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## 数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Finite and Integral Extensions

This section contains the basic algebraic theory of finite and algebraic extensions and their relationship. Moreover, important criteria for integral dependence (Proposition 3.1.3) and finiteness (Proposition 3.1.5) are proven.
Definition 3.1.1. Let $A \subset B$ be rings.
(1) $b \in B$ is called integral over $A$ if there is a monic polynomial $f \in A[x]$ satisfying $f(b)=0$, that is, $b$ satisfies a relation of degree $p$,
$$b^p+a_1 b^{p-1}+\cdots+a_p=0, \quad a_i \in A$$
for some $p>0$.
(2) $B$ is called integral over $A$ or an integral extension of $A$ if every $b \in B$ is integral over $A$.
(3) $B$ is called a finite extension of $A$ if $B$ is a finitely generated $A$-module.
(4) If $\varphi: A \rightarrow B$ is a ring map then $\varphi$ is called an integral, respectively finite, extension if this holds for the subring $\varphi(A) \subset B$.

If there is no doubt about $\varphi$, we say also, in this situation, that $B$ is integral, respectively finite, over $A$. Often we omit $\varphi$ in the notation, for example we write $I M$ instead of $\varphi(I) M$ if $I \subset A$ is an ideal and $M$ a $B$-module.

## 数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|The Integral Closure

We explain the notion of integral closure by an example. Assume we have a parametrization of an affine plane curve which is given by a polynomial $\operatorname{map} \mathbb{A}^1 \rightarrow \mathbb{A}^2, t \mapsto(x(t), y(t))$ such that $t$ is contained in the quotient field $K(x(t), y(t))$ of $A=K[x(t), y(t)]$. Let $A \subset B=K[t]$ denote the corresponding ring map, then $t$ is integral over $A$ and $A[t]=B$. We shall see that $K[t]$ is integrally closed in the quotient field $Q(A)=Q(K[t])=K(t)$, and the “smallest ring” with this property containing $A$ (Exercise 3.6.5). For example, $K\left[t^2, t^3\right] \subset K[t]$ corresponds to the parametrization of the cuspidal cubic (cf. Figure 3.2).

For arbitrary reduced affine curves with coordinate ring $A=K[x] / I$ the normalization of $A$, that is, the integral closure of $A$ in $Q(A)$, is the affine ring of a “desingularization” of the curve. For higher dimensional varieties, the normalization of the coordinate ring will not necessarily be a desingularization, but an improvement of the singularities, for example, the codimension of the singular locus will be $\geq 2$. Here we shall treat only some algebraic properties of the normalization.

More generally, we shall study the process associating to a ring extension $A \subset B$ the smallest subring $\widetilde{A} \subset B$ containing all elements of $B$ which are integral over $A$.

Definition 3.2.1. Let $A \subset B$ be a ring extension and $I \subset A$ be an ideal (the case $I=A$ is not excluded). An element $b \in B$ which satisfies a relation
$$b^n+a_1 b^{n-1}+\cdots+a_n=0, \quad a_i \in I$$
is called integral over $I$. We denote by
$$C(I, B)={b \in B \mid b \text { integral over } I}$$
the (weak) integral closure of $I$ in $B$. If, moreover, $a_i \in I^i$, we say that $b$ is strongly integral over $I$ and call
$$C_s(I, B)={b \in B \mid b \text { strongly integral over } I}$$
the strong integral closure of $I$ in $B$.

