Category: Algebraic Geometry

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代数几何Algebraic Geometry的基本研究对象是代数品种，它是多项式方程组解的几何表现形式。研究最多的代数品种的例子是：平面代数曲线，包括直线、圆、抛物线、椭圆、双曲线、立方曲线如椭圆曲线，以及四元曲线如勒芒斯和卡西尼椭圆。如果平面上的一个点的坐标满足一个给定的多项式方程，那么它就属于一条代数曲线。基本问题包括研究特殊的兴趣点，如奇异点、拐点和无穷大的点。更高级的问题涉及曲线的拓扑结构和不同方程所给出的曲线之间的关系。

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数学代写|代数几何代写Algebraic Geometry代考|Applications

Unfortunately, computing over algebraically closed fields presents significant technical difficulties. How can a computer represent a general complex number? The Hilbert Nullstellensatz gives us a procedure for deciding whether a polynomial vanishes over the complex points of variety without ever computing over the complex numbers! We just need to check whether the polynomial is contained in the radical of the ideal generated by some defining set of equations. This can be checked over any field containing the coefficients of the polynomials at hand.

We no longer assume that $k$ is algebraically closed. To test whether a polynomial $g \in \sqrt{I}$, where $I=\left\langle f_1, \ldots, f_r\right\rangle$, we use the following criterion.

Proposition7.21 Given an ideal $I=\left\langle f_1, \ldots, f_r\right\rangle \subset k\left[x_1, \ldots, x_n\right], g \in \sqrt{I}$ if and only if $\left\langle f_1, \ldots, f_r, z g-1\right\rangle=k\left[x_1, \ldots, x_n, z\right]$.
Proof The proof of the Hilbert Nullstellensatz gives that
$1 \in\left\langle f_1, \ldots, f_r, z g-1\right\rangle \Rightarrow g^N \in I$ for some $N$.

Conversely, if $g^N=f_1 h_1+\cdots+f_r h_r$ then $z^N g^N=f_1\left(h_1 z^N\right)+\cdots+f_r\left(h_r z^N\right)$ and
$$
1=f_1\left(h_1 z^N\right)+\cdots+f_r\left(h_r z^N\right)+\left(1-z^N g^N\right) .
$$
Since $\left(1-z^N g^N\right)=(1-z g)\left(1+z g+\cdots+z^{N-1} g^{N-1}\right)$, we conclude $1 \in\left\langle f_1, \ldots\right.$, $\left.f_r, z g-1\right\rangle$.

数学代写|代数几何代写Algebraic Geometry代考|Dimension

Definition 7.26 Let $V \subset \mathbb{A}^n(k)$ be an irreducible affine variety. The dimension $\operatorname{dim} V$ is defined as the transcendence degree of $k(V)$ over $k$.

We outline an effective procedure to compute the dimension of a variety. Let $I \subset k\left[x_1, \ldots, x_n\right]$ be a prime ideal, $F$ the quotient field of $k\left[x_1, \ldots, x_n\right] / I$, and $d$ the transcendence degree of $F$ over $k$.
By Proposition $7.15$, there exist indices
$$
1 \leq i_1<i_2<\ldots<i_d \leq n
$$
such that $x_{i_1}, \ldots, x_{i_d}$ form a trascendence basis of $F$ over $k$. Indeed, any maximal algebraically independent subset will do. We therefore focus on determining whether a subset of the variables is algebraically independent. For notational simplicity, we take the first few variables.

Proposition 7.27 The elements $x_1, \ldots, x_e \in F$ are algebraically independent over $k$ if and only if $I \cap k\left[x_1, \ldots, x_e\right]=0$.

The intersection can be effectively computed using the Elimination Theorem (Theorem 4.8)

Proof If $x_1, \ldots, x_e$ are algebraically dependent then there exists a nonzero polynomial $f \in k\left[t_1, \ldots, t_e\right]$ such that $f\left(x_1, \ldots, x_e\right) \equiv 0(\bmod I)$. This gives a nontrivial element of $I \cap k\left[x_1, \ldots, x_e\right]$. Conversely, each such element gives an algebraic dependence relation among $x_1, \ldots, x_e$.

