Category: Computational Complexity

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计算复杂度理论 Computational Complexity Theory对明确给出的算法的复杂性的研究被称为算法分析，而对问题的复杂性的研究被称为计算复杂性理论。这两个领域都是高度相关的，因为算法的复杂性总是这个算法所解决的问题的复杂性的一个上限。此外，为了设计有效的算法，将特定算法的复杂性与要解决的问题的复杂性进行比较往往是最基本的。另外，在大多数情况下，人们对一个问题的复杂性的唯一认识是它低于已知的最有效算法的复杂性。因此，算法分析和复杂性理论之间有很大的重叠。

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数学代写|计算复杂度理论代写Computational Complexity Theory代考|Time versus alternations: time-space tradeoffs for SAT

Despite the fact that SAT is widely believed to require exponential (or at least super-polynomial) time to solve, and to require linear (or at least super-logarithmic) space, we currently have no way to prove these conjectures. In fact, as far as we know, SAT may have both a linear time algorithm and a logarithmic space one. Nevertheless, we can prove that SAT does not have an algorithm that runs simultaneously in linear time and logarithmic space. In fact, we can prove the following stronger theorem:
THEOREM $5.13$ (??)
For every two functions $S, T: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$, define $\operatorname{TISP}(T(n), S(n))$ to be the set of languages decided by a $T M M$ that on every input $x$ takes at most $O(T(|x|))$ steps and uses at most $O(S(|x|))$ cells of its read/write tapes. Then, SAT $\notin \mathbf{T I S P}\left(n^{1.1}, n^{0.1}\right)$.

The class $\operatorname{TISP}(T(n), S(n))$ is typically defined with respect to TM’s with RAM memory (i.e., TM’s that have random access to their tapes; such machines can be defined in a similar way to the definition of oracle TM’s in Section 3.5). Theorem $5.13$ and its proof carries over for that model as well. We also note that a stronger result is known for both models: for every $c<(\sqrt{5}+1) / 2$, there exists $d>0$ such that SAT $\notin \mathbf{T I S P}\left(n^c, n^d\right)$ and furthermore, $d$ approaches 1 from below as $c$ approaches 1 from above.
ProOF: We will show that
$$
\boldsymbol{N T I M E}(n) \nsubseteq \mathbb{\operatorname { T I S }}\left(n^{1.2}, n^{0.2}\right)
$$

数学代写|计算复杂度理论代写Computational Complexity Theory代考|Defining the hierarchy via oracle machines

Recall the definition of oracle machines from Section 3.5. These are machines that are executed with access to a special tape they can use to make queries of the form “is $q \in O$ ” for some language $O$. For every $O \subseteq{0,1}^*$, oracle TM $M$ and input $x$, we denote by $M^O(x)$ the output of $M$ on $x$ with access to $O$ as an oracle. We have the following characterization of the polynomial hierarchy:
THEOREM $5.15$
For every $i \geq 2, \boldsymbol{\Sigma}i^p=\mathbf{N P}^{\boldsymbol{\Sigma}{i-1} \mathrm{SAT}}$, where the latter class denotes the set of languages decided by polynomial-time NDTMs with access to the oracle $\boldsymbol{\Sigma}_{i-1}$ SAT.

Proof: We showcase the idea by proving that $\boldsymbol{\Sigma}_2^p=\mathbf{N P}^{\mathrm{SAT}}$. Suppose that $L \in \boldsymbol{\Sigma}_2^p$. Then, there is a polynomial-time TM $M$ and a polynomial $q$ such that
$$
x \in L \Leftrightarrow \exists u_1 \in{0,1}^{q(|x|)} \forall u_2 \in{0,1}^{q(|x|)} M\left(x, u_1, u_2\right)=1
$$
yet for every fixed $u_1$ and $x$, the statement “for every $u_2, M\left(x, u_1, u_2\right)=1$ ” is the negation of an NP-statement and hence its truth can be determined using an oracle for SAT. We get that there is a simple NDTM $N$ that given oracle access for SAT can decide $L$ : on input $x$, non-deterministically guess $u_1$ and use the oracle to decide if $\forall u_2 M\left(x, u_1, u_2\right)=1$. We see that $x \in L$ iff there exists a choice $u_1$ that makes $N$ accept.