## 数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Finite and Integral Extensions

3.1.1.定义让$A \subset B$响起来吧。
(1)若存在一个单多项式$f \in A[x]$满足$f(b)=0$，即$b$满足次关系$p$，则称$b \in B$为对$A$的积分;
$$b^p+a_1 b^{p-1}+\cdots+a_p=0, \quad a_i \in A$$

(2) $B$称为$A$上的积分，如果每个$b \in B$都是$A$上的积分，则称为$A$的积分扩展。
(3)如果$B$是一个有限生成的$A$ -模块，则$B$称为$A$的有限扩展。
(4)如果$\varphi: A \rightarrow B$是一个环映射，那么$\varphi$被称为一个积分，分别是有限的扩展，如果这对子映射$\varphi(A) \subset B$成立。

## 数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|The Integral Closure

3.2.1.定义设$A \subset B$为环扩展，$I \subset A$为理想($I=A$不排除这种情况)。满足关系的元素$b \in B$
$$b^n+a_1 b^{n-1}+\cdots+a_n=0, \quad a_i \in I$$

$$C(I, B)={b \in B \mid b \text { integral over } I}$$
$B$中$I$的(弱)积分闭包。此外，如果$a_i \in I^i$，我们说$b$是$I$的强积分，并称
$$C_s(I, B)={b \in B \mid b \text { strongly integral over } I}$$
$B$中$I$的强整闭包。

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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## 数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Computing Resolutions and the Syzygy Theorem

Let $K$ be a field and $>$ a monomial ordering on $K[x]^\tau$. Again $R$ denotes the localization of $K[x]$ with respect to $S_{>}$.

We shall give a method, using standard bases, to compute syzygies and, more generally, free resolutions of finitely generated $R$-modules. Syzygies and free resolutions are very important objects and basic ingredients for many constructions in homological algebra and algebraic geometry. On the other hand, the use of syzygies gives a very elegant way to prove Buchberger’s criterion for standard bases. Moreover, a close inspection of the syzygies of the generators of an ideal allows detection of useless pairs during the computation of a standard basis.

In the following definition $R$ can be an arbitrary ring.
Definition 2.5.1. A syzygy or relation between $k$ elements $f_1, \ldots, f_k$ of an $R$-module $M$ is a $k$-tuple $\left(g_1, \ldots, g_k\right) \in R^k$ satisfying
$$\sum_{i=1}^k g_i f_i=0$$
The set of all syzygies between $f_1, \ldots, f_k$ is a submodule of $R^k$. Indeed, it is the kernel of the ring homomorphism
$$\varphi: F_1:=\bigoplus_{i=1}^k R \varepsilon_i \longrightarrow M, \quad \varepsilon_i \longmapsto f_i,$$
where $\left{\varepsilon_1, \ldots, \varepsilon_k\right}$ denotes the canonical basis of $R^k . \varphi$ surjects onto the $R-\operatorname{module} I:=\left\langle f_1, \ldots, f_k\right\rangle_R$ and
$$\operatorname{syz}(I):=\operatorname{syz}\left(f_1, \ldots, f_k\right):=\operatorname{Ker}(\varphi)$$
is called the module of syzygies of $I$ with respect to the generators $f_1, \ldots, f_k{ }^8$

## 数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Modules over Principal Ideal Domains

In this section we shall study the structure of finitely generated modules over principal ideal domains. It will be proved that they can be decomposed in a unique way into a direct sum of cyclic modules with special properties. Examples are given for the case of a univariate polynomial ring over a field. We show how this decomposition can be computed by using standard bases (actually, we need only interreduction).

Theorem 2.6.1. Let $R$ be a principal ideal domain and $M$ a finitely generated $R$-module, then $M$ is a direct sum of cyclic modules.