代数几何代写

数学代写|代数几何代写Algebraic Geometry代考|Applications

不幸的是，对代数封闭域的计算存在重大的技术囷难。计算机如何表示一般的复数? Hilbert Nullstellensatz 为我们提供了一个 过程，用于确定多项式是否在变化的复点上消失，而无需计算复数! 我们只需要检龺多项式是否包含在由一些定义的方程组生成的 理想的根中。这可以在包含手头茤项式系数的任何字段上进行检龺。
我们不再假设 $k$ 是代数封闭的。检验多项式是否 $g \in \sqrt{I}$ ，在哪里 $I=\left\langle f_1, \ldots, f_r\right\rangle$ ，我们使用以下标准。
命题 $7.21$ 给定一个理想 $I=\left\langle f_1, \ldots, f_r\right\rangle \subset k\left[x_1, \ldots, x_n\right], g \in \sqrt{I}$ 当且仅当 $\left\langle f_1, \ldots, f_r, z g-1\right\rangle=k\left[x_1, \ldots, x_n, z\right]$. 证明 Hilbert Nullstellensatz 的证明给出了
$1 \in\left\langle f_1, \ldots, f_r, z g-1\right\rangle \Rightarrow g^N \in I$ 对于一些 $N$.
相反，如果 $g^N=f_1 h_1+\cdots+f_r h_r$ 然后 $z^N g^N=f_1\left(h_1 z^N\right)+\cdots+f_r\left(h_r z^N\right)$ 和
$$
1=f_1\left(h_1 z^N\right)+\cdots+f_r\left(h_r z^N\right)+\left(1-z^N g^N\right) .
$$
自从 $\left(1-z^N g^N\right)=(1-z g)\left(1+z g+\cdots+z^{N-1} g^{N-1}\right)$, 我们得出結论 $1 \in\left\langle f_1, \ldots, f_r, z g-1\right\rangle$.

数学代写|代数几何代写Algebraic Geometry代考|Dimension

定义 $7.26$ 让 $V \subset \mathbb{A}^n(k)$ 是不可约的仿射笶。维度dim $V$ 被定义为超越度 $k(V)$ 超过 $k$.
我们概述了一个有效的程序来计算多样性的维度。让 $I \subset k\left[x_1, \ldots, x_n\right]$ 成为一个主要的理想， $F$ 的商域 $k\left[x_1, \ldots, x_n\right] / I$ ，和 $d$ 的超越度 $F$ 超过 $k$.
通过是议 $7.15$, 存在指数
$$
1 \leq i_1<i_2<\ldots<i_d \leq n
$$
这样 $x_{i 1}, \ldots, x_{i d}$ 形成超越甚础 $F$ 超过 $k$. 事实上，任何最大的代数独立子集都阿以。因此，我们专注于确定变量的子集是否是代数 独立的。为了符号简单起见，我们采用前几个变量。
提案 $7.27$ 要䋤 $x_1, \ldots, x_e \in F$ 在代数上是独立的 $k$ 当且仅当 $I \cap k\left[x_1, \ldots, x_e\right]=0$.
可以使用消除定理（定理 4.8）有效地计算交集
证明如果 $x_1, \ldots, x_e$ 是代数相关的，那么存在一个非零多项式 $f \in k\left[t_1, \ldots, t_e\right]$ 这样 $f\left(x_1, \ldots, x_e\right) \equiv 0(\bmod I)$. 这给出了一

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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代数几何Algebraic Geometry的基本研究对象是代数品种，它是多项式方程组解的几何表现形式。研究最多的代数品种的例子是：平面代数曲线，包括直线、圆、抛物线、椭圆、双曲线、立方曲线如椭圆曲线，以及四元曲线如勒芒斯和卡西尼椭圆。如果平面上的一个点的坐标满足一个给定的多项式方程，那么它就属于一条代数曲线。基本问题包括研究特殊的兴趣点，如奇异点、拐点和无穷大的点。更高级的问题涉及曲线的拓扑结构和不同方程所给出的曲线之间的关系。

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•最快12小时交付 

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数学代写|代数几何代写Algebraic Geometry代考|Closed sets and the Zariski topology

Definition 3.18 The algebro-geometric closure of a subset $S \subset \mathbb{A}^n(k)$ is defined
$$
\bar{S}=\left{a \in \mathbb{A}^n(k): f(a)=0 \quad \text { for each } f \in I(S)\right}=V(I(S)) .
$$
A subset $S \subset \mathbb{A}^n(k)$ is closed if $S=\bar{S} ; U \subset \mathbb{A}^n(k)$ is open if its complement $\mathbb{A}^n(k) \backslash U$ is closed in $\mathbb{A}^n(k)$.
Example 3.19