计算复杂度代写

数学代写|计算复杂度理论代写Computational Complexity Theory代 考|Time versus alternations: time-space tradeoffs for SAT

尽管人们普遍认为 SAT 需要指数 (或至少超多项式) 时间来求解，并且需要线性 (或至少超对数) 空间，但我 们目前无法证明这些猜想。事实上，据我们所知，SAT可能既有线性时间算法，也有对数空间算法。尽管如 此，我们可以证明 SAT 没有同时在线性时间和对数空间运行的算法。事实上，我们可以证明下面更强的定理 : $5.13$ (??)
对于每两个函数 $S, T: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ ，定义 $\operatorname{TISP}(T(n), S(n))$ 成为由 a 决定的语言集 $T M M$ 在每个输入上 $x$ 最 多需要 $O(T(|x|))$ 步䯅和最多使用 $O(S(|x|))$ 其读/写磁带的单元格。然后，SAT $\notin \operatorname{TISP}\left(n^{1.1}, n^{0.1}\right)$.
班上TISP $(T(n), S(n))$ 通常是根据带有 RAM 内存的 TM 来定义的（即，可以随机访问其磁带的 TM；此类 机器的定义方式类似于第 $3.5$ 节中 oracle TM 的定义) 。定理 $5.13$ 它的证明也适用于该模型。我们还注意到， 这两种模型都有更强的结果: 对于每个 $c<(\sqrt{5}+1) / 2$ ，那里存在 $d>0$ 这样SAT $\notin \mathbf{T I S P}\left(n^c, n^d\right)$ 而 且， $d$ 从下面接近 1 作为 $c$ 从上方接近 ${ }^{\circ}$ 。
ProOF: 我们将证明
$$
\boldsymbol{N T I M E}(n) \nsubseteq \operatorname{TIS}\left(n^{1.2}, n^{0.2}\right)
$$

数学代写|计算复杂度理论代写Computational Complexity Theory代 考|Defining the hierarchy via oracle machines

回想一下 $3.5$ 节中预言机的定义。这些机器在执行时可以访问特殊磁带，它们可以用来进行“是”形式的查询 $q \in O^{\prime \prime}$ 对于某些语言 $O$. 对于每一个 $O \subseteq 0,1^*$ ，甲骨文TM $M$ 并输入 $x$ ，我们用 $M^O(x)$ 的输出 $M$ 在 $x$ 可以访问 $O$ 作为神谕。我们有多项式层次结构的以下特征
: $5.15$
对于每一个 $i \geq 2, \boldsymbol{\Sigma} i^p=\mathbf{N P}^{\Sigma i-1 \mathrm{SAT}}$ ，其中后一类表示由多项式时间 NDTM 决定的语言集，可以访问 oracle $\boldsymbol{\Sigma}_{i-1}$ 周六。
证明: 我们通过证明来展示这个想法 $\boldsymbol{\Sigma}_2^p=\mathbf{N P}^{\mathrm{SAT}}$. 假设 $L \in \boldsymbol{\Sigma}_2^p$. 那么，有一个多项式时间TM $M$ 和一个多 项式 $q$ 这样
$$
x \in L \Leftrightarrow \exists u_1 \in 0,1^{q(|x|)} \forall u_2 \in 0,1^{q(|x|)} M\left(x, u_1, u_2\right)=1
$$
然而对于每一个固定的 $u_1$ 和 $x$ ，声明“对于每个 $u_2, M\left(x, u_1, u_2\right)=1$ ” 是 NP 语句的否定，因此可以使用 SAT 的 oracle 确定其真值。我们知道有一个简单的 NDTM $N$ 给定 SAT 的 oracle 访问权限可以决定 $L$ : 输入 $x$ ， 非确定性猜测 $u_1$ 并使用 oracle 来决定是否 $\forall u_2 M\left(x, u_1, u_2\right)=1$. 我们看到 $x \in L$ 如果存在选择 $u_1$ 这使得 $N$ 接受。

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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计算复杂度理论 Computational Complexity Theory对明确给出的算法的复杂性的研究被称为算法分析，而对问题的复杂性的研究被称为计算复杂性理论。这两个领域都是高度相关的，因为算法的复杂性总是这个算法所解决的问题的复杂性的一个上限。此外，为了设计有效的算法，将特定算法的复杂性与要解决的问题的复杂性进行比较往往是最基本的。另外，在大多数情况下，人们对一个问题的复杂性的唯一认识是它低于已知的最有效算法的复杂性。因此，算法分析和复杂性理论之间有很大的重叠。

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数学代写|计算复杂度理论代写Computational Complexity Theory代考|What if P = NP?