Proof. Let $R^m \rightarrow R^n \rightarrow M \rightarrow 0$ be a presentation of $M$ given by the ma$\operatorname{trix} A=\left(a_{i j}\right)$ with respect to the bases $B=\left{e_1, \ldots, e_n\right}, B^{\prime}=\left{f_1, \ldots, f_m\right}$ of $R^n, R^m$, respectively. If $A$ is the zero-matrix, then $M \cong R^n$, and we are done. Otherwise, we may assume that $a_{11} \neq 0$. We shall show that, for a suitable choice of the bases, the presentation matrix has diagonal form, that is, $a_{i j}=0$ if $i \neq j$. For some $k>1$ with $a_{k 1} \neq 0$, let $h$ be a generator of the ideal $\left\langle a_{11}, a_{k 1}\right\rangle$, and let $a, b, c, d \in R$ be such that $h=a a_{11}+b a_{k 1}, a_{11}=c h$, $a_{k 1}=d h$ (we choose $a:=1, b:=0, c:=1$ if $\left\langle a_{11}\right\rangle=\left\langle a_{11}, a_{k 1}\right\rangle$ ). Now we change the basis $B$ to $\bar{B}=\left{c e_1+d e_k, e_2, \ldots, e_{k-1},-b e_1+a e_k, e_{k+1}, \ldots, e_n\right}$. $\bar{B}$ is a basis because $\operatorname{det}\left(\begin{array}{cc}c & -b \ d & a\end{array}\right)=1$. Let $\bar{A}=\left(\bar{a}{i j}\right)$ be the presentation matrix with respect to this basis, then $\bar{a}{11}=h$ and $\bar{a}{k 1}=0$, while $\bar{a}{i 1}=a_{i 1}$ for $i \neq 1, k$. Note that the first row of $A$ and $\bar{A}$ are equal if and only if $\left\langle a_{11}\right\rangle=\left\langle a_{11}, a_{k 1}\right\rangle$. Doing this with every $k>1$, we may assume that $a_{k 1}=0$ for $k=2, \ldots, n$.

Now, applying the same procedure to the transposed matrix ${ }^t A$ (which corresponds to base changes in $B^{\prime}$ ), we obtain a matrix ${ }^t A_1$,
$$A_1=\left(\begin{array}{cccc} a_{11}^{(1)} & 0 & \ldots & 0 \ a_{21}^{(1)} & a_{22}^{(1)} & \ldots & a_{2 m}^{(1)} \ \vdots & & & \vdots \ a_{n 1}^{(1)} & a_{n 2}^{(1)} & \ldots & a_{n m}^{(1)} \end{array}\right),$$
with the property: $\left\langle a_{11}\right\rangle \subset\left\langle a_{11}^{(1)}\right\rangle$ and $a_{21}^{(1)}=\cdots=a_{n 1}^{(1)}=0$, if $\left\langle a_{11}\right\rangle=\left\langle a_{11}^{(1)}\right\rangle$.

## 数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Computing Resolutions and the Syzygy Theorem

2.5.1.定义$R$ -模块$M$的$k$元素$f_1, \ldots, f_k$之间的聚合或关系是一个$k$ -元组$\left(g_1, \ldots, g_k\right) \in R^k$
$$\sum_{i=1}^k g_i f_i=0$$
$f_1, \ldots, f_k$之间所有协同的集合是$R^k$的一个子模块。事实上，它是环同态的核
$$\varphi: F_1:=\bigoplus_{i=1}^k R \varepsilon_i \longrightarrow M, \quad \varepsilon_i \longmapsto f_i,$$

$$\operatorname{syz}(I):=\operatorname{syz}\left(f_1, \ldots, f_k\right):=\operatorname{Ker}(\varphi)$$

## 数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Modules over Principal Ideal Domains

$$A_1=\left(\begin{array}{cccc} a_{11}^{(1)} & 0 & \ldots & 0 \ a_{21}^{(1)} & a_{22}^{(1)} & \ldots & a_{2 m}^{(1)} \ \vdots & & & \vdots \ a_{n 1}^{(1)} & a_{n 2}^{(1)} & \ldots & a_{n m}^{(1)} \end{array}\right),$$

## MATLAB代写

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## 数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Modules over Principal Ideal Domains

In this section we shall study the structure of finitely generated modules over principal ideal domains. It will be proved that they can be decomposed in a unique way into a direct sum of cyclic modules with special properties. Examples are given for the case of a univariate polynomial ring over a field. We show how this decomposition can be computed by using standard bases (actually, we need only interreduction).

Theorem 2.6.1. Let $R$ be a principal ideal domain and $M$ a finitely generated $R$-module, then $M$ is a direct sum of cyclic modules.

