所示:

• $\theta(9+7)$ 表示先将 9 和 7 相加 $\mathbb{Z}_{12}$ 然后申请 $\theta$ 到总和。
• $\theta(9) \cdot \theta(7)$ 表示先申请 $\theta$ 到 9 和 7 中的每一个, 然后将它们相乘 $\langle g\rangle$.

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

如果你也在 怎样代写抽象代数Abstract Algebra MATH411这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。抽象代数Abstract Algebra是代数的一组高级课题，涉及抽象代数结构而不是通常的数系。这些结构中最重要的是群、环和场。通用代数是一个相关的学科，它将代数结构的类型作为单一对象进行研究。例如，群的结构是普遍代数中的一个单一对象，它被称为群的变种。

抽象代数Abstract Algebra在代数（数学中一个已经很广泛的部门）中，抽象代数（偶尔也称为现代代数）是对代数结构的研究。代数结构包括群、环、场、模块、向量空间、网格和代数。抽象代数这个术语是在20世纪初创造的，目的是将这一研究领域与代数的旧部分区分开来，更具体地说，是与初等代数，即在计算和推理中使用变量来表示数字。

抽象代数Abstract Algebra代写，免费提交作业要求， 满意后付款，成绩80\%以下全额退款，安全省心无顾虑。专业硕 博写手团队，所有订单可靠准时，保证 100% 原创。 最高质量的抽象代数Abstract Algebra作业代写，服务覆盖北美、欧洲、澳洲等 国家。 在代写价格方面，考虑到同学们的经济条件，在保障代写质量的前提下，我们为客户提供最合理的价格。 由于作业种类很多，同时其中的大部分作业在字数上都没有具体要求，因此抽象代数Abstract Algebra作业代写的价格不固定。通常在专家查看完作业要求之后会给出报价。作业难度和截止日期对价格也有很大的影响。

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数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|Generators of the additive group

Example 13.1. We will find all the generators of $\mathbb{Z}_{12}={0,1,2,3, \ldots, 11}$.

0 is not a generator of $\mathbb{Z}_{12}$, since the sums of 0 ‘s only yield 0 , i.e., $0,0+0,0+0+0$, and so on.

We’ve seen that 1 is a generator of $\mathbb{Z}_{12}$.

2 is not a generator of $\mathbb{Z}_{12}$, since the sums of 2’s only yield $0,2,4,6,8,10$.

3 is not a generator of $\mathbb{Z}_{12}$, since the sums of 3’s only yield $0,3,6,9$.

4 is not a generator of $\mathbb{Z}_{12}$, since the sums of 4 ‘s only yield $0,4,8$.

5 is a generator of $\mathbb{Z}{12}$. Here are the first few sums of 5 ‘s in $\mathbb{Z}{12}$ :
$$
5=5,5+5=10,5+5+5=3,5+5+5+5=8, \ldots
$$
You’ll complete this list in an exercise at the end of the chapter to show that every element of $\mathbb{Z}_{12}$ can be expressed as a sum of 5’s.

6 is not a generator, since the sums of 6 ‘s only yield 0,6 .

7 is a generator of $\mathbb{Z}{12}$. We can verify this by computing the sums of 7 ‘s, but here’s another approach. Observe that $7=-5$ in $\mathbb{Z}{12}$. Thus, if 5 generates all elements of $\mathbb{Z}{12}$, then 7 would generate the negatives of all elements of $\mathbb{Z}{12}$, which is equal to the set $\mathbb{Z}_{12}$ itself.

8 is not a generator of $\mathbb{Z}_{12}$, since the sums of 8 ‘s only yield $0,8,4$.

9 is not a generator of $\mathbb{Z}_{12}$, since the sums of 9’s only yield $0,9,6,3$.

10 is not a generator of $\mathbb{Z}_{12}$, since the sums of 10 ‘s only yield $0,10,8,6,4,2$.

11 is a generator of $\mathbb{Z}{12}$, because $11=-1$ where 1 is a generator. Therefore, the generators of $\mathbb{Z}{12}$ are $1,5,7$, and 11 . Notice how these are precisely the elements of $\mathbb{Z}_{12}$ that are relatively prime to $12 ;$ i.e., $\operatorname{gcd}(1,12)=\operatorname{gcd}(5,12)=\operatorname{gcd}(7,12)=$ $\operatorname{gcd}(11,12)=1$

数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|Generators of the multiplicative group