If $\mathbf{P}=\mathbf{N P}$ – specifically, if an $\mathbf{N P}$-complete problem like 3SAT had a very efficient algorithm running in say $O\left(n^2\right)$ time – then the world would be mostly a Utopia. Mathematicians could be replaced by efficient theorem-discovering programs (a fact pointed out in Kurt Gödel’s 1956 letter and discovered three decades later). In general for every search problem whose answer can be efficiently verified (or has a short certificate of correctness), we will be able to find the correct answer or the short certificate in polynomial time. AI software would be perfect since we could easily do exhaustive searches in a large tree of possibilities. Inventors and engineers would be greatly aided by software packages that can design the perfect part or gizmo for the job at hand. VLSI designers will be able to whip up optimum circuits, with minimum power requirements. Whenever a scientist has some experimental data, she would be able to automatically obtain the simplest theory (under any reasonable measure of simplicity we choose) that best explains these measurements; by the principle of Occam’s Razor the simplest explanation is likely to be the right one. Of course, in some cases it took scientists centuries to come up with the simplest theories explaining the known data. This approach can be used to solve also non-scientific problems: one could find the simplest theory that explains, say, the list of books from the New York Times’ bestseller list. (NB: All these applications will be a consequence of our study of the Polynomial Hierarchy in Chapter 5.)

Somewhat intriguingly, this Utopia would have no need for randomness. As we will later see, if $\mathbf{P}=\mathbf{N P}$ then randomized algorithms would buy essentially no efficiency gains over deterministic algorithms; see Chapter 7. (Philosophers should ponder this one.)

This Utopia would also come at one price: there would be no privacy in the digital domain. Any encryption scheme would have a trivial decoding algorithm. There would be no digital cash, no SSL, RSA or PGP (see Chapter 10). We would just have to learn to get along better without these, folks.

This utopian world may seem ridiculous, but the fact that we can’t rule it out shows how little we know about computation. Taking the half-full cup point of view, it shows how many wonderful things are still waiting to be discovered.

数学代写|计算复杂度理论代写Computational Complexity Theory代考|What if NP = coNP?

If $\mathbf{N P}=\mathbf{c o N P}$, the consequences still seem dramatic. Mostly, they have to do with existence of short certificates for statements that do not seem to have any. To give an example, remember the NP-complete problem of finding whether or not a set of multivariate polynomials has a common root, in other words, deciding whether a system of equations of the following type has a solution:
$$
\begin{aligned}
f_1\left(x_1, \ldots, x_n\right) & =0 \
f_2\left(x_1, \ldots, x_n\right) & =0 \
\vdots & \
f_m\left(x_1, \ldots, x_n\right) & =0
\end{aligned}
$$
where each $f_i$ is a quadratic polynomial.

If a solution exists, then that solution serves as a certificate to this effect (of course, we have to also show that the solution can be described using a polynomial number of bits, which we omit). The problem of deciding that the system does not have a solution is of course in coNP. Can we give a certificate to the effect that the system does not have a solution? Hilbert’s Nullstellensatz Theorem seems to do that: it says that the system is infeasible iff there is a sequence of polynomials $g_1, g_2, \ldots, g_m$ such that $\sum_i f_i g_i=1$, where 1 on the right hand side denotes the constant polynomial 1.

What is happening? Does the Nullstellensatz prove coNP $=\mathbf{N P}$ ? No, because the degrees of the $g_i$ ‘s – and hence the number of bits used to represent them- could be exponential in $n, m$. (And it is simple to construct $f_i$ ‘s for which this is necessary.)

计算复杂度代写

数学代写|计算复杂度理论代写Computational Complexity Theory代考|What if P = NP?

