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## 数学代写|代数数论代写Algebraic Number Theory代考|The ABC Conjecture

Exercise 1.3.1 Assuming the $A B C$ Conjecture, show that if $x y z \neq 0$ and $x^n+$ $y^n=z^n$ for three mutually coprime integers $x, y$, and $z$, then $n$ is bounded.
Solution. First observe that $\max (|x|,|y|,|z|)>1$ for otherwise we have $x y z=0$. By the $A B C$ Conjecture, we have
$$\max \left(|x|^n,|y|^n,|z|^n\right) \leq \kappa(\varepsilon)(\operatorname{rad}(x y z))^{1+\varepsilon} .$$
Without any loss of generality, suppose that $\max (|x|,|y|,|z|)=|z|$. We deduce that $|z|^n \leq \kappa(\varepsilon)|z|^{3+3 \varepsilon}$. Since $|z|>1$, we conclude that $n$ is bounded.
Exercise 1.3.2 Let $p$ be an odd prime. Suppose that $2^n \equiv 1(\bmod p)$ and $2^n \not \equiv 1\left(\bmod p^2\right)$. Show that $2^d \not \equiv 1\left(\bmod p^2\right)$ where $d$ is the order of $2(\bmod p)$.

Solution. Since $2^n \equiv 1(\bmod p)$, we must have $d \mid n$. Write $n=$ de. If $2^d=1+k p$ and $p \mid k$, then
\begin{aligned} 2^n=2^{\text {de }} & =(1+k p)^e \ & \equiv 1+k p e \quad\left(\bmod p^2\right) \ & \equiv 1 \quad\left(\bmod p^2\right) \end{aligned}
a contradiction. This proves the result.

## 数学代写|代数数论代写Algebraic Number Theory代考|Supplementary Problems

Exercise 1.4.1 Show that every proper ideal of $\mathbb{Z}$ is of the form $n \mathbb{Z}$ for some integer $n$.

Solution. Suppose there is an ideal $I$ for which this is not true. Then show that there exist elements $a, b \in I$ such that $\operatorname{gcd}(a, b)=1$.

Exercise 1.4.2 An ideal $I$ is called prime if $a b \in I$ implies $a \in I$ or $b \in I$. Prove that every prime ideal of $\mathbb{Z}$ is of the form $p \mathbb{Z}$ for some prime integer $p$.

Solution. If $I$ is an ideal, then it is of the form $n \mathbb{Z}$ for some integer $n$ by the previous question. Then $a b \in I$ implies that $n \mid a b$. But then since $I$ is prime, either $a \in I$ or $b \in I$, so $n \mid a$ or $n \mid b$, implying that $n$ is prime.
Exercise 1.4.3 Prove that if the number of prime Fermat numbers is finite, then the number of primes of the form $2^n+1$ is finite.

Solution. Consider primes of the form $2^n+1$. If $n$ has an odd factor, say $n=r s$ with $r$ odd, then $2^{r s}+1$ is divisible by $2^s+1$, and is therefore not prime.

Exercise 1.4.4 If $n>1$ and $a^n-1$ is prime, prove that $a=2$ and $n$ is prime.
Solution. If $a>2$, then $a^n-1$ is divisible by $a-1$. So assume $a=2$. Then if $n$ has a factor, say $k$, then $2^k-1 \mid 2^n-1$. Therefore if $a^n-1$ is prime, $a=2$ and $n$ is prime. Numbers of this form are called Mersenne numbers.

## 数学代写|代数数论代写Algebraic Number Theory代考|The ABC Conjecture

$$\max \left(|x|^n,|y|^n,|z|^n\right) \leq \kappa(\varepsilon)(\operatorname{rad}(x y z))^{1+\varepsilon} .$$

$$2^n=2^{\mathrm{de}}=(1+k p)^e \quad \equiv 1+k p e \quad\left(\bmod p^2\right) \equiv 1 \quad\left(\bmod p^2\right)$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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## 数学代写|代数数论代写Algebraic Number Theory代考|Dirichlet’s L-Functions

Let $m$ be a natural number and $\chi$ a Dirichlet character $\bmod m$. That is, $\chi$ is a homomorphism
$$\chi:(\mathbb{Z} / m \mathbb{Z})^* \rightarrow \mathbb{C}^* .$$
We extend the definition of $\chi$ to all natural numbers by setting
$$\chi(a)= \begin{cases}\chi(a \bmod m) & \text { if }(a, m)=1, \ 0 & \text { otherwise }\end{cases}$$
Now define the Dirichlet $L$-function:
$$L(s, \chi)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\chi(n)}{n^s} .$$
Exercise 10.3.1 Show that $L(s, \chi)$ converges absolutely for $\operatorname{Re}(s)>1$.
Exercise 10.3.2 Prove that
$$\left|\sum_{n \leq x} \chi(n)\right| \leq m .$$
Exercise 10.3.3 If $\chi$ is nontrivial, show that $L(s, \chi)$ extends to an analytic function for $\operatorname{Re}(s)>0$.
Exercise 10.3.4 For $\operatorname{Re}(s)>1$, show that
$$L(s, \chi)=\prod_p\left(1-\frac{\chi(p)}{p^s}\right)^{-1}$$

## 数学代写|代数数论代写Algebraic Number Theory代考|Primes in Arithmetic Progressions

In this section we will establish the infinitude of primes $p \equiv a(\bmod m)$ for any $a$ coprime to $m$.

Lemma 10.4.1 Let $\left{a_n\right}$ be a sequence of nonnegative numbers. There exists a $\sigma_0 \in \mathbb{R}$ (possibly infinite) such that
$$f(s)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n^s}$$
converges for $\sigma>\sigma_0$ and diverges for $\sigma<\sigma_0$. Moreover, if $s \in \mathbb{C}$, with $\operatorname{Re}(s)>\sigma_0$, then the series converges uniformly in $\operatorname{Re}(s) \geq \sigma_0+\delta$ for any $\delta>0$ and
$$f^{(k)}(s)=(-1)^k \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n(\log n)^k}{n^s}$$
for $\operatorname{Re}(s)>\sigma_0$. ( $\sigma_0$ is called the abscissa of convergence of the (Dirichlet) series $\sum_{n=1}^{\infty} a_n n^{-s}$.)

## 数学代写|代数数论代写Algebraic Number Theory代考|Dirichlet’s L-Functions

$$\chi:(\mathbb{Z} / m \mathbb{Z})^* \rightarrow \mathbb{C}^* .$$

$$\chi(a)={\chi(a \bmod m) \quad \text { if }(a, m)=1,0 \quad \text { otherwise }$$

$$L(s, \chi)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\chi(n)}{n^s} .$$

$$\left|\sum_{n \leq x} \chi(n)\right| \leq m .$$

$$L(s, \chi)=\prod_p\left(1-\frac{\chi(p)}{p^s}\right)^{-1}$$

## 数学代写|代数数论代写Algebraic Number Theory代考|Primes in Arithmetic Progressions

$$f(s)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n^s}$$

$$f^{(k)}(s)=(-1)^k \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n(\log n)^k}{n^s}$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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## 数学代写|代数数论代写Algebraic Number Theory代考|Primes in Special Progressions

Another interesting application of quadratic reciprocity is that it can be used to show there exist infinitely many primes in certain arithmetic progressions. In the next two exercises, we imitate Euclid’s proof for the existence of an infinite number of primes to show that there are infinitely many primes in the following two arithmetic progressions, $4 k+1$ and $8 k+7$.
Exercise 7.5.1 Show that there are infinitely many primes of the form $4 k+1$.
Exercise 7.5.2 Show that there are infinitely many primes of the form $8 k+7$.
The results we have just derived are just a special case of a theorem proved by Dirichlet. Dirichlet proved that if $l$ and $k$ are coprime integers, then there must exist an infinite number of primes $p$ such that $p \equiv l$ $(\bmod k)$. What is interesting about these two exercises, however, is the fact that we used a proof similar to Euclid’s proof for the existence of an infinite number of primes. An obvious question to ask is whether questions about all arithmetic progressions can be solved in a similar fashion.

The answer, sadly, is no. However, not all is lost. It can be shown that if $l^2 \equiv 1(\bmod k)$, then we can apply a Euclid-type proof to show there exist an infinite number of primes $p$ such that $p \equiv l(\bmod k)$. (See Schur [S]. For instance, Exercises 1.2.6 and 5.6.10 give Euclid-type proofs for $p \equiv 1$ $(\bmod k)$ using cyclotomic polynomials.) Surprisingly, the converse of this statement is true as well. The proof is not difficult, but involves some Galois Theory. It is due to Murty $[\mathrm{Mu}]$.
We can restate our two previous exercises as follows:
(1) Are there infinitely many primes $p$ such that $p \equiv 1(\bmod 4)$ ?
(2) $p \equiv 7(\bmod 8)$ ?
From what we have just discussed, we observe that we can indeed apply a Euclid-type proof since $1^2 \equiv 1(\bmod 4)$ and $7^2 \equiv 1(\bmod 8)$.

## 数学代写|代数数论代写Algebraic Number Theory代考|Dirichlet’s Unit Theorem

Let $K$ be a number field and $\mathcal{O}_K$ its ring of integers. An element $\alpha \in \mathcal{O}_K$ is called a unit if $\exists \beta \in \mathcal{O}_K$ such that $\alpha \beta=1$. Evidently, the set of all units in $\mathcal{O}_K$ forms a multiplicative subgroup of $K^*$, which we will call the unit group of $K$.

