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## 数学网课代修|微积分代写calculus代考|MATH107 Proof of the p-test for integrals

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## 数学网课代修|微积分代写calculus代考|Proof of the p-test for integrals

We wish to prove that $\int_{1} \frac{1}{x^{p}} d x$ converges if $p>1$ and diverges if $p \leq 1$
Proof. For $p \neq 1$
\begin{aligned} \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{p}} d x &=\int_{1}^{\Omega} \frac{1}{x^{p}} d x=\int_{1}^{\Omega} x^{-p} d x \ &=\left.\frac{x^{-p+1}}{-p+1}\right|_{1} ^{\Omega} \ &=\frac{\Omega^{-p+1}}{-p+1}-\frac{1}{-p+1} \end{aligned}
For the case $p<1$, the quantity $-p+1$ is positive. Therefore, $\Omega^{-p+1}$ is infinite, and we may continue as $$\approx \frac{\Omega^{-p+1}}{-p+1} \doteq \infty$$ and the integral diverges. For the case $p>1$, the quantity $-p+1$ is negative; $-(-p+1)=p-1$ is positive. Therefore,
$$\Omega^{-p+1}=\frac{1}{\Omega^{-(-p+1)}}=\frac{1}{\Omega^{p-1}}=\omega^{p-1}$$
is infinitesimal. We may therefore continue the integral calculation as
$$\approx-\frac{1}{-p+1}=\frac{1}{p-1}$$
which is finite, and the integral converges.
The case $p=1$ was example 1 .

## 数学网课代修|微积分代写calculus代考|Improper integrals, type II: handling discontinuities

Consider the region under the curve $f(x)=\frac{1}{x^{2}}$ between $x=0$ and $x=1$, partially pictured in figure 1 . The function $f$ has an infinite discontinuity at $x=0$, a fact that we can verify by taking a limit:
$$\lim {x \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{x^{2}}=\frac{1}{(0+\omega)^{2}}=\frac{1}{\omega^{2}}=\Omega^{2} \doteq \infty .$$ What is the area of the region? Is it infinite? The usual method of calculating the area under the curve is to evaluate the integral $$\int{0}^{1} \frac{1}{x^{2}} d x$$
Once again, we are confronted with an integral for which FTC II does not apply directly. FTC II requires that the integrand be continuous on $[a, b]$, which for this integral is $[0,1]$, but we have a discontinuity at $x=0$. However, if we move over just slightly to the right of the vertical asymptote, from there to $x=1$, the function is continuous. By “just slightly,” we could mean “infinitesimally.” For any positive infinitesimal $\omega$, the function is continuous on $[\omega, 1]$, and FTC II applies (invoking the transfer principle again, because $\omega$ is not a real number). Now we evaluate that integral:
$$\int_{\omega}^{1} \frac{1}{x^{2}} d x=-\left.\frac{1}{x}\right|_{\omega} ^{1}=-1-\left(-\frac{1}{\omega}\right)=-1+\Omega \approx \Omega \doteq \infty .$$
The area is infinite, and we say the integral diverges. Such an integral is called an improper integral of type II and, as usual, we require the same real result be rendered for every positive infinitesimal $\omega$.

## 数学网课代修|微积分代写calculus代 考|Proof of the p-test for integrals

$$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{p}} d x=\int_{1}^{\Omega} \frac{1}{x^{p}} d x=\int_{1}^{\Omega} x^{-p} d x \quad=\left.\frac{x^{-p+1}}{-p+1}\right|{1} ^{\Omega}=\frac{\Omega^{-p+1}}{-p+1}-\frac{1}{-p+1}$$ 对于客件 $p<1$ ，数量 $-p+1$ 是积极的。所以， $\Omega^{-p+1}$ 是无限的，我们可以继续 $$\approx \frac{\Omega^{-p+1}}{-p+1} \doteq \infty$$ 并且积分发散。对于茎件 $p>1$ ， 数量 $-p+1$ 是否定的； $-(-p+1)=p-1$ 是积极的。 所以， $$\Omega^{-p+1}=\frac{1}{\Omega^{-(-p+1)}}=\frac{1}{\Omega^{p-1}}=\omega^{p-1}$$ 是无穷小的。因此，我们可以继续积分计算为 $$\approx-\frac{1}{-p+1}=\frac{1}{p-1}$$ 这是有限的，并且积分收敛。 案子 $p=1$ 是示例 1 。

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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## 数学网课代修|微积分代写calculus代考|MAC2233 p-Test for integrals

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## 数学网课代修|微积分代写calculus代考|p-Test for integrals

We have seen that $\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{2}} d x$ converges whereas $\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x} d x$ diverges. Theorem 1 summarizes results for similar functions.

Theorem $1 p$-TEST FOR INTEGRALS If $p>1, \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{p}} d x$ converges with value $\frac{1}{p-1}$. If $p \leq 1$, the integral diverges.

The proof of the $p$-test is given at the end of this section. First let’s look at its use with a few examples.

Example 6 Does the interval converge or diverge? (a) $\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{2}} d x$, (b) $\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x} d x$, (c) $\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{14}} d x$, (d) $\int_{1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{x}} d x .$

Solution (a) By the $p$-test for integrals with $p=2>1, \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{2}} d x$ converges.
(b) By the $p$-test for integrals with $p=1, \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x} d x$ diverges.
(c) By the $p$-test for integrals with $p=14>1, \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{14}} d x$ converges.
(d) By the $p$-test for integrals with $p=\frac{1}{2}<1, \int_{1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{x}} d x$ diverges.

## 数学网课代修|微积分代写calculus代考|Comparison theorem

For positive quantities, something larger than an infinite quantity is infinite, and something smaller than a finite quantity is finite.

Theorem 2 COMPARISON THEOREM If $0 \leq g(x) \leq f(x)$ for all $x \geq a$, and both $f$ and $g$ are continuous on $[a, \infty)$, then
(1) if $\int_{a}^{\infty} f(x) d x$ converges, so does $\int_{a}^{\infty} g(x) d x$, and
(2) if $\int_{a}^{\infty} g(x) d x$ diverges, then so does $\int_{a}^{\infty} f(x) d x$.
The comparison theorem is illustrated in figure 4. Suppose both $y=f(x)$ and $y=g(x)$ meet the conditions of the comparison theorem, so that $f$ lies above $g$. If the region under the curve $y=f(x)$ has a finite area, then $g$ must also, for it is smaller. If the region under the curve $y=g(x)$ has an infinite area, then $f$ must also, for it is larger.

## 数学网课代修微积分代写calculus代 考|p-Test for integrals

(b) 由 $p$ – 测试积分 $p=1, \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x} d x$ 分歧。
(c) 由 $p$ – 测试积分 $p=14>1, \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{14}} d x$ 收敛。
(d) 由 $p$ – 测试积分 $p=\frac{1}{2}<1, \int_{1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{x}} d x$ 分歧。

## 数学网课代修|微积分代写calculus代 考|Comparison theorem

(1) 如果 $\int_{a}^{\infty} f(x) d x$ 收敛，同样 $\int_{a}^{\infty} g(x) d x$, 和
(2) 如果 $\int_{a}^{\infty} g(x) d x$ 发散，然后也叐散 $\int_{a}^{\infty} f(x) d x$.

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。