如果– 具体来说，如果一个- 像 3SAT 这样的完整问题有一个非常有效的算法运行在说时间——那么世界将主要是一个乌托邦。数学家可以被高效的定理发现程序所取代（这一事实在 Kurt Gödel 1956 年的信中指出并在 30 年后被发现）。一般来说，对于每个答案可以被有效验证（或具有简短的正确性证书）的搜索问题，我们将能够在多项式时间内找到正确答案或简短的证书。人工智能软件将是完美的，因为我们可以轻松地在大量可能性树中进行详尽搜索。可以为手头工作设计完美零件或小发明的软件包将极大地帮助发明家和工程师。VLSI 设计人员将能够以最低的功率要求设计出最佳电路。每当科学家有一些实验数据时，她将能够自动获得最能解释这些测量的最简单理论（在我们选择的任何合理的简单度量下）；根据奥卡姆剃刀原理，最简单的解释很可能是正确的。当然，在某些情况下，科学家需要几个世纪的时间才能提出解释已知数据的最简单的理论。这种方法也可以用来解决非科学问题：人们可以找到最简单的理论来解释，比如说，纽约时报畅销书排行榜中的书籍清单。（注意：所有这些应用都是我们在第 5 章中学习多项式层次结构的结果。）在某些情况下，科学家需要几个世纪的时间才能提出解释已知数据的最简单的理论。这种方法也可以用来解决非科学问题：人们可以找到最简单的理论来解释，比如说，纽约时报畅销书排行榜中的书籍清单。（注意：所有这些应用都是我们在第 5 章中学习多项式层次结构的结果。）在某些情况下，科学家需要几个世纪的时间才能提出解释已知数据的最简单的理论。这种方法也可以用来解决非科学问题：人们可以找到最简单的理论来解释，比如说，纽约时报畅销书排行榜中的书籍清单。（注意：所有这些应用都是我们在第 5 章中学习多项式层次结构的结果。）

有点有趣的是，这个乌托邦不需要随机性。正如我们稍后将看到的，如果那么随机算法基本上不会比确定性算法获得任何效率提升；见第 7 章。（哲学家应该思考这一点。）

这个乌托邦也将付出一个代价：数字领域将没有隐私。任何加密方案都会有一个简单的解码算法。没有数字现金，没有 SSL、RSA 或 PGP（见第 10 章）。伙计们，我们只需要学会在没有这些的情况下更好地相处。

这个乌托邦世界可能看起来很荒谬，但我们不能排除它的事实表明我们对计算知之甚少。以半满杯的角度来看，可见还有多少美好等待着我们去发现。

数学代写|计算复杂度理论代写Computational Complexity Theory代考|What if NP = coNP?

如果NP $=\mathbf{c o N P}$ ，后果似乎仍然很严重。大多数情况下，它们与似乎没有任何声明的短证书的存在有关。举个例子，记住寻 找一组多元多项式是否有共同根的 NP 完全问题，换句话说，决定以下类型的方程组是否有解:
$$
f_1\left(x_1, \ldots, x_n\right)=0 f_2\left(x_1, \ldots, x_n\right) \quad=0 \vdots f_m\left(x_1, \ldots, x_n\right) \quad=0
$$
每个 $f_i$ 是二次多项式。
如果存在解决方宴，那么该解快方案将作为证明（当然，我们还必须证明该解决方案可以使用我们省峈的多项式位数来描述）。决 定系统没有解决方案的问题当然在 coNP 中。能不能给个证书，大意是系统没有解决方案? Hilbert 的 Nullstellensatz 定理似平 就是这样做的: 它说如果存在一系列多项式，则该系统是不可行的 $g_1, g_2, \ldots, g_m$ 这样 $\sum_i f_i g_i=1$ ，其中右侧的 1 表示常数多项 式 1 。
怎么了? Nullstellensatz 是否证明了 coNP $=\mathbf{N P}$ ? 不，因为度数 $g_i$ 的一-以及因此用于表示它们的位数一-可能是指数级的 $n, m$. (而且构造简单 $f_i$ 这是必要的。)

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微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

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线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|计算复杂度代写Computational Complexity代考|Warmup: Expressiveness of boolean formulae

