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## 滑铁卢数学竞赛代考Waterloo Math Contest代考|Product formulas

These are derived from the four addition formulas:
\begin{aligned} &\cos (A+B)=\cos A \cos B-\sin A \sin B \ &\cos (A-B)=\cos A \cos B+\sin A \sin B \ &\sin (A+B)=\sin A \cos B+\cos A \sin B \ &\sin (A-B)=\sin A \cos B-\cos A \sin B \end{aligned}
(a) $+(\mathrm{b})$ gives:
$\cos A \cos B=\frac{1}{2}(\cos (A+B)+\cos (A-B)) \quad$ Product Formula $\mathbf{p}(\mathbf{i})$
(b) – (a) gives:
$\sin A \sin B=\frac{1}{2}(\cos (A-B)-\cos (A+B)) \quad$ Product Formula $p(i i)$
(c) $+(\mathrm{d})$ gives:
$\sin A \cos B=\frac{1}{2}(\sin (A+B)+\sin (A-B)) \quad$ Product Formula p $($ iii)
(c) $-$ (d) gives:
$\cos A \sin B=\frac{1}{2}(\sin (A+B)-\sin (A-B)) \quad$ Product Formula $\mathbf{p}($ iv $)$

## 滑铁卢数学竞赛代考Waterloo Math Contest代考|Sum formulas

This set of formulas allows us to achieve the opposite of what the product formulas do, namely, to express the sum or difference of two cosines, or of two sines, in terms of products.

If, in formulas $\mathrm{p}(\mathrm{i})$ through $\mathrm{p}$ (iv) above, we multiply both sides by 2 , reverse sides, and let $x=A+B$ and $y=A-B$, so that $A=\frac{x+y}{2}$, and $B=\frac{x-y}{2}$, then we have:
$\cos x+\cos y=2 \cos \left(\frac{x+y}{2}\right) \cos \left(\frac{x-y}{2}\right) \quad$ Sum Formula s(i)
$\cos y-\cos x=2 \sin \left(\frac{x+y}{2}\right) \sin \left(\frac{x-y}{2}\right) \quad$ Sum Formula s(ii)
$\sin x+\sin y=2 \sin \left(\frac{x+y}{2}\right) \cos \left(\frac{x-y}{2}\right)$
Sum Formula s(iii)
$\sin x-\sin y=2 \cos \left(\frac{x+y}{2}\right) \sin \left(\frac{x-y}{2}\right)$
Sum Formula s(iv)

## 滑铁卢数学竞赛代考Waterloo Math Contest代考|Product formulas

$$\cos (A+B)=\cos A \cos B-\sin A \sin B \quad \cos (A-B)=\cos A \cos B+\sin A \sin B \sin (A+B)=\sin A \cos B+\cos A \sin B \quad \sin (A-B)=\sin A \operatorname{co}$$
(一个) $+(\mathrm{b})$ 给出:
$\cos A \cos B=\frac{1}{2}(\cos (A+B)+\cos (A-B)) \quad$ 产品配方 $\mathbf{p}(\mathbf{i})$
(b) – (a) 给出:
$\sin A \sin B=\frac{1}{2}(\cos (A-B)-\cos (A+B)) \quad$ 产品配方 $p(i i)$
(C) $+(\mathrm{d})$ 给出:
$\sin A \cos B=\frac{1}{2}(\sin (A+B)+\sin (A-B)) \quad$ 产昭配方 $\mathrm{p}($ 三 $)$
(c) $-(\mathrm{d})$ 给出:
$\cos A \sin B=\frac{1}{2}(\sin (A+B)-\sin (A-B)) \quad$ 产品配方 $\mathbf{p}(\mathrm{iv})$