Proof. Let $R^m \rightarrow R^n \rightarrow M \rightarrow 0$ be a presentation of $M$ given by the ma$\operatorname{trix} A=\left(a_{i j}\right)$ with respect to the bases $B=\left{e_1, \ldots, e_n\right}, B^{\prime}=\left{f_1, \ldots, f_m\right}$ of $R^n, R^m$, respectively. If $A$ is the zero-matrix, then $M \cong R^n$, and we are done. Otherwise, we may assume that $a_{11} \neq 0$. We shall show that, for a suitable choice of the bases, the presentation matrix has diagonal form, that is, $a_{i j}=0$ if $i \neq j$. For some $k>1$ with $a_{k 1} \neq 0$, let $h$ be a generator of the ideal $\left\langle a_{11}, a_{k 1}\right\rangle$, and let $a, b, c, d \in R$ be such that $h=a a_{11}+b a_{k 1}, a_{11}=c h$, $a_{k 1}=d h$ (we choose $a:=1, b:=0, c:=1$ if $\left\langle a_{11}\right\rangle=\left\langle a_{11}, a_{k 1}\right\rangle$ ). Now we change the basis $B$ to $\bar{B}=\left{c e_1+d e_k, e_2, \ldots, e_{k-1},-b e_1+a e_k, e_{k+1}, \ldots, e_n\right}$. $\bar{B}$ is a basis because $\operatorname{det}\left(\begin{array}{cc}c & -b \ d & a\end{array}\right)=1$. Let $\bar{A}=\left(\bar{a}{i j}\right)$ be the presentation matrix with respect to this basis, then $\bar{a}{11}=h$ and $\bar{a}{k 1}=0$, while $\bar{a}{i 1}=a_{i 1}$ for $i \neq 1, k$. Note that the first row of $A$ and $\bar{A}$ are equal if and only if $\left\langle a_{11}\right\rangle=\left\langle a_{11}, a_{k 1}\right\rangle$. Doing this with every $k>1$, we may assume that $a_{k 1}=0$ for $k=2, \ldots, n$.

## 数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Tensor Product

Let $A$ be a ring, and let $M, N$, and $P$ be $A$-modules. Let $B(M, N ; P)$ be the $A$-module of bilinear maps $M \times N \rightarrow P$. In this section we want to construct a module $M \otimes_A N$, the tensor product of $M$ and $N$, together with a bilinear map $M \times N \rightarrow M \otimes_A N,(m, n) \mapsto m \otimes n$, such that this map induces a canonical isomorphism
$$B(M, N ; P) \cong \operatorname{Hom}_A\left(M \otimes \otimes_A N, P\right)$$
of $A$-modules, and study its properties. The tensor product reduces the theory of bilinear maps to linear maps, for the price that the modules become more complicated.

Let $\sigma: M \times N \rightarrow P$ be a bilinear map, that is, for all $a \in A, m, m^{\prime} \in M$, $n, n^{\prime} \in N$
(B1) $\sigma(a m, n)=\sigma(m, a n)=a \sigma(m, n)$,
(B2) $\sigma\left(m+m^{\prime}, n\right)=\sigma(m, n)+\sigma\left(m^{\prime}, n\right)$,
(B3) $\sigma\left(m, n+n^{\prime}\right)=\sigma(m, n)+\sigma\left(m, n^{\prime}\right)$.
To obtain the isomorphism above, the elements of type $m \otimes n$ of the module to construct have to satisfy the following properties:
(T1) $\quad(a m) \otimes n=m \otimes(a n)=a(m \otimes n)$,
(T2) $\left(m+m^{\prime}\right) \otimes n=m \otimes n+m^{\prime} \otimes n$,
(T3) $m \otimes\left(n+n^{\prime}\right)=m \otimes n+m \otimes n^{\prime}$,
for all $a \in A, m, m^{\prime} \in M, n, n^{\prime} \in N$. The properties (T1)-(T3) imply the bilinearity of the $\operatorname{map}(m, n) \mapsto m \otimes n$.