1. The closure of $\mathbb{N} \subset \mathbb{A}^1(\mathbb{C})$ is the complex line $\mathbb{A}^1(\mathbb{C})$.
2. The closure of $\left{(x, y): x^2+y^2=1, x \neq 0\right} \subset \mathbb{A}^2(\mathbb{R})$ is the circle $\left{(x, y): x^2+\right.$ $\left.y^2=1\right}$.
3. The open subsets of $\mathbb{A}^1(\mathbb{C})$ are the empty set and $U \subset \mathbb{C}$ with finite complement, e.g., $U=\mathbb{C} \backslash\left{a_1, \ldots, a_d\right}$.

You may remember open and closed sets from calculus, e.g., $U \subset \mathbb{R}^n$ is open if, for each $x \in U$, a sufficiently small ball centered at $x$ is contained in $U$. There is a very general definition underlying both usages:

Definition 3.20 A topological space consists of a set $X$ and a collection of subsets $\mathcal{Z}={Z \subset X}$ called the closed subsets of $X$, satisfying the following:

• $\emptyset, X \in \mathcal{Z}$;
• if $Z_1, Z_2 \in \mathcal{Z}$ then $Z_1 \cup Z_2 \in \mathcal{Z}$;
• if $\left{Z_j\right}_{j \in J} \subset \mathcal{Z}$ then $\cap_{j \in J} Z_j \in \mathcal{Z}$.
  A subset $U \subset X$ is open if its complement $X \backslash U$ is closed.

数学代写|代数几何代写Algebraic Geometry代考|Coordinate rings and morphisms

We elaborate on algebraic aspects of morphisms of affine space.
Definition 3.23 Choose coordinates $x_1, \ldots, x_n$ and $y_1, \ldots, y_m$ on $\mathbb{A}^n(k)$ and $\mathbb{A}^m(k)$. Let $\phi: \mathbb{A}^n(k) \rightarrow \mathbb{A}^m(k)$ be a morphism given by the rule
$$
\phi\left(x_1, \ldots, x_n\right)=\left(\phi_1\left(x_1, \ldots, x_n\right), \ldots, \phi_m\left(x_1, \ldots, x_n\right)\right), \quad \phi_j \in k\left[x_1, \ldots, x_n\right] .
$$

For each $f \in k\left[y_1, \ldots, y_m\right]$, the pull-back by $\phi$ is defined
$$
\phi^* f=f \circ \phi=f\left(\phi_1\left(x_1, \ldots, x_n\right), \ldots, \phi_m\left(x_1, \ldots, x_n\right)\right) .
$$
We obtain a ring homomorphism
$$
\begin{aligned}
\phi^: k\left[y_1, \ldots, y_m\right] & \rightarrow k\left[x_1, \ldots, x_n\right] \ y_j & \mapsto \phi_j\left(x_1, \ldots, x_n\right), \end{aligned} $$ with the property that $\phi^(c)=c$ for each constant $c \in k$, i.e., pull-back is a $k$-algebra homomorphism.
Conversely, any $k$-algebra homomorphism
$$
\psi: k\left[y_1, \ldots, y_m\right] \rightarrow k\left[x_1, \ldots, x_n\right]
$$
is determined by its values on the generators. Writing $\psi_j\left(x_1, \ldots, x_n\right)=\psi\left(y_j\right)$, we obtain a morphism
$$
\begin{aligned}
\mathbb{A}^n(k) & \rightarrow \mathbb{A}^m(k) \
\left(x_1, \ldots, x_n\right) & \mapsto\left(\psi_1\left(x_1, \ldots, x_n\right), \ldots, \psi_m\left(x_1, \ldots, x_n\right)\right)
\end{aligned}
$$

代数几何代写

数学代写|代数几何代写Algebraic Geometry代考|Closed sets and the Zariski topology

定义 $3.18$ 子焦的代数几何闭包 $S \subset \mathbb{A}^n(k)$ 被定义为
〈left 的分隔符缺失或无法识别
一个子集 $S \subset \mathbb{A}^n(k)$ 关闭，如果 $S=\bar{S} ; U \subset \mathbb{A}^n(k)$ 如果㝏的补码是开放的 $\mathbb{A}^n(k) \backslash U$ 封闭在 $\mathbb{A}^n(k)$.
示例 $3.19$

