Category: Algebraic Number Theory

如果你也在 怎样代写代数数论Algebraic Number Theory MATH160这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。代数数论Algebraic Number Theory是数论的一个分支，它使用抽象代数的技术来研究整数、有理数及其泛化。数论问题用代数对象的属性来表达，如代数数域及其整数环、有限域和函数域。这些属性，如一个环是否允许唯一的因式分解，理想的行为，以及场的伽罗瓦群，可以解决数论中最重要的问题，如狄方达方程的解的存在。

代数数论Algebraic Number Theory费马最后定理是由皮埃尔-德-费马于1637年首次猜想出来的，著名的是在一本《算术》的空白处，他声称他有一个大到无法放入空白处的证明。尽管在这358年中，无数的数学家作出了努力，但直到1995年才有成功的证明发表。这个未解决的问题在19世纪刺激了代数数论的发展，在20世纪刺激了模块化定理的证明。

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数学代写|代数数论代写Algebraic Number Theory代考|The ABC Conjecture

Exercise 1.3.1 Assuming the $A B C$ Conjecture, show that if $x y z \neq 0$ and $x^n+$ $y^n=z^n$ for three mutually coprime integers $x, y$, and $z$, then $n$ is bounded.
Solution. First observe that $\max (|x|,|y|,|z|)>1$ for otherwise we have $x y z=0$. By the $A B C$ Conjecture, we have
$$
\max \left(|x|^n,|y|^n,|z|^n\right) \leq \kappa(\varepsilon)(\operatorname{rad}(x y z))^{1+\varepsilon} .
$$
Without any loss of generality, suppose that $\max (|x|,|y|,|z|)=|z|$. We deduce that $|z|^n \leq \kappa(\varepsilon)|z|^{3+3 \varepsilon}$. Since $|z|>1$, we conclude that $n$ is bounded.
Exercise 1.3.2 Let $p$ be an odd prime. Suppose that $2^n \equiv 1(\bmod p)$ and $2^n \not \equiv 1\left(\bmod p^2\right)$. Show that $2^d \not \equiv 1\left(\bmod p^2\right)$ where $d$ is the order of $2(\bmod p)$.

Solution. Since $2^n \equiv 1(\bmod p)$, we must have $d \mid n$. Write $n=$ de. If $2^d=1+k p$ and $p \mid k$, then
$$
\begin{aligned}
2^n=2^{\text {de }} & =(1+k p)^e \
& \equiv 1+k p e \quad\left(\bmod p^2\right) \
& \equiv 1 \quad\left(\bmod p^2\right)
\end{aligned}
$$
a contradiction. This proves the result.

数学代写|代数数论代写Algebraic Number Theory代考|Supplementary Problems

Exercise 1.4.1 Show that every proper ideal of $\mathbb{Z}$ is of the form $n \mathbb{Z}$ for some integer $n$.

Solution. Suppose there is an ideal $I$ for which this is not true. Then show that there exist elements $a, b \in I$ such that $\operatorname{gcd}(a, b)=1$.

Exercise 1.4.2 An ideal $I$ is called prime if $a b \in I$ implies $a \in I$ or $b \in I$. Prove that every prime ideal of $\mathbb{Z}$ is of the form $p \mathbb{Z}$ for some prime integer $p$.

Solution. If $I$ is an ideal, then it is of the form $n \mathbb{Z}$ for some integer $n$ by the previous question. Then $a b \in I$ implies that $n \mid a b$. But then since $I$ is prime, either $a \in I$ or $b \in I$, so $n \mid a$ or $n \mid b$, implying that $n$ is prime.
Exercise 1.4.3 Prove that if the number of prime Fermat numbers is finite, then the number of primes of the form $2^n+1$ is finite.

Solution. Consider primes of the form $2^n+1$. If $n$ has an odd factor, say $n=r s$ with $r$ odd, then $2^{r s}+1$ is divisible by $2^s+1$, and is therefore not prime.

Exercise 1.4.4 If $n>1$ and $a^n-1$ is prime, prove that $a=2$ and $n$ is prime.
Solution. If $a>2$, then $a^n-1$ is divisible by $a-1$. So assume $a=2$. Then if $n$ has a factor, say $k$, then $2^k-1 \mid 2^n-1$. Therefore if $a^n-1$ is prime, $a=2$ and $n$ is prime. Numbers of this form are called Mersenne numbers.