## 数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Tensor Product

$$B(M, N ; P) \cong \operatorname{Hom}_A\left(M \otimes \otimes_A N, P\right)$$

(B1) $\sigma(a m, n)=\sigma(m, a n)=a \sigma(m, n)$;
(B2) $\sigma\left(m+m^{\prime}, n\right)=\sigma(m, n)+\sigma\left(m^{\prime}, n\right)$;
(B3) $\sigma\left(m, n+n^{\prime}\right)=\sigma(m, n)+\sigma\left(m, n^{\prime}\right)$。

(T1) $\quad(a m) \otimes n=m \otimes(a n)=a(m \otimes n)$，
(T2) $\left(m+m^{\prime}\right) \otimes n=m \otimes n+m^{\prime} \otimes n$;
(T3) $m \otimes\left(n+n^{\prime}\right)=m \otimes n+m \otimes n^{\prime}$，

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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## avatest™帮您通过考试

avatest™的各个学科专家已帮了学生顺利通过达上千场考试。我们保证您快速准时完成各时长和类型的考试，包括in class、take home、online、proctor。写手整理各样的资源来或按照您学校的资料教您，创造模拟试题，提供所有的问题例子，以保证您在真实考试中取得的通过率是85%以上。如果您有即将到来的每周、季考、期中或期末考试，我们都能帮助您！

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## 数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Left Ideal Membership

In order to test whether a given polynomial lies in the given left ideal, we have to compute, according to Lemma 1.9.12, a left Gröbner basis of the ideal and then the left normal form of the polynomial with respect to the latter basis.

This method is also used for “canonizing” representatives of polynomials in factor algebras. Let us continue with Example 1.9.25.

The procedure bracket (a, b) returns $a b-b a$. Let us check, that $C$ [2] and C [5] lie in the centralizer of $f^2$ in the algebra $U\left(\mathfrak{s l}_2\right) /\left\langle 4 e f+h^2-2 h\right\rangle$. For this, we use the left ideal membership approach by invoking $N F(b$, std (0)) or, alternatively, reduce (b, $\mathrm{btd}(0))$ for a polynomial $b$.

Recall, that, in a factor ring std(0) stands for the two-sided Gröbner basis of the ideal defining the factor ring, which has been constructed as qring $Q$ in the Singular example 1.9.25.
poly b $=$ bracket $\left(\mathrm{C}[2], f^{\wedge} 2\right) ; \mathrm{b} ;$
$/ / \rightarrow-2 e f 2 h 2+2 f h 4-\mathrm{ef} 2 \mathrm{~h}-\mathrm{fh} 3-2 \mathrm{ef} 2+2 \mathrm{fh} 2+\mathrm{fh}+\mathrm{f}$
$\mathrm{NF}(\mathrm{b}, \operatorname{std}(0)) ;$
$/ / \rightarrow 0$
$\mathrm{~b}=$ bracket $\left(\mathrm{C}[5], f^{\wedge} 2\right) ; \mathrm{b} ;$
$/ / \rightarrow 2 e 4 f 2 h-2 e 3 f h 3-e 4 f 2-2 e 2 h 4-2 e 3 f h-e 2 h 3-2 e 2 h 2-e 2 h$
reduce $(b, \operatorname{std}(0)) ;$
$/ / \rightarrow 0$

## 数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Intersection with Subalgebras (Elimination of Variables)

Let $A$ be a $G$-algebra generated by $\left{x_1, \ldots, x_n\right}$ with structural matrices $\left(c_{i j}\right)$ and $\left(d_{i j}\right)$. For a fixed $r, 1 \leq r<n$, consider the subalgebra $A_r$, generated by the $\left{x_{r+1}, \ldots, x_n\right}$. We say, that $A_r$ is an essential subalgebra (or admissible for elimination), if $\forall i, j$ such that $r+1 \leq i<j \leq n$, the polynomials $d_{i j}$ involve only the variables $x_{r+1}, \ldots, x_n$.