In this chapter, we will prove the following fundamental theorem, which gives an almost complete description of the structure of the unit group of $K$, for any number field $K$.

Theorem (Dirichlet’s Unit Theorem) Let $U_K$ be the unit group of $K$. Let $n=[K: \mathbb{Q}]$ and write $n=r_1+2 r_2$, where, as usual, $r_1$ and $2 r_2$ are, respectively, the number of real and nonreal embeddings of $K$ in $\mathbb{C}$. Then there exist fundamental units $\varepsilon_1, \ldots, \varepsilon_r$, where $r=r_1+r_2-1$, such that every unit $\varepsilon \in U_K$ can be written uniquely in the form
$$\varepsilon=\zeta \varepsilon_1^{n_1} \cdots \varepsilon_r^{n_r},$$
where $n_1, \ldots, n_r \in \mathbb{Z}$ and $\zeta$ is a root of unity in $\mathcal{O}_K$. More precisely, if $W_K$ is the subgroup of $U_K$ consisting of roots of unity, then $W_K$ is finite and cyclic and $U_K \simeq W_K \times \mathbb{Z}^r$.

## 数学代写|代数数论代写Algebraic Number Theory代考|Primes in Special Progressions

(1) 是否存在无穷多个溸数 $p$ 这样 $p \equiv 1(\bmod 4)$ ?
(2) $p \equiv 7(\bmod 8)$ ?

## 数学代写|代数数论代写Algebraic Number Theory代考|Dirichlet’s Unit Theorem

$$\varepsilon=\zeta \varepsilon_1^{n_1} \cdots \varepsilon_r^{n_r},$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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## 数学代写|代数数论代写Algebraic Number Theory代考|Diophantine Equations

In this section, we look at the equation
$$x^2+k=y^3,$$

which was first introduced by Bachet in 1621 , and has played a fundamental role in the development of number theory. When $k=2$, the only integral solutions to this equation are given by $y=3$ (see Exercise 2.4.3); and this result is due to Fermat. It is known that the equation has no integral solution for many different values of $k$. There are various methods for discussing integral solutions of equation (6.2). We shall present, here, the one that uses applications of the quadratic field $\mathbb{Q}(\sqrt{-k})$, and the concept of ideal class group. This method is usually referred to as Minkowski’s method. We start with a simple case, when $k=5$.

Example 6.3.1 Show that the equation $x^2+5=y^3$ has no integral solution.

Solution. Observe that if $y$ is even, then $x$ is odd, and $x^2+5 \equiv 0(\bmod 4)$, and hence $x^2 \equiv 3(\bmod 4)$, which is a contradiction. Therefore, $y$ is odd. Also, if a prime $p \mid(x, y)$, then $p \mid 5$, so $p=5$; and hence, by dividing both sides of the equation by 5 , we end up with $1 \equiv 0(\bmod 5)$, which is absurd. Thus, $x$ and $y$ are coprime.

Suppose now that $(x, y)$ is an integral solution to the given equation. We consider the factorization
$$(x+\sqrt{-5})(x-\sqrt{-5})=y^3,$$
in the ring of integers $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$.

## 数学代写|代数数论代写Algebraic Number Theory代考|Exponents of Ideal Class Groups

The study of class groups of quadratic fields is a fascinating one with many conjectures and few results. For instance, it was proved in 1966 by H. Stark and A. Baker (independently) that there are exactly nine imaginary quadratic fields of class number one. They are $\mathbb{Q}(\sqrt{-d})$ with $d=1,2,3,7,11,19,43,67,163$.

By combining Dirichlet’s class number formula (see Chapter 10, Exercise 10.5.12) with analytic results due to Siegel, one can show that the class number of $\mathbb{Q}(\sqrt{-\bar{d}})$ grows like $\sqrt{d}$. More precisely, if $h(-d)$ denotes the class number,
$$\log h(-d) \sim \frac{1}{2} \log d$$
as $d \rightarrow \infty$.
The study of the growth of class numbers of real quadratic fields is more complicated. For example, it is a classical conjecture of Gauss that there are infinitely many real quadratic fields of class number 1 . Related to the average behaviour of class numbers of real quadratic fields, C. Hooley formulated some interesting conjectures in 1984.

Around the same time, Cohen and Lenstra formulated general conjectures about the distribution of class groups of quadratic fields. A particular case of these conjectures is illustrated by the following. Let $p$ be prime $\neq 2$. They predict that the probability that $p$ divides the order of the class group of an imaginary quadratic field is
$$1-\prod_{i=1}^{\infty}\left(1-\frac{1}{p^i}\right)$$

## 数学代写|代数数论代写Algebraic Number Theory代考|Diophantine Equations

$$x^2+k=y^3,$$

$$(x+\sqrt{-5})(x-\sqrt{-5})=y^3,$$

## 数学代写|代数数论代写Algebraic Number Theory代考|Exponents of Ideal Class Groups

$$\log h(-d) \sim \frac{1}{2} \log d$$

$$1-\prod_{i=1}^{\infty}\left(1-\frac{1}{p^i}\right)$$

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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## 数学代写|代数数论代写Algebraic Number Theory代考|The Norm and the Trace

We begin by defining two important rational numbers associated with an element of an algebraic number field $K$. Recall that if $K$ is an algebraic number field, then $K$ can be viewed as a finite-dimensional vector space over $\mathbb{Q}$. Then if $\alpha \in K$, the map from $K$ to $K$ defined by $\Phi_\alpha: v \rightarrow \alpha v$ defines a linear operator on $K$. We define the trace of $\alpha$ by $\operatorname{Tr}K(\alpha):=\operatorname{Tr}\left(\Phi\alpha\right)$ and the norm of $\alpha$ by $\mathrm{N}K(\alpha):=\operatorname{det}\left(\Phi\alpha\right)$ (where $\operatorname{Tr}$ and det are the usual trace and determinant of a linear map). We sometimes also use the notation $\operatorname{Tr}{K / \mathbb{Q}}$ for $\operatorname{Tr}_K$ and $\mathrm{N}{K / \mathbb{Q}}$ for $\mathrm{N}_K$.

Thus, to find $\operatorname{Tr}K(\alpha)$, we choose any $\mathbb{Q}$-basis $\omega_1, \omega_2, \ldots, \omega_n$ of $K$ and write $$\alpha \omega_i=\sum a{i j} \omega_j \quad \forall i,$$
so $\operatorname{Tr}K(\alpha)=\operatorname{Tr} A$ and $\mathrm{N}_K(\alpha)=\operatorname{det} A$ where $A$ is the matrix $\left(a{i j}\right)$.
Lemma 4.1.1 If $K$ is an algebraic number field of degree $n$ over $\mathbb{Q}$, and $\alpha \in \mathcal{O}_K$ its ring of integers, then $\operatorname{Tr}_K(\alpha)$ and $\mathrm{N}_K(\alpha)$ are in $\mathbb{Z}$.

Proof. We begin by writing $\alpha \omega_i=\sum_{j=1}^n a_{i j} \omega_j \forall i$. Then we have
$$\alpha^{(k)} \omega_i^{(k)}=\sum_{j=1}^n a_{i j} \omega_j^{(k)} \quad \forall i, k,$$
where $\alpha^{(k)}$ is the $k$ th conjugate of $\alpha$. We rewrite the above by introducing the Kronecker delta function to get
$$\sum_{j=1}^n \delta_{j k} \alpha^{(j)} \omega_i^{(j)}=\sum_{j=1}^n a_{i j} \omega_j^{(k)},$$
where $\delta_{i j}=\left{\begin{array}{ll}0 & \text { if } i \neq j, \ 1 & \text { if } i=j .\end{array}\right.$ Now, if we define the matrices
$$A_0=\left(\alpha^{(i)} \delta_{i j}\right), \quad \Omega=\left(\omega_i^{(j)}\right), \quad A=\left(a_{i j}\right),$$

## 数学代写|代数数论代写Algebraic Number Theory代考|Existence of an Integral Basis

Let $K$ be an algebraic number field of degree $n$ over $\mathbb{Q}$, and $\mathcal{O}K$ its ring of integers. We say that $\omega_1, \omega_2, \ldots, \omega_n$ is an integral basis for $K$ if $\omega_i \in \mathcal{O}_K$ for all $i$, and $\mathcal{O}_K=\mathbb{Z} \omega_1+\mathbb{Z} \omega_2+\cdots+\mathbb{Z} \omega_n$. Exercise 4.2.1 Show that $\exists \omega_1^, \omega_2^, \ldots, \omega_n^* \in K$ such that
$$\mathcal{O}_K \subseteq \mathbb{Z} \omega_1^+\mathbb{Z} \omega_2^+\cdots+\mathbb{Z} \omega_n^* \text {. }$$
Theorem 4.2.2 Let $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n$ be a set of generators for a finitely generated $\mathbb{Z}$-module $M$, and let $N$ be a submodule.
(a) $\exists \beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_m$ in $N$ with $m \leq n$ such that
$$N=\mathbb{Z} \beta_1+\mathbb{Z} \beta_2+\cdots+\mathbb{Z} \beta_m$$
and $\beta_i=\sum{j \geq i} p_{i j} \alpha_j$ with $1 \leq i \leq m$ and $p_{i j} \in \mathbb{Z}$
(b) If $m=n$, then $[M: N]=p_{11} p_{22} \cdots p_{n n}$.