1. 的关闭 $\mathbb{N} \subset \mathbb{A}^1(\mathbb{C})$ 是复线 $\mathbb{A}^1(\mathbb{C})$.
2. 的关闭〈left 的分隔符玦失或无法识别 是圆〈left 的分隔符缺失或无法识别
3. 的开放子集 $\mathbb{A}^1(\mathbb{C})$ 是空集和 $U \subset \mathbb{C}$ 用有限补码，例如，〈left 的分隔符缺失或无法识别
   您可能还记得溦积分中的开集和闭集，例如， $U \subset \mathbb{R}^n$ 是开放的，如果，对于每个 $x \in U$ ，一个足够小的球，以 $x$ 包含在 $U$. 两种 用法都有一个非常䇥䡌的定义:
   定义 $3.20$ 一个拓扑空间由一个集合组成 $X$ 和子焦的焦合 $\mathcal{Z}=Z \subset X$ 称为闭子集 $X$ ，满足以下条件:

$\emptyset, X \in \mathcal{Z}$;

如果 $Z_1, Z_2 \in Z$ 然后 $Z_1 \cup Z_2 \in Z$;

如果 \left 的分隔符缺失或无法识别 $\quad$ 然后 $\cap_{j \in J} Z_j \in Z$.
$一$ 个子集 $U \subset X$ 如果它的补码是开放的 $X \backslash U$ 已经关了。

数学代写|代数几何代写Algebraic Geometry代考|Coordinate rings and morphisms

我们详细囟述了仿射空间态射的代数方面。
定义 $3.23$ 选绎坐标 $x_1, \ldots, x_n$ 和 $y_1, \ldots, y_m$ 上 $\mathbb{A}^n(k)$ 和 $\mathbb{A}^m(k)$. 让 $\phi: \mathbb{A}^n(k) \rightarrow \mathbb{A}^m(k)$ 是由规则给出的态射
$$
\phi\left(x_1, \ldots, x_n\right)=\left(\phi_1\left(x_1, \ldots, x_n\right), \ldots, \phi_m\left(x_1, \ldots, x_n\right)\right), \quad \phi_j \in k\left[x_1, \ldots, x_n\right] .
$$
对于每个 $f \in k\left[y_1, \ldots, y_m\right]$, 回调由 $\phi$ 被定义为
$$
\phi^* f=f \circ \phi=f\left(\phi_1\left(x_1, \ldots, x_n\right), \ldots, \phi_m\left(x_1, \ldots, x_n\right)\right) .
$$
我们得到一个环同态
$$
\phi: k\left[y_1, \ldots, y_m\right] \rightarrow k\left[x_1, \ldots, x_n\right] y_j \quad \mapsto \phi_j\left(x_1, \ldots, x_n\right),
$$
与财产 $\phi(c)=c$ 对于每个㸓数 $c \in k$ ，即回调是一个 $k$-代数同态。 相反，任何 $k$-代数同态
$$
\psi: k\left[y_1, \ldots, y_m\right] \rightarrow k\left[x_1, \ldots, x_n\right]
$$
由它在生成器上的值抉定。写作 $\psi_j\left(x_1, \ldots, x_n\right)=\psi\left(y_j\right)$, 我们得到一个态射
$$
\mathbb{A}^n(k) \rightarrow \mathbb{A}^m(k)\left(x_1, \ldots, x_n\right) \quad \mapsto\left(\psi_1\left(x_1, \ldots, x_n\right), \ldots, \psi_m\left(x_1, \ldots, x_n\right)\right)
$$

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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代数几何Algebraic Geometry的基本研究对象是代数品种，它是多项式方程组解的几何表现形式。研究最多的代数品种的例子是：平面代数曲线，包括直线、圆、抛物线、椭圆、双曲线、立方曲线如椭圆曲线，以及四元曲线如勒芒斯和卡西尼椭圆。如果平面上的一个点的坐标满足一个给定的多项式方程，那么它就属于一条代数曲线。基本问题包括研究特殊的兴趣点，如奇异点、拐点和无穷大的点。更高级的问题涉及曲线的拓扑结构和不同方程所给出的曲线之间的关系。

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数学代写|代数几何代写Algebraic Geometry代考|Gro¨bner bases and the division algorithm

