Category: Commutative Algebra

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交换代数Commutative Algebra换元代数本质上是对代数数论和代数几何中出现的环的研究。在代数理论中，代数整数的环是Dedekind环，因此它构成了一类重要的换元环。与模块化算术有关的考虑导致了估值环的概念。代数场扩展对子环的限制导致了积分扩展和积分封闭域的概念，以及估值环扩展的公理化概念。

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数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Finite and Integral Extensions

This section contains the basic algebraic theory of finite and algebraic extensions and their relationship. Moreover, important criteria for integral dependence (Proposition 3.1.3) and finiteness (Proposition 3.1.5) are proven.
Definition 3.1.1. Let $A \subset B$ be rings.
(1) $b \in B$ is called integral over $A$ if there is a monic polynomial $f \in A[x]$ satisfying $f(b)=0$, that is, $b$ satisfies a relation of degree $p$,
$$
b^p+a_1 b^{p-1}+\cdots+a_p=0, \quad a_i \in A
$$
for some $p>0$.
(2) $B$ is called integral over $A$ or an integral extension of $A$ if every $b \in B$ is integral over $A$.
(3) $B$ is called a finite extension of $A$ if $B$ is a finitely generated $A$-module.
(4) If $\varphi: A \rightarrow B$ is a ring map then $\varphi$ is called an integral, respectively finite, extension if this holds for the subring $\varphi(A) \subset B$.

If there is no doubt about $\varphi$, we say also, in this situation, that $B$ is integral, respectively finite, over $A$. Often we omit $\varphi$ in the notation, for example we write $I M$ instead of $\varphi(I) M$ if $I \subset A$ is an ideal and $M$ a $B$-module.

数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|The Integral Closure

We explain the notion of integral closure by an example. Assume we have a parametrization of an affine plane curve which is given by a polynomial $\operatorname{map} \mathbb{A}^1 \rightarrow \mathbb{A}^2, t \mapsto(x(t), y(t))$ such that $t$ is contained in the quotient field $K(x(t), y(t))$ of $A=K[x(t), y(t)]$. Let $A \subset B=K[t]$ denote the corresponding ring map, then $t$ is integral over $A$ and $A[t]=B$. We shall see that $K[t]$ is integrally closed in the quotient field $Q(A)=Q(K[t])=K(t)$, and the “smallest ring” with this property containing $A$ (Exercise 3.6.5). For example, $K\left[t^2, t^3\right] \subset K[t]$ corresponds to the parametrization of the cuspidal cubic (cf. Figure 3.2).

For arbitrary reduced affine curves with coordinate ring $A=K[x] / I$ the normalization of $A$, that is, the integral closure of $A$ in $Q(A)$, is the affine ring of a “desingularization” of the curve. For higher dimensional varieties, the normalization of the coordinate ring will not necessarily be a desingularization, but an improvement of the singularities, for example, the codimension of the singular locus will be $\geq 2$. Here we shall treat only some algebraic properties of the normalization.

More generally, we shall study the process associating to a ring extension $A \subset B$ the smallest subring $\widetilde{A} \subset B$ containing all elements of $B$ which are integral over $A$.

Definition 3.2.1. Let $A \subset B$ be a ring extension and $I \subset A$ be an ideal (the case $I=A$ is not excluded). An element $b \in B$ which satisfies a relation
$$
b^n+a_1 b^{n-1}+\cdots+a_n=0, \quad a_i \in I
$$
is called integral over $I$. We denote by
$$
C(I, B)={b \in B \mid b \text { integral over } I}
$$
the (weak) integral closure of $I$ in $B$. If, moreover, $a_i \in I^i$, we say that $b$ is strongly integral over $I$ and call
$$
C_s(I, B)={b \in B \mid b \text { strongly integral over } I}
$$
the strong integral closure of $I$ in $B$.

交换代数代写

数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Finite and Integral Extensions

本节包含有限代数的基本理论和代数扩展及其关系。此外，还证明了积分依赖性(命题3.1.3)和有限性(命题3.1.5)的重要判据。
3.1.1.定义让$A \subset B$响起来吧。
(1)若存在一个单多项式$f \in A[x]$满足$f(b)=0$，即$b$满足次关系$p$，则称$b \in B$为对$A$的积分;
$$
b^p+a_1 b^{p-1}+\cdots+a_p=0, \quad a_i \in A
$$
对一些人来说$p>0$。
(2) $B$称为$A$上的积分，如果每个$b \in B$都是$A$上的积分，则称为$A$的积分扩展。
(3)如果$B$是一个有限生成的$A$ -模块，则$B$称为$A$的有限扩展。
(4)如果$\varphi: A \rightarrow B$是一个环映射，那么$\varphi$被称为一个积分，分别是有限的扩展，如果这对子映射$\varphi(A) \subset B$成立。

如果对$\varphi$没有疑问，我们也可以说，在这种情况下，$B$对$A$是积分的，分别是有限的。通常我们在符号中省略$\varphi$，例如，如果$I \subset A$是理想的，我们写$I M$而不是$\varphi(I) M$，而$M$是$B$ -模块。

数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|The Integral Closure

我们通过一个例子来解释积分闭包的概念。假设我们有一个仿射平面曲线的参数化，该曲线由多项式$\operatorname{map} \mathbb{A}^1 \rightarrow \mathbb{A}^2, t \mapsto(x(t), y(t))$给出，使得$t$包含在$A=K[x(t), y(t)]$的商域$K(x(t), y(t))$中。设$A \subset B=K[t]$表示对应的环映射，则$t$是对$A$和$A[t]=B$的积分。我们将看到$K[t]$在商域$Q(A)=Q(K[t])=K(t)$中是整闭的，并且具有此属性的“最小环”包含$A$(练习3.6.5)。例如，$K\left[t^2, t^3\right] \subset K[t]$对应于尖立方的参数化(参见图3.2)。

对于具有坐标环$A=K[x] / I$的任意化简仿射曲线，$A$的归一化，即$A$在$Q(A)$中的积分闭包，是曲线的一个“去象形化”的仿射环。对于高维变量，坐标环的归一化不一定是去象形化，而是奇点的改进，例如，奇异轨迹的协维数将为$\geq 2$。这里我们只处理归一化的一些代数性质。

更一般地说，我们将研究将包含$B$的所有对$A$积分的元素的最小子带$\widetilde{A} \subset B$与环扩展$A \subset B$相关联的过程。

3.2.1.定义设$A \subset B$为环扩展，$I \subset A$为理想($I=A$不排除这种情况)。满足关系的元素$b \in B$
$$
b^n+a_1 b^{n-1}+\cdots+a_n=0, \quad a_i \in I
$$
叫做对$I$积分。我们用
$$
C(I, B)={b \in B \mid b \text { integral over } I}
$$
$B$中$I$的(弱)积分闭包。此外，如果$a_i \in I^i$，我们说$b$是$I$的强积分，并称
$$
C_s(I, B)={b \in B \mid b \text { strongly integral over } I}
$$
$B$中$I$的强整闭包。

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Computing Resolutions and the Syzygy Theorem

Let $K$ be a field and $>$ a monomial ordering on $K[x]^\tau$. Again $R$ denotes the localization of $K[x]$ with respect to $S_{>}$.

We shall give a method, using standard bases, to compute syzygies and, more generally, free resolutions of finitely generated $R$-modules. Syzygies and free resolutions are very important objects and basic ingredients for many constructions in homological algebra and algebraic geometry. On the other hand, the use of syzygies gives a very elegant way to prove Buchberger’s criterion for standard bases. Moreover, a close inspection of the syzygies of the generators of an ideal allows detection of useless pairs during the computation of a standard basis.

In the following definition $R$ can be an arbitrary ring.
Definition 2.5.1. A syzygy or relation between $k$ elements $f_1, \ldots, f_k$ of an $R$-module $M$ is a $k$-tuple $\left(g_1, \ldots, g_k\right) \in R^k$ satisfying
$$
\sum_{i=1}^k g_i f_i=0
$$
The set of all syzygies between $f_1, \ldots, f_k$ is a submodule of $R^k$. Indeed, it is the kernel of the ring homomorphism
$$
\varphi: F_1:=\bigoplus_{i=1}^k R \varepsilon_i \longrightarrow M, \quad \varepsilon_i \longmapsto f_i,
$$
where $\left{\varepsilon_1, \ldots, \varepsilon_k\right}$ denotes the canonical basis of $R^k . \varphi$ surjects onto the $R-\operatorname{module} I:=\left\langle f_1, \ldots, f_k\right\rangle_R$ and
$$
\operatorname{syz}(I):=\operatorname{syz}\left(f_1, \ldots, f_k\right):=\operatorname{Ker}(\varphi)
$$
is called the module of syzygies of $I$ with respect to the generators $f_1, \ldots, f_k{ }^8$

数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Modules over Principal Ideal Domains

In this section we shall study the structure of finitely generated modules over principal ideal domains. It will be proved that they can be decomposed in a unique way into a direct sum of cyclic modules with special properties. Examples are given for the case of a univariate polynomial ring over a field. We show how this decomposition can be computed by using standard bases (actually, we need only interreduction).

Theorem 2.6.1. Let $R$ be a principal ideal domain and $M$ a finitely generated $R$-module, then $M$ is a direct sum of cyclic modules.