Proof. (a) We will proceed by induction on the number of generators of a $\mathbb{Z}$-module. This is trivial when $n=0$. We can assume that we have proved the above statement to be true for all $\mathbb{Z}$-modules with $n-1$ or fewer generators, and proceed to prove it for $n$. We define $M^{\prime}$ to be the submodule generated by $\alpha_2, \alpha_3, \ldots, \alpha_n$ over $\mathbb{Z}$, and define $N^{\prime}$ to be $N \cap M^{\prime}$. Now, if $n=1$, then $M^{\prime}=0$ and there is nothing to prove. If $N=N^{\prime}$, then the statement is true by our induction hypothesis.

So we assume that $N \neq N^{\prime}$ and consider $A$, the set of all integers $k$ such that $\exists k_2, k_3, \ldots, k_n$ with $k \alpha_1+k_2 \alpha_2+\cdots+k_n \alpha_n \in N$. Since $N$ is a submodule, we deduce that $A$ is a subgroup of $\mathbb{Z}$. All additive subgroups of $\mathbb{Z}$ are of the form $m \mathbb{Z}$ for some integer $m$, and so $A=k_{11} \mathbb{Z}$ for some $k_{11}$. Then let $\beta_1=k_{11} \alpha_1+k_{12} \alpha_2+\cdots+k_{1 n} \alpha_n \in N$. If we have some $\alpha \in N$, then
$$\alpha=\sum_{i=1}^n h_i \alpha_i$$
with $h_i \in \mathbb{Z}$ and $h_1 \in A$ so $h_1=a k_{11}$. Therefore, $\alpha-a \beta_1 \in N^{\prime}$. By the induction hypothesis, there exist
$$\beta_i=\sum_{j \geq i} k_{i j} \alpha_j,$$
$i=2,3 \ldots, m$, which generate $N^{\prime}$ over $\mathbb{Z}$ and which satisfy all the conditions above. It is clear that adding $\beta_1$ to this list gives us a set of generators of $N$.

## 数学代写|代数数论代写Algebraic Number Theory代考|The Norm and the Trace

$$\alpha^{(k)} \omega_i^{(k)}=\sum_{j=1}^n a_{i j} \omega_j^{(k)} \quad \forall i, k,$$

$$\sum_{j=1}^n \delta_{j k} \alpha^{(j)} \omega_i^{(j)}=\sum_{j=1}^n a_{i j} \omega_j^{(k)},$$