Example 1.9.26 (Essential and non-essential subalgebras). Consider $A=$ $U\left(\mathfrak{s l}_2\right)$ (see Singular Example 1.9.3). ${f, h}$ generate an essential subalgebra (recall the relations $h e=e h+2 e$ and $h f=f h-2 f$ ). However, the subalgebra generated by ${e, f}$ is not essential, since $f e=e f-h$ and hence, $h$ is the third generator of this subalgebra. That is, the set ${e, f, h}$ generates the same algebra over $K$ as the set ${e, f}$, namely the whole $A$. As a consequence, we cannot “eliminate” $h$ from any ideal of $A$, since this would require the intersection with the subalgebra generated by ${e, f}$, which is $A$, and hence this would not change anything.

The notion of elimination of variables in the context of non-commutative algebras means the intersection of an ideal with an essential subalgebra.
Recall, that an ordering $<_r$ for $x_1, \ldots, x_n$ (cf. Definition 1.5.4) is said to have the elimination property for $x_1, \ldots, x_r$, if, for any $f \in A, \operatorname{LM}(f) \in A_r$ implies $f \in A_r$; it is then called an elimination ordering.

The following lemma is the constructive generalization of Lemma 1.8.3 to the class of $G$-algebras.

## 数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Left Ideal Membership

$/ / \rightarrow-2 e f 2 h 2+2 f h 4-\mathrm{ef} 2 \mathrm{~h}-\mathrm{fh} 3-2 \mathrm{ef} 2+2 \mathrm{fh} 2+\mathrm{fh}+\mathrm{f}$
$\mathrm{NF}(\mathrm{b}, \operatorname{std}(0)) ;$
$/ / \rightarrow 0$
$\mathrm{~b}=$支架$\left(\mathrm{C}[5], f^{\wedge} 2\right) ; \mathrm{b} ;$
$/ / \rightarrow 2 e 4 f 2 h-2 e 3 f h 3-e 4 f 2-2 e 2 h 4-2 e 3 f h-e 2 h 3-2 e 2 h 2-e 2 h$