Proof. Let $R^m \rightarrow R^n \rightarrow M \rightarrow 0$ be a presentation of $M$ given by the ma$\operatorname{trix} A=\left(a_{i j}\right)$ with respect to the bases $B=\left{e_1, \ldots, e_n\right}, B^{\prime}=\left{f_1, \ldots, f_m\right}$ of $R^n, R^m$, respectively. If $A$ is the zero-matrix, then $M \cong R^n$, and we are done. Otherwise, we may assume that $a_{11} \neq 0$. We shall show that, for a suitable choice of the bases, the presentation matrix has diagonal form, that is, $a_{i j}=0$ if $i \neq j$. For some $k>1$ with $a_{k 1} \neq 0$, let $h$ be a generator of the ideal $\left\langle a_{11}, a_{k 1}\right\rangle$, and let $a, b, c, d \in R$ be such that $h=a a_{11}+b a_{k 1}, a_{11}=c h$, $a_{k 1}=d h$ (we choose $a:=1, b:=0, c:=1$ if $\left\langle a_{11}\right\rangle=\left\langle a_{11}, a_{k 1}\right\rangle$ ). Now we change the basis $B$ to $\bar{B}=\left{c e_1+d e_k, e_2, \ldots, e_{k-1},-b e_1+a e_k, e_{k+1}, \ldots, e_n\right}$. $\bar{B}$ is a basis because $\operatorname{det}\left(\begin{array}{cc}c & -b \ d & a\end{array}\right)=1$. Let $\bar{A}=\left(\bar{a}{i j}\right)$ be the presentation matrix with respect to this basis, then $\bar{a}{11}=h$ and $\bar{a}{k 1}=0$, while $\bar{a}{i 1}=a_{i 1}$ for $i \neq 1, k$. Note that the first row of $A$ and $\bar{A}$ are equal if and only if $\left\langle a_{11}\right\rangle=\left\langle a_{11}, a_{k 1}\right\rangle$. Doing this with every $k>1$, we may assume that $a_{k 1}=0$ for $k=2, \ldots, n$.

Now, applying the same procedure to the transposed matrix ${ }^t A$ (which corresponds to base changes in $B^{\prime}$ ), we obtain a matrix ${ }^t A_1$,
$$
A_1=\left(\begin{array}{cccc}
a_{11}^{(1)} & 0 & \ldots & 0 \
a_{21}^{(1)} & a_{22}^{(1)} & \ldots & a_{2 m}^{(1)} \
\vdots & & & \vdots \
a_{n 1}^{(1)} & a_{n 2}^{(1)} & \ldots & a_{n m}^{(1)}
\end{array}\right),
$$
with the property: $\left\langle a_{11}\right\rangle \subset\left\langle a_{11}^{(1)}\right\rangle$ and $a_{21}^{(1)}=\cdots=a_{n 1}^{(1)}=0$, if $\left\langle a_{11}\right\rangle=\left\langle a_{11}^{(1)}\right\rangle$.

交换代数代写

数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Computing Resolutions and the Syzygy Theorem

设$K$为字段，$>$为$K[x]^\tau$上的单序。同样，$R$表示$K[x]$相对于$S_{>}$的局部化。

我们将给出一种方法，使用标准基来计算协同，更一般地说，计算有限生成$R$ -模块的自由分辨率。协同和自由分辨是同调代数和代数几何中许多构造的重要对象和基本组成部分。另一方面，syzygies的使用提供了一种非常优雅的方法来证明标准基的Buchberger准则。此外，在计算标准基时，对理想发生器的协同性进行仔细检查可以发现无用的对。

在下面的定义中$R$可以是任意环。
2.5.1.定义$R$ -模块$M$的$k$元素$f_1, \ldots, f_k$之间的聚合或关系是一个$k$ -元组$\left(g_1, \ldots, g_k\right) \in R^k$
$$
\sum_{i=1}^k g_i f_i=0
$$
$f_1, \ldots, f_k$之间所有协同的集合是$R^k$的一个子模块。事实上，它是环同态的核
$$
\varphi: F_1:=\bigoplus_{i=1}^k R \varepsilon_i \longrightarrow M, \quad \varepsilon_i \longmapsto f_i,
$$
其中$\left{\varepsilon_1, \ldots, \varepsilon_k\right}$表示$R^k . \varphi$对象到$R-\operatorname{module} I:=\left\langle f_1, \ldots, f_k\right\rangle_R$和
$$
\operatorname{syz}(I):=\operatorname{syz}\left(f_1, \ldots, f_k\right):=\operatorname{Ker}(\varphi)
$$
是$I$相对于生成器的syzygies模块 $f_1, \ldots, f_k{ }^8$

数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Modules over Principal Ideal Domains

在本节中，我们将研究主理想域上有限生成模块的结构。证明了它们可以被唯一地分解成具有特殊性质的循环模的直接和。给出了域上单变量多项式环的例子。我们将展示如何通过使用标准基来计算这种分解(实际上，我们只需要相互约简)。

定理2.6.1。设$R$为主理想域，$M$为有限生成的$R$ -模，则$M$为循环模的直接和。

证明。设$R^m \rightarrow R^n \rightarrow M \rightarrow 0$为ma $\operatorname{trix} A=\left(a_{i j}\right)$相对于$R^n, R^m$的基$B=\left{e_1, \ldots, e_n\right}, B^{\prime}=\left{f_1, \ldots, f_m\right}$给出的$M$的表示形式。如果$A$是零矩阵，那么$M \cong R^n$就完成了。否则，我们可以假设$a_{11} \neq 0$。我们将证明，对于基的合适选择，表示矩阵具有对角线形式，即$a_{i j}=0$如果$i \neq j$。对于$k>1$和$a_{k 1} \neq 0$，让$h$成为理想的$\left\langle a_{11}, a_{k 1}\right\rangle$的生成器，让$a, b, c, d \in R$成为$h=a a_{11}+b a_{k 1}, a_{11}=c h$, $a_{k 1}=d h$(如果$\left\langle a_{11}\right\rangle=\left\langle a_{11}, a_{k 1}\right\rangle$，我们选择$a:=1, b:=0, c:=1$)。现在我们把基底$B$改为$\bar{B}=\left{c e_1+d e_k, e_2, \ldots, e_{k-1},-b e_1+a e_k, e_{k+1}, \ldots, e_n\right}$。$\bar{B}$是一个基础，因为$\operatorname{det}\left(\begin{array}{cc}c & -b \ d & a\end{array}\right)=1$。设$\bar{A}=\left(\bar{a}{i j}\right)$为相对于此基的表示矩阵，然后是$\bar{a}{11}=h$和$\bar{a}{k 1}=0$，而$\bar{a}{i 1}=a_{i 1}$为$i \neq 1, k$。注意，当且仅当$\left\langle a_{11}\right\rangle=\left\langle a_{11}, a_{k 1}\right\rangle$时，$A$和$\bar{A}$的第一行相等。对每个$k>1$都这样做，我们可以假设$a_{k 1}=0$表示$k=2, \ldots, n$。

现在，把同样的方法应用到转置矩阵${ }^t A$上(它对应于$B^{\prime}$的基的变化)，我们得到一个矩阵${ }^t A_1$，
$$
A_1=\left(\begin{array}{cccc}
a_{11}^{(1)} & 0 & \ldots & 0 \
a_{21}^{(1)} & a_{22}^{(1)} & \ldots & a_{2 m}^{(1)} \
\vdots & & & \vdots \
a_{n 1}^{(1)} & a_{n 2}^{(1)} & \ldots & a_{n m}^{(1)}
\end{array}\right),
$$
属性:$\left\langle a_{11}\right\rangle \subset\left\langle a_{11}^{(1)}\right\rangle$和$a_{21}^{(1)}=\cdots=a_{n 1}^{(1)}=0$，如果是$\left\langle a_{11}\right\rangle=\left\langle a_{11}^{(1)}\right\rangle$。

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线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

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微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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交换代数Commutative Algebra换元代数本质上是对代数数论和代数几何中出现的环的研究。在代数理论中，代数整数的环是Dedekind环，因此它构成了一类重要的换元环。与模块化算术有关的考虑导致了估值环的概念。代数场扩展对子环的限制导致了积分扩展和积分封闭域的概念，以及估值环扩展的公理化概念。

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数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Modules over Principal Ideal Domains

In this section we shall study the structure of finitely generated modules over principal ideal domains. It will be proved that they can be decomposed in a unique way into a direct sum of cyclic modules with special properties. Examples are given for the case of a univariate polynomial ring over a field. We show how this decomposition can be computed by using standard bases (actually, we need only interreduction).

Theorem 2.6.1. Let $R$ be a principal ideal domain and $M$ a finitely generated $R$-module, then $M$ is a direct sum of cyclic modules.