As a warmup for the proof of Lemma $2.12$ we show how to express various conditions using CNF formulae.
EXAMPLE $2.13$
The formula $(a \vee \bar{b}) \wedge(\bar{a} \vee b)$ is in CNF form. It is satisfied by only those values of $a, b$ that are equal. Thus, the formula
$$
\left(x_1 \vee \bar{y}_1\right) \wedge\left(\bar{x}_1 \vee y_1\right) \wedge \cdots \wedge\left(x_n \vee \bar{y}_n\right) \wedge\left(\bar{x}_n \vee y_n\right)
$$
is True if and only if the strings $x, y \in{0,1}^n$ are equal to one another.
Thus, though $=$ is not a standard boolean operator like $\vee$ or $\wedge$, we will use it as a convenient shorthand since the formula $\phi_1=\phi_2$ is equivalent to (in other words, has the same satisfying assignments as $)\left(\phi_1 \vee \overline{\phi_2}\right) \wedge\left(\phi_1 \vee \phi_2\right)$

In fact, CNF formulae of sufficient size can express every Boolean condition, as shown by the following simple claim: (this fact is sometimes known as universality of the operations AND, OR and NOT)
CLAIM $2.14$
For every Boolean function $f:{0,1}^{\ell} \rightarrow{0,1}$ there is an $\ell$-variable CNF formula $\varphi$ of size $\ell 2^{\ell}$ such that $\varphi(u)=f(u)$ for every $u \in{0,1}^{\ell}$, where the size of a CNF formula is defined to be the number of $\wedge / \vee$ symbols it contains.

数学代写|计算复杂度代写Computational Complexity代考|Proof of Lemma 2.12

Let $L$ be an NP language and let $M$ be the polynomial time TM such that that for every $x \in{0,1}^$, $x \in L \Leftrightarrow M(x, u)=1$ for some $u \in{0,1}^{p(|x|)}$, where $p: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ is some polynomial. We show $L$ is polynomial-time Karp reducible to SAT by describing a way to transform in polynomial-time every string $x \in{0,1}^$ into a CNF formula $\varphi_x$ such that $x \in L$ iff $\varphi_x$ is satisfiable.

How can we construct such a formula $\varphi_x$ ? By Claim $2.14$, the function that maps $u \in{0,1}^{p(|x|)}$ to $M(x, u)$ can be expressed as a CNF formula $\psi_x$ (i.e., $\psi_x(u)=M(x, u)$ for every $\left.u \in{0,1}^{p(|x|)}\right)$. Thus a string $u$ such that $M(x, u)=1$ exists if and only if $\psi_x$ is satisfiable. But this is not useful for us, since the size of the formula $\psi_x$ obtained from Claim $2.14$ can be as large as $p(|x|) 2^{p(|x|)}$. To get a smaller formula we use the fact that $M$ runs in polynomial time, and that each basic step of a Turing machine is highly local (in the sense that it examines and changes only a few bits of the machine’s tapes).

In the course of the proof we will make the following simplifying assumptions about the TM M: (1) $M$ only has two tapes: an input tape and a work/output tape and (2) $M$ is an oblivious TM in the sense that its head movement does not depend on the contents of its input tape. In particular, this means that $M$ ‘s computation takes the same time for all inputs of size $n$ and for each time step $i$ the location of $M$ ‘s heads at the $i^{\text {th }}$ step depends only on $i$ and $M$ ‘s input length.
We can make these assumptions without loss of generality because for every $T(n)$-time TM $M$ there exists a two-tape oblivious TM $\tilde{M}$ computing the same function in $O\left(T(n)^2\right)$ time (see Remark $1.10$ and Exercise 8 of Chapter 1). ${ }^4$ Thus in particular, if $L$ is in NP then there exists a two-tape oblivious polynomial-time TM $M$ and a polynomial $p$ such that $x \in L \Leftrightarrow \exists u \in$ ${0,1}^{p(|x|)}$ s.t. $M(x, u)=1$.

The advantage of assuming that $M$ is oblivious is that for any given input length, we can define functions inputpos $(i), \operatorname{prev}(i)$ where inputpos $(i)$ denotes the location of the input tape head at the $i^{\text {th }}$ step and prev $(i)$ denotes the last step before $i$ that $M$ visited the same location on its work tape, see Figure 2.3. ${ }^5$ These values can be computed in polynomial time by simulating $M$ on, say, the all-zeroes input.