$/ / \rightarrow 0$

## 数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Intersection with Subalgebras (Elimination of Variables)

$$的幂 因为K[x]{>}是诺etherian的，所以存在一个s，使得I_1: I_2^s=I_1: I_2^{s+i}适用于所有i \geq 0。这样的s满足$$ I_1: I_2^{\infty}:=\bigcup{i \geq 0} I_1: I_2^i=I_1: I_2^s
$$I_1: I_2^s是I_1相对于I_2的饱和。 这样的最小值s称为饱和指数。如果I_1是自由基，则饱和指数为1。 问题:给定理想I_1, I_2 \subset K[x]_{>}，我们想要计算I_1: I_2^{\infty}和饱和指数的生成器。 解决方法:设置I^{(0)}=I_1，依次计算I^{(j+1)}=I^{(j)}: I_2, j \geq 0，使用1.8.8节中的任意一种方法。在每一步中检查I^{(j+1)} \subset I^{(j)}，请参见1.8.1节。如果s是第一个j，那么I^{(s)}=I_1: I_2^{\infty}和s是饱和指数。 从I^{(j)}=I_1: I_2^j推导出正确性，这是引理1.8.14(1)的结果。上述方法通常比计算I_1: I_2^j快得多，因为I_2^j可以变得相当大。 ## 数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Algebraic Dependence and Subalgebra Membership 回想一下，如果存在一个多项式g \in K\left[y_1, \ldots, y_k\right] \backslash{0}满足g\left(f_1, \ldots, f_k\right)=0，那么多项式序列f_1, \ldots, f_k \in K\left[x_1, \ldots, x_n\right]被称为代数相关的。这相当于\operatorname{Ker}(\varphi) \neq 0，其中\varphi: K\left[y_1, \ldots, y_k\right] \rightarrow K\left[x_1, \ldots, x_n\right]由\varphi\left(y_i\right)=f_i . \operatorname{Ker}(\varphi)定义，可以根据第1.8.10节计算，任何g \in \operatorname{Ker}(\varphi) \backslash{0}定义了f_1, \ldots, f_k之间的代数关系。特别地，f_1, \ldots, f_k在代数上是独立的，当且仅当\operatorname{Ker}(\varphi)=0，这个问题在1.8.10节中已经解决了。 子代数隶属性问题与之相关，但略有不同。 问题:给定f \in K\left[x_1, \ldots, x_n\right]，我们可以问f是否是子代数K\left[f_1, \ldots, f_k\right] \subset K\left[x_1, \ldots, x_n\right]=K[x]的一个元素。 解决方案1:定义\psi: K\left[y_0, \ldots, y_k\right] \rightarrow K[x], y_0 \mapsto f, y_i \mapsto f_i，根据章节1.8 .10计算\operatorname{Ker}(\psi)，并检查\operatorname{Ker}(\psi)是否包含表单y_0-g\left(y_1, \ldots, y_k\right)的元素。也就是说，我们在\operatorname{Mon}\left(x_1, \ldots, x_n, y_0, \ldots, y_k\right)上为x_1, \ldots, x_n定义一个消去顺序，其中y_0大于y_1, \ldots, y_k(例如(\mathrm{dp}(\mathrm{n}), \mathrm{dp}(1), \operatorname{dp}(\mathrm{k})))，并计算\left\langle y_0-f, y_1-f_1, \ldots y_k-f_k\right\rangle的标准基G。那么G包含一个前导单项式y_0的元素，当且仅当f \in K\left[f_1, \ldots, f_k\right]。 解决方案2:为\operatorname{Mon}\left(x_1, \ldots, x_n, y_1, \ldots, y_k\right)上的x_1, \ldots, x_n的消去顺序计算一个标准基\left\langle y_1-f_1, \ldots, y_k-f_k\right\rangle，并检查f相对于该标准基的正常形式是否不涉及任何x_i。当且仅当f \in K\left[f_1, \ldots, f_k\right]和范式将f表示为f_1, \ldots, f_k中的多项式时，才会出现这种情况。 我们省略了这些表述的证明(参见练习1.8.10)。 注意f \in K\left[f_1, \ldots, f_k\right]暗示了h\left(f, f_1, \ldots, f_k\right)=0与h\left(y_0, y_1, \ldots, y_k\right)=y_0-g\left(y_1, \ldots, y_n\right)的关系，因此f, f_1, \ldots, f_k在代数上是相关的(反之则不需要成立)。 进一步注意，\operatorname{map} \varphi: K\left[y_1, \ldots, y_k\right] \rightarrow K\left[x_1, \ldots, x_n\right], y_i \rightarrow f_i(x)是满射当且仅当x_i \in K\left[f_1, \ldots, f_k\right]适用于所有i。因此，可以使用解决方案1或解决方案2来检查给定的环映射是否是满射。 数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考 请认准UprivateTA™. 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This fact has far-reaching computational consequences. For example, choosing a local ordering, we can, basically, do the same calculations in the localization of a polynomial ring as with a global ordering in the polynomial ring itself. In particular, we can effectively compute in K\left[x_1, \ldots, x_n\right]_{\left\langle x_1, \ldots, x_k\right\rangle} for k \leq n (by Lemma 1.5.2 (3) and Example 1.5.3). Let > be a monomial ordering on the set of monomials Mon \left(x_1, \ldots, x_n\right)= \left{x^\alpha \mid \alpha \in \mathbb{N}^n\right}, and K[x]=K\left[x_1, \ldots, x_n\right] the polynomial ring in n variables over a field K. Then the leading monomial function LM has the following properties for polynomials f, g \in K[x] \backslash{0} : (1) \operatorname{LM}(g f)=\operatorname{LM}(g) \operatorname{LM}(f) (2) \operatorname{LM}(g+f) \leq \max {\operatorname{LM}(g), \operatorname{LM}(f)} with equality if and only if the leading terms of f and g do not cancel. In particular, it follows that$$
S_{>}:={u \in K[x] \backslash{0} \mid \operatorname{LM}(u)=1}

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。