Proof. Let $R^m \rightarrow R^n \rightarrow M \rightarrow 0$ be a presentation of $M$ given by the ma$\operatorname{trix} A=\left(a_{i j}\right)$ with respect to the bases $B=\left{e_1, \ldots, e_n\right}, B^{\prime}=\left{f_1, \ldots, f_m\right}$ of $R^n, R^m$, respectively. If $A$ is the zero-matrix, then $M \cong R^n$, and we are done. Otherwise, we may assume that $a_{11} \neq 0$. We shall show that, for a suitable choice of the bases, the presentation matrix has diagonal form, that is, $a_{i j}=0$ if $i \neq j$. For some $k>1$ with $a_{k 1} \neq 0$, let $h$ be a generator of the ideal $\left\langle a_{11}, a_{k 1}\right\rangle$, and let $a, b, c, d \in R$ be such that $h=a a_{11}+b a_{k 1}, a_{11}=c h$, $a_{k 1}=d h$ (we choose $a:=1, b:=0, c:=1$ if $\left\langle a_{11}\right\rangle=\left\langle a_{11}, a_{k 1}\right\rangle$ ). Now we change the basis $B$ to $\bar{B}=\left{c e_1+d e_k, e_2, \ldots, e_{k-1},-b e_1+a e_k, e_{k+1}, \ldots, e_n\right}$. $\bar{B}$ is a basis because $\operatorname{det}\left(\begin{array}{cc}c & -b \ d & a\end{array}\right)=1$. Let $\bar{A}=\left(\bar{a}{i j}\right)$ be the presentation matrix with respect to this basis, then $\bar{a}{11}=h$ and $\bar{a}{k 1}=0$, while $\bar{a}{i 1}=a_{i 1}$ for $i \neq 1, k$. Note that the first row of $A$ and $\bar{A}$ are equal if and only if $\left\langle a_{11}\right\rangle=\left\langle a_{11}, a_{k 1}\right\rangle$. Doing this with every $k>1$, we may assume that $a_{k 1}=0$ for $k=2, \ldots, n$.

数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Tensor Product

Let $A$ be a ring, and let $M, N$, and $P$ be $A$-modules. Let $B(M, N ; P)$ be the $A$-module of bilinear maps $M \times N \rightarrow P$. In this section we want to construct a module $M \otimes_A N$, the tensor product of $M$ and $N$, together with a bilinear map $M \times N \rightarrow M \otimes_A N,(m, n) \mapsto m \otimes n$, such that this map induces a canonical isomorphism
$$
B(M, N ; P) \cong \operatorname{Hom}_A\left(M \otimes \otimes_A N, P\right)
$$
of $A$-modules, and study its properties. The tensor product reduces the theory of bilinear maps to linear maps, for the price that the modules become more complicated.

Let $\sigma: M \times N \rightarrow P$ be a bilinear map, that is, for all $a \in A, m, m^{\prime} \in M$, $n, n^{\prime} \in N$
(B1) $\sigma(a m, n)=\sigma(m, a n)=a \sigma(m, n)$,
(B2) $\sigma\left(m+m^{\prime}, n\right)=\sigma(m, n)+\sigma\left(m^{\prime}, n\right)$,
(B3) $\sigma\left(m, n+n^{\prime}\right)=\sigma(m, n)+\sigma\left(m, n^{\prime}\right)$.
To obtain the isomorphism above, the elements of type $m \otimes n$ of the module to construct have to satisfy the following properties:
(T1) $\quad(a m) \otimes n=m \otimes(a n)=a(m \otimes n)$,
(T2) $\left(m+m^{\prime}\right) \otimes n=m \otimes n+m^{\prime} \otimes n$,
(T3) $m \otimes\left(n+n^{\prime}\right)=m \otimes n+m \otimes n^{\prime}$,
for all $a \in A, m, m^{\prime} \in M, n, n^{\prime} \in N$. The properties (T1)-(T3) imply the bilinearity of the $\operatorname{map}(m, n) \mapsto m \otimes n$.

交换代数代写

数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Modules over Principal Ideal Domains

在本节中，我们将研究主理想域上有限生成模块的结构。证明了它们可以被唯一地分解成具有特殊性质的循环模的直接和。给出了域上单变量多项式环的例子。我们将展示如何通过使用标准基来计算这种分解(实际上，我们只需要相互约简)。

定理2.6.1。设$R$为主理想域，$M$为有限生成的$R$ -模，则$M$为循环模的直接和。

证明。设$R^m \rightarrow R^n \rightarrow M \rightarrow 0$为ma $\operatorname{trix} A=\left(a_{i j}\right)$相对于$R^n, R^m$的基$B=\left{e_1, \ldots, e_n\right}, B^{\prime}=\left{f_1, \ldots, f_m\right}$给出的$M$的表示形式。如果$A$是零矩阵，那么$M \cong R^n$就完成了。否则，我们可以假设$a_{11} \neq 0$。我们将证明，对于基的合适选择，表示矩阵具有对角线形式，即$a_{i j}=0$如果$i \neq j$。对于$k>1$和$a_{k 1} \neq 0$，让$h$成为理想的$\left\langle a_{11}, a_{k 1}\right\rangle$的生成器，让$a, b, c, d \in R$成为这样的$h=a a_{11}+b a_{k 1}, a_{11}=c h$, $a_{k 1}=d h$(如果$\left\langle a_{11}\right\rangle=\left\langle a_{11}, a_{k 1}\right\rangle$，我们选择$a:=1, b:=0, c:=1$)。现在我们把基底$B$改为$\bar{B}=\left{c e_1+d e_k, e_2, \ldots, e_{k-1},-b e_1+a e_k, e_{k+1}, \ldots, e_n\right}$。$\bar{B}$是一个基础，因为$\operatorname{det}\left(\begin{array}{cc}c & -b \ d & a\end{array}\right)=1$。设$\bar{A}=\left(\bar{a}{i j}\right)$为相对于此基的表示矩阵，然后是$\bar{a}{11}=h$和$\bar{a}{k 1}=0$，而$\bar{a}{i 1}=a_{i 1}$为$i \neq 1, k$。注意，当且仅当$\left\langle a_{11}\right\rangle=\left\langle a_{11}, a_{k 1}\right\rangle$时，$A$和$\bar{A}$的第一行相等。对每个$k>1$都这样做，我们可以假设$a_{k 1}=0$表示$k=2, \ldots, n$。

数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Tensor Product

让 $A$ 做一枚戒指，让 $M, N$，和 $P$ 他 $A$-modules。让 $B(M, N ; P)$ 做一个 $A$双线性映射的模 $M \times N \rightarrow P$． 在本节中，我们要构造一个模块 $M \otimes_A N$的张量积 $M$ 和 $N$，以及双线性映射 $M \times N \rightarrow M \otimes_A N,(m, n) \mapsto m \otimes n$，使得这个映射产生正则同构
$$
B(M, N ; P) \cong \operatorname{Hom}_A\left(M \otimes \otimes_A N, P\right)
$$
的 $A$-模块，并研究其性质。张量积将双线性映射理论简化为线性映射，代价是模块变得更加复杂。

设$\sigma: M \times N \rightarrow P$为双线性映射，即对于所有$a \in A, m, m^{\prime} \in M$, $n, n^{\prime} \in N$
(B1) $\sigma(a m, n)=\sigma(m, a n)=a \sigma(m, n)$;
(B2) $\sigma\left(m+m^{\prime}, n\right)=\sigma(m, n)+\sigma\left(m^{\prime}, n\right)$;
(B3) $\sigma\left(m, n+n^{\prime}\right)=\sigma(m, n)+\sigma\left(m, n^{\prime}\right)$。
要获得上述同构，要构造的模块中类型为$m \otimes n$的元素必须满足以下属性:
(T1) $\quad(a m) \otimes n=m \otimes(a n)=a(m \otimes n)$，
(T2) $\left(m+m^{\prime}\right) \otimes n=m \otimes n+m^{\prime} \otimes n$;
(T3) $m \otimes\left(n+n^{\prime}\right)=m \otimes n+m \otimes n^{\prime}$，
对于所有$a \in A, m, m^{\prime} \in M, n, n^{\prime} \in N$。(T1)-(T3)的性质暗示了$\operatorname{map}(m, n) \mapsto m \otimes n$的双线性。

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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交换代数Commutative Algebra换元代数本质上是对代数数论和代数几何中出现的环的研究。在代数理论中，代数整数的环是Dedekind环，因此它构成了一类重要的换元环。与模块化算术有关的考虑导致了估值环的概念。代数场扩展对子环的限制导致了积分扩展和积分封闭域的概念，以及估值环扩展的公理化概念。

交换代数Commutative Algebra代写，免费提交作业要求， 满意后付款，成绩80\%以下全额退款，安全省心无顾虑。专业硕 博写手团队，所有订单可靠准时，保证 100% 原创。最高质量的交换代数Commutative Algebra作业代写，服务覆盖北美、欧洲、澳洲等 国家。 在代写价格方面，考虑到同学们的经济条件，在保障代写质量的前提下，我们为客户提供最合理的价格。 由于作业种类很多，同时其中的大部分作业在字数上都没有具体要求，因此交换代数Commutative Algebra作业代写的价格不固定。通常在专家查看完作业要求之后会给出报价。作业难度和截止日期对价格也有很大的影响。

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avatest™的各个学科专家已帮了学生顺利通过达上千场考试。我们保证您快速准时完成各时长和类型的考试，包括in class、take home、online、proctor。写手整理各样的资源来或按照您学校的资料教您，创造模拟试题，提供所有的问题例子，以保证您在真实考试中取得的通过率是85%以上。如果您有即将到来的每周、季考、期中或期末考试，我们都能帮助您！

在不断发展的过程中，avatest™如今已经成长为论文代写，留学生作业代写服务行业的翘楚和国际领先的教育集团。全体成员以诚信为圆心，以专业为半径，以贴心的服务时刻陪伴着您， 用专业的力量帮助国外学子取得学业上的成功。

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数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Left Ideal Membership

In order to test whether a given polynomial lies in the given left ideal, we have to compute, according to Lemma 1.9.12, a left Gröbner basis of the ideal and then the left normal form of the polynomial with respect to the latter basis.