Algorithm $2.7$ (Division procedure) $\quad$ Fix a monomial order $>$ on $k\left[x_1, \ldots, x_n\right]$ and nonzero polynomials $f_1, \ldots, f_r \in k\left[x_1, \ldots, x_n\right]$. Given $g \in k\left[x_1, \ldots, x_n\right]$, we want to determine whether $g \in\left\langle f_1, \ldots, f_r\right\rangle$ :
Step o Put $g_0=g$. If there exists no $f_j$ with $\operatorname{LM}\left(f_j\right) \mid L M\left(g_0\right)$ then we STOP. Otherwise, pick such an $f_{j_0}$ and cancel leading terms by putting
$$
g_1=g_0-f_{j_0} \mathrm{LT}\left(g_0\right) / \mathrm{LT}\left(f_{j_0}\right) .
$$
Step i Given $g_i$, if there exists no $f_j$ with $\operatorname{LM}\left(f_j\right) \mid \mathrm{LM}\left(g_i\right)$ then we STOP. Otherwise, pick such an $f_{j_i}$ and cancel leading terms by putting
$$
g_{i+1}=g_i-f_{j_i} \operatorname{LT}\left(g_i\right) / \operatorname{LT}\left(f_{j_i}\right) .
$$
As we are cancelling leading terms at each stage, we have
$$
\mathrm{LM}(g)=\mathrm{LM}\left(g_0\right)>\mathrm{LM}\left(g_1\right)>\ldots>\operatorname{LM}\left(g_i\right)>\mathrm{LM}\left(g_{i+1}\right)>\ldots
$$

By the well-ordering property of the monomial order, such a chain of decreasing monomials must eventually terminate. If this procedure does not stop, then we must have $g_N=0$ for some $N$. Back-substituting using Equation 2.1, we obtain
$$
g=\sum_{i=0}^{N-1} f_{j_i} \operatorname{LT}\left(g_i\right) / \operatorname{LT}\left(f_{j_i}\right)=\sum_{j=1}^r\left(\sum_{j_i=j} \operatorname{LT}\left(g_i\right) / \operatorname{LT}\left(f_{j_i}\right)\right) f_j=\sum_{j=1}^r h_j f_j,
$$
where the last sum is obtained by regrouping terms.
Unfortunately, this procedure often stops prematurely. Even when $g \in$ $\left\langle f_1, \ldots, f_r\right\rangle$, it may happen that $\mathrm{LM}(g)$ is not divisible by any $\operatorname{LM}\left(f_j\right)$.

数学代写|代数几何代写Algebraic Geometry代考|Normal forms

Theorem 2.16 Fix a monomial order $>$ on $k\left[x_1, \ldots, x_n\right]$ and an ideal $I \subset$ $k\left[x_1, \ldots, x_n\right]$. Then each $g \in k\left[x_1, \ldots, x_n\right]$ has a unique expression
$$
g \equiv \sum_{x^\alpha \notin \operatorname{LT}(I)} c_\alpha x^\alpha(\bmod I),
$$
where $c_\alpha \in k$ and all but a finite number are zero. The expression $\sum_\alpha c_\alpha x^\alpha$ is called the normal form of $g$ modulo $I$.

Equivalently, the monomials $\left{x^\alpha: x^\alpha \notin \operatorname{LT}(I)\right}$ form a $k$-vector-space basis for the quotient $k\left[x_1, \ldots, x_n\right] / I$.

Corollary 2.17 Fix a monomial order $>$ on $k\left[x_1, \ldots, x_n\right]$, an ideal $I \subset$ $k\left[x_1, \ldots, x_n\right]$, and Gröbner basis $f_1, \ldots, f_r$ for I. Then each $g \in k\left[x_1, \ldots, x_n\right]$ has a unique expression
$$
g \equiv \sum c_\alpha x^\alpha \quad(\bmod I),
$$
where $\mathrm{LM}\left(f_j\right)$ does not divide $x^\alpha$ for any $j$ or $\alpha$.
Proof of theorem: We first establish existence: the proof is essentially an induction on $\operatorname{LM}(g)$. Suppose the result is false, and consider the nonempty set
${\mathrm{LM}(g): g$ does not admit a normal form $}$
One of the defining properties of monomial orders guarantees that this set has a least element $x^\beta$; choose $g$ such that $\operatorname{LT}(g)=x^\beta$.

