Category: Combinatorics

如果你也在 怎样代写组合学Combinatorics 这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。组合学Combinatorics是数学的一个领域，主要涉及计数（作为获得结果的手段和目的）以及有限结构的某些属性。主要涉及计数，作为获得结果的手段和目的，以及有限结构的某些属性。它与数学的许多其他领域密切相关，有许多应用，从逻辑学到统计物理学，从进化生物学到计算机科学。

组合学Combinatorics因其解决的问题的广泛性而闻名。组合问题出现在纯数学的许多领域，特别是在代数、概率论、拓扑学和几何学中，以及在其许多应用领域。许多组合问题在历史上被孤立地考虑，对某个数学背景下出现的问题给出一个临时性的解决方案。然而，在二十世纪后期，强大而普遍的理论方法被开发出来，使组合学本身成为一个独立的数学分支。组合学最古老和最容易理解的部分之一是图论，它本身与其他领域有许多自然联系。在计算机科学中，组合学经常被用来获得算法分析中的公式和估计。

组合学Combinatorics代写，免费提交作业要求， 满意后付款，成绩80\%以下全额退款，安全省心无顾虑。专业硕 博写手团队，所有订单可靠准时，保证 100% 原创。 最高质量的组合学Combinatorics作业代写，服务覆盖北美、欧洲、澳洲等 国家。 在代写价格方面，考虑到同学们的经济条件，在保障代写质量的前提下，我们为客户提供最合理的价格。 由于作业种类很多，同时其中的大部分作业在字数上都没有具体要求，因此组合学Combinatorics作业代写的价格不固定。通常在专家查看完作业要求之后会给出报价。作业难度和截止日期对价格也有很大的影响。

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在不断发展的过程中，avatest™如今已经成长为论文代写，留学生作业代写服务行业的翘楚和国际领先的教育集团。全体成员以诚信为圆心，以专业为半径，以贴心的服务时刻陪伴着您， 用专业的力量帮助国外学子取得学业上的成功。

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我们在数学Mathematics代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在组合学Combinatorics代写方面经验极为丰富，各种组合学Combinatorics相关的作业也就用不着 说。

数学代写|组合学代写Combinatorics代考|Spanning Trees

Suppose we wish to install “lines” to link various sites together. A site may be a computer installation, a town or a spy. A line may be a digital communication channel, a rail line or a contact arrangement. We’ll assume that

• a line operates in both directions;
• it must be possible to get from any site to any other site using lines;
• each possible line has a cost (rental rate, construction costs or likelihood of detection) independent of each other line’s cost;
• we want to choose lines to minimize the total cost.
  We can think of the sites as vertices $V$ in a graph, the lines as edges $E$ and the costs as a function $\lambda$ from the edges to the real numbers. Let $T=\left(V, E^{\prime}\right)$ be a subgraph of $G=(V, E)$. Define $\lambda(T)$, the weight of $T$, to be the sum of $\lambda(e)$ over all $e \in E^{\prime}$. Minimizing total cost means choosing $T$ so that $\lambda(T)$ is a minimum. Getting from one site to another means choosing $T$ so that it is connected. It follows that we should choose $T$ to be a spanning tree-if $T$ had more edges than in a spanning tree, we could delete some; if $T$ had less, it would not be connected. (See Exercise 5.4.2 (p. 139).) We call such a $T$ a minimum weight spanning tree of $(G, \lambda)$, or simply of $G$, with $\lambda$ understood from context.

数学代写|组合学代写Combinatorics代考|Lineal Spanning Trees

If we simply want to find any spanning tree of $G$, we can choose any values for the function $\lambda$, and use the minimal weight spanning tree algorithm of Theorem 6.1. Put another way, in Step 3 we may choose any edge $f \in F$. Sometimes it is important to restrict the choice of $f$ in some way so that the spanning tree will have some special property other than being minimal.

An important example of such a special property concerns certain rooted spanning trees. To define the trees we are interested in, we borrow some terminology from genealogy.

Definition 6.2 Lineal spanning tree Let $x$ and $y$ be two vertices in a rooted tree with root $r$. If $x$ is on the path connecting $r$ to $y$, we say that $y$ is a descendant of $x$. (In particular, all vertices are descendants of $r$.) If one of $u$ and $v$ is a descendant of the other, we say that ${u, v}$ is a lineal pair. A lineal spanning tree or depth first spanning tree of a connected graph $G=(V, E)$ is a rooted spanning tree of $G$ such that each edge ${u, v}$ of $G$ is a lineal pair.
To see some examples of a lineal spanning tree, look back at Figure 5.5 (p. 139). It is the lineal spanning tree of a graph, namely itself. We can add some edges to this graph, for example ${a, f}$ and ${b, j}$ and still have Figure 5.5 as a lineal spanning tree. On the other hand, if we added the edge ${e, j}$, the graph would not have Figure 5.5 as a lineal spanning tree.

How can we find a lineal spanning tree of a graph? That question may be a bit premature-we don’t even know when such a tree exists. We’ll prove

Theorem 6.2 Lineal spanning tree existence Every connected graph $G$ has a lineal spanning tree. In fact, given any vertex $r$ of $G$, there is a lineal spanning tree of $G$ with root $r$.

组合学代写

数学代写|组合学代写Combinatorics代考|Spanning Trees

假设我们希望安装“线路”将不同的站点连接在一起。一个地点可能是一个电脑装置，一个城镇或一个间谍。线路可以是数字通信通道、铁路线或触点安排。我们假设

一条线在两个方向上运行;

必须能够使用线路从任何地点到达任何其他地点;

每条可能的线路都有独立于其他线路成本的成本(租金、建设成本或检测的可能性);

我们希望选择总成本最小的线路。
我们可以将站点视为图中的顶点$V$，将线视为边$E$，将成本视为从边到实数的函数$\lambda$。设$T=\left(V, E^{\prime}\right)$是$G=(V, E)$的子图。定义$\lambda(T)$, $T$的权重，等于$\lambda(e)$除以所有$e \in E^{\prime}$的和。最小化总成本意味着选择$T$，使$\lambda(T)$最小。从一个站点到另一个站点意味着选择$T$以便它是连接的。因此，我们应该选择$T$作为生成树——如果$T$的边比生成树的多，我们可以删除一些;如果$T$少了，它就不会被连接。(参见练习5.4.2)。我们称这样的$T$为$(G, \lambda)$的最小权值生成树，或者简称为$G$, $\lambda$是根据上下文来理解的。

数学代写|组合学代写Combinatorics代考|Lineal Spanning Trees

如果我们只是想找到$G$的任何生成树，我们可以为函数$\lambda$选择任何值，并使用定理6.1中的最小权值生成树算法。换句话说，在步骤3中，我们可以选择任何边$f \in F$。有时候，以某种方式限制$f$的选择是很重要的，这样生成树就会有一些特殊的属性，而不是最小的。

这种特殊性质的一个重要例子与某些有根生成树有关。为了定义我们感兴趣的树，我们从系谱学中借用了一些术语。

定义6.2线性生成树设$x$和$y$为根为$r$的根树中的两个顶点。如果$x$在连接$r$到$y$的路径上，我们说$y$是$x$的后代。(特别地，所有顶点都是$r$的后代。)如果$u$和$v$中的一个是另一个的后代，我们说${u, v}$是一个线性对。连通图的线性生成树或深度优先生成树$G=(V, E)$是$G$的根生成树，使得$G$的每条边${u, v}$都是一个线性对。
要查看一些线性生成树的示例，请参见图5.5(第139页)。它是一个图的线性生成树，也就是它本身。我们可以给这个图添加一些边，例如${a, f}$和${b, j}$，并且仍然将图5.5作为一个线性生成树。另一方面，如果我们添加了边${e, j}$，那么图5.5就不是线性生成树了。

我们如何找到一个图的线性生成树?这个问题可能有点为时过早——我们甚至不知道这种树是什么时候存在的。我们会证明

定理6.2线性生成树的存在性每个连通图$G$都有一棵线性生成树。事实上，给定$G$的任意顶点$r$，存在一棵线性生成树$G$，其根为$r$。

数学代写|组合学代写Combinatorics代考 请认准UprivateTA™. UprivateTA™为您的留学生涯保驾护航。

微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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组合学Combinatorics因其解决的问题的广泛性而闻名。组合问题出现在纯数学的许多领域，特别是在代数、概率论、拓扑学和几何学中，以及在其许多应用领域。许多组合问题在历史上被孤立地考虑，对某个数学背景下出现的问题给出一个临时性的解决方案。然而，在二十世纪后期，强大而普遍的理论方法被开发出来，使组合学本身成为一个独立的数学分支。组合学最古老和最容易理解的部分之一是图论，它本身与其他领域有许多自然联系。在计算机科学中，组合学经常被用来获得算法分析中的公式和估计。

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If we simply want to find any spanning tree of $G$, we can choose any values for the function $\lambda$, and use the minimal weight spanning tree algorithm of Theorem 6.1. Put another way, in Step 3 we may choose any edge $f \in F$. Sometimes it is important to restrict the choice of $f$ in some way so that the spanning tree will have some special property other than being minimal.