This method is also used for “canonizing” representatives of polynomials in factor algebras. Let us continue with Example 1.9.25.

The procedure bracket (a, b) returns $a b-b a$. Let us check, that $C$ [2] and C [5] lie in the centralizer of $f^2$ in the algebra $U\left(\mathfrak{s l}_2\right) /\left\langle 4 e f+h^2-2 h\right\rangle$. For this, we use the left ideal membership approach by invoking $N F(b$, std (0)) or, alternatively, reduce (b, $\mathrm{btd}(0))$ for a polynomial $b$.

Recall, that, in a factor ring std(0) stands for the two-sided Gröbner basis of the ideal defining the factor ring, which has been constructed as qring $Q$ in the Singular example 1.9.25.
poly b $=$ bracket $\left(\mathrm{C}[2], f^{\wedge} 2\right) ; \mathrm{b} ;$
$/ / \rightarrow-2 e f 2 h 2+2 f h 4-\mathrm{ef} 2 \mathrm{~h}-\mathrm{fh} 3-2 \mathrm{ef} 2+2 \mathrm{fh} 2+\mathrm{fh}+\mathrm{f}$
$\mathrm{NF}(\mathrm{b}, \operatorname{std}(0)) ;$
$/ / \rightarrow 0$
$\mathrm{~b}=$ bracket $\left(\mathrm{C}[5], f^{\wedge} 2\right) ; \mathrm{b} ;$
$/ / \rightarrow 2 e 4 f 2 h-2 e 3 f h 3-e 4 f 2-2 e 2 h 4-2 e 3 f h-e 2 h 3-2 e 2 h 2-e 2 h$
reduce $(b, \operatorname{std}(0)) ;$
$/ / \rightarrow 0$

数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Intersection with Subalgebras (Elimination of Variables)

Let $A$ be a $G$-algebra generated by $\left{x_1, \ldots, x_n\right}$ with structural matrices $\left(c_{i j}\right)$ and $\left(d_{i j}\right)$. For a fixed $r, 1 \leq r<n$, consider the subalgebra $A_r$, generated by the $\left{x_{r+1}, \ldots, x_n\right}$. We say, that $A_r$ is an essential subalgebra (or admissible for elimination), if $\forall i, j$ such that $r+1 \leq i<j \leq n$, the polynomials $d_{i j}$ involve only the variables $x_{r+1}, \ldots, x_n$.

Example 1.9.26 (Essential and non-essential subalgebras). Consider $A=$ $U\left(\mathfrak{s l}_2\right)$ (see Singular Example 1.9.3). ${f, h}$ generate an essential subalgebra (recall the relations $h e=e h+2 e$ and $h f=f h-2 f$ ). However, the subalgebra generated by ${e, f}$ is not essential, since $f e=e f-h$ and hence, $h$ is the third generator of this subalgebra. That is, the set ${e, f, h}$ generates the same algebra over $K$ as the set ${e, f}$, namely the whole $A$. As a consequence, we cannot “eliminate” $h$ from any ideal of $A$, since this would require the intersection with the subalgebra generated by ${e, f}$, which is $A$, and hence this would not change anything.

The notion of elimination of variables in the context of non-commutative algebras means the intersection of an ideal with an essential subalgebra.
Recall, that an ordering $<_r$ for $x_1, \ldots, x_n$ (cf. Definition 1.5.4) is said to have the elimination property for $x_1, \ldots, x_r$, if, for any $f \in A, \operatorname{LM}(f) \in A_r$ implies $f \in A_r$; it is then called an elimination ordering.

The following lemma is the constructive generalization of Lemma 1.8.3 to the class of $G$-algebras.

交换代数代写

数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Left Ideal Membership

为了检验给定的多项式是否存在于给定的左理想中，我们必须根据引理1.9.12计算理想的左Gröbner基，然后计算多项式相对于后一基的左范式。

这种方法也用于因子代数中多项式的“规范化”表示。让我们继续看例1.9.25。

过程括号(a, b)返回$a b-b a$。我们检查一下，$C$[2]和C[5]在代数$U\left(\mathfrak{s l}_2\right) /\left\langle 4 e f+h^2-2 h\right\rangle$中$f^2$的扶正器中。为此，我们使用左理想隶属度方法，对多项式$b$调用$N F(b$, std(0))，或者调用reduce (b, $\mathrm{btd}(0))$。

回想一下，在因子环中，std(0)表示定义因子环的理想的双面Gröbner基，它在奇异例子1.9.25中被构造为qring $Q$。
聚b $=$支架$\left(\mathrm{C}[2], f^{\wedge} 2\right) ; \mathrm{b} ;$
$/ / \rightarrow-2 e f 2 h 2+2 f h 4-\mathrm{ef} 2 \mathrm{~h}-\mathrm{fh} 3-2 \mathrm{ef} 2+2 \mathrm{fh} 2+\mathrm{fh}+\mathrm{f}$
$\mathrm{NF}(\mathrm{b}, \operatorname{std}(0)) ;$
$/ / \rightarrow 0$
$\mathrm{~b}=$支架$\left(\mathrm{C}[5], f^{\wedge} 2\right) ; \mathrm{b} ;$
$/ / \rightarrow 2 e 4 f 2 h-2 e 3 f h 3-e 4 f 2-2 e 2 h 4-2 e 3 f h-e 2 h 3-2 e 2 h 2-e 2 h$
减少 $(b, \operatorname{std}(0)) ;$
$/ / \rightarrow 0$

数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Intersection with Subalgebras (Elimination of Variables)

设$A$是由$\left{x_1, \ldots, x_n\right}$与结构矩阵$\left(c_{i j}\right)$和$\left(d_{i j}\right)$生成的一个$G$ -代数。对于固定的$r, 1 \leq r<n$，考虑由$\left{x_{r+1}, \ldots, x_n\right}$生成的子代数$A_r$。我们说，$A_r$是一个基本的子代数(或允许消除)，如果$\forall i, j$这样$r+1 \leq i<j \leq n$，多项式$d_{i j}$只涉及变量$x_{r+1}, \ldots, x_n$。

例1.9.26(本质和非本质子代数)。考虑$A=$$U\left(\mathfrak{s l}_2\right)$(参见奇异例1.9.3)。${f, h}$生成一个基本的子代数(回想一下$h e=e h+2 e$和$h f=f h-2 f$的关系)。然而，由${e, f}$生成的子代数并不是必需的，因为$f e=e f-h$和$h$是这个子代数的第三个生成器。也就是说，集合${e, f, h}$在$K$上生成的代数与集合${e, f}$相同，即整个$A$。因此，我们不能从$A$的任何理想中“消除”$h$，因为这需要与${e, f}$生成的子代数相交，即$A$，因此这不会改变任何东西。

在非交换代数中，变量消去的概念是指理想与本质子代数的交点。
回想一下，对$x_1, \ldots, x_n$排序$<_r$(参见定义1.5.4)据说对$x_1, \ldots, x_r$具有消去性质，如果对任何$f \in A, \operatorname{LM}(f) \in A_r$都意味着$f \in A_r$;这就叫做消去排序。

下面的引理是引理1.8.3对$G$ -代数类的建设性推广。

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

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现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

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MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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交换代数Commutative Algebra换元代数本质上是对代数数论和代数几何中出现的环的研究。在代数理论中，代数整数的环是Dedekind环，因此它构成了一类重要的换元环。与模块化算术有关的考虑导致了估值环的概念。代数场扩展对子环的限制导致了积分扩展和积分封闭域的概念，以及估值环扩展的公理化概念。

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数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Saturation

Let $I_1, I_2 \subset K[x]{>}$be as in Section 1.8.7. We consider the quotient of $I_1$ by powers of $I_2$ $$ I_1=I_1: I_2^0 \subset I_1: I_2^1 \subset I_1: I_2^2 \subset I_1: I_2^3 \subset \ldots \subset K[x]{>} .
$$
Since $K[x]{>}$is Noetherian, there exists an $s$ such that $I_1: I_2^s=I_1: I_2^{s+i}$ for all $i \geq 0$. Such an $s$ satisfies $$ I_1: I_2^{\infty}:=\bigcup{i \geq 0} I_1: I_2^i=I_1: I_2^s
$$
and $I_1: I_2^s$ is called the saturation of $I_1$ with respect to $I_2$.
The minimal such $s$ is called the saturation exponent. If $I_1$ is radical, then the saturation exponent is 1 .