代数几何代写

数学代写|代数几何代写Algebraic Geometry代考|Gro”bner bases and the division algorithm

算法 $2.7$ (划分程序) 修资单项式订单 $>$ 上 $k\left[x_1, \ldots, x_n\right]$ 和非雩多项式 $f_1, \ldots, f_r \in k\left[x_1, \ldots, x_n\right]$. 给定 $g \in k\left[x_1, \ldots, x_n\right]$ ，我们想确定是否 $g \in\left\langle f_1, \ldots, f_r\right\rangle$ :
步骙○ 放 $g_0=g$. 如果不存在 $f_j$ 和 $\mathrm{LM}\left(f_j\right) \mid L M\left(g_0\right)$ 然后我们停止。否则，选择这样一个 $f_{j_0}$ 并通过放置取消主要术语
$$
g_1=g_0-f_{j_0} \mathrm{LT}\left(g_0\right) / \mathrm{LT}\left(f_{j_0}\right) .
$$
步骤 i 给出 $g_i$ ，如果不存在 $f_j$ 和 $\mathrm{LM}\left(f_j\right) \mid \mathrm{LM}\left(g_i\right)$ 然后我们停止。否则，选译这样一个 $f_{j_i}$ 并通过放置取消主要术语
$$
g_{i+1}=g_i-f_{j_i} \mathrm{LT}\left(g_i\right) / \operatorname{LT}\left(f_{j_i}\right) .
$$
由于我们在每个阶段都取消了主要术语，因此我们有
$$
\operatorname{LM}(g)=\operatorname{LM}\left(g_0\right)>\operatorname{LM}\left(g_1\right)>\ldots>\operatorname{LM}\left(g_i\right)>\operatorname{LM}\left(g_{i+1}\right)>\ldots
$$
由于单项式的有序性，这样的单项式递咸链最终必须终止。如果这个过程没有停止，那 残们必须有 $g_N=0$ 对于一些 $N$. 使用等 式 $2.1$ 进行反向代入，我们得到
$$
g=\sum_{i=0}^{N-1} f_{j_i} \mathrm{LT}\left(g_i\right) / \mathrm{LT}\left(f_{j_i}\right)=\sum_{j=1}^r\left(\sum_{j_i=j} \mathrm{LT}\left(g_i\right) / \mathrm{LT}\left(f_{j_i}\right)\right) f_j=\sum_{j=1}^r h_j f_j
$$
其中最后一个总和是通过重新组合项获得的。
不辛的是，这个过程刭常过早停止。即使当 $g \in\left\langle f_1, \ldots, f_r\right\rangle$, 可能会发生 $\mathrm{LM}(g)$ 不能被任何整除 $\mathrm{LM}\left(f_j\right)$.

数学代写|代数几何代写Algebraic Geometry代考|Normal forms

定理 $2.16$ 修正一个爫项阶 $>k\left[x_1, \ldots, x_n\right]$ 和一个理想 $I \subset k\left[x_1, \ldots, x_n\right]$. 那 每个 $g \in k\left[x_1, \ldots, x_n\right]$ 有独特的表达方式
$$
g \equiv \sum_{x^\alpha \nless \operatorname{LT}(I)} c_\alpha x^\alpha(\bmod I)
$$
在哪里 $c_\alpha \in k$ 除了有限的数字之外，所有的都是零。表达方式 $\sum_\alpha c_\alpha x^{\alpha_{\text {被称为范式 }} g \text { 模块 }} I$.
等效地，単项式 left 的分隔符缺失或无法识别 $\quad$ 形成一个 $k$-商的向量空间其础 $k\left[x_1, \ldots, x_n\right] / I$.
推论 $2.17$ 修正单项式订单 $>$ 上 $k\left[x_1, \ldots, x_n\right]$,一个理想 $I \subset k\left[x_1, \ldots, x_n\right]$ ，和 Gröbner 其础 $f_1, \ldots, f_r$ 对于我。然后每个 $g \in k\left[x_1, \ldots, x_n\right]$ 有独特的表达方式
$$
g \equiv \sum c_\alpha x^\alpha \quad(\bmod I)
$$
在哪里LM $\left(f_j\right)$ 不分 $x^\alpha$ 对于任何 $j$ 或者 $\alpha$.
定理证明: 我们首先建立存在性：证明本质上是对 $\mathrm{LM}(g)$. 假设结果为假，并考虑非空集
$\mathrm{LM}(g): g \$$ doesnotadmitanormal form $\$$
单项式的定义属性之一保证该集合具有最小元筙 $x^\beta$; 选择 $g$ 这样 $\mathrm{LT}(g)=x^\beta$.

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。