An important example of such a special property concerns certain rooted spanning trees. To define the trees we are interested in, we borrow some terminology from genealogy.

Definition 6.2 Lineal spanning tree Let $x$ and $y$ be two vertices in a rooted tree with root $r$. If $x$ is on the path connecting $r$ to $y$, we say that $y$ is a descendant of $x$. (In particular, all vertices are descendants of $r$.) If one of $u$ and $v$ is a descendant of the other, we say that ${u, v}$ is a lineal pair. A lineal spanning tree or depth first spanning tree of a connected graph $G=(V, E)$ is a rooted spanning tree of $G$ such that each edge ${u, v}$ of $G$ is a lineal pair.
To see some examples of a lineal spanning tree, look back at Figure 5.5 (p. 139). It is the lineal spanning tree of a graph, namely itself. We can add some edges to this graph, for example ${a, f}$ and ${b, j}$ and still have Figure 5.5 as a lineal spanning tree. On the other hand, if we added the edge ${e, j}$, the graph would not have Figure 5.5 as a lineal spanning tree.

How can we find a lineal spanning tree of a graph? That question may be a bit premature-we don’t even know when such a tree exists. We’ll prove

Theorem 6.2 Lineal spanning tree existence Every connected graph $G$ has a lineal spanning tree. In fact, given any vertex $r$ of $G$, there is a lineal spanning tree of $G$ with root $r$.

组合学代写

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假设我们希望安装“线路”将不同的站点连接在一起。一个地点可能是一个电脑装置，一个城镇或一个间谍。线路可以是数字通信通道、铁路线或触点安排。我们假设

一条线在两个方向上运行;

必须能够使用线路从任何地点到达任何其他地点;

每条可能的线路都有独立于其他线路成本的成本(租金、建设成本或检测的可能性);

我们希望选择总成本最小的线路。
我们可以将站点视为图中的顶点$V$，将线视为边$E$，将成本视为从边到实数的函数$\lambda$。设$T=\left(V, E^{\prime}\right)$是$G=(V, E)$的子图。定义$\lambda(T)$, $T$的权重，等于$\lambda(e)$除以所有$e \in E^{\prime}$的和。最小化总成本意味着选择$T$，使$\lambda(T)$最小。从一个站点到另一个站点意味着选择$T$以便它是连接的。因此，我们应该选择$T$作为生成树——如果$T$的边比生成树的多，我们可以删除一些;如果$T$少了，它就不会被连接。(参见练习5.4.2)。我们称这样的$T$为$(G, \lambda)$的最小权值生成树，或者简称为$G$, $\lambda$是根据上下文来理解的。

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这种特殊性质的一个重要例子与某些有根生成树有关。为了定义我们感兴趣的树，我们从系谱学中借用了一些术语。

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要查看一些线性生成树的示例，请参见图5.5(第139页)。它是一个图的线性生成树，也就是它本身。我们可以给这个图添加一些边，例如${a, f}$和${b, j}$，并且仍然将图5.5作为一个线性生成树。另一方面，如果我们添加了边${e, j}$，那么图5.5就不是线性生成树了。

我们如何找到一个图的线性生成树?这个问题可能有点为时过早——我们甚至不知道这种树是什么时候存在的。我们会证明

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微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|组合学代写Combinatorics代考|What is a Graph?

There are various types of graphs, each with its own definition. Unfortunately, some people apply the term “graph” rather loosely, so you can’t be sure what type of graph they’re talking about unless you ask them. After you have finished this chapter, we expect you to use the terminology carefully, not loosely. To motivate the various definitions, we’ll begin with some examples.

Example 5.1 A computer network Computers are often linked with one another so that they can interchange information. Given a collection of computers, we would like to describe this linkage in fairly clean terms so that we can answer questions such as “How can we send a message from computer A to computer B using the fewest possible intermediate computers?”

We could do this by making a list that consists of pairs of computers that are connected. Note that these pairs are unordered since, if computer $\mathrm{C}$ can communicate with computer D, then the reverse is also true. (There are sometimes exceptions to this, but they are rare and we will assume that our collection of computers does not have such an exception.) Also, note that we have implicitly assumed that the computers are distinguished from each other: It is insufficient to say that “A PC is connected to a Mac.” We must specify which PC and which Mac. Thus, each computer has a unique identifying label of some sort.

For people who like pictures rather than lists, we can put dots on a piece of paper, one for each computer. We label each dot with a computer’s identifying label and draw a curve connecting two dots if and only if the corresponding computers are connected. Note that the shape of the curve does not matter (it could be a straight line or something more complicated) because we are only interested in whether two computers are connected or not. Figure 5.1 shows such a picture. Each computer has been labeled by the initials of its owner.

Recall that $\mathcal{P}_2(V)$ stands for the set of all two element subsets of the set $V$. Based on our computer example we have

Definition 5.1 Simple graph A simple graph $G$ is a set $V$, called the vertices of $G$, and a subset $E$ of $\mathcal{P}_2(V)$ (i.e., a set $E$ of 2 element subsets of $V$ ), called the edges of $G$. We can represent this by writing $G=(V, E)$.

In our case, the vertices are the computers and a pair of computers is in $E$ if and only if they are connected.

数学代写|组合学代写Combinatorics代考|Equivalence Relations and Unlabeled Graphs

Sometimes we are interested only in the “structure” of a graph and not in the names (labels) of the vertices and edges. In this case we are interested in what is called an unlabeled graph. A picture of an unlabeled graph can be obtained from a picture of a graph by erasing all of the names on the vertices and edges. This concept is simple enough, but is difficult to use mathematically because the idea of a picture is not very precise.

The concept of an equivalence relation on a set is an important concept in mathematics and computer science. We used the idea in Section 4.3, but did not discuss it much there. We’ll explore it more fully here and will use it to rigorously define unlabeled graphs. Later we will use it to define connected components and biconnected components. We recall the definition given in Section 4.3:

Definition 5.3 Equivalence relation An equivalence relation on a set $S$ is a partition of $S$. We say that $s, t \in S$ are equivalent if and only if they belong to the same block. If the symbol $\sim$ denotes the equivalence relation, then we write $s \sim t$ to indicate that $s$ and $t$ are equivalent.
Example 5.4 To refresh your memory, we’ll look at some simple equivalence relations.
Let $S$ be any set and let all the blocks of the partition have one element. Two elements of $S$ are equivalent if and only if they are the same. This rather trivial equivalence relation is, of course, denoted by “=”.

Now let the set be the integers $\mathbb{Z}$. Let’s try to define an equivalence relation by saying that $n$ and $k$ are equivalent if and only if they differ by a multiple of 24 . Is this an equivalence relation? If it is we should be able to find the blocks of the partition. There are 24 of them, which we could number $0, \ldots, 23$. Block $j$ consists of all integers which equal $j$ plus a multiple of 24 ; that is, they have a remainder of $j$ when divided by 24 . Since two numbers belong to the same block if and only if they both have the same remainder when divided by 24 , it follows that they belong to the same block if and only if their difference gives a remainder of 0 when divided by 24 , which is the same as saying their difference is a multiple of 24 . Thus this partition does indeed give the desired equivalence relation.

组合学代写

数学代写|组合学代写Combinatorics代考|What is a Graph?

有各种各样的图形，每种图形都有自己的定义。不幸的是，有些人对“图”这个词的使用很松散，所以除非你问他们，否则你无法确定他们所说的是什么类型的图。在你读完这一章之后，我们希望你仔细地使用术语，而不是松散地使用。为了解释这些不同的定义，我们将从一些例子开始。

例5.1计算机网络计算机经常相互连接以便交换信息。给定一组计算机，我们希望用相当清晰的术语描述这种联系，以便我们能够回答诸如“我们如何使用尽可能少的中间计算机将信息从计算机a发送到计算机B ?”