Problem: Given ideals $I_1, I_2 \subset K[x]_{>}$, we want to compute generators for $I_1: I_2^{\infty}$ and the saturation exponent.
Solution: Set $I^{(0)}=I_1$ and compute successively $I^{(j+1)}=I^{(j)}: I_2, j \geq 0$, by any of the methods of Section 1.8.8. In each step check whether $I^{(j+1)} \subset I^{(j)}$, by using Section 1.8.1. If $s$ is the first $j$ when this happens, then $I^{(s)}=I_1: I_2^{\infty}$ and $s$ is the saturation exponent.

Correctness follows from $I^{(j)}=I_1: I_2^j$, which is a consequence of Lemma 1.8.14 (1). The above method is usually much faster than computing $I_1: I_2^j$, since $I_2^j$ can become quite large.

数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Algebraic Dependence and Subalgebra Membership

Recall that a sequence of polynomials $f_1, \ldots, f_k \in K\left[x_1, \ldots, x_n\right]$ is called algebraically dependent if there exists a polynomial $g \in K\left[y_1, \ldots, y_k\right] \backslash{0}$ satisfying $g\left(f_1, \ldots, f_k\right)=0$. This is equivalent to $\operatorname{Ker}(\varphi) \neq 0$, where $\varphi: K\left[y_1, \ldots, y_k\right] \rightarrow K\left[x_1, \ldots, x_n\right]$ is defined by $\varphi\left(y_i\right)=f_i . \operatorname{Ker}(\varphi)$ can be computed according to Section 1.8.10, and any $g \in \operatorname{Ker}(\varphi) \backslash{0}$ defines an algebraic relation between the $f_1, \ldots, f_k$. In particular, $f_1, \ldots, f_k$ are algebraically independent if and only if $\operatorname{Ker}(\varphi)=0$ and this problem was solved in Section 1.8.10.
Related, but slightly different is the subalgebra-membership problem.
Problem: Given $f \in K\left[x_1, \ldots, x_n\right]$, we may ask whether $f$ is an element of the subalgebra $K\left[f_1, \ldots, f_k\right] \subset K\left[x_1, \ldots, x_n\right]=K[x]$.
Solution 1: Define $\psi: K\left[y_0, \ldots, y_k\right] \rightarrow K[x], y_0 \mapsto f, y_i \mapsto f_i$, compute $\operatorname{Ker}(\psi)$ according to Section 1.8 .10 and check whether $\operatorname{Ker}(\psi)$ contains an element of the form $y_0-g\left(y_1, \ldots, y_k\right)$. That is, we define an elimination ordering for $x_1, \ldots, x_n$ on $\operatorname{Mon}\left(x_1, \ldots, x_n, y_0, \ldots, y_k\right)$ with $y_0$ greater than $y_1, \ldots, y_k$ (for example, $(\mathrm{dp}(\mathrm{n}), \mathrm{dp}(1), \operatorname{dp}(\mathrm{k}))$ ) and compute a standard basis $G$ of $\left\langle y_0-f, y_1-f_1, \ldots y_k-f_k\right\rangle$. Then $G$ contains an element with leading monomial $y_0$ if and only if $f \in K\left[f_1, \ldots, f_k\right]$.
Solution 2: Compute a standard basis of $\left\langle y_1-f_1, \ldots, y_k-f_k\right\rangle$ for an elimination ordering for $x_1, \ldots, x_n$ on $\operatorname{Mon}\left(x_1, \ldots, x_n, y_1, \ldots, y_k\right)$ and check whether the normal form of $f$ with respect to this standard basis does not involve any $x_i$. This is the case if and only if $f \in K\left[f_1, \ldots, f_k\right]$ and the normal form expresses $f$ as a polynomial in $f_1, \ldots, f_k$.
We omit the proofs for these statements (cf. Exercise 1.8.10).
Note that $f \in K\left[f_1, \ldots, f_k\right]$ implies a relation $h\left(f, f_1, \ldots, f_k\right)=0$ with $h\left(y_0, y_1, \ldots, y_k\right)=y_0-g\left(y_1, \ldots, y_n\right)$, hence $f, f_1, \ldots, f_k$ are algebraically dependent (the converse does not need to be true).

Note further that the $\operatorname{map} \varphi: K\left[y_1, \ldots, y_k\right] \rightarrow K\left[x_1, \ldots, x_n\right], y_i \rightarrow f_i(x)$ is surjective if and only if $x_i \in K\left[f_1, \ldots, f_k\right]$ for all $i$. Hence, Solution 1 or Solution 2 can be used to check whether a given ring map is surjective.

交换代数代写

数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Saturation

让$I_1, I_2 \subset K[x]{>}$和1.8.7节一样。我们考虑$I_1$的商除以$I_2$$$ I_1=I_1: I_2^0 \subset I_1: I_2^1 \subset I_1: I_2^2 \subset I_1: I_2^3 \subset \ldots \subset K[x]{>} .
$$的幂
因为$K[x]{>}$是诺etherian的，所以存在一个$s$，使得$I_1: I_2^s=I_1: I_2^{s+i}$适用于所有$i \geq 0$。这样的$s$满足$$ I_1: I_2^{\infty}:=\bigcup{i \geq 0} I_1: I_2^i=I_1: I_2^s
$$
$I_1: I_2^s$是$I_1$相对于$I_2$的饱和。
这样的最小值$s$称为饱和指数。如果$I_1$是自由基，则饱和指数为1。

问题:给定理想$I_1, I_2 \subset K[x]_{>}$，我们想要计算$I_1: I_2^{\infty}$和饱和指数的生成器。
解决方法:设置$I^{(0)}=I_1$，依次计算$I^{(j+1)}=I^{(j)}: I_2, j \geq 0$，使用1.8.8节中的任意一种方法。在每一步中检查$I^{(j+1)} \subset I^{(j)}$，请参见1.8.1节。如果$s$是第一个$j$，那么$I^{(s)}=I_1: I_2^{\infty}$和$s$是饱和指数。

从$I^{(j)}=I_1: I_2^j$推导出正确性，这是引理1.8.14(1)的结果。上述方法通常比计算$I_1: I_2^j$快得多，因为$I_2^j$可以变得相当大。

数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Algebraic Dependence and Subalgebra Membership

回想一下，如果存在一个多项式$g \in K\left[y_1, \ldots, y_k\right] \backslash{0}$满足$g\left(f_1, \ldots, f_k\right)=0$，那么多项式序列$f_1, \ldots, f_k \in K\left[x_1, \ldots, x_n\right]$被称为代数相关的。这相当于$\operatorname{Ker}(\varphi) \neq 0$，其中$\varphi: K\left[y_1, \ldots, y_k\right] \rightarrow K\left[x_1, \ldots, x_n\right]$由$\varphi\left(y_i\right)=f_i . \operatorname{Ker}(\varphi)$定义，可以根据第1.8.10节计算，任何$g \in \operatorname{Ker}(\varphi) \backslash{0}$定义了$f_1, \ldots, f_k$之间的代数关系。特别地，$f_1, \ldots, f_k$在代数上是独立的，当且仅当$\operatorname{Ker}(\varphi)=0$，这个问题在1.8.10节中已经解决了。
子代数隶属性问题与之相关，但略有不同。
问题:给定$f \in K\left[x_1, \ldots, x_n\right]$，我们可以问$f$是否是子代数$K\left[f_1, \ldots, f_k\right] \subset K\left[x_1, \ldots, x_n\right]=K[x]$的一个元素。
解决方案1:定义$\psi: K\left[y_0, \ldots, y_k\right] \rightarrow K[x], y_0 \mapsto f, y_i \mapsto f_i$，根据章节1.8 .10计算$\operatorname{Ker}(\psi)$，并检查$\operatorname{Ker}(\psi)$是否包含表单$y_0-g\left(y_1, \ldots, y_k\right)$的元素。也就是说，我们在$\operatorname{Mon}\left(x_1, \ldots, x_n, y_0, \ldots, y_k\right)$上为$x_1, \ldots, x_n$定义一个消去顺序，其中$y_0$大于$y_1, \ldots, y_k$(例如$(\mathrm{dp}(\mathrm{n}), \mathrm{dp}(1), \operatorname{dp}(\mathrm{k}))$)，并计算$\left\langle y_0-f, y_1-f_1, \ldots y_k-f_k\right\rangle$的标准基$G$。那么$G$包含一个前导单项式$y_0$的元素，当且仅当$f \in K\left[f_1, \ldots, f_k\right]$。
解决方案2:为$\operatorname{Mon}\left(x_1, \ldots, x_n, y_1, \ldots, y_k\right)$上的$x_1, \ldots, x_n$的消去顺序计算一个标准基$\left\langle y_1-f_1, \ldots, y_k-f_k\right\rangle$，并检查$f$相对于该标准基的正常形式是否不涉及任何$x_i$。当且仅当$f \in K\left[f_1, \ldots, f_k\right]$和范式将$f$表示为$f_1, \ldots, f_k$中的多项式时，才会出现这种情况。
我们省略了这些表述的证明(参见练习1.8.10)。
注意$f \in K\left[f_1, \ldots, f_k\right]$暗示了$h\left(f, f_1, \ldots, f_k\right)=0$与$h\left(y_0, y_1, \ldots, y_k\right)=y_0-g\left(y_1, \ldots, y_n\right)$的关系，因此$f, f_1, \ldots, f_k$在代数上是相关的(反之则不需要成立)。

进一步注意，$\operatorname{map} \varphi: K\left[y_1, \ldots, y_k\right] \rightarrow K\left[x_1, \ldots, x_n\right], y_i \rightarrow f_i(x)$是满射当且仅当$x_i \in K\left[f_1, \ldots, f_k\right]$适用于所有$i$。因此，可以使用解决方案1或解决方案2来检查给定的环映射是否是满射。

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

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数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Rings Associated to Monomial Orderings

In this section we show that non-global monomial orderings lead to new rings which are localizations of the polynomial ring. This fact has far-reaching computational consequences. For example, choosing a local ordering, we can, basically, do the same calculations in the localization of a polynomial ring as with a global ordering in the polynomial ring itself. In particular, we can effectively compute in $K\left[x_1, \ldots, x_n\right]_{\left\langle x_1, \ldots, x_k\right\rangle}$ for $k \leq n$ (by Lemma 1.5.2 (3) and Example 1.5.3).