\alpha=\sum_{i=1}^n h_i \alpha_i
$$和 h_i \in \mathbb{Z} 和 h_1 \in A 所以 h_1=a k_{11}. 所以， \alpha-a \beta_1 \in N^{\prime}. 根据纳纳假设， 存在$$
\beta_i=\sum_{j \geq i} k_{i j} \alpha_j,
$$i=2,3 \ldots, m_{｝ \text { 生成 } N^{\prime} \text { 超过 } \mathbb{Z} \text { 并且满足以上所有条件。很明显, 浾加 } \beta_1 \text { 这个列表给了我们一组生成器 } N \text {. } 数学代写|代数数论代写Algebraic Number Theory代考 请认准UprivateTA™. UprivateTA™为您的留学生涯保驾护航。 ## 微观经济学代写 微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。 ## 线性代数代写 线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。 ## 博弈论代写 现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。 ## 微积分代写 微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。 它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。 ## 计量经济学代写 什么是计量经济学？ 计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。 根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。 ## MATLAB代写 MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。 Posted on Categories:Algebraic Number Theory, 代数数论, 数学代写 ## 数学代写|代数数论代写Algebraic Number Theory代考|MAS6220 Preliminaries 如果你也在 怎样代写代数数论Algebraic Number Theory MAS6220这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。代数数论Algebraic Number Theory是数论的一个分支，它使用抽象代数的技术来研究整数、有理数及其泛化。数论问题用代数对象的属性来表达，如代数数域及其整数环、有限域和函数域。这些属性，如一个环是否允许唯一的因式分解，理想的行为，以及场的伽罗瓦群，可以解决数论中最重要的问题，如狄方达方程的解的存在。 代数数论Algebraic Number Theory费马最后定理是由皮埃尔-德-费马于1637年首次猜想出来的，著名的是在一本《算术》的空白处，他声称他有一个大到无法放入空白处的证明。尽管在这358年中，无数的数学家作出了努力，但直到1995年才有成功的证明发表。这个未解决的问题在19世纪刺激了代数数论的发展，在20世纪刺激了模块化定理的证明。 代数数论Algebraic Number Theory代写，免费提交作业要求， 满意后付款，成绩80\%以下全额退款，安全省心无顾虑。专业硕 博写手团队，所有订单可靠准时，保证 100% 原创。 最高质量的代数数论Algebraic Number Theory作业代写，服务覆盖北美、欧洲、澳洲等 国家。 在代写价格方面，考虑到同学们的经济条件，在保障代写质量的前提下，我们为客户提供最合理的价格。 由于作业种类很多，同时其中的大部分作业在字数上都没有具体要求，因此代数数论Algebraic Number Theory作业代写的价格不固定。通常在专家查看完作业要求之后会给出报价。作业难度和截止日期对价格也有很大的影响。 ## avatest™帮您通过考试 avatest™的各个学科专家已帮了学生顺利通过达上千场考试。我们保证您快速准时完成各时长和类型的考试，包括in class、take home、online、proctor。写手整理各样的资源来或按照您学校的资料教您，创造模拟试题，提供所有的问题例子，以保证您在真实考试中取得的通过率是85%以上。如果您有即将到来的每周、季考、期中或期末考试，我们都能帮助您！ 在不断发展的过程中，avatest™如今已经成长为论文代写，留学生作业代写服务行业的翘楚和国际领先的教育集团。全体成员以诚信为圆心，以专业为半径，以贴心的服务时刻陪伴着您， 用专业的力量帮助国外学子取得学业上的成功。 •最快12小时交付 •200+ 英语母语导师 •70分以下全额退款 想知道您作业确定的价格吗? 免费下单以相关学科的专家能了解具体的要求之后在1-3个小时就提出价格。专家的 报价比上列的价格能便宜好几倍。 我们在数学Mathematics代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在代数数论Algebraic Number Theory代写方面经验极为丰富，各种代数数论Algebraic Number Theory相关的作业也就用不着 说。 ## 数学代写|代数数论代写Algebraic Number Theory代考|Preliminaries We can discuss the concept of divisibility for any commutative ring R with identity. Indeed, if a, b \in R, we will write a \mid b(a divides b) if there exists some c \in R such that a c=b. Any divisor of 1 is called a unit. We will say that a and b are associates and write a \sim b if there exists a unit u \in R such that a=b u. It is easy to verify that \sim is an equivalence relation. Further, if R is an integral domain and we have a, b \neq 0 with a \mid b and b \mid a, then a and b must be associates, for then \exists c, d \in R such that a c=b and b d=a, which implies that b d c=b. Since we are in an integral domain, d c=1, and d, c are units. We will say that a \in R is irreducible if for any factorization a=b c, one of b or c is a unit. Example 2.1.1 Let R be an integral domain. Suppose there is a map n: R \rightarrow \mathbb{N} such that: (i) n(a b)=n(a) n(b) \forall a, b \in R; and (ii) n(a)=1 if and only if a is a unit. We call such a map a norm map, with n(a) the norm of a. Show that every element of R can be written as a product of irreducible elements. Solution. Suppose b is an element of R. We proceed by induction on the norm of b. If b is irreducible, then we have nothing to prove, so assume that b is an element of R which is not irreducible. Then we can write b=a c where neither a nor c is a unit. By condition (i),$$
n(b)=n(a c)=n(a) n(c)
$$and since a, c are not units, then by condition (ii), n(a)<n(b) and n(c)< n(b). ## 数学代写|代数数论代写Algebraic Number Theory代考|Gaussian Integers Let \mathbb{Z}[i]={a+b i \mid a, b \in \mathbb{Z}, i=\sqrt{-1}}. This ring is often called the ring of Gaussian integers. Exercise 2.2.1 Show that \mathbb{Z}[i] is Euclidean. Exercise 2.2.2 Prove that if p is a positive prime, then there is an element x \in \mathbb{F}_p:=\mathbb{Z} / p \mathbb{Z} such that x^2 \equiv-1(\bmod p) if and only if either p=2 or p \equiv 1 (\bmod 4). (Hint: Use Wilson’s theorem, Exercise 1.4.10.) Exercise 2.2.3 Find all integer solutions to y^2+1=x^3 with x, y \neq 0. Exercise 2.2.4 If \pi is an element of R such that when \pi \mid a b with a, b \in R, then \pi \mid a or \pi \mid b, then we say that \pi is prime. What are the primes of \mathbb{Z}[i] ? Exercise 2.2.5 A positive integer a is the sum of two squares if and only if a=b^2 c where c is not divisible by any positive prime p \equiv 3(\bmod 4). ## 代数数论代写 ## 数学代写|代数数论代写Algebraic Number Theory代考|Preliminaries 我们可以讨论任何交换环的可分性概念 R 与身份。的确，如果 a, b \in R, 我们会写 a \mid b(a 分裂 b) 如果存在一些 c \in R 这样 a c=b. 任何 1 的约数都陒为一个单位。我们会说 a 和 b 是同事并写 a \sim b 如果存在一个单位 u \in R 这样 a=b u. 很容易验证 \sim 是等价关系。 此外，如果 R 是 个积分域，我们有 a, b \neq 0 和 a \mid b 和 b \mid a ，然后 a 和 b 必须是同事，因为那时 \exists c, d \in R 这样 a c=b 和 b d=a ， 这意味着 b d c=b. 由于我们处于积分域中， d c=1 ，和 d, c 是单位。 我们会说 a \in R 对于任何因式分解都是不可约的 a=b c ，其中之一 b 或者 c 是一个单位。 示例 2.1.1 让 R 成为一个完整的域。假设有一张地图 n: R \rightarrow \mathbb{N} 这样: 一) n(a b)=n(a) n(b) \forall a, b \in R ;( ii) n(a)=1 当且仅当 a 是一个单位。 我们称这样的映射为范数映射，其中 n(a) 的规范 a. 表明每一个元䋤 R 可以写成不可约元維的乘积。 解决方売。认为 b 是一个元表 R. 我们根据以下规范进行归纳 b. 如果 b 是不可约的，那么我们没有什么可以证明的，所以假设 b 是一个 元筙 R 这不是不可约的。然后我们可以写 b=a c 哪里都没有 a 也不 c 是一个单位。根据条件 (i)，$$
n(b)=n(a c)=n(a) n(c)