计算复杂度代写

数学代写|计算复杂度代写计算复杂度代考|预热:布尔公式的表达

作为引理$2.12$证明的一个热身，我们展示了如何用CNF公式表示各种条件。
EXAMPLE $2.13$
公式$(a \vee \bar{b}) \wedge(\bar{a} \vee b)$为CNF形式。它只能由$a, b$的那些相等的值来满足。因此，当且仅当字符串$x, y \in{0,1}^n$彼此相等时，公式
$$
\left(x_1 \vee \bar{y}_1\right) \wedge\left(\bar{x}_1 \vee y_1\right) \wedge \cdots \wedge\left(x_n \vee \bar{y}_n\right) \wedge\left(\bar{x}_n \vee y_n\right)
$$
为True。因此，尽管$=$不是像$\vee$或$\wedge$那样的标准布尔运算符，但我们将它用作方便的简写，因为公式$\phi_1=\phi_2$等价于(换句话说，具有与$)\left(\phi_1 \vee \overline{\phi_2}\right) \wedge\left(\phi_1 \vee \phi_2\right)$ 相同的令人满意的赋值

事实上，足够大的CNF公式可以表示每一个布尔条件，如下简单声明所示:(这个事实有时被称为AND, OR和NOT操作的普适性)
CLAIM $2.14$
对于每个布尔函数$f:{0,1}^{\ell} \rightarrow{0,1}$都有一个$\ell$变量的CNF公式$\varphi$，其大小为$\ell 2^{\ell}$，这样对于每个$u \in{0,1}^{\ell}$都有$\varphi(u)=f(u)$，其中CNF公式的大小被定义为它包含$\wedge / \vee$符号的数量

数学代写|计算复杂度代写计算复杂度代考|引理证明2.12

设$L$为NP语言，设$M$为多项式时间TM，使得对于每一个$x \in{0,1}^$, $x \in L \Leftrightarrow M(x, u)=1$对于某个$u \in{0,1}^{p(|x|)}$，其中$p: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$是某个多项式。我们通过描述一种方法，在多项式时间内将每个字符串$x \in{0,1}^$转换为CNF公式$\varphi_x$，使得$x \in L$ iff $\varphi_x$是可满足的，从而证明$L$是多项式时间卡普可约为SAT的

我们如何构造这样一个公式$\varphi_x$ ?通过声明$2.14$，将$u \in{0,1}^{p(|x|)}$映射到$M(x, u)$的函数可以表示为CNF公式$\psi_x$(即，$\psi_x(u)=M(x, u)$对应每个$\left.u \in{0,1}^{p(|x|)}\right)$。因此，当且仅当$\psi_x$可满足时，一个字符串$u$使得$M(x, u)=1$存在。但是这对我们没有用处，因为从Claim $2.14$获得的公式$\psi_x$的大小可能与$p(|x|) 2^{p(|x|)}$一样大。为了得到一个更小的公式，我们使用$M$在多项式时间内运行的事实，图灵机的每个基本步骤都是高度局部性的(在这种意义上，它只检查和更改机器磁带的少数位) 在证明过程中，我们将对TM M作以下简化假设:(1) $M$ 只有两个磁带:一个输入磁带和一个工作/输出磁带和(2) $M$ 它的头部运动不依赖于输入磁带的内容，从这个意义上说，它是一个健忘的TM。特别地，这意味着 $M$ 的计算对于所有大小的输入都需要相同的时间 $n$ 对于每个时间步 $i$ 的位置 $M$ 他的头在 $i^{\text {th }}$ 步长只取决于 $i$ 和 $M$ 的输入长度。我们可以在不丧失一般性的情况下做出这些假设，因为对于每一个 $T(n)$时间TM $M$ 存在一种双带无关TM $\tilde{M}$ 计算相同的函数 $O\left(T(n)^2\right)$ 时间(见备注) $1.10$ 和第一章的练习8)。 ${ }^4$ 因此，特别是，如果 $L$ 在NP中，那么存在一个双带无关多项式时间TM $M$ 一个多项式 $p$ 如此这般 $x \in L \Leftrightarrow \exists u \in$ ${0,1}^{p(|x|)}$ s.t。 $M(x, u)=1$.

假设$M$是无关的好处是，对于任何给定的输入长度，我们可以定义函数inputpos $(i), \operatorname{prev}(i)$，其中inputpos $(i)$表示输入磁带头在$i^{\text {th }}$步骤上的位置，prev $(i)$表示$i$之前的最后一步，$M$访问了其工作磁带上的相同位置，参见图2.3。${ }^5$这些值可以通过在全零输入上模拟$M$在多项式时间内计算出来

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。