Let $>$ be a monomial ordering on the set of monomials Mon $\left(x_1, \ldots, x_n\right)=$ $\left{x^\alpha \mid \alpha \in \mathbb{N}^n\right}$, and $K[x]=K\left[x_1, \ldots, x_n\right]$ the polynomial ring in $n$ variables over a field $K$. Then the leading monomial function LM has the following properties for polynomials $f, g \in K[x] \backslash{0}$ :
(1) $\operatorname{LM}(g f)=\operatorname{LM}(g) \operatorname{LM}(f)$
(2) $\operatorname{LM}(g+f) \leq \max {\operatorname{LM}(g), \operatorname{LM}(f)}$ with equality if and only if the leading terms of $f$ and $g$ do not cancel.
In particular, it follows that
$$
S_{>}:={u \in K[x] \backslash{0} \mid \operatorname{LM}(u)=1}
$$
is a multiplicatively closed set.

数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Normal Forms and Standard Bases

In this section we define standard bases, respectively Gröbner bases, of an ideal $I \subset K[x]_{>}$as a set of polynomials of $I$ such that their leading monomials generate the leading ideal $L(I)$. The next section gives an algorithm to compute standard bases. For global orderings this is Buchberger’s algorithm, which is a generalization of the Gaussian elimination algorithm and the Euclidean algorithm. For local orderings it is Mora’s tangent cone algorithm, which itself is a variant of Buchberger’s algorithm. The general case is a variation of Mora’s algorithm, which is due to the authors and implemented in SiNGULAR since 1990.

The leading ideal $L(I)$ contains a lot of information about the ideal $I$, which often can be computed purely combinatorially from $L(I)$, because the leading ideal is generated by monomials. Standard bases have turned out to be the fundamental tool for computations with ideals and modules. The idea of standard bases is already contained in the work of Gordan [93]. Later, monomial orderings were used by Macaulay [157] and Gröbner [117] to study Hilbert functions of graded ideals, and, more generally, to find bases of zerodimensional factor rings. The notion of a standard basis was introduced later, independently, by Hironaka [123], Grauert [98] (for special local orderings) and Buchberger [32] (for global orderings).

In the following, special emphasis is made to axiomatically characterize normal forms, respectively weak normal forms, which play an important role in the standard basis algorithm. They generalize division with remainder to the case of ideals, respectively finite sets of polvnomials.

交换代数代写

数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Rings Associated to Monomial Orderings

在这一节中，我们证明了非全局单序导致新的环，这些环是多项式环的局部化。这一事实具有深远的计算后果。例如，选择一个局部排序，我们基本上可以，在多项式环的局部化中做同样的计算就像在多项式环本身中做一个全局排序一样。特别是，我们可以在$K\left[x_1, \ldots, x_n\right]_{\left\langle x_1, \ldots, x_k\right\rangle}$中有效地计算$k \leq n$(通过引理1.5.2(3)和示例1.5.3)。

设$>$为单项式集合Mon $\left(x_1, \ldots, x_n\right)=$$\left{x^\alpha \mid \alpha \in \mathbb{N}^n\right}$上的单项式排序，$K[x]=K\left[x_1, \ldots, x_n\right]$为字段$K$上的$n$变量中的多项式环。那么领头的单项式函数LM对于多项式$f, g \in K[x] \backslash{0}$具有以下性质:
(1) $\operatorname{LM}(g f)=\operatorname{LM}(g) \operatorname{LM}(f)$
(2) $\operatorname{LM}(g+f) \leq \max {\operatorname{LM}(g), \operatorname{LM}(f)}$当且仅当$f$和$g$的前导项不消去。
特别地，它是这样的
$$
S_{>}:={u \in K[x] \backslash{0} \mid \operatorname{LM}(u)=1}
$$
是一个乘法闭集。

数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Normal Forms and Standard Bases

在本节中，我们定义理想$I \subset K[x]_{>}$的标准基，分别为Gröbner基，作为$I$的多项式集合，使得它们的前项产生先导理想$L(I)$。下一节给出计算标准基的算法。对于全局排序，这是Buchberger算法，它是高斯消去算法和欧几里得算法的推广。对于局部排序，它是Mora的切锥算法，它本身就是Buchberger算法的一个变体。一般情况是Mora算法的一种变体，这是由于作者自1990年以来在SiNGULAR中实现的。

先导理想$L(I)$包含了关于先导理想$I$的大量信息，这些信息通常可以从$L(I)$进行纯组合计算，因为先导理想是由单项式生成的。标准基已被证明是理想和模计算的基本工具。Gordan[93]的工作中已经包含了标准碱基的概念。后来，Macaulay[157]和Gröbner[117]利用单项式序研究了分级理想的Hilbert函数，并更广泛地用于寻找零维因子环的基。标准基的概念后来被Hironaka[123]、Grauert98和Buchberger32独立地引入。

在下面，特别强调公理化表征范式，分别是弱范式，它们在标准基算法中起着重要作用。他们将带余除法推广到理想的情况，分别是多项式的有限集。

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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交换代数Commutative Algebra换元代数本质上是对代数数论和代数几何中出现的环的研究。在代数理论中，代数整数的环是Dedekind环，因此它构成了一类重要的换元环。与模块化算术有关的考虑导致了估值环的概念。代数场扩展对子环的限制导致了积分扩展和积分封闭域的概念，以及估值环扩展的公理化概念。

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数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Modules

Let $A$ be a ring. By an $A$-module $M$, we mean an additive abelian group $M$ together with a map $A \times M \rightarrow M,(a, x) \mapsto a x$, called scalar multiplication, satisfying the following conditions for all $a, b \in A, x, y \in M$ :
(1) $a(x+y)=a x+a y$.
(2) $(a+b) x=a x+b x$.
(3) $a(b x)=(a b) x$.
(4) $1 x=x$.
If $A$ is not necessarily commutative then the above conditions define a left $A$-module. Replacing condition (3) by the condition $\left(3^{\prime}\right) a(b x)=(b a) x$ and keeping the other conditions unchanged, we get the definition of a right $A$ module. For a right module, it is customary to write scalars on the right, so condition $\left(3^{\prime}\right)$ takes the more natural form $(x b) a=x(b a)$. If $A$ is commutative then, of course, the concepts of a left $A$-module and a right $A$-module coincide with the concept of an $A$-module. In the sequel, most of our discussion is for modules over a commutative a ring. However, we remark that many of the properties hold also for left (resp. right) modules over a not necessarily commutative ring.

For an $A$-module $M$, properties of the following type are deduced easily from the above axioms: $a 0=0=0 x,(-1) x=-x,(-a) x=a(-x)=$ $-(a x),(a-b) x=a x-b x, a(x-y)=a x-a y$, etc. Here $a, b \in A, x, y \in M$, and the symbol 0 is used to denote the additive identity of both $A$ and $M$.

数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Some Natural Examples

Some Natural Examples. (1) An ideal of $A$ is an $A$-module in a natural way. In particular, a ring is a module over itself.

(2) An abelian group is the same thing as a $\mathbb{Z}$-module, with obvious scalar multiplication.
(3) If $A$ is a subring of a ring $B$ then $B$ is an $A$-module. If $\mathfrak{a}$ is an ideal of $A$ then $A / \mathfrak{a}$ is an $A$-module. More generally, a homomorphism $\varphi: A \rightarrow B$ of rings makes $B$ into an $A$-module with scalar multiplication given by $a b=\varphi(a) b$ for $a \in A, b \in B$. Further, if $M$ is a $B$-module then $M$ acquires an $A$ module structure via $\varphi$ with scalar multiplication given by $a x=\varphi(a) x$ for $a \in A, x \in M$
(3) A vector space over a field $k$ is the same thing as a $k$-module.

Submodules. Let $M$ be an $A$-module. A subset $N$ of $M$ is called a submodule (more precisely, an $A$-submodule) of $M$ if $N$ is an additive subgroup of $M$ and is closed under scalar multiplication. The last condition means that $a x \in N$ for all $a \in A, x \in N$.