我们可以做一个由连接的计算机对组成的列表。请注意，这些对是无序的，因为如果计算机$\ maththrm {C}$可以与计算机D通信，那么反过来也是正确的。(有时也有例外，但它们很少见，我们假定我们收集的计算机没有这种例外。)另外，请注意，我们已经含蓄地假设了这两种计算机之间是有区别的:仅仅说“一台PC连接到一台Mac”是不够的。我们必须指定哪台PC和哪台Mac。因此，每台计算机都有某种唯一的标识标签。

对于喜欢图片而不是列表的人，我们可以在一张纸上画点，每台电脑一个点。我们用计算机的识别标签标记每个点，当且仅当相应的计算机连接时，绘制连接两个点的曲线。注意，曲线的形状并不重要(它可能是一条直线或更复杂的曲线)，因为我们只对两台计算机是否连接感兴趣。如图5.1所示。每台电脑都标有其主人姓名的首字母。

回想一下，$\mathcal{P}_2(V)$表示集合$V$的所有两个元素子集的集合。基于我们的计算机例子

一个简单图$G$是一个集合$V$，称为$G$的顶点，和$\mathcal{P}_2(V)$的子集$E$(即$V$的2个元素子集的集合$E$)，称为$G$的边。我们可以这样表示$G=(V, E)$。

在我们的例子中，顶点是计算机一对计算机在$E$中当且仅当它们是连接的。

数学代写|组合学代写Combinatorics代考|Equivalence Relations and Unlabeled Graphs

有时我们只对图的“结构”感兴趣，而对顶点和边的名称(标签)不感兴趣。在这种情况下，我们感兴趣的是所谓的无标记图。通过擦除顶点和边上的所有名称，可以从图的图片中获得未标记图的图片。这个概念很简单，但很难在数学上运用，因为图像的概念不是很精确。

集合上的等价关系是数学和计算机科学中的一个重要概念。我们在4.3节中使用了这个想法，但在那里没有讨论太多。我们将在这里更全面地探索它，并将使用它来严格定义未标记的图。稍后我们将使用它来定义连接组件和双连接组件。我们回顾4.3节给出的定义:

5.3等价关系集合$S$上的等价关系是$S$的一个分区。我们说$s, t \在s $中是等价的当且仅当它们属于同一块。如果符号$\sim$表示等价关系，那么我们写$s \sim t$表示$s$和$t$是等价的。
为了刷新你的记忆，我们来看一些简单的等价关系。
设$S$为任意集合，且分区的所有块都有一个元素。$S$的两个元素相等当且仅当它们相同。当然，这个相当平凡的等价关系用“=”表示。

现在设集合为整数$\mathbb{Z}$。我们试着定义一个等价关系当且仅当n和k相差24倍时它们是等价的。这是等价关系吗?如果是，我们应该能够找到分区的块。一共有24个，我们可以记为$0，$ 1，$ 23。块$j$由等于$j$加上24的倍数的所有整数组成;也就是说，它们的余数是j除以24。因为当且仅当两个数除以24余数相同时，它们属于同一块，因此，当且仅当它们的差除以24余数为0时，它们属于同一块，也就是说它们的差是24的倍数。因此，这个划分确实给出了期望的等价关系。

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

如果你也在 怎样代写组合学Combinatorics 这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。组合学Combinatorics是数学的一个领域，主要涉及计数（作为获得结果的手段和目的）以及有限结构的某些属性。主要涉及计数，作为获得结果的手段和目的，以及有限结构的某些属性。它与数学的许多其他领域密切相关，有许多应用，从逻辑学到统计物理学，从进化生物学到计算机科学。

组合学Combinatorics因其解决的问题的广泛性而闻名。组合问题出现在纯数学的许多领域，特别是在代数、概率论、拓扑学和几何学中，以及在其许多应用领域。许多组合问题在历史上被孤立地考虑，对某个数学背景下出现的问题给出一个临时性的解决方案。然而，在二十世纪后期，强大而普遍的理论方法被开发出来，使组合学本身成为一个独立的数学分支。组合学最古老和最容易理解的部分之一是图论，它本身与其他领域有许多自然联系。在计算机科学中，组合学经常被用来获得算法分析中的公式和估计。

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数学代写|组合学代写Combinatorics代考|Calculating UNRANK

The basic principle for unranking is greed.
Definition 3.3 Greedy algorithm A greedy algorithm is a multistep algorithm that obtains as much as possible at the present step with no concern for the future.

The method of long division is an example of a greedy algorithm: If $d$ is the divisor, then at each step you subtract off the largest possible number of the form $\left(k \times 10^n\right) d$ from the dividend that leaves a nonnegative number and has $1 \leq k \leq 9$.

The greedy algorithm for computing UNRANK is to choose $D_1$, then $D_2$ and so on, each $D_i$ as large as possible at the time it is chosen. What do we mean by “as large as possible?” Suppose we are calculating UNRANK $(m)$. If $D_1, \ldots, D_{i-1}$ have been chosen, then make $D_i$ as big as possible subject to the condition that $\sum_{j=1}^i \Delta\left(e_j\right) \leq m$.

Why does this work? Suppose that $D_1, \ldots, D_{i-1}$ have been chosen by the greedy algorithm and are part of the correct path. (This is certainly true when $i=1$ because the sequence is empty!) We will prove that $D_i$ chosen by the greedy algorithm is also part of the correct path.

Suppose that a path starts $D_1, \ldots, D_{i-1}, D_i^{\prime}$. If $D_i^{\prime}>D_i$, this cannot be part of the correct path because the definition of $D_i$ gives $\Delta\left(e_1\right)+\cdots+\Delta\left(e_{i-1}\right)+\Delta\left(e_i^{\prime}\right)>m$.

Now suppose that $D_i^{\prime}<D_i$. Let $x$ be the leftmost leaf reachable from the decision sequences that start $D_1, \ldots, D_i$. Clearly $\operatorname{RANK}(x)=\Delta\left(e_1\right)+\cdots+\Delta\left(e_i\right) \leq m$. Thus any leaf to the left of $x$ will have rank less than $m$. Since all leaves reachable from $D_i^{\prime}$ are to the left of $x, D_i^{\prime}$ is not part of the correct decision sequence.

We have proven that if $D_i^{\prime} \neq D_i$, then $D_1, \ldots, D_{i-1}, D_i^{\prime}$ is not part of the correct path. It follows that $D_1, \ldots, D_{i-1}, D_i$ must be part of the correct path.

As we shall see, it’s a straightforward matter to apply the greedy algorithm to unranking if we have the values of $\Delta$ available for various edges in the decision tree.

数学代写|组合学代写Combinatorics代考|Gray Codes

Suppose we want to write a program that will have a loop that runs through all permutations of $n$. One way to do this is to run through numbers $0, \ldots, n !-1$ and apply UNRANK to each of them. This may not be the best way to construct such a loop. One reason is that computing UNRANK may be time consuming. Another, sometimes more important reason is that it may be much easier to deal with a permutation that does not differ very much from the previous one. For example, if we had $n$ large blocks of data of various lengths that had to be in the order given by the permutation, it would be nice if we could produce the next permutation simply by swapping two adjacent blocks of data.

Methods that list the elements of a set so that adjacent elements in the list are, in some natural sense, close together are called Gray codes.

Suppose we are given a set of objects and a notion of closeness. How does finding a Gray code compare with finding a ranking and unranking algorithm? The manner in which the objects are defined often suggests a natural way of listing the objects, which leads to an efficient ranking algorithm (and hence a greedy unranking algorithm). In contrast, the notion of closeness seldom suggests a Gray code. Thus finding a Gray code is usually harder than finding a ranking algorithm. If we are able to find a Gray code, an even harder problem appears: Find, if possible, an efficient ranking algorithm for listing the objects in the order given by the Gray code.
All we’ll do is discuss one of the simplest Gray codes.