## 滑铁卢数学竞赛代考Waterloo Math Contest代考|Sum formulas

$B=\frac{x-y}{2}$ ，那么我们有:
$\cos x+\cos y=2 \cos \left(\frac{x+y}{2}\right) \cos \left(\frac{x-y}{2}\right)$ 求和公式 $\mathrm{s}(\mathrm{i})$
$\cos y-\cos x=2 \sin \left(\frac{x+y}{2}\right) \sin \left(\frac{x-y}{2}\right)$ 我是公式 $\mathrm{s}(\mathrm{ii})$
$\sin x+\sin y=2 \sin \left(\frac{x+y}{2}\right) \cos \left(\frac{x-y}{2}\right)$

$\sin x-\sin y=2 \cos \left(\frac{x+y}{2}\right) \sin \left(\frac{x-y}{2}\right)$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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Consider the points $P, Q, R, S$ and $T$ lying on the unit circle above. Observe that the arc-lengths from $S$ to $P$ and from $T$ to $Q$ are equal. Since equal arcs in a circle subtend equal chords, it follows from Pythagoras’ theorem that:
\begin{aligned} \sqrt{\left(\cos \left(s_1+s_2\right)-1\right)^2+\left(\sin \left(s_1+s_2\right)-0\right)^2} \ &=\sqrt{\left(\cos s_2-\cos s_1\right)^2+\left(\sin s_2-\left(-\sin s_1\right)\right)^2}, \ \cos ^2\left(s_1+s_2\right)+\sin ^2\left(s_1+s_2\right) &-2 \cos \left(s_1+s_2\right) \ &=\cos ^2 s_2+\sin ^2 s_2-2 \cos s_1 \cos s_2+\cos ^2 s_1 \ &+\sin ^2 s_1+2 \sin s_1 \sin s_2, \end{aligned}
hence $1-2 \cos \left(s_1+s_2\right)=1-2 \cos s_1 \cos s_2+2 \sin s_1 \sin s_2$, and therefore $\cos \left(s_1+s_2\right)=\cos s_1 \cos s_2-\sin s_1 \sin s_2$.
Thus, for any $A, B \in \mathbb{R}$,
$\cos (A+B)=\cos A \cos B-\sin A \sin B \quad$ Addition Formula $\mathbf{f}(\mathbf{i})$
It follows, by replacing $B$ with $-B$ and using the identities $\cos (-x)=\cos x$, $\sin (-x)=-\sin x$, that:
$\cos (A-B)=\cos A \cos B+\sin A \sin B \quad$ Addition Formula $\mathbf{f}(i i)$
We showed earlier on that $\cos \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\sin \alpha$. Letting $\alpha=A+B$, we have
$$\cos \left(\frac{\pi}{2}-(A+B)\right)=\sin (A+B)$$
therefore $\sin (A+B)=\cos \left(\left(\frac{\pi}{2}-A\right)-B\right)$
\begin{aligned} &=\cos \left(\frac{\pi}{2}-A\right) \cos B+\sin \left(\frac{\pi}{2}-A\right) \sin B \ &=\sin A \cos B+\cos A \sin B . \end{aligned}

## 滑铁卢数学竞赛代考Waterloo Math Contest代考|Double angle formulas

These are deduced by setting $A=B$ in the addition formulas above: from $f(i)$ $\cos 2 A=\cos ^2 A-\sin ^2 A$ Double Angle Formula d(i)

Now, since $\cos ^2 A+\sin ^2 A=1$,
\begin{aligned} \cos 2 A &=\left(1-\sin ^2 A\right)-\sin ^2 A \ &=1-2 \sin ^2 A . \end{aligned}
Hence $\cos 2 A=1-2 \sin ^2 A \quad$ Double Angle Formula d(ii)
Similarly, we can show:
$\cos 2 A=2 \cos ^2 A-1$ Double Angle Formula d(iii)
from $\mathrm{f}($ iii) $\sin 2 A=2 \sin A \cos A$ Double Angle Formula d(iv)
from $g(i) \quad \tan 2 A=\frac{2 \tan A}{1-\tan ^2 A} \quad$ Double Angle Formula $d(\mathbf{v})$