The following three conditions on a nonempty subset $N$ of $M$ are easily checked to be equivalent: (1) $N$ is an $A$-submodule of $M$. (2) $N$ is closed under addition and scalar multiplication. (3) $a x+b y \in N$ for all $a, b \in A, x, y \in N$.
An $A$-submodule of $A$ is just an ideal of $A$.
Quotient Modules. Let $M$ be an $A$-module, and let $N$ be a submodule of $M$. On the quotient group $M / N$ we have a well defined scalar multiplication given by $a \bar{x}=\overline{a x}$ for $a \in A, x \in M$, where $\bar{x}$ denotes the natural image of $x$ in $M / N$. This makes $M / N$ into an $A$-module, called the quotient of $M$ by $N$.

交换代数代写

数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Modules

让 $A$ 轴承。通过一个 $A$-模块 $M$ ，我们指的是加性阿贝尔群 $M$ 连同一张地图
$A \times M \rightarrow M,(a, x) \mapsto a x$ ，称为标量乘法，满足以下所有条件 $a, b \in A, x, y \in M$ :
(1) $a(x+y)=a x+a y$.
(2) $(a+b) x=a x+b x$.
(3) $a(b x)=(a b) x$.
(4) $1 x=x$.
如果 $A$ 不一定是可交换的，那么上面的条件定义了一个左 $A$-模块。将条件 (3) 替换为条件
$\left(3^{\prime}\right) a(b x)=(b a) x$ 并保持其他条件不变，我们得到权利的定义 $A$ 模块。对于一个右模块，习惯上 把标量写在右边，所以条件 $\left(3^{\prime}\right)$ 采取更自然的形式 $(x b) a=x(b a)$. 如果 $A$ 是可交换的，当然，左 的概念 $A$-模苇和权利 $A$-module 与 an 的概念相吻合 $A$-模块。在续集中，我们的大部分讨论都是 针对可交换环上的模。然而，我们注意到许多属性也适用于不一定可交换环上的左 (resp.right) 模 块。
为 $A$-模块 $M$ ，以下类型的属性很容易从上述公理中推导出来:
$a 0=0=0 x,(-1) x=-x,(-a) x=a(-x)=$
$-(a x),(a-b) x=a x-b x, a(x-y)=a x-a y$ 等交里 $a, b \in A, x, y \in M$, 符号 0 用 于表示两者的加法恒等式 $A$ 和 $M$.

数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Some Natural Examples

一些自然的例子。(1)一个理想 $A$ 是一个 $A$ – 以自然的方式模块。特别地，环是自身之上的模块。
（2）阿贝尔群等同于 $\mathbb{Z}-$-module，具有明显的标量乘法。
(3) 如果 $A$ 是环的子环 $B$ 然后 $B$ 是一个 $A$-模块。如果 $a$ 是一个理想的 $A$ 然后 $A / \mathfrak{a}$ 是一个 $A$-模块。更 一般地，同态 $\varphi: A \rightarrow B$ 戒指制作 $B$ 进入一个 $A$-具有标量乘法的模块 $a b=\varphi(a) b$ 为了 $a \in A, b \in B$. 此外，如果 $M$ 是一个 $B$ – 然后模块 $M$ 获得一个 $A$ 模块结构通过 $\varphi$ 标量乘法由 $a x=\varphi(a) x$ 为了 $a \in A, x \in M$
(3) 域上的向量空间 $k$ 与 $\mathrm{a}$ 相同 $k$-模块。
子模块。让 $M$ 豆 $A$-模块。一个子集 $N$ 的 $M$ 被称为子模块 (更准确地说,一个 $A$-子模块) 的 $M$ 如 果 $N$ 是的加法了群 $M$ 并且在标量乘法下是封闭的。最后一个条件意味着 $a x \in N$ 对全部 $a \in A, x \in N$.
非空子集的以下三个条件 $N$ 的 $M$ 很容易被检查为等价的: (1) $N$ 是一个 $A$-子模块 $M$. (2) $N$ 在加 法和标量乘法下是封闭的。(3) $a x+b y \in N$ 对全部 $a, b \in A, x, y \in N$.
一个 $A$-子模块 $A$ 只是一个理想 $A$.
商模块。让 $M$ 豆 $A$-模块，让 $N$ 是一个子模块 $M$. 关于商群 $M / N$ 我们有一个明确定义的标量乘法 $a \bar{x}=\overline{a x}$ 为了 $a \in A, x \in M$ ，在哪里 $\bar{x}$ 表示的自然图像 $x$ 在 $M / N$. 这使得 $M / N$ 进入一个 $A-$ module，称为商 $M$ 经过 $N$.

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

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数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Parameter ideals

Among m-primary ideals, the ones generated by a system of parameters have a distinguished role. It is usual to call them parameter ideals.

Proposition 7.4.32 (Chevalley-Samuel). Let $(R, \mathfrak{m})$ stand for a Noetherian local ring of dimension $d$, let $\mathrm{q}$ denote a parameter ideal of $R$ and let $M$ be a finitely generated R-module. Then:
(i) The fiber cone of $\mathfrak{q}$ is a polynomial ring over $k=R / \mathfrak{m}$; in particular, if $R$ contains a field $K$, any set of minimal generators of $\mathfrak{q}$ is algebraically independent over $K$.
(ii) $\lambda\left(M / \mathfrak{q}^n M\right) \leq \lambda(M / \mathfrak{q} M)\left(\begin{array}{c}n+d-1 \ d\end{array}\right)$ for all $n \geq 0$
(iii) $e(\mathrm{q}, M) \leq \lambda(M / \mathfrak{q} M)$
(iv) The equality $e(\mathfrak{q}, R)=\lambda(R / \mathfrak{q})$ holds if and only if the associated graded ring of $\mathfrak{q}$ is a polynomial ring over $R / q$.
(v) If $R$ is Cohen-Macaulay, then $e(\mathfrak{q}, R)=\lambda(R / \mathfrak{q})$.
Proof. (i) Let $\left{a_1, \ldots, a_d\right}$ stand for a minimal set of generators of $q$ and consider the $k$-algebra map $k\left[X_1, \ldots, X_r\right] \rightarrow F(\mathfrak{q}):=\mathcal{R}R(\mathfrak{q}) / \mathfrak{m} \mathcal{R}_R(\mathfrak{q})=\sum{t \geq 0} \mathfrak{q}^t / \mathfrak{m} q^{t+1}$ such that $X_i$ maps to the residue of $a_i$. It suffices to show that $\operatorname{dim} F(\mathfrak{q})=d$.

数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Associativity formulas

The purpose of this short part is to state two useful results, both called associativity formulas. The first is the analogue of the associativity formula for the graded Hilbert function. It is stated as follows.

Theorem 7.4.34 (Associativity of local multiplicities). Let $(R, \mathfrak{m})$ be a Noetherian local ring, let $\mathfrak{q} \subset R$ be an $\mathfrak{m}$-primary ideal and let $M$ be a finitely generated $R$-module. Then
$$
e(\mathfrak{q}, M)=\sum_{\wp} \lambda\left(M_{\wp}\right) e((\mathfrak{q}, \wp) / \wp, R / \wp)
$$
where $\wp$ runs through the set of prime ideals of $R$ such that $\operatorname{dim} R / \wp=\operatorname{dim} R$ and $(q, \rho) \neq R$

One of the known proofs follows pretty much the same scheme as that of the associativity formula for the Hilbert function in the graded case (Proposition 7.4.13). The only point that needs to be established is the additivity of the local multiplicity along an exact sequence as an analogue of 7.4.13.1.

Lemma 7.4.35. Let $(R, \mathfrak{m})$ be a Noetherian local ring, let $\mathfrak{q} \subset R$ be an $\mathfrak{m}$-primary ideal and let $N \subset M$ be finitely generated R-modules. Then
$$
e(\mathfrak{q}, M)=e(\mathfrak{q}, N)+e(\mathfrak{q}, M / N)
$$
Proof. The proof follows pretty much the same scheme as in the proof of the claim in Theorem 7.4.31. Namely, one has
$$
\lambda\left(M / \mathfrak{q}^n M\right)-\lambda\left((M / N) / \mathfrak{q}^n(M / N)\right)=\lambda\left(N / N \cap \mathfrak{q}^n M\right)
$$

交换代数代写

数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Parameter ideals

在 m-primary ideas 中，由参数系统生成的理想具有突出的作用。通常称它们为参数理想。
提案 7.4.32 (Chevalley-Samuel)。让 $(R, \mathfrak{m})$ 代表诺特局部维度环d，让q表示一个参数理想 $R$ 然后让 $M$ 是有限生成的 $\mathrm{R}$ 模。然后:
（i）的纤维雉 $\mathfrak{q}$ 是一个多项式环 $k=R / \mathfrak{m}$; 特别是，如果 $R$ 包含一个字段 $K$ ，的任何一组最小生成元q 在代数上是独立的 $K$.
(二) $\lambda\left(M / \mathfrak{q}^n M\right) \leq \lambda(M / \mathfrak{q} M)(n+d-1 d)$ 对全部 $n \geq 0$
(三) $e(\mathrm{q}, M) \leq \lambda(M / q M)$
(iv) 平等 $e(\mathfrak{q}, R)=\lambda(R / q)$ 当且仅当关联的分级环成立 $q$ 是一个多项式环 $R / q$.
(v) 如果 $R$ 是 Cohen-Macaulay，那么e $e(q, R)=\lambda(R / q)$.
$k\left[X_1, \ldots, X_r\right] \rightarrow F(\mathfrak{q}):=\mathcal{R} R(\mathfrak{q}) / \mathfrak{m} \mathcal{R}_R(\mathfrak{q})=\sum t \geq 0 \mathfrak{q}^t / \mathfrak{m} q^{t+1}$ 这样 $X_i$ 映射到的残差 $a_i$. 足以说明 $\operatorname{dim} F(\mathfrak{q})=d$.