代数数论代写

数学代写|代数数论代写Algebraic Number Theory代考|The ABC Conjecture

练习 1.3.1 假设 $A B C$ 猜想，表明如果 $x y z \neq 0$ 和 $x^n+y^n=z^n$ 对于三个互质整数 $x, y$ ，和 $z$ ，然后 $n$ 是有界 的。
解决方案。首先观察 $\max (|x|,|y|,|z|)>1$ 否则我们有 $x y z=0$. 由 $A B C$ 推测，我们有
$$
\max \left(|x|^n,|y|^n,|z|^n\right) \leq \kappa(\varepsilon)(\operatorname{rad}(x y z))^{1+\varepsilon} .
$$
不失一般性，假设 $\max (|x|,|y|,|z|)=|z|$. 我们推断 $|z|^n \leq \kappa(\varepsilon)|z|^{3+3 \varepsilon}$. 自从 $|z|>1$ ，我们得出结论 $n$ 是有界 的。
练习 1.3.2 让 $p$ 是奇表数。假设 $2^n \equiv 1(\bmod p)$ 和 $2^n \not \equiv 1\left(\bmod p^2\right)$. 显示 $2^d \not \equiv 1\left(\bmod p^2\right)$ 在哪里 $d$ 是顺 序 $2(\bmod p)$
解决方案。自从 $2^n \equiv 1(\bmod p)$ ，我们必须有 $d \mid n$. 写 $n=$ 这。如果 $2^d=1+k p$ 和 $p \mid k$ ，然后
$$
2^n=2^{\mathrm{de}}=(1+k p)^e \quad \equiv 1+k p e \quad\left(\bmod p^2\right) \equiv 1 \quad\left(\bmod p^2\right)
$$
一个矛盾。这证明了结果。

数学代写|代数数论代写Algebraic Number Theory代 考|Supplementary Problems

练习 1.4.1 证明 $\mathbb{Z}$ 是形式 $n \mathbb{Z}$ 对于某个整数 $n$.
解决方案。假设有一个理想 $I$ 这是不正确的。然后证明存在元溸 $a, b \in I$ 这样 $\operatorname{gcd}(a, b)=1$.
练习 1.4.2一个理想 $I$ 称为溸数，如果 $a b \in I$ 暗示 $a \in I$ 或者 $b \in I$. 证明每一个表理想 $\mathbb{Z}$ 是形式 $p \mathbb{Z}$ 对于一些嗉数 $p$.
解决方案。如果 $I$ 是一个理想，那么它是形式 $n \mathbb{Z}$ 对于某个整数 $n$ 通过上一个问题。然后 $a b \in I$ 暗示 $n \mid a b$. 但自 $从 I$ 是质数，要么 $a \in I$ 或者 $b \in I$ ，所以 $n \mid a$ 或者 $n \mid b$ ，暗示 $n$ 是质数。
练习 $1.4 .3$ 证明如果费马溸数的个数是有限的，则形式为 $2^n+1$ 是有限的。
解决方案。考虑形式的质数 $2^n+1$. 如果 $n$ 有一个奇怪的因溸，比如说 $n=r s$ 和 $r$ 那么奇怪 $2^{r s}+1$ 被整除 $2^s+1$ ，因此不是质数。
练习 1.4.4 如果 $n>1$ 和 $a^n-1$ 是质数，证明 $a=2$ 和 $n$ 是质数。
解决方案。如果 $a>2$ ，然后 $a^n-1$ 被整除 $a-1$. 所以假设 $a=2$. 那么如果 $n$ 有一个因絠，比如说 $k$ ，然后 $2^k-1 \mid 2^n-1$. 因此如果 $a^n-1$ 是质数， $a=2$ 和 $n$ 是质数。这种形式的数称为梅森数。

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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代数数论Algebraic Number Theory费马最后定理是由皮埃尔-德-费马于1637年首次猜想出来的，著名的是在一本《算术》的空白处，他声称他有一个大到无法放入空白处的证明。尽管在这358年中，无数的数学家作出了努力，但直到1995年才有成功的证明发表。这个未解决的问题在19世纪刺激了代数数论的发展，在20世纪刺激了模块化定理的证明。

