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连续时间的期权定价理论 Arbitrage Pricing in Continuous TimeAPT建立在单一价格法则的基础上，它表明在均衡市场中，理性投资者将实施套利，从而最终实现均衡价格。 因此，APT认为，当某一时期的套利机会被耗尽时，那么资产的预期收益是各种因素或理论市场指数的线性函数，其中每个因素的敏感性由特定因素的β系数或因素负荷来表示。因此，它为交易者提供了一个 “真实 “资产价值的指示，并能通过套利利用市场差异。APT的线性因子模型结构被用作评估资产配置、管理基金的业绩以及计算资本成本的基础。
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数学代写|连续时间的期权定价理论代写Arbitrage Pricing in Continuous Time代考|The Linear SDE
In this section we will study the linear SDE, which in the scalar case has the form
$$
\left{\begin{aligned}
d X_t &=a X_t d t+\sigma d W_t, \
X_0 &=x_0 .
\end{aligned}\right.
$$
This equation turns up in various physical applications, and we will also meet it below in connection with interest rate theory.
In order to get some feeling for how to solve this equation we recall that the linear ODE
$$
\frac{d x_t}{d t}=a x_t+u_t,
$$
where $u$ is a deterministic function of time, has the solution
$$
x_t=e^{a t} x_0+\int_0^t e^{a(t-s)} u_s d s .
$$
If we, for a moment, reason heuristically, then it is tempting to formally divide eqn (5.17) by $d t$. This would (formally) give us
$$
\frac{d X_t}{d t}=a X_t+\sigma \frac{d W_t}{d t},
$$
and, by analogy with the ODE above, one is led to conjecture the formal solution
$$
X_t=e^{a t} X_0+\sigma \int_0^t e^{a(t-s)} \frac{d W_s}{d s} d s=e^{a t} X_0+\sigma \int_0^t e^{a(t-s)} d W_s .
$$
Generally speaking, tricks like this will not work, since the solution of the ODE is based on ordinary calculus, whereas we have to use Itô calculus when dealing with SDEs. In this case, however, we have a linear structure, which means that the second order term in the Itô formula does not come into play. Thus the solution of the linear SDE is indeed given by the heuristically derived formula above. We formulate the result for a slightly more general situation, where we allow $X$ to be vector-valued.
数学代写|连续时间的期权定价理论代写Arbitrage Pricing in Continuous Time代考|The Infinitesimal Operator
Consider, as in Section 5.1, the $n$-dimensional SDE
$$
d X_t=\mu\left(t, X_t\right) d t+\sigma\left(t, X_t\right) d W_t .
$$
Through the Itô formula, the process above is closely connected to a partial differential operator $\mathcal{A}$, defined below. The next two sections are devoted to investigating the connections between, on the one hand, the analytical properties of the operator $\mathcal{A}$, and on the other hand the probabilistic properties of the process $X$ above.
Definition $5.4$ Given the SDE in (5.21), the partial differential operator $\mathcal{A}$, referred to as the infinitesimal operator of $X$, is defined, for any function $h(x)$ with $h \in C^2\left(R^n\right)$, by
$$
\mathcal{A} h(t, x)=\sum_{i=1}^n \mu_i(t, x) \frac{\partial h}{\partial x_i}(x)+\frac{1}{2} \sum_{i, j=1}^n C_{i j}(t, x) \frac{\partial^2 h}{\partial x_i \partial x_j}(x),
$$
where as before
$$
C(t, x)=\sigma(t, x) \sigma^{\star}(t, x) .
$$
连续时间的期权定价理论代写
数学代写连续时间的期权定价理论代写Arbitrage Pricing in Continuous Time代 考|The Linear SDE
在本节中，我们将研究线性 SDE，在标量情况下，其形式为
$\$ \$$
left {
$$
d X_t=a X_t d t+\sigma d W_t, X_0=x_0 .
$$
\正确的。
$\$ \$$
这个等式出现在各种物理应用中，我们还将在下面结合利率理论来满足它。
为了了解如何求解这个方程，我们回忆一下线性 ODE
$$
\frac{d x_t}{d t}=a x_t+u_t,
$$
在哪里 $u$ 是时间的确定性函数，有解
$$
x_t=e^{a t} x_0+\int_0^t e^{a(t-s)} u_s d s .
$$
如果我们暫时进行启发式推理，那么很容易将 eqn (5.17) 正式除以 dt. 这将 (正式) 给我们
$$
\frac{d X_t}{d t}=a X_t+\sigma \frac{d W_t}{d t},
$$
并且，通过与上面的 ODE 类比，人们可以推贬形式解㕫案
$$
X_t=e^{a t} X_0+\sigma \int_0^t e^{a(t-s)} \frac{d W_s}{d s} d s=e^{a t} X_0+\sigma \int_0^t e^{a(t-s)} d W_s .
$$
一般来说，这样的技巧是行不通的，因为 ODE 的解是基于普通微积分的，而在处理 SDE 时或们必须使用 Itô 微积分。然而，在这 种情况下，我们有一个线性结构，这意味差伊藤公式中的二阶项不起作用。因此，线性 SDE 的解确实由上面的启发式推导公式给 出。我们为稍微更一般的情况制定结果，我们允许 $X$ 为向量值。
数学代写连续时间的期权定价理论代写Arbitrage Pricing in Continuous Time代 考|The Infinitesimal Operator
如第 $5.1$ 节所述，考虑 $n$ 维SDE
$$
d X_t=\mu\left(t, X_t\right) d t+\sigma\left(t, X_t\right) d W_t .
$$
通过伊藤公式，上述过程与偏微分算子紧密相连 $\mathcal{A}$ ，定义如下。接下来的两节专门研究一方面，运算符的分析属性之间的联系 $\mathcal{A}$ ， 另一方面是过程的概率性质 $X$ 以上。
定义 $5.4$ 给定 (5.21) 中的 $\mathrm{SDE}$ ，偏微分算子 $\mathcal{A}$ ，称为无穷小算子 $X$ ，被定义，对于任何函数 $h(x)$ 和 $h \in C^2\left(R^n\right)$ ，经过
$$
\mathcal{A} h(t, x)=\sum_{i=1}^n \mu_i(t, x) \frac{\partial h}{\partial x_i}(x)+\frac{1}{2} \sum_{i, j=1}^n C_{i j}(t, x) \frac{\partial^2 h}{\partial x_i \partial x_j}(x),
$$
和以前一样
$$
C(t, x)=\sigma(t, x) \sigma^{\star}(t, x)
$$
数学代写|连续时间的期权定价理论代写Arbitrage Pricing in Continuous Time代考|MATH4511 请认准UprivateTA™. UprivateTA™为您的留学生涯保驾护航。
微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