组合学代写

数学代写|组合学代写Combinatorics代考|Calculating UNRANK

排名的基本原则是贪婪。
3.3贪心算法贪心算法是一种多步算法，它在当前步骤中获取尽可能多的东西，而不考虑未来。

长除法是贪婪算法的一个例子:如果$d$是除数，那么在每一步中，你从被除数中减去$\左(k \乘以10^n\右)d$形式的最大可能数，这将留下一个非负数，并且有$1 \leq k \leq 9$。

计算UNRANK的贪心算法是先选择$D_1$，再选择$D_2$，以此类推，每个$D_i$在被选择的时候尽可能的大。我们所说的“尽可能大”是什么意思?假设我们正在计算UNRANK $(m)$。如果$D_1， \ldots, D_{i-1}$已经被选择，那么在$\sum_{j=1}^i \Delta\left(e_j\right) \leq m$的条件下，使$D_i$尽可能大。

为什么会这样呢?假设$D_1， \ldots, D_{i-1}$已经被贪婪算法选择，并且是正确路径的一部分。(当$i=1$时，这当然是正确的，因为序列是空的!)我们将证明贪心算法选择的$D_i$也是正确路径的一部分。

假设路径以$D_1， \ldots, D_{i-1}， D_i^{\prime}$开头。如果$D_i^{\prime}>D_i$，它不可能是正确路径的一部分，因为$D_i$的定义给出$\Delta\left(e_1\right)+\cdots+\Delta\left(e_{i-1}\right)+\Delta\left(e_i^{\prime}\right)>m$。

现在假设$D_i^{\prime}<D_i$。设$x$为从$D_1， \ldots, D_i$开始的决策序列中可到达的最左边的叶子。显然$\operatorname{RANK}(x)=\Delta\left(e_1\right)+\cdots+\Delta\left(e_i\right) \leq m$。因此，在$x$左边的任何叶子的秩都小于$m$。由于从$D_i^{\prime}$可到达的所有叶子都在$x的左边，所以D_i^{\prime}$不是正确决策序列的一部分。

我们已经证明了如果$D_i^{\prime} \neq D_i$，那么$D_1， \ldots, D_{i-1}， D_i^{\prime}$不是正确路径的一部分。因此，$D_1， \ldots, D_{i-1}， D_i$必须是正确路径的一部分。

正如我们将看到的，如果我们对决策树中的各个边有$\Delta$可用的值，那么应用贪婪算法来取消排序是一件很简单的事情。

数学代写|组合学代写Combinatorics代考|Gray Codes

假设我们想要编写一个程序，它将有一个循环来遍历n的所有排列。一种方法是遍历数字$0，\ldots, n !-1$，并对每个数字应用UNRANK。这可能不是构造这种循环的最佳方式。一个原因是计算UNRANK可能很耗时。另一个，有时更重要的原因是，处理与前一个没有太大差异的排列可能会容易得多。例如，如果我们有$n$个不同长度的大数据块，它们必须按照排列顺序排列，如果我们可以通过交换两个相邻的数据块来产生下一个排列，那就太好了。

列出一个集合的元素，使列表中相邻的元素在某种自然意义上紧密相连的方法称为格雷码。

假设我们有一组对象和一个接近度的概念。如何查找Gray代码与查找排序和不排序算法进行比较?对象的定义方式通常建议列出对象的自然方式，这将导致有效的排序算法(因此是贪婪的不排序算法)。相比之下，亲密度的概念很少暗示格雷法则。因此，找到格雷码通常比找到排序算法更难。如果我们能够找到一个格雷码，一个更困难的问题就出现了:如果可能的话，找到一个有效的排序算法，按照格雷码给出的顺序列出对象。
我们要讨论的是最简单的格雷密码之一。

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微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

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什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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组合学Combinatorics因其解决的问题的广泛性而闻名。组合问题出现在纯数学的许多领域，特别是在代数、概率论、拓扑学和几何学中，以及在其许多应用领域。许多组合问题在历史上被孤立地考虑，对某个数学背景下出现的问题给出一个临时性的解决方案。然而，在二十世纪后期，强大而普遍的理论方法被开发出来，使组合学本身成为一个独立的数学分支。组合学最古老和最容易理解的部分之一是图论，它本身与其他领域有许多自然联系。在计算机科学中，组合学经常被用来获得算法分析中的公式和估计。

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数学代写|组合学代写Combinatorics代考|The Pigeonhole Principle

The Pigeonhole Principle is a method for obtaining statements of the form
If $n \geq g(d)$, then $\mathcal{A}(n, d)$,
where $\mathcal{A}$ is a statement and $g$ is some function depending on $\mathcal{A}$. For example, we’ll see that, if $n \geq d^2+1$, then any sequence of $n$ distinct numbers contains a monotonic subsequence of length $d$. (What follows “then” is $\mathcal{A}(n, d)$.)
Here is a statement of the principle in two forms.
Theorem 2.5 Pigeonhole Principle Function form: Suppose $A$ and $B$ are sets with $|A|>|B|$, then for every function $f: A \rightarrow B$ there is a $b \in B$ with $\left|f^{-1}(b)\right|>1$.
Partition form: Suppose $\mathcal{P}$ is a partition of the set $A$ into less than $|A|$ blocks. Then some block contains more than one element of $A$.

You should be able to prove this theorem. In fact, it is so simple we should probably not even call it a theorem. To see why the two forms of the theorem are equivalent, first suppose $f: A \rightarrow B$. Let $\mathcal{P}$ be the coimage of $f$. It must have at most $|B|<|A|$ blocks. Conversely suppose $\mathcal{P}$ is a partition of $A$. Number the blocks in some fashion from 1 to $|\mathcal{P}|$. Let $B={1, \ldots,|\mathcal{P}|}$ and define $f: A \rightarrow B$ by letting $f(a)$ be the number of the block that contains $A$.

Where did the rather strange name “Pigeonhole Principle” come from? Old style desks often had what looked like a stacked array of boxes that were open in the front. These boxes were usually used to hold various letters and folded or rolled papers. The boxes were called pigeon holes because of their resemblance to nesting boxes in pigeon coops. If $|A|$ letters are placed in $|B|$ pigeonholes in a desk and $|A|>|B|$, then at least one pigeonhole contains at least two documents.

数学代写|组合学代写Combinatorics代考|Boolean Functions

A Boolean function $f$ is a map from ${0,1}^n$ to ${0,1}$. Thus the domain of $f$ is all $n$ long vectors of zeroes and ones. Boolean functions arise in logic, where 0 is often replaced by $F$ for “False” and 1 by $T$ for “True.” Boolean functions also arise in arithmetic, where 0 and 1 are digits of numbers in binary representation. Mathematically, there is no difference between these interpretations; however, the two different interpretations have slightly different notation associated with them.

Example 2.17 Basic Boolean functions Here are three functions from ${0,1}^2$ to ${0,1}$ in two-line form

If we think of $x$ and $y$ as integers, we can write $p(x, y)=x y$ and, indeed, this is the notation that is commonly used for $p$. To emphasize the multiplication, we might write $p(x, y)=x \cdot y$. Suppose that $X$ and $Y$ are statements; e.g., $X$ may be the statement “It is cloudy.” and $Y$ may be “It is hot.” We can build a more complicated statement from these two in many simple ways. One possibility is “It is cloudy and it is hot.”
We could abbreviate this to ” $X$ and $Y$.” Let this compound statement be $Z$. Let $x=0$ if $X$ is false and $x=1$ if $X$ is true. Define $y$ and $z$ similarly. (This is the True/False interpretation of 0 and 1 mentioned earlier.) You should be able to see that $z=p(x, y)$ because $Z$ is true if and only if both $X$ and $Y$ are true. Not surprisingly, the function $p$ is called and in logic. Logicians sometimes write $p(x, y)=x \wedge y$ instead of $p(x, y)=x y$

组合学代写

数学代写|组合学代写Combinatorics代考|The Pigeonhole Principle

鸽子洞原理是一种获得这种形式的语句的方法
如果$n \geq g(d)$，那么$\mathcal{A}(n, d)$，
其中$\mathcal{A}$是一个语句，$g$是依赖于$\mathcal{A}$的某个函数。例如，我们将看到，如果$n \geq d^2+1$，那么任何由$n$个不同数字组成的序列都包含一个长度为$d$的单调子序列。(“then”后面是$\mathcal{A}(n, d)$。)
下面是对这一原则的两种表述。
定理2.5鸽子洞原理函数形式:假设$A$和$B$是$|A|>|B|$的集合，则对于每个$f: A \rightarrow B$函数都有一个$b \in B$和$\left|f^{-1}(b)\right|>1$的集合。
分区形式:假设$\mathcal{P}$是将集合$A$划分为小于$|A|$的块。然后某个块包含多个$A$元素。

你应该能够证明这个定理。事实上，它是如此简单，我们甚至不应该称之为定理。为了了解为什么这两种形式的定理是等价的，首先假设$f: A \rightarrow B$。设$\mathcal{P}$为$f$的共像。它最多必须有$|B|<|A|$块。反过来，假设$\mathcal{P}$是$A$的一个分区。以某种方式从1到$|\mathcal{P}|$对这些块进行编号。取$B={1, \ldots,|\mathcal{P}|}$并定义$f: A \rightarrow B$，让$f(a)$为包含$A$的块的编号。

“鸽子洞原理”这个奇怪的名字从何而来?老式的桌子通常有一堆盒子，这些盒子在前面是打开的。这些盒子通常用来装各种信件和折叠或卷起来的文件。这些盒子被称为鸽子洞，因为它们与鸽舍里的筑巢盒很像。如果将$|A|$字母分别放在书桌的$|B|$和$|A|>|B|$中，则至少有一个鸽子洞包含至少两个文档。