代数数论Algebraic Number Theory代写，免费提交作业要求， 满意后付款，成绩80\%以下全额退款，安全省心无顾虑。专业硕 博写手团队，所有订单可靠准时，保证 100% 原创。 最高质量的代数数论Algebraic Number Theory作业代写，服务覆盖北美、欧洲、澳洲等 国家。 在代写价格方面，考虑到同学们的经济条件，在保障代写质量的前提下，我们为客户提供最合理的价格。 由于作业种类很多，同时其中的大部分作业在字数上都没有具体要求，因此代数数论Algebraic Number Theory作业代写的价格不固定。通常在专家查看完作业要求之后会给出报价。作业难度和截止日期对价格也有很大的影响。

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数学代写|代数数论代写Algebraic Number Theory代考|Dirichlet’s L-Functions

Let $m$ be a natural number and $\chi$ a Dirichlet character $\bmod m$. That is, $\chi$ is a homomorphism
$$
\chi:(\mathbb{Z} / m \mathbb{Z})^* \rightarrow \mathbb{C}^* .
$$
We extend the definition of $\chi$ to all natural numbers by setting
$$
\chi(a)= \begin{cases}\chi(a \bmod m) & \text { if }(a, m)=1, \ 0 & \text { otherwise }\end{cases}
$$
Now define the Dirichlet $L$-function:
$$
L(s, \chi)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\chi(n)}{n^s} .
$$
Exercise 10.3.1 Show that $L(s, \chi)$ converges absolutely for $\operatorname{Re}(s)>1$.
Exercise 10.3.2 Prove that
$$
\left|\sum_{n \leq x} \chi(n)\right| \leq m .
$$
Exercise 10.3.3 If $\chi$ is nontrivial, show that $L(s, \chi)$ extends to an analytic function for $\operatorname{Re}(s)>0$.
Exercise 10.3.4 For $\operatorname{Re}(s)>1$, show that
$$
L(s, \chi)=\prod_p\left(1-\frac{\chi(p)}{p^s}\right)^{-1}
$$

数学代写|代数数论代写Algebraic Number Theory代考|Primes in Arithmetic Progressions

In this section we will establish the infinitude of primes $p \equiv a(\bmod m)$ for any $a$ coprime to $m$.

Lemma 10.4.1 Let $\left{a_n\right}$ be a sequence of nonnegative numbers. There exists a $\sigma_0 \in \mathbb{R}$ (possibly infinite) such that
$$
f(s)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n^s}
$$
converges for $\sigma>\sigma_0$ and diverges for $\sigma<\sigma_0$. Moreover, if $s \in \mathbb{C}$, with $\operatorname{Re}(s)>\sigma_0$, then the series converges uniformly in $\operatorname{Re}(s) \geq \sigma_0+\delta$ for any $\delta>0$ and
$$
f^{(k)}(s)=(-1)^k \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n(\log n)^k}{n^s}
$$
for $\operatorname{Re}(s)>\sigma_0$. ( $\sigma_0$ is called the abscissa of convergence of the (Dirichlet) series $\sum_{n=1}^{\infty} a_n n^{-s}$.)

代数数论代写

数学代写|代数数论代写Algebraic Number Theory代考|Dirichlet’s L-Functions

让 $m$ 是一个自然数并且 $\chi$ 狄利克雷特征 $\bmod m$. 那是， $\chi$ 是同态
$$
\chi:(\mathbb{Z} / m \mathbb{Z})^* \rightarrow \mathbb{C}^* .
$$
我们扩展的定义 $\chi$ 通过设置所有自然数
$$
\chi(a)={\chi(a \bmod m) \quad \text { if }(a, m)=1,0 \quad \text { otherwise }
$$
现在定义 Dirichlet $L$-功能:
$$
L(s, \chi)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\chi(n)}{n^s} .
$$
练习 10.3.1 证明 $L(s, \chi)$ 绝对收敛于 $\operatorname{Re}(s)>1$.
练习 10.3.2 证明
$$
\left|\sum_{n \leq x} \chi(n)\right| \leq m .
$$
练习 10.3.3 如果 $\chi$ 是不平凡的，表明 $L(s, \chi)$ 扩展到一个分析函数 $\operatorname{Re}(s)>0$.
练习 10.3.4 对于 $\operatorname{Re}(s)>1$ ， 显示
$$
L(s, \chi)=\prod_p\left(1-\frac{\chi(p)}{p^s}\right)^{-1}
$$