$$从那以后 a, c 不是单位，那么根据条件 (ii)， n(a)<n(b) 和 n(c)<n(b). ## 数学代写|代数数论代写Algebraic Number Theory代考|Gaussian Integers 让 \mathbb{Z}[i]=a+b i \mid a, b \in \mathbb{Z}, i=\sqrt{-1}. 这个环通常被称为高斯整数环。 练习2.2.1 证明 \mathbb{Z}[i] 是欧几里得。 练习 2.2.2 证明如果 p 是正表数，则有一个元表 x \in \mathbb{F}_p:=\mathbb{Z} / p \mathbb{Z} 这样 x^2 \equiv-1(\bmod p) 当且仅当 p=2 或者 p \equiv 1(\bmod 4). (提示: 使用威尔逊定理，练习 1.4.10。) 练习 2.2.3 找出所有整数解 y^2+1=x^3 和 x, y \neq 0. 练习2.2.4 如果 \pi 是一个元表 R 这样当 \pi \mid a b 和 a, b \in R ，然后 \pi \mid a 或者 \pi \mid b ，那么我们说 \pi 是质数。什么是雔数 \mathbb{Z}[i] ? 习题 2.2.5一个正整数 a 是两个平方和当且仅当 a=b^2 c 在哪里 c 不能被任何正凊数整除 p \equiv 3(\bmod 4). 数学代写|代数数论代写Algebraic Number Theory代考 请认准UprivateTA™. UprivateTA™为您的留学生涯保驾护航。 ## 微观经济学代写 微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。 ## 线性代数代写 线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。 ## 博弈论代写 现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。 ## 微积分代写 微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。 它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。 ## 计量经济学代写 什么是计量经济学？ 计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。 根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。 ## MATLAB代写 MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。 Posted on Categories:Algebraic Number Theory, 代数数论, 代數數論, 数学代写, 数的几何代写Geometry of Numbers ## 数学代写|代數數論代写Algebraic Number Theory代考|Math46400 Analytical continuation of the Riemann zetafunction 如果你也在 怎样代写代數數論Algebraic Number Theory Math46400这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。代數數論Algebraic Number Theory 是数论的一个分支，它使用抽象代数的技术来研究整数、有理数及其泛化。数论问题用代数对象的属性来表达，如代数数域及其整数环、有限域和函数域。这些属性，如一个环是否允许唯一的因式分解，理想的行为，以及场的伽罗瓦群，可以解决数论中最重要的问题，如狄方达方程的解的存在。 代數數論Algebraic Number Theory 费马最后定理是由皮埃尔-德-费马于1637年首次猜想出来的，著名的是在一本《算术》的空白处，他声称他有一个大到无法放入空白处的证明。尽管在这358年中，无数的数学家作出了努力，但直到1995年才有成功的证明发表。这个未解决的问题在19世纪刺激了代数数论的发展，在20世纪刺激了模块化定理的证明。 代數數論Algebraic Number Theory 代写，免费提交作业要求， 满意后付款，成绩80\%以下全额退款，安全省心无顾虑。专业硕 博写手团队，所有订单可靠准时，保证 100% 原创。 最高质量的代數數論Algebraic Number Theory 作业代写，服务覆盖北美、欧洲、澳洲等 国家。 在代写价格方面，考虑到同学们的经济条件，在保障代写质量的前提下，我们为客户提供最合理的价格。 由于作业种类很多，同时其中的大部分作业在字数上都没有具体要求，因此代數數論Algebraic Number Theory 作业代写的价格不固定。通常在专家查看完作业要求之后会给出报价。作业难度和截止日期对价格也有很大的影响。 ## avatest™帮您通过考试 avatest™的各个学科专家已帮了学生顺利通过达上千场考试。我们保证您快速准时完成各时长和类型的考试，包括in class、take home、online、proctor。写手整理各样的资源来或按照您学校的资料教您，创造模拟试题，提供所有的问题例子，以保证您在真实考试中取得的通过率是85%以上。如果您有即将到来的每周、季考、期中或期末考试，我们都能帮助您！ 在不断发展的过程中，avatest™如今已经成长为论文代写，留学生作业代写服务行业的翘楚和国际领先的教育集团。全体成员以诚信为圆心，以专业为半径，以贴心的服务时刻陪伴着您， 用专业的力量帮助国外学子取得学业上的成功。 •最快12小时交付 •200+ 英语母语导师 •70分以下全额退款 想知道您作业确定的价格吗? 免费下单以相关学科的专家能了解具体的要求之后在1-3个小时就提出价格。专家的 报价比上列的价格能便宜好几倍。 我们在数学Mathematics代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在代数数论Algebraic Number Theory代写方面经验极为丰富，各种代数数论Algebraic Number Theory相关的作业也就用不着 说。 ## 数学代写|代数数论代写Algebraic Number Theory代考|Analytical continuation of the Riemann zetafunction For \varphi(x) \in \mathcal{S}(\mathbb{R}) and r>0 set \varphi(r \mathbb{Z}) \stackrel{\text { def }}{=} \sum_{n \neq 0} \varphi(r n)=\left(\sum_{x \in r \mathbb{Z}} \varphi(x)\right)-\varphi(0). Now define the zeta-integral$$
Z(\varphi ; s)=\int_0^{\infty} \varphi(r \mathbb{Z}) r^s \frac{d r}{r} .
$$REMARK 208. Note that we may assume wlog that \Phi(r) is even, so we may consider this an integral on \mathbb{R}^{\times} / \mathbb{Z}^{\times}. LEMMA 209. The sum defining \varphi(r \mathbb{Z}) converges locally uniformly absolutely (in particular this function is continuous), decays faster than any polynomial as r \rightarrow \infty and satisfies \varphi(r \mathbb{Z})= O\left(r^{-1}\right) Proof. Let N be even, and let C be such that |\varphi(x)| \leq \frac{C}{1+x^N} for all x \in \mathbb{R}. Then$$
\begin{aligned}
\left|\sum_{n=1}^{\infty} \varphi(r n)\right| & \leq \int_0^{\infty} \frac{C}{1+(r x)^N} \mathrm{~d} x \
&=\left(\int_0^{\infty} \frac{C \mathrm{~d} x}{1+x^N}\right) r^{-N} .
\end{aligned}
$$It follows that the sum conveges absolutely for |r| \geq r_0 and that it decays faster than any polynomial. For r small break the sum up into |n| \leq r^{-1} and |n|>r^{-1}. ## 数学代写|代数数论代写Algebraic Number Theory代考|The Dedekind Zetafunction Preliminaries. Fix a number field K of degree n=[K: \mathbb{Q}]. Suppose K has r_1 (resp. r_2 ) real (resp. complex) places so that r_1+2 r_2=n. Let K_{\infty}=\bigoplus_{v \mid \infty} K_v be the archimedean completion in which \mathcal{O}K is a lattice. Write \mathcal{C}{K / \mathbb{Q}} for the complementary module, d_K for the absolute discriminant and write V for the covolume \operatorname{vol}\left(K_{\infty} / \mathcal{O}_K\right)=2^{-r_2} \sqrt{\left|d_K\right|} as computed in Lemma 183. Let K_{\infty}^1=\left{r \in K_{\infty}^{\times} \mid|r|=1\right}, and note that K_{\infty}^1 contains the image of the units \mathcal{O}K^{\times}. Recalling the map \log : K{\infty}^{\times} \rightarrow \mathbb{R}^{r_1+r_2} from Section 4.4 we showed there that \log \left(\mathcal{O}K^{\times}\right)is a lattice hyperplane \log \left(K{\infty}^1\right), and defined the regulator R_K to be the covolume \operatorname{vol}\left(\log \left(K_{\infty}^1\right) / \log \left(\mathcal{O}K^{\times}\right)\right). Since Ker \log =\left{\left(r_v\right){v \mid \infty}|\forall v:| r_v \mid=1\right} \simeq{\pm 1}^{r_1}(\mathbb{R} / 2 \pi \mathbb{Z})^{r_2} is compact we see that K_{\infty}^1 / \mathcal{O}K^{\times}is compact as well. We now record two volume computations we shall need later: LEMMA 212. Let \mathfrak{c} \subset K be a fractional ideal. Then \operatorname{vol}\left(K{\infty} / \mathfrak{c}\right)=N \mathfrak{c} \cdot V=2^{-r_2} N \mathfrak{c} \sqrt{\left|d_K\right|}. LEMMA 213. \operatorname{vol}\left(K_{\infty}^1 / \mathcal{O}K\right)=\frac{1}{w} 2^{r_1}(2 \pi)^{r_2} R_K where w=#\left(\mathcal{O}_K^{\times}\right){\text {tors }} is the numebr of roots of unity in K. PROOF. We verified in Corollary 193 that Ker \log \cap \mathcal{O}_K^{\times}is exactly the group of roots of unity. ## 代數數論代写 ## 数学代写|代数数论代写Algebraic Number Theory代考|Analytical continuation of the Riemann zetafunction 为了隹 \varphi(x) \in \mathcal{S}(\mathbb{R}) 和r r 00 放 \varphi(r \mathbb{Z}) \stackrel{\text { def }}{=} \sum_{n \neq 0} \varphi(r n)=\left(\sum_{x \in r \mathbb{Z}} \varphi(x)\right)-\varphi(0). 现在定义 zeta 积分$$
Z(\varphi ; s)=\int_0^{\infty} \varphi(r \mathbb{Z}) r^s \frac{d r}{r} .
$$REMARK 208. 请注意，我们可以假设 \operatorname{wog} \Phi(r) 是偶数，所以我们可以认为这是一个积分 \mathbb{R}^{\times} / \mathbb{Z}^{\times}. O\left(r^{-1}\right) 证明。让 N 均匀，让 C 是这样的 |\varphi(x)| \leq \frac{C}{1+x^N} 对所有人 x \in \mathbb{R}. 然后$$
\left|\sum_{n=1}^{\infty} \varphi(r n)\right| \leq \int_0^{\infty} \frac{C}{1+(r x)^N} \mathrm{~d} x \quad=\left(\int_0^{\infty} \frac{C \mathrm{~d} x}{1+x^N}\right) r^{-N} .