数学代写|组合学代写Combinatorics代考|Boolean Functions

布尔函数$f$是从${0,1}^n$到${0,1}$的映射。因此$f$的定义域都是由0和1组成的$n$长向量。布尔函数出现在逻辑中，其中0通常被$F$替换为“False”，1被$T$替换为“True”。布尔函数也出现在算术中，其中0和1是二进制表示的数字中的数字。从数学上讲，这些解释之间没有区别;然而，这两种不同的解释与它们相关的符号略有不同。

例2.17基本布尔函数这里有三个函数，从${0,1}^2$到${0,1}$，用两行书写

如果我们把$x$和$y$看作整数，我们可以写成$p(x, y)=x y$，实际上，这就是$p$通常使用的符号。为了强调乘法，我们可以写$p(x, y)=x \cdot y$。假设$X$和$Y$是语句;例如，$X$可能是“It is cloudy.”，$Y$可能是“It is hot.”我们可以用许多简单的方法从这两个语句构建一个更复杂的语句。一种可能是“阴天很热。”
我们可以将其缩写为“$X$ and $Y$”，设这个复合语句为$Z$。如果$X$为假，则为$x=0$;如果$X$为真，则为$x=1$。类似地定义$y$和$z$。(这是前面提到的对0和1的正确/错误解释。)您应该能够看到$z=p(x, y)$，因为当且仅当$X$和$Y$都为真时$Z$为真。毫不奇怪，在逻辑中调用了函数$p$。逻辑学家有时会写$p(x, y)=x \wedge y$而不是 $p(x, y)=x y$

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

如果你也在 怎样代写组合学Combinatorics 这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。组合学Combinatorics是数学的一个领域，主要涉及计数（作为获得结果的手段和目的）以及有限结构的某些属性。主要涉及计数，作为获得结果的手段和目的，以及有限结构的某些属性。它与数学的许多其他领域密切相关，有许多应用，从逻辑学到统计物理学，从进化生物学到计算机科学。

组合学Combinatorics因其解决的问题的广泛性而闻名。组合问题出现在纯数学的许多领域，特别是在代数、概率论、拓扑学和几何学中，以及在其许多应用领域。许多组合问题在历史上被孤立地考虑，对某个数学背景下出现的问题给出一个临时性的解决方案。然而，在二十世纪后期，强大而普遍的理论方法被开发出来，使组合学本身成为一个独立的数学分支。组合学最古老和最容易理解的部分之一是图论，它本身与其他领域有许多自然联系。在计算机科学中，组合学经常被用来获得算法分析中的公式和估计。

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数学代写|组合学代写Combinatorics代考|Recursions

Let’s explore yet another approach to evaluating the binomial coefficient $C(n, k)$. As in the previous section, let $S=\left{x_1, \ldots, x_n\right}$. We’ll think of $C(n, k)$ as counting $k$-subsets of $S$. Either the element $x_n$ is in our subset or it is not. The cases where it is in the subset are all formed by taking the various $(k-1)$-subsets of $S-\left{x_n\right}$ and adding $x_n$ to them. The cases where it is not in the subset are all formed by taking the various $k$-subsets of $S-\left{x_n\right}$. What we’ve done is describe how to build $k$-subsets of $S$ from certain subsets of $S-\left{x_n\right}$. Since this gives each subset exactly once,
$$
\left(\begin{array}{l}
n \
k
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}
n-1 \
k-1
\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}
n-1 \
k
\end{array}\right)
$$
by the Rule of Sum.
The equation $C(n, k)=C(n-1, k-1)+C(n-1, k)$ is called a recursion because it tells how to compute $C(n, k)$ from values of the function with smaller arguments. This is a common approach which we can state in general form as follows.

Technique. Deriving recursions Answering the question “How can I construct the things I want to count by using the same type of things of a smaller size?” usually gives a recursion.
Sometimes it is easier to answer the question “How can I break the things I want to count up into smaller things of the same type?” This usually gives a recursion when it is turned around to answer the previous question.

数学代写|组合学代写Combinatorics代考|Multisets

Let $M(n, k)$ be the number of ways to choose $k$ elements from an $n$-set when repetition is allowed and order doesn’t matter. Will any of our three methods for handling $C(n, k)$ work for $M(n, k)$ ? Let’s examine them.

• Imposing an order: The critical observation for our first method was that an unordered list can be ordered in $k$ ! ways. This is not true if repetitions are allowed. To see this, note that the extreme case of $k$ repetitions of one element has only one ordering.
• Using a recursion: We might be able to obtain a recursion, but we would still be faced with the problem of solving it.
• Using generating functions: To use the generating functions we have to allow for repetitions. This can be done very easily: Simply replace $\left(1+x_i\right)$ in Example 1.14 (p. 19) with the infinite sum
  $$
  1+x_i+x_i^2+x_i^3+\cdots,
  $$
  a geometric series which sums to $\left(1-x_i\right)^{-1}$. Why does this replacement work? When we studied $C(n, k)$ in Example 1.14, the two terms in the factor $1+x_i$ corresponded to not choosing the $i$ th element OR choosing it, respectively. Now we need more terms: $x_i x_i$ for when the $i$ th element is chosen to appear twice in our unordered list, $x_i x_i x_i$ for three appearances, and so forth. The distributive law still takes care of producing all possible combinations. As in Example 1.14, if we replace $x_i$ by $x$ for all $i$, the coefficient of $x^k$ will be the number of multisets of size $k$. Thus $M(n, k)$ is the coefficient of $x^k$ in $(1-x)^{-n}$. You should be able to use this fact and Taylor’s Theorem to obtain $M(n, k)=(n+k-1) ! /(n-1) ! k !$.

组合学代写

数学代写|组合学代写Combinatorics代考|Labelled versus unlabelled enumeration

让我们探索另一种计算二项式系数$C(n, k)$的方法。与前一节一样，让$S=\left{x_1, \ldots, x_n\right}$。我们把$C(n, k)$看作是$S$的$k$ -子集。元素$x_n$要么在我们的子集中，要么不在。它在子集中的情况都是通过获取$S-\left{x_n\right}$的各种$(k-1)$ -子集并将$x_n$添加到它们中形成的。它不在子集中的情况都是通过取$S-\left{x_n\right}$的各种$k$ -子集形成的。我们所做的是描述如何从$S-\left{x_n\right}$的某些子集构建$S$的$k$ -子集。因为这给了每个子集一次，
$$
\left(\begin{array}{l}
n \
k
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}
n-1 \
k-1
\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}
n-1 \
k
\end{array}\right)
$$
根据总和法则。
方程$C(n, k)=C(n-1, k-1)+C(n-1, k)$被称为递归，因为它告诉我们如何用较小的参数从函数的值计算$C(n, k)$。这是一种常见的方法，我们可以用一般形式陈述如下。

技巧。如果要回答“如何使用相同类型的较小的数来构造我想要计数的数?”这个问题，通常会给出一个递归。
有时候回答这个问题更容易:“我怎样才能把我想要计算的事情分解成相同类型的小事情?”当它反过来回答前一个问题时，通常会得到一个递归。

数学代写|组合学代写Combinatorics代考|Surjections and set partitions

当允许重复且顺序无关紧要时，设$M(n, k)$为从$n$ -集中选择$k$元素的方法个数。我们处理$C(n, k)$的三种方法中有一种对$M(n, k)$有效吗?让我们来检查一下。

强加顺序:我们的第一个方法的关键观察结果是无序列表可以在$k$ !方法。如果允许重复，则不成立。要了解这一点，请注意$k$重复一个元素的极端情况只有一个顺序。

使用递归:我们可能能够获得递归，但我们仍然面临求解它的问题。

使用生成函数:为了使用生成函数，我们必须允许重复。这很容易做到:只需将例1.14中的$\left(1+x_i\right)$替换为无限和即可
$$
1+x_i+x_i^2+x_i^3+\cdots,
$$
一个和为$\left(1-x_i\right)^{-1}$的几何级数。为什么这种替换会起作用?当我们在例1.14中研究$C(n, k)$时，因子$1+x_i$中的两个项分别对应于不选择$i$第一个元素或选择它。现在我们需要更多的项:$x_i x_i$表示选择第$i$个元素在无序列表中出现两次，$x_i x_i x_i$表示出现三次，以此类推。分配律仍然负责产生所有可能的组合。如例1.14所示，如果我们将所有$i$的$x_i$替换为$x$, $x^k$的系数将是大小为$k$的多集的个数。因此$M(n, k)$是$(1-x)^{-n}$中的$x^k$的系数。你应该可以用这个事实和泰勒定理得到$M(n, k)=(n+k-1) ! /(n-1) ! k !$。