数学代写|代数数论代写Algebraic Number Theory代考|Primes in Arithmetic Progressions

在本节中，我们将建立蛷数的无穷大 $p \equiv a(\bmod m)$ 对于任何 $a$ 互质于 $m$.
引理 10.4.1让 left 缺少或无法识别的分隔符
是一个非负数序列。存在一个 $\sigma_0 \in \mathbb{R}$ (可能是无限的) 使得
$$
f(s)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n^s}
$$
收敛于 $\sigma>\sigma_0$ 并发散 $\sigma<\sigma_0$. 此外，如果 $s \in \mathbb{C}$ ，和 $\operatorname{Re}(s)>\sigma_0$ 那么级数一致收㪉于 $\operatorname{Re}(s) \geq \sigma_0+\delta$ 对于任何 $\delta>0$ 和
$$
f^{(k)}(s)=(-1)^k \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n(\log n)^k}{n^s}
$$
为了 $\operatorname{Re}(s)>\sigma_0$. ( $\sigma_0$ 称为 (Dirichlet) 级数的收玫横坐标 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n n^{-s}$.)

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微观经济学代写

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微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

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什么是计量经济学？
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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|代数数论代写Algebraic Number Theory代考|The Norm and the Trace

We begin by defining two important rational numbers associated with an element of an algebraic number field $K$. Recall that if $K$ is an algebraic number field, then $K$ can be viewed as a finite-dimensional vector space over $\mathbb{Q}$. Then if $\alpha \in K$, the map from $K$ to $K$ defined by $\Phi_\alpha: v \rightarrow \alpha v$ defines a linear operator on $K$. We define the trace of $\alpha$ by $\operatorname{Tr}K(\alpha):=\operatorname{Tr}\left(\Phi\alpha\right)$ and the norm of $\alpha$ by $\mathrm{N}K(\alpha):=\operatorname{det}\left(\Phi\alpha\right)$ (where $\operatorname{Tr}$ and det are the usual trace and determinant of a linear map). We sometimes also use the notation $\operatorname{Tr}{K / \mathbb{Q}}$ for $\operatorname{Tr}_K$ and $\mathrm{N}{K / \mathbb{Q}}$ for $\mathrm{N}_K$.

Thus, to find $\operatorname{Tr}K(\alpha)$, we choose any $\mathbb{Q}$-basis $\omega_1, \omega_2, \ldots, \omega_n$ of $K$ and write $$ \alpha \omega_i=\sum a{i j} \omega_j \quad \forall i,
$$
so $\operatorname{Tr}K(\alpha)=\operatorname{Tr} A$ and $\mathrm{N}_K(\alpha)=\operatorname{det} A$ where $A$ is the matrix $\left(a{i j}\right)$.
Lemma 4.1.1 If $K$ is an algebraic number field of degree $n$ over $\mathbb{Q}$, and $\alpha \in \mathcal{O}_K$ its ring of integers, then $\operatorname{Tr}_K(\alpha)$ and $\mathrm{N}_K(\alpha)$ are in $\mathbb{Z}$.

Proof. We begin by writing $\alpha \omega_i=\sum_{j=1}^n a_{i j} \omega_j \forall i$. Then we have
$$
\alpha^{(k)} \omega_i^{(k)}=\sum_{j=1}^n a_{i j} \omega_j^{(k)} \quad \forall i, k,
$$
where $\alpha^{(k)}$ is the $k$ th conjugate of $\alpha$. We rewrite the above by introducing the Kronecker delta function to get
$$
\sum_{j=1}^n \delta_{j k} \alpha^{(j)} \omega_i^{(j)}=\sum_{j=1}^n a_{i j} \omega_j^{(k)},
$$
where $\delta_{i j}=\left{\begin{array}{ll}0 & \text { if } i \neq j, \ 1 & \text { if } i=j .\end{array}\right.$ Now, if we define the matrices
$$
A_0=\left(\alpha^{(i)} \delta_{i j}\right), \quad \Omega=\left(\omega_i^{(j)}\right), \quad A=\left(a_{i j}\right),
$$