$$## 数学代写|代数数论代写Algebraic Number Theory代考|The Dedekind Zetafunction 预赛。修复数字段 K 学位 n=[K: \mathbb{Q}]. 认为 K 有 r_1 (分别 r_2 ) 真实的 (resp。复杂的) 地方，以便 r_1+2 r_2=n. 让 K_{\infty}=\bigoplus_{v \mid \infty} K_v 是其中的阿甚米德完备 \mathcal{O} K 是一个格子。写 \mathcal{C} K / \mathbb{Q} 对于互补模胗， d_K 对于绝对判别和写 V 对于共卷 \operatorname{vol}\left(K_{\infty} / \mathcal{O}K\right)=2^{-r_2} \sqrt{\left|d_K\right|} 正如在引|理 183 中计算的那样。 让 1left 缺少或无法识别的分隔符，，并注意 K{\infty}^1 包含单位的图像 \mathcal{O} K^{\times}. 回顾地图 \log : K \infty^{\times} \rightarrow \mathbb{R}^{r_1+r_2 \text { 从部 }} 分4.4涐们在那里㩔示了 \log \left(\mathcal{O} K^{\times}\right)是格子超平面 \log \left(K \infty^1\right), 并定义了调节器 R_K 成为共卷vol \left(\log \left(K_{\infty}^1\right) / \log \left(\mathcal{O} K^{\times}\right)\right). 的两个体积计算: LEMMA 212。让c \subset K 是一个分数理想。然后vol (K \infty / \mathrm{c})=N \mathrm{c} \cdot V=2^{-r_2} N \mathrm{c} \sqrt{\left|d_K\right|}. 引理 213。vol \left(K_{\infty}^1 / \mathcal{O K}\right)=\frac{1}{w} 2^{r_1}(2 \pi)^{r_2} R_K 在哪里你不能在数学模式下使用 “宏㣍数字符#” 是单位 根的数量 K. 证明。我们在准论 193 中验证了 Kerlog \cap \mathcal{O}_K^{\times}正是单位根群。 数学代写|代數數論代写Algebraic Number Theory代考 请认准UprivateTA™. UprivateTA™为您的留学生涯保驾护航。 ## 微观经济学代写 微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。 ## 线性代数代写 线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。 ## 博弈论代写 现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。 ## 微积分代写 微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。 它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。 ## 计量经济学代写 什么是计量经济学？ 计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。 根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。 ## MATLAB代写 MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。 Posted on Categories:Algebraic Number Theory, 代数数论, 代數數論, 数学代写, 数的几何代写Geometry of Numbers ## 数学代写|代數數論代写Algebraic Number Theory代考|MATH223 Geometry of Numbers 如果你也在 怎样代写代數數論Algebraic Number Theory MATH223这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。代數數論Algebraic Number Theory 是数论的一个分支，它使用抽象代数的技术来研究整数、有理数及其泛化。数论问题用代数对象的属性来表达，如代数数域及其整数环、有限域和函数域。这些属性，如一个环是否允许唯一的因式分解，理想的行为，以及场的伽罗瓦群，可以解决数论中最重要的问题，如狄方达方程的解的存在。 代數數論Algebraic Number Theory 费马最后定理是由皮埃尔-德-费马于1637年首次猜想出来的，著名的是在一本《算术》的空白处，他声称他有一个大到无法放入空白处的证明。尽管在这358年中，无数的数学家作出了努力，但直到1995年才有成功的证明发表。这个未解决的问题在19世纪刺激了代数数论的发展，在20世纪刺激了模块化定理的证明。 代數數論Algebraic Number Theory 代写，免费提交作业要求， 满意后付款，成绩80\%以下全额退款，安全省心无顾虑。专业硕 博写手团队，所有订单可靠准时，保证 100% 原创。 最高质量的代數數論Algebraic Number Theory 作业代写，服务覆盖北美、欧洲、澳洲等 国家。 在代写价格方面，考虑到同学们的经济条件，在保障代写质量的前提下，我们为客户提供最合理的价格。 由于作业种类很多，同时其中的大部分作业在字数上都没有具体要求，因此代數數論Algebraic Number Theory 作业代写的价格不固定。通常在专家查看完作业要求之后会给出报价。作业难度和截止日期对价格也有很大的影响。 ## avatest™帮您通过考试 avatest™的各个学科专家已帮了学生顺利通过达上千场考试。我们保证您快速准时完成各时长和类型的考试，包括in class、take home、online、proctor。写手整理各样的资源来或按照您学校的资料教您，创造模拟试题，提供所有的问题例子，以保证您在真实考试中取得的通过率是85%以上。如果您有即将到来的每周、季考、期中或期末考试，我们都能帮助您！ 在不断发展的过程中，avatest™如今已经成长为论文代写，留学生作业代写服务行业的翘楚和国际领先的教育集团。全体成员以诚信为圆心，以专业为半径，以贴心的服务时刻陪伴着您， 用专业的力量帮助国外学子取得学业上的成功。 •最快12小时交付 •200+ 英语母语导师 •70分以下全额退款 想知道您作业确定的价格吗? 免费下单以相关学科的专家能了解具体的要求之后在1-3个小时就提出价格。专家的 报价比上列的价格能便宜好几倍。 我们在数学Mathematics代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在代数数论Algebraic Number Theory代写方面经验极为丰富，各种代数数论Algebraic Number Theory相关的作业也就用不着 说。 ## 数学代写|代数数论代写Algebraic Number Theory代考|Geometry of Numbers In this section, let L / K be a finite separable extension such that the residue extension k_L / k is also separable. Denote by \pi_L (resp. \pi_K ) a uniformizer of L (resp. of K ). 9.3.1. Norms of fractional ideals. – Note that both \mathcal{O}L and \mathcal{O}_K are Dedekind domains. We have the notion of fractional ideals on L or on K. If \mathfrak{a} is a fractional ideal of L, we define$$ v_L(\mathfrak{a})=\min {x \in \mathfrak{a}}\left{v_L(x)\right} \in \mathbb{Z},
$$and call it the valuation of \mathfrak{a}. Then it is clear that \mathfrak{a}=\left(\pi_L^{v_L(\mathfrak{a})}\right) We define the norm of \mathfrak{a} as the fractional ideal of K given by$$
\mathrm{N}{L / K}(\mathfrak{a}):=\left(\mathrm{N}{L / K}\left(\pi_L\right)\right)^{v_L(\mathfrak{a})} .
$$Lemma 9.3.2. – We have v_K\left(\mathrm{~N}_{L / K}(\mathfrak{a})\right)=f(L \mid K) v_L(\mathfrak{a}). Proof. – It suffices to show that v_K\left(\pi_L\right)=f(L \mid K). Let L_0 / K denote the maximal unramified extension of L / K. Then \mathrm{N}{L / K}\left(\pi_L\right)=\mathrm{N}{L_0 / K}\left(\mathrm{~N}{L / L_0}\left(\pi_L\right)\right). Since L / L_0 is totally ramified, we see that \mathrm{N}{L / L_0}\left(\pi_L\right) is a uniformizer of L_0. Thus it suffices to show that for any uniformizer \pi_{L_0} of L_0, we have$$
v_K\left(\mathrm{~N}{L_0 / K}\left(\pi{L_0}\right)\right)=f(L \mid K) .
$$As L_0 / K is unramified, one has \pi_{L_0}=\pi_K u for some unit u \in \mathcal{O}{L_0}^{\times}. Thus, we get$$ v_K\left(\mathrm{~N}{L_0 / K}\left(\pi_{L_0}\right)\right)=v\left(\mathrm{~N}_{L_0 / K}\left(\pi_K\right)\right)=f\left(L_0 \mid K\right)=f(L \mid K) .
$$## 数学代写|代数数论代写Algebraic Number Theory代考|Different and discriminant Different and discriminant. – The theory of different and discriminant for number fields has an analog for L / K. Recall that the bilinear form \operatorname{Tr}{L / K}(x y) on L is non-degenerate by Theorem 1.2 .4. We put$$ \mathcal{O}_L^:=\left{x \in L: \operatorname{Tr}{L / K}(x y) \in \mathcal{O}K, \forall y \in \mathcal{O}_L\right} . $$Then \mathcal{O}_L^ is a fractional ideal of L. It is clear that \mathcal{O}_L \subseteq \mathcal{O}_L^. We define the different of L / K (or of \mathcal{O}_L / \mathcal{O}_K ) as the ideal in \mathcal{O}_L (9.3.3.1) \quad \delta{L / K}:=\left(\mathcal{O}L^\right)^{-1}. and the discriminant of L / K (or of \mathcal{O}_L / \mathcal{O}_K ) as the ideal in \mathcal{O}_K$$
\mathfrak{d}{L / K}:=\mathrm{N}{L / K}\left(\delta{L / K}\right) \text {. }
$$Similar properties as in Section 3.3 hold in our case. In particular, we have Proposition 9.3.4. – Let K^{\prime} / K be a sub-extension of L / K. Then we have and$$
\delta_{L / K}=\left(\delta_{K^{\prime} / K} \mathcal{O}L\right) \cdot \delta{L / K^{\prime}},