Example 13.4. Consider the group $U_{13}={1,2,3,4, \ldots, 12}$. Since its operation is multiplication, a generator of $U_{13}$ is an element whose products give all the elements in the group. We claim that 2 is a generator. To verify, we multiply 2 by itself (or compute powers of 2) and obtain all the elements of $U_{13}$ :
$$
\begin{gathered}
2^1=2,2^2=4,2^3=8,2^4=3,2^5=6,2^6=12 \
2^7=11,2^8=9,2^9=5,2^{10}=10,2^{11}=7,2^{12}=1 .
\end{gathered}
$$
We also claim that 7 is a generator of $U_{13}$. We can verify this by computing the powers of 7 , but here’s another approach. Observe that $7=2^{-1}$, i.e., 7 is the multiplicative inverse of 2 , since $2 \cdot 7=1$ modulo 13 . Thus, if 2 generates all elements of $U_{13}$, then 7 would generate the multiplicative inverses of all elements of $U_{13}$, which is equal to the set $U_{13}$ itself.
However, 3 is not a generator of $U_{13}$. Taking powers of 3, we find
$$
3^1=3,3^2=9,3^3=1,3^4=3,3^5=9,3^6=1, \ldots,
$$
so that the powers of 3 only yield $1,3,9$.
Example 13.5. Consider the multiplicative group $U_7={1,2,3,4,5,6}$. We have
$$
3^1=3,3^2=2,3^3=6,3^4=4,3^5=5,3^6=1,
$$
so that 3 is a generator of $U_7$. Note that $5=3^{-1}$, since $3 \cdot 5=1$ modulo 7 . Thus, 5 is also a generator of $U_7$, which you will verify in an exercise at the end of the chapter.

抽象代数代写

数学代写抽象代数代写Abstract Algebra代考|Generators of the additive group

例 13.1。我们将找到所有的生成㗊 $\mathbb{Z}{12}=0,1,2,3, \ldots, 11$. 0 不是 $\mathbb{Z}{12}$ ，因为 0 的总和只产生 0 ，即 $0,0+0,0+0+0$ ，等等。
我们已经看到 1 是 $\mathbb{Z}{12}$. 2 不是生成器 $\mathbb{Z}{12}$ ，因为 2 的唯一收益率之和 $0,2,4,6,8,10$.
3 不是生成器 $\mathbb{Z}{12}$ ，因为 3 的唯一收益率之和 $0,3,6,9$. 4 不是生成器 $\mathbb{Z}{12}$, 因为 4 的总和只产生 $0,4,8$.
5 是 $\$ \backslash \operatorname{mathbb}{\mathrm{z}}{12}$ 的生成器. Herearethe firstfewsumsof51sin $\mid$ mathbb ${z}{12}$ :
$$
5=5,5+5=10,5+5+5=3,5+5+5+5=8, \ldots
$$
You’llcompletethislistinanexerciseattheendofthechaptertoshowthateveryelementof $\backslash$ mathbb ${\mathrm{z}}$ _ ${12} \$$ 可以表示为 5 的总和。
6 不是生成器，因为 6 的总和仅产生 0,6。
7是生成器 $\mathbb{Z} 12$. 我们可以通过计算 7 的总和来验证这一点，但这是另一种方法。请注意 $7=-5$ 在 $\mathbb{Z} 12$. 因此，如果 5 生成 $\mathbb{Z} 12$ ， 那么 7 将生成所有元嫊的负数 $\mathbb{Z} 12$, 等于集合 $\mathbb{Z}{12}$ 本身。 8 不是生成器 $\mathbb{Z}{12}$ ， 因为 8 的总和仅产生 $0,8,4$.
9 不是生成器 $\mathbb{Z}{12}$ ，因为 9 的唯一收益率之和 $0,9,6,3$. 10 不是生成器 $Z{12}$ 因为 10 的总和只有收益率 $0,10,8,6,4,2$.
11 是发电机 $\mathbb{Z} 12$ ，因为 $11=-1$ 其中 1 是生成器。因此，生成器 $\mathbb{Z} 12$ 是 $1,5,7$, 和 11 . 注意这些正是 $\mathbb{Z}{12}$ 相对质数 12 ; $\mathrm{I}$ 。 $\operatorname{gcd}(1,12)=\operatorname{gcd}(5,12)=\operatorname{gcd}(7,12)=\operatorname{gcd}(11,12)=1$

数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|Generators of the multiplicative group

我们声称 2 是 个生成器。为了验证，我们将 2 乘以自身 (或计算 2 的唱) 并获得 $U{13}$ :
$$
2^1=2,2^2=4,2^3=8,2^4=3,2^5=6,2^6=122^7=11,2^8=9,2^9=5,2^{10}=10,2^{11}=7,2^{12}=1 .
$$
我们还声称 7 是 $U_{13}$. 我们可以通过计算 7 的龺来验证这一点，但这是另一种方法。请注意 $7=2^{-1}$ ，即 7 是 2 的乘法逆元，因为 $2 \cdot 7=1$ 模 13 。因此，如果 2 生成 $U_{13}$ ，那么 7 将生成的所有元塐的乘法逆元 $U_{13}$ ，等于焦合 $U_{13}$ 本身。
但是，3 不是 $U_{13}$. 取 3 的㚙，我们发现
$$
3^1=3,3^2=9,3^3=1,3^4=3,3^5=9,3^6=1, \ldots,
$$
所以 3 的幕只产生 $1,3,9$.
例 13.5。考虑乘㳿群 $U_7=1,2,3,4,5,6$. 我们有
$$
3^1=3,3^2=2,3^3=6,3^4=4,3^5=5,3^6=1,
$$
所以 3 是一个生成器 $U_7$. 注意 $5=3^{-1}$ ，自从 $3 \cdot 5=1$ 模 7 。因此， 5 也是 $U_7$ ，您将在本章末尾的练习中验证这一点。

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

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现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。