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微观经济学代写

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线性代数代写

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它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
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组合学Combinatorics因其解决的问题的广泛性而闻名。组合问题出现在纯数学的许多领域，特别是在代数、概率论、拓扑学和几何学中，以及在其许多应用领域。许多组合问题在历史上被孤立地考虑，对某个数学背景下出现的问题给出一个临时性的解决方案。然而，在二十世纪后期，强大而普遍的理论方法被开发出来，使组合学本身成为一个独立的数学分支。组合学最古老和最容易理解的部分之一是图论，它本身与其他领域有许多自然联系。在计算机科学中，组合学经常被用来获得算法分析中的公式和估计。

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数学代写|组合学代写Combinatorics代考|Labelled versus unlabelled enumeration

II. 2.2 Labelled versus unlabelled enumeration. Any labelled class $\mathcal{A}$ has an unlabelled counterpart $\widehat{\mathcal{A}}$ : objects in $\widehat{\mathcal{A}}$ are obtained from objects of $\mathcal{A}$ by ignoring the labels. This idea is formalized by identifying two labelled objects if there is an arbitrary relabelling (not just an order-consistent one, as has been used so far) that transforms one into the other. For an object of size $n$, each equivalence class contains a priori between 1 and $n$ ! elements. Thus:
PrOPOSITION II.1. The counts of a labelled class $\mathcal{A}$ and its unlabelled counterpart $\widehat{\mathcal{A}}$ are related by
$$
\widehat{A}_n \leq A_n \leq n ! \widehat{A}_n \quad \text { or equivalently } \quad 1 \leq \frac{A_n}{\widehat{A}_n} \leq n !
$$
EXAMPLE 5. Labelled and Unlabelled graphs. This phenomenon has been already encountered in our discussion of graphs (Figure 1). Let generally $G_n$ and $\widehat{G}_n$ be the number of graphs of size $n$ in the labelled and unlabelled case respectively. One finds for $n=1 \ldots 15$

The sequence $\left{\widehat{G}_n\right}$ constitutes EIS A000088, which can be obtained by an extension of methods of Chapter I; see [206, Ch. 4]. The sequence $\left{G_n\right}$ is determined directly by the fact that a graph of $n$ vertices can have each of the $\left(\begin{array}{l}n \ 2\end{array}\right)$ possible edges either present or not, so that
$$
G_n=2^{\left(\begin{array}{c}
n \
2
\end{array}\right)}=2^{n(n-1) / 2} .
$$

数学代写|组合学代写Combinatorics代考|Surjections and set partitions

II. 3.1. Surjections and set partitions. We examine classes
$$
\mathcal{R}=\operatorname{SEQ}\left{\operatorname{SET}{\geq 1}{Z}\right} \quad \text { and } \quad \mathcal{S}=\operatorname{SET}\left{\operatorname{SET}{\geq 1}{Z}\right}
$$
corresponding to sequences-of-sets $(\mathcal{R})$ and sets-of-sets $(\mathcal{S})$, or equivalently, sequences of urns and sets of urns, respectively. Such abstract specifications model very classical objects of discrete mathematics, namely surjections $(\mathcal{R})$ and set partitions $(\mathcal{S})$

Surjections with $r$ images. In elementary mathematics, a surjection from a set $A$ to a set $B$ is a function from $A$ to $B$ that assumes each value at least once (an onto mapping). Fix some integer $r \geq 1$ and let $\mathcal{R}_n^{(r)}$ denote the class of all surjections from the set $[1 \ldots n]$ onto $[1 \ldots r]$ whose elements are also called $r$-surjections.. Here is a particular object $\phi \in \mathcal{R}_9^{(5)}$ :

Note that, if $\phi(9)$ were 3 , then $\phi$ would not be a surjection. We set $\mathcal{R}^{(r)}=\bigcup_n \mathcal{R}n^{(r)}$ and proceed to compute the corresponding EGF, $R^{(r)}(z)$. First, let us observe that an $r$-surjection $\phi \in \mathcal{R}_n^{(r)}$ is determined by the ordered $r$-tuple formed with the collection of all preimage sets, $\left(\phi^{-1}(1), \phi^{-1}(2), \ldots, \phi^{-1}(r)\right)$, themselves disjoint nonempty sets of integers that cover the interval $[1 \ldots n]$. In the case of the surjection $\phi$ of (9), this alternative representation is $$ \phi: \quad({2},{1,3},{4,6,8},{9},{5,7}) . $$ One has the combinatorial specification and EGF relation: (10) $\mathcal{R}^{(r)}=\mathrm{SEQ}_r{\mathcal{V}}, \mathcal{V}=\mathrm{SET}{\geq 1}{\mathcal{Z}} \quad \Longrightarrow \quad R^{(r)}(z)=\left(e^z-1\right)^r$.
There $\mathcal{V} \equiv \mathcal{U} \backslash{\epsilon}$ designates the class of urns $(\mathcal{U})$ that are nonempty, with EGF $V(z)=e^z-1$, in view of our earlier discussion of urns. In words: “a surjection is a sequence of nonempty sets”. See Figure II. 3.1 for an illustration.

组合学代写

数学代写|组合学代写Combinatorics代考|Labelled versus unlabelled enumeration

二。2.2 标记枚举与末标记枚举。任何标记的类 $\mathcal{A}$ 有一个末标记的对应物 $\widehat{\mathcal{A}}$ : 中的对象 $\widehat{\mathcal{A}}$ 是从对象中 获得的 $\mathcal{A}$ 通过忽略标签。如果存在将一个对象转换为另一个的任意重新标记 (不仅仅是顺序一致的 对象，就像目前使用的那样），则通过识别两个标记对象来形式化这个想法。对于大小的对象 $n$ ，每 个等价类包含 1 和之间的先验 $n !$ 元素。因此:
命题 II.1。标记类的计数 $\mathcal{A}$ 及其末标记的对应物 $\widehat{\mathcal{A}}$ 与
$$
\widehat{A}n \leq A_n \leq n ! \widehat{A}_n \quad \text { or equivalently } \quad 1 \leq \frac{A_n}{\widehat{A}_n} \leq n ! $$ 示例 5. 标记和末标记的图形。我们在讨论图形时已经遇到过这种现象（图 1)。一般让 $G_n$ 和 $\widehat{G}_n$ 是 size 图的数量 $n$ 分别在标记和末标记的情况下。一个发现 $n=1 \ldots 15$ 序列 \left } { \backslash \text { widehat } { G } { – } n \backslash r i g h t } \text { 构成EIS A000088，可通过第一章方法的扩展得到；参见 [206， } Ch. 4]. 序列 $\backslash$ 左 $\left{G _n \backslash\right.$ 右 $}$ 直接由以下事实决定 $n$ 顶点可以有每个 $(n 2)$ 可能的边缘存在或不存在， 因此
$$
G_n=2^{(n 2)}=2^{n(n-1) / 2}
$$

数学代写|组合学代写Combinatorics代考|Surjections and set partitions

二。3.1. 投影和设置分区。我们检查类
$\mid$ mathcal ${\mathrm{R}}=$ |operatorname ${$ SEQ $} \backslash$ left ${\backslash$ operatorname ${\mathrm{SET}}{\backslash$ geq 1$}{Z} \backslash$ right $}$ |quad $\backslash$ text ${$ and $} \backslash$ quad $\backslash$ math
对应于集合序列 $(\mathcal{R})$ 和套套 $(\mathcal{S})$ ，或等效地，分别是骨灰盒序列和骨灰盒组。这种抽象规范模拟了离 散数学的非常经典的对象，即满射 $(\mathcal{R})$ 并设置分区 $(\mathcal{S})$
与 $r$ 图片。在初等数学中，集合的满射 $A$ 一组 $B$ 是一个函数 $A$ 到 $B$ 假设每个值至少一次（一个到映 射) 。固定一些整数 $r \geq 1$ 然后让 $\mathcal{R}_n^{(r)}$ 表示集合中所有满射的类别 $[1 \ldots n]$ 到 $[1 \ldots r]$ 其元素也被 称为 $r$-surjections.. 这是一个特定的对象 $\phi \in \mathcal{R}_9^{(5)}$ :
请注意，如果 $\phi(9)$ 是 3 ，然后 $\phi$ 不会是一个surjection。我们设置 $\mathcal{R}^{(r)}=\bigcup_n \mathcal{R} n^{(r)}$ 并继续计算 相应的 EGF， $R^{(r)}(z)$. 首先，让我们观察 $r$-投射 $\phi \in \mathcal{R}_n^{(r)}$ 由命令决定 $r$-由所有原像集的集合形成 的元组， $\left(\phi^{-1}(1), \phi^{-1}(2), \ldots, \phi^{-1}(r)\right)$ ，它们本身不相交的非空整数集覆盖区间 $[1 \ldots n]$. 在 满射的情况下 $\phi$ 的 (9)，这种替代表示是
$$
\phi: \quad(2,1,3,4,6,8,9,5,7) .
$$
一个有组合说明和EGF关系: (10)
$$
\mathcal{R}^{(r)}=\mathrm{SEQ}_r \mathcal{V}, \mathcal{V}=\mathrm{SET} \geq 1 \mathcal{Z} \quad \Longrightarrow \quad R^{(r)}(z)=\left(e^z-1\right)^r
$$
那里 $\mathcal{V} \equiv \mathcal{U} \backslash \epsilon$ 指定骨灰盒类别 $(\mathcal{U})$ 是非空的，有 $\operatorname{EGF} V(z)=e^z-1$ ，鉴于我们之前对骨灰盒的 讨论。换句话说: “满射是非空集的序列”。见图二。3.1的说明。