\mathfrak{d}{L / K}=\mathrm{N}{K^{\prime} / K}\left(\mathfrak{d}{L / K^{\prime}}\right) \mathfrak{d}{K^{\prime} / K}^{\left[L: K^{\prime}\right]} .
$$Proof. – The proof is exactly the same as Proposition 3.3.5 and Corollary 3.3.6. Applying this Proposition with K^{\prime} equal to the maximal unramified sub-extension of L / K, we reduce the problem of computing \delta_{L / K} to the case of L_0 / K and L / L_0, i.e. it suffices to treat separately the unramified case and the totally ramified case. ## 代數數論代写 ## 数学代写|代数数论代写Algebraic Number Theory代考|Geometry of Numbers 在本节中，让 L / K 是一个有限的可分离扩展，使得残差扩展 k_L / k 也是可分离的。表示为 \pi_L (分别 \pi_K ) 的均化器 L (对应于 K ). 9.3.1. 分数理想的规范。 – 注意两者 \mathcal{O} L 和 \mathcal{O}K 是 Dedekind 域。我们有分数理想的概念 L 或在 K. 如果 a 是一个分数理想 L, 我们定 义 〈left 缺少或无法识别的分隔符 并称之为估值 \mathfrak{a}. 那么很明显 \mathfrak{a}=\left(\pi_L^{v L(\mathfrak{a})}\right) 我们定义范数 \mathfrak{a} 作为分数理想 K 由$$ \mathrm{N} L / K(\mathfrak{a}):=\left(\mathrm{N} L / K\left(\pi_L\right)\right)^{v_L(\mathfrak{a})} . $$引理 9.3.2。 – 我们有 v_K\left(\mathrm{~N}{L / K}(\mathfrak{a})\right)=f(L \mid K) v_L(\mathfrak{a}). 证明。 -一 足以证明 v_K\left(\pi_L\right)=f(L \mid K). 让 L_0 / K 表示的最大末分支扩展 L / K. 然后 \mathrm{N} L / K\left(\pi_L\right)=\mathrm{N} L_0 / K\left(\mathrm{~N} L / L_0\left(\pi_L\right)\right). 自从 L / L_0 是完全分支的，我们看到 \mathrm{N} L / L_0\left(\pi_L\right) 是均匀化的 L_0. 因此足以表明对于 任何均化器 \pi_{L_0} 的 L_0 ，我们有$$
v_K\left(\mathrm{~N} L_0 / K\left(\pi L_0\right)\right)=f(L \mid K) .
$$作为 L_0 / K 是单一的，一个有 \pi_{L_0}=\pi_K u 对于某些单位 u \in \mathcal{O} L_0 \times. 因此，我们得到$$
v_K\left(\mathrm{~N} L_0 / K\left(\pi_{L_0}\right)\right)=v\left(\mathrm{~N}{L_0 / K}\left(\pi_K\right)\right)=f\left(L_0 \mid K\right)=f(L \mid K) . $$discriminant 不同的和歧视的。 – 数域的不同和判别理论有一个模拟 L / K. 回想一下双线性形式 \operatorname{Tr} L / K(x y) 上 L ## 数学代写|代数数论代写Algebraic Number Theory代考|Different and discriminant 根据定理是非退化的 1.2 .4. 我们把 \left 缺少或无法识别的分隔符 然后缺少上标或下标参数 是 个分数理想 L. 很清楚缺少上标或下标参数 我们定义不同的 L / K (或属于 \mathcal{O}_L / \mathcal{O}_K ) 作为理想的 \mathcal{O}_L (9.3.3.1) 缺少 〈left 或额外的 〈right. 和判别式 L / K (或属于 \mathcal{O}_L / \mathcal{O}_K ) 作为理想的 \mathcal{O}_K$$ \mathfrak{o} L / K:=\mathrm{N} L / K(\delta L / K) . $$与部分类似的属性 3.3 坚持我们的情况。特别是，我们有 提宴 9.3.4。 – 让 K^{\prime} / K 是的子扩展 L / K. 然后我们有 鸭子$$ \begin{gathered} \delta{L / K}=\left(\delta_{K^{\prime} / K} \mathcal{O} L\right) \cdot \delta L / K^{\prime}, \
\mathfrak{d} L / K=\mathrm{N} K^{\prime} / K\left(\mathfrak{\jmath} L / K^{\prime}\right) \mathfrak{d} K^{\prime} / K^{\left[L: K^{\prime}\right]} .
\end{gathered}
$$证明。 – 证明与鿖题 3.3 .5 和推论 3.3 .6 完全相同。 应用这个命题 K^{\prime} 等于的最大末分支子扩展 L / K ，我们減少了计算问题 \delta_{L / K} 的情况下 L_0 / K 和 L / L_0 ，即单独处理末分支的客例 和完全分支的案例就足够了。 数学代写|代數數論代写Algebraic Number Theory代考 请认准UprivateTA™. UprivateTA™为您的留学生涯保驾护航。 ## 微观经济学代写 微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。 ## 线性代数代写 线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。 ## 博弈论代写 现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。 ## 微积分代写 微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。 它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。 ## 计量经济学代写 什么是计量经济学？ 计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。 根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。 ## MATLAB代写 MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。 Posted on Categories:Algebraic Number Theory, 代数数论, 代數數論, 数学代写, 数的几何代写Geometry of Numbers ## 数学代写|代數數論代写Algebraic Number Theory代考|MA58400 Different, discriminant and ramification 如果你也在 怎样代写代數數論Algebraic Number Theory MAS6220这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。代數數論Algebraic Number Theory 是数论的一个分支，它使用抽象代数的技术来研究整数、有理数及其泛化。数论问题用代数对象的属性来表达，如代数数域及其整数环、有限域和函数域。这些属性，如一个环是否允许唯一的因式分解，理想的行为，以及场的伽罗瓦群，可以解决数论中最重要的问题，如狄方达方程的解的存在。 代數數論Algebraic Number Theory 费马最后定理是由皮埃尔-德-费马于1637年首次猜想出来的，著名的是在一本《算术》的空白处，他声称他有一个大到无法放入空白处的证明。尽管在这358年中，无数的数学家作出了努力，但直到1995年才有成功的证明发表。这个未解决的问题在19世纪刺激了代数数论的发展，在20世纪刺激了模块化定理的证明。 代數數論Algebraic Number Theory 代写，免费提交作业要求， 满意后付款，成绩80\%以下全额退款，安全省心无顾虑。专业硕 博写手团队，所有订单可靠准时，保证 100% 原创。 最高质量的代數數論Algebraic Number Theory 作业代写，服务覆盖北美、欧洲、澳洲等 国家。 在代写价格方面，考虑到同学们的经济条件，在保障代写质量的前提下，我们为客户提供最合理的价格。 由于作业种类很多，同时其中的大部分作业在字数上都没有具体要求，因此代數數論Algebraic Number Theory 作业代写的价格不固定。通常在专家查看完作业要求之后会给出报价。作业难度和截止日期对价格也有很大的影响。 ## avatest™帮您通过考试 avatest™的各个学科专家已帮了学生顺利通过达上千场考试。我们保证您快速准时完成各时长和类型的考试，包括in class、take home、online、proctor。写手整理各样的资源来或按照您学校的资料教您，创造模拟试题，提供所有的问题例子，以保证您在真实考试中取得的通过率是85%以上。如果您有即将到来的每周、季考、期中或期末考试，我们都能帮助您！ 在不断发展的过程中，avatest™如今已经成长为论文代写，留学生作业代写服务行业的翘楚和国际领先的教育集团。全体成员以诚信为圆心，以专业为半径，以贴心的服务时刻陪伴着您， 用专业的力量帮助国外学子取得学业上的成功。 •最快12小时交付 •200+ 英语母语导师 •70分以下全额退款 想知道您作业确定的价格吗? 免费下单以相关学科的专家能了解具体的要求之后在1-3个小时就提出价格。专家的 报价比上列的价格能便宜好几倍。 我们在数学Mathematics代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在代数数论Algebraic Number Theory代写方面经验极为丰富，各种代数数论Algebraic Number Theory相关的作业也就用不着 说。 ## 数学代写|代数数论代写Algebraic Number Theory代考|Different, discriminant and ramification In this section, let L / K be a finite separable extension such that the residue extension k_L / k is also separable. Denote by \pi_L (resp. \pi_K ) a uniformizer of L (resp. of K ). 9.3.1. Norms of fractional ideals. – Note that both \mathcal{O}L and \mathcal{O}_K are Dedekind domains. We have the notion of fractional ideals on L or on K. If \mathfrak{a} is a fractional ideal of L, we define$$ v_L(\mathfrak{a})=\min {x \in \mathfrak{a}}\left{v_L(x)\right} \in \mathbb{Z},
$$and call it the valuation of \mathfrak{a}. Then it is clear that \mathfrak{a}=\left(\pi_L^{v_L(\mathfrak{a})}\right) We define the norm of \mathfrak{a} as the fractional ideal of K given by$$
\mathrm{N}{L / K}(\mathfrak{a}):=\left(\mathrm{N}{L / K}\left(\pi_L\right)\right)^{v_L(\mathfrak{a})} .
$$Lemma 9.3.2. – We have v_K\left(\mathrm{~N}_{L / K}(\mathfrak{a})\right)=f(L \mid K) v_L(\mathfrak{a}). Proof. – It suffices to show that v_K\left(\pi_L\right)=f(L \mid K). Let L_0 / K denote the maximal unramified extension of L / K. Then \mathrm{N}{L / K}\left(\pi_L\right)=\mathrm{N}{L_0 / K}\left(\mathrm{~N}{L / L_0}\left(\pi_L\right)\right). Since L / L_0 is totally ramified, we see that \mathrm{N}{L / L_0}\left(\pi_L\right) is a uniformizer of L_0. Thus it suffices to show that for any uniformizer \pi_{L_0} of L_0, we have$$
v_K\left(\mathrm{~N}{L_0 / K}\left(\pi{L_0}\right)\right)=f(L \mid K) .
$$As L_0 / K is unramified, one has \pi_{L_0}=\pi_K u for some unit u \in \mathcal{O}{L_0}^{\times}. Thus, we get$$ v_K\left(\mathrm{~N}{L_0 / K}\left(\pi_{L_0}\right)\right)=v\left(\mathrm{~N}_{L_0 / K}\left(\pi_K\right)\right)=f\left(L_0 \mid K\right)=f(L \mid K) .
$$## 数学代写|代数数论代写Algebraic Number Theory代考|Different and discriminant Different and discriminant. – The theory of different and discriminant for number fields has an analog for L / K. Recall that the bilinear form \operatorname{Tr}{L / K}(x y) on L is non-degenerate by Theorem 1.2 .4. We put$$ \mathcal{O}_L^:=\left{x \in L: \operatorname{Tr}{L / K}(x y) \in \mathcal{O}K, \forall y \in \mathcal{O}_L\right} . $$Then \mathcal{O}_L^ is a fractional ideal of L. It is clear that \mathcal{O}_L \subseteq \mathcal{O}_L^. We define the different of L / K (or of \mathcal{O}_L / \mathcal{O}_K ) as the ideal in \mathcal{O}_L (9.3.3.1) \quad \delta{L / K}:=\left(\mathcal{O}L^\right)^{-1}. and the discriminant of L / K (or of \mathcal{O}_L / \mathcal{O}_K ) as the ideal in \mathcal{O}_K$$
\mathfrak{d}{L / K}:=\mathrm{N}{L / K}\left(\delta{L / K}\right) \text {. }
$$Similar properties as in Section 3.3 hold in our case. In particular, we have Proposition 9.3.4. – Let K^{\prime} / K be a sub-extension of L / K. Then we have and$$
\delta_{L / K}=\left(\delta_{K^{\prime} / K} \mathcal{O}L\right) \cdot \delta{L / K^{\prime}},