数学代写|代数数论代写Algebraic Number Theory代考|Existence of an Integral Basis

Let $K$ be an algebraic number field of degree $n$ over $\mathbb{Q}$, and $\mathcal{O}K$ its ring of integers. We say that $\omega_1, \omega_2, \ldots, \omega_n$ is an integral basis for $K$ if $\omega_i \in \mathcal{O}_K$ for all $i$, and $\mathcal{O}_K=\mathbb{Z} \omega_1+\mathbb{Z} \omega_2+\cdots+\mathbb{Z} \omega_n$. Exercise 4.2.1 Show that $\exists \omega_1^, \omega_2^, \ldots, \omega_n^* \in K$ such that
$$
\mathcal{O}_K \subseteq \mathbb{Z} \omega_1^+\mathbb{Z} \omega_2^+\cdots+\mathbb{Z} \omega_n^* \text {. }
$$
Theorem 4.2.2 Let $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n$ be a set of generators for a finitely generated $\mathbb{Z}$-module $M$, and let $N$ be a submodule.
(a) $\exists \beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_m$ in $N$ with $m \leq n$ such that
$$
N=\mathbb{Z} \beta_1+\mathbb{Z} \beta_2+\cdots+\mathbb{Z} \beta_m
$$
and $\beta_i=\sum{j \geq i} p_{i j} \alpha_j$ with $1 \leq i \leq m$ and $p_{i j} \in \mathbb{Z}$
(b) If $m=n$, then $[M: N]=p_{11} p_{22} \cdots p_{n n}$.

Proof. (a) We will proceed by induction on the number of generators of a $\mathbb{Z}$-module. This is trivial when $n=0$. We can assume that we have proved the above statement to be true for all $\mathbb{Z}$-modules with $n-1$ or fewer generators, and proceed to prove it for $n$. We define $M^{\prime}$ to be the submodule generated by $\alpha_2, \alpha_3, \ldots, \alpha_n$ over $\mathbb{Z}$, and define $N^{\prime}$ to be $N \cap M^{\prime}$. Now, if $n=1$, then $M^{\prime}=0$ and there is nothing to prove. If $N=N^{\prime}$, then the statement is true by our induction hypothesis.

So we assume that $N \neq N^{\prime}$ and consider $A$, the set of all integers $k$ such that $\exists k_2, k_3, \ldots, k_n$ with $k \alpha_1+k_2 \alpha_2+\cdots+k_n \alpha_n \in N$. Since $N$ is a submodule, we deduce that $A$ is a subgroup of $\mathbb{Z}$. All additive subgroups of $\mathbb{Z}$ are of the form $m \mathbb{Z}$ for some integer $m$, and so $A=k_{11} \mathbb{Z}$ for some $k_{11}$. Then let $\beta_1=k_{11} \alpha_1+k_{12} \alpha_2+\cdots+k_{1 n} \alpha_n \in N$. If we have some $\alpha \in N$, then
$$
\alpha=\sum_{i=1}^n h_i \alpha_i
$$
with $h_i \in \mathbb{Z}$ and $h_1 \in A$ so $h_1=a k_{11}$. Therefore, $\alpha-a \beta_1 \in N^{\prime}$. By the induction hypothesis, there exist
$$
\beta_i=\sum_{j \geq i} k_{i j} \alpha_j,
$$
$i=2,3 \ldots, m$, which generate $N^{\prime}$ over $\mathbb{Z}$ and which satisfy all the conditions above. It is clear that adding $\beta_1$ to this list gives us a set of generators of $N$.