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

如果你也在 怎样代写组合学Combinatorics 这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。组合学Combinatorics是数学的一个领域，主要涉及计数（作为获得结果的手段和目的）以及有限结构的某些属性。主要涉及计数，作为获得结果的手段和目的，以及有限结构的某些属性。它与数学的许多其他领域密切相关，有许多应用，从逻辑学到统计物理学，从进化生物学到计算机科学。

组合学Combinatorics因其解决的问题的广泛性而闻名。组合问题出现在纯数学的许多领域，特别是在代数、概率论、拓扑学和几何学中，以及在其许多应用领域。许多组合问题在历史上被孤立地考虑，对某个数学背景下出现的问题给出一个临时性的解决方案。然而，在二十世纪后期，强大而普遍的理论方法被开发出来，使组合学本身成为一个独立的数学分支。组合学最古老和最容易理解的部分之一是图论，它本身与其他领域有许多自然联系。在计算机科学中，组合学经常被用来获得算法分析中的公式和估计。

组合学Combinatorics代写，免费提交作业要求， 满意后付款，成绩80\%以下全额退款，安全省心无顾虑。专业硕 博写手团队，所有订单可靠准时，保证 100% 原创。 最高质量的组合学Combinatorics作业代写，服务覆盖北美、欧洲、澳洲等 国家。 在代写价格方面，考虑到同学们的经济条件，在保障代写质量的前提下，我们为客户提供最合理的价格。 由于作业种类很多，同时其中的大部分作业在字数上都没有具体要求，因此组合学Combinatorics作业代写的价格不固定。通常在专家查看完作业要求之后会给出报价。作业难度和截止日期对价格也有很大的影响。

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数学代写|组合学代写Combinatorics代考|Additional constructions

Restricted constructions. An immediate formula for OGFs is that of the diagonal $\Delta$ of a cartesian product $\mathcal{B} \times \mathcal{B}$ defined as
$$
\mathcal{A} \equiv \Delta(\mathcal{B} \times \mathcal{B}):={(\beta, \beta) \mid \beta \in \mathcal{B}}
$$
Then, clearly $A_{2 n}=B_n$ so that
$$
A(z)=B\left(z^2\right)
$$
The diagonal construction permits us to access the class of all unordered pairs of (distinct) elements of $\mathcal{B}$, which is $\mathcal{A}=\operatorname{PSET}_2(\mathcal{B})$. A direct argument then runs as follows: the unordered pair ${\alpha, \beta}$ is associated to the two ordered pairs $(\alpha, \beta)$ and $(\beta, \alpha)$ except when $\alpha=\beta$, where an element of the diagonal is obtained. In other words, one has the combinatorial isomorphism,
$$
\operatorname{PSET}_2(\mathcal{B})+\operatorname{PSET}_2(\mathcal{B})+\Delta(B \times B) \cong B \times B
$$
meaning that
$$
2 A(z)+B\left(z^2\right)=B(z)^2
$$
The resulting translation into OGFs is thus
$$
\mathcal{A}=\operatorname{PSET}_2(\mathcal{B}) \quad \Longrightarrow \quad A(z)=\frac{1}{2} B(z)^2-\frac{1}{2} B\left(z^2\right)
$$
Similarly, for multisets, we find
$$
\mathcal{A}=\operatorname{MSET}_2(\mathcal{B}) \quad \Longrightarrow \quad A(z)=\frac{1}{2} B(z)^2+\frac{1}{2} B\left(z^2\right)
$$
while for cycles one has $\mathrm{CYC}_2 \cong \mathrm{MSET}_2$, and
$$
\mathcal{A}=\mathrm{CYC}_2(\mathcal{B}) \quad \Longrightarrow \quad A(z)=\frac{1}{2} B(z)^2+\frac{1}{2} B\left(z^2\right)
$$

数学代写|组合学代写Combinatorics代考|Pointing and substitution

Pointing and substitution. Two more constructions, namely pointing and substitution, translate agreeably into generating functions. Combinatorial structures are viewed here as formed of “atoms” (words are composed of letters, graphs of nodes, etc) which determine their sizes. In this context, pointing means “pointing at a distinguished atom”; substitution, written $\mathcal{B} \circ \mathcal{C}$ or $\mathcal{B}[\mathcal{C}]$, means “substitute elements of $\mathcal{C}$ for atoms of $\mathcal{B}$ “.

DEFINITION I.14. Let $\left{\epsilon_1, \epsilon_2, \ldots\right}$ be a fixed collection of distinct neutral objects of size 0. The pointing of a class $\mathcal{B}$, noted $\mathcal{A}=\Theta \mathcal{B}$, is formally defined by
$$
\Theta \mathcal{B}:=\sum_{n \geq 0} \mathcal{B}n \times\left{\epsilon_1, \ldots, \epsilon_n\right} $$ The substitution of into $\mathcal{B}$ (also known as composition of $\mathcal{B}$ and $\mathcal{C}$ ), noted $\mathcal{B} \circ \mathcal{C}$ or $\mathcal{B}[\mathcal{C}]$, is formally defined as $$ \mathcal{B} \circ \mathcal{C} \equiv \mathcal{B}[\mathcal{C}]:=\sum{k \geq 0} \mathcal{B}_k \times \mathrm{SEQ}_k(\mathcal{C})
$$
If $B_n$ is the number of $\mathcal{B}$ structures of size $n$, then $n B_n$ can be interpreted as counting pointed structures where one of the $n$ atoms composing a $\mathcal{B}$-structure has been distinguished (here by a special “pointer” of size 0 attached to it). Elements of $\mathcal{B} \circ \mathcal{C}$ may also be viewed as obtained by selecting in all possible ways an element $\beta \in \mathcal{B}$ and replacing each of its atoms by an arbitrary element of $\mathcal{C}$.

组合学代写

数学代写|组合学代写Combinatorics代考|Additional constructions

限制建设。OGF 的直接公式是对角线 $\Delta$ 笛卡尔积 $\mathcal{B} \times \mathcal{B}$ 定义为
$$
\mathcal{A} \equiv \Delta(\mathcal{B} \times \mathcal{B}):=(\beta, \beta) \mid \beta \in \mathcal{B}
$$
那么，明明 $A_{2 n}=B_n$ 以便
$$
A(z)=B\left(z^2\right)
$$
对角线构造允许我们访问所有无序的 (不同的) 元素对的类 $\mathcal{B}$ ，这是 $\mathcal{A}=\operatorname{PSET}_2(\mathcal{B})$. 直接参数然后运行如 下: 无序对 $\alpha, \beta$ 与两个有序对相关联 $(\alpha, \beta)$ 和 $(\beta, \alpha)$ 除了什么时候 $\alpha=\beta$ ，其中获得对角线的一个元素。换句 话说，一个具有组合同构，
$$
\operatorname{PSET}_2(\mathcal{B})+\operatorname{PSET}_2(\mathcal{B})+\Delta(B \times B) \cong B \times B
$$
意思是
$$
2 A(z)+B\left(z^2\right)=B(z)^2
$$
因此，由此产生的 OGF 翻译是
$$
\mathcal{A}=\operatorname{PSET}_2(\mathcal{B}) \quad \Longrightarrow \quad A(z)=\frac{1}{2} B(z)^2-\frac{1}{2} B\left(z^2\right)
$$
同样，对于多重集，我们发现
$$
\mathcal{A}=\operatorname{MSET}_2(\mathcal{B}) \quad \Longrightarrow \quad A(z)=\frac{1}{2} B(z)^2+\frac{1}{2} B\left(z^2\right)
$$
而循环一个有 $\mathrm{CYC}_2 \cong \mathrm{MSET}_2$ ，和
$$
\mathcal{A}=\mathrm{CYC}_2(\mathcal{B}) \quad \Longrightarrow \quad A(z)=\frac{1}{2} B(z)^2+\frac{1}{2} B\left(z^2\right)
$$