## 滑铁卢数学竞赛代考

$$\sqrt{\left(\cos \left(s_1+s_2\right)-1\right)^2+\left(\sin \left(s_1+s_2\right)-0\right)^2}=\sqrt{\left(\cos s_2-\cos s_1\right)^2+\left(\sin s_2-\left(-\sin s_1\right)\right)^2}, \cos ^2\left(s_1+s_2\right)+\sin ^2\left(s_1+s_2\right) \quad-2 \cos \left(s_1+s_2\right)=\operatorname{co}$$

$\cos (A+B)=\cos A \cos B-\sin A \sin B$ 加法公式 $f(i)$

$\cos (A-B)=\cos A \cos B+\sin A \sin B \quad$ 加法公式 $f(i i)$

$$\cos \left(\frac{\pi}{2}-(A+B)\right)=\sin (A+B)$$

$$=\cos \left(\frac{\pi}{2}-A\right) \cos B+\sin \left(\frac{\pi}{2}-A\right) \sin B \quad=\sin A \cos B+\cos A \sin B$$

## 滑铁卢数学竞赛代考Waterloo Math Contest代考|Double angle formulas

$$\cos 2 A=\left(1-\sin ^2 A\right)-\sin ^2 A \quad=1-2 \sin ^2 A .$$

$\cos 2 A=2 \cos ^2 A-1$ 双角公式 d(iii)

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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avatest™的各个学科专家已帮了学生顺利通过达上千场考试。我们保证您快速准时完成各时长和类型的考试，包括in class、take home、online、proctor。写手整理各样的资源来或按照您学校的资料教您，创造模拟试题，提供所有的问题例子，以保证您在真实考试中取得的通过率是85%以上。如果您有即将到来的每周、季考、期中或期末考试，我们都能帮助您！

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## 滑铁卢数学竞赛代考Waterloo Math Contest代考|The Unique Factorization Theorem

Here is a problem to help you to fully appreciate the tools of this section. You are invited to try it now. Its solution is given at the end of the section.
Appetizer Problem: $N$ is a natural number such that $\frac{N}{5}$ is a perfect square and $\frac{N}{2}$ is a perfect cube. The smallest value of $N$ for which $\frac{N}{3^3}$ is another natural number is:
(A) 2916000
(B) 729000
(C) 250000
(D) 1458000
(E) 364500 .
The fundamental theorem of arithmetic is that every natural number can be factored in essentially one way into a product of prime numbers. Here is the precise statement:

Theorem 5 Unique Factorization Theorem Any natural number $N$ can be written in precisely one way in the form
$$N=p_1^{z_1} p_2^{z_2} p_3^{z_3} \cdots p_k^{z_k}$$
where $p_1, p_2, \ldots, p_k$ are prime, $p_1<p_2<\cdots<p_k$, and $z_1, z_2, \ldots, z_k$ are positive integers.

## 滑铁卢数学竞赛代考Waterloo Math Contest代考|The Chinese Remainder Theorem

We start by considering a typical problem that can be solved easily with the help of the Chinese Remainder Theorem. You are invited to try it before looking at the methods of solution, one given immediately afterwards, and another (using the theorem) at the end of the section.

Appetizer Problem: Brilliant Duck in Bertrand Carroll’s fiction book ‘Mathland’ was indeed brilliant. She devised a quick way of counting her ducklings which was basically a residue evaluation process after division (separately) by 5, 3, and 11. She knew that:
(i) When counted by fives, 2 ducklings remained.
(ii) When counted by threes, 2 ducklings remained.
(iii) When counted by elevens, 3 ducklings remained.

## 滑铁卢数学竞赛代考Waterloo Math Contest代考|The Unique Factorization Theorem

(A) 2916000
(B) 729000
(C) 250000
(D) 1458000
(E) 364500 。

$$N=p_1^{z_1} p_2^{z_2} p_3^{z_3} \cdots p_k^{z_k}$$

## 滑铁卢数学竞赛代考Waterloo Math Contest代考|The Chinese Remainder Theorem

(i) 当按 5 计数时，剩下 2 只小鸭。
(ii) 按三点数，剩下 2 只小鸭。
(iii) 按 11 计数时，剩下 3 只小鸭。

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。