代数数论代写

数学代写|代数数论代写Algebraic Number Theory代考|The Norm and the Trace

我们首先定义两个与代数数域的元螦相的重要有理数 $K$. 回想 $-$ 下，如果 $K$ 是代数数域，则 $K$ 可以看作是 个有限维向量空间 $\mathbb{Q}$. 那 $\angle$ 如果 $\alpha \in K$ ，地图来自 $K$ 至 $K$ 被定义为 $\Phi_\alpha: v \rightarrow \alpha v$ 定义一个线侏算子 $K$. 我们定义的淙䢍 $\alpha$ 泾过 $\operatorname{Tr} K(\alpha):=\operatorname{Tr}(\Phi \alpha)$ 和 $\operatorname{Tr}K$ 和 $\mathrm{N} K / \mathbb{Q}$ 为了N $\mathrm{N}_K$. 因此，要找到 $\operatorname{Tr} K(\alpha)$ ，涐们选条任何 $\mathbb{Q}$-基础 $\omega_1, \omega_2, \ldots, \omega_n$ 的 $K$ 和写 $$ \alpha \omega_i=\sum a i j \omega_j \quad \forall i, $$ 所以 $\operatorname{Tr} K(\alpha)=\operatorname{Tr} A$ 和 $\mathrm{N}_K(\alpha)=\operatorname{det} A$ 在挪里 $A$ 是矩阵 (aij). 引理 4.1.1如果 $K$ 是度的代数数棫 $n$ 超过 $\mathbb{Q}$ ，和 $\alpha \in \mathcal{O}_K$ 它的㖦数坏，然后 $\operatorname{Tr}_K(\alpha)$ 和 $\mathrm{N}_K(\alpha)$ 在 $\mathbb{Z}$. 证明。我们从写作开始 $\alpha \omega_i=\sum{j=1}^n a_{i j} \omega_j \forall i$.然后我们有
$$
\alpha^{(k)} \omega_i^{(k)}=\sum_{j=1}^n a_{i j} \omega_j^{(k)} \quad \forall i, k,
$$
在哪里 $\alpha^{(k)}$ 是个 $k$ 的共䋆 $\alpha$. 涐们通过引入 Kronecker delta 函数重写上面的代码得到
$$
\sum_{j=1}^n \delta_{j k} \alpha^{(j)} \omega_i^{(j)}=\sum_{j=1}^n a_{i j} \omega_j^{(k)},
$$
其中 $\$ \backslash$ delta_ ${i j}=\backslash$ left {
$0 \quad$ if $i \neq j, 1 \quad$ if $i=j$.
、正确的. Now, ifwedefinethematrices $A_0=\left(\alpha^{(i)} \delta_{i j}\right), \quad \Omega=\left(\omega_i^{(j)}\right), \quad A=\left(a_{i j}\right), \$$

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$\mathcal{O}K=\mathbb{Z} \omega_1+\mathbb{Z} \omega_2+\cdots+\mathbb{Z} \omega_n$. 练习 $4.2 .1$ 证明 $\exists \omega_1^{\prime} \omega_2^{\prime} \ldots, \omega_n^* \in K$ 这详 $$ \mathcal{O}_K \subseteq \mathbb{Z} \omega_1^{+} \mathbb{Z} \omega_2^{+} \cdots+\mathbb{Z} \omega_n^* . $$ (一个) $\exists \beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_m$ 在 $N$ 和 $m \leq n$ 这样 $$ N=\mathbb{Z} \beta_1+\mathbb{Z} \beta_2+\cdots+\mathbb{Z} \beta_m $$ 和 $\beta_i=\sum j \geq i p{i j} \alpha_j$ 和 $1 \leq i \leq m$ 和 $p_{i j} \in \mathbb{Z}$
(b) 如果 $m=n$ ，然后 $[M: N]=p_{11} p_{22} \cdots p_{n n}$. 人都是正确的 $\mathbb{Z}$-模決与 $n-1$ 或更少的发电机，并继续止明它 $n$. 涐代定义 $M^{\prime}$ 成为由生成的子模块 $\alpha_2, \alpha_3, \ldots, \alpha_n$ 超过 $\mathbb{Z}$ ，并定义 真。
所以我们假设 $N \neq N^{\prime}$ 并考虞 $A$, 所有牧数的集合 $k$ 这样 $\exists k_2, k_3, \ldots, k_n$ 和 $k \alpha_1+k_2 \alpha_2+\cdots+k_n \alpha_n \in N$. 自从 $N$ 是一个子 $\beta_1=k_{11} \alpha_1+k_{12} \alpha_2+\cdots+k_{1 n} \alpha_n \in N$. 如果伐们有一些 $\alpha \in N$, 然后
$$
\alpha=\sum_{i=1}^n h_i \alpha_i
$$
和 $h_i \in \mathbb{Z}$ 和 $h_1 \in A$ 所以 $h_1=a k_{11}$. 所以， $\alpha-a \beta_1 \in N^{\prime}$. 根据纳纳假设， 存在
$$
\beta_i=\sum_{j \geq i} k_{i j} \alpha_j,
$$
$i=2,3 \ldots, m_{｝ \text { 生成 } N^{\prime} \text { 超过 } \mathbb{Z} \text { 并且满足以上所有条件。很明显, 浾加 } \beta_1 \text { 这个列表给了我们一组生成器 } N \text {. }$

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。