数学代写|组合学代写Combinatorics代考|Pointing and substitution

指向和替换。另外两个构造，即指向和替换，可以很好地转化为生成函数。组合结构在这里被视为由决定其大 小的“原子”组成 (单词由字母、节点图等组成) 。在这种情况下，指向意味着“指向一个不同的原子”；替代，书 面 $\mathcal{B} \circ \mathcal{C}$ 或者 $\mathcal{B}[\mathcal{C}]$ ，意思是“替代元素 $\mathcal{C}$ 对于原子 $\mathcal{B}$ “. $\mathcal{B}$ ，蓍名的 $\mathcal{A}=\Theta \mathcal{B}$ ，正式定义为
|Theta $\backslash$ mathcal ${B}:=\backslash$ sum_{n $\backslash$ geq 0$} \backslash$ mathcal ${B} n \backslash$ times $\backslash$ left ${$ lepsilon_I, \Idots, \epsilon_n $\backslash$ right $}$
的代入 $\mathcal{B}$ (也称为组合 $\mathcal{B}$ 和 $\mathcal{C}$ )，著名的 $\mathcal{B} \circ \mathcal{C}$ 或者 $\mathcal{B}[\mathcal{C}]$ ，被正式定义为
$$
\mathcal{B} \circ \mathcal{C} \equiv \mathcal{B}[\mathcal{C}]:=\sum k \geq 0 \mathcal{B}_k \times \mathrm{SEQ}_k(\mathcal{C})
$$
如果 $B_n$ 是的数量 $\mathcal{B}$ 大小结构 $n$ ，然后 $n B_n$ 可以解释为计数尖结构，其中一个 $n$ 组成 $a$ 的原子 $\mathcal{B}$-structure 已被 区分 (这里通过附加到它的大小为 0 的特殊“指针””)。要点 $\mathcal{B} \circ \mathcal{C}$ 也可以看作是通过以所有可能的方式选择元溸 获得的 $\beta \in \mathcal{B}$ 并用任意元溸替换它的每个原子 $\mathcal{C}$.

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它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

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什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

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组合学Combinatorics因其解决的问题的广泛性而闻名。组合问题出现在纯数学的许多领域，特别是在代数、概率论、拓扑学和几何学中，以及在其许多应用领域。许多组合问题在历史上被孤立地考虑，对某个数学背景下出现的问题给出一个临时性的解决方案。然而，在二十世纪后期，强大而普遍的理论方法被开发出来，使组合学本身成为一个独立的数学分支。组合学最古老和最容易理解的部分之一是图论，它本身与其他领域有许多自然联系。在计算机科学中，组合学经常被用来获得算法分析中的公式和估计。

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数学代写|组合学代写Combinatorics代考|Finite automata

I. 4.2 Finite automata. We begin with a simple device, the finite automaton, that is widely used in models of computation [113] and has wide descriptive power as regards structural properties of words.

DEFINITION I.11. A finite automaton is a directed multigraph whose edges are labelled by letters of the alphabet $\mathcal{A}$. It is customary to refer to vertices as states and to denote by $Q$ the set of states. An initial state $q_0 \in Q$ and a set of final states $Q_f \subseteq Q$ are designated.

The automaton is said to be deterministic if for each pair $(q, \alpha)$ with $q \in Q$ and $\alpha \in A$ there exists at most one edge (one also says a transition) starting from $q$ that is labelled by the letter $\alpha$.

A finite automaton is able to process words, as we now explain. A word $w=$ $w_1 \ldots w_n$ is accepted by the automaton if there exists a path in the multigraph connecting the initial state $q_0$ to one of the final states of $Q_f$ and whose sequence of edge labels is precisely $w_1, \ldots, w_n$. For a deterministic finite automaton, it suffices to start from the initial state $q_0$, scan the letters of the word from left to right, and follow at each stage the only transition permitted; the word is accepted if the state reached in this way after scanning the last letter of $w$ is a final state. Schematically:

A finite automaton thus keeps only a finite memory of the past (hence its name) and is in a sense a combinatorial counterpart of the notion of Markov chain in probability theory. In this book, we shall only consider deterministic automata.

As an illustration, consider the class $\mathcal{L}$ of all words $w$ that contain the pattern $a b b$ as a factor (the letters of the pattern should appear contiguously). Such words are recognized by a finite automaton with 4 states, $q_0, q_1, q_2, q_3$. The construction is classical: state $q_j$ is interpreted as meaning ” the first $j$ characters of the pattern have just been scanned”, and the corresponding automaton appears in Figure 9. The initial state is $q_0$, and there is a unique final state $q_3$.

数学代写|组合学代写Combinatorics代考|Implicit enumeration formulæ

Implicit enumeration formula. In a number of cases, the generating functions obtained by the symbolic method are still in a sense explicit, but their form is such that their coefficients are not clearly reducible to a closed form. It is then still possible to obtain initial values of the corresponding counting sequence by means of a symbolic manipulation system. Also, from generating functions, it is possible to derive systematically recurrences $^2$ that lead to a procedure for computing an arbitrary number of terms of the counting sequence in a reasonably efficient manner. A typical example of this situation is the OGF of integer partitions,
$$
P(z)=\prod_{m=1}^{\infty} \frac{1}{1-z^m},
$$
for which recurrences obtained from the $\mathrm{OGF}$ and associated to fast algorithms are given in Note 12 (p. 39) and Note 17 (p. 46).

组合学代写

数学代写|组合学代写Combinatorics代考|Finite automata

I.4.2 有限自动机。我们从一个简单的设备开始，即有限自动机，它广泛用于计算模型 [113]，并且在单词的结构 属性方面具有广泛的描述能力。
定义 1.11。有限自动机是一个有向多重图，其边由字母表中的字母标记 $\mathcal{A}$. 通常将顶点称为状态并表示为 $Q$ 状态 集。初始状态 $q_0 \in Q$ 和一组最终状态 $Q_f \subseteq Q$ 被指定。
如果对于每一对，则自动机被认为是确定性的 $(q, \alpha)$ 和 $q \in Q$ 和 $\alpha \in A$ 从 $q$ 用字母标记的 $\alpha$.
正如我们现在解释的那样，有限自动机能够处理单词。一个字 $w=w_1 \ldots w_n$ 如果多重图中存在连接初始状态 的路径，则被自动机接受 $q_0$ 到最終状态之一 $Q_f$ 并且其边缘标签的顺序恰好是 $w_1, \ldots, w_n$. 对于确定性有限自 动机，从初始状态开始就足够了 $q_0$ ，从左到右扫描单词的字母，并在每个阶段連循唯一允许的过渡；如果在扫描 最后一个字母后以这种方式达到状态，则该单词被接受 $w$ 是一个最終状态。示意图:
因此，有限自动机仅保留对过去的有限记忆 (因此得名)，并且在某种意义上是概率论中马尔可夫链既念的组 合对应物。在本书中，我们将只考虑确定性自动机。
作为例证，考虑类 $\mathcal{L}$ 所有的话 $w$ 包含模式 $a b b$ 作为一个因素（模式的字母应该连续出现) 。这些词被具有 4 个状 态的有限自动机识别， $q_0, q_1, q_2, q_3$. 构造经典: state $q_j$ 被解释为意思是“第一 $j$ 模式的字符刚刚被扫描”，相 应的自动机出现在图 9 中。初始状态是 $q_0$ ，并且有一个唯一的最终状态 $q_3$.

数学代写|组合学代写Combinatorics代考|Implicit enumeration formulæ

隐式枚举公式。在许多情况下，通过符号方法获得的生成函数在某种意义上仍然是明确的，但它们的形式使得 它们的系数不能清楚地简化为封闭形式。然后仍然可以通过符号操纵系统获得相应计数序列的初始值。此外， 从生成函数中，可以系统地推导递归 ${ }^2$ 这导致以合理有效的方式计算计数序列的任意项的过程。这种情况的一个 典型例子是整数分区的OGF，
$$
P(z)=\prod_{m=1}^{\infty} \frac{1}{1-z^m}
$$
从中获得的复发OGF与快速算法相关的参数在注释 12 (第 39 页) 和注释 17 (第 46 页) 中给出。

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微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

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