\mathfrak{d}{L / K}=\mathrm{N}{K^{\prime} / K}\left(\mathfrak{d}{L / K^{\prime}}\right) \mathfrak{d}{K^{\prime} / K}^{\left[L: K^{\prime}\right]} .
$$Proof. – The proof is exactly the same as Proposition 3.3.5 and Corollary 3.3.6. Applying this Proposition with K^{\prime} equal to the maximal unramified sub-extension of L / K, we reduce the problem of computing \delta_{L / K} to the case of L_0 / K and L / L_0, i.e. it suffices to treat separately the unramified case and the totally ramified case. ## 代數數論代写 ## 数学代写|代数数论代写Algebraic Number Theory代考|Different, discriminant and ramification 在本节中，让 L / K 是一个有限的可分离扩展，使得残差扩展 k_L / k 也是可分离的。表示为 \pi_L (分别 \pi_K ) 的圴化器 L (对应于 K ). 9.3.1. 分数理想的规范。 – 注竟两者 \mathcal{O} L 和 \mathcal{O}K 是 Dedekind 域。我们有分数理想的概念 L 或在 K. 如果 \mathfrak{a} 是一个分数理想 L, 我们定 义 〈left 缺少或无法识别的分隔符 并称之为估值 \mathfrak{a}. 那么很明显 \mathfrak{a}=\left(\pi_L^{v_L(\mathfrak{a})}\right) 我们定义范数 \mathfrak{a} 作为分数理想 K 由$$ \mathrm{N} L / K(\mathfrak{a}):=\left(\mathrm{N} L / K\left(\pi_L\right)\right)^{v_L(\mathfrak{a})} . $$引理 9.3.2。 – 我们有 v_K\left(\mathrm{~N}{L / K}(\mathfrak{a})\right)=f(L \mid K) v_L(\mathfrak{a}). 证明。 -一 足以证明 v_K\left(\pi_L\right)=f(L \mid K). 让 L_0 / K 表示的最大末分支扩展 L / K. 然后 \mathrm{N} L / K\left(\pi_L\right)=\mathrm{N} L_0 / K\left(\mathrm{~N} L / L_0\left(\pi_L\right)\right). 自从 L / L_0 是完全分支的，我们看到 \mathrm{N} L / L_0\left(\pi_L\right) 是均匀化的 L_0. 因此足以表明对于 任何圴化器 \pi L_0 的 L_0 ，我们有$$
v_K\left(\mathrm{~N} L_0 / K\left(\pi L_0\right)\right)=f(L \mid K) .
$$作为 L_0 / K 是单一的，一个有 \pi_{L_0}=\pi_K u 对于某些单位 u \in \mathcal{O} L_0 \times. 因此，我们得到$$
v_K\left(\mathrm{~N} L_0 / K\left(\pi_{L_0}\right)\right)=v\left(\mathrm{~N}{L_0 / K}\left(\pi_K\right)\right)=f\left(L_0 \mid K\right)=f(L \mid K) . $$discriminant 不同的和歧视的。 – 数域的不同和判别理论有一个模拟 L / K. 回想一下双线性形式 \operatorname{Tr} L / K(x y) 上 L ## 数学代写|代数数论代写Algebraic Number Theory代考|Different and discriminant 根据定理是非退化的 1.2 .4. 我们把 〈left 缺少或无法识别的分隔符 然后缺少上标或下标参数 \quad 是 个分数理想 L. 很清楚缺少上标或下标参数 我们定义不同的 L / K (或属于 \mathcal{O}_L / \mathcal{O}_K ) 作为理想的 \mathcal{O}_L (9.3.3.1) 缺少 \left 或额外的 \right. 和判别式 L / K (或属于 \mathcal{O}_L / \mathcal{O}_K ) 作为理想的 \mathcal{O}_K$$ \mathfrak{o} L / K:=\mathrm{N} L / K(\delta L / K) . $$与部分类似的属性3.3坚持我们的情况。特别是，我们有 提案 9.3.4。 – 让 K^{\prime} / K 是的子扩展 L / K. 然后我们有 鸭子$$ \begin{gathered} \delta{L / K}=\left(\delta_{K^{\prime} / K} \mathcal{O} L\right) \cdot \delta L / K^{\prime} \
\mathfrak{d} L / K=\mathrm{N} K^{\prime} / K\left(\mathfrak{d} L / K^{\prime}\right) \mathfrak{d} K^{\prime} / K^{\left[L: K^{\prime}\right]} .
\end{gathered}
$$证明。 – 证明与命题 3.3 .5 和推论 3.3 .6 完全相同。 应用这个命题 K^{\prime} 等于的最大末分支子扩展 L / K ，我们减少了计算问题 \delta_{L / K} 的情况下 L_0 / K 和 L / L_0 ，即单独处理末分支的客例 和完全分支的安例就足够了。 数学代写|代數數論代写Algebraic Number Theory代考 请认准UprivateTA™. UprivateTA™为您的留学生涯保驾护航。 ## 微观经济学代写 微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。 ## 线性代数代写 线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。 ## 博弈论代写 现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。 ## 微积分代写 微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。 它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。 ## 计量经济学代写 什么是计量经济学？ 计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。 根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。 ## MATLAB代写 MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。 Posted on Categories:Algebraic Number Theory, 代数数论, 数学代写 ## 数学代写|代数数论代写Algebraic Number Theory代考|MAS6220 Direct Product of Rings 如果你也在 怎样代写代数数论Algebraic Number Theory MAS6220这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。代数数论Algebraic Number Theory是数论的一个分支，它使用抽象代数的技术来研究整数、有理数及其泛化。数论问题用代数对象的属性来表达，如代数数域及其整数环、有限域和函数域。这些属性，如一个环是否允许唯一的因式分解，理想的行为，以及场的伽罗瓦群，可以解决数论中最重要的问题，如狄方达方程的解的存在。 代数数论Algebraic Number Theory费马最后定理是由皮埃尔-德-费马于1637年首次猜想出来的，著名的是在一本《算术》的空白处，他声称他有一个大到无法放入空白处的证明。尽管在这358年中，无数的数学家作出了努力，但直到1995年才有成功的证明发表。这个未解决的问题在19世纪刺激了代数数论的发展，在20世纪刺激了模块化定理的证明。 代数数论Algebraic Number Theory代写，免费提交作业要求， 满意后付款，成绩80\%以下全额退款，安全省心无顾虑。专业硕 博写手团队，所有订单可靠准时，保证 100% 原创。 最高质量的代数数论Algebraic Number Theory作业代写，服务覆盖北美、欧洲、澳洲等 国家。 在代写价格方面，考虑到同学们的经济条件，在保障代写质量的前提下，我们为客户提供最合理的价格。 由于作业种类很多，同时其中的大部分作业在字数上都没有具体要求，因此代数数论Algebraic Number Theory作业代写的价格不固定。通常在专家查看完作业要求之后会给出报价。作业难度和截止日期对价格也有很大的影响。 ## avatest™帮您通过考试 avatest™的各个学科专家已帮了学生顺利通过达上千场考试。我们保证您快速准时完成各时长和类型的考试，包括in class、take home、online、proctor。写手整理各样的资源来或按照您学校的资料教您，创造模拟试题，提供所有的问题例子，以保证您在真实考试中取得的通过率是85%以上。如果您有即将到来的每周、季考、期中或期末考试，我们都能帮助您！ 在不断发展的过程中，avatest™如今已经成长为论文代写，留学生作业代写服务行业的翘楚和国际领先的教育集团。全体成员以诚信为圆心，以专业为半径，以贴心的服务时刻陪伴着您， 用专业的力量帮助国外学子取得学业上的成功。 •最快12小时交付 •200+ 英语母语导师 •70分以下全额退款 想知道您作业确定的价格吗? 免费下单以相关学科的专家能了解具体的要求之后在1-3个小时就提出价格。专家的 报价比上列的价格能便宜好几倍。 我们在数学Mathematics代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在代数数论Algebraic Number Theory代写方面经验极为丰富，各种代数数论Algebraic Number Theory相关的作业也就用不着 说。 ## 数学代写|代数数论代写Algebraic Number Theory代考|Direct Product of Rings Suppose B_1, \ldots, B_r are commutative rings with 1 . We define their direct product as the Cartesian product B=B_1 \times \cdots \times B_r, with addition and multiplication taken component-wise. Each B_j may be regarded as a subring of B via the obvious inclusion map, e.g. B_1 \ni b_1 \rightarrow\left(b_1, 0, \ldots, 0\right) \in B. If A is a subring of each B_j, then A may be regarded as a subring of the direct product B=B_1 \times \cdots \times B_r, via the map A \ni a \rightarrow(a, \ldots, a) \in B. Theorem 4.25. Suppose A with 1 is a subring of each B_j and every B_j is a free A-module of rank n_j. Then the direct product B=B_1 \times \cdots \times B_r is a free module of rank n_1+\cdots+n_r. Moreover$$
\mathfrak{d}{B / A}=\mathfrak{d}{B_1 / A} \cdots \mathfrak{d}_{B_r / A}
$$Proof. We only need to prove (4.6). To simplify notation, we prove it for r=2. For r>2, the proof is similar. Put n_1=m and n_2=n. Let \alpha_1, \ldots, \alpha_m be a basis of B_1 over A and \beta_1, \ldots, \beta_n be a basis of B_2 over A. As A-modules, if we identify B_1 and B_2 with the submodules B_1 \times{0} and {0} \times B_2 of B=B_1 \times B_2, then \left{\alpha_1, \ldots, \alpha_m ; \beta_1, \ldots, \beta_n\right} is a basis of B over A. Moreover, for all i, j, we have \alpha_i \beta_j=0. Hence \Delta\left(\alpha_1, \ldots, \alpha_m ; \beta_1, \ldots, \beta_n\right) is the determinant of the matrix$$
\left(\begin{array}{l|l}
\operatorname{tr}{B_1 / A}\left(\alpha_i \alpha_j\right) & \ \hline & \operatorname{tr}{B_2 / A}\left(\beta_i \beta_j\right)
\end{array}\right)
$$This shows that$$
\Delta\left(\alpha_1, \ldots, \alpha_m ; \beta_1, \ldots, \beta_n\right)=\Delta\left(\alpha_1, \ldots, \alpha_m\right) \Delta\left(\beta_1, \ldots, \beta_n\right) .
$$Therefore, \mathfrak{d}{B / A}=\mathfrak{d}{B_1 / A} \mathfrak{d}_{B_2 / A}. Suppose A is a subring of B. Let \mathfrak{a} be an ideal of A and \mathfrak{b}=\mathfrak{a} B be the ideal of B generated by a. For \alpha in A and \beta in B, let \bar{\alpha} and \bar{\beta} denote the residue class of \alpha in A / \mathfrak{a} and that of \beta in B / \mathfrak{b}, respectively. ## 数学代写|代数数论代写Algebraic Number Theory代考|Nilradical Definition 4.30. An element of a commutative ring A with 1 is nilpotent if a^m=0 for some m in \mathbb{Z}. Theorem 4.31. The set \operatorname{nil}(A) of all nilpotent elements of A is an ideal of A. The ideal \operatorname{nil}(A) is called the nilradical of A. Proof. Let x, y \in \operatorname{nil}(A). Then for some m, n in \mathbb{N}, x^m=y^n=0. If l=m+n, then it follows from the Binomial Theorem, that (x+y)^l=0. On the other hand, if a \in A, then (a x)^m=a^m x^m=0. This proves that nil (A) is an ideal of A. Theorem 4.32. The nilradical, \operatorname{nil}(A), is the intersection of all prime ideals of A. Proof. If x in A is nilpotent, then for some m in \mathbb{N}, x^m=0. Hence x \in \mathfrak{p}, for all prime ideals \mathfrak{p} of A. Conversely, suppose x is not nilpotent, that is x^m \neq 0 for all m in \mathbb{N}. We show that there is at least one prime ideal \mathfrak{p} such that x \notin \mathfrak{p}. Let S be the set of ideals a of A, such that x^m \notin \mathfrak{a} for all m in \mathbb{N}. Clearly, S is not empty, since the zero ideal (0) \in S. By Zorn’s Lemma, let \mathfrak{p} be a maximal element of S. We shall show that \mathfrak{p} is prime. If not, then there are x, y in A \backslash \mathfrak{p} with x y in \mathfrak{p}. Then the ideals \mathfrak{a}=(\mathfrak{p}, x) and \mathfrak{b}=(\mathfrak{p}, y) both properly contain \mathfrak{p}. By the choice of \mathfrak{p}, for some m, n in \mathbb{N}, x^m \in \mathfrak{a}, x^n \in \mathfrak{b}. This shows that x^{m+n} \in \mathfrak{a} \mathfrak{b} \subseteq \mathfrak{p}, implying \mathfrak{p} \notin S. This contradiction proves that \mathfrak{p} is prime. ## 代数数论代写 ## 数学代写|代数数论代写代数数论代考|环的直积 假设B_1, \ldots, B_r是1的交换环。我们将它们的直接乘积定义为笛卡尔积B=B_1 \times \cdots \times B_r，按分量进行加法和乘法运算。通过明显的包含映射，每个B_j都可以被视为B的子带，例如B_1 \ni b_1 \rightarrow\left(b_1, 0, \ldots, 0\right) \in B。 如果A是每个B_j的子带，那么A可以被认为是直接产物B=B_1 \times \cdots \times B_r的子带，通过地图A \ni a \rightarrow(a, \ldots, a) \in B 定理4.25。假设A带1是每个B_j的子带，每个B_j是一个秩为n_j的空闲a模块。那么直接乘积B=B_1 \times \cdots \times B_r就是一个排名n_1+\cdots+n_r的免费模块。此外$$
\mathfrak{d}{B / A}=\mathfrak{d}{B_1 / A} \cdots \mathfrak{d}_{B_r / A}
$$证明。我们只需要证明(4.6)为了简化符号，我们为r=2证明它。对于r>2，证明是类似的 Put n_1=m 和 n_2=n。让 \alpha_1, \ldots, \alpha_m 成为…的基础 B_1 结束 A 和 \beta_1, \ldots, \beta_n 成为…的基础 B_2 结束 A。As A-模块，如果我们识别 B_1 和 B_2 通过子模块 B_1 \times{0} 和 {0} \times B_2 的 B=B_1 \times B_2，那么 \left{\alpha_1, \ldots, \alpha_m ; \beta_1, \ldots, \beta_n\right} 是一个基础 B 结束 A。此外，对于所有人来说 i, j，我们有 \alpha_i \beta_j=0。因此 \Delta\left(\alpha_1, \ldots, \alpha_m ; \beta_1, \ldots, \beta_n\right) 矩阵的行列式是否$$
\left(\begin{array}{l|l}
\operatorname{tr}{B_1 / A}\left(\alpha_i \alpha_j\right) & \ \hline & \operatorname{tr}{B_2 / A}\left(\beta_i \beta_j\right)
\end{array}\right)
$$这表明$$
\Delta\left(\alpha_1, \ldots, \alpha_m ; \beta_1, \ldots, \beta_n\right)=\Delta\left(\alpha_1, \ldots, \alpha_m\right) \Delta\left(\beta_1, \ldots, \beta_n\right) .

$\mathfrak{d}{B / A}=\mathfrak{d}{B_1 / A} \mathfrak{d}_{B_2 / A}$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。