数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Associativity formulas

这个简短部分的目的是陈述两个有用的结果，都称为结合性公式。第一个是分级希尔伯特函数的关联 性公式的类比。说明如下。
定理 7.4.34 (局部重数的结合性) 。让 $(R, \mathfrak{m})$ 是一个 Noetherian 本地环，让q $\subset R$ 豆 $\mathfrak{m}$ – 主要理 想和让 $M$ 是有限生成的 $R$-模块。然后
$$
e(\mathfrak{q}, M)=\sum_{\wp} \lambda\left(M_{\wp}\right) e((\mathfrak{q}, \wp) / \wp, R / \wp)
$$
在哪里 $\wp$ 贯穿于 $R$ 这样 $\operatorname{dim} R / \wp=\operatorname{dim} R$ 和 $(q, \rho) \neq R$
其中一个已知的证明遵循与梯度情况下希尔伯特函数的结合律公式几乎相同的方案 (命题 7.4.13)。 唯一需要确定的一点是局部多重性沿着精确序列的可加性，作为 7.4.13.1 的类比。
引理 7.4.35。让 $(R, \mathfrak{m})$ 是一个 Noetherian 本地环，让 $\mathfrak{q} \subset R$ 豆 $\mathfrak{m}$ – 主要理想和让 $N \subset M$ 是有 限生成的 $R$ 模块。然后
$$
e(\mathfrak{q}, M)=e(\mathfrak{q}, N)+e(\mathfrak{q}, M / N)
$$
证明。证明遵循与定理 7.4.31中声明的证明几乎相同的方案。即，一个有
$$
\lambda\left(M / \mathfrak{q}^n M\right)-\lambda\left((M / N) / \mathfrak{q}^n(M / N)\right)=\lambda\left(N / N \cap \mathfrak{q}^n M\right)
$$

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微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

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MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|The graded Hilbert function

This is the case where one aims at an enlargement of the setup in Section 2.7. Namely, one needs the extended notions of graded structures, as discussed in the beginning of Chapter 7.
The basic sine qua non result is the following elementary observation.
Lemma 7.4.5. Let $A$ stand for a commutative ring and let $R$ denote an $\mathbb{N}$-graded finitely generated A-algebra, with $R_0=A$. Let $M$ denote a finitely generated $\mathbb{Z}$-graded R-module. Then every homogeneous part of $M$ is a finitely generated A-module.

Proof. Since $R$ is graded, one can assume that it is generated by a set $\left{f_1, \ldots, f_r\right}$ of homogeneous elements of degrees, say, $d_1 \leq \cdots \leq d_r$. Consider the $\mathbb{N}$-graded polynomial ring $A\left[x_1, \ldots, x_r\right]$, where $\operatorname{deg}\left(x_i\right)=d_i$. Consider the surjective homomorphism of $A$-algebras $A\left[x_1, \ldots, x_r\right] \rightarrow R$ such that $x_i \mapsto f_i$, for $i=1, \ldots, r$. Since this way the grading of $R$ is induced by that of $A\left[x_1, \ldots, x_r\right]$, one may assume that $R=A\left[x_1, \ldots, x_r\right]$. In this case, the result follows by an obvious reasoning from the analogous one for a standard polynomial ring.

This takes care of the case where $M=R$. For the general case, $M$ is the image of a graded $R$-module homomorphism with source a direct sum of finitely many copies of $R$ or $R$ shifted by some degree. Therefore, the result follows from the previous case.
In particular, if the ground ring $A$ is Artinian, every homogeneous part of $M$ has finite length. This is the base for the following concept.

数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Selecta

The formula of van der Waerden (Theorem 2.7.25) for the multiplicity of cyclic modules over a polynomial ring now fully extends to the present general situation, where it is called perhaps improperly the (graded) associativity formula. One goes back to the general setup of Definition 7.4.6.
Proposition 7.4.13. Let $M$ denote a finitely generated graded R-module. Then
$$
e(M)=\sum_{\wp} \lambda\left(M_{\wp}\right) e(R / \wp)
$$
where $p$ runs through the minimal primes of $M$ of maximal dimension.
Proof. The basic strategy comes from the following additivity behavior of the multiplicity along an exact sequence.

Claim. Let $0 \rightarrow N^{\prime} \rightarrow N \rightarrow N^{\prime \prime} \rightarrow 0$ stand for a homogeneous exact sequence of finitely generated graded $R$-modules. Then
$$
e(N)= \begin{cases}e\left(N^{\prime}\right)+e\left(N^{\prime \prime}\right) & \text { if } \operatorname{dim} N=\operatorname{dim} N^{\prime}=\operatorname{dim} N^{\prime \prime} \ e\left(N^{\prime}\right) & \text { if } \operatorname{dim} N^{\prime \prime}<\operatorname{dim} N \ e\left(N^{\prime \prime}\right) & \text { if } \operatorname{dim} N^{\prime}<\operatorname{dim} N\end{cases}
$$

To see the claim, recall that the Hilbert function is additive on short exact sequences as the one given. Taking $n \gg 0$, one gets an exact sequence of the values of the respective Hilbert polynomials. Since their degrees are the respective dimensions of the terms, the appended leading coefficients are either incomparable or equal. Since, according to Proposition 5.2.6(vii), the only alternatives for the dimensions along the exact sequence are the ones stated in the claim, the alternatives for the respective multiplicities are as stated.

交换代数代写

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这是一种旨在扩大第 2.7 节中的设置的情况。也就是说，正如第 7 章开头所讨论的那样，我们需要渐 变结构的扩展概念。
基本的必要条件结果是以下基本观察。
引理 7.4.5。让 $A$ 代表交换环并让 $R$ 表示一个 $\mathbb{N}$ – 分级有限生成 $\mathrm{A}$ 代数，具有 $R_0=A$. 让 $M$ 表示一 个有限生成的 $\mathbb{Z}$-分级 $\mathrm{R}$ 模块。那么每个同质部分 $M$ 是有限生成的 $\mathrm{A}$ 模。
证明。自从 $R$ 是分级的，可以假设它是由一组生成的 \left{f_l,\Idots, $f _r$ right $}$ 度的齐次元素，比 方说， $d_1 \leq \cdots \leq d_r$. 考虑 $\mathbb{N}$-分级多项式环 $A\left[x_1, \ldots, x_r\right]$ ， 在哪里 $\operatorname{deg}\left(x_i\right)=d_i$. 考虑的满 射同态 $A$-代数 $A\left[x_1, \ldots, x_r\right] \rightarrow R$ 这样 $x_i \mapsto f_i$ ，为了 $i=1, \ldots, r$. 由于这种方式的分级 $R$ 是由 $A\left[x_1, \ldots, x_r\right]$ ，人们可以假设 $R=A\left[x_1, \ldots, x_r\right]$. 在这种情况下，结果遵循标准多项式环 的类似推理的明显推理。
这会处理以下情况 $M=R$. 对于一般情况， $M$ 是分级图像 $R$-模块同态与源的有限多个副本的直和 $R$ 或者 $R$ 在某种程度上移动了。因此，结果与前一个案例相同。
特别是，如果接地环 $A$ 是 Artinian 的，每个同质的部分 $M$ 有有限的长度。这是以下概念的基础。

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多项式环上循环模的多重性的 van der Waerden 公式（定理 2.7.25）现在完全扩展到目前的一般 情况，它可能被不恰当地称为 (分级) 结合性公式。可以追溯到定义 7.4.6 的一般设置。 提案 7.4.13。让 $M$ 表示有限生成的分级 $\mathrm{R}$ 模块。然后
$$
e(M)=\sum_{\wp} \lambda\left(M_{\wp}\right) e(R / \wp)
$$
在哪里 $p$ 遍历的最小素数 $M$ 的最大维度。
证明。基本策略来自沿精确序列的多重性的以下可加性行为。
宣称。让 $0 \rightarrow N^{\prime} \rightarrow N \rightarrow N^{\prime \prime} \rightarrow 0$ 代表有限生成的分级的齐次精确序列 $R$-模块。然后
$e(N)=\left{e\left(N^{\prime}\right)+e\left(N^{\prime \prime}\right) \quad\right.$ if $\operatorname{dim} N=\operatorname{dim} N^{\prime}=\operatorname{dim} N^{\prime \prime} e\left(N^{\prime}\right) \quad$ if $\operatorname{dim} N^{\prime \prime}<\operatorname{dim} N e\left(N^{\prime \prime}\right) \quad$ if $\operatorname{dim} N^{\prime}<\operatorname{dim}$
到相应希尔伯特多项式值的精确序列。由于它们的度数是项的各自维度，因此附加的前导系数是不可
比的或相等的。因为，根据命题 5.2.6(vii)，沿着精确序列的维度的唯一备选方案是权利要求中所述
的维度，因此各个重数的备选